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1． 平面及其表示
常见的平面形象大都是矩形状的，当我们从适当的角度和距离去观察这些平面时，感到它们与平行四边形是一致的，因此，通常画一个平行四边形来表示平面．图5-27(1)表示平放的平面，图5-27(2) 表示竖直的平面．请注意它们画法之间的区别．
如果要画相交的两个平面，可以按图5-28所示的步骤进行．
一个平面通常用小写希腊字母
α、β、γ、…表示，写在表示平面的平行四边形某一个顶角部，记作“平面
α”、“平面β”,…，或用表示平面的平行四边形对角的两个大写英文字母标明，记作“平面AC ”或“平面BD ”，当然也可记作平面
ABCD (如图5-27)．应该注意，正像平面几何中直线是可以无限延伸一样，平面也是可以无限延展的，也就是说，它是没有边界的，我们用平行四边形仅仅表示了平面的一部分．
空间图形也可看作是空间点的集合，因此点、线、面的关系可用集合的关系来表示： ①点A 在直线l 上，记作A ∈l ，点A 不在直线l 上，记作A ?l ； ②点A 在平面α，记作A ∈α，点A 不在平面α，记作A ?α； ③直线l 在平面α，记作l ?α；
④直线l 与直线m 交于点N ，记作l ?m ={N }，直线l 与直线m 没有交点，记作l ?m =?； ⑤直线l 与平面α交于点N ，记作l ?α={N }，直线l 与平面α没有交点，记作l ?α=?； ⑥平面α与平面β交于直线l ，记作α?β=l ，平面α与平面β不相交，记作α?β=?．
在以后的学习中，我们将经常用到这些记号． 课练习1
1. 能不能说一个平面长2米，宽1米，为什么？
2. 画一个平行四边形表示平面，并分别用希腊字母和大写英文字母表示这个平面．
3. 分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面．
4. 用符号表示下列点、线、面间的关系： (1)点A 在平面α，但在平面β外； (2)直线l 经过平面α外的一点N ；
(3)直线l 与直线m 相交于平面α的一点N ； (4)直线l 经过平面α的两点M 和N ． 5. 下面的写法对不对，为什么？
(1)点A 在平面α，记作A ?α; (2)直线l 在平面α，记作l ∈α；
(3)平面α与平面β相交，记作α?β； (4)直线l 与平面α相交，记作l ?α≠?．
2. 平面的基本性质 基本性质：
图5-28
A
B
C
D A 1
B 1
C 1
D 1 (第3题图)
图5-27(2)
βD A
B
C
D
图5-27(1)
A D
C
α
(1)如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点都在这个平面． 如图5-29，直线l 上两点A ,B 在平面α ，那么l 上所有的点都
在平面α ，这时我们可以说，直线l 在平面α 或平面α经过直线l ．
这个性质常用来判断一条直线是否在一个平面． 因为平面是可以无限延展的，因此两个平面如果有公共的点，那
么延展的结果，它们 必定相交于一条直线．由此得平面的第二个基
本性质：
(2)如果平面有一个公共点，那么它们相交于经过这个公共点的一条直线．
如图5-30，平面β 与平面γ 相交， C 是公共点，那么它们相交于过C 的直线l ．如果我们把一纸摊平折起来，折痕一定是一条直
线，就是这个道理．
(3)经过不在同一直线上的任意三点，可以作一个平面，且只可以作一个平面． 这个性质也可以简单地说成：不在一直线上的三点确定一个平
面．如图5-31，A 、B 、C 三点不在同一直线上，经过这三点可以且
只可
以画一个平面α．
现在你可以明白前面提出的问题了．凳子三条腿、照相机支架三条腿，三个着地点总是在一个平面上，因此总是平稳的．
从上述三个性质出发，还可以推出确定一个平面的其它很多方法，其中最常用的是下面三个推论：
①一条直线和直线外一点可以确定一个平面； ②两条相交直线可以确定一个平面；
③两条平行直线可以确定一个平面． 课练习2 1. 判断题
(1)如图，我们能说平面α与平面β只有一个交点A 吗？ (2)如图,我们能说平面α与平面β相交于线段AB 吗?
(3)如图,我们能说线段AB 在平面α,但直线AB 不全在平面α吗? 2. 三角形一定是平面图形吗？为什么？ 3. 一扇门可以自由转
动，如果锁住，就固定了，如何解释？ 4. 怎样检查一桌子的
四条腿的下端是否在同一平面？
小结 作业
图5-29
图5-30 l β
γ ?
C 图5-31
α ? ? ? C B A (第1(1)题图) (第1(2)题图) β
A ? α ?
B (第1(3)题图)
A ?
α
? B
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1. 两条空间直线的位置关系
平面上两条直线的位置关系有两种：相交或平行．在空间中的两条直线是否也是如此呢？我们观察一下教室的天花板、地面以及墙面之间的交线，能够找到平行
和相交的直线，但也能发现一些直线，它们既不平行也不相交．
把教室看成一个长方体ABCD -A 'B 'C 'D '（如图9-32），可以发现直线对BC 与AA '、AD 与D 'C 以及对角线B 'D '与AC 等等，它们不同在一
个平面．
我们把两条既不相交、又不平行的直线，叫做异面直线，也可以
说，把两条不可能同在一个平面上的直线叫做异面直线．因此，空间中两条直线位置关系(除了重合)有三种：
(1) 没有公共点——平行
(2) 只有一个公共点——相交
(3) 既不相交也不平行——异面 (不可能同在一个平面上)．
在画异面直线时，要像图9-33那样，把两条直线明显地画在不同的平面，这样就容易体现出 “异面”的特点．
课练习1
1. 找出日常生活中异面直线的几个例子．
2. 画出图5-32中各面上的对角线，找出不少于5对异面直线来．
3. 两条直线分别在两个平面，它们是否一定异面直线？
4. 能否把没有公共点的两条直线叫做平行线？
2. 空间的平行直线
平面几何中的平行传递性法则——平行于同一条直线的两条直线互相平行，在空间情况仍然是正确的．例如图9-34中，因为ABB 'A '、BCC 'B '都是矩形，AA '∥BB ', CC '∥BB '，所以CC '∥AA '．在后文中还将介绍一些具有空间特点的平行判定方法．
在平面几何中有一个判定定理：如果两个角的两条边分别对应平行，
那么这两个角相等或互补．对立体几何中空间的角，这条道理仍然成立．如图9-34中的ACB ∠和B C A '''∠。
例1 如图9-35，已知E 、F 、G 、H 分别是任意空间四边形ABCD 四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证四边形EFGH 是平行四边形．
证明 由此即得EH =FG 且EH//FG ．所以四边形EFGH 是平行四边形．
课练习2
1. 把一长方形的纸对折两次然后打开，观察折痕是否平行，为什
么？
2. 画两个相交平面，在这两个平面各画一条直线，使它们成为平行直线．
3. 如图，在长方体中，AE =A 1E 1, AF =A 1F 1，求证：EF =E 1F 1且 EF//E 1F 1．
4. 如图，在长方体ABCD -A 'B 'C 'D '中，E ,E '分别
l 1 图9-33 l
α A
B C
D
图9-32 A ' B ' C ' D '
(必定同在一个平面上)；
图9-35 A
B C
D A '
B '
C '
D '
E F 1 A 1 E 1 C D A ' B '
C '
D '
E
E '
是棱AD ,A 'D '的中点，求证：∠CEB =∠C 'E 'B '．
3. 异面直线所成的角
平面几何中的角的两条边是相交的，空间异面直线不相交，怎么形成角呢？我们可以这样来定义： 如图5-36(1)，设l 、m 是两条异
面直线，在空间任取一点P ，过P 作l '∥l 、m '∥m ，把l '、m '所成的(不大于
90?)角，叫做异面直线l 、m 所成的角
(或l 、m 的夹角)，采用平面情况的记
法，记作l ^m ．
为了简便起见，点P 常取在两异面直线中的一条上．
例如在直线m 上，过点P 作直线l '∥l （如图9-36(2)），那么l '、m 所成的角就是异面直线l 、m 所成的角．
如果两条异面直线l 、m 所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作l ⊥m ．如果两条直线所成的角为0?角，那么我们就说这两条直线平行．
例2 图9-37表示一个正方体．
(1)哪些棱与AB '是异面直线？ (2)求AB '与CC '的夹角的度数；
(3)哪些棱与AA '垂直？
解 课练习3 1. 在下列各图中，分别以O 为顶点，画出异面直线l 、m 所成的角．
2. 设l 、m 、n 为三条空间直线，其中l ∥m , l ⊥n ，则m 、n 的关系如何？
3. 设l 、m 、n 为三条空间直线，且l ^ m = n ^m =45?，能否得出l ∥n 的结论？ 你能举出反例吗？
小结： 作业：
图9-37 A B
C D A ' B '
C '
D '
第1题图
图? m ' l ' P
图
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1. 直线和平面的位置关系
我们仍然把教室抽象成一个如图5-38那样的长方体．我们考
察AB 所在的直线，它在面ABCD 上；与面BCC 1B 1有一个公共点B ；与面
DCC 1D 1没有公共点．这个实例告诉我们：
空间直线l 与平面α的位置关系只有三种：
(1) l 与α有无数个公共点——直线l 在平面α；
(2) l 与α没有公共点——直线l 平行于平面；
(3) l 与α只有一个公共点——直线l 与平面α相交．
图5-39表示了这三种位置关系．
课练习1
1. 举出直线和平面的三种位置关系的实例．
2. 回答下列问题：
(1)能否说直线l 与平面α有两个交点A 、B ?
(2)如果直线l 在平面α外，l 是否一定与α平行？ (3)如图，因为l 与α没有交点，是否能说l ∥α?
(4)如果直线l 不平行于平面α，l 必与α相交吗？
2. 直线和平面平行
(1)直线和平面平行的判定
要判断一条直线和一个平面是否认平行，就要将直线和平面无限延伸，看有无公共点，这是无法做到的，我们希望能找到简便易行的办法来判断直线和平面平行．
我们看图5-40(1)，这是一扇门，门框左右两条边缘是直线a 、b ．把墙面视为一个平面α，
当门
关着时，直线a 、b 同在平面α上，
且a ∥b ．开门时，a 离开了平面α，但仍保持与b 平行，而且a 与平面α也是平行的(如图5-40(2))． 这就给出了一个判定直线与平面平行的方法：
如果平面外的一条直线和这个平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
如图5-41中所示，如果a ∥b ，b ?α，则a ∥α。
根据这个判定方法，为了证明一条直线和一个平面平行，只要在这个平面找出一条直线和这条直线平行就可以了．
画一条直线和一个平面平行，常把直线画在表示平面的平行四边形外面，并且如图5-41那样，与平行四边形的一组对边平行或与平行
四边
图5-38
A
B C
D B 1
A 1 C 1 D 1 图5-40(1)
图
5-39
l
(第2(3)题图)
l
图5-41
b α
a
图5-40(2)
形的一条线段平行．
在安装日光灯管时，检查两条垂直吊线的长度是否相等；往墙上贴一条横幅时，检查横幅的上边与顶板是否等距，都是为了让灯管与天棚、横幅与顶板平行，使用的原理正是这个判定方法．
为便于记忆，这个方法可简记为：“若线线平行，则线面平行”． 例1 如图5-42，空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，求证 EF ∥平面BCD ．
证明 在?ABD 中，因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点，所以
EF ∥BD ． 又因为 EF ?平面BCD ，BD ?平面BCD ，
所以 EF ∥平面BCD ． 课练习2
1. 在平面α上有直线b ，与平面外直线a 不平行，能否说a 与α必定不平行？为什么？
2. 设平面α与平面外的直线a 平行，证明a 与α的任意直线都不相交．
(2)直线和平面平行的性质 现在把图5-40(2)墙面、门分别看作为平面α、β，门边缘b 是α、β的交线，a ∥b ．这表明，当直线a 和平面α平行时，过a 的平面β与平面α的交线必与a 平行．我们可以得到直线和平面平行的性质：
如果直线a 和平面α平行，经过a 的平面β若与α相交， 则交线必定平行于a ．
如图5-43，若a ∥α，a ?β，α?β=b ，则a ∥b ． 这个性质可简记为：“若线面平行，则线线平行”． 例2 如图5-44所示的木块，BC ∥平面A 1C 1，木工师傅要过点P 和BC 截去一个斜角，应该怎样划线？
解 因为BC ∥平面A 1C 1，B 1C 1是平面BC 1与平面A 1C 1的
交线，所以BC ∥B 1C 1； 过P 作B 1C 1的平行线EF ，则 EF ∥B 1C 1∥BC ，
所以EF 、BC 共面．连结EB 和FC ，所得的四边形EFCB 必定在
同一平面上，所以沿此四边形画线即可．
课练习3
1. 一块木板ABCD 的一边AB 紧靠桌面并绕AB 转动，当AB 的对边CD 转动到各个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？为什么？
2. 判断下面的说法是否正确：
(1)过平面外一点有无数条直线与这个平面平行； （ ） (2)过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行； （ ） (3)如果一条直线和一个平面平行，则它和这平面的任何直线平行； （ ） (4)平行于同一平面的两条直线互相平行． （ ） 3. 设a 是平面α外的一条直线，a ∥α，证明在α上有无数条直线与a 平行． 4. 已知：长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，求证：
(1)BC||面A 1ADD 1；(2) BC 1||面A 1ADD 1；(3)C 1D||面ACB 1．
A C
B D E F 图5-42
A B C D E F P ? A 1
B 1
1 D 1 图5-44 图5-43
a
b α β
5. 如果平面外的两条平行线中有一条和平面某一条直线平行，试证另一 条直线和这个平面平行．
3. 直线和平面垂直
直线与平面相交有两种情况，一是垂直，二是斜交．我们先来研究前一种情况． 如果直线l 与平面α的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 垂直于平面α，记作 l ⊥α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面，交点叫做垂足．
画直线与平面垂直，通常是把直线画成和表示平面的平行四边形的一组对边垂直（如图5-45）．
(1)直线与平面垂直的判定
按照上述的方法去判定一条直线与一个平面垂直是困难的，我们有下面的较为简便的方法：
如果一条直线和一个平面的两条相交直线垂直，则这条直线和这个平面互相垂直．
如图5-46， l ?α≠?， m ? α，n ? α，m ?n ={O }，若l ⊥m ，l ⊥ n ，那么l ⊥α．
有了这个方法，要判定一条直线l 是否垂直于一个平面α，只要在α去找到两条相交直线与l 垂直就行了．这也是人们在日常生活中用来判定直线与平面垂直的方法．例如树立旗杆时，只要从不在一条直线上的两个不同的方向，看一下旗杆与水平线是否垂直，就能确定
旗杆是否与地面垂直了．
例3 如图5-47，有一旗杆AB ，从它的顶端A 挂一条绳子下来，拉紧绳子并把它的一端先后放在水平地面上C 、D 、E 三点处，其中C 、B 、E 在一条直线上，若测得BC =BD =BE ，证明旗杆和地面垂直．
证明 因为ΔABC ,ΔABD ,ΔABE 的三边对应相等，所以
ΔABC ΔABD ΔABE ，
所以 ∠ABC =∠ABD =∠ABE ；
又因为C 、B 、E 在一条直线上，所以∠ABC =∠ABE =90?；所以∠ABD =90?．即 AB ⊥BC ，AB ⊥BD ．
又知B 、C 、D 有三点不共线，所以AB ⊥平面BCD ，即旗杆和地面垂直． 课练习4
1. 回答下列问题：
(1)直线l 垂直于平面α的一条直线m ，是否能说l ⊥α？ (2)直线l 垂直于平面α的两条直线m ,n ，是否能说l ⊥α？ (3)直线l 垂直于平面α的无数条直线，是否能说l ⊥α？
(4)一条直线垂直于一个三角形的两条边，这条直线是否和第三边垂直？ (5)三条直线相交于同一点，且两两垂直，其中任一条直线是否垂
直于另两条直线所确定的平面？
2. 已知直线a ∥平面α，直线b ⊥α，求证a ⊥b ．
3. 如图，有一旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂一条长10m 的绳子，
拉紧
A
C D
B
图5-47
E
A
α
l
图
5-46
o m n
图
绳子并把它的一端先后放在地面上和B 点不在同一条直线的两点C ,D 上．如果这两点和B 点的距离都是6m ，求证旗杆和地面垂直．
(2)直线和平面垂直的性质
当直线与平面垂直时，有如下的性质：
如果两条直线垂直于同一平面，则这两条直线互相平行． 如图5-48中， m ⊥α，n ⊥α，那么m ∥n ．这也是判定两条直线平行
的另一个方法．
(3)点到平面的距离
设P 是平面α外的一点，过点P 向α作垂线，垂足为O ，线段PO
的长就是点P 到α的距离，O 也叫做点P 在平面α的正射影(简称射影) (如图5-49)．
例4 如图5-50，已知旗杆AB 垂直于水平地面，从旗杆顶拉一条绳子下来，拉紧后在地面上点C ,D 处量得BC =BD =6m ，且BC ⊥BD ；若已知∠CAD =30?，求旗杆的高度． 解 因为BC ⊥BD ，所以 CD =2622=+BD CB
在等腰?ACD 中，
CD 2=A C 2
+AD 2
-2AC ?AD cos ∠CAD =(2-3)AC 2
，
解得 AC 2
=)32(723
272+=-．
在Rt ?ABC 中，
AB 2
=AC 2
-BC 2
=)32(72+-36=108+723, AB =372108+≈15.25m ． 所以旗杆高约15.25m ． 课练习5 1. 判断题
(1)若直线l ⊥平面α，直线l 1不平行于l ，则l 1不垂直于α ( ) (2)若直线l ∥平面α，直线l 1垂直于l ，则l 1垂直于α ( ) (3)若直线l ∥平面α，直线l 1不垂直于l ，则l 1不垂直于α ( ) (4)若直线l ,l 1平行，由它们确定的平面为α，若直线m ⊥l ，则m ⊥α ( )
(5)若直线l ,l 1平行，由它们确定的平面为α，若直线m 不垂直于l ，则m 也不垂直于α
( )
(6)过平面外一点，能作、且仅能作一条直线与平面垂直
2．如图，在例4中，若旗杆立在平台顶上，无法得到垂足B ， 但已知绳子长度为16m ，量得CD =8.5m ，且BC ⊥BD ， 请计算旗杆顶离地面的距离．
α
图5-48 m n A
C
D
B
图5-50
α
P
O
图5-49
4. 直线和平面所成的角
如果直线l 与平面α相交而不垂直，就称直线与平面斜交． 直线叫做平面的斜线，交点叫做斜足．
我们看图5-51，直线l 1、l 2与平面α都斜交，但斜交的角度不同． 应该怎样来度量这个角度呢？现在来讨论这个问题． 设斜线l 与平面α交于A 点，点P 在l 上，P 在α上的射影为Q ；直线
AQ 叫做斜线l 在平面α上的正射影（简称射影）(图5-52)．
可以证明，斜线与平面的射影之间形成的角(图5-52中
的θ)是l 与α所有直线所成的角中最小的，我们把这个角叫
做l 与α所成的角，即：
斜线和它在平面的射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角．
若一条直线与一个平面所成的角是直角，我们就说这条直线和平面垂直；若一条直线与一个平面所成的角是0?角，我们就说这条直线和平面平行或在平面．
例5 如图5-53，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长分别为AB =1，AD =2，AA 1=3，求对角线AC 1与底面ABCD 的夹角．
解 因为CC 1⊥底面ABCD ，所以∠C 1AC 就是对角线AC 1与底面
ABCD 之间的夹角．因为
AC =22DC AD + =2
2AB AD +=3，
CC 1= AA 1=3，
所以 tan ∠C 1AC =AC CC 1=3
3
=3，
所以 ∠C 1AC =60?，
即对角线AC 1与底面ABCD 的夹角为60?． 课练习6
1. 过平面α外一点P ，可以作多少条与α夹角为已知角θ0的斜线？你能说出这些斜线的斜足在平面α的轨迹是什么吗？
2. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求： (1)A 1C 1与正方体各面所成的角的大小； (2)D 1B 与面A 1ADD 1所成角的正切值．
小结： 作业：
图5-53
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
l 2
l 1
图5-51
α 图5-52
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1. 平面位置的基本关系
两个平面α, β的位置关系就只有两种：
(1)相交——此时必定相交成一条直线l ；称l 为交线； (2)平行——即没有公共点，记作α∥β． 2. 平面与平面平行 (1)平面平行的判定
① 如果一个平面有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 如图5-55，设l 1? α，l 2? α，l 1 ?l 2 ={O }，且l 1∥β，l 2∥β，那么α∥β． 根据这个法则，还可以得到判断平面平行其它方法： ② 如果一个平面有两条相交 直线，分别平行于另一个平面的 两条直线，那么这两个平面平行 (如图5-56)．
③ 垂直于同一条直线的两个平面平行
画两个平面平行时，一般要使表示平面的两个平行四边形对应的对边分别平行．
例1 如图5-57，E 、F 、G 分别为空间四边形ABCD 的边AB 、
AD 及对角线AC 上的中点，证明：平面EFG ∥平面BCD ． 证明
课练习1
1．两个平面的位置关系有哪几种？ 2. 判断题： (1)若平面α的一条直线与平面β平行，则α与β平行 ( )
(2)若平面α的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行 ( ) (3)若平面α的无数条直线分别与平面β平行，则α与β平行 ( ) (4)若平面α的任何一条直线都与平面β平行，则α与β平行 ( ) (5)过已知平面外一点，能作、且仅能作一个平面与已知平面平行 ( ) (6)过已知平面外一条直线，必定能作与已知平面平行的平面 ( ) 3. 若平面α∥平面β，能否说α的任一直线都与β的直线平行？能否说α的任一直线都与β平行？
4. 如图，设E 、F 、E 1、F 1分别是长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱AB 、CD 、 A 1B 1、C 1,D 1上的中点，证明：平面ED 1∥平面BF 1． (2)平行平面的性质
两个平行平面具有下面的性质： 如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
夹在两个平行平面间的平行线段相等． 课练习2
1. 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求证平面A 1BD ∥平面CD 1B 1．
图
5-57 B
(第4题图)
A
A
C 1 图β
2. 证明横截一块长方体形状的木块，其截面不是矩形就是平行四边形．
3. 二面角和二面角的平面角
在开门时常说把门开大些或小些，实际上是指门所在平面与门框所在平面之间“角度”的大小．这个角度如何度量呢？ 现在我们给出平面交角的定义．
平面的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平
面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l 、两个面分别为α,β的二面角记为二面角α-l -β(图5-60)．
一个垂直于二面角α-l -β的棱l 的平面，交l 于点O ，分别与两个
半平面交于半直线OA , OB ，则∠AOB 叫做二面角α-l -β的平面角．显
然，
平面角的大小与垂直平面的位置无关．所以二面角的大小可用它的平面
角来度量，平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；在不会引起误解的场合，有时我们也简称二面角是多少度．
我们约定，二面角的度数不小于0?，不大于180?．
例2 在图的空间四边形ABCD 中，由它们的边和对角线组
成的?ABC , ?ADB , ?ADC 和?BCD 都是等边三角形．
(1)把每个三角形所在的面看作一个半平面，共组成了多少个二面 角？
(2)证明这些二面角均相等； (3)求每个二面角的大小． 解
课练习3
1. 在图5-61中，设?ABC 、?ADB 、 ?ADC 为等腰直角三角形(∠A =90?)，?BCD 为等边三角形， (1)证明以AB 、AC 、AD 为棱的三个二面角彼此相等；以BC 、CD 、BD 为棱的三个二面角也彼此相等；
(2)求这两组二面角的大小．
4. 平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直
平面角是直角的二面角叫做直二面角．
若两个平面相交形成的二面角是直二面角，则这两个平面叫做互相垂直． 若平面α和平面β互相垂直，记作α⊥β． 注意，在画两个互相垂直的平面时，为了加强直观效果，如果有一个是水平平面，则把直立平面的一组对边画成和水平平面的某一组对边垂直(见图5-62)．
下述方法经常用来判定两个平面垂直问题：
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 如图5-63，直线l ⊥α,l ?β，则α⊥β．
图5-63
图6-62
l
O A
β
图5-60 α
B A
C
D E
F
θ
?
这个判定方法在实际经常见到．如将帆船甲板和帆都当作平面，桅杆就是甲板的垂线，我们可以认为帆与甲板是垂直的．又如用一端系有铅锤的线来检查墙是否和水平面垂直(如图5-64)，也是这个方法的应用．
例3 如图5-65，已知P 是平面α外一点，PA ⊥α， 垂足为A ，BC ?α，PC ⊥BC ，证明平面PBC ⊥平面PAC ． (2)垂直平面的性质
教室的墙面都是垂直于地面的，它们的交线墙角线自然也垂直于地面．这就是垂直平面的第一个性质：
①如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面． 如图5-66，α、β、γ为三个平面，若α⊥γ, β⊥γ，l =α?β，则l ⊥
在墙面上画一条线垂直于墙脚线，那么这条线必定
与地面垂直；反之，在地面上画一条线垂直于墙脚线，
这条线也与墙面垂直．这是垂直平面的又一个性质： ②如果两个平面互相垂直，那么在一个平面 垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
如图5-67，α⊥β，α?
β＝l ，m ?α, n ?β，若m ⊥l ，则m ⊥β； 若n ⊥l ，则
n ⊥α．
例4 如图5-68，在空间四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线．
若面?ABD ⊥面?BDC ，AB ⊥BD , CD ⊥BD ，AD =3, CD =4，
(1) 证明AB ⊥BC ；(2)求AC 的长． 所以AC 长为5．
课练习4
1. 如图,检查工件的相邻两个平面是否垂直时，只要用直角曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一个边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了．为什么？如果不转动呢?
2. 如果一条直线和一个平面不垂直,经过这条直线能否做一个平面与已知平面垂直?若能，这样的平面有几个?
3. 如图已知平面α⊥β, α?β=AB ；在平面β，直线CD ∥AB ，CD 到AB 的距离为60cm ．在平面α，点E 到AB 的距离为91cm ．求点E 到CD 的距离．
小结： 作业：
图5-67 (第3题图)
江苏省洪泽中等专业学校数学单元试卷（立体几何） 时间120分钟 满分150分 一．选择题（每题5分，共50分） 1、一条直线和直线外两点可确定平面的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、1或2 2、若直线L ⊥平面a ，直线m ?a ，则L 与的关系是（ ）。 A 、L ⊥m B 、L ∥m C 、L 与m 异面 D 、无法确地 3、如果空间中两条直线互相垂直，那么它们（ ） A 、一定相交 B 、是异面直线 C 、是共面直线 D 、一定不平行 4、．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A. 3 B. 23 C. 33 D.4 3 5、两个球的表面积之比为1:4，则它们的体积之比是（ ）。 A 、1:64 B 、1:16 C 、1:8 D 、1:32 6、正方体的全面积是18，则正方体的体积是（ ）。 A 、9 3 B 、9 C 、33 D 、27 7、正方体1111ABCD A B C D -中，上底面对角线11A C 与侧面对角线1B C 所成的角为（ ）。 A 、30° B 、45° C 、60° D 、90° 8、圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，母线长为2，则它的侧面积为（ ）。 A 、4π B 、22π C 、4 2 π D 、8π 9、长方体1111ABCD A B C D -中，AB=3,BC=3,AA 1=4,则二面角D 1-AB-D 的余弦值是（ ）。 A 、53 B 、54 C 、22 D 、4 3 10、正三棱锥中，底面边长为33，侧棱长为5，则它的高为是（ ）。 A 3 B 、4 C 、26 D 、23 二、填空题（每题5分，共30分）
第7章立体几何习题 练习9.1.1 1、判断题，下列语句说法正确的打“√”，错误的打“Χ” （1）一个平面长是4cm ，宽是2cm （ ）； （2）10个平面重叠在一起比5个平面重叠在一起要厚（ ）； （3）一个平面将空间分成两部分（ ）。 2、选择题（每题只有一个正确答案） （1）以下命题中，正确的个数是（ ） ①平面是没有边界且光滑的图形，②四条线段首首尾连接，所得图形一定是平面图形，③画两个相交平面时，一定要画出交线。 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （2）下列说法中，正确的是（ ） A ．教室里的黑板面就是平面 B ．过一条直线的平面只有1个 C ．一条线段在一个平面内，这条线段的延长线可以不在这个平面内 D ．平面是没有厚薄之分的 3、如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，请表示出该图形的6个平面（要求用各面的四个顶点来表示） 参考答案： 1、（1）Χ（2）Χ（3）√ 2、（1）C （2）D 3、平面ABCD ，平面A 1B 1C 1D 1，平面ADD 1 A 1，平面BCC 1 B 1，平面ABB 1 A 1，平面D CC 1D 1 练习9.1.2 1、选择题（每题只有一个正确答案） （1）下列说法中有错误的是（ ） ①三个点可以确定一个平面，②若两个平面有一个公共点，则它们有无数多个公共点，③空间任意两条直线可以确定一个平面，④直线与直线外一点可以确定一个平面。 A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④ （2）下列图形中不一定是平面图形的是（ ） A ．三角形 B ．平行四边形 C ．四条线段首尾连接而成的四边形 D ．梯形 （3）用符号表示语句“直线a ，b 相交于平面α内一点M ”，正确的是（ ） A ．,,a b M a b αα=??B ．,a b M M α=∈ C ．,,a b M a b ααα=∈ D ．,,,M M a b a b ααα∈∈ 2、用符号表示下列语句 （1）点A 在直线a 上，直线a 在平面α内 （2）平面β过直线b 及b 外一点M ，点N 在平面β外，直线c 过点M ，N 3、如图所示，对于长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，回答下列问题。 （1）直线AC 是否在平面ABCD 内？ （2）四点A 、A 1、C 、C 1是否在同一平面内？
平面的基本性质 一、高考要求： 理解平面的基本性质. 二、知识要点： 1.平面的表示方法:平面是无限延展的,是没有边界的.通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名. 2.平面的基本性质: (1)如果一条直线上的两点在一个平面,那么这条直线上的所有点都在这个平面.这时我们说,直线在平面或平面经过直线.用符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a?α. (2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面.它有三个推论: 推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且这些公共点的集合是经过这个点的一条直线.这时我们称这两个平面相交. 用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β=λ,且A∈λ. 3.有关概念:如果空间的几个点或几条直线都在同一平面,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面,则这类图形叫做立体图形.直线和平面都是空间的子集,直线又是平面的子集. 三、典型例题： 例1:已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH相交于点P.求证:点B、D、P在同一直线上. 证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A ∴E、F∈平面ABD ∴EF?平面ABD 同理GH?平面CBD ∵EF与GH相交于点P ∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD ∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上. 例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B, 求证:a、b、m三条直线在同一平面. 证明:∵a∥b ∴a、b可以确定一个平面α. ∵m∩α=A,m∩β=B, ∴A∈α,B∈α又A∈m,B∈m
直线、平面垂直的判定及其性质 一、目标认知 学习目标 1．了解空间直线和平面的位置关系； 2．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；进一步熟悉反证法的实质及其一般解题步骤． 3．通过探究线面平行定义、判定和性质定理及其应用，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力． 4．通过有关定理的发现、证明及应用，提高学生的空间想象力和类比、转化的能力，提高学生的逻辑推理能力． 重点： 直线与平面平行的判定、性质定理的应用； 难点： 线面平行的判定定理的反证法证明，线面平行的判定和性质定理的应用． 二、知识要点梳理 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 1.直线和平面垂直定义 如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足. 要点诠释： (1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同， 注意区别. (2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式. (3)若，则. 2.直线和平面垂直的判定定理 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 符号语言： 特征：线线垂直线面垂直 要点诠释： (1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视. (2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线 垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要. 知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角
一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 要点诠释： (1)直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线. (2)直线与平面垂直射影是点. (3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上. (4)一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是 0°的角. 知识点三、二面角 1.二面角定义 平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以 外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面 角或. 2.二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条构成的角叫做二面角的平面角. 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
第一章:空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1.知识与技能 (1通过实物操作,增强学生的直观感知。 (2能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (3会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 (4会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2.过程与方法 (1让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。 (2让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3.情感态度与价值观 (1使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时提高学生的观察能力。 (2培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点:让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具 (1学法:观察、思考、交流、讨论、概括。 (2实物模型、投影仪 四、教学思路 (一创设情景,揭示课题 1.教师提出问题:在我们生活周围中有不少有特色的建筑物,你能举出一些例子吗?这些建筑的几何结构特征如何?引导学生回忆,举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2.所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的,(展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体,你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗?这是我们所要学习的内容。 (二、研探新知 1.引导学生观察物体、思考、交流、讨论,对物体进行分类,分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2.观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片,它们各自的特点是什么?它们的共同特点是什么? 3.组织学生分组讨论,每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。(1有两个面互相平行;(2其余各面都是平行四边形;(3每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4.教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5.提出问题:各种这样的棱柱,主要有什么不同?可不可以根据不同对棱柱分类?
平面的基本性质 一、高考要求: 理解平面的基本性质、 二、知识要点: 1、平面的表示方法:平面就是无限延展的,就是没有边界的、通常用平行四边形表示平面,平面一般用希腊字母α、β、γ、…来命名,还可以用表示平行四边形的对角顶点的字母来命名、 2、平面的基本性质: (1)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有 点都在这个平面内、这时我们说,直线在平面内或平面经过直线、用 符号语言表示为:如果A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a?α、 (2)经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面、也可简单 地说成,不共线的三点确定一个平面、它有三个推论: 推论1:经过一条直线与直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面、 (3)如果两个平面有一个公共点,那么它们就有另外的公共点,并且 这些公共点的集合就是经过这个点的一条直线、这时我们称这两个平 面相交、用符号语言表示为:如果A∈α,A∈β,则α∩β=λ,且A∈λ、 3、有关概念:如果空间内的几个点或几条直线都在同一平面内,那么我们就说它们共面;如果构成图形的所有点都在同一平面内,则这类图形叫做平面图形;如果构成图形的点不全在同一平面内,则这类图形叫做立体图形、直线与平面都就是空间的子集,直线又就是平面的子集、 三、典型例题: 例1:已知E、F、G、H分别就是空间四边形ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且EF与GH 相交于点P、求证:点B、D、P在同一直线上、 证明: ∵E∈AB, F∈AD又AB∩AD=A ∴E、F∈平面ABD ∴EF?平面ABD 同理GH?平面CBD ∵EF与GH相交于点P ∴P∈平面ABD,P∈平面CBD, 又平面ABD∩平面ABD=BD ∴P∈BD即点B、D、P在同一直线上、 例2:如图,已知直线a∥b,直线m与a、b分别交于点A、B, 求证:a、b、m三条直线在同一平面内、
中职升高职数学真题汇编—立体几何 李远敬整理 一．选择题 1.XXXX08、若平面α∥平面β，直线 ?平面α，直线 ?平面β，那么直线，的位置关系是（ ） 平行 异面 平行或异面 相交 2.XXXX10、下列命题中正确的是（ ） ∥平面，直线∥平面则∥ ⊥直线，直线⊥直线则∥ ⊥平面，直线⊥平面则∥ ⊥平面，平面⊥平面则∥ 3.XXXX10在正方形ABCD 中，2AB =，PA ⊥平面ABCD ，且1PA =，则P 到直线BD 的距离是（ ） A B 2 C D 3 4.XXXX08 正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BC 与直线11D B 所成的角（ ） A ο90 B ο60 C ο45 D ο30 5.XXXX08、下列说法： ①γβαγβγα⊥?=?⊥⊥l l ,, ②b a b b ⊥?αα,//,// ③b a b a ⊥?⊥αα,//, ④b a b a ⊥?⊥⊥αα,, ⑤ββαα//,,a a ?⊥⊥ 说法正确的有（ ） A 、①②③ B 、③④⑤ C 、②③④ D 、①③⑤ 二．填空题 6.XXXX19．若直线m ⊥平面α，直线n ⊥平面α，则直线m 与n 的位置关系是 7.XXXX18、直二面角βα--l 内一点S ，S 到两个平面的距离分别为5和4，则S 到 l 的距离为 .
8.XXXX19 正方体1111D C B A ABCD 中，平面11D ABC 与平面ABCD 所成二面角的大小是_______________。 9.XXXX18、在长方体 － 中， ＝3， ＝４， ，则对角线 所成的角是 10.XXXX18、在空间，通过直线外一点与这条直线垂直的直线有 条. 三．解答题 11.XXXX26证明（10分） 已知：如题26图，是正方形所在平面外一点，是正方形对角线与 的 交点， 底面 ，为中点，为中点。 ⑴ 求证：直线∥平面 ； ⑵ 若正方形 边长为4， ，求：直线 与平面 的所成角的大 小. 12.XXXX26证明（10分） 如题26图，是二面角 内一点， 是垂足。 求证：。 O E P D C B A F L B C A 题26图
x x 职业技术教育中心 教案
复习引入： 新授： 1． 平面及其表示 常见的平面形象大都是矩形状的，当我们从适当的角度和距离去观察这些平面时，感到它们与平行四边形是一致的，因此，通常画一个平行四边形来 表示平面．图5-27(1)表示平放的平面，图5-27(2) 表示 竖直的平面．请注意它们画法之间的区别． 如果要画相交的两个平面，可以按图5-28所示的步 骤进行． 一个平面通常用小写希腊字母 α、β、γ、…表示，写在表示平面的平行四边形某一个顶角内部，记作“平面 α”、“平面β”,…，或用表示平面的平行四边形对角的两个大写英文字母标明，记作“平面AC ”或“平面BD ”，当然也可记作平面 ABCD (如图5-27)．应该注意，正像平面几何中直线是可以无限延伸一样，平面也是可以无限延展的，也就是说，它是没有边界的，我们用平行四边形仅仅表示了平面的一部分． 空间图形也可看作是空间点的集合，因此点、线、面的关系可用集合的关系来表示： ①点A 在直线l 上，记作A ∈l ，点A 不在直线l 上，记作A ?l ； ②点A 在平面α内，记作A ∈α，点A 不在平面α内，记作A ?α； ③直线l 在平面α内，记作l ?α； ④直线l 与直线m 交于点N ，记作l ?m ={N }，直线l 与直线m 没有交点，记作l ?m =?； ⑤直线l 与平面α交于点N ，记作l ?α={N }，直线l 与平面α没有交点，记作l ?α=?； ⑥平面α与平面β交于直线l ，记作α?β=l ，平面α与平面β不相交，记作α?β=?． 在以后的学习中，我们将经常用到这些记号． 课内练习1 1. 能不能说一个平面长2米，宽1米，为什么？ 2. 画一个平行四边形表示平面，并分别用希腊字母和大写英文字母表示这个平面． 3. 分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面． 4. 用符号表示下列点、线、面间的关系： (1)点A 在平面α内，但在平面β外； (2)直线l 经过平面α外的一点N ； (3)直线l 与直线m 相交于平面α内的一点N ； (4)直线l 经过平面α内的两点M 和N ． 5. 下面的写法对不对，为什么？ (1)点A 在平面α内，记作A ?α; (2)直线l 在平面α内，记作l ∈α； (3)平面α与平面β相交，记作α?β； (4)直线l 与平面α相交，记作l ?α≠?． 2. 平面的基本性质 基本性质： 图5-28 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 (第3题图) 图5-27(2) β D A B C D 图5-27(1) A D B C α
数学教学大纲 一、课程性质与任务 数学是研究空间形式和数量关系的科学，是科学和技术的基础，是人类文化的重要组成部分。 数学课程是中等职业学校学生必修的一门公共基础课。本课程的任务是：使学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。 二、课程教学目标 1. 在九年义务教育基础上，使学生进一步学习并掌握职业岗位和生活中所必要的数学基础知识。 2. 培养学生的计算技能、计算工具使用技能和数据处理技能，培养学生的观察能力、空间想象能力、分析与解决问题能力和数学思维能力。 3. 引导学生逐步养成良好的学习习惯、实践意识、创新意识和实事求是的科学态度，提高学生就业能力与创业能力。 三、教学内容结构 本课程的教学内容由基础模块构成。 1. 基础模块是各专业学生必修的基础性内容和应达到的基本要求。
2.基础模块分上下两册，分两学年学习，每学年128课时。 四、教学内容与要求 （一）本大纲教学要求用语的表述 1. 认知要求（分为三个层次） 了解：初步知道知识的含义及其简单应用。 理解：懂得知识的概念和规律（定义、定理、法则等）以及与其他相关知识的联系。掌握：能够应用知识的概念、定义、定理、法则去解决一些问题。 2. 技能与能力培养要求（分为三项技能与四项能力） 计算技能：根据法则、公式，或按照一定的操作步骤，正确地进行运算求解。 计算工具使用技能：正确使用科学型计算器及常用的数学工具软件。 数据处理技能：按要求对数据（数据表格）进行处理并提取有关信息。 观察能力：根据数据趋势，数量关系或图形、图示，描述其规律。 空间想象能力：依据文字、语言描述，或较简单的几何体及其组合，想象相应的空间图形；能够在基本图形中找出基本元素及其位置关系，或根据条件画出图形。 分析与解决问题能力：能对工作和生活中的简单数学相关问题，作出分析并运用适当的数学方法予以解决。
高三文科数学第二轮复习《立体几何》教案设计 一.复习目标 1 ?能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二侧画出它们的直观图； 2?会用球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式计算简单空间图形的表面积和体积; 3?使学生在理解空间直线、平面位置关系的定义的基础上，会运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系和简单命题； 4.在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力. 5?培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生的空间想象力、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法. 二?基础再现 1.三视图； 2.球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式； 3?空间直线的位置关系：平行、相交、异面； 4?直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系； 三.方法与技巧 1.在绘制三视图时要做“长对正、高平齐、宽相等”； 2.求空间几何体的表面积时要将空间问题转化为平面问题；求空间几何体的体积时有时要注意变换图形和利用分割、补形； 3?求异面直线所成的角的基本方法是：“作平行线，构成三角形”； 4.平行、垂直问题的转化： 线线U线面二面面； 5?判定线线、线面、面面平行与垂直的方法：(1)利用定义； (2 )利用判定定理； (3 )利用推论、结论 6?解立体几何综合题的成败在于审清题目，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略. 7?通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力. 四.典例分析 例1某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是() ￡I
2020届中职数学第九章《立体几何》单元检测 （满分100分，时间：90分钟） 一.选择题（3分*10=30分） 1、不共面的四个点可以确定的平面个数是 （ ）A 、1B 、3 C 、4 D 、无数 2、垂直于同一要直线的两条直线一定（ ）A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能 3、下列命题正确的是（） A、空间任意三点确定一个平面； B、两条垂直直线确定一个平面； C、一条直线和一点确定一个平面； D、两条平行线确定一个平面4、如果直线a ⊥b ，且a ⊥平面α，则 （ ） A 、b//平面α B 、b ?α C 、b ⊥平面α D 、b//平面α或b ?α5、两个球的体积比为8:27,则这两个球的表面积比是（ ） A、2:3 B、4:9 C、8:27 D、22:33 6、圆柱的轴截面面积为4，则它的侧面积为（ ）A ． π3 4B ．π 2 C.π 4D ．π 87.长方体1111D C B A ABCD -中,直线AC 与平面1111D C B A 的关系( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.无法确定 8、空间四面体A-BCD,AC=BD,E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四 边形EFGH 是（）A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形 9、如果平面的一条斜线段长是它在这平面上射影的3倍，那么这条斜线与平面所成角的正切值为( )A.2B ．2 C ．4 D ．2 210、如图，是一个正方体，则∠B 1AC= （ ）A 、30o B 、45o C 、60o D 、75o 第9题
二.填空题（4分*8=32分） 11、三条直线相交于一点可以确定平面的个数是_________.12、垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是_________. 13、已知平面α//β，且α、β间的距离为1，直线L 与α、β成60o 的角，则夹在α、β之间 的线段长为 .14、在正方体1111D C B A ABCD -中,与棱AA’异面的直线共有_____条.15、夹在两个平行平面间的平行线段________________. 16、四条线段首尾顺次连接，最多要以确定_____个平面 17、若a,b 分别为长方体相邻两个面的对角线，则a 与b 的关系是________.18、已知球的体积为36π，则此球的表面积为________. 三.解答题（共6题，共计38分） 19、（6分）画出长为4cm,宽为4cm,高为5cm 的长方体的直观图。 20、（6分）如图，空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥,AH BCD ⊥平面求证：BH CD ⊥. 21、（6分）长方体一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的顶点都在同一个球面上，求主穿上球面的表面积。 22、（6分）一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为4，求这个三棱锥的侧面积和体积。 23、（6分）如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90o ，AC=BC=1，若PA ⊥平面ABC ， P B C A D H C B A
第三章空间向量与立体几何 空间向量及其运算（一） 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量向量是怎样表示的呢 ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向
量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积： 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢 ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27． Ⅱ.新课讲授 ［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢相等的向量又是怎样表示的呢［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． ［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．
中职数学《立体几何》单元检测 一.选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1、直线L 与平面α内的两条直线垂直，那么L 与平面α的位置关系是 （ ） A 、平行 B 、L ?α C 、垂直 D 、不确定 2、如果直线a ⊥b ，且a ⊥平面α，则 （ ） A 、b//平面α B 、b ?α C 、b ⊥平面α D 、b//平面α或b ?α 3、已知,b ,,a b a b a ααα ?? P 直线和平面， 若，那么（ ） A 、b ?α B 、 b ⊥平面α C 、b//平面α D 、不确定 4、圆柱的轴截面面积为4，则它的侧面积为 （ ） A ．π34 B ．π2 C ．π4 D ．π8 5.长方体1111D C B A ABCD -中,直线AC 与平面1111D C B A 的关系( ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.无法确定 6、下列命题正确的是（ ） A 、空间任意三点确定一个平面； B 、两条垂直直线确定一个平面； C 、一条直线和一点确定一个平面； D 、两条平行线确定一个平面 7、在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于它到另一面的距离的233 倍， 那么这个二面角的度数是 （ ） A 、30o B 、45o C 、60o D 、90o 8、空间四面体A-BCD, AC=BD,E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 是 （ ） A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形 9、如图，是一个正方体，则∠ B 1AC= （ ） A 、30o B 、45o C 、60o D 、75o 10、如果平面的一条斜线段长是它在这平面上射影的3倍， 那么这条斜线与平面所成角的正切值为( ) A.2 B ．2 C ． D ．22 第5题 第9题
立体几何综合复习教学设 计 Prepared on 24 November 2020
《高三立体几何综合复习》教学设计 一、教材分析 立体几何是高中数学的重要概念之一。最近几年高考对立体几何的要求发生了很大的变化，注重空间的平行与垂直关系的判定，淡化空间角和空间距离的考查，因此立体几何的难度和以往相比有大幅度的降。因此依据考试说明的要求在高三复习中制定以下目标： 1.高度重视立体几何基础知识的复习，扎实地掌握基本概念、定理和公式等基础知识。 2.复习过程中指导学生通过网络图或框图主动建构完整的知识体系，尤其要以线线、线面、面面三种位置关系形成网络，能够熟练地转化和迁移。 3.重视模型复习，强化学生的“想图、画图、识图、解图”的能力，重视图形语言、文字语言、符号语言转化的训练。尤其重视对所画的立体图形、三视图与真实图形思维理解上的一致性。 4.在完成解答题时，要重视培养学生规范书写，注意表述的逻辑性及准确性，要注意训练学生思考的严谨性，在计算相关量时应做到“一作、二证、三算”。 做好本节课的复习，对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有重要的意义。 二、学情分析 在传统的高中数学立体几何的学习中，采取的基本方法：面面俱到的知识点整理，典型的例题解答，课堂的跟踪训练，灌输解题规律，这种模式由于缺乏新意，学生思维难以兴奋，发散性思维受到抑制，创新意识逐渐消弱，学习的效果可想而知。因此立体几何的学习只有深入到学科知识的内部，充分调动学生的思维，触及学生的兴奋点，这样才能达到高效学习的目的。 三、设计思想
在新课程理念下，在立体几何教学中我进行了研究性学习的尝试，所谓研究性学习就是应用研究性学习的理念、方法去指导立体几何，学生在教师的引导下尽可能地采取自主性、探究性的学习方式，不仅要注意基础知识的学习，更应该关注自身综合素质、创新意识的提高。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。 四、媒体手段 利用电子白板，幻灯片课件，几何画板软件。让学生分组自己动手利用几何画板绘制立体图形，分组讨论得出结论，充分调动学生的学习的积极性主动性，自主的发现问题，找到解决问题的方法。 五、教学目标 1、知识与技能 （1）理解三视图的定义，空间中几何体三视图。 （2）掌握利用空间向量来解决立体几何问题。 2、过程与方法 （1）加强数学语言的训练，培养数学交流能力。 （2）培养学生转化的思想，把空间问题转化为平面问题解决问题。 3、情感态度与价值观 调动学生的积极性，使他们主动地参与到学习中去。 六、教学重难点 重点：空间向量的应用 难点：三视图的转化，空间向量的应用 七、教学过程设计
精品文档 中职数学《立体几何》单元检测 一 . 选择题 题号12345678910 答案 1、直线 L 与平面内的两条直线垂直，那么L 与平面的位置关系是（） A、平行 B、L C、垂直 D、不确定 2、如果直线 a b，且 a 平面，则（） A、 b//平面 B、 b C、 b平面 D、b//平面或 b 3、已知直线a,b和平面，若 b,a, b a ，那么（） A、 b B、 b⊥平面 C 、b//平面D、不确定 4、圆柱的轴截面面积为4，则它的侧面积为（） 4 B ．2C．4D．8 A ． 3 5.长方体ABCD A1B1C1D1中,直线AC与平面 A1 B1C1D1的关系() A.平行 B.相交 C.垂直 D. 无法确定 6、下列命题正确的是（） 第 5 题 A、空间任意三点确定一个平面； B、两条垂直直线确定一个平面； C、一条直线和一点确定一个平面； D 、两条平行线确定一个平面 7、在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于它到另一面的距离的 2 3 倍， 3 那么这个二面角的度数是（） A、30o B、45o C、60o D、90o 8、空间四面体 A-BCD, AC=BD,E 、F、G、 H 分别为 AB 、BC、CD 、DA 的中点，则四边形 EFGH 是（） A 、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形 9、如图，是一个正方体，则B1AC=（） A、 30o B、 45o C、 60o D、75o 10、如果平面的一条斜线段长是它在这平面上射影的 3 倍， 第 9题 那么这条斜线与平面所成角的正切值为 () A. 2B．2C．4 D ．2 2
第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1．知识与技能 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法 （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。 （2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观 （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。 （2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。 （二）、研探新知 1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？ 3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？ 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ 6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。 7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。 8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。 9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。 10．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。 1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图） 2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？ 3．课本P8，习题1.1 A组第1题。 4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？ 5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？ 四、巩固深化 练习：课本P7 练习1、2（1）（2） 课本P8 习题1.1 第2、3、4题
中职数学立体几何测试题 （时间：60分钟 总分：100分） 得分：_________ 一、 单选题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1、直线L 与平面α内的两条直线垂直，那么L 与平面α的位置关系是 （ ） A 、平行 B 、L ?α C 、垂直 D 、不确定 2、如果直线a ⊥b ，且a ⊥平面α，则 （ ） A 、b//平面α B 、b ?α C 、b ⊥平面α D 、b//平面α或b ?α 3、已知,b ,,a b a b a ααα ?? 直线和平面， 若，那么（ ） A 、b ?α B 、 b ⊥平面α C 、b//平面α D 、不确定 4、圆柱的轴截面面积为4，则它的侧面积为 （ ） A ．π3 4 B ．π2 C ．π4 D ．π8 5、下列命题正确的是（ ） A 、空间任意三点确定一个平面； B 、两条垂直直线确定一个平面； C 、一条直线和一点确定一个平面； D 、两条平行线确定一个平面 6、在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于它到另一面的距离的23倍，那么这个二面角的度数是 （ ） A 、30o B 、45o C 、60o D 、90o 7、空间四面体A-BCD, AC=BD,E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 是 （ ） A 、平行四边形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形 8、如果直线a ⊥b ，且a ⊥平面α，则 （ ） A 、b//平面α B 、b ?α C 、b ⊥平面α D 、b//平面α或b ?α 9、如图，是一个正方体，则∠ B 1AC= （ ） A 、30o B 、45o C 、60o D 、75o 10、如果平面的一条斜线段长是它在这平面上射影的3倍，那么这条斜线与平面所成角的正切值为 （ ） A ． 2 B ．2 C ．4 D ．22 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 11、垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是_________ 12、已知平面α//β，且α、β间的距离为1，直线L 与α、β成60o 的角，则夹在α、β之间的线段长为 。 13、在正方体ABCD-A’B’C’D’中,与棱AA’异面的直线共有_____条. 14、夹在两个平行平面间的平行线段________________ 三、解答题（共30分） 15、（15分）一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为4，求这个三棱锥的侧面积和体积。 16、（15分）如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90o ，AC=BC=1，若PA ⊥平面ABC ，且PA=2。（1）证明BC ⊥PC （2）求直线BP 与平面PAC 所成的角。 财务优秀员工评语集锦 优秀员工的评选能够激发员工的工作积极性，能够让他们更好的在以后的工作中发光发热。查字典范文大全为大家整理了关于财务优秀员工评语范文的相关资料，希望对您有帮助。 P B C A
立体几何全部教案
第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1．知识与技能 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法 （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。 （2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观 （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。 （2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。（2）实物模型、投影仪 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。（二）、研探新知 1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？ 3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？ 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ 6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。 7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。 8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型 3
练习1 姓名：得分： 一、选择题： 1、直线L与平面α内的两条直线垂直，那么L与平面α的位置关系是（） A、平行 B、L?α C、垂直 D、不确定 2、如果直线a⊥b，且a⊥平面α，则（） A、b//平面α B、b?α C、b⊥平面α D、b//平面α或b?α 3、空间同垂直于一条直线的两条直线的位置关系（） A、一定是异面直线 B、不可能平行 C、不可能相交 D、异面、共面都有可能 4、一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为√15，这个三棱锥的体积是（） A、9 B、9/2 C、27/2 D、9√3/2 5、若直线L上有两点到平面α的距离相等且L?α，则直线L与α的位置关系为（） A、平行 B、相交 C、平行与相交 D、不能确定 6、如图，是一个正方体，则∠ B1AC= （） A、30o B、45o C、60o D、75o 7、如图是一个棱长为1的正方体，则A1B与B1C所成的角为（） A、30o B、45o C、60o D、75o 8、空间四面体A-BCD,AC=BD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是（） A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 D、正方形 二、填空题 9、共点的三条线段OA，OB，OC两两垂直，则OA与BC的位置关系是。
10、如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BB1=BC=b，则CD1与BB1所成角的余弦值是；BC1与A1C所成的角的度数是。 三、解答题 11.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90o，AC=BC=1，若PA⊥平面ABC，且PA=√2，（1）证明BC⊥PC （2）求直线BP与平面PAC所成的角。 12、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2a的菱形，∠BAD=60o，侧棱PA⊥平面ABCD 且PA=√3a，求： （1）二面角P-BD-A的大小。 （2）点A到平面PBD的距离。