1．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于D ，AB ＝a ，则DB ＝（ ） A ．
4
a B ．
3
a C ．
2
a D ．
4
3a 2．如图，AD 是△ABC 高线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则(1)AD 2＝BD ·CD (2)AD 2＝AE ·AB (3)AD 2
＝AF ·AC (4)AD 2＝AC 2－AC ·CF 中正确的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是半圆的三等分点，则∠C ＋∠E ＋∠D ＝( )
A ．135°
B ．110°
C ．145°
D ．120° 4．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D ，连结AD ，那么( )
A ．∠BAD ＋∠CAD ＝90°
B ．∠BAD ＞∠CAD
C ．∠BA
D ＝∠CAD D ．∠BAD ＜∠CAD
二、填空题
5．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ＝2，DB ＝1，则DC ＝______，AD ＝______．
6．在Rt △ABC 中，AD 为斜边上的高，S △ABC ＝4S △ABD ，则AB ∶BC ＝______．
7．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于点D ，且AD ＝3DB ，设∠COD ＝θ ，
则tan 2
2
θ
______．
8．如图，AB是⊙O的直径，CB切⊙O与B，CD切⊙O与D，交BA的延长线于E．若AB＝3，ED＝2，则BC的长为______．
9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，
(Ⅰ)求∠AOD的度数；
(Ⅱ)若AO＝8 cm，DO＝6 cm，求OE的长．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．
(1)求证：BC是⊙O切线；
(2)若BD＝5，DC＝3，求AC的长．
11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC．
(1)求证：∠ACO＝∠BCD；
(2)若BE＝2，CD＝8，求AB和AC的长．
专题十三 相似三角形定理与圆幂定理参考答案
习题13
一、选择题：
1．A 2．C 3．D 4．C 二、填空题
5．3,3 6．1∶2 7．
3
1
8．3 三、解答题
9．(Ⅰ)∵AB ∥CD ，
∴∠BAD ＋∠ADC ＝180°.∵⊙O 内切于梯形ABCD ，
∴AO 平分∠BAD ，有∠DAO ＝21
∠BAD ， 又DO 平分∠ADC ，有∠ADO ＝2
1
∠ADC ．
∴∠DAO ＋∠ADO ＝2
1
(∠BAD ＋∠ADC )＝90°，∴∠AOD ＝180°－(∠DAO ＋∠ADO )＝
90°．
(Ⅱ)∵在Rt △AOD 中，AO ＝8cm ，DO ＝6cm ， ∴由勾股定理，得
.cm 1022=+DO AO
∵E 为切点，∴OE ⊥AD ．有∠AEO ＝90°，∴∠AEO ＝∠AOD ． 又∠CAD 为公共角，∴△AEO ∽△AOD ． ∴
cm 8.4,==∴=?AD
OD
AO OE AD AO OD OE . 10．(1)连接OD ．∵OA ＝OD ，AD 平分∠BAC ，
∴∠ODA ＝∠OAD ，∠OAD ＝∠CAD ．∴∠ODA ＝∠CAD ． ∴OD ∥AC ．∴∠ODB ＝∠C ＝90°．∴BC 是⊙O 的切线． (2)过D 作DE ⊥AB 于E ．∴∠AED ＝∠C ＝90°．
又∵AD ＝AD ，∠EAD ＝∠CAD ，∴△AED ≌△ACD ． ∴AE ＝AC ，DE ＝DC ＝3．
在Rt △BED 中，∠BED ＝90°，由勾股定理，得
422=-=
DE BD BE ，设AC ＝x (x ＞0)，则AE ＝x ．
在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝BD ＋DC ＝8，AB ＝x ＋4，由勾股定理，得 x 2＋82＝(x ＋4)2．解得x ＝6．即AC ＝6．
11．(1)连结BD ，∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，
∴＝．∴∠1＝∠2．
又∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠A ．∴∠1＝∠2． 即：∠ACO ＝∠BCD ．
(2)由(1)问可知，∠A ＝∠2，∠AEC ＝∠CEB ．
∴△ACE ∽△CBE ．∴
CE
AE
BE CE =
．∴CE 2＝BE ·AE ． 又CD ＝8，∴CE ＝DE ＝4． ∴AE ＝8．∴AB ＝10．∴AC ＝
.548022==+CE AE
模拟题集锦：
1、 如图，已知⊙O 的直径5AB =，C 为圆周上一 点，4=BC ，过点C 作⊙O 的切线l ，过点A 作
l 的垂线AD ，垂足为D ，则CD =___________．
2、如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，3,1PA PB ==，
则圆O 的半径为 ，C ∠= .
3、如图，PAB 、PC 分别是圆O 的割线和切线（C 为切点），若3PA AB ==，则PC 的长为
A ．62
B ．6
C ．32
D ．3
l
O
A
D
C
B
A
B P
C
O
A
B
C O
P
4、如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦C D A B ⊥于点E ，已知
O 的半径为3，2PA =，则PC =_________，
OE =_________.
5、如图，圆O 和圆O '相交于A ，B 两点，AC 是圆O '的切线，AD 是
圆O 的切线，若BC ＝2，AB ＝4，则=BD _.
6、如右图:PA 切
O 于点A ，4PA =，PBC 过圆心O ，且与圆相交于B 、C 两点，
:1:2AB AC =，则O 的半径为 ．
7、如下图，在圆内接四边形ABCD 中, 对角线, AC BD 相交于
点E ．已知23BC CD ==，2AE EC =，30CBD ∠=， 则CAB ∠= 30 ，AC 的长是 6 ．
8、如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC =4，AB =6，则MP ·NP = 254
．
·
P
C
B
A D
E
O . .'O
C
O B
D
A B C
O
A
P
C D M N
O
B A
P
圆 【知识点梳理】 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； A
三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 ? d r > ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d r = ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点； 四、圆与圆的位置关系 外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+； 内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-； 内含（图5）? 无交点 ? d R r <-； 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧 AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 B D
圆幂定理及其应用 教学目标 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解决有关问题； 2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方法； 3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的 观点的教育. 教学重点和难点 相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题是难点. 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容. 2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系? 提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程，从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理. (1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例： 一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD 是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)
二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165) (2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外 一点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过 的切割线定理的推论(割线定理).(图7-166) (3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点 旋转，使C，D两点在圆上逐渐靠 近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD ＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167) (4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，可 得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168) 至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和切线长定理之间有着密切的联系. 3.启发学生理解定理的实质. 经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169. 观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R) 在图(1)中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF ＝(R-OP)(R+OP) ＝R2-OP2； 在图(2)中，PA·PB＝PT2＝OP2-OT2 ＝OP2-R2 在图(3)中，PA·PB＝PC·PD＝PT2 ＝OP2-R2. 教师指出，由于PA·PB均等于｜OP2-R2｜，为一常数，叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理. 二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行) 例1 如图7-170，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆
[文件] sxc3jja0008.doc [科目] 数学 [年级] 初三 [章节] [关键词] 圆/圆幂定理/应用 [标题] 圆幂定理及其应用 [内容] 教学目标 1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解 决有关问题； 2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方 法； 3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的 观点的教育. 教学重点和难点 相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题是难点. 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 1.根据图7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容. 2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系? 提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程， 从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理. (1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例： 一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)
二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165) (2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一 点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过的 切割线定理的推论(割线定理).(图7-166) (3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋 转，使C，D两点在圆上逐渐靠 近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD ＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167) (4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，可得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168) 至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和 切线长定理之间有着密切的联系. 3.启发学生理解定理的实质. 经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169. 观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R) 在图(1)中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF ＝(R-OP)(R+OP) ＝R2-OP2；
(完整)圆幂定理讲义(带答案) 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)圆幂定理讲义(带答案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为(完整)圆幂定理讲义(带答案)的全部内容。 1 / 29
圆幂定理 STEP 1:进门考 理念：1。检测垂径定理的基本知识点与题型。 2。垂径定理典型例题的回顾检测。 3. 分析学生圆部分的薄弱环节. (1）例题复习。 1.（2015?夏津县一模）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好都落在量角器 的圆弧上，且AB∥MN．若AB=8cm，则量角器的直径MN=cm． 【考点】M3：垂径定理的应用；KQ:勾股定理；T7：解直角三角形． 【分析】作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E,首先求得CD的长，即OE的长，在直角△A OE中，利用勾股定理求得半径OA的长,则MN即可求解． 【解答】解：作CD⊥AB于点D,取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E． 在直角△ABC中，∠A=30°，则BC=AB=4cm，在直角△BCD中,∠B=90°﹣∠A=60°， ∴CD=BC?sinB=4×=2(cm), ∴OE=CD=2, 在△AOE中，AE=AB=4cm, 则OA===2（cm），则MN=2OA=4（cm）．故答案是：4． 2 / 29
1．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于D ，AB ＝a ，则DB ＝（ ） A ． 4 a B ． 3 a C ． 2 a D ． 4 3a 2．如图，AD 是△ABC 高线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则(1)AD 2＝BD ·CD (2)AD 2＝AE ·AB (3)AD 2 ＝AF ·AC (4)AD 2＝AC 2－AC ·CF 中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是半圆的三等分点，则∠C ＋∠E ＋∠D ＝( ) A ．135° B ．110° C ．145° D ．120° 4．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D ，连结AD ，那么( ) A ．∠BAD ＋∠CAD ＝90° B ．∠BAD ＞∠CAD C ．∠BA D ＝∠CAD D ．∠BAD ＜∠CAD 二、填空题 5．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ＝2，DB ＝1，则DC ＝______，AD ＝______． 6．在Rt △ABC 中，AD 为斜边上的高，S △ABC ＝4S △ABD ，则AB ∶BC ＝______． 7．如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于点D ，且AD ＝3DB ，设∠COD ＝θ ， 则tan 2 2 θ ______．
8．如图，AB是⊙O的直径，CB切⊙O与B，CD切⊙O与D，交BA的延长线于E．若AB＝3，ED＝2，则BC的长为______． 9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点， (Ⅰ)求∠AOD的度数； (Ⅱ)若AO＝8 cm，DO＝6 cm，求OE的长． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D． (1)求证：BC是⊙O切线； (2)若BD＝5，DC＝3，求AC的长． 11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC． (1)求证：∠ACO＝∠BCD； (2)若BE＝2，CD＝8，求AB和AC的长．
圆幂定理 STEP 1:进门考 理念：1. 检测垂径定理的基本知识点与题型。 2. 垂径定理典型例题的回顾检测。 3. 分析学生圆部分的薄弱环节。 （1）例题复习。 1.（2015?夏津县一模）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好都落在量角器的圆弧上，且AB∥MN．若AB=8cm，则量角器的直径MN=cm． 【考点】M3：垂径定理的应用；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形． 【分析】作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E，首先求得CD的长，即OE的长，在直角△AOE中，利用勾股定理求得半径OA的长，则MN即可求解． 【解答】解：作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E． 在直角△ABC中，∠A=30°，则BC=AB=4cm，在直角△BCD中，∠B=90°﹣∠A=60°，∴CD=BC?sinB=4×=2（cm），∴OE=CD=2， 在△AOE中，AE=AB=4cm， 则OA===2（cm），则MN=2OA=4（cm）．故答案是：4．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形．
2.（2017?阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（） A．2cm B．cm C．2cm D．2cm 【考点】M2：垂径定理；PB：翻折变换（折叠问题）． 【分析】通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长． 【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA， ∵OA=2OD=2cm，∴AD===（cm）， ∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2cm．故选：D． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键． 3.（2014?泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）
1．在△ ABC中，∠ A∶∠ B∶∠ C＝1∶ 2∶ 3， CD⊥ AB 于 D，AB＝ a，则 DB＝（） a a a3a A．B．C．D． 4324 2．如图， AD 是△ ABC高线， DE⊥ AB 于 E，DF⊥ AC于 F，则 (1)AD2＝ BD·CD(2)AD2＝ AE·AB(3)AD2＝AF· AC(4)AD2＝ AC2－ AC· CF 中正确的有 () A． 1 个B． 2 个C．3 个D．4 个 3．如图， AB 是⊙ O 的直径， C， D 是半圆的三等分点，则∠C＋∠ E＋∠ D＝() A． 135°B． 110°C．145°D．120° 4．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D，连结 AD，那么 () A．∠ BAD＋∠ CAD＝ 90°B．∠ BAD＞∠ CAD C．∠ BAD＝∠ CAD D．∠ BAD＜∠ CAD 二、填空题 5．在 Rt△ABC中，∠ BAC＝ 90°， AD⊥ BC于 D， AB＝ 2， DB＝ 1，则 DC＝ ______， AD＝______．6．在 Rt△ABC中， AD 为斜边上的高，S△ABC＝4S△ABD，则 AB∶ BC＝______． 7．如图， AB 是半圆 O 的直径，点 C 在半圆上， CD⊥ AB 于点 D，且 AD＝ 3DB，设∠ COD＝，则 tan 2______． 2
8．如图， AB 是⊙ O 的直径， CB 切⊙ O 与 B，CD 切⊙ O 与 D，交 BA 的延长线于E．若 AB＝ 3，ED ＝2，则 BC的长为 ______． 9．如图，在梯形ABCD中， AB∥ CD，⊙ O 为内切圆， E 为切点， (Ⅰ)求∠ AOD的度数； (Ⅱ)若 AO＝8 cm， DO＝ 6 cm，求 OE的长． 10．如图，在△ ABC中，∠ C＝ 90°， AD 是∠ BAC的平分线， O 是 AB 上一点，以OA 为半径的⊙ O 经过点 D． (1)求证： BC是⊙ O 切线； (2)若 BD＝ 5， DC＝3 ，求 AC的长． 11．如图， AB 是⊙ O 的直径， CD 是⊙ O 的一条弦，且CD⊥ AB 于 E，连结 AC、 OC、BC． (1)求证：∠ ACO＝∠ BCD； (2)若 BE＝ 2， CD＝8，求 AB 和 AC 的长．
【精品】
（托勒密定理）四边形ABCD 内接于圆，求证：AC BD AD BC AB CD ?=?+ ?． 【解析】如图，在BD 上取一点P ，使其满足12∠=∠． ∵34∠=∠，∴ACD BCP △∽△，AC AD BC BP = ， 即AC BP AD BC ?=? ① 又ACB DCP ∠=∠，56∠=∠， ∴ACB DCP △∽△，AB AC DP CD = ，AC DP AB CD ?=?． ② ①+②，有AC BP AC PD AD BC AB CD ?+?=?+?． 即()AC BP PD AD BC AB CD +=?+?，故AC BD AD BC AB CD ?=?+?． 【教师备课提示】这道题主要考查利用圆幂定理证明四点共圆． （1）如图2-1，点P 为等边ABC △外接圆的?BC 上一点，线段PA 、PB 、PC 间的数量关系为____． （2）如图2-2，AB 为⊙O 的直径，∠ABD =45°，点C 为ABD △外接圆的?AB 上一点，线段CA 、CB 、CD 间的数量关系为____________． （3）如图2-3，30ABC ACB ∠=∠=?，点D 为ABC △外接圆的?BC 上一点，线段DA 、DB 、DC 间的数量关系为_____________． 图2-1 图2-2 图2-3 【解析】（1）PA PB PC =+；（2）2CA CB CD +=；（3）3DB DC DA +=． 【教师备课提示】这道题主要利用托勒密定理解决圆中的Y 字模型，建议讲2中方法． O D C B A B C P O g D A g O C D C A B D C 126345P A B
圆幂定理讲义(带答案 解析)
圆幂定理 STEP 1:进门考 理念：1. 检测垂径定理的基本知识点与题型。 2. 垂径定理典型例题的回顾检测。 3. 分析学生圆部分的薄弱环节。 （1）例题复习。 1.（2015?夏津县一模）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好都落在量角器的圆弧上，且AB∥MN．若AB=8cm，则量角器的直径MN= cm． 【考点】M3：垂径定理的应用；KQ：勾股定理；T7：解直角三角形． 【分析】作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E，首先求得CD的长，即OE的长，在直角△AOE中，利用勾股定理求得半径OA的长，则MN 即可求解． 【解答】解：作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E． 在直角△ABC中，∠A=30°，则BC=AB=4cm，在直角△BCD中，∠B=90°﹣∠A=60°， ∴CD=BC?sinB=4×=2（cm），∴OE=CD=2， 在△AOE中，AE=AB=4cm，
则OA===2（cm），则MN=2OA=4（cm）．故答案是：4． 【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形．
2.（2017?阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（） A．2cm B．cm C．2cm D．2cm 【考点】M2：垂径定理；PB：翻折变换（折叠问题）． 【分析】通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2OD，根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．【解答】解：过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA， ∵OA=2OD=2cm，∴AD===（cm）， ∵OD⊥AB，∴AB=2AD=2cm．故选：D． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键． 3.（2014?泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）
C．3个 是半圆的三等分点，则∠ C．145° ．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D，连结 B．∠BAD＞∠ D．∠BAD＜∠ AD⊥BC于D，AB＝2，DB 为斜边上的高，S△ABC＝4S△ABD，则AB C在半圆上，CD⊥AB于点 百度文库爱是看得见萨科技的沃尔克我去额咳咳，省得麻烦迫 ．
8．如图，AB是⊙O的直径，CB切⊙O与B，CD切⊙O与D，交BA的延长线于E．若 AB＝3，ED＝2，则BC的长为______． 9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点， (Ⅰ)求∠AOD的度数； (Ⅱ)若AO＝8 cm，DO＝6 cm，求OE的长． 10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D． (1)求证：BC是⊙O切线； (2)若BD＝5，DC＝3，求AC的长． 11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连结AC、OC、BC． (1)求证：∠ACO＝∠BCD； 百度文库爱是看得见萨科技的沃尔克我去额咳咳，省得麻烦迫 (2)若BE＝2，CD＝8，求AB和AC的长．
8cm ，DO ＝6cm ，. cm 102=DO ．有∠AEO ＝90°，∴∠AEO ＝∠AEO ∽△AOD ．.cm 8.4=AD OD 平分∠BAC ，
的直径，CD ⊥AB ，∴＝．∴∠． 又∵OA ＝OC A ．∴∠1＝∠2．即：∠ACO ，∠AEC ＝∠CEB ．．∴CE 2＝BE ·CE AE =．＝ 8022=+CE AE ，为圆周上一5C 的切线，过点作 l A ___________． CD =的切线，切点为，交圆于A PO O B ， . C ∠=
a a a 3a A. — B. — C. — D.—— 4 3 2 4 如图，AD是^ ABC高线，DE丄AB于E, DF丄AC于F,则(1)AD2= BD ? CD(2)AD2= AE- AB(3)AD2 =AF- A0(4)AD2= AC2- AC- CF 中正确的有( ) 2 . 3.A. 1个B. 2个 C. 3个 如图，AB是O O的直径，C, D是半圆的三等分点，则/ D. 4个 C+/ E+Z D=(
4. D. 120° 二、填空题 在RtAABC中，/ BAC= 90°, AD丄BC于D, AB= 2, DB= 1，贝U DC= 5. ,AD = 6. 在RtAABC 中，AD 为斜边上的高，&ABC= 4S A ABD，则AB : BC = 7. tan22 CD丄AB 于点D,且AD= 3DB，设/ COD=，贝U B C. ° A. 135 B. 110如图，AB是半圆
3. 2 AB 是O O 的直径，CB 切O O 与B , CD 切O O 与D ,交BA 的延长线于 E.若AB = 3, ED 则BC 的长 为 ________________ . (I )求/ AOD 的度数； (n )若 A0= 8 cm , D0= 6 cm ,求 OE 的长. 10.如图，在△ ABC 中，/ C = 90°, AD 是/ BAC 的平分线，O 是AB 上一点，以 OA 为半径的O O 经过点D . (1)求证：BC 是O O 切线； ⑵若BD = 5, DC = 3，求AC 的长. 11.如图，AB 是O O 的直径，CD 是O O 的一条弦，且 CD 丄AB 于E,连结 AC 0C 、BC. (1)求证：/ ACO =/ BCD; ⑵若BE = 2, CD = 8，求AB 和AC 的长. &如图, =2, 9.如图 , 在梯形 ABCD 中，AB// CD,
第四章 特瓦尔特定理及应用 【基础知识】 斯特瓦尔特定理 设P 为ABC △的BC 边上任一点（P B ≠，P C ≠），则有 222AB PC AC BP AP BC BP PC BC ?+?=?+?? ① 或 2222P C B P B P P C A P A B A C B C B C B C B C B C =? +?-??． ② 证明 如图4-1，不失一般性，不妨设90APC
圆补充定理及习题（20151218） 板块一：圆幂定理 （1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ， ∴PA PB PC PD ?=? （2）相交弦定理推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所 成的两条线段的比例中项。 即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2CE AE BE =? （3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =? （4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如图）。 即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ?=? A D B
1：如图，圆中两条弦AB,CD 相交于圆内一点P,已知PA=PB=4，PC=14 PD,求CD 的长 2：E 是圆内两弦AB 和CD 的交点，直线EF//CB,交AD 的延长线于F,切圆于G 。 求证(1) EFA DFE ??: (2)EF=FG 3：两圆相交于A,B 两点，P 为两圆公共弦AB 上任一点,从P 引两圆的切线PC,PD,求证PC=PD 4.如图，在半径为4的⊙O 中，AB 、CD 是两条直径,M 为OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E ，且EM>MC.连接DE ， DE 求EM 的长．
板块二：两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图：12O O 垂直平分AB 。 即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点，∴12O O 垂直平分AB 练习1：如图1，半径为5的两个等圆⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B ，公共弦AB=8．由点O 1向⊙O 2作切线O 1C ，切点为C ， 则O 1C 的长为 图1 图2 练习2：如图2，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B ．已知两圆的半径r 1=10，r 2=17，圆心距O 1O 2=21，公共弦AB 等于（ ） A ．2 B ．16 C ．6 D ．17 练习3：已知相交两圆的半径分别为5cm 和4cm ，公共弦长为6cm ，则这两个圆的圆心距是 cm ． 分析：此题综合运用了相交两圆的性质以及勾股定理．注意此题应考虑两种情况． 注意此题应考虑两种情况（图3和图4）． 练习4：如图5，⊙O 1和⊙O 2相交于点A ，B ，它们的半径分别为2和 ，公共弦AB 长为2，若圆心O 1、O 2在AB 的同侧，则∠O 1AO 2= 度． B A O1O2 ． C A B ． ． 1 o 2 o 图4 图5 图3 2
高中数学几何证明选讲过关模拟卷（十三） 高中数学 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） o 20D ∠=， 则1.如图，CD 是 O 的直径，AE 切O 于点B ，连接DB 。若 DBE ∠的大小为 A ．20° B ．40° C ．60° D ．70° 2.如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D , 且DB AD 3=, 设COD θ∠=,则2tan 2 θ ＝( ) A ．13 B ．1 4 C ．423- D ．3 3.已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为（ ） A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1 D ．x 2＋(y －1)2＝1 4.已知直线kx y =与圆???=+=t y t x sin 2cos 24（t 为参数）相切，则直线的倾斜角为 A 6π B 3π C 323ππ或 D 656ππ或 5.如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆上的点， 20=∠BAC ，弧 和弧 的长相等，DE 是圆O 的切 线，则=∠EDC A ． 70 B ． 40 C ． 20 D ． 35 6.如图4所示,圆O 的直径AB=6,C 为圆周上一点,BC=3过C 作圆的切线l,过A 作l 的垂线AD,垂足为D,则∠DAC = A.15? B.30? C.45? D.60? 7.在Rt ABC ?中,CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线,则该图中共有x 个三角形与ABC ?相似,则 x =( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，1 3 AE BF == 。动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）3 9.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y x -=和轴都相切，则该圆的标准方程是（ ） A ．3 2 7(3)()13 x y -+= = B ．22(2)(1)1x y -+-= C ．22 (1)(3)1x y -+-= D ．223()(1)12 x y -+-= 10.如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，BF⊥CE 于F ，那么S △BFC :S 正方形ABCD =（ ）． 姓名：__________班级：__________考号：__________ ●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●
圆的相关定理及其几何证明 典题探究 例1：如图，圆O 是ABC ?的外接圆，过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点D .若 CD =2AB AC ==，则线段AD 的长是 ；圆O 的半径是 . 例2：如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E （E 在A ,O 之间），,垂足为F ．若，，则 例3：如图已知PA 与圆O 相切于A ，半径OC OP ⊥，AC 交PO 于B ， 若1OC =,2OP =，则PA = ，=PB ． 例4：如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知30BPA ∠=?，11BC =，1PB =, 则PA = ,圆O 的半径等于 EF BC ^6AB =5CF CB ?AE =A B C O P P A
F 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．如图，已知直线PD 切⊙O 于点D ，直线PO 交⊙O 于点E,F. 若21PF PD ==，则⊙O 的半径为 ；EFD ∠= . 2. 如图，与切于点，交弦的延长线于点，过点作圆的切线交于点. 若，，则弦的长为_______. 3. 如图：圆O 的割线PAB 经过圆心O ，C 是圆上一点，PA ＝AC ＝1 2 AB ，则以下结论不正确．．．的是( ) A.CB CP = B. PCAC PABC = C. PC 是圆O 的切线 D. BC BABP = 4．如图，已知AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PC 切圆O 于点C ，CD OP ⊥于D ．若6CD =，10CP =，则圆O 的半径长为______；BP =______． 5．如图所示，以直角三角形ABC 的直角边AC 为直径作⊙O ，交斜边AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交BC 边于点E .则 =BC BE . AP O A DB P B O AP C 90ACB ∠=?3,4BC CP ==DB D C B P A O
专题27数形结合 例1 5提示作出B 点关于轴的对称点B '(2,-3)，连结AB '交轴于C ，则AB '=AC 十CB ' 为所要求的最小值. 例 2 D 提示设两直角边长为a ，b ，斜边长为c ，由题意得a +b +c =，x ab =21,又222c b a =+，得().424b b a --=.因a ,h 为边长且是整数.故当???>->-,04,02b b 得b<2，取34,1==a b 不是整数;当???<-<-,04,02b b 得b>4，要使a ,b 为整数，只有两种取法若b =5时，a =12(或b = 12,a =5);若b =8时，a =6(或b =6,a =8). 例3设AB =，则BC =2,AC =x 3, BE = x 21,DF =DA=.32,31x BD x =.在Rt △AEB 中求得AE=,,23x BF x =代入证明即可. 例4如图，作出函数x x y 52-=图象，由图象可以看出当a =0时，y =0与 x x y 52-=有且只有相异二个交点;当4250< a 时，y =a 与x x y 52-=图象有且只有相异二个交点. 例5由L c s c b s b a s a =+=+=+222 ①,知正数 c b a ,,适合方程.2L x s x =+当0≠x 时，有022=+-s Lx x ②，故c b a ,,是方程②的根.但任何二次方程至多只有两个相异的根，所以c b a ,,中的某两数必相同.设b a =,若a c ≠，由①得()()c a ac s a c s c a -=??? ??-=-2112，则ac =2s =a a h ，这样△ABC 就是以∠B 为直角的直角三角形，b >a ，矛盾，故a =c ，得证. 例6,ABC AOC BOC AOB S S S S ????=++Θ
【例题求解】 【例1】如图，⊙O l与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O l经过圆心O2，作⊙O2的直径BC交⊙O l于点D，EF 为过点A的公切线，若O2D=2 2，那么∠BAF= 度． (重庆市中考题) 思路点拨直径、公切线、O2的特殊位置等，隐含丰富的信息，而连O2O l必过A点，先求出∠D O2A的度数． 注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的辅助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通．同时，又是生成圆幂定理的重要因素． (2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解． 【例2】如图，⊙O l与⊙O2外切于点A，两圆的一条外公切线与⊙O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则⊙O l 与⊙O2的半径之比为( ) A．2：5 B．1：2 C．1：3 D．2：3 (全国初中数学联赛试题) 思路点拨添加辅助线，要探求两半径之间的关系，必须求出∠CO l O2 (或∠DO2O l)的度数，为此需寻求∠
CO1B、∠CO1A、∠BO1A的关系． 【例3】如图，已知⊙O l与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O l上一点，PB的延长线交⊙O2于点C，PA交⊙O2于点D，CD的延长线交⊙O l于点N． (1)过点A作AE∥CN交⊙O l l于点E，求证：PA=PE； (2)连结PN，若PB=4，BC=2，求PN的长． (重庆市中考题) 思路点拨 (1)连AB，充分运用与圆相关的角，证明∠PAE=∠PEA；(2)PB·PC=PD·PA，探寻PN、PD、PA 对应三角形的联系． 【例4】如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=2 4，大、小两圆半径差为2． (1)求大圆半径长； (2)求线段BF的长； (3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切． (宜宾市中考题)
学科教师辅导讲义 学员编号：年级：课时数： 学员姓名：辅导科目：学科教师： 授课类型T相交弦定理C切割线定理T相交弦定理与切割线定理综合星级★★★★★★★★ 授课日期及时段 教学内容
相交弦定理 （1）会在相应的图中确定相交弦定理的条件和结论 （2）能用圆幂定理解决有关问题 四 【知识点梳理】 1、相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。其可统一地表示为：过定点的弦被该点内分（或外分）成 的两条线段的积为定值（该点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值）。如图，即2 2r OP PB PA -=?＝定值。 相交弦定理通常是通过相似三角形而得到的，所以，研究圆中一些线段的比例关系总离不开相似三角形。 相交弦定理揭示了与圆相关的线段间的比例，应用较多，特别是在处理有关计算、作比例中项、证明角相等、四点共圆等问题时是重要的理论依据。 板块一：相交弦定理 相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等． 题型1相交弦定理 P O D C B A
如图，弦AB 和CD 交于O ⊙内一点P ，则PA PB PC PD ?=?． 相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项． 1、如下左图，在O ⊙中，弦AB 与CD 相交于点P ，已知3cm 4cm 2cm PA PB PC ===，，，那么PD = cm ． O P D C B A 2、如下中图，在O ⊙中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM MC =，若 1.54AM BM ==， ，则OC 的长为( ) A ．26 B ．6 C ．23 D ．22 M O C B A 3、如下右图，在O ⊙中，P 为弦AB 上一点，PO PC ⊥，PC 交O ⊙于C ，那么( ) A ．2OP PA P B =? B ．2P C PA PB =? C ．2PA PB PC =? D ．2PB PA PC =? O P C B A 4、在△ABC 中，AM 、AD 分别是其中线和角平分线，⊙ADM 交AB 于L ，交AC 于N 。 求证：BL ＝CN 。
【点评】 本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中， 常用 的方法是转化为解直角三角形． 圆幂定理 STEP 1: 进门考 理念： 1. 检测垂径定理的基本知识点与题 型 2. 垂径定理典型例题的回顾检测。 3. 分析学生圆部分的薄弱环节。 1）例题复习 1. （2015?夏津县一模）一副量角器与一块含 30°锐角的三角板如图所示 放置，三角板的直角顶点 C 落在量角器的直径 MN 上，顶点 A ，B 恰好都落在量角 器的圆弧上，且 AB ∥MN ．若 AB=8cm ，则量角器的直径 MN= cm ． 【考点】 M3：垂径定理的应用； KQ ：勾股定理； T7：解直角三角形． 【分析】 作 CD ⊥ AB 于点 D ，取圆心 O ，连接 OA ，作 OE ⊥AB 于点 E ，首先求得 CD 的长，即 OE 的长，在直角△ AOE 中，利用勾股定理求得半径 OA 的长，则 MN 即可求解． 解答】 解：作 CD ⊥AB 于点 D ，取圆心 O ，连接 OA ，作 OE ⊥ AB 于 点 E ． 在直角△ ABC 中，∠ A=30°，则 BC= AB=4cm ， 在直角△ BCD 中，∠ B=90°﹣∠ A=60°， =2 （cm ）， ∴ OE=CD=2 ， 在△ AOE 中， AE= AB=4cm ， ∴CD=BC?sinB=×4 则 OA= = =2 （ cm ）， 则 MN=2OA=4 （ cm ）． 故答案是： 4 ．
2. （2017?阿坝州）如图将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过 【考点】 M2：垂径定理； PB ：翻折变换（折叠问题）． 【分析】 通过作辅助线， 过点 O 作 OD ⊥AB 交 AB 于点 D ，根据折叠的性质可知 OA=2O ，D 根据 勾股定理可将 AD 的长求出，通过垂径定理可求出 AB 的长． 【解答】 解：过点 O 作 OD ⊥ AB 交 AB 于点 D ，连接 OA ， ∵OA=2OD=2c ，m ∴ AD= = = （ cm ）， 点评】 本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键． 3. （2014?泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙ P 的圆心坐标是（ 3，a ） a >3），半径为 3，函数 y=x 的图象被⊙ P 截得的弦 AB 的长为 ，则 a 的值 A ．4 考点】 M2：垂径定理； F8：一次函数图象上点的坐标特征； KQ ：勾股定理． cm D ．2 cm 故选： D ． cm ．