目 录
1引言 .................................................................................................................... 1 2无界区域上的二重积分 ............................................................................. 1 2.1定义 .................................................... 1 2.2(,)D
f x y d σ
??
收敛的判定 (2)
2.3B 函数与Γ函数的联系 ...................................... 4 3无界函数的二重积分 .................................................................................. 9 3.1定义 ..................................................... 9 3.2判定定理................................................ 9 3.3无界函数计算 ............................................ 10 参考文献 ........................................................................................................... 11 致谢 .. (12)
二重积分的反常积分
数学系本0601班魏慧
指导教师：梁素萍
摘要：本文探究了二重积分中的两种反常积分，即无界区域上的二重积分和无界函数的二重积分，分别从定义及其判别法两个方面研究了关于二重反常积分的敛散性，同时还计算了泊松(Poisson)积分，并用其证明了B函数与Г函数的关系式，鲜明地反映反常二重积分在证明某些题目时的优越性。
关键词：二重积分，反常，广义。
Double integral of the improper integral
Name: Wei Hui
Class0601, Mathematics Department
Tutor: Liang Suping
Abstract：This paper discusses the double integral of the two kinds of abnormal points, namely the unbounded regional double and unbounded function, the double integral respectively from two aspects of definition and research method about double abnormal integral convergence, also calculate d, pine (Poisson tabor, and its proof) Г function with the B function equation, vividly reflected abnormal double to prove some questions in the superiority.
Key words: Double integral, Abnormal , Generalized.
1引言
与定积分相同， 我们也可以把二重积分推广到积分区域是无界的和被积函数是无界的两种情形，统称为反常二重积分。
2无界区域上的二重积分
2.1定义
反常二重积分是数学分析中的一个重要内容，用它来计算泊松(Poisson )积分，或是用它来证明B 函数与Г函数的关系式，都是十分简捷的。在概率、统计、数理方程等学科中,反常二重积分也被广泛的引用。所以,对反常二重积分给出一个严格、明确而又易于运用的定义,是十分有益的。
定义1 (,)f x y 为定义在无界区域D 上的二元函数，若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线γ，(,)f x y 在曲线γ所围的有界区域E γ
与D 的交集E γ D =D γ上二重可积。令d γ=m in (,)}x y γ∈，若存在有限极限： (,)lim
(,)d D
D J f x y d f x y d γγ
σσ→∞
=
=??
??
且与γ的取法无关，则称(,)f x y 在D 上的反常二重积分收敛，并记 (,)l i m (,)d D
D J f x y d f x y d γγ
σσ→∞
=
=
??
??; （1）
否则称(,)f x y 在D 上的反常二重积分发散，或简称(,)D
f x y d σ??发散。
2.2 (,)
D
f x y dσ
??
定理1 设在无界区域D上(,)0
f x y≥，12
,,,,
n
γγγ
为一列包围原点的光滑封闭曲线序列，满足
(i)(,)}()
n n
d x y n
γ
=∈→∞→∞；
(ii) sup(,)
n
n
D
I f x y dσ
=<+∞
??，
其中
n n
D E D
= ，n E为nγ所围的有界区域，这时反常二重积分(1) 必定收敛，并且(,)
D
f x y d I
σ=
??
证设'γ为任何包围原点的光滑封闭曲线，它所围成的区域记为'E，并记
''
D E D
= 。因为li m n
x
d
→∞
=+∞，因此存在n，使得'n
D D D
??。由于(,)0
f x y≥，所以有
'
(,)(,)
n
D
D
f x y d f x y d I
σσ
≤≤
????
另一方面，因为
sup(,)
n
n
D
I f x y dσ
=??，
故对任给的0
ε>，总有
n，使得
(,)
n
D
f x y d I
σε
>-
??
因而对于充分大的
'
n
D D
?，有
'
(,)
D
f x y d I
σε
>-
??
再由 '
(,)D
I f x y d I
εσ-<≤??
可知反常二重积分
(,)D
f x y d
σ??
存在，且等于I 。
由定理 1的证明容易看到有以下定理：
定理2 若在无界区域D 上(,)0f x y ≥，则反常二重积分 (1) 收敛的充要条件是：在D 的任何有界子区域上(,)f x y 可积，且积分值有上界。 例1 计算广义积分2
2
2
()
x
y R
e d σ
-+??
解：对广义积分2
2
2
()
x
y R
e d σ
-+??，取圆a D ：222x y a +≤，则
2
2
2
()
(1)
a
x y a
D e
d e
σπ-+-=-??
显然a →∞时2a D R →，因此有
22
2
()
x y R
e
d σ
-+??=22
()
lim
lim a
x y a a D e
d σ-+→+∞
→+∞
=??2
(1)a
e
π--π=
例2 利用
22
2
()
x y R
e
d σ
-+?? π=计算2
x e dx +∞
--∞
?.
解：对广义积分2
2
2
()
x y R
e
d σ
-+?? π=，若选择正方形方式扩展，取l D :||x l ≤，
||y l ≤，则
σd e
l
D y x ??
+-)
(2
2dy e
dx
l
l
y
x
l
l
?
?
-+--=
)
(2
2
dx dy e
e
l
l
y
x
l
l ][2
2
??----?=
dx dy e
e
l
l
y
x
l
l ][2
2
?
?----=
dx e
dy e
l
l
x
l
l
y
??
----?=
2
2
2
]
[2
dx e
l
l
x
?--=
显然当l →+∞时有2l D R →，因此有
σσd e
d e
l
D y x l y x ??
??
+-+∞
→+-=)
(R
)
(2
22
2
2lim
2
][l i m 2
dx e
l
l
x
l ?--+∞
→=2
][2
dx e
x
?
+∞
∞
--=
由此得到π=?+∞
∞
--dx e x 2
注：事实上概率论中很重要的泊松积分2
x
e
dx
+∞--∞
?
的计算有更为简便的算法，
因2
x e -的原函数不能用初等函数表示，故用一元广义积分的方法不能求出该积分的值。 但2
x
I e
dx +∞--∞
=
?
2
y
e
dx +∞--∞
=
?
2
2
22
2x
y
x y I e
d x e
d x e
d x d y
π+∞+∞+∞+∞-----∞
-∞
-∞
-∞
?=?==???
?
2
x
I e
d x +∞--∞
?=
=
?
若在泊松积分2
x
e dx
+∞-
-∞
?
中令x y
=
，则
2
2
x
dx +∞-
-∞
=
?
2
2
1x
d x +∞-
-∞
=?
而此式中的被积函数2
2
()
x
x ?-
=是统计学中常用的标准正态分布的密度
函数。
小结： 在计算反常二重积分时，一般选择有利于计算的特殊区域(如圆、矩形等)扩展方式，讨论相应极限的存在性。 2.3B 函数与Γ函数的联系 证明: 若0,0p q >>,则
()()(,)()
p q B p q p q ΓΓ=
Γ+
证 对于Γ函数， 令2x u = 则2dx udu =， 于是2
1
21
()2p x
p u
p x
e dx u
e
du +∞
+∞
----Γ==?
?
从而
2
2
21
21
()()4p x
q y
p q x
e
dx y
e
dy +∞+∞
----ΓΓ=??
?
2
2
21210
lim 4R R
p x q y R x e dx y e dy ----→∞
=???
令[0,][0,]R D R R =?，由二重积分化为累次积分的计算公式，有
22
21
21
()
R
p q x y D x
y
e
d σ
---+??
2
2
21210
R
R
p x
q y
x
e
dx y
e
dy ----=
??
?
所以 2
2
2121()
()()lim 4R
p q x
y R D p q x y e d σ
---+→∞
ΓΓ=??
2
2
2121()
4p q x
y D
x y e d σ
---+=?? （2）
这里D 为平面上第一象限。下面讨论(2) 式右边的反常二重积分，记 22
2
{(,)|,0,0}.
r D x y x y r x y =+≤
≥
≥ 于是有
2
2
2121()
()()4p q x
y D
p q x y e d σ
---+ΓΓ=??
2
2
2121()
lim 4r
p q x
y r D x y e d σ
---+→∞
=??
对上式积分应用极坐标变换，则得
2
2()2
21
21
200
()()lim 4cos
sin
r p q p q r
r p q d r
e
rdr
π
θ
θθ+----→∞
ΓΓ=??
2
21
21
2()2
2
lim 2cos
sin
2r
p q p q r r d r
e
rdr
π
θθθ--
+-
-→∞
=???
2121
20
2c o s s i n ()
p q d p q
π
θ
θθ--
=Γ+? 又21
21
20
(,)2sin
cos
q p B p q d π
???--=?
∴()()(,)()p q B p q p q ΓΓ=Γ+.
定理3(比较判别法) 设D 是平面2R 中无界区域，(,),(,)f x y g x y 是D 上的函数， 在D 的任何有界可求面积的子区域上可积，并且
0(,)(,)f x y g x y ≤≤
。
那么 (1)当(,)D
g x y dxdy ?? 收敛时， (,)D
f x y dxdy
??
收敛时；
(2)当
(,)D
f x y dxdy
??
发散时，
(,)D
g x y dxdy ?? 发散时。
例3 设0(,)m x y M ?<≤≤，讨论
2
2
01
(,)
(1)p
y x y dxdy x y ?≤≤++??
的敛散性。
解： 01y ≤≤为无限带状区域，
2
2
2
2
2
2
|(,)|(1)
(1)(1)
p
p
p
m x y M x y x y x y ?≤
≤
++++++
所以原积分与积分
2201
1
(1)
p
y dxdy x y ≤≤++??
同时敛散
而后者当0p ≤时明显发散，下面只需讨论0p >的情况。
因01y ≤≤时
2
2
2
2
1110(2)
(1)
(1)
p
p
p
x x y x ≤
≤
≤
++++
在[],][0,1A A -?上取积分，并令A →+∞，可知：
2
2
2201
(2)
(1)(1)
p
p
p
y dx dxdy
dx x x y x +∞+∞-∞
-∞
≤≤≤
≤
++++?
??
?
此式对于极限为有限数或正无穷都是对的，由此可知，12
p >时积分收敛。
从左边看，知12
p ≤
时积分发散。总之，原积分当且仅当12
p >
时收敛。
定理4 设D 是平面2R 中无界区域， ()y x f ,在D 上的可积函数的充分必要条件是()|,|y x f 在D 上的可积。
证明 充分性 设|(,)|f x y 在D 上的可积，令
??
?<≥=+
;
0),(,
,0),(,
0),(),(y x f y x f y x f y x f
?
?
?>≤-=-
;
0),(,,0),(,
0),(),(y x f y x f y x f y x f
显然,，()()|,|,0y x f y x f ≤≤±，所以
()y x f
,±
在D 上的可积。故
()y x f ,=()y x f ,+-()y x f ,-也在D 上的可积
必要性 用反证法. 设(,)f x y 在D 上的可积， 但|(,)|f x y
=
()y x f
,+
+
()y x f
,-
在D 上的不可积 ，即
()y x f
,+
和
()y x f
,-
至少有一个不可积。
不妨设()y x f
,+
不可积，那么对任意正数K ， 存在一条曲线Γ ，它从D 割出有
界的D (Γ)满足：??Γ+≥)
(),(D K dxdy y x f . 一般地,由归纳可得，存在一族分段光滑
曲线{}n Γ，它们将D 分割出有界子区域),2,1(),( =Γ=k D D k k 满足 ????n D D D 21,及+∞=Γ+∞
→)(lim n n d
并且
??
??++>+
1
),(2),(n n
D D n dxdy y x f dxdy y x f
(n=1,2,……)
即
??
??
-+
++>
n
n n
D D D n
dxdy y x f dxdy y x f
1),(),( (n=1,2,……)
因()y x f , 在D 上可积， (,)f x y 在n n D D -+1上可积，容易得()y x f
,+
在n
n D D -+1上可积。 其Darboux 小和收敛于??
-+
+n
n D D dxdy
y x f
1),(，所以，当把n n D D -+1充分细
的分划P ：
)
()
2()
1(,...,,n s n
n n σσσ，
其面积分别是:)()2()1(,...,,n
s n n n σσσ???
记 }),(|),(min{)()(i n i n y x y x f m σ∈=+， n s i ,....,2,1==，有
>
?∑
=n
s i i n
i n m 1
)
()
(σ
1),(1),(1-+>
-??
??
-+
+n
n n
D D D n dxdy y x f dxdy y x f
(1,2,)n =
记n P 为0)(>i n m 的小区域的并，那么
??
≥
+
n
P dxdy y x f
),(∑=?n
s i i n
i n
m
1
)()(σ
1),(-+>
??
n dxdy y x f n
D (1,2,)n = .
令n E 为n D 和n P 的并，
??
??
??
+
=
n
n
n
D P
E dxdy
y x f dxdy y x f dxdy y x f ),(),(),(
??
??
+
+
=
n
n
D P dxdy
y x f
dxdy y x f ),(),(
????
->+
-≥+
n
D P n dxdy y x f
dxdy y x f 1),(),((1,2,)n = .
如果n E 不是一通区域，我们可以作几个长条矩形连接各个不相交的区域，使得这些长条矩形和原有的所有区域形成连通的区域记为Σn ，这些长条矩形的取法，使得
2),(-≥??
∑n dxdy y x f n
(1,2,)n =
显然，n 可以充分大，与(,)f x y 在D 上的可积矛盾。
注 对于反常定积分，绝对收敛的反常积分一定收敛， 反之不然。而在反常二重积分中，绝对收敛的反常积分一定收敛，反之亦然。出现这种区别的原因，是因为直线上的点是有序的，而在平面上的点是无序的。
定理5 (柯西判别法) 设(,)f x y 在无界区域D 的任何有界子区域上可积， D 中的点(,)x y
到原点的距离为r =
(i)若当 r 足够大时, |(,)|p
c f x y r
≤
（c 为正常数），则当2p >时，反常二
重积分(,)D
f x y d σ??收敛；
(ii)若(,)f x y 在D 上满足|(,)|p
c f x y r
≥
其中D 包含有以原点为顶点的无限
扇形区域,则当2p ≤时，反常二重积分(,)D
f x y d σ??发散。
证：记{(,)}r
D x y D r =∈≤，则
(i)因为对任意1R >，
1
1
\|
(,)||
(,)||(,)|R
R D D D D f x y d f x y d f x y d σσσ
=
+
??????
1
20
1
|(,)|R
p
D c f x y d d rdr
r
πσθ≤
+???
?
1
21|(,)|22p
D
R
f x y d c
p σπ--=+?-??
1
2|(,)|2
D c f x y d p πσ≤
+
<+∞
-??
所以
(,)D
f x y d σ
??
收敛
(ii)设D G ?，其中{(,)(,sin ),|[,],[0,)}G x y rcos r r θθθαβ==∈∈+∞. 对任意1R >，|(,)||
(,)|D
G
f x y d f x y d σσ
≥
????
21
1
2()2P
R
p
c R
d rdr c R r
P
βα
θπ--≥=→+∞→+∞-??
因此
(,)D
f x y d
σ??
发散
3无界函数的二重积分 3.1定义
定义2 设P 为有界区域D 的一个聚点，(,)f x y 在D 上除点P 外皆有定义，且在P 的任何空心邻域内无界，?的为D 中任何含有P 的小区域，(,)
f x y 在D -?上可积，又设 d 表示?的直径。 若极限 0
l i m (,)d D f x
y d σ→-?
??存在且有限, 并与?的取法无关，则称(,)f x y 在D 上的反常二重积分收敛，记作
(,)lim
(,)d D
D f x y d f x y d σσ
→-?
=??
??
否则称反常积分
(,)D
f x y d σ
??
发散。
与无界区域的反常二重积分一样，可以对无界函数反常二重积分也可以建立相应的收敛定理。 3.2判定定理
定理6 (柯西判别法) 设(,)f x y 在有界区域D 上除点00(,)P x y 外处处有定义， 点P 是它的瑕点， 则下面两个结论成立： (i) 若在点P 的附近有 |(,)|c f x y r
α
≤
其中 c 为常数，
r =，
则当2α<时，反常二重积分
(,)D
f x y d σ
??
收敛；
(ii)若在点P 的附近有|(,)|
a
c f x y r
≥且D 含有以点P 为顶点的角形区域，则当
2a ≥时反常二重积分(,)D
f x y d σ??发散。
3.3无界函数计算
例：
求
2
2
1
1x y dxdy
+≤??
解：显然函数是区域上.(0,0) 可能为奇点，
取Δ: 222x y ρ+≤ (1)ρ< ， 那么
2
2
2
2
2
1
1
11
lim
x y x y dxdy dxdy
ρρ→+≤≤+≤=??
??
= 21
1
1lim m d dr
r
π
ρ
ρθ-→??
20012lim (1),222lim ln ,2m
m m m ρρπρπρ-→→?-≠?-=?=?
?
当2m <
时，
2
2
1
1x y dxdy
+≤??
=
22m
π-
当2m ≥时
,
2
2
1
1x y dxdy
+≤??
发散.
参考文献
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印）；
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息，
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[10]李银奎. 概率积分的几种计算方法[J].青海师专学报, 2002, (05) .
致谢
时光如梭，短暂而有意义的四年大学生活即将结束，此时看着毕业设计摆在面前，我感慨万千。它不仅承载了我四年来的学习收获，更让我学会了如何求学、如何进行科学研究甚至如何做人。回想起四年的学习生活，有太多的人给我以帮助与鼓励，教导与交流。在此我将对我的恩师们，还有所有的同学们表示我的谢意！
首先，衷心感谢我的恩师梁素萍老师对我的悉心教诲和指导！在跟随梁老师的这段时间里，我不仅学到了许多专业知识，同时也学习到了他严谨求实、一丝不苟的治学态度和踏踏实实、孜孜不倦的工作精神，它将使我受益终生。在此我对杨老师的教育和培养表示衷心的感谢！
同时我还还要感谢学校领导和数学系的师生对我日常生活的关心和帮助，思想上的激励和启发，以及为我提供了良好的学习环境。谢谢你们！
数学三考察范围 考研数学三大纲考试科目微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构考试形式和试卷结构 1、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟． 2、答题方式 答题方式为闭卷、笔试． 3、试卷内容结构 微积分56％ 线性代数22% 概率论与数理统计22％ 四、试卷题型结构 试卷题型结构为： 单项选择题选题8小题，每题4分，共32分 填空题6小题，每题4分，共24分 解答题（包括证明题）9小题，共94分考试内容之微积分一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限： 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念． 6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．
7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系． 8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L'Hospital）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 考试要求 1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程． 2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数． 4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分． 5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用． 6．会用洛必达法则求极限． 7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用． 8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形． 三、一元函数积分学 考试内容 原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式
定积分、二重积分、三重积分、曲线和曲面积分统称为黎曼积分，是高等数学研究的热点。定义了定积分、二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分的划分、逼近、求和、极值等概念。最后，将它们简化为特定结构和公式的限制。定义可以用统一的形式给出： 从上述积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平坦的，三重积分的区域是主体。上述三种积分的概念、性质和计算方法是相似的，在逼近过程中，得到的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，曲线和曲面积分转化为定积分或二重积分的方法可以用来计算曲线和曲面积分。 曲面积分的形式如下： \begin{equation*}\int{S}\stackrel→{F}·d\overArrowRow{a}\end{equation*} 这意味着在向量场中，我们需要对向量场中的曲面s进行积分，D/stacklel→{a}表示曲面上任何一点垂直于Δs方向的方向向量（Δs代表微分曲面上的任何点），即它只代表一个方向。二者之间的数学关系是点乘，点乘的结果是矢量在垂直于Δs方向（即右箭头
{a}）上任何一点的分量向量。最后，利用{f}·D{a}对整个曲面进行积分，即不断增加曲面上每个点的点乘结果。求某向量场中曲面s上垂直于Δs方向的所有子向量之和。 换句话说，曲面积分表示向量场{f}与曲面s相交的程度，因此，它也被生动地称为通量。 在这里，我们可以说明为什么麦克斯韦方程组的积分形式的二重积分也被称为电通量和磁通量。 根据点乘的几何定义，由于{f}与{a}D/stacklel→{a}之间存在点积 \超右箭头{a}·\overarrowRow{b}=|\overarrow{a}| | \\ overArrowRow{b}| cos\theta\qquad（0≤\theta≤\pi） 如果stacklel→{f}与s平行，则所有向量的方向垂直于{overarrowRow}的{a}，则cos ＜theta=cos（＜pi/2）=0，其中点积为0，表面积为0。
第一节 二重积分的概念与性质 一、内容要点 1、引例 例1曲顶柱体的体积 例2平面薄片的质量 通过两个实际意义不同的例子，引出所求量可归结为同一形式的和式的极限，进而一般地抽象出二重积分的定义。 2、二重积分的概念：注意讲清楚定义中两个“任意性”及和式极限中各符号的意义。 3、二重积分的性质1-6，注意将其与定积分性质加以比较。 例3关于估值定理的应用 例4关于中值定理的应用 4、二重积分的几何意义——曲顶柱体的体积。 二、教学要求和注意点 理解二重积分，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 第二节 二重积分的计算法 一、内容要点 利用直角坐标计算二重积分 1、从几何入手，利用计算“平行截面面积为已知的立体的体积”方法，将二重分化为二次积分： ①若D 为X —型区域：{}b x a x y x y x ≤≤≤≤),()(),(21?? 则 ????=D x x b a dy y x f dx d y x f )()(21),(),(??σ ②若D 为Y —型区域：{}d y c y x y y x ≤≤≤≤),()(),(21?? 则 ????=D y y d c dx y x f dy d y x f )()(21),(),(??σ ③若D 既非X —型，又非Y —型区域，则将D 划分为若干子区域，使每一个子区域为X —型或Y —型。 2、介绍“对称性”在二重积分计算中的应用。 例1化二重积分为二次积分并求值，通过例子说明确定积分限的方法。 例2更换积分次序并计算，通过该例说明选择积分次序的重要性。
例3关于利用对称性计算二重积分的例子。 例4被积函数为绝对值函数、符号函数，取最大值或最小值等函数的例子。 利用极坐标计算二重积分 1、介绍极坐标下二重积分的换元公式。 2、何时选用极坐标进行计算，一般说来，当积分域D 的边界曲线用极坐标方程表示比较简单或被积函数用极坐标表示比较简单，可考虑用积坐标计算。 3、确定积分上下限的办法。 例1将直角坐标系下的二次积分化为极坐标系下的二次积分 例2利用二重积分计算概率积分 dx e x 2 0-+∞? 例3将极坐标系下的二次积分化为直角坐标系下的二次积分 例4利用极坐标计算二重积分 二、教学要求和注意点 1、掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法 2、将重积分化为累次积分计算时，积分限的确定要保持每个单积分的下限小于上限，因此在交换二次积分次序时应注意符号问题。 3、在二重积分的计算时应尽量利用区域和被积函数的对称性以简化计算。 第四节 三重积分 一、内容要点 1、三重积分的概念，存在性及性质 2、三重积分在直角坐标系下的计算 ①先单积分后二重积分 ②先二重积分后单积分 3、更换积分次序 例1将三重积分化为三次积分 例2更换积分次序 例3先二重积分后单积分 4、柱面坐标系下三重积分的计算。 5、何时选用柱面坐标——当Ω是柱形，锥形或旋转体且在坐标面上的投影是圆域或其部分，或者被积函数含有式子)(22y x +?等时，常用柱面坐标计算。 6、球面坐标系下三重积分的计算。 7、何时选用球面坐标——当Ω是球体或其部分，或被积函数含有式子)(222z y x ++?
反常二重积分 一、无界区域上的二重积分 与一元函数在无限区间上的反常积分类似，对无界区域上的反常二重积分作如下定义． 定义1 设是平面上一无界区域，函数在上有定义，用任意光滑或分段光滑曲线在中划出有界区域， 如图1所示．若二重积分存在， 且当曲线连续变动，使区域以任意过程 无限扩展而趋于区域时，极限 图1 都存在且取相同的值，则称反常二重积分 收敛于，即 = = 否则，称发散． 对于一些特殊的无界区域，其上的二重积分如果存在，则它们有特殊的计算途径和表示方式． 1． == 或 = = 2． D ),(y x f D C D C D ??σ C D d y x f ),(C C D D ??σ →C C D D D d y x f ),(lim I ??σ D d y x f ),(I ??σ D d y x f ),(??σ →C C D D D d y x f ),(lim I ??σ D d y x f ),(D },|),{(+∞<≤≤≤=y c b x a y x D ?? D dxdy y x f ),(dy y x f dx M c b a M ),(lim ?? +∞ →dy y x f dx c b a ),(? ?+∞?? D dxdy y x f ),(dx y x f dy b a M c M ),(lim ?? +∞ →dx y x f dy b a c ),(??+∞},|),{(+∞<≤+∞≤≤=y c x a y x D
= = 或 = = 3． = = 或 = = 也可在极坐标系下计算 = = 定理一 设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,在D 上的可积函数的充分必要条件是()|,|y x f 在D 上的可积. 定理 2 (比较判别法) 设D 是平面R 2中无界区域，()y x f ,, ()y x g ,是D 上的函数, 在D 的任何有界可求面积的子区域上可积,并且 ()),(,0y x g y x f ≤≤.那么 (1)当??D dxdy y x g ),(收敛时, ??D dxdy y x f ),(收敛; (2)当??D dxdy y x f ),(发散时, ??D dxdy y x g ),(发散. 推论 设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,是D 上的函数, 并且在D 的任意有界可求面积的子集上可积, 那么 (1) 当22y x +足够大时, α ) (),(22 y x c y x f +≤ (c 是常数),如果 α>2, ?? D dxdy y x f ),(dy y x f dx N c M a M N ),(lim ??+∞ →+∞→dy y x f dx c a ),(? ?+∞+∞?? D dxdy y x f ),(dx y x f dy M a N c N M ),(lim ??+∞ →+∞ →dx y x f dy a c ),(? ?+∞+∞},|),{(+∞<≤-∞+∞≤≤-∞=y x y x D ?? D dxdy y x f ),(dy y x f dx M M N N N M ),(lim ? ? --+∞ →+∞ →dy y x f dx ),(? ?+∞∞ -+∞ ∞ -?? D dxdy y x f ),(dx y x f dy N N M M M N ),(lim ? ? --+∞ →+∞ →dx y x f dy ),(? ?+∞∞ -+∞ ∞ -??D dxdy y x f ),(rdr r r f d R R )sin ,cos (lim 020 θθθ?? π+∞ →rdr r r f d )sin ,cos (0 20 θθθ? ?+∞π
定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分统称为黎曼积分，这是高等数学研究的重点。定积分，二重积分，三重积分，曲线和曲面积分的定义均被划分，近似，求和和极值。最后，它们被减小到特定结构和公式的极限值。该定义可以统一形式给出：
从以上积分的概念形式和计算方法来看，定积分的积分区域是线性的，二重积分的区域是平面的，三重积分的区域是主体的。以上三个积分的概念，性质和计算方法相似；在逼近过程中，获取的点是积分曲线或积分曲面上满足曲线或曲面方程的点。因此，可以使用将曲线和曲面积分转换为定积分或双积分的方法来计算曲线和曲面积分。 表面积分的形式如下： \ begin {equation *} \ int_ {S} \ stackrel→{F}·d \ overarrowarrow {a} \ end {equation *}这意味着在向量场中，我们需要在向量场中对表面s进行积分，并且D / stacklel→{a}表示垂直于表面上任意点上Δs方向的方向向量（Δs表示微分曲面上的任意一点），也就是说，它仅代表一个方向。两者之间的数学关系是点相乘，点相乘的结果是向量在垂直于Δs的方向（即，由右箭头{a}指向的方向）上的任意点处的向量的分量向量。）。最后，通过使用{f}·D {a}进行整个表面的积分，即连续增加表面上每个点的点相乘结果。求出一定矢量场中表面s上垂直于Δs方向的所有子矢量的总和。
换句话说，表面积分表示矢量场{f}与表面s相交的程度。因此，它也生动地称为通量。 在这里，我们可以关联为什么麦克斯韦方程组的积分形式的双积分也称为电通量和磁通量。 然后，由于在{f}和{a} D / stacklel→{a}之间存在一个点积，根据点乘法的几何定义\ overrightarrow {a}·\ overarrowarrow {b} = | \ overarrowarrow {a} || \\ overarrowarrow {b} | cos \ theta \ qquad（0≤\theta≤\ pi） 如果stacklel→{f}平行于s，则所有向量的方向均垂直于{overarrowarrow}的{a}，则cos ﹤theta = cos（﹤pi / 2）= 0，其中点积为0 ，表面积分为0。
目 录 1引言 .................................................................................................................... 1 2无界区域上的二重积分 ............................................................................. 1 2.1定义 .................................................... 1 2.2(,)D f x y d σ ?? 收敛的判定 (2) 2.3B 函数与Γ函数的联系 ...................................... 4 3无界函数的二重积分 .................................................................................. 9 3.1定义 ..................................................... 9 3.2判定定理................................................ 9 3.3无界函数计算 ............................................ 10 参考文献 ........................................................................................................... 11 致谢 .. (12)
第十一章 曲线积分与曲面积分 内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质 性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα； 性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (),(βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ α d r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=??
第十章 曲线积分与曲面积分 (A) 1．计算()?+L dx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。 2．计算? +L ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。 3．计算()?+L ds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=， ()π20≤≤t 。 4．计算?+L y x ds e 2 2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一 角限内所围成的扇形的整个边界。 5．计算???? ? ??+L ds y x 34 34，其中L 为内摆线t a x 3cos =，t a y 3sin =??? ??≤≤20πt 在第一象限内的一段弧。 6．计算 ? +L ds y x z 2 22 ，其中L 为螺线t a x cos =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t 。 7．计算?L xydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。 8．计算?-+L ydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线 段AB 。 9．计算()?-+++L dz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直 线。 10．计算()()?---L dy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，() t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)： 11．计算()()?-++L dy x y dx y x ，其中L 是： 1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧； 2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。
第十三章 曲线积分与曲面积分 定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分. 第一节 对弧长的曲线积分 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ． 如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为 n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ???．取其中的一小段弧i i M M 1-来分 析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点 (),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于 (),i i i s ρξη?．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即 ()∑=?≈n i i i i s y x M 1,ρ． 用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到 1 lim (,).n i i i i M s λρξη→∞ ==?∑ 即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义： 定义13.1 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入 图13-1
二重积分的概念及性质 前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。 二重积分的定义 设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数： (1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）； (2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积； (3)把所有这些乘积相加,即作出和数 (4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作: 即：= 其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域. 关于二重积分的问题 对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。 上述就是二重积分的几何意义。
如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。 二重积分的性质 (1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去. (2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和. (3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末: (4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末: ≤ (5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使 其中σ是区域(σ)的面积. 二重积分的计算法 直角坐标系中的计算方法 这里我们采取的方法是累次积分法。也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。为此我们有积分公式，如下：
重庆三峡学院数学分析课程论文 二重积分的计算方法 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学（师范） 姓名 年级 2010级 学号 指导教师刘学飞 2014年5月
二重积分的计算方法 (重庆三峡学院数学与统计学院10级数本1班) 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 引言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何、物理、力学等方面有着重 要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被 积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求 二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作(),D J f x y d σ= ??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??. 1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????.
1. 试讨论下列无界区域上二重积分的收敛性： （1） ??≥++1 2222)(y x m y x d σ；（2）??++D q p y x d )1)(1(σ ，D 为全平面； （3） ?? ≤≤++1 02 2 ) 1() ,(y p dxdy y x y x ?（M y x m ≤≤<),(0?）. 解: (1) 显然m y x y x f ) (1),(22+= 在}1),{(2 2≥+=y x y x D 的任何有限闭子区域D '上的二重积分存在,而 m m y x y x 22222) (1 )(1+=+, 故当22>m ,即1>m 时,反常二重积分 σd y x f D ??),(收敛(由柯西判别法). (2)由于被积函数是正的,并且关于Ox 轴和Oy 轴都对称, 故 ??++D q p y x dxdy ) 1)(1(? ? +∞ +∞ ++=0 ) 1)(1(4q p y x dxdy )1)(1(40 0? ?+∞ +∞++=q p y dy x dx . 由于111 lim =+? ∞ →p p x x x , 故当1>p 时,发散; 当1=p 时,显然也发散 ( +∞=+? +∞ 1x dx ). 因此 ?? ?≤∞+>=+? ∞ +时 当时当，有理数1,110 p p x dx p 同理有 ???≤∞+>=+? ∞ +时 当时当，有理数1,110 q q y dy q 由此知： ??++D q p y x dxdy ) 1)(1(仅当1>p 且1>q 时收敛，其它情形均发散. (3)由于 p p p y x M y x y x y x m ) 1()1(),()1(222222++≤++≤++?, 而广义重积分收敛必绝对收敛,即知积分 ?? ≤≤++1 02 2 ) 1() ,(y p dxdy y x y x ?与积分 ??≤≤++1 022)1(1 y p dxdy y x 同时收敛同时发散.
第十章 曲线积分与曲面积分 (一) 1．解：两点间直线段的方程为：x y -=1，()10≤≤x 故()dx dx dx y ds 21112 2=-+='+= 所以()()2211 =-+=+??dx x x dx y x L 。 2．解：L 的参数方程为??? ????=+=θθsin 212 1cos 21a y a a x ，()πθ20≤≤ 则()?θθcos 12||2 1 sin 2121cos 212 22+=??? ??+??? ??+=+a a a a y x 2cos ||12cos 212||212θθa a =??? ? ? -+= ||21cos 2sin 22 2 2 2 a a a d y x ds =?? ? ??+??? ??-='+'=θθθ 所以? ? =+πθθ 20 22 22 cos 21d a ds y x L ?? ? ??-= ??πππθθθθ0222cos 2cos 21d d a 220222sin 22sin 221a a =??? ? ??-=π ππθ θ 3．解：()()atdt dt t at t at dt y x ds =+= '+'=2222sin cos 故() ()()[] ? ?-++=+π20 2 2 222cos sin sin cos atdt t t t t t t a ds y x L ()()? +=? ??? ??+=+=ππ ππ20 2 3220 42 33321242a t t a dt t t a 4．解：如图? ? ? ?++++++=3 2 22 2 21 2 22 2L y x L y x L y x L y x ds e ds e ds e ds e
高等数学论文 《二重积分学习总结》 姓名：徐琛豪 班级：安全工程02班 学号：1201050221 完成时间：2013年6月2日
二重积分 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 1 二重积分的概念与性质 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???L 的分法要任意，二是在每个小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。
第二节 二重积分的计算法 教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题. 讨论中,我们假定 ； 假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续. 据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为
一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有 (1) 上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对 计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分. 这个先对, 后对的二次积分也常记作 在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 解: 类似地,如果积分区域可以用下述不等式 表示,且函数,在上连续,在上连续,则 (2)
显然,(2)式是先对,后对的二次积分. 二重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点. 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集. 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法 -- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 ) 在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交 点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限； 又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为 . 例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.
第十一章 反常积分 1 反常积分概念 一、问题提出 例1：(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度v 0至少要多大？ 解：设地球半径为R ，火箭质量为m ，地面上的重力加速度为g. 按万有引力定律，在距地心x(≥R)处火箭所受的引力为F=22 x mgR . 于是火箭从地面上升到距离地心为r(>R)处需作的功为： ?r R 2 2x mgR dx=mgR 2?? ? ??-r 1R 1. 当r →+∞时，其极限mgR 就是火箭无限远离地球需作的功. 可表示为：?+∞ R 22 x mgR dx=?+→r R 2 2 ∞r x mgR lim dx=mgR. 又由机械能守恒定律可求得初速度v 0至少应满足：2 1 mv 02=mgR. 以g=9.81m/s 2, R=6.371×106m 代入，可得v 0=mgR ≈11.2km/s. 例2：圆柱形桶的内壁高为h ，内半径为R ，桶底有一半径为r 的小孔，问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？ 解：记桶中水液面到桶顶的距离为x ，则水从孔中流出的流速为： v=x)-2g(h ，其中g 为重力加速度. 设很小一段时间dt 内，桶中液面降低的微小量为dx ，则 πR 2 dx=v πr 2 dt ，即有dt= x) -2g(h r R 2 2 dx. ∴流完一桶水所需的时间为：
t f =?h 2 2 x) -2g(h r R dx ，又被积函数在[0,h)上无界，所以它的确切含义为： t f =? -→u 2 2 h u x) -2g(h r R lim dx=)u -h -h (g r R 2lim 2 2h u - →=g r R 2h lim 2 2h u - →. 二、两类反常积分的定义 定义1：设函数f 定义在无穷区间[a,+∞)上，且在任何有限区间[a,u] 上可积，如果存在极限?+→u a ∞u f(x )dx lim =J ，则称此极限J 为函数f 在[a,+∞)上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作J=?+∞a f(x )dx ，并称?+∞ a f(x )dx 收敛. 若极限不存在，则称?+∞ a f(x )dx 发散. 类似的，可定义f 在(-∞,b]的无穷积分：?-b ∞f(x )dx=?-→b u ∞u f(x )dx lim . 又有?+-∞∞f(x )dx=?+∞a f(x )dx +?-b ∞f(x )dx, 其中a 为任意实数， 仅当右边两个无穷积分都收敛时，?+-∞ ∞f(x )dx 才收敛. 例3：讨论无穷积分?+∞ 1p x dx 的收敛性. 解：当p=1时，?+∞ 1p x dx =?+→u 1∞u x dx lim =∞u lim +→lnu=+∞, 当p<1时，?+∞ 1p x dx =?+→u 1p ∞u x dx lim =??? ??-+→1u 1p -11lim 1-p ∞u =+∞, 当p>1时，?+∞ 1 p x dx =?+→u 1p ∞u x dx lim =??? ??-+→1u 1p -11lim 1-p ∞u =1 -p 1 , ∴当p ≤1时，?+∞ 1p x dx 发散于+∞; 当p>1时，?+∞1p x dx 收敛. 例4：讨论下列无穷积分的收敛性：
第十一章 反常积分 教学要点： 反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学内容： §1 反常积分的概念 （4学时） 反常积分的引入，两类反常积分的定义 反常积分的计算。 §2 无穷积分的性质与收敛判别 （4学时） 无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy 判别法，反常积分的Dirichlet 判别法与Abel 判别法。 §3 瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。 教学要求： 掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy 收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy 判别法，以及一般函数反常积分的Abel 、Dirichlet 判别法判别基本的反常积分。 1．反常积分的收敛性及其收敛性的判别法是本章的重点. 2．两类反常积分的性质及其收敛性判别法有很多相似之处，应引导学生加以类比。 §1 反常积分概念 教学目标：掌握反常积分的定义与计算方法． 教学内容：无穷积分；瑕积分． 教学建议： 讲清反常积分是变限积分的极限． 教学过程： 一、 问题的提出 1、为什么要推广Riemann 积分 定积分()b a f x dx ?有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b]必须是有限区间；其二，若 [,]f R a b ∈，则0M ?>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。 这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。
2011考研数学三考试 大纲(2)
2011考研数学 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学三 考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟． 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试． 三、试卷内容结构 微积分 56％ 线性代数 22% 概率论与数理统计 22％ 四、试卷题型结构 试卷题型结构为： 单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分 填空题 6小题，每题4分，共24分 解答题（包括证明题） 9小题，共94分 微积分 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性
复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：0 sin lim1 x x x → = 1 lim1 x x e x →∞ ?? += ? ?? 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念． 6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系． 8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质．
曲线积分： 在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。 分类： 曲线积分分为： （1）对弧长的曲线积分（第一类曲线积分） （2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分） 两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。 曲面积分： 定义在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分。曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。 第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。 第一型曲面积分：
定义在曲面上的函数关于该曲面的积分。第一型曲线积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。 第二型曲面积分： 第二型曲面积分是关于在坐标面投影的曲面积分，其物理背景是流量的计算问题。第二型曲线积分与积分路径有关，第二型曲面积分同样依赖于曲面的取向，第二型曲面积分与曲面的侧有关，如果改变曲面的侧(即法向量从指向某一侧改变为指另一侧)，显然曲面积分要改变符号，注意在上述记号中未指明哪侧，必须另外指出，第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的一些性质。