空间几何体的直观图与三视图知识点归纳总结
知识精讲
一、空间几何体的直观图 1.斜二测画法
斜二测画法的主要步骤如下: (1)建立直角坐标系. 在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的,Ox Oy ,建立直角坐标系.
(2)画出斜坐标系. 在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形. 在已知图形平行于x 轴的线段, 在
直观图中画成平行于'','',O x O y 使'''45x O y ∠=o
(或135o
), 它们确定的平面表示水平平面.
(3)画出对应图形. 在已知图形平行于x 轴的线段, 在直观图中画成平行于'x 轴的线段, 且长度保
持不变; 在已知图形平行于y 轴的线段, 在直观图中画成平行于'y 轴, 且长度变为原来的一般. 可简化为 “横不变, 纵减半”. (4)擦去辅助线. 图画好后, 要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线(虚线). 被挡住的棱画虚
线.
注: 直观图和平面图形的面积比为2:4.
2.平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的, 中心投影的投影线相交于一点. 二、空间几何体的三视图 1.三视图的概念
将几何体由前至后、由左至右、由上至下分别作正投影得到的三个投影图依次叫做该几何体的正(主)视图、左(侧)视图、俯视图, 统称三视图. 它们依次反应了几何体的高度与长度、高度与宽度、长度与宽度.
2.作、看三视图的三原则 (1)位置原则:
度量原则长对正、高平齐、宽相等即正俯同长、正侧同高、俯侧同宽
虚实原则轮廓线、现则实、隐则虚 俯视图
几何体上下方向投影所得到的投影图反映几何体的长度和宽度 口诀
正侧同高正府同长府侧同宽或长对正、高平齐、宽相等 三、常见几何体的直观图与三视图
常见几何体的直观图与三视图如表8-3所示.
题型归纳及思路提示 题型斜二测画法与直观图 思路提示
注意用斜二测画法画直观图时水平方向与竖直方向长度的不同它们与实物图的对应关系 例下列叙述中正确的个数是
①相等的角在直观图中仍相等
②长度相等的线段, 在直观图中长度仍相等;
③若两条线段平行, 在直观图中对应的线段仍平行;
④若两条线段垂直, 则在直观图中对应的线段也互相垂直. A. 0 B.1 C.2 D. 3 (2)如图8-10所示,'''O A B V 是OAB V 水平放置的直观图, 则OAB V 的面积为( )
A.6
B.3262 D. 12
解析(1)①因为90xOy ∠=o
的直观图为''45x Oy ∠=o 或135o
, 故①不正确;
②因为y 方向的线段的直观图在'y 方向的长度减半, 故②不正确;
③因为所有x 方向的线段的直观图方向不变, 所以y 方向的线段的直观图均在原有基础上旋转
45o , 故方向统一, 故③正确.
④由③中叙述知, ④不正确. 故选B. (2)'''1
''''sin 452
O A B S O A O B =
o V ① 1
sin 902
OAB S OA OB =
o V ② ①÷②得
'''2
''''sin 45112
2sin 902114
O A B OAB
O A O B S S OA OB ==??=o
V o V , 所以'''
2O A B OAB S S =V V . 而'''1
34sin 45322
O A B S =??=o V ,所以232OAB S =V , 即12OAB S =V . 故选D.
评注 (1)”斜”指的是在直观图中,','x y 轴的夹角为45o
, “二测”指的是 “平行关系不变”, 以及 “长度纵变横不变”.
(2)直观图中保持不变的有线段的同向性与同向线段长之比. 直观图与原图的面积关系:2
'4
S S =
. 变式 1 已知正ABC V 的边长为a , 以它的一边为x 轴, 对应的高为y 轴, 画出它的水平放置的直观图'''A B C V , 则'''A B C V 的面积为( ).
A.
234a B. 238a C. 268a D. 2616
a 变式2 利用斜二测画法, 一个平面图形的直观图时边长为1的正方形, 如图8-11所示,则该平面图形的面
积为( )
A.3
B.2
C. 22
D. 4
题型2.直视图?三视图 思路提示
已知直观图描绘三视图的原则是:
先看俯视图, 观察几何体的摆放姿态, 再看正视图与侧视图同高, 正视图与俯视图同长, 侧视图与俯视图同宽.
例8.8 正三棱柱111ABC A B C - 如图8-12所示, 以面11BCC B 为正前方画出的三视图正确的是( ).
分析 先看俯视图, 垂点法, 把1,C C 投影到底面.
解析 由垂点法, 把1,C C 分别投影到底面, 如图8-13所示, 所以俯视图中间必有线段MN .故选A.
变式 1 如图8-14所示, ABC V 为正三角形, '''AA BB CC ⊥∥∥ 平面ABC 且
3
3'''2
AA BB CC AB =
== , 则多面体'''ABC A B C - 的正视图(也称主视图)是( ).
变式 2 将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥, 得到图2所示的几何体, 则该几何体的左视图为( ).
变式3 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形, 则该正方体的正视图的面积面积不可能等于( )
A. 1
B. 2
C. 21
2
-
D.
21
2
+
题型3直视图?直观图简单几何体的基本量的计算
思路提示
由三视图想象出直观图必须与实物图对应, 先看俯视图, 根据三视图的形状并结合表8-1,定几何体的形状, 由口诀“正侧同高, 正俯同长, 俯侧同宽”定几何体的相关数据.
例8.9若某空间几何体的三视图如图8-16所示, 则该几何体的体积是( )
A. 1
3
B.
2
3
C. 1
D. 2
分析三视图为2个矩形和1个三角形, 知该几何体是三棱柱.
解析先看俯视图, 定底面, 再由正视图为矩形, 侧视图为三角形知该几何体为直三棱柱, 然后由口诀知
数据, 如图8-17所示, 所以以侧面为底得体积
1
1221
2
V=???= .
故选C.
变式1 如图8-18所示, 是一个几何体的三视图, 若其体积为33则a= .
变式2 如图8-19所示, 是长和宽分别相等的两个矩形, 给定下列三个命题:
①存在三棱柱, 其正视图、俯视图如图8-19所示；
②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图8-19所示;
③存在圆柱, 其正视图、俯视图如图8-19所示.
其中真命题的个数是( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
例8.10 如图8-20所示, 一个空间几何体的正视图和侧视图都是低为1, 高为2的矩形, 俯视图是一个圆, 那么该几何体的表面积为( ).
A.2π
B.
52
π
C. 4π
D. 5π 分析 由三视图是2个矩形和1个圆, 可知该几何体为圆柱.
解析 由三视图是2个矩形和1个圆, 可知该几何体是圆柱, 如图8-21所示, 再由口诀知数据, 所以几
何体的表面积2
115222222S πππ??
=+??= ???
表 . 故选B.
变式1 某个几何体的三视图如图8-22所示, 则该几何体的体积是( ).
A.3
23cm B.3
3cm C.
333cm D. 333
cm 变式2 若一个正三棱柱的正视图如图8-23所示, 则其侧面积等于 .
变式3 一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等, 体积为23 , 它的三视图中的俯视图如图8-24所示, 左视图是一个矩形, 则这个矩形的面积是 .
变式4 一个几何体的三视图如图8-25所示, 则该几何体的体积为 .
例8.11一个空间几何体的三视图如图8-26所示, 则该几何体的表面积为( ).
A. 48
B. 32
817
+ C. 48817
+
D. 80
解析由三视图知该几何体的直观图如图8-27所示, 该几何体的下底面是边长为4的正方形, 上底面是长为4, 宽为2的矩形; 两个梯形侧面垂直于底面, 上低长为2, 下底长为4, 高为4; 另外两个侧面是矩形,
宽为4, 长为22
4117
+= , 所以24217248817
S=+??=+
表
. 故选C.
变式1 如图8-28所示, 某几何体的正视图是平行四边形, 侧视图和俯视图都是矩形, 则该几何体的体积为( ).
A. 63
B. 93
C. 123
D. 183
变式2 一个几何体的三视图如图8-29所示, 则该几何体的体积是 .
变式3 (2012辽宁理13)一个几何体的三视图如图8-30所示,
则该几何体的表面积为 .
1
2
1
4
4
正视图侧视图
俯视图
图8-26
1
2
1
4
2
4
图8-27
4
例8.12如图8-31所示, 3个直角三角形是一个体积为3
20cm的几何体的三视图, 则h= cm.
解析
先看俯视图知底面为直角三角形,
再结合正视图和侧视图均为直角三角形,知其中一条侧棱垂直于底面, 如图8-32所示, 再根据口诀知数据, 所以体积
11
2056
32
h
??
=????
?
??
, 即4(cm)
h= .
变式1 某四面体的三视图如图8-33所示, 该四面体四个面的面积中最大的是( ).
A. 8
B. 62
C. 10
D. 82
变式2 若几何体的三视图如图8-34所示, 其中正视图、侧视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）。
A.
8
3
8
2
3
4
3
42
变式3 若几何体的三视图如图8-35所示, 则该几何体的体积是( ).
A.
1
3
B.
1
2
C.
2
3
D.
5
6
例8.13一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图8-36所示,
则该几何体的侧面积为 cm2.
正视图侧视图
俯视图
图8-34
1
1
1
俯视图
图8-35
正视图侧视图
分析 由三视图是2个三角形和1个矩形, 可知该几何体是正四棱锥.
解析 先看俯视图定底面——正四棱锥的底面, 再结合正视图和俯视图, 将中心O “拔地而起” 得直观图, 如图8-37所示, 再由口诀知数据, 且可知斜高'5h = , 所以几何体的侧面积
()21
48580cm 2
S =???=侧 .
变式1 某四棱锥的三视图如图8-38所示, 该四棱锥的表面积是( ).
A. 32
B. 16162+
C. 48
D. 16322+
变式2 一个棱锥的三视图如图8-39所示, 则这个棱锥的体积为 .
变式 3 一个五面体的三视图, 其正视图与侧视图是等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形, 部分边长如图8-40所示, 则此五面体的体积为 .
题型4直视图?简单组合体的基本量的计算 思路提示
先根据三视图想象出几何的构造部分, 一般考虑的是球、柱、锥、台体的组合体或其一部分.
4 4 3
3 3
3
正视图 侧视图
俯视图
图 8-39 2 1 正视图 侧视图
1 1
2 2 2 2 俯视图 图 8-40
例8.14 如图8-41所示是一个几何体的三视图, 根据图中数据, 可得该几何体的表面积是( ). A. 9π B. 10π C. 11π D. 12π 分析 先看俯视图定底面.
解析 先看俯视图为圆, 再结合正视图和侧视图有上、下两部分, 可知该几何体下面是圆柱, 上面是球, 如图8-42所示, 所以
22
22222422422342612222S R R Rh ππππππππππ????
=++=?+??+??=++= ? ?????
表故选D.
评注 求几何体的表面积, 通常将所给几何体分成基本的球、柱、锥、台, 再将它们的表面积求和或作差,
求体积也是同样的道理.
变式1 一个几何体的三视图如图8-43所示(单位:m),
则该几何体的体积为 m 3
.
变式2 一空间几何体的三视图如图8-44所示, 则该几何体的体积为( ).
A.223π+
B.423π+
C.232π+
D.23
4π+
变式3 某几何体的三视图如图8-45所示, 则它的体积是( ).
A.283π-
B.83π-
C.82π-
D.23
π
变式4 一个几何体的三视图如图8-46所示, 则该几何体的体积为 .
例8.15 若某几何体的三视图(单位:cm)如图8-47所示,
则此几何体的体积是 cm 3
.
分析 先看俯视图定底面——正四棱台的底面, 再看正视图和侧视图, 上面是矩形, 下面是等腰梯形, 属组合体.
解析 先看俯视图定底面——正四棱台的底面, 再由正视图和俯视图知该几何体上半部分是正四棱柱, 下半部分是正四棱台, 如图8-49所示, 再结合 “正侧同高, 正俯同长, 俯侧同宽”知数据, 所以几何体的体积为(
)
2
22
3
1424488332112144cm 3
V =?+?+?+?=+= .
变式1 一个几何体的三视图(单位:cm)如图8-49所示, 侧该几何体的表面积是( ). A.280 B.292 C.360 D.372
变式2 某几何体的三视图(单位:cm)如图8-50所示, 侧此几何体的体积是 cm 3
.
变式3 一个几何体的三视图如图8-51所示(单位:m), 则该几何体的体积为 m 3
.
例8.16 一个几何体的三视图及长度数据如图8-52所示，则该几何体的表面积与体积分别为（ ）.
A. 7+2，3 B . 8+2,3 C . 7+2,32
D . 8+2,32
分析 先看俯视图定底面，再结合正视图和侧视图.
解析 解法一：先看俯视图知底面为正方形，再结合正视图和侧视图知该集合体如图8-53（a ）所示，所
以表面积221
=1+1+2++12+21=7+22
S ?????表（12）1，把侧面作底知其体积123
11.22
V +=
??= 故选C . 解法二：先把侧视图分割，如图8-53（b ）所示，则结合俯视图和正视图知几何体下半部分是正方体，上
半部分是三棱柱（平放）如图8-53（c ）所示，所以
21=51+1+2+272,2S ??=+表2213
11.22
V =+?=故选C .
4
4 3 2
2
1
1 1 1 1 正视图
侧视图
俯视图
图 8-51
2
1 1 1
1 1 正视图 侧视图
俯视图
图 8-52
变式1 （2012湖北理4）已知某几何体的三视图如图8-54所示，则该几何体的体积为（ ）. A .
83π B .3π C . 103
π D . 6π
例8.17 如图8-55所示为由长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块的块数为（ ）
.
A .3块
B 4块
C .5块
D .6块 分析 先看俯视图，从下往上“拔地而起”.
解析 先看俯视图定底，再结合正视图和侧视图，从下往上堆积可知其直观图，如图8-56所示. 故选B .
变式1 用单位立方体搭一个几何体，使其主视图和俯视图如图8-57所示，则该几何体体积的最小值与最大值分别为（ ）.
A .9与13
B .7与10
C .10与16
D .10与15
俯
侧视
2 正视
图
2
2
题型5 部分三视图 其余三视图
思路提示
有三视图还原几何体，画出直观图，再画其三视图.
例8.18 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图如图8-58所示，则该集合体的俯视图为( ).
解析因为该几何体是一个大长方体去掉一个小长方体，结合正视图及侧视图中线段均为实线，所以“缺口”就在前面的左上方，所以俯视图“缺口”必在左下方且为实线.故选D.
变式1 如图8-59所示，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1
2
，该几何体的俯
视图可以是（）.
变式2 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图8-60所示，则相应的侧视图可以为（）.
变式3 （2012湖南理3）某几何体的正视图和侧视图均如图8-61所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）.
最有效训练题
1.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图8-62所示的一个正方形，则原来的图形是（ ）.
2.如图8-63所示是一个正方体被过棱中点M ,N ，顶点1,,A D C 的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的正视图为（ ）.
3.如图8-64所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形是( ). A .正方体 B .矩形 C .菱形 D .一般的平行四边形
4.某几何体的三视图如图8-65所示，它的体积为( ).
A .12π
B .45π
C .57π
D . 81π
5.某三棱锥的三视图如图8-66所示，该三棱锥的表面积是（ ）. A .28+65B .30+65C .56+125D .60+125
6.一个四棱锥的底面为正方形，三视图如图8-67所示，这个四棱锥的体积是( ).
3
2
4
4
正(主)视图
侧(左)视图
俯视图
图 8-66
A .1
B .2
C .3 D
.4
7.若正三棱锥的主视图与俯视图如图8-68所示（单位:cm ）,则它的左视图的面积为
2.cm
8.一多面体的三视图如图8-69所示，则其体积为 .
9.已知某几何体的三视图如图8-70所示，则该几何体的体积为 .
1 主视图
俯视图
图 8-68
3
10.已知△ABC的平面直观图△'''
A B C是边长为a的正三角形，则△ABC的面积为 .
11.某高速公路收费站入口处的安全标示墩如图8-71（a）所示.墩的上半部分是正三棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH.图8-71（b）、图8-71（c）分别是该标示墩的正（主）视图和俯视图.
（1）请画出该安全标示墩的侧（左）视图；
（2）求安全标示墩的体积；
（3）证明：直线BD⊥平面PEG.
12.如图8-72所示是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图8-72所示.
（1）求出该几何体的体积；
（2）若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；
（3）求证：平面BDE⊥平面BCD.
第一章空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' 'E D C B A ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图： 正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等
空间几何体知识点总结 一、空间几何体的结构特征 1 .柱、锥、台、球的结构特征 由若干个平面多边形围成的几何体称之为多面体。围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公 共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。 把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的圭寸闭几何体称之为旋转体，其中定直线称为旋转体的 轴。 (1)柱 棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的 侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 底面是三角形、四边形、五边形，，的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱 注：相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的关系: 四棱柱I底面为平行四边形怦行六面体I侧棱垂直于底面IB平行?硕本I底面为矩形 ■------------------------------ Bh. ------------ ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 斜棱柱棱柱： κ=≡τ?tr J車""理》正棱柱 按方体底面为正方形正四棱柱恻棱与底面边栓相萨IlE方体I 棱柱的性质:
第一章 空间几何体知识点归纳 1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式： 一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 1、空间几何体的三视图和直观图 投影：中心投影 平行投影 （1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 （2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形. 3、斜二测画法的基本步骤： ①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使''' x O y ∠=450（或1350 ），注意它们确定的平面表示水平平面； ③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘ 轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘ 轴，且长度变为原来的一半； ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积：()S r R l π=+侧面 ⑷体积公式： h S V ?=柱体；h S V ?=31锥体； ()1 3 V h S S =下 台体上 ⑸球的表面积和体积：
空间几何体的三视图 一、选择题 1. 2．一个几何体的三视图及部分数据如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该几何体的体积为（） A．1 6 B． 1 3 C． 2 3 D．1 3．一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，则这个几何体的表面积为（） A．π3B．π4C．π5D．π6
4.已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为（ ） （A ） 1 6 （B ） 13 （C ） 12 （D ） 23 5．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为（ ） (A) 6 (B) 2 9 (C) 3 (D) 2 3 6．某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的各个面中,最大的面积是（ ） A ．1 C D
7．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．12 B ．24 C ．30 D ．48 8. 60 的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ） A. 8 D. 4 9. 俯视图 左视图 正视图 32 4 5
10．已知某锥体的正视图和侧视图如图所示，，则该锥体的俯视图可以是（） 二、填空题 11．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是______． ． 12.
第15题图 俯视图 13、某几何体的三视图如图所示，则此几何体的对应直观图中PAB 的面积为__________.
答案与解析 1.【答案】A 【命题立意】本题考查的知识点是三视图和几何体的表面积． 【解析】由三视图可知，该几何体的形状如图，它是底面为正方形，各个侧面均 为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的表面积，其底面边长为 10，故底面面积为10×10=100 与底面垂直的两个侧面是全等的直角，两直角连年长度分别为10，20，故它们 的面积皆为100 另两个侧面也是全等的直角三角形，两直角边中一边是底面正方形的边长10，另一边可在 与底面垂直的直角三角形中求得，其长为=，故此两侧面的面积皆为 S＝2． 故选A. 2.【答案】B 【命题立意】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何体的形状，分析出几何体的几何特征，进而求出底面面积，高是解答本题的关键． 【解析】由三视图判断几何体为三棱锥，如图：由已知中侧视图是一个等腰直角三角形，宽为1，∴棱锥的高H=1；底面△的高也为1，又由俯视图为等腰直角三角形，且底面斜边长 为2，∴底面面积S=1 2 ×2×1=1，则几何体的体积V= 1 3 ×1×1= 1 3 ． 3.【答案】B 【命题立意】考查三视图，考查空间想象能力，容易题．
空间几何体(川诚.樊培整理) 一·空间几何体结构 1.空间结合体：如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形，就叫做空间几何体。 2.棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的图形叫做棱柱。（图如下） 底面：棱柱中，两个相互平行的面，叫做棱柱的底面，简称底。底面是几边形就叫做几棱柱。侧面：棱柱中除底面的各个面. 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 棱柱的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。如：棱柱ABCDEF-A’B’C’D’E’F’ 3.棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. （图如下） 底面：棱锥中的多边形面叫做棱锥的底面或底。 侧面：有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面 顶点：各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 棱锥可以表示为：棱锥S-ABCD 底面是三角形，四边形，五边形----的棱锥分别叫三棱锥，四棱锥，五棱锥--- 4.圆柱的结构特征:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴。 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 圆柱用表示它的轴的字母表示.如：圆柱O’O 注：棱柱与圆柱统称为柱体 5.圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 两余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 轴：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴。 底面：另外一条直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面。 侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 顶点：作为旋转轴的直角边与斜边的交点 母线：无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边叫做圆锥的母线。 圆锥可以用它的轴来表示。如：圆锥SO 注：棱锥与圆锥统称为锥体 6.棱台和圆台的结构特征 （1）棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台. 下底面和上底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。 侧面：原棱锥的侧面也叫做棱台的侧面（截后剩余部分）。 侧棱：原棱锥的侧棱也叫棱台的侧棱（截后剩余部分）。 顶点：上底面和侧面，下底面和侧面的公共点叫做棱台的顶点。
第一章 空间几何体 一、知识点归纳 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何 体叫圆柱. 2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。 3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 ②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+ ④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π= ⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形 （其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积 V S h =?底 ②锥体的体积 13 V S h =?底 ③台体的体积 1)3V S S h =+ +?下上（ ④球体的体积343 V R π= 二、巩固练习： 222r rl S ππ+=
立体几何知识点总结
立体几何知识点总结 1、 多面体（棱柱、棱锥）的结构特征 （1）棱柱： ①定义：有两个面互相平行，其余各面都是 四边形，并且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行，由这些面所围 成的几何体叫做棱柱。 棱柱斜棱柱直棱柱正棱柱； 四棱柱平行六面体直平行六面体 长方体正底面是正方形 底面是矩形 侧棱垂直于底面 底面是平行四边形 底面是正多边形 侧棱垂直于底面 侧棱不垂直于底面
棱长都相等 四棱柱正方体。 ②性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形；Ⅱ、两底面是全等多边形； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形； Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。 （2）棱锥： ①定义：有一个面是多边形，其余各面是有 一个公共顶点的三角形，由这些面 围成的几何体叫做棱锥； 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥； ②性质： Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似， 截面的边长和底面的对应边边长的比 等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的 比； 它们面积的比等于截得的棱锥的高与 原棱锥的高的平方比；
截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的 比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高 的立方比； Ⅱ、正棱锥性质：各侧面都是全等的等腰三 角形；通过四个直角三角形POH Rt ?，POB Rt ?， PBH Rt ?，BOH Rt ?实现边，高，斜高间的换算 2、 旋转体（圆柱、圆锥、球）的结构特征 A B C D O H P
（2）性质： ①任意截面是圆面（经过球心的平面，截得 的圆叫大圆，不经 过球心的平面截得 的圆叫 小圆） ②球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且 2d 2 =，其中R为球半径，r为截 r- R 面半径，d为球心的到截面的距离。 3、柱体、锥体、球体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱 与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①???????? →??????? →???? 底面是正多形 棱垂直于底面斜棱柱 棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形 侧棱与底面边长相等 1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ ，，，那么 222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则2 2 2 cos cos cos 2αβγ++=，222 sin sin sin 1αβγ++=.
必修2 第一章 空间几何体的三视图与直观图 制卷：王小凤学生姓名 一．选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1．（2012湖南）某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（） 2．在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是() A．角的水平放置的直观图不一定是角 B．相等的角在直观图中仍然相等 C．相等的线段在直观图中仍然相等 D．若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等 3．（2012福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱 4．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形面积为2，则原梯形的面积为() A．2 B. 2 C．2 2 D．4 5．(2013江西)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A．200+9π B．200+18π C．140+9π D．140+18π6．（2012广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（） （第7题） （第6题） A．12πB．45πC．57πD．81π 7．（2012湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A． 8π 3 B．3πC． 10π 3 D．6π8．（2011北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．32 B．16+162C．48 D．16+322 （第8题）（第9题） 9．（2011陕西）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（） A． 2 8 3 π -B．8 3 π -C．82π -D． 2 3 π 5 5 6 5 5 5 6 5 正视图侧视图 俯视图 俯视图 侧视图 2 正视图 4 2 4 2 1
高三数学知识点：空间几何体 高三数学知识点：空间几何体 一、柱、锥、台、球的结构特征 结构特征 图例 棱柱 （1）两底面相互平行，其余各面都是平行四边形； （2）侧棱平行且相等. 圆柱 （1）两底面相互平行；（2）侧面的母线平行于圆柱的轴； （3）是以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体. 棱锥 （1）底面是多边形，各侧面均是三角形； （2）各侧面有一个公共顶点. 圆锥 （1）底面是圆；（2）是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体. 棱台 （1）两底面相互平行；（2）是用一个平行于棱锥底
面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分. 圆台 （1）两底面相互平行； （2）是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分. 球 （1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体. 二、简单组合体的结构特征 三、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注： 正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 四、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：
①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变； ②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。 五、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，h'为斜高，l为母线） （3）柱体、锥体、台体的体积公式 （4）球体的表面积和体积公式：
1. 2.1空间几何体的三视图 【教学目标】 1、理解三视图的含义，能画出简单几何体的三视图，掌握画法规则. 2、能根据三视图，运用空间想象能力，识别并说出它所表示的空间图形. 【教学重难点】 教学重点：画出简单组合体的三视图 教学难点：识别三视图所表示的空间几何体 【教学过程】 （一）情景导入 “横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。 在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？ （二）展示目标 这也是我们今天要学习的主要内容: 1理解三视图的含义，能画出简单几何体的三视图，掌握画法规则. 2．能根据三视图，运用空间想象能力，识别并说出它所表示的空间图形. （三）检查预习 1．空间几何体的三视图是指正视图、侧视图、俯视图。 2．三视图的排列规则是俯视图放在正视图的下方，长度与正视图一样，侧视图放在正视图右边，宽度与俯视图的宽度一样。 3．三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从前、右、上观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。 4．三视图对于认识空间几何体有何作用？你有何体会？ 略 （四）合作探究 1．讲台上放球、长方体实物，要求学生画出它们的三视图，教师巡视，学生画完后可交流结果并讨论; 2．教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图 （1）画出球放在长方体上的三视图 （2）画出矿泉水瓶（实物放在桌面上）的三视图 学生画完后，可把自己的作品展示并与同学交流，总结自己的作图心得。 作三视图之前应当细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图。 （五）交流展示 略
高一数学总复习学案空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （ 1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称 为旋转体的轴。 （ 2）柱，锥，台，球的结构特征 1.1 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些 面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.1 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 2.2 圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆 锥。 3.1 棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2 圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 4.1 球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图 1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。 2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三 视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。 4.斜二测法：在坐标系x 'o ' y ' 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴 （或在 x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在 y 轴上）的线段长度减半。重点记忆：直观图2 面积 = 4 原图形面积 (三 )空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和 ②圆柱的表面积④圆台的表面积 S 2 rl 2 r 2 ③圆锥的表面积 S rl r 2 S rl r 2 Rl R2 ⑤球的表面积 S 4 R2 ⑥扇形的面积公式 S扇形n R2 1 lr 360 2 （其中 l 表示弧长，r表示半径） 2、空间几何体的体积 ①柱体的体积V S底h②锥体的体积V 1 S底h 3 1 S上 S下S下 ) h ④球体的体积V 4 3 ③台体的体积V（S上 3 R 3
第二节 空间几何体的直观图与三视图 考纲解读 1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的机构特征， 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。 2.能画出简单空间图形（长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等及其及其简易组合）的三视图， 能识别三视图, 能所表示的立体模型, 并会用斜二测画法画出它们的直观图. 3.会用平行投影, 画出简单空间图形的三视图与直视图, 了解空间图形的不同表示形式. 4. 会画某些建筑物的三视图与直视图(在不影响图形特征的基础上, 尺寸、线条等不作严格要求). 命题趋势探究 高考中对本节内容的考查, 可以分为以下两类. (1)柱、锥、台、球的定义和相关性质是基础, 以它们为载体考查线线、线面、面面间的关系是中点。 (2)三视图为新课标新增内容, 所以高考会加大对其考查的粒度. 在高考中,主要考查三视图和直观图, 特别是通过三视图确定原几何体的相关量. 多以选择填空题为主,也不排除通过三视图来还原几何体的直观图的解答题, 侧重于考查考生对基础知识的掌握以及应用所学知识解决问题的能力. 知识精讲 一、空间几何体的直观图 1.斜二测画法 斜二测画法的主要步骤如下: (1)建立直角坐标系. 在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的,Ox Oy ,建立直角坐标系. (2)画出斜坐标系. 在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形. 在已知图形平行于x 轴的线段, 在 直观图中画成平行于'','',O x O y 使'''45x O y ∠= (或135), 它们确定的平面表示水平平面. (3)画出对应图形. 在已知图形平行于x 轴的线段, 在直观图中画成平行于'x 轴的线段, 且长度保 持不变; 在已知图形平行于y 轴的线段, 在直观图中画成平行于'y 轴, 且长度变为原来的一般. 可简化为 “横不变, 纵减半”. (4)擦去辅助线. 图画好后, 要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线(虚线). 被挡住的棱画虚 线. 注: 4. 2.平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的, 中心投影的投影线相交于一点. 二、空间几何体的三视图 1.三视图的概念 将几何体由前至后、由左至右、由上至下分别作正投影得到的三个投影图依次叫做该几何体的正(主)视图、左(侧)视图、俯视图, 统称三视图. 它们依次反应了几何体的高度与长度、高度与宽度、长度与宽度. 2.作、看三视图的三原则 (1)位置原则:
《空间几何体的三视图》教案 【课题】空间几何体的三视图 【教材】人教版(A版)普通高中课程标准试验教科书——数学必修（2） 【授课教师】民乐一中邵天平 【教学目标】 ◆知识与技能 （1）了解两种投影方法,中心投影与平行投影. (2) 掌握三视图的画法规则，能画出简单空间几何体的三视图，能由三视图还原成实物图。 ◆过程与方法 通过直观感知，操作确认，提高学生的空间想象能力、几何直观能力，培养学生的应用意识。 ◆情感态度与价值观 欣赏空间图形反映的数学美，培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。 【教学重点】画出空间几何体的三视图。 【教学难点】识别三视图所表示的空间几何体。 【教学方法】问题探索和启发引导式相结合 【教具准备】多媒体教学设备 【教学过程】 （一）创设情境，引入新课 活动1．（多媒体播放手影表演图片，组织学生欣赏） 1．导入：同学们在感受这些形象逼真的图形时，是否思考一下，这些图形是怎样形成的呢？它们形成的原理又是什么呢？这就是我们本节课所要探讨的第一个问题——中心投影和平行投影．
【设计意图】引入生活情境，激发学生的学习欲望，自然导入新课，同时又弘扬了中国传统文化，增强文化意识．活动2．多媒体播放演示中心投影和平行投影的相关知识．1．投影的概念 ①投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，光线叫做投影线，屏幕叫做投影面． ②中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影． ③平行投影：把在一束平行光线照射下形成的投影称为平行投影．平行投影分为斜投影与正投影． 讲解原则：配以多媒体动画，让学生思考，抽象或概括出相应定义，教师加以修正． 【设计意图】通过动画演示投影的形成过程，使学生直观、生动地感悟，使抽象问题具体化，加速学生对概念的理解．2．中心投影和平行投影的区别和用途 中心投影的投影线交于一点，形成的投影图能非常逼真地反映原来的物体，主要运用于绘画领域．平行投影的投影线相互平行，形成的投影图则能比较精确地反映原来物体的形状和特征．因此更多应用于工程制图或技术图样． 活动3．直观感知形成概念－－三视图 ①欣赏图片； 图片说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这就是本节课我们要探讨的第二个问题--空间几何体的三视图． ②欣赏飞机、轿车的三视图图片； 【设计意图】引入生活情境激发学生的学习欲望，自然引入
空间几何体的三视图经典例题
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一、教学目标 1. 巩固空间几何体的结构及其三视图和直观图 二、上课内容 １、回顾上节课内容 2、空间几何体的结构及其三视图和直观图知识点回顾 3、经典例题讲解 4、课堂练习 三、课后作业 见课后练习 一、上节课知识点回顾 1.奇偶性 1）定义：如果对于函数ｆ（x)定义域内的任意ｘ都有f(-x）=-f(ｘ）,则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x）定义域内的任意x都有f(-x)=ｆ(ｘ)，则称ｆ(ｘ）为偶函数。 如果函数ｆ(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则ｆ(x)既是奇函数,又是偶函数。 ２)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
＼o＼ac(○,１) 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；○2确定f(-x)与f(ｘ)的关系;○3作出相应结论: 若ｆ（-x）＝f（x) 或f(-x)－f（ｘ) =0，则f(x)是偶函数；若f(-x）=－f(ｘ）或f(－x)+f(x）= 0,则f（x)是奇函数 3）简单性质: ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于ｙ轴对称； 2.单调性 １)定义:一般地，设函数y=f(ｘ)的定义域为I,?如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,ｘ2,当x1
立体几何知识点总结 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' 'E D C B A ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇环。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
空间几何体 一、空间几何体结构 1.空间结合体：如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形，就叫做空间几何体。 2.棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的图形叫做棱柱。（图如下） 底面：棱柱中，两个相互平行的面，叫做棱柱的底面，简称底。底面是几边形就叫做几棱柱。 侧面：棱柱中除底面的各个面. 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 棱柱的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。如：六棱柱表示为ABCDEF-A’B’C’D’E’F’ 3.棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共定点，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. （图如下） 底面：棱锥中的多边形面叫做棱锥的底面或底。 侧面：有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面 顶点：各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 棱锥可以表示为：棱锥S-ABCD 底面是三角形，四边形，五边形----的棱锥分别叫三棱锥，四棱锥，五棱锥--- 4.圆柱的结构特征:以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。
圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴。 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 圆柱用表示它的轴的字母表示.如：圆柱O’O 注：棱柱与圆柱统称为柱体 5.圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 两余边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 轴：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴。 底面：另外一条直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面。 侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 顶点：作为旋转轴的直角边与斜边的交点 母线：无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边叫做圆锥的母线。 圆锥可以用它的轴来表示。如：圆锥SO 注：棱锥与圆锥统称为锥体 6.棱台和圆台的结构特征 （1）棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台. 下底面和上底面：原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。 侧面：原棱锥的侧面也叫做棱台的侧面（截后剩余部分）。 侧棱：原棱锥的侧棱也叫棱台的侧棱（截后剩余部分）。 顶点：上底面和侧面，下底面和侧面的公共点叫做棱台的顶点。
高中数学必修2知识点总结01 空间几何体几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科，而空间几何体是几何学的重要组成部分，它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用。教材要求：从空间几何体的整体观察入手，研究空间几何体的结构特征、三视图和直观图，了解简单几何体的表面积与体积的计算方法。 一、空间几何体的结构特征 课标要求： 1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构； 2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图； 3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式； 要点精讲： 1．柱、锥、台、球的结构特征 由若干个平面多边形围成的几何体称之为多面体。围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。 把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体称之为旋转体，其中定直线称为旋转体的轴。 （1）柱 棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 注：相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：
《空间几何体的三视图》教学设计 内容分析： 三视图是空间几何体的一种表示形式，是立体几何的基础之一。学好三视图为学习直观图奠定基础，同时有利于培养学生空间想象能力，几何直观能力，有利于培养学生学习立体几何的兴趣。 学情分析： (1)在义务教育阶段,学生已经初步接触了正方体，长方体的几何特征以及从不同的方向看物体得到不同的视图的方法。但是对于三视图的概念还不清晰 (2)在初中，学生只接触了从空间几何体到三视图的单向转化,还无法准确的识别三视图的立体模型。 教学目标： ⒈知识与技能：能画出简单空间图形(长方体，球，圆柱，圆锥，棱柱等等简易组合)的三视图，能识上述三视图表示的立体模型，从而进一步熟悉简单几何体的结构特征。 ⒉过程与方法：通过直观感知，操作确认，提高学生的空间想象能力、几何直观能力，培养学生的应用意识。 ⒊情感、态度与价值观：感受数学就在身边，提高学生的学习
立体几何的兴趣，培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。 教学重点：画出简单组合体的三视图. 教学难点：识别三视图所表示的空间几何体. 教学过程： 一、设景引题： 1、请大家读唐宋八大家之一的苏轼的 《题西林壁》 横看成岭侧成峰， 远近高低各不同。 不识庐山真面目， 只缘身在此山中。 分析诗的意境：山还是那座山，景还是那片景。“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们必须从多角度观看物体。其实，在生活中，我们看一样东西是不是也有类似的体验，演示东风雪铁龙汽车的三视图，F6飞机的三视图，提出课题——空间几何体的三视图。 用苏轼的诗句的意境，让学生体会从不同的角度看同一物体视觉效果的不同，要比较真实反映出物体，我们必须从多角度观看物体。同时，也让数学课平添一份神奇，激发学生学习兴趣。 2、温故而知新：
空间几何体的三视图和直观图（第一课时） 木井中学陈文杰 、教材的地位和作用 本节课是“空间几何体的三视图和直观图”的第一课时，主要内容是投影和三视图，这 部分知识是立体几何的基础之一，一方面它是对上一节空间几何体结构特征的再一次强化，画出空间几何体的三视图并能将三视图还原为直观图, 是建立空间概念的基础和训练学生几何直观能力的有效手段。另外，三视图部分也是新课程高考的重要内容之一，常常结合给出的三视图求给定几何体的表面积或体积设置在选择或填空中。同时，三视图在工程建设、机械制造中有着广泛应用，同时也为学生进入高一层学府学习有很大的帮助。所以在人们的日常生活中有着重要意义。 、教学目标 1）知识与技能：能画出简单空间图形（长方体，球，圆柱，圆锥，棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图表示的立体模型，从而进一步熟悉简单几何体的结构特征。 （2）过程与方法：通过直观感知，操作确认，提高学生的空间想象能力、几何直观能力，培养学生的应用意识。 3）情感、态度与价值观：让感受数学就在身边，提高学生学习立体几何的兴趣，培养学生 相互交流、相互合作的精神。 三、设计思路 本节课的主要任务是引导学生完成由立体图形到三视图，再由三视图想象立体图形的复杂过程。直观感知操作确认是新课程几何课堂的一个突出特点，也是这节课的设计思路。通 过大量的多媒体直观，实物直观使学生获得了对三视图的感性认识，通过学生的观察思考，动手实践，操作练习，实现认知从感性认识上升为理性认识。培养学生的空间想象能力，几何直观能力为学习立体几何打下基础。 教学的重点、难点 一）重点：画出空间几何体及简单组合体的三视图，体会在作三视图时应遵循的“长对正、高平齐、宽相等”的原则。 二）难点：识别三视图所表示的空间几何体，即：将三视图还原为直观图。 四、学生现实分析 本节首先简单介绍了中心投影和平行投影，中心投影和平行投影是日常生活中最常见的 两种投影形式，学生具有这方面的直接经验和基础。投影和三视图虽为高中新增内容，但学 生在初中有一定基础，在七年级上册“从不同方向看”的基础上给出了三视图的概念。到了九年级下册则是在介绍了投影后，用投影的方法给出了三视图的概念，这一概念已基本接近 了高中的三视图定义，只是在名字上略有差异。初中叫做主视图、左视图、俯视图。进入高中后特别是再次学习和认识了柱、锥、台等几何体的概念后，学生在空间想象能力方面有了 一定的提高，所以，给出了正视图、侧视图、俯视图的概念。这些概念的变化也说明了学生年龄特点和思维差异五、教学方法 1）教学方法及教学手段 针对本节课知识是由抽象到具体再到抽象、空间思维难度较大的特点，我采用的教法是直观教学法、