【必考题】高一数学上期末一模试卷附答案
一、选择题
1．设23a log =，b =2
3c e
=，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．b c a << D ． a c b <<
2．已知函数ln ()x
f x x
=，若(2)a f =，(3)b f =，(5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b c a <<
B ．b a c <<
C ．a c b <<
D ．c a b <<
3．对于函数()f x ，在使()f x m ≤恒成立的式子中，常数m 的最小值称为函数()f x 的
“上界值”，则函数33
()33
x x f x -=+的“上界值”为（ ）
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．－1
4．已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1
()21
f x x =-有2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =），则1232022x x x x +++
+=( )
A ．1010
B ．2020
C ．1011
D ．2022
5．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间
2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为
A ．
12
，2 B ．
2
C ．
14
，2 D ．
14
，4 6．已知函数()2log 14
x f x x ?+=?+? 00x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t
（单位：小时）之间的函数关系为0kt
P P e -=?（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4
个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8
B ．9
C ．10
D ．14
8．已知全集为R ，函数()()ln 62y x x =--的定义域为集合
{},|44A B x a x a =-≤≤+，且R
A B ?
，则a 的取值范围是（ ）
A ．210a -≤≤
B ．210a -<<
C ．2a ≤-或10a ≥
D ．2a <-或10a >
9．设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有
()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112x
f x ??
=- ???
，若在区间(]2,6-内关于x
的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是 （ ） A ．()1,2
B ．()2,+∞
C
．(
D
．
)
2
10．已知函数f (x )＝12
log ,1,
24,1,
x x x x >????+≤?则1(())2f f )等于( )
A ．4
B ．－2
C ．2
D ．1
11．若函数()[)[]
1,1,0{44,0,1x
x x f x x ??
∈- ?
=??∈，则f (log 43)＝( )
A ．
13
B ．
14
C ．3
D ．4
12．函数y ＝1
1
x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B ．
12 C ．
13
D ．－12
二、填空题
13．若函数()1f x mx x =--有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是______. 14．已知幂函数(2)m
y m x =-在(0,)+∞上是减函数，则m =__________．
15．通过研究函数()42
21021=-+-f x x x x 在x ∈R 内的零点个数，进一步研究得函数
()221021=+--n g x x x x （3n >，n N ∈且n 为奇数）在x ∈R 内零点有__________个
16．已知函数()135
2=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______
17．()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，若(0,3)x ∈时，()lg f x x x =+，则()f x 在(6,3)--上的解析式是______________．
18．已知()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，若不等式()()12f ax f x -≤-在
[]1,2x ∈上都成立，则实数a 的取值范围是___________.
19．0.11.1a =，1
2
2
log 2
b =，ln 2
c =，则a ，b ，c 从小到大的关系是________. 20．若函数在区间
单调递增，则实数的取值范围为
__________．
三、解答题
21．已知函数1
()21
x
f x a =-
+，()x R ∈. （1）用定义证明：不论a 为何实数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；
（2）若()f x 为奇函数，求a 的值；
（3）在（2）的条件下，求()f x 在区间[1，5]上的最小值. 22．设()()12
log 10f x ax =-，a 为常数.若()32f =-.
（1）求a 的值；
（2）若对于区间[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12x
f x m ??>+ ???
恒成立，求实数m 的取值范围 .
23．已知全集U =R ，函数()3lg(10)f x x x =
--的定义域为集合A ，集合
{}|57B x x =≤<
（1）求集合A ； （2）求()U C B A ?. 24．已知函数()22
x
x
f x k -=+?，(
)()log ()2
x
a g x f x =-（0a >且1a ≠），且
(0)4f =.
（1）求k 的值；
（2）求关于x 的不等式()0>g x 的解集； （3）若()82
x t
f x ≥
+对x ∈R 恒成立，求t 的取值范围. 25．已知函数()()()()log 1log 301a a f x x x a =-++<<. （1）求函数()f x 的定义域; （2）求函数()f x 的零点;
（3）若函数()f x 的最小值为4-,求a 的值．
26．已知全集U=R,集合{
}
2
40,A x x x =-≤{
}
22
(22)20B x x m x m m =-+++≤. (Ⅰ)若3m =，求U C B 和A
B ；
(Ⅱ)若B A ?，求实数m 的取值范围.
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
根据指数幂与对数式的化简运算,结合函数图像即可比较大小. 【详解】 因为23a log =,3b =
,
23
c e = 令()2f x log x =,()g x x =
函数图像如下图所示:
则()2442f log ==,()442g == 所以当3x =时23log 3>,即a b <
3b =23
c e = 则6
63
27b =
=,6
26443 2.753.1c e e ??
?==>≈ ???
所以66b c <,即b c < 综上可知, a b c << 故选:A 【点睛】
本题考查了指数函数、对数函数与幂函数大小的比较,因为函数值都大于1,需借助函数图像及不等式性质比较大小,属于中档题.
2．D
【解析】 【分析】
可以得出11
ln 32,ln 251010
a c =
=，从而得出c ＜a ，同样的方法得出a ＜b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】
()ln 2ln 322210a f ===
, ()1ln 25
5ln 5510
c f ===,根据对数函数的单调性得到a>c, ()ln 333b f ==
,又因为()ln 2ln8226a f ===，()ln 3ln 9336
b f ===，再由对数函数的单调性得到a c ＜a ，且a ＜b ；∴c ＜a ＜b ． 故选D ． 【点睛】 考查对数的运算性质，对数函数的单调性．比较两数的大小常见方法有：做差和0比较，做商和1比较，或者构造函数利用函数的单调性得到结果. 3．C 解析：C 【解析】 【分析】 利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”. 【详解】 令3,0x t t => 则 36 1133 t y t t -= =-<++ 故函数()f x 的“上界值”是1； 故选C 【点睛】 本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域. 4．C 解析：C 【解析】 【分析】 函数()f x 和121= -y x 都关于1,02?? ??? 对称，所有1()21f x x =-的所有零点都关于 1,02?? ??? 对称，根据对称性计算1232022x x x x ++++的值. ()()10f x f x ++-=， ()f x ∴关于1,02?? ??? 对称， 而函数121= -y x 也关于1,02?? ??? 对称， ()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02?? ???对称， ()1 21 f x x ∴= -的2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =）， 有1011组关于1,02?? ??? 对称， 122022...101111011x x x ∴+++=?=. 故选：C 【点睛】 本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型. 5．A 解析：A 【解析】 试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间 2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得1 2,2 x =，即 ,m n 的值分别为12 ，2．故选A ． 考点：本题主要考查对数函数的图象和性质． 点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程． 6．C 解析：C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y f f x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设 ()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根， 进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y f f x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数， 设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象， 如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，21 4 t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()1 4 f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3f f x =有5个解. 【点睛】 本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用. 7．C 解析：C 【解析】 【分析】 根据已知条件得出415k e -=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200 kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】 由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0kt P P e -=?，所以 ()400 180%k P Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 5 4 k =， 则由000.5%kt P P e -=，得ln 5 ln 0.0054 t =- ， 所以()23554ln 200 4log 2004log 52ln 5 t ===?5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=. 故选：C. 【点睛】 本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题. 8．C 解析：C 【解析】 【分析】 由()()620x x -->可得{}|26=< 44R C B x a x a 或=-+，再通过A 为 R C B 的子集可得结果. 【详解】 由()()ln 62y x x =--可知，