用空间向量求直线与平面的夹角
1、平面的平行线与平面所成的角：规定为0°；
2、平面的垂线与平面所成的角：规定为90°；
3、平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这
条直线和这个平面所成的角。
4、直线和平面所成的角的范围是（0°，90°）；
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
5、直线AB与平面所成角：（为平面α的法向量）；
6、两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量与，在空间中任取一点O，作
，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作。
注：（1）规定：，当=0时，与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记。
（2）两个向量的夹角唯一确定且。
7、空间向量夹角的坐标表示：。
龙文教育一对一个性化辅导教案
高中的教案 平面向量的模与夹角 学习要点： 1、向量的坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==r r ，则： （1）向量的加减法运算：12(a b x x ±=±r r ，12)y y ±。 （2）实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==r 。 （3）若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--u u u r ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线 段的终点坐标减去起点坐标。 （4）平面向量数量积：1212a b x x y y ?=+r r （5）向量的模：222 2 ||||a a a x y ===+r r r 2、平面向量的数量积： （1）两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量a ， 的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝ 2 π 时，a ，b 垂直。 （2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θr r 叫做a 与 的数量积（或内积或点积），记作：?，即?＝cos a b θr r 。规定：零向量与任一向量的数量积 是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 （3）向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥??=r r r r ； ②当a ，b 同向时，a ?b ＝a b r r ，特别地，22,a a a a a =?==r r r r r ；当a 与b 反向时，a ?b ＝－a b r r ；当θ为锐角时，a ?b ＞0，且 a b r r 、 不同向，0a b ?>r r 可得θ为锐角；当θ为钝角时，a ?b ＜0，且 a b r r 、 不反向，0a b ? 1 9．6空间向量的夹角和距离公式 三维目标： 知识与技能： ⒈使学生知道如何建立空间直角坐标系，掌握向量的长度公式、 夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式 解决有关问题； ⒉使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从而提高 分析问题、解决问题的能力. 过程与方法： 通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使学生在 积极活跃的思维过程中，从“懂”到“会”到“悟”. 情感、态度和价值观：⒈通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习 热情和求知欲，充分体现学生的主体地位； ⒉通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的 魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情. 教学重点：夹角公式、距离公式． 教学难点：数学模型的建立． 关键： 将生活中的问题转化为数学问题，建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空 间向量的坐标. 教具准备：多媒体投影，实物投影仪. 教学过程： (一) 创设情境,新课导入 2008年5月16日，南昌可以说是万人空巷,大家都把自己的爱国热情聚集在圣火的传递上，让我们值得骄傲的是火炬传递中的一站就是我们的南昌大学，其中途经我市雄伟而壮观的生米大桥,为记录传递过程，我校派了小记者在船上进行全景拍摄,出现了这么一个问题. 引例:在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2 m/s 的速度前进，小船以1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上1D 点以东30米的1C 点处，小船在水平D 点以南方向30米的A 处（其中1D D ⊥水面） 求（1）6s 后火炬手与小船的距离？ C 1 A 2 （2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值? （不考虑火炬手与小船本身的大小）. 今天我们从另一个角度来分析这个问题. 分析:建立数学模型 问题（1）转化为:如何求空间中两点间的距离? 问题（2）转化为：如何求空间中两条直线所成角的余弦值？ 1、空间两点间的距离公式 111222(,,)(,,),A x y z B x y z 已知：，则 ()212121,,AB x x y y z z =--- (AB AB AB x =?= ,A B d =2、夹角公式 设()()111222,,,,,a x y z b x y z ==， 则,a OA b OB = = cos ,a b a b a b ?<>== (二)例题示范，形成技能 例1: 在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2 m/s 的速度前进，小船以1 m/s 的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上1D 点以东30米的1C 点处，小船在水平D 点以南方向30米的A 处（其中1D D ⊥水面） 求（1）6s 后火炬手与小船的距离？ （2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值? （不考虑火炬手与小船本身的大小）. 解：建立如图空间直角坐标系， x y z O 111(,,) A x y z 222(,,) B x y z a a b §8.5 空间向量及其运算 1． 空间向量的概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB → ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2． 共线向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理 如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律 (1)定义 空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23， §2.4平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ?b ，即有a ?b = |a ||b |cos θ， （０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义： 数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积. 4．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1? e ?a = a ?e =|a |cos θ； 2? a ⊥b ? a ?b = 0 3? 当a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ?b = -|a ||b |. 特别的a ?a = |a |2或 a a a ?=|| 4? cos θ = | |||b a b a ? ；5?|a ? b | ≤ |a ||b | 5．平面向量数量积的运算律 交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(λa )?b =λ(a ?b ) = a ?(λb ) 分配律：(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课： ⒈ 平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ?. C 【巩固练习】 一、选择题 1. 设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1），（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是( ) A. （-1，-2，5） B. （-1，1，-1） C. （1， 1，1） D. （1，-1，-1） 2. 如图，1111—ABCD A B C D 是正方体，11 11114 A B B E =D F =，则1BE 与1DF 所成角的余弦值是（ ） A ． 1715 B ． 2 1 C ．17 8 D ． 2 3 3. 如图，111—A B C ABC 是直三棱柱，90BCA ∠=?，点11D F 、分别是1111A B AC 、的中点，若 1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ） A ． 1030 B ． 2 1 C ．15 30 D ． 10 15 4. 若向量(12)λ=a ，，与(212)=-b ，，的夹角的余弦值为8 9 ，则λ=( ) A ．2 B ．2- C ．2-或 255 D ．2或255 - 5. 在三棱锥P ABC －中，AB BC ⊥，1 2 AB=BC=PA ，点O D 、分别是AC PC 、的中点，OP ⊥ 底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（ ） A ． 621 B ． 33 8 C ．60 210 D ． 30210 6.（2015秋 湛江校级期末）在正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO=OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 7. 在三棱锥P ABC －中，AB BC ⊥，1 ==2 AB BC PA ，点O D 、分别是AC PC 、的中点，OP ⊥ 底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值是（ ） 空间向量的夹角、距离计算同步练习题 一、选择题 1. 已知 (2 ， -5,1) ， (2 ， -2,4) ， (1 ，-4,1) ，则直线 与 AB 的夹角为（ C ） A B C AC A.30 0 B.45 0 C.600 D.90 0 2. 已知向量 a ＝ (0 ，2， 1) ， b ＝ ( － 1， 1，－ 2) ，则 a 与 b 的夹角为 ( ) A ． 0° B ． 45° C ．90° D ． 180° 解析：选 C.已知 a ＝(0 ， 2， 1) ， b ＝ ( －1， 1，－ 2) ，则 cos 〈 a ， b 〉＝ 0，从而得出 a 与 b 的夹角为 90° . 3. 如果平面外一条直线和它在这个平面上的投影的方向向量分别是 a =（ 0,2,1 ），b =（ ， ， ），那么这条 直线与平面的夹角为 ( D ) A.90 0 B. 60 0 C.45 0 D. 30 4. 边长为 a 的正六边形 ABCDEF 所在平面为 α， PA ⊥ α 且 PA ＝ a ，则 PC 与 α 所成的角为 ( A ) A.30° B.60° C.45° D.90° 5．在棱长为 a 的正方体 －1111中，是 1 的中点，则点 1 到平面 的距离是 ( ) ABCD A B CD M AA A MBD 6 30 3 6 A. B. a C. D. a 6 a 6 4 a 3 D a A ( a, 0 a ) A ( a, 0,0) M 1 B ( a a, 0) 解析： 以 为原点建立空间直角坐标系， 正方体棱长为 a ， 0， a ， ，则1 ， ， ， ， ， 2 → → → 0，－ 1 → 1 D (0,0,0) ，设 n ＝ ( x ，y ，z ) 为平面 BMD 的法向量，则 n · BM ＝0，且 n ·DM ＝ 0，而 BM ＝ a ， ，DM ＝ a ， 0， 2a 2a . 1 1 － y ＋ 2z ＝ 0， y ＝ 2z ， 令 z ＝ 2，则 n ＝ ( － 1,1,2) → ，a ) ，则 A 到平面 所以 所以 ，DA ＝( a, 0 1 1 1 1 x ＋2z ＝ 0， x ＝－ 2z ， 的距离是 → ＝ 6 . 答案： A ＝ | DA ·n | BDM d 1 6 a | n | 6. 已知向量 n =（ 1,0 ， -1 ）与平面 α垂直，且 α经过点 A （ 2,3,1 ），则点 P （4,3,2 ）到 α的距离为 ( B ) A. 1 B. C. D. 2 7. 正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1， O 是 A 1C 1 的中点，则 O 到平面 ABC 1D 1 的距离为（ A ） A. B. C. D. 8．若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°，则直线 l 与平面 α 所成的角等于 ( ) A ．120° B ．60° C ．30° D ．60°或 30° 解析：选 C. 由题意得直线 l 与平面 α 的法向量所在直线的夹角为 60°，∴直线 l 与平面 α 所成的角为 90°－ 60°＝ 30°. 9．设 ， 都是边长为 1 的正方形，⊥面 ，则异面直线 与 BF 所成的角等于 ( ) ABCD ABEF FA ABCD AC A ．45° B ．30° C ．90° D ．60° 解析：选 D.以 B 为原点， BA 所在直线为 x 轴， 所在直线为 y 轴， BE 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系 ( 图 BC → → → → 1 → → 略 ) ，则 A (1,0,0) ，C (0,1,0) ，F (1,0,1) ，∴ AC ＝ ( － 1,1,0) ，BF ＝ (1,0,1) ．∴ cos 〈 AC ，BF 〉＝－ 2. ∴〈 AC ，BF 〉 1 空间向量的夹角、距离计算 1.已知A (2，-5,1)，B (2，-2,4)，C (1，-4,1)，则直线AC 与AB 的夹角为（ ） A.300 B.450 C.600 D.900 2.已知向量a ＝(0，2，1)，b ＝(－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A ．0° B ．45° C ．90° D ．180° 3. 如果平面外一条直线和它在这个平面上的投影的方向向量分别是a =（0,2,1），b =（， ， ），那么这条直线与平面的夹角为( ) A. 900 B. 600 C.450 D. 300 4. 边长为a 的正六边形ABCDEF 所在平面为α，PA ⊥α且PA ＝a ，则PC 与α所成的角为 ( ) A. 30° B. 60° C. 45° D. 90° 5．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是( ) A.66a B.306a C.34a D.63 a 6. 已知向量n =（1,0，-1）与平面α垂直，且α经过点A （2,3,1），则点P （4,3,2）到α的距离为( ) A. 1 B. C. D. 2 7.若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( ) A ．120° B ．60° C ．30° D ．60°或30° 8．设ABCD ，ABEF 都是边长为1的正方形，FA ⊥面ABCD ，则异面直线AC 与BF 所成的角等于( ) A ．45° B ．30° C ．90° D ．60° 9．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝2，DD 1＝3，则AC 与BD 1所成角的余弦值为( ) A ．0 B.37070 C ．－37070 D.7070 10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成的角的正弦值为( ) A ．－105 B.105 C ．－155 D.155 11.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM ，1D N 〉的值为 ( ) A.19 B.49 5 C.29 5 D.23 12. 已知a ，b 是直线，α，β是平面，a ⊥α，b ⊥β，向量a 1在a 上，向量b 1在b 上，a 1＝(1,0,1)， b 1＝(－1,2,1)，则α，β所成二面角的大小为________． 平面向量的模、夹角（人教A版） 一、单选题(共15道，每道6分) 1.已知正方形的边长为1，，，，则( ) A.0 B. C. D.3 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量的模 2.已知向量，，若，则( ) A.1 B. C.4 D.2 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：平行向量与共线向量 3.在△ABC中，如果且，则下列结论一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量的模 4.已知向量满足，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量的模 5.若向量满足，则的值为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量的模 6.已知，则( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：向量的模 7.已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算 8.已知，是两夹角为120°的单位向量，，则( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算 9.已知向量的夹角为，且，则( ) A.4 B.3 C.2 D.1 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算 10.若，则的夹角是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：平面向量数量积的运算 11.若两个非零向量满足，则向量与的夹角是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 【知识要点】 一、两个非零向量的夹角的概念 已知非零向量a 与b ，作,,OA a OB b ==，则(0)A O B θθπ∠=≤≤叫与的夹角.当0θ=时a 与b 同向；当θπ=时，a 与b 反向；当2 π θ= 时，a 与b 垂直，记a b ⊥. （1）对于0,不谈它与其它向量的夹角问题. （2）a 与b 的夹角，记作,a b <>,确定向量a 与b 的夹角时，必须把两个向量平移到同一个起点.如： A ∠>=<, 但是 B ∠>≠<, B ∠->=<π, 二、求两个向量的夹角一般有两种方法 方法一：cos ,a b a b a b <>= 方法二：设a = 11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则cos θ= 【方法讲评】 b a b 求解. 一般没有坐标背景. b ，||,|a b b a b 求解. 【例1】已知,2,x a b y a b =+=+且||||1,.a b a b ==⊥ （1）求||||x y 和；（2）求,x y 夹角的余弦值. 【点评】（1）2 2 2 ||||a a a a ==和是平面向量求模非常重要的两个公式，要注意灵活运用.（2）利用 公式cos ,a b a b a b <>= 求解时，要先求a b ，||,||a b 这些基本量，再代入公式. 【反馈检测1】已知,a b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角. 【例2】 如图，函数2sin(),y x x R π?=+∈（其中02 ?≤≤）的图像与y 轴交于点(0,1). （Ⅰ）求?的值； （Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角的余弦. 【解析】（I ）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin 1,?=即1 sin .2 ?= 因为02 π ?≤≤ ，所以6 π ?= . 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（教案） 教学目标 1．知识目标： ⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； ⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面两点间的距离公式； ⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式； ⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系； 2．能力目标： ⑴培养学生的动手能力和探索能力； ⑵通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合的思想； 3．情感目标： 引导学生探索归纳，感受、理解知识的产生和发展过程，激发学习数学的兴趣. 教学重点 平面向量数量积的坐标表示，以及有关的性质 教学难点 平面向量数量积的坐标运算的综合应用 教学方法 启发引导式，讲练结合，多媒体辅助教学 教学过程设计 3．例题讲解 例1 θ 的夹角 与 求 已知b a b a b a b a, , , ),1 ,3 ( ), 3 ,1 (? - = - = 解： ∵ ∴ 例2． 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 解：如图所示，△ABC是直角三角形. 证明如下： ∵， ∴ ∴ ∴△ABC是直角三角形 先让学生尝试 解答，体会自主应 用新知识解决问题 的过程，然后给出 详细解答. 先让学生画出 简图，直观感知三 角形的形状，然后 引导学生分析解 答.注重培养学生 观察——猜测—— 证明的思维方法. 通过不同解法 的分析，培养学生 分析问题解决问题 的能力。 135 6365 例题变式： 在直角△ABC 中，)1(),32(k OB OA ，，==，，数k 的值； 解：①若 ，则 ∴ ∴ ②若，则 而 ∴ ∴ ③若，则 而 ∴ ∴ 三、评价练习 1.已知(4,3),(5,6)a b =-=则2 3a 4a b=-?（ ） A.23 B.57 C.63 D.83 2. 已知()()a 3,4,b=5,12-则a b 与夹角的余弦为（ ） A. B.65 C D.13 3.()a=2,3,b=(2,4),-则()() a+b a-b =?__________。 4.已知()()a=2,1,b=3a b λ⊥，且则λ＝__________。 5.a=(2,3),b=(-3,5)则a b 在方向上的投影为_________ 先放手让学生自主探索，然后结合几何画板演示，让学生观察，寻找解决问题的思路，培养学生应用分类讨论的思想方法解决问题的能力. 让学生通过练习，自主反思与评价，进而对学习过程进行积极的监控与调节. 2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 一、教材分析 本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。它把向量的数 量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。 二．教学目标 1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题。 2．（1）通出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，学生在自主探究中发现了结论（2）通过对向量平行与垂直的充要条件的坐标表示的类比，教给了学生类比联想的记忆方法。 3．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神、 三、教学重点难点 重点：平面向量数量积的坐标表示. 难点：向量数量积的坐标表示的应用. 四、学情分析 此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用 长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工 具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。因此，本节 内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。所以，本节课采取 以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。因此结合中学生的认知结构特点和学生实 际。我将本节教学目标确定为：1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积 的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题2、 经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的 模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。 五、教学方法 1．实验法：多媒体、实物投影仪。 2．学案导学：见后面的学案。 3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习。 六、课前准备 1．学生的学习准备：预习学案。 2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2) -A 基础练 一、选择题 1.若平面α的一个法向量为n 1=(1,0,1),平面β的一个法向量是n 2=(-3,1,3),则平面α与β所成的角等于 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【参考答案】D 【解析】因为n 1· n 2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α与β所成的角等于90°. 2.已知A (0,1,1),B (2,-1,0),C (3,5,7),D (1,2,4),则直线AB 和直线CD 所成角的余弦值为( ) A. B.- C. D.- 【参考答案】A 【解析】=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),而cos =,故直线AB 和CD 所成角的余弦值为. 3.如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,AA 1=3,AB=AC=BC=2,则AA 1与平面AB 1C 1所成角的大小为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【参考答案】A 【解析】取AB 的中点D ,连接CD ,分别以DA ,DC ,DE 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 可得A (1,0,0),A 1(1,0,3),故=(0,0,3),而B 1(-1,0,3),C 1(0,,3),设平面AB 1C 1的法向量为m =(a ,b ,c ), 根据m·=0,m·=0,解得m =(3,-,2),cos 第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法： ① 几何表示法：_________________________ ② 字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ① 零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ② 单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③ 相等向量：____________________________ ④ 相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ） 数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb 数乘结合律：λ（a μ）=a )(λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。 向量的夹角问题 1.平面向量,41==且满足2=?b a ，则b a 与的夹角为 2.已知非零向量b a ,）（2-⊥=，则b a 与的夹角为 3.已知平面向量b a ,满足424)2.(==-=+-b a b a ）（且，则b a 与的夹角为 4.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则与的夹角为 5.已知的夹角为与则b a ,732=+== 向量共线问题 1. 已知平面向量），（x 32=，平面向量），，（182--= 若∥b ，则实数x = 2. 设向量），（，（3212==若向量b a +λ与 向量)74(--=，共线，则=λ 3.已知向量），（），，（x b a 211==若24-+与平行，则实数x 的值是（ ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2 _____ )10,(),54(),12,(.4=-===k C B A k OC OB k OA 则三点共线，，，，且，已知向量 5．已知），（），，（），，（73231x C B A --，设a AB =， =且∥，则x 的值为 （ ） (A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 18 6．已知a =（1，2），=（-3，2），若k +2与2-4共线， 则实数k 的值为 ； 7．已知，是同一平面内的两个向量，其中a =（1，2） 52=，且∥，则c 的坐标为 8.已知向量），（1n =与),4(n =共线且方向相同，则n 的值为 9.且),2,1(,3==∥，则的坐标为 。 10.已知向量)2,1(,112-=-=-=c m b a ），（），，（， 若（+）∥，则m= 11.已知,不共线，k -=+=,，如果c ∥d ， 那么k= ,c 与d 的方向关系是 12. 已知0a >，若平面内三点23(1)(2)(3)A a B a C a -，，，，， 共线，则a = ． 向量的垂直问题 1．已知向量b a b x a ⊥==且），（)6,3(,1，则实数x 的值为 2．已知向量=--==n n 与），若，（，（211 3．已知a =（1，2），b =（-3，2）若k a +2b 与2a -4b 垂直， 则实数k 的值为 。 442==，且b a 与的夹角为3 π， 若垂直，与b a k b a k 22-+则实数k 的值为 。 5. 已知向量垂直，与且向量），（b a b a ),(b ,a 20123-+λ-=-= 的值为则实数λ 6. 设a ，b 是两个非零向量．（ ） A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b | C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λb D ．若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |－|b | 7.已知,24），（=则与a 垂直的单位向量的坐标为 。 8. =⊥-===k b c a k c b a ，则）若（，），（),2,()3,1(,13 9. ，若向量），（+-==)3,2(,21∥， 【巩固练习】 一、选择题 1. 设平面两个向量的坐标分别为（1，2，1），（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是( ) A. （-1，-2，5） B. （-1，1，-1） C. （1， 1，1） D. （1，-1，-1） 2. 如图，1111—ABCD A B C D 是正方体，11 11114 A B B E =D F =，则1BE 与1DF 所成角的余弦值是（ ） A ． 1715 B ． 2 1 C ．17 8 D ． 2 3 3. 如图，111—A B C ABC 是直三棱柱，90BCA ∠=?，点11D F 、分别是1111A B AC 、的中点，若 1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ） A ． 1030 B ． 2 1 C ．15 30 D ． 10 15 4. 若向量(12)λ=a ，，与(212)=-b ，，的夹角的余弦值为8 9 ，则λ=( ) A ．2 B ．2- C ．2-或 255 D ．2或255 - 5. 在三棱锥P ABC －中，AB BC ⊥，1 2 AB=BC=PA ， 点O D 、分别是AC PC 、的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（ ） A ． 621 B ． 33 8 C ．60 210 D ． 30210 6.（2015秋 校级期末）在正四棱锥S —ABCD 中，O 为顶点在底面的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO=OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 7. 在三棱锥P ABC －中，AB BC ⊥，1 ==2 AB BC PA ，点O D 、分别是AC PC 、的中点，OP ⊥ 底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值是（ ） 平面向量数量积的坐标表示模夹角 教学目标 1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点) 2．会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题．(难点) 3．分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点) [基础·初探] 教材整理平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 阅读教材P106“探究”以下至P107例6以上内容，完成下列问题．1．平面向量数量积的坐标表示： 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 2.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a| 3．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB →＝ 4．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与b夹角为θ，则 cos θ＝ a·b |a|·|b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 . 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0度．() (2)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．( ) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( ) 解：(1)×.因为当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 的夹角也可能为180°. (2)√.由向量数量积定义可知正确． (3)×.因为两向量的夹角有可能为180°. 【答案】 (1)× (2)√ (3)× [小组合作型] 平面向量数量积的坐标运算 (1)(2016·安溪高一检测)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，x )， 且a·b ＝－1，则x 的值等于( ) A ．1 2 B ．－12 C ．32 D ．－32 (2)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，2)，则a·b ＝________，a ·(a －b )＝________. (3)已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，2)，若存在向量c ，满足a·c ＝2，b ·c ＝5，则向量c ＝________. 根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)来进行求解． 解：(1)因为a ＝(1，2)，b ＝(2，x )， 平面向量夹角的计算方法 【知识要点】 一、两个非零向量的夹角的概念 已知非零向量a r 与b r ，作,,OA a OB b ==u u u r r u u u r r ，则(0)AOB θθπ∠=≤≤叫a 与b 的夹角.当0θ=时a r 与 b r 同向；当θπ=时，a r 与b r 反向；当2 π θ=时，a r 与b r 垂直，记a b ⊥r r . （1）对于0,r 不谈它与其它向量的夹角问题. （2）a r 与b r 的夹角，记作,a b <>r r ,确定向量a r 与b r 的夹角时，必须把两个向量平移到同一个起点.如： A AC A B ∠>=<, 但是B B C AB ∠>≠<, B BC AB ∠->=<π, 二、求两个向量的夹角一般有两种方法 方法一：cos ,a b a b a b <>=u u r r r r g r r 方法二：设a r =11(,)x y ,b r =22(,)x y ，θ为向量a r 与b r 的夹角，则121222221 1 2 2 cos x y x y θ= +?+ 【方法讲评】 方法一 利用公式cos ,a b a b a b <>=u u r r r r g r r 求解. 使用情景 一般没有坐标背景. 解题步骤 先求a b r r g ，||,||a b r r ，再代入公式cos ,a b a b a b <>=u u r r r r g r r 求解. 【例1】已知,2,x a b y a b =+=+r r r u r r r 且||||1,.a b a b ==⊥r r r r （1）求||||x y r u r 和；（2）求,x y r u r 夹角的余弦值. 【例1】 在正方体1111ABCD A B C D -中，1111111 44 A B B E D F == =，求1BE 与1DF 所成角的余弦值． 【例2】 直三棱柱111ABC A B C -中，1111BC AC BC AB ⊥⊥，．求证：11 AB AC =． 【例3】 如图所示，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中，90ABC ∠=°，SA ⊥平面 ABCD ，1 12 SA AB BC AD ==== ，．求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． C 1 B 1 A 1 C B A D C B A S 典例分析 板块四.用空间向量计算距离 与角度 【例4】 已知(023)A ，，，(216)B -，，，(115)C -，，，求方向向量为(001)j =，，直线与平 面ABC 所成角的余弦值． 【例5】 已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=， 60BAA DAA ''∠=∠=°，90BAD ∠=°，求AC '的长 【例6】 如图直角梯形OABC 中，π 2 COA OAB ∠=∠= ，2OC =，1OA AB ==，SO ⊥平面OABC ，1SO =，以OC 、OA 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系O xyz -． ⑴求SC 与OB 的夹角α的大小（用反三角函数表示）； ⑵设(1)n p q =，，，满足n ⊥平面SBC ，求 ①n 的坐标； ②OA 与平面SBC 的夹角β（用反三角函数表示）； ③O 到平面SBC 的距离． 【例7】 如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ， G 在AD 上，且4PG =，1 3 AG GD =，BG GC ⊥，2GB GC ==，E 是BC 的中点． ⑴求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值； ⑵求点D 到平面PBG 的距离； ⑶若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求 PF FC 的值． D ' C ' B 'A 'D C B A C B A O S全国高中数学优秀课评选：《9.6空间向量的夹角和距离公式》教学设计教案或说明
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