1.1.1 正弦定理
●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点
正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点
已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
教学过程：
一、复习准备：
1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？
2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理 二、讲授新课：
1. 教学正弦定理的推导：
①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin A =c a sin B =c b
sin C =1 即
c =
sin sin sin a b c
A B C
==
. ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）
当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则
sin sin a b
A B
=. 同理，sin sin a c A C =
③*其它证法：
证明一：（等积法）在任意△ABC 当中S △ABC =111sin sin sin 2
2
2
ab C ac B bc A ==. 两边同除以1
2abc 即得：
sin a A =sin b B =sin c C
. 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴
2sin sin a a
CD R A D
===， 同理 sin b B =2R ，sin c C
＝2R .
证明三;过点A 作单位向量j AC ⊥
， C
由向量的加法可得 AB AC CB =+
则 ()j AB j AC CB ?=?+
A B ∴j AB j AC j CB ?=?+?
()()0
0cos 900cos 90-=+- j AB A j CB C
∴sin sin =c A a C ，即sin sin =
a c A C
同理，过点C 作⊥ j BC ，可得 s i n
s i n =b c B C 从而 sin sin a
b
A B =
sin c
C =
类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）
④ 正弦定理内容：
sin a A =sin b B =sin c C
=2R 简单变形；
基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题：
① 例1：在?ABC 中，已知045A =，060B =， a=10cm ，解三角形.
② 例2：045,2,,ABC c A a b B C ?==中，求和.
讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？思考后见（P8-P9 ） 3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论.
1.1.1 正弦定理
一、教学目标:
熟练掌握正弦定理运用。培养学生发现数学规律的思维方法与能力；通过对定理的应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法.
二、知识复习:
(1) 正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
===， (2) 推论：正余弦定理的边角互换功能
① 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =
②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R
= ③
sin sin sin a b c A B C ===sin sin sin a b c A B C
++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C =
三、典型例题讲解：
（ 1-2题先让学生练习、老师再讲解）
1．在△ABC 中，已知030,10,25===A c a ，则∠B 等于（ ） A ．0105 B ．060 C ．015 D ．0015105或
2．在△ABC 中，已知060,2,6===A b a ，则这样的三角形有________个．
3．在△ABC 中，若5:3:1::=c b a ,求C
B
A sin sin sin 2-的值．
解 由条件51sin sin ==
C A c a ∴C A sin 5
1
sin = 同理可得C B sin 53sin =∴C B A sin sin sin 2-＝C
C
C sin sin 53
sin 512-?＝51-
四、课堂练习:
一、 选择题
1．一个三角形的两内角分别为045与060，如果045角所对的边长是６，那么060角所对的边的边长为（ ）．
Ａ．63 Ｂ．23 Ｃ．33 Ｄ．62 2．在△ABC 中，若其外接圆半径为Ｒ，则一定有（ ）
Ａ．
R C
c B b A a 2sin sin sin === Ｂ．R B a 2sin = Ｃ．aR A 2sin = Ｄ．B R b sin =
3．在△ABC 中，A
b
B a cos cos =，则△AB
C 一定是（ ） Ａ．等腰三角形 Ｂ．直角三角形
Ｃ．等腰直角三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形 解：在△ABC 中，∵
A
b
B a cos cos =，∴a A b B cos cos =，由正弦定理， 得2222R A A R B B A B sin cos sin cos sin sin ==，∴。 ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°，∴A ＝B 或A ＋B ＝90°。 故△AB
C 为等腰三角形或直角三角形。 二、填空题
4．在△ABC 中，已知,6,8==b a 且Ｓ△ABC ＝ 312，则Ｃ＝_______ 5．如果
b
a
B A =--cos 1cos 1，那么△AB
C 是
三、解答题
6．在△ABC 中，若ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，面积Ｓ△ABC ＝４，求2
sin B
的值． 解 由条件,5,2==a c Ｓ△ABC ＝
B ac sin 214sin 5sin 2521==??=B B ∴5
4sin =B 当B 为锐角时，53cos =
B 由512cos 12sin 2=-=B B ∴552sin =B
当B 为钝角时，53cos -
=B 由542cos 12sin 2=-=B B ∴5
522sin =B 7．在△ABC 中，,,,c b a 分别为内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，若060,2+==A B a b ,求Ａ的值． 解∵Ｂ＝Ａ＋060 ∴)60sin(sin 0+=A B A A B c o s 2
3
s i n 21s i n += 又A R B R a b sin 4sin 2,2== ∴A B sin 2sin =
∴A A A cos 23
sin 21sin 2+=
A A c o s
3s i n 3= ∴,3
3
tan =
A 又∵001800＜A＜ ∴030=A 8．在△ABC 中，求证：
2
2221
12cos 2cos b a b B a A -=- 解：.B b A a sin sin =?b B a A sin sin =?2
2)sin ()sin (b
B a A = ?2
222sin sin b
B a A =?222cos 12cos 1b B a A -=-?22221
12cos 2cos b a b B a A -=-
1.1.2 余弦定理（第一课时）
教学目标 知识与技能：
1. 掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题
2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 过程与方法：
1. 学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的
边长与角度之间的一种数量关系——余弦定理
2. 在探究学习的过程中，认识到余弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问
题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力 情感、态度与价值观：
1. 通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意
识
2. 在运用余弦定理的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学习用数学的思
维方式解决问题、认识世界
3. 通过本节的学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价
值、美学价值，不断提高自身的文化素养 教学重点：余弦定理的证明及应用
教学难点：向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程 教学过程
一，创设情境，课题导入
1.复习：已知30,45,16A C b ===
，解三角形（学生板演） 2.若将条件45C =
改成8c =如何解三角形？
设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化的思想和观点
师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”：已知
,,ABC BC a AC b ?==和角C ，求解c ,,B A
引出课题：余弦定理 二．设置问题，知识探究
1.探究：我们可以先研究计算第三边长度的问题，那么我们又从哪些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？
设计意图：期望能引导学生从各个不同的方面去研究、探索得到余弦定理 师生活动：从某一个角度探索并得出余弦定理 3. 考虑用向量的数量积，如图
A
设a b =- ，
22()()2cos c c c a b a b a b ab C ∴=?=-?-=+-
即2222cos c a b ab C =+-
引导学生证明：2
2
2
2cos a b c bc A =+- 2
2
2
2cos b a c ac B =+-
3.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍 三．典型例题剖析
1.例1.在ABC ?中，已知120,2,2,A b cm c cm === 解三角形
分析：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其各角
变式引申：在ABC ?中，已知30,5,A b c ===
2.探究：余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，把这个关系式做某些变形，是否可以解决其他类型的解三角形问题？ 设计意图：（1）引入余弦定理的推论；（2）对一个数学式子做某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题的方法，这是一种研究问题的方法
师生活动：对余弦定理做某些变形，研究变形后所得关系式的应用，因此应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题
引入余弦定理的推论：222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac
+-=，222
cos 2a b c C ab +-=
公式作用：
（1） 已知三边求三角
（2） 若A 为直角，则cos 0A =,从而2
2
2
b c a +=；
若A 为锐角，则cos 0A >，从而2
2
2
b c a +>； 若A 为钝角，则cos 0A <，从而2
2
2
b c a +<
例2.已知在ABC ?中，a b c ==,,A B C
先让学生自己分析、探索，老师进行引导、启发和补充，最后师生一起求解 总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角
变式引申：在ABC ?中，::1)a b c =，求,,A B C
让学生板演，师生共同评判 3.三角形形状的判定
例3.在ABC ?中，cos cos a A b B =,试确定此三角形的形状 求解思路：判断三角形的形状可有两种思路：一是利用边之间的关系来判断，在运算过程中，尽可能把角的关系转化为边的关系；二是利用角之间的关系来判断，将边转化为角 变式引申：在ABC ?中，若()()3a b c b c a bc +++-=，并且sin 2sin cos A B C =，判断三角形的形状 四．课堂检测反馈
1．已知在ABC ?中，60,8,3A b c === ，则a = （ ）
.2A .4B .7C .9D
2. 在ABC ?中,若1,1,a b c ==ABC ?的最大角的度数为（ ）
.120A .90B .60C .150D
3.在ABC ?中，5,6,8AB BC AC ===,则ABC ?的形状是（ ）
.A 锐角三角形 .B 直角三角形 .C 钝角三角形 .D 非钝角三角形 五．课时小结
1.学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结
2.运用向量方法推导出余弦定理，并能灵活运用余弦定理解决解三角形的两种类型及判断三角形的形状问题 六．课后作业
课本第10页A 组3（2），4（2） B 组第2题
§2.1.1数列的概念与简单表示法
授课类型：新授课
（第1课时）
●教学目标
知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣
●教学重点
数列及其有关概念，通项公式及其应用
●教学难点
根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
●教学过程
Ⅰ.课题导入
观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义）
上述例子的共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序.
从而引出数列及有关定义
Ⅱ.讲授新课
⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.
注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….
例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.
⒊数列的一般形式：
,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31
”
是这个数列的第“3”项，等等
下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：
项 1 51
41312
1 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：
n a n 1
=
来表示其对应关系
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系 ⒋ 数列的通项公式：如果数列
{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那
么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以
是2)1(11
+-+=
n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n .
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系
数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数
()n a f n =，
当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，… 6．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列 2）根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 [范例讲解] 例1 根据下面数列
{}n a 的通项公式，写出前5项：
（1）
n a n n
a n n n ?-=+=
)1()2(;1
分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的
前5项
解：（1）
;65
;54;43;32;21.5,4,3,2,154321=====
=a a a a a n (2)
;5;4;3;2;21
.5,4,3,2,154321-==-===
=a a a a a n
例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7； （2）;51
5;414,313;2122222---- （3）-211?，321?，-431?，541
?.
解：
（1）项1=231-1 3=232-1 5=233-1 7=234-1 ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 即这个数列的前4项都是序号的2倍减去1， ∴它的一个通项公式是：
12-=n a n ；
（2）序号：1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓
项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 ↓ ↓ ↓ ↓
项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1
即这个数列的前4项的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去1，∴它的一个通项
公式是：
1)1(2+-=
n n n a n ； （3）序号 211
1 ?-
↓
321 3 ?-↓ 431 3 ?-↓ 541 4
?-↓
‖ ‖ ‖ ‖
)11(11)1(1
+?- )12(21)1(2+?- )13(31)1(3+?- )12(21
)1(2
+?-
这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，
所以它的一个通项公式是：
)1(1
)1(+-=n n a n
n
Ⅲ.课堂练习
课本[练习]3、4、5
[补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) 32, 154, 356, 638, 9910
, ……；
(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……； (5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….
解：(1) n a ＝2n ＋1； (2) n a ＝)12)(12(2+-n n n ； (3) n a ＝2)1(1n
-+；
(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,
∴n a ＝n ＋2)1(1n
-+；
(5) 将数列变形为132, －233, 334, －435, 536,……， ∴
n a ＝(－1)1+n n(n ＋1)
Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式。 Ⅴ.课后作业
课本习题2.1A 组的第1题
§2.1.1数列的概念与简单表示法
【课前预习】
1、在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55，…中，x 的值是
A 、19
B 、 20
C 、 21
D 、22 2、观察下面数列的特点，用适当的数填空 （1） ，14 ，19 ，1
16 ， ；
（2）32 ，54 ， ，1716 ，33
32
， 。
3 .已知数列
{}n a ，85,11n a kn a =-=且，则17a = .
4 根据下列数列的前几项的值，写出它的一个通项公式。
（1）数列0.7,0.77,0.777,0.7777,…的一个通项公式为 . （2）数列4,0,4,0,4,0,…的一个通项公式为 .
（3）数列1524354863,,,,,,25101726 的一个通项公式为 .
5.已知数列{}n a 满足12a =-，
1221n
n n a a a +=+
-，则4a = .
1 C 2
（1）1，251
（2）6465,
89
3.29
4. （1）an=)1011(97n -;（2）an=2+22(-1)n+1 （3）
22(3)11n
n a n +-=+ 5.25- 【课内探究】
1 展示三角形数、正方形数，提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？
（1）概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。
（2）辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？给出首项与第n 项的定义及数列的记法：{an}
（3）数列的分类: 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。 3 数列的表示方法
（1）函数y=7x+9 与y=3 x ，当依次取1，2，3，…时，其函数值构成的数列各有什么特点？
（2）定义数列{an}的通项公式
（3）数列{an}的通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列的哪些方面的性质？
（4）用列表和图象等方法表示数列，数列的图象是一系列孤立的点。 4、例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）1，-1/2，1/3，-1/4； （2）2，0，2，0． 【课后提高】
1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…的第100项是 .
2.数列{an}中，a1=1,对于所有的n ≥2，n ?N*都有a12a22a32…2an=n2，则a3+a5= .
3.数列-1,58，-715，924
，…的一个通项公式是 .
4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖 块.（用含n 的代数式表示）
5.若数列{an}的通项公式an=2
)1(1
+n ，记f （n ）=2(1-a1)(1-a2)…(1-an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)= (用含n 的代数式表示）.
6.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
（1）32，154，356，638，9910
，… （2）21，2，29，8，225
，…
（3）5，55，555，5 555，55 555，… （4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，… （5）1，3，7，15，31，…
（3）联想
个n 999=10n-1, 则an= 个n 555=95
个n )999(=95(10n-1),
即an=95
(10n-1).
（4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，…，
则an=5sin 2π
n .
（5）∵1=2-1，3=22-1，7=23-1，… ∴an=2n-1
故所求数列的通项公式为an=2n-1.
§2.1.2数列的概念与简单表示法
授课类型：新授课 （第２课时） ●教学目标
知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与
n a 的关系
过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。
情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点
根据数列的递推公式写出数列的前几项 ●教学难点
理解递推公式与通项公式的关系 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [复习引入]
数列及有关定义 Ⅱ.讲授新课 数列的表示方法 通项公式法 如果数列
{}n a 的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这
个数列的通项公式。
如数列 的通项公式为
；
的通项公式为
；
的通项公式为 ；
图象法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项
为纵坐标，即以
为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列
为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐
标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以
直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 递推公式法
知识都来源于实践，最后还要应用于生活 观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型． 模型一：自上而下：
第1层钢管数为4；即：1?4＝1+3 第2层钢管数为5；即：2?5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3?6＝3+3 第4层钢管数为7；即：4?7＝4+3 第5层钢管数为8；即：5?8＝5+3 第6层钢管数为9；即：6?9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7?10＝7+3
若用
n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n
≤7）
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。
让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律） 模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
即41=a ；114512+=+==a a ；115623
+=+==a a
依此类推：
11+=-n n a a （2≤n ≤7）
对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。 定义：
递推公式：如果已知数列
{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前
n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式
递推公式也是给出数列的一种方法。
如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89 递推公式为：
)83(,5,32121≤≤+===--n a a a a a n n n
数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：
列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表
示第一项，用 表示第一项，……，用 表示第 项，依次写出成为
4、列表法
．简记为
．
[范例讲解]
例1 设数列{}n a 满足11111(1).n n a a n a -=?
?
?
=+>??写出这个数列的前五项。
解：分析：题中已给出
{}n a 的第1项即11=a ，递推公式：
11
1-+
=n n a a
解：据题意可知：3211,211,123121=+==+
==a a a a a ，58,3511534==+=a a a
[补充例题]
例2已知21=a ，n n a a 21
=+ 写出前5项，并猜想n a ．
法一：21=a 2
2222=?=a 323222=?=a ，观察可得 n n a 2=
法二：由
n n a a 21
=+ ∴12-=n n a a 即2
1
=-n n
a a
∴ 11
2322112------=????n n n n n n n a a a a a a a a
5．数列的前n 项和： 数列
{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S .
1S 表示前1项之和：1S =1a
2S 表示前2项之和：2S =21a a +
……
1-n S 表示前n-1项之和：1-n S =1321-++++n a a a a n S 表示前n 项之和：n S =n a a a a ++++ 321.
∴当n ≥1时n S 才有意义；当n-1≥1即n ≥2时1-n S 才有意义.
3．n S 与n a 之间的关系：
由
n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，
即n a =??
?≥-=-)2()
1(11n S S n S n n .
说明：数列的前n 项和公式也是给出数列的一种方法.
三、例题讲解
例3已知数列{}n a 的第1项是1，以后的各项由公式
11
1-+
=n n a a 给出，
写出这个数列的前5项
分析：题中已给出
{}n a 的第1项即11=a ，递推公式：
111-+
=n n a a
解：据题意可知：
123121131,12,12a a a a a ==+
==+=
58
,3511534==+
=a a a
例4已知数列{}n a 中，n a a a a a n n n (3,2,12121--+===≥3）
，试写出数列的前4项
解：由已知得
233,73,2,123412321=+==+===a a a a a a a a
例5已知21=a ，n n a a 21
=+ 写出前5项，并猜想n a ．
法一：21=a 2
2222=?=a 323222=?=a ，观察可得 n n a 2=
法二：由
n n a a 21
=+ ∴12-=n n a a 即2
1
=-n n
a a
∴ 11
2322112------=????n n n n n n n a a a a a a a a
∴ n
n n a a 2211=?=-
例6 已知数列{}n a 的前n 项和，求数列的通项公式：
⑴
n S =n 2+2n ； ⑵ n S =n 2-2n-1.
解：⑴①当n ≥2时，
n a =n S -1-n S =(n 2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1；
②当n=1时，1a =1S =12
+231=3； ③经检验，当n=1时，2n+1=231+1=3， ∴
n a =2n+1为所求.
⑵①当n ≥2时，
n a =n S -1-n S =(n 2-2n-1)-[(n-1)2+2(n-1)-1]=2n-3；
②当n=1时，1a =1S =12
-231-1=-2；
③经检验，当n=1时，2n-3=231-3=-1≠-2，
∴n a =?
??≥-=-)2(32)1(2n n n 为所求.
Ⅲ.课堂练习 课本P36练习2 Ⅳ.课时小结
本节课学习了以下内容：
1．递推公式及其用法；
2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n 项）之间的关系. Ⅴ.课后作业
习题2。1A 组的第4、6题
学校：临清二中 学科：数学 编写人：赵云雨 一审：李其智 二审：马英济 §2.1.2数列的概念与简单表示法 课前预习
1.数列 ,1,0,1,0,1的一个通项公式是 （ ）
A.
()2111
+--=
n n a B.
()2111
+-+=
n n a C.
()2
11--=
n
n
a D. ()211n
n a ---=
2.已知
031=--+n n a a ，则数列{}n a 是 （ ）中学学科网
A. 递增数列
B. 递减数列
C. 常数列
D. 摆动数列
3.数列{}n a 的通项公式为
n n a n 2832
-=，则数列{}n a 各项中最小项是 （ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项
4.已知数列的通项公式为
1582
+-=n n a n ，则3 （ ） A. 不是数列
{}n a 中的项 B. 只是数列{}n a 中的第2项 C. 只是数列
{}n a 中的第6项 D. 是数列{}n a 中的第2项或第6项
5.数列 ,28,21
,,10,6,3,1x 中，由给出的数之间的关系可知x 的值是（ ）中学学科网 A. 12 B. 15 C. 17 D. 18
6.下列说法正确的是 （ ）
数列1，3，5，7可表示为{
}7,5,3,1 数列1，0，2,1--与数列1,0,1,2--是相同的数列
数列??
????+n n 1的第k 项是
k 1
1+ D. 数列可以看做是一个定义域为正整数集*
N 的函数
7.数列{}n a 的前n 项和2
23n S n n =-，则n a = 。
1.B
2.A
3.B
4.D
5.B
6.C7
45n a n =-
课内探究
1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式
(1) 1a ＝0, 1+n a ＝n a ＋(2n －1) (n ?N)； (2) 1a ＝1, 1+n a ＝22+n
n a a (n ?N)；
(3) 1a ＝3, 1+n a ＝3n a －2 (n ?N).
解：(1) 1a ＝0, 2a ＝1, 3a ＝4, 4a ＝9, 5a ＝16, ∴ n a ＝(n －1)2;
(2) 1a ＝1,2a ＝32,3a ＝4221=, 4a ＝52, 5a ＝6231=, ∴ n a ＝12
+n ;
(3) 1a ＝3＝1+203?, 2a ＝7＝1+213?, 3a ＝19＝1+223?,
4a ＝55＝1+233?, 5a ＝163＝1+243?, ∴ n a ＝1＋2231-n ;
2． ．已知下列各数列{}n a 的前n 项和n S 的公式，求{}n a 的通项公式
(1)
n S ＝2n 2－3n; (2) n S ＝n 3－2.
解：(1) 1a ＝－1,
n a =n S -1-n S ＝2n 2－3n －[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5,
又1a 符合1a ＝421－5, ∴
n a ＝4n －5;
(2) 1a ＝1, n a =n S -1-n S ＝n 3－2－(13-n －2)＝2213-n ,
∴n a ＝???≥?=-2321
11
n n n
∴ n
n n a a 2211=?=-
课后提高
1.
,
则是这个数列的 A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项 2. 数列
{}n a 的前n 项积为2n ，那么当2n ≥时，{}n a 的通项公式为
A.21n a n =-
B.2n a n =
C.2
2(1)n n a n += D.22(1)n n a n =-
3、若一数列的前四项依次是2，0，2，0，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（ ）。
（A ）an= 1－(－1)n （B ）an=1＋(－1)n ＋1
（C ）an=2sin22π
n （D ）an=(1－cosn π)＋(n －1)(n －2)
4. 在数列
{}n a 中，12n n n a a a ++=+，122,5a a ==，则6a 的值是
A.3-
B.11-
C.5-
D.19
5. 数列31537,,,,,5211717 的一个通项公式是 。
6. 数列{}n a 的前n 项和2
23n S n n =-，则n a = 。
7. 数列{}n a 满足
2
12231n a a a n n +++=-+ ，则4510a a a +++= 。 8. 根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n 个图中有___________个点.
（1） （2） （3） （4） （5）
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
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