1 阈值获取
MATLAB 中实现信号阈值获取的函数有ddencmp 、thselect 、wbmpen 和wdcbm ，下面对它们的用法进行简单的说明。
函数Ddencmp 的调用格式
(1)[THR ，SORH ，KEEPAPP ，CRIT]=ddencmp(IN1，IN2，X)
(2)[THR ，SORH ，KEEPAPP ，CRIT]=ddencmp(IN1，'wp'，X)
(3)[THR ，SORH ，KEEPAPP]=ddencmp(IN1，'wv'，X)
函数ddencmp 用于获取在消噪或压缩过程中的默认阈值。输入参数X 为一维或二维信号；IN1取值为'den'或'crop'，den 表示进行去噪，crop 表示进行压缩；IN2取值为'wv'或'wp'，wv 表示选择小波，wp 表示选择小波包。返回值THR 是返回的阈值；SORH 是软阈值或硬阈值选择参数；KEEPAPP 表示保存低频信号；CRIT 是熵名(只在选择小波包时用)。
函数thselect 的调用格式
THR=thselect(X ，TPTR)
THR=thselect(X ，TPTR)根据字符串TPTR 定义的阈值选择规则来选择信号X 的自适应阈值。
自适应阈值选择规则包括下面四种：
"
（1）TPTR='rigrsure'，自适应阈值选择使用Stein 的无偏风险估计原理。
（2）TPTR='heursure'，使用启发式阈值选择。
（3）TPTR='sqtwolog'，阈值等于sqrt(2*log(1ength(X)))。
（4）TPTR='minimaxi'，用极大极小原理选择阈值。
阈值选择规则基于模型e t f y +=)(，e 是高斯A 噪声N(O ，1)。
函数wbmpen 的调用格式
THR=wbmpen(C ，L ，SIGMA ，ALPHA)
THR=wbmpen(C ，L ，SIGMA ，ALPHA)返回去噪的全局阈值THR 。THR 通过给定的一种小波系数选择规则计算得到，小波系数选择规则使用Birge-Massart 的处罚算法。[C ，L]是进行去噪的信号或图像的小波分解结构；SIGMA 是零均值的高斯白噪声的标准偏差；ALPHA 用于处罚的调整参数，它必须是一个大于1的实数，一股取ALPHA=2。
设t*是crit(t)=-sum(c(k)^2，k<=t)+2*SIGMA^2*t*(ALPHA+log(n/t))的最
小值，其中c(k)是按绝对值从大到小排列的小波包系数，n 是系数的个数，则THR=c(t*)。
wbmpen(C ，L ，SIGMA ，ALPHA ，ARG)计算阈值并画出三条曲线。
（1）2*SIGMA^2*t*(ALPHA+10g(n/t))
（
（2）Sum(c(k)^2，k<=t)
（3）crit(t)
函数wdcbm 的调用格式
(1)[THR ，NKEEP]=wdcbm(C ，L ，ALPHA)
(2)[THR ，NKEEP]=wdcbm(C ，L ，ALPHA ，M)
函数wdcbm 用于使用Birge-Massart 算法获取一维小波变换的阈值。返回值THR 是与尺度无关的阈值，NKEEP 是系数的个数。[C ，L]是要进行消噪或压缩的信号在j=length(L)-2层的分解结构；ALPHA 和M 必须是大于1的实数；THR 是关于j 的向量，THR(i)是第i 层的阈值；NKEEP 也是关于j 的向量，NKEEP(i)是i 层的系数个数。一般压缩时ALPHA 取，去噪时ALPHA 取3。
2 信号的阈值去噪
MATLAB 中实现信号的阈值去噪的函数有wden 、wdencmp 、wthresh 、wthcoef 、wpthcoef 以及wpdencmp 。下面对它们的用法进行简单的介绍。
函数wden 的调用格式
(1)[XD ，CXD ，LXD]=wden(X ，TPTR ，SORH ，SCAL ，N ，'wname')
(2)[XD ，CXD ，LXD]=wden(C ，L ，TPTR ，SORH ，SCAL ，N ，'wname')
^
函数wden 用于一维信号的自动消噪。X 为原始信号，[C ，L]为信号的小波分解，N 为小波分解的层数。
TPTR 为阈值选择规则，TPTR 的取值有以下四种：
·TPTR='rigrsure'，采用Stein 无偏似然估计。
·TPTR='heursure'，采用启发式阈值选择。
·TPTR='sqtwolog'，取通用阈值n t n log 2σ=。
·TPTR='minimaxi'，采用极大极小值进行阈值选择。
SORH 是软阈值或硬阈值的选择(分别对应's'和'h')。
SCAL 指所使用的阈值是否需要重新调整，包含下而三种：
·SCAL='one'，不调整。
·SCAL='sln'，根据第一层的系数进行噪声层的估计来调整阈值。 ·SCAL='mln'，根据不同层的噪声估计来调整阈值。
（
XD 为消噪后的信号，[CXD ，LXD]为消噪后信号的小波分解结构。格式(1)返回对信号X 经过N 层分解后的小波系数进行阈值处理后的消噪信号XD 和信号XD 的小波分解结构[CXD ，LXD]。格式(2)返回参数与格式(1)相同，但其结构是由直接对信号的小波分解结构[C,L]进行阈值处理得到的。
函数wdencmp 的调用格式
(1)[XC ，CXC ，LXC ，PERF0，PERFL2]=wdenemp('gbl ’，X ，'wname'，N ，THR ，SORH,KEEPAPP)
(2)[XC ，CXC ，LXC ，PERF0，PERFL2]=wdencmp('1vd'，X ，'wname'，N ，THR ，SORH)
(3)[XC ，CXC ，LXC ，PERF0，PERFL2]=wdencmp('1vd ’，C ，L ，'wname'，N ，THR ，SORH)
函数wdencmp 用于一维或二维信号的消噪或压缩。wname 是所用的小波函数，gbl(global 的缩写)表示每层都采用同一个阈值进行处理，lvd 表示每层用不同的阈值进行处理，N 表示小波分解的层数，THR 为阈值向量，对于格式(2)和(3)每层部要求有一个阈值，因此阈值向量THR 的长度为N ，SORH 表示选择软阈值或硬阈值(分别取值为's'和'h)，参数KEEPAPP 取值为1时，则低频系数不进行阈值量化，反之，则低频系数要进行阈值量化。XC 是消噪或压缩后的信号，[CXC,LXC]是XC 的小波分解结构，PERF0和PERFL2是恢复和压缩2L 的范数百分比。如果[C ，L]是X 的小波分解结构，则PERFL2=100*(CXC 向量的范数/C 向量的范数)2；如果X 是一维信号，小波wname 是一个正交小波，则PERFL2=22/100X XC 。 函数wthresh 的调用格式
Y=wthresh(X ，SORH ，T)
Y=wthresh(X ，SORH ，T)返回输入向量或矩阵X 经软阈值(如果SORH='s')或 硬阈值(如果SORH='h')处理后的信号。T 是阈值。
Y=wthresh(X ，'s'，T)返回的是Y=+-?)|(|)(T X X SING ，即把信号的绝对值与阈值进行比较，小于或等于阈值的点变为0，大于阈值的点变为该点值与阈值的差值。
{
Y=_wthresh(X ，'h'，T)返回的是Y=)|(|1T X X >?，即把信号的绝对值与阈值比较，小于或等于阈值的点变为0，大于阈值的点保持不变。一股来说，用硬阈值处理后的信号比软阈值处理后的信号更粗糙。
函数wpthcoef 的调用格式
T=wpthcoef(T ，KEEPAPP ，SORH ，THR)
NT=wpthcoef(T ，KEEPAPP ，SORH ，THR)通过对小波包树T 的系数进行阈值处理后返回一个新的小波包树NT 。如果KEEPAPP=1，则细节信号的系数不进行阈值处理；否则，就要进行阈值处理。如果SORH='s'，使用软阈值，如果SORH='h'，则使用硬阈值。THR 是阈值。
函数wthcoef 的调用格式有下面四种：
(1)NC=wthcoef('d'，C ，L ，N ，P)
(2)NC= wthcoef('d'，C ，L ，N)
(3)NC=wthcoef('a'，C ，L)
(4)NC=wthcoef('t'，C ，L ，N ，T ，SORH)
函数wthcoef 用于一维信号小波系数的阈值处理。
格式(1)返回小波分解结构 [C ，L]经向量N 和P 定义的压缩率处理后的新的小波分解向量NC ，[NC ，L]即构成一个新的小波分解结构。N 包含要被压缩的细节向量，P 是把较小系数置0的百分比信息的向量。N 和P 的长度必须相同，向量N 必须满足1≤N(i)≤length(L)-2。
&
格式(2)返回小波分解结构[C ，L]经过将向量N 中指定的细节系数置0后的小波分解向量NC 。
格式(3)返回小波分解结构[C ，L]经过近似系数置0后的小波分解向量NC 。 格式(4)返回小波分解结构[C ，L]经过将向量N 作阈值处理后的小波向量NC 。如果SORH='s'，则为软阈值；如果SORH='h'，则为硬阈值。N 包含细节的尺度向量，T 是N 相对应的阈值向量。N 和T 的长度必须相等。
函数wpdencmp 的调用格式
(1)[XD ，TREED ，PERF0，PERFL2]=wpdencmp(X ，SORH ，N ，'wname'，CRIT,PAR,KEEPAPP)
(2)[XD ，TREED ，PERF0，PERFL2]=wpdencmp(TREE ，SORH ，CRIT ，PAR ，KEEPAPP) 函数wpdencmp 用于使用小波包变换进行信号的压缩或去噪。
格式(1)返回输入信号X(一维和二维)的去噪或压缩后的信号XD 。输出参数TREED 是XD 的最佳小波包分解树；PERFL2和PERF0是恢复和压缩L2的能量百分比。PERFL2=100*(XD 的小波包系数范数/X 的小波包系数)2。如果X 是一维信号，wname 是正交小波，则PERFL2=22/100X XC 。SORH 的取值为's'或'h'，表示是软阈值或硬阈值。
输入参数N 是小波包分解的层数，wname 是包含小波名的字符串。函数使用由字符串CRIT 定义的熵标准和阈值参数PAR 实现最佳分解。如果KEEPAPP=1，则近似信号的小波系数不进行阈值量化；否则，则进行量化。
小波的几个术语及常见的小波基介绍 本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾，了解一下常见的小波函数，混个脸熟，知道一下常见的几个术语，有个印象即可，这里就当是先作一个备忘录，以后若有需要再深入研究。 一、小波基选择标准 小波变换不同于傅里叶变换，根据小波母函数的不同，小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点： 1、支撑长度 小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间，是当时间或频率趋向于无穷大时，Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长，一般需要耗费更多的计算时间，且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波，因为支撑长度太长会产生边界问题，支撑长度太短消失矩太低，不利于信号能量的集中。 这里常常见到“紧支撑”的概念，通俗来讲，对于函数f(x)，如果自变量x在0附近的取值范围内，f(x)能取到值；而在此之外，f(x)取值为0，那么这个函数f(x)就是紧支撑函数，而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外，函数为零，即函数有速降性”。 2、对称性 具有对称性的小波，在图像处理中可以很有效地避免相位畸变，因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。 3、消失矩 在实际中，对基本小波往往不仅要求满足容许条件，对还要施加所谓的消失矩（Vanishing Moments）条件，使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数，这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大，就使更多的小波系数为零。但在一般情况下，消失矩越高，支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上，我们必须要折衷处理。
测试信号处理作业 题目：基于小波变换的语音信号去噪 年级：级 班级：仪器科学与技术 学号： 姓名： 日期：2015年6月
基于小波变换的语音信号去噪 对于信号去噪方法的研究是信号处理领域一个永恒的话题。经典的信号去噪方法，如时域、频域、加窗傅立叶变换、维纳分布等各有其局限性，因此限制了它们的应用范围。小波变换是八十年代末发展起来的一种新时-频分析方法，它在时-频两域都具有良好的局部化特性；并且在信号去噪领域获得了广泛的应用。 目前已经提出的小波去噪方法主要有三种：模极大值去噪、空域相关滤波去噪以及小波阈值去噪法。阈值法具有计算量小、去噪效果好的特点，取得了广泛的应用。然而在阈值法中，阈值的选取直接关系到去噪效果的优劣。如果阈值选取过小，那么一部分噪声小波系数将不能被置零，从而在去噪后的信号中保留了部分噪声信息；如果阈值选的偏大，则会将一部分有用信号去掉，使得去噪后的信号丢失信息。 1、语音信号特性 由于语音的生成过程与发音器宫的运动过程密切相关，而且人类发音系统在产生不同语音时的生理结构并不相同，因此使得产生的语音信号是一种非平稳的随机过程(信号)。但由于人类发生器官变化速度具有一定的限度而且远小于语音信号的变化速度，可以认为人的声带、声道等特征在一定的时间内(10- 30ms)基本不变，因此假定语音信号是短时平稳的，即语音信号的某些物理特性和频谱特性在10-30ms的时间段内近似是不变的，具有相对的稳定性，这样可以运用分析平稳随机过程的方法来分析和处理语音信号。在语音增强中就是利用了语音信号短时谱的平稳性。 语音信号基本上可以分为清音和浊音两大类。清音和浊音在特性上有明显的区别，清音没有明显的时域和频域特性，看上去类似于白噪声，并具有较弱的振幅；而浊音在时域上有明显的周期性和较强的振幅，其能量大部分集中在低频段内，而且在频谱上表现出共振峰结构。在语音增强中可以利用浊音所具有的明显的周期性来区别和抑制非语音噪声，而清音由于类似于白噪声的特性，使其与宽带平稳噪声很难区分。 由于语音信号是一种非平稳、非遍历的随机过程，因此长时间时域统计特性对语音信号没有多大的意义，而短时谱的统计特性对语音信号和语音增强有着十分重要的作用。语音信号短时谱幅度统计特性的时变性，使得语音信号的分析帧在趋于无穷大时，根据中心极限定理，其短时谱的统计特性服从高斯(Gauss)分布，而在实际应用时只能在有限帧长下进行处理，因此，在有限帧时这种高斯分布的统计特性是一种近似的描述，这样就可以作为分析宽带噪声污染的带噪语音信号增强应用时的前提和假设。
第四章小波变换降噪分析 小波变换是一种崭新的时域 (频域信号分析工具。它的发展和思想都来自于傅里叶分析,且在保留了傅里叶分析优点的基础上,较好的解决了时间和频率分辨率的矛盾,在频域与空间域中能够同时具有良好的局部化特性,可进行局部分析。小波去噪的基本原理是根据原始信号和噪声的小波系数在不同尺度上所具有的不同性质,构造相应的规则,在小波域采用其他数学方法对含噪信号的小波系数进行处理。 4.1 小波变换理论的研究 连续小波变换 设2( ( t L R ψ∈(2( L R 表示平方可积的的空间,即能量有限的信号空间, 其傅立叶变换为( ψ ω。当( ψω满足允许条件 (Admissible Condition: 2 ( C φωωω +∞ -∞ =<∞? (4.1 时,我们称( t ψ为一个基本小波或母小波 (Mother Wavelet 。将母小波函数 ( t ψ经伸缩和平移后,就可以得到一个小波序列。对于连续情况,小波序列 为: , ( (
a b t b t a ψ-= , a b R ∈ 0a ≠ (4.2 其中, a ——伸缩因子; b ——平移因子; ——能量归一化因子。 这样对于任一信号 20 1 1( (, ( f t b f t a b dadb C a a φ ωψ∞ ∞ -∞-= ? ?,连续小波变换定义为: , , (, (, ( ( ( a b a b CWT a b f t t f t t dt
ψ∞-∞ ==? (4.3 其逆变换为: 20 11( (, ( f t b f t a b dadb C a a φ ωψ∞ ∞ -∞-= ? ? (4.4 离散小波变换 实际应用中,尤其是在计算机上实现,如在信号处理领域,必须对连续小波加以离散化。需要强调的是,这一离散化都是针对连续的尺度参数 a 和连续平移参数 b 的,而不是针对时间变量 t 的,这与其它形式的离散化不同。在连续小波中,考虑函数(4.5: , ( ( a b t b
小波分析浅析 —— 李继刚 众所周知，以π2为周期的复杂的波都可以用以π2为周期的函数)(t f （模拟信号）来描述，它可以由形如)sin(n n nt A θ+的若干谐波叠加而成，因此，完全有理由认为)(t f 有如下的表现形式： ∑ ∑ ∑ ∞ =∞ =∞ =+= += += ) sin cos ()cos sin cos sin ()sin()(n n n n n n n n n n n nt b nt a nt A nt A nt A t f θθθ 为了确定上式中的系数n n b a ,，可以利用Fourier 变换，可以得到函数)(t f 的Fourier 级数，即 ??? ? ? ? ? ?? ====++=??∑--+∞ =π πππππ.,2,1,sin )(1,,1,0,cos )(1),sin cos (2)(1 0 n ntdt t f b n ntdt t f a nt b nt a a t f n n n n n 如果函数以T 为周期，则通过对t 作T w x T t ππ2,2= ?=变换，可以得到函数的Fourier 级数，即 ??? ? ? ? ? ??=?==?=?+?+=??∑--+∞ =π πππ .,2,1,sin )(2,,1,0,cos )(2),sin cos (2)(1 0 n wtdt n t f T b n wtdt n t f T a wt n b wt n a a t f n n n n n 从时域角度来理解Fourier 级数，将}sin ,{cos wt n wt n ??看作是具有频率w n ?的谐波，则时域表现的函数)(t f 可分解为无穷个谐波之和。 从频域角度来理解Fourier 级数，因为)(t f 的频域范围是[)+∞∈,0w ，所以，可将w 轴用间距w ?作离散分化，离散点w n ?处对应着频率为w n ?的谐波}sin ,{cos wt n wt n ??，这样就可将时域函数)(t f 与谐波组成1-1对应关系，即 +∞???0}sin ,cos {)(wt n b wt n a t f n n
小波分析及其在通信中的应用 专业：电子信息工程 姓名：张天雷 学号：123408148 河南城建学院 2011年05月29日
小波分析及其在通信中的应用 摘要：小波分析是傅里叶分析的重大突破，是当今许多领域研究的热点。从小波分析的发展历程出发，介绍了小波在现代通信中的一些应用，并指出了未来的一些研究方向。 关键词：小波变换；傅里叶变换；小波应用；通信 小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。小波分波是自1986年以来由于Meyer、Mallat和Daubechies等的奠基工作而迅速发展起来的一门新兴学科，它是傅立叶分析划时代的发展结果。与Fourier 变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier 变换的困难问题， 小波分析的目的是“既要看到森林(信号的概貌) ，又要看到树木(信号的细节) |”。因此，它被誉为“学显微镜”。 小波分析已经在图像处理、语音识别，声学，信号处理，神经生理学，磁性谐振成像，地震测量，机械故障诊断，生物医学，医疗卫生，以及一些纯数学应用如解决一些微分方程式等领域取得一系列重要应用。小波变换理论在通信中的应用研究在国际上日益受到重视。小波函数提供的一系列正交基非常适合通信系统中的信号波形设计，扩频特征波形设计，多载波传输系统的正交子信道划分等。 小波变换技术在通信系统中的信源编码、信道编码、调制、均衡、干扰抑制和多址等方面具有广阔的应用前景。 一、小波分析在通信系统中的研究动态 如何在各种信道环境下实现有效可靠的信息传输一直是通信领域关注的课
1.Cwt :一维连续小波变换 格式：coefs=cwt(s,scales,'wavename') coefs=cwt(s,scales,'wavename','plot') scales:尺度向量，可以为离散值，表示为[a1,a2,a3……]，也可为连续值，表示为[amin:step:amax] 2.dwt:单尺度一维离散小波变换 格式：[ca,cd]=dwt(x,'wavename') [ca,cd]=dwt(x,lo-d,hi-d) 先利用小波滤波器指令wfilters求取分解用低通滤波器lo-d和高通滤波器hi-d。[lo-d,hi-d]=wfilters('haar','d');[ca,cd]=dwt(s,lo-d,hi-d) 3.idwt:单尺度一维离散小波逆变换 4.wfilters 格式：[lo-d,hi-d,lo-r,hi-r]=wfilters('wname') [f1,f2]=wfilters('wname','type') type=d(分解滤波器)、R(重构滤波器)、l(低通滤波器)、h(高通滤波器) 5.dwtmode 离散小波变换模式 格式：dwtmode dwtmode('mode') mode:zdp补零模式，sym对称延拓模式，spd平滑模式 6.wavedec多尺度一维小波分解 格式：[c,l]=wavedec(x,n,'wname') [c,l]=wavedec(x,n,lo-d,hi-d)
7.appcoef 提取一维小波变换低频系数 格式：A=appcoef(c,l,'wavename',N) A=appcoef(c,l,lo-d,hi-d,N) N是尺度，可省略例： loadleleccum; s=leleccum(1:2000) subplot(421) plot(s); title('原始信号') [c,l]=wavedec(s,3,'db1'); ca1=appcoef(c,l,'db1',1); subplot(445) plot(ca1); ylabel('ca1'); ca2=appcoef(c,l,'db1',2); subplot(4,8,17) plot(ca2); ylabel('ca2'); 8.detcoef 提取一维小波变换高频系数 格式：d=detcoef(c,l,N),N尺度的高频系数 d=detcoef(c,l,) 最后一尺度的高频系数 例：
第六章小波变换的几个典型应用 6.1 小波变换与信号处理 小波变换作为信号处理的一种手段，逐渐被越来越多领域的理论工作者和工程技术人员所重视和应用，并在许多应用中取得了显著的效果。同传统的处理方法相比，小波变换取得了质的飞跃，在信号处理方面具有更大的优势。比如小波变换可以用于电力负载信号的分析与处理，用于语音信号的分析、变换和综合，还可以检测噪声中的未知瞬态信号。本部分将举例说明。 6.1.1 小波变换在信号分析中的应用 [例6-1] 以含躁的三角波与正弦波的组合信号为例具体说如何利用小波分析来分析信号。已知信号的表达式为 应用db5小波对该信号进行7层分解。xiaobo0601.m 图6-1含躁的三角波与正弦波混合信号波形 分析： （1）在图6－2中，逼近信号a7是一个三角波。 （2）在图6－3中细节信号d1和d2是与噪声相关的，而d3（特别是d4）与正弦信号相关。 图6-2 小波分解后各层逼近信号 图6-3 小波分解后各层细节信号 6.1.2 小波变换在信号降躁和压缩中的应用 一、信号降躁 1．工程中，有用信号一般是一些比较平稳的信号，噪声通常表现为高频信号。2．消躁处理的方法：首先对信号进行小波分解，由于噪声信号多包含在具有较高频率的细节中，我们可以利用门限、阈值等形式对分解所得的小波系数进行处理，然后对信号进行小波重构即可达到对信号的消躁目的。 小波分析进行消躁处理的3种方法： （1）默认阈值消躁处理。该方法利用ddencmp生成信号的默认阈值，然后利用wdencmp函数进行消躁处理。 （2）给定阈值消躁处理。在实际的消躁处理过程中，阈值往往可通过经验公式获得，且这种阈值比默认阈值的可信度高。在进行阈值量化处理时可利用函数wthresh。 （3）强制消躁处理。该方法时将小波分解结构中的高频系数全部置为0，即滤掉所有高频部分，然后对信号进行小波重构。方法简单，消躁后信号比较平滑，但易丢失信号中的有用成分。 小波阈值去噪方法是目前应用最为广泛的小波去噪方法之一。 3．信号降噪的准则： 1．光滑性：在大部分情况下，降噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性。
小波分析复习题 1、简述傅里叶变换、短时傅里叶变换和以及小波变换之间的异同。 答：三者之间的异同见表 2、小波变换堪称“数学显微镜”，为什么？ 答：这主要因为小波变换具有以下特点： 1）具有多分辨率，也叫多尺度的特点，可以由粗及精地逐步观察信号； 2）也可以看成用基本频率特性为)(ωψ的带通滤波器在不同尺度a 下对信号作滤波； 如果)(t ?的傅里叶变换是)(ωψ，则)(a t ?的傅里叶变换为)(||a a ω ψ，因此这组滤波 器具有品质因数恒定，即相对带宽（带宽与中心频率之比）恒定的特点。a 越大相当于频率越低。 3）适当的选择基本小波，使)(t ?在时域上位有限支撑，)(ωψ在频域上也比较集中，便可以使WT 在时、频两域都具有表征信号局部特征能力，因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。 4）如)(t x 的CWT 是),(τa WT x ，则)(λt x 的CWT 是),( λ τ λλa WT x ；0>λ 此定理表明：当信号)(t x 作某一倍数伸缩时，其小波变换将在τ,a 两轴上作同一比例的 伸缩，但是不发生失真变形。 基于上述特性，小波变换被誉为分析信号的数学显微镜。 3、在小波变换的应用过程中，小波函数的选取是其应用成功与否的关键所在，请列举一些选择原则。 答：选择原则列举如下：（也即需满足的一些条件和特性） 1）容许条件
当?∞ +∞-∞<=ωω ωψ?d c 2 ) (时才能由小波变换),(τa WT x 反演原函数)(t x ，?c 便是对 )(t ?提出的容许条件，若∞→?c ，)(t x 不存在，由容许条件可以推论出：能用作基本小 波)(t ?的函数至少必须满足0)(0==ωωψ，也就是说)(ωψ必须具有带通性质，且基本小波 )(t ?必须是正负交替的振荡波形，使得其平均值为零。 2）能量的比例性 小波变换幅度平方的积分和信号的能量成正比。 3）正规性条件 为了在频域上有较好局域性，要求),(τa WT x 随a 的减小而迅速减小。这就要求)(t ?的 前n 阶原点矩为0，且n 值越大越好。也就是要求? =0)(dt t t p ?，n p ~1:，且n 值越大越好， 此要求的相应频域表示是：)(ωψ在0=ω处有高阶零点，且阶次越高越好（一阶零点就是容许条件），即)()(01 ωψω ωψ+=n ，0)(00≠=ωωψ，n 越大越好。 4）重建核和重建核方程 重建核方程说明小波变换的冗余性，即在τ-a 半平面上各点小波变换的值是相关的。 重建核方程：τττττ?? ?∞ +∞ ∞-=0 00200),,,(),(),(a a K a WT a da a WT x x ； 重建核：><== ?)(),(1)()(1),,,(0000* 00t t c dt t t c a a K a a a a ττ? ττ??????ττ 4、连续小波变换的计算机快速算法较常用的有基于调频Z 变换和基于梅林变换两种，请用 框图分别简述之，并说明分别适合于什么情况下应用。 答： 1）基于调频Z 变换 ),(2a j a n j e A e W ππ--== 运算说明： a ．原始数据及初始化：原始数据是)(k ?（1~0-=N k ）和a 值，初始化计算包括 a j e A π-=和a n j e W π2-=。 --- 1)(2N k r )2(am N π 12~2--N N 对应于：1~0-=N r
一种基于小波阈值降噪方法的图像降噪效果研究 电子信息学院 赵华 2015201355 一、引言 数字图像处理(Digital Image Processing ，DIP)是指用计算机辅助技术对图像信号进行处理的过程。数字图像处理最早出现于20世纪50年代，随着过去几十年来计算机、网络技术和通信的快速发展，为信号处理这个学科领域的发展奠定了基础，使得DIP 技术成为信息技术中最重要的学科分支之一。在现实生活中，DIP 应用十分广泛，医疗、艺术、军事、航天等图像处理影响着人类生活和工作的各个方面。 然而，在图像的采集、获取、编码和传输的过程中，都存在不同程度被各种噪声所?干扰?的现象。如果图像被干扰得比较严重，噪声会变成可见的颗粒形状，导致图像质量的严重下降。根据研究表明，当一张图像信噪比(SNR)低于14.2dB 时，图像分割的误检率就高于0.5%，而参数估计的误差高于0.6%。通过一些卓有成效的噪声处理技术后，尽可能地去除图像噪声，我们在从图像中获取信息时就更容易，有利于进一步的对图像进行如特征提取、信号检测和图像压缩等处理。小波变换处理应用于图像去噪外，在其他图像处理领域都有着十分广泛的应用。本文以小波变换作为分析工具处理图像噪声，研究数字图像的滤波去噪问题，以提高图像质量。 二、基本原理 1.小波基本原理 在数学上，小波定义为对给定函数局部化的新领域，小波可由一个定义在有限区域的函数ψ(x )来构造，ψ(x )称为母小波（mother wavelet ），或者叫做基本小波。一组小波基函数， {ψa,b (x )}，可以通过缩放和平移基本小波来生成： ?? ? ??-ψ=ψa b x a x b a 1)(, 其中，a 为进行缩放的缩放参数，反映特定基函数的宽度，b 为进行平移的平移参数，指定沿x 轴平移的位置。当a=2j 和b=ia 的情况下，一维小波基函数序列定义为： ()() 1222,-ψ=ψ--x x j j j i 其中，i 为平移参数，j 为缩放因子，函数f （x ）以小波ψ(x )为基的连续小波变换定义为函数f （x ）和ψa,b (x )的内积： ( )()dx a b x a x f f x W b a b a ?? ? ??-ψ=ψ=?∞ ∞-1,,,
小波去噪 [xd,cxd,lxd]=wden(x,tptr,sorh,scal,n,'wname') 式中： 输入参数x 为需要去噪的信号； 1.tptr ：阈值选择标准. 1)无偏似然估计（rigrsure）原则。它是一种基于史坦无偏似然估计（二次方程）原理的自适应阈值选择。对于一个给定的阈值t，得到它的似然估计，再将似然t 最小化，就得到了所选的阈值，它是一种软件阈值估计器。 2）固定阈值（sqtwolog）原则。固定阈值thr2 的计算公式为：thr 2log(n) 2 = (6)式中，n 为信号x（k）的长度。 3）启发式阈值（heursure）原则。它是rigrsure原则和sqtwolog 原则的折中。如果信噪比很小，按rigrsure 原则处理的信号噪声较大，这时采用sqtwolog原则。 4）极值阈值（minimaxi）原则。它采用极大极小原理选择阈值，产生一个最小均方误差的极值，而不是没有误差。 2.sorh ：阈值函数选择方式，即软阈值(s) 或硬阈值(h). 3.scal ：阈值处理随噪声水平的变化，scal=one 表示不随噪声水平变化，scal=sln 表示根据第一层小波分解的噪声水平估计进行调整，scal=mln 表示根据每一层小波分解的噪声水平估计进行调整. 4.n 和wname 表示利用名为wname 的小波对信号进行n 层分解。输出去噪后的数据xd 及xd 的附加小波分解结构[cxd,lxd]. 常见的几种小波：haar，db，sym，coif，bior haar db db1 db2 db3 db4 db5 db6 db7 db8 db9 db10 sym sym2 sym3 sym4 sym5 sym6 sym7 sym8 coif coif1 coif2 coif3 coif4 coif5 coif6 coif7 coif8 coif9 coif10 bior bior1.1 bior1.3 bior1.5 bior2.2 bior2.4 bior2.6 bior2.8 bior3.5 bior3.7 bior3.9 bior4.4
2005年研究生《小波理论及应用》复习题 1． 利用正交小波基建立的采样定理适合于：紧支集且有奇性（函数本身或其导数不连续）的函数（频谱无限的函数）。Shannon 采样定理适合于频谱有限的信号。 2． 信号的突变点在小波变换域常对于小波变换系数模极值点或过零点。并且信号奇异性大小同小波变换的极值随尺度的变化规律相对立。只有在适当尺度下各突变点引起的小波变化才能避免交迭干扰，可以用于信号的去噪、奇异性检测、图象也缘提取、数据压缩等。 3． 信号在一点的李氏指数表征了该点的奇异性大小，α越大，该点的光滑性越小，α越小，该点的奇异性越大。光滑点（可导）时，它的1≥α；如果是脉冲函数，1-=α；白噪声时0≤α。 4． 做出三级尺度下正交小波包变换的二进数图，小波包分解过程？说明小波基与小波包基的区别？ 5． 最优小波包基的概念：给定一个序列的代价函数，然后在小波包基中寻找使代价函数最小的基――最优基。 6． 双通道多采样率滤波器组的传递函数为： ()()()()()()()()()()()()()z X z G z G z H z H z X z G z G z H z H z Y z Y z Y -??????-++??????+=+=∧∧∧∧212121请根据此式给出理想重建条件： 为了消除映象()z X -引起的混迭：()()()()0=-+-∧ ∧z G z G z H z H
为了使()z Y 成为()z X 的延迟，要求：()()()()k CZ z G z G z H z H -∧∧=+ （C,K 为任一常数） 7． 正交镜像对称滤波器()()n h n g ,的()jw e G 与()jw e H 以2π=w 为轴左右对称。如果知道QMF 的()n h ，能否确定()()()n h n g n g ∧ ∧,,？ ()()()n h n g n 1-= ，()()()n g n h n 1--=∧ ， ()()()n h n g n 1-=∧ 8． 试列出几种常用的连续的小波基函数 Morlet 小波，Marr 小波，Difference of Gaussian （DOG ），紧支集样条小波 9． 试简述海森堡测不准原理，说明应用意义？ 10． 从连续小波变换到离散小波变换到离散小波框架－双正交小波变换－正交变换、紧支集正交小波变换，其最大的特点是追求变换系数的信息冗余小，含有的信息量越集中。 11． 解释紧支集、双正交、正交小波、紧支集正交小波、光滑性、奇异性。 12． 已知共轭正交滤波器组（CQF ）()n h 请列出()()()n g n h n g ∧ ∧,,。 ()()() ()()()()()()???????-=--=-=---=∧∧n h n N g n g n N h n h n N h n g n n 11 13． 共轭正交滤波器()()n g n h ,的()jw e G 与()jw e H 的关系与QMF 情况
一种基于小波的图像降噪方法 张静1 孙俊2 (1江苏科技大学电子信息学院江苏镇江 212003 (2江苏大学电气信息工程学院,江苏镇江212013 摘要:通过对图像的小波变换系数进行阈值操作,可有效降低噪声,但还是保留一些噪声。Wiener 滤波是一种线性滤波方法,用小波阈值方法结合Wiener 滤波,可进一步对图像噪声进行降噪。实验结果表明小波阈值Wiener 滤波方法是一种有效的图像降噪方法,其在图像恢复上和人眼视觉上都优于小波阈值方法。 关键词:小波变换;wiener 滤波;软阈值;图像降噪;Mallat 算法 文献标识码:A 中图分类号:TN911.7 1 引言 图像一般都会受到噪声的影响,由于噪声影响图像的输入传输、输出等环节,使得图像分辨率下降,同时破坏了图像的精细结构,给图像的后续处理(图像二值化操作和图像特征提取带来不便,因此如何有效抑制噪声已成为图像处理中极重要和首要的任务。图像降噪 的目的是提高图像的信噪比,突出图像的应用的特征[1] 。 小波图像降噪已被视为图像处理中的重要降噪算法,是基于噪声和信号在频域上分布不同而进行的,一般信号和噪声分别分布在低频区域和高频区域,图像的细节也分布在高频区域。小波变换是一种调和变换,其同时具有空间域和频域的局域性,其具有多分辨分析的性质,能适应信号频率的局域变化,在每一层小波分解上选取各自阈值,可以消除多数噪声。在MSE 意义上,最优信号估计是wiener 滤波器,Wiener
滤波在信噪比较高的图像去噪中效果更好,所以基于小波降噪后的图像,进一步应用wiener 滤波降噪,可达到更好的去噪, 并且这种综合降噪方法能在保护细节之间取得较好的效果[6] 。 2 图像小波分解[2][3] 二维图像信号通常可用二元函数(,(22R L y x f ∈表示,对于二元函数,有相应的二维小波变换和多尺度逼近。设(,(22R L y x f ∈,,(y x ψ满足容许条件 ∫∫+∞∞?+∞ ∞ ?=0,(dxdy y x ψ,称积分dxdy a b y a b x a y x f b b a W f ,(1 ,(,,(2121??= ∫∫+∞∞?+∞ ∞ ?ψ 为,(y x f 的二维连续小波变换,其中,(y x ψ为二维小波函数。与此对应的小波变换的重 构公式为 2121210 3,(,,(1 ,(db db a b y a b x b b a W a da c y x f R
哈尔滨工业大学华德应用技术学院毕业设计（论文） 摘要 小波分析理论是一种新兴的信号处理理论，它在时间上和频率上都有很好的局部性，这使得小波分析非常适合于时—频分析，借助时—频局部分析特性，小波分析理论已经成为信号去噪中的一种重要的工具。利用小波方法去噪，是小波分析应用于实际的重要方面。小波去噪的关键是如何选择阈值和如何利用阈值来处理小波系数，通过对小波阈值化去噪的原理介绍,运用MATLAB 中的小波工具箱，对一个含噪信号进行阈值去噪，实例验证理论的实际效果，证实了理论的可靠性。本文设计了几种小波去噪方法，其中的阈值去噪的方法是一种实现简单、效果较好的小波去噪方法。 关键词：小波变换；去噪；阈值 -I-
哈尔滨工业大学华德应用技术学院毕业设计（论文） Abstract Wavelet analysis theory is a new theory of signal process and it has good localization in both frequency and time do-mains.It makes the wavelet analysis suitable for time-frequency analysis.Wavelet analysis has played a particularly impor-tant role in denoising,due to the fact that it has the property of time- frequency analysis. Using wavelet methods in de-noising, is an important aspect in the application of wavelet analysis. The key of wavelet de-noising is how to choose a threshold and how to use thresholds to deal with wavelet coefficients. It confirms the reliability of the theory through the wavelet threshold de-noising principle, the use of the wavelet toolbox in MATLAB, carrying on threshold de-noising for a signal with noise and actual results of the example confirmation theory.In this paper,the method of Wavelet Analysis is analyzed.and the method of threshold denoising is a good method of easy realization and effective to reduce the noise. Keywords：Wavelet analysis；denoising；threshold -II-
科技文献检索作业 卷 试 料 小波分析及其应用 测控技术1103 雷创新
小波分析及其应用 1.小波分析的概念和特点 1.1小波理论的发展概况 20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪 数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。 小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。 小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家 J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反
2.1小波分析中的通用函数 1 biorfilt双正交小波滤波器组 2 centfrg计算小波中心频率 3 dyaddown二元取样 4 dyadup二元插值 5 wavefun小波函数和尺度函数 6 wavefun2二维小波函数和尺度函数 7 intwave积分小波函数fai 8 orthfilt正交小波滤波器组 9 qmf镜像二次滤波器（QMF） 10 scal2frg频率尺度函数 11 wfilters小波滤波器 12 wavemngr小波管理 13 waveinfo显示小波函数的信息 14 wmaxlev计算小波分解的最大尺度 15 deblankl把字符串变成无空格的小写字符串 16 errargn检查函数参数目录 17 errargt检查函数的参数类型 18 num2mstr最大精度地把数字转化成为字符串 19 wcodemat对矩阵进行量化编码 20 wcommon寻找公共元素 21 wkeep提取向量或矩阵中的一部分 22 wrev向量逆序 23 wextend向量或矩阵的延拓 24 wtbxmngr小波工具箱管理器 25 nstdfft非标准一维快速傅里叶变换（FFT） 26 instdfft非标准一维快速逆傅里叶变换 27 std计算标准差 2.2小波函数 1 biorwavf双正交样条小波滤波器 2 cgauwavf复Gaussian小波 3 cmorwavf复Morlet小波 4 coifwavf Coiflet小波滤波器 5 dbaux Daubechies小波滤波器 6 dbwavf Daubechies小波滤波器 7 fbspwavf频率分布B-Spline小波 8 gauswavf Gaussian小波 9 mexihat墨西哥小帽函数 10 meyer meyer小波11 meyeraux meyer小波辅助函数 12 morlet Morlet小波 13 rbiowavf反双正交样条小波滤波器 14 shanwavf 复shannon小波 15 symaux计算Symlet小波滤波器 16 symwavf Symlets小波滤波器 2.3一维连续小波变换 1 cwt一维连续小波变换 2 pat2cwav从一个原始图样中构建一个小波函数 2.4一维离散小波变换 1 dwt但尺度一维离散小波变换 2 dwtmode离散小波变换拓展模式 3 idwt单尺度一位离散小波逆变换 4 wavedec多尺度一维小波分解（一维多分辨率分析函数） 5 appcoef提取一维小波变换低频系数 6 detcoef提取一维小波变换高频系数 7 waverec多尺度一维小波重构 8 upwlex单尺度一维小波分解的重构 9 wrcoef对一维小波系数进行单支重构 10 upcoef一维系数的直接小波重构 11 wenergy显示小波或小波包分解的能量 2.5二维离散小波变换 1 dwt2单尺度二维离散小波变换 2 idwt2单尺度逆二维离散小波变换 3 wavedec2多尺度二维小波分解（二维分辨率分析函数） 4 waverec2多尺度二维小波重构 5 appcoef2提取二维小波分解低频系数 6 detcoef2提取二维小波分解高频系数 7 upwlev2二维小波分解的单尺度重构 8 wrcoef2对二维小波系数进行单支重构 9 upcoef二维小波分解的直接重构 2.6离散平稳小波变换 1 swt一维离散平稳小波变换 2 iswt一维离散平稳小波逆变换 3 swt2二维离散平稳小波变换 4 iswt2二维离散平稳小波逆变换
现代数字信号处理作业 小波分析及其应用 电研111 梁帅
小波分析及其应用 1.小波分析的概念和特点 1.1小波理论的发展概况 20世纪80年代逐渐发展和兴起的小波分析(wavelctanalysis)是20世纪数学领域中研究的重要杰出成果之一。小波分析理论作为数学界中一种比较成熟的理论基础，应用到了各种领域的研究当中，推动了小波分析在各工程应用中的发展。它作为一种新的现代数字信号处理算法，汲取了现代分析学中诸如样条分析、傅立叶分析、数值分析和泛函分析等众数学多分支的精华部分，替代了工程界中一直应用的傅立叶变换，它是一种纯频域分析方法，不能在时频同时具有局部化特性。而小波分析中的多尺度分析思想，犹如一台变焦照相机，可以由粗及精逐步观察信号，在局部时频分析中具有很强的灵活性，因此有“数学显微镜”的美称。它能自动随着频率增加而调节成窄的“时窗”和宽的“频窗”，又随着频率降低而调节成宽的“时窗”和窄的“频窗”以适应实际分析需要。另外，小波变换在经过适当离散后可以够成标准正交基或正交系，这些在理论和应用上都具有十分重要的意义，因此，小波分析在各个领域得到了高度的重视并取得了许多重要的成果。 小波变换作为一种数学理论和现代数字信号处埋方法在科学技术界引起了越来越多专家学者的关注和重视。在数学家看来，基于小波变换的小波分析技术是当今数值分析、泛函分析、调和分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。在工程领域，特别是在信号处理、图像处理、机器视觉、模糊识别、语音识别、流体力学、量子物理、地震勘测、电磁学、CT成像、机械故障诊断与监控等领域，它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。然而，小波分析虽然在众多领域中已经取得了一定的成果，但是，有专家预言小波分析理论的真正高潮并没有到来。首先，小波分析尚需进一步完善，除一维小波分析理论比较成熟以外，向量小波和多维小波则需要进行更加深入的研究与讨论;其次，针对不同情况选择不同的小波基函数，实现的效果是有差别性的这一问题，对最优小波基函数的选取方法有待进一步研究。在今后数年中，小波理论将成为科技工作者经常使用的又一锐利数学工具，极大地促进科技进步及各个领域工程应用的新发展。 小波分析的概念最早是在1974年由法国地质物理学家J.Morlet提出的，并通过物理直观和信号处理的实际经验建立了反演公示，但当时该理论未能得到数学家的认可。1986年法国数学家YMcyer偶尔构造出一个真正的小波基，并与
与标准的傅里叶变换相比，小波分析中使用到的小波函数具有不唯一性，即小波函数 具有多样性。小波分析在工程应用中，一个十分重要的问题就是最优小波基的选择问题，因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。目前我们主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判定小波基的好坏，由此决定小波基。常用小波基有Haar 小波、Daubechies(dbN)小波、Mexican Hat(mexh)小波、Morlet 小波、Meyer 小波等。 Haar 小波 Haar 函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最简单的一个小波函数，它是支撑域在[0,1]∈t 范围内的单个矩形波。Haar 函数 的定义如下： 1 021121(t)-1 t t ≤≤≤≤ψ=?????其他 Haar 小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好。但它也有自己的优点: 1. 计算简单。 2. (t)ψ不但与j (t)[j z]2ψ∈正交，而且与自己的整数位移正交，因此， 在2j a =的多分辨率系统中，Haar 小波构成一组最简单的正交归一的 小波族。 ()t ψ的傅里叶变换是： 2/24=sin ()j e a ψ-ΩΩ ΩΩ（）j Haar 小波的时域和频域波形
Daubechies(dbN)小波 Daubechies 小波是世界著名的小波分析学者Inrid ·Daubechies 构造的小波函数，简写为dbN ，N 是小波的阶数。小波(t)ψ和尺度函数(t)φ中的支撑 区为12-N ，(t)ψ的消失矩为N 。除1=N （Harr 小波）外，dbN 不具有
1.小波变换的概念 小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。 2.小波有哪几种形式?常用的有哪几种?具体用哪种，为什么？ 有几种定义小波(或者小波族)的方法: 缩放滤波器:小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限脉冲响应(FIR)长度为2N和为1的滤波器——来定义。在双正交小波的情况，分解和重建的滤波器分别定义。 高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。例如Daubechies和Symlet 小波。 缩放函数:小波由时域中的小波函数 (即母小波)和缩放函数 (也称为父小波)来定义。 小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题，如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。 对于有紧支撑的小波，可以视为有限长，并等价于缩放滤波器g。例如Meyer小波。 小波函数:小波只有时域表示，作为小波函数。例如墨西哥帽小波。 3.小波变换分类 小波变换分成两个大类：离散小波变换 (DWT) 和连续小波转换 (CWT)。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。 DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。所以，DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。 4.小波变换的优点 从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点： (1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述) (2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性 (3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口) (4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法) 另: 1) 低熵性变化后的熵很低; 2) 多分辨率特性边缘、尖峰、断点等;方法, 所以可以很好地刻画信号的非平稳特性 3) 去相关性域更利于去噪; 4) 选基灵活性: 由于小波变换可以灵活选择基底, 也可以根据信号特性和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等。 小波变换的一个最大的优点是函数系很丰富, 可以有多种选择, 不同的小波系数生成的小波会有不同的效果。噪声常常表现为图像上孤立像素的灰度突变, 具有高频特性和空间不相关性。图像经小波分解后可得到低频部分和高频部分, 低频部分体现了图像的轮廓, 高频部分体现为图像的细节和混入的噪声, 因此, 对图像去噪, 只需要对其高频系数进行量化处理即可。 5.小波变换的科学意义和应用价值