第十二章 平稳随机过程
§1 基本概念
定义1：已给s.p t X t X {=，}T t ∈，若1≥?n ，即T 中任意的,,,21n t t t Λ与
h t h t h t n +++,,,21Λ，n 维r.v ),,(21n t t t X X X Λ与),,(21h t h t h t n X X X +++Λ有相同
的n 维d.f 。即
)
,,,;,,(),,()
,,(),,,;,,,(2121212121212121n n n h t h t h t n t t t n n x x x h t h t h t F x X x X x X P x X x X x X P x x x t t t F n n ΛΛΛΛΛΛ+++=≤≤≤=≤≤≤=+++
则称s.p t X 是一个严（强，狭义）平稳过程。
当t X ?n 维d.l 时，则有
),,;,,,(),,;,,,(21212121n n n n x x x h t h t h t f x x x t t t f ΛΛΛΛ+++=
若取n =1，则有),(),(1111x h t f x t f +=，特别，当T ∈0，可取,1t h -=则有),0(),(111x f x t f =。此时平稳过程t X 的一维d.l 与1t （时间）无关。于是
X X
m
dx x xf t X E μ===
?+∞
∞
-),0()(1
即t X 的均值是一个与时间无关的常数。
其方差 ?∞
∞
-=-=-=.),0()(][2
22
X X X t t dx x f m x m X E X D σ也与时间t 无关的
常数。 而且T X 的二维d.l 也只依赖于.21t t -=τ即当2t h -=时，有
).,;(),;0,(),;,(2121212121x x f x x t t f x x t t f τ∧
=-=
所以t X 与τ+t X 之间自相关为
??∞∞-∞
∞
-+==
=+).(),;(),(21212
1ττττX t t X R dx dx x x f x
x X X E t t R
它只依赖于.τ类似地τ+t t X X ,之间协方差为
.)(]][[)(2X X X t X t X m R m X m X E C -=--=+τττ 并且 .)0()0(2
222X X t X
X X m X E m R C σ=-=-= 一般来说，实际应用中的s.p 是很难达到如此严平稳的要求的，故而求其次，即有如下的
定义2：已给s.p },,{T t X X t T ∈=若,2
∞ 1°X t m X E =（常数）（又记X μ） 2°).(][ττX t t R X X E =+ （又记)(ττX t t R X X E =-） 则称T X 是一个宽（弱、广义）平稳s.p.简称为平稳s.p 。当T X 取复值时，),(τ+=t t X X X E R 则称复平稳s.p. 定义3：已给两平稳s.p t X t X {=}T t ∈，},{T t Y Y t T ∈=，若满足 )(),(τττY X t t Y X R Y X E t t R ==++则称T T Y X ,是联合平稳的或平稳相关的。 例1~例3见书上，当T 取离散值时，称平稳序列。 例4：已给s.p t X )(0Θ+=ωCOS ,其中0ω为常数，r.v )2,0(~πU Θ，试证t X 是平稳s.p. 事 实 上 ， 显 然 ??Ω Ω ∞ <=Ω=≤=1)(22P dP dP X X E t t 。 （或1)()()(cos 02 2 =≤ +=??∞ ∞ -Θ ∞ ∞ -Θθθθθθωd f d f t X E t ） ? ? -= += Θ+=π π θ θωθωπ θθωπ ω20 20 0000)sin sin cos (cos 21 )cos(21 )cos(d t t d t t E X E t =0. 及 )]cos()[cos(000Θ++Θ+=+τωωωτt t E X X E t t )]22cos(2 1cos 2 1[000Θ+++=t E ωτωτω Θ+-Θ++=2sin )2sin(2 12cos )2cos(2 1cos 2 100000E t E t ωτωωτωτω .cos 2 10τω= 故由定义2知t X 是一个平稳s.p. §2 各态历经性（遍历性） 先令给二阶矩s.p.]},[,{b a T t X X t T =∈=在T 上均方积分定义，考察[a,b] 上一组分划 .210b t t t t a n =<<<=Λ记,,11i i i i i i t t t t t ≤≤-=?--τ若存在 一个r.v Y 使.0][lim 2 1 max =-?∑=→?n i i t Y t X E i i τ即 )0max (11 2 →?→?≤≤=∑i n i n i i t Y t X i τ 则称T X 在[a,b]上均方可积，并记?=b a t dt X Y . 理论上已证明：二阶矩s.p T X 在T=[a,b]上均方可积的充分条件是 ?? ∞ b a X dsdt t s R .),( 并且 ?=b a t dt X E Y E . 再引入时间均值与时间相关函数。 时间均值定义为 ? -∞→>= T T dt t X T t X )(21lim )( ——是r.v 时间相关定义为 ? -+∞→+>=+ T T dt t X t X T t X t X )()(21 lim )()(ττ——是r.v 先看一例 例1见书。 ><=)(t X E X μΘ 定义：设)(t X 是平稳s.p 1°若.)(1))()((X X t X t X E t X P μμ>=?<==>=<则称)(t X 的均值具有多 态历经性。 2°若?实数τ有 )()()(ττX R t X t X >=+< .1))()()()()((==+>=+<τττX R t X t X E t X t X P 则称)(t X 的自相关函数具有多态历经性。若,0=τ称)(t X 得均方值具 有多态历经性。 3°当)(t X 的均值与相关函数都具有多态历经性时，则称)(t X 是多态 历经的（又称遍历或ergodicity ）. Th1. 平稳s.p )(t X 的均值具有多态历经性 ? .0])([)21(1lim 2 20=--?∞ →τμττπd R T T X X T 想法（思路）。任一r.v ξ,.1)(0===?=ξξξE c P D 现在.)(>= .1))()()((0)(==>=<>== 证：先求.)(21lim ])(21lim [)(X T T T T T T dt t X E T dt t X T E t X E μ==>= ? --∞→∞→再求 .)(> ?????--∞→--∞→-∞→--=-=-=-><=T T T T x X t X T T T T T X T T T X dt dt t t R T dt t X dt t X T E dt t X T E t X E t X D 2 211222221122 2 2 2 )(41lim ])()(41[lim ])(21[lim ])([)]([μμμμ 下面计算 ?? --=-T T T T X I dt dt t t R 2112)( 令{2 12211t t t t +-=+=ττ， 则?? ???-=+=) (21) (21211212ττττt t 2 12 12121 2 1),(),(2121=-=??=ττt t J ， 从而 ????????-=-====-T X T X T T X G X X d R T d R T d R d d d R d d R I 20 20 2221 202022212212. )()2(2)()2(2)(2)(2)(21 2ττττττττττττττττ .])([)21(1lim )()21(1lim ])([2 20220τμττμτττd R T T d R T T t X D X X T T X T X T --=--=><∴??∞→∞→ 代入（*）式即得证明。 推论：若?极限2 lim ()X t X R t μ- →∞ =，则()X t 均值具有各态历经性，极限2 lim ().()X X t R t X t μ→∞ ≠均值不具有各态历经性。 定理2：平稳s.p ()X t 相关函数具有各态历经性 2211101lim (1)[()()]02T X T B R d T T ττττ→∞?--=?， 而 111()[()()()()]B E X t X t X t X t τττττ=++++。 定理3：平稳s.p ()X t ，0t ≤≤∞，01(lim ()())1T X T P X t dt EX t T μ→∞ ===? 2 01lim (1)(())0T X X T R d T T ττμτ→∞?--=?。 定理4：s.p （平稳）()X t ，0t ≤≤∞，0 1(lim ()()())1T X T P X t X t dt R T ττ→∞+==? 2 11101lim (1)[()()]0T X T B R d T T ττττ→∞?--=?。 §3 相关函数的性质 设()X t 和()Y t 是平稳相关的s.p 。即有： ()()()X R EX t X t ττ=+， ()()()Y R EY t Y t ττ=+，()()()XY R EX t Y t ττ=+， 它们具有性质： 1°22 (0)[()]0X X R E X t ψ==≥ 2°()()()()()()X X R EX t X t EX t X t R ττττ-=-=-=，即()X R τ是τ的偶函数. ()()()()()()XY YX R EX t Y t EY t X t R ττττ-=-=-=. 3°由许瓦兹不等式知： ()()()()()(0)X X R EX t X t E X t X t R τττ=+≤+≤= ()[()()][()()]X C E X t EX t X t EX t τττ=-+-+ ()()X X E X t X t μτμ≤-+- ≤ 2(0)X X C σ=== 同理有： ()()()XY R EX t Y t ττ=+≤= X Y ψψ==g ()[()][()]XY X Y C E X t Y t τμτμ=-+-≤ X Y σσ== 称 ()()(0)X X X C C τρτ= 和 ()()()XY XY XY X Y C C ττρτσσ== 各为标准自协方差和标准互协方差函数，故有()1X ρτ≤，()1XY ρτ≤. 由第4章§3知，当且仅当()0XY ρτ=时，()X t 与()Y t 互不相关. 4°()X R τ是非负定的，即T ?中12,,,n t t t L 及?实函数()g t 有： 11 11 ()()()[()()]()()n n n n i j i j j i i j X i j i j R t t g t g t E X t X t g t g t ====-=∑∑∑∑ 21 1 1 [()()][()()][()()]0n n n i i j j i i i j i E X t g t X t g t E X t g t =====≥∑∑∑ 反之，理论上已证明：若()h τ是连续的非负定函数，则它必定是某平稳s.p 的自相关。 5°若平稳s.p ()X t 满足条件00(()())(()()0)1P X t T X t P X t T X t +=?+-== 即0()()X t T X t +=称()X t 是周期为0T 的平稳s.p. ()X t Q 平稳，故00[()()]()()0X X E X t T X t EX t T EX t μμ+-=+-=-=，利用r.v ξ,0()1D P c E ξξξ=?===. 2200002 2 020()())[]) (()())1(()()0[()()])1[()()]0[(()()]0 X t T X t D E E t P X t T X t P X t T X t E X t T X t D E E X t T X t E X X t T X t ξξξξξττ+-==+==?+-==+-=?==+-=?++-+=知(现在且 于是由许瓦兹不等式就有 {} 2 02200000[()][(]()][()][()()]0[()][()()]0()()0()() X X X X E X t X t T X t E X t E X t T X t E X t X t T X t R t T R R T R τττττττττ≤++-+≤++-+=++-+=?+-=?+=故 即此时周期平稳随机过程的自相关函数()X R τ也是周期为0T 的函数。 §4 平稳随机过程的功率谱密度 （一） 平稳随机过程功率谱密度 回忆，设普通函数()x t 满足|()|x t dt ∞ -∞ <∞?（能量有限），则有 Fourier 变换 ()(),1()(). 2itw x itw x F w x t e dt i x t F w e dw π ∞ --∞∞ -∞ === ?? Parseval 公式2 2 1 ()|()|2x x t dt F w dw π∞ ∞ -∞ -∞ = ?? 为|()|x t dt ∞ -∞ =∞?，作截尾函数(),||()0,||T x t t T X t t T <=?=? >? 此时|()||()|T T T x t dt X t dt ∞ -∞ -=<∞??，故对()T x t 有F 变换。 (,)()()T itw itw x T T T F w T x t e dt x t e dt ∞ ---∞ -==?? 此时，Parseval 公式为2 2 1 ()|(,)|.2T x x t dt F w T dw π∞∞ -∞ -∞ = ?? 等式两边乘以12T ，就有 22 1 1 ()|(,)|24T x x t dt F w T dw T T π∞∞ -∞ -∞ =?? 令,T →∞如极限存在，得到22 1 1 1lim ()lim |(,)|222T x T T x t dt F w t dw T T π∞ ∞ →∞→∞-∞-∞ =??， 称21 ()lim |(,)|2x x T S w F w T T →∞ =，为x(t)的平均功率谱密度。 接着考察平稳随机过程 (),,()[,]itw X t t X t e T T --∞<<∞-对在上作均方积分,记为 (,)().......T itw X T F w T X t e dt --=?随机变量，则有 22 11 [()][|(,)|]24T X T E X t dt E F w T dw T T π∞ --∞ =?? ,,T →∞令如存在极限,则有 2 2 2 1 1 lim [()]lim ()22T T X T T T T E X t dt EX t dt T T ψ→∞→∞--==?? 22 11 lim |(,)|2211lim |(,)|22X T X T E F w T dw T E F w T dw T ππ ∞ →∞-∞∞ →∞-∞ ==?? 称21 ()lim |(,)|2X X T S w E F w T T →∞ =为平稳随机过程X(t)的功率谱密度. 故有21 ()2X X S w dw ψπ ∞ -∞ = ? （二） 谱密度性质：(,)()T itw X T F w T X t e dt --=? 02()21,|(,)|(,)*(,) (,)()(,)*(,)|(,)|,X X X T it w X X X T X F w T F w T F w T F w T X t e dt F w T F w T F w T w ---==-?Q 故是实分布非负偶随机函数. 21 ()lim |(,)|2X X T S w E F w T T →∞=所以也是w 的实非负偶函数。 02.()() (1) ()(),()(). 2F X X itw i w X X X S w R t w R e d R S w e dw ττττπ ∞ ∞ --∞ -∞ ←?→-= = ??X 维纳辛钦公式. 即S 事实上 ()12121122()1212 112212 221 ()lim [()()] 21 lim ()2lim (1()2lim ()1(),2()20,T T it w it w X T T T T T iw t t X T T T T iw X X T T iw X T T X X S w E X t e dt X t e dt T R t t e dt dt T t t t t T S R t e dt T R t e d T R T R T ττττωτ ττττ→∞----→∞---→∞-∞ -→∞ -∞ ==-=+?? =-+?=-=-≤=>???? ?? g 0 2()2()cos iw X X T R e d R d τττ τωττ ∞ --∞∞ ????? = =? ?1211221 ()lim [()()]2T T it w it w X T T T S w E X t e dt X t e dt T →∞--=??g 12()12121lim ()2T T iw t t X T T T R t t e dt dt T --→∞--=-?? 令 112 212 t t t t ττ=+?? =-+? 完全与§2一样. ()22lim (1()2T iw X X T T T S R t e dt T τω-→∞ -=- ? lim ()iw X T R e d τττ∞-→∞ -∞=? (1(),2()20,2T X X T R T R T T ττττ?-≤?=??>? ) ()iw X R e d τττ∞ --∞= ? 2()cos X R d τωττ∞ =? 1 ()()cos .X X R S w w dw ττπ ∞ = ? 例1. 2见书 3||||22 52*3921 (59)48948148 e e w w ττ--+?+++ 书上表12.1 ||222a t a e a w -?+ 例2 222222 2 22 4()(9)(1)919(9)(1) X w A B S w w w w w Aw A Bw B w w +==+ +++++++= ++比较两边参数 135 83,9488 A B B B A A B +=??=?==? +=? 所以2252*332*1 ().489161 X S w w w = +++ ()[()][()]()0() ()()()*()() XY X Y XY X Y XY XY X Y C E X t Y t R R EX t Y t EX t EY t τμτμτμμρτττμμτ=-+-=-=?=+==+ ()()itw x F w x t e dt ∞ -= ? ()()itw x x t F w e dw ∞ = ? 22()()()()i ft x i ft x F f x t e dt x t F f e df ππ∞ --∞ ∞ -∞ = = ?? 冲激函数()δτ的性质： ()0,0() 1.t t t dt δδ∞ -∞ =<>??? =??? ()()(0),0f d f δτττττ∞ -∞ ==?对任一在处连续f()成立. 若f(t)在0ττ=处连续，则00()()()f d f δτττττ∞ -∞ -=? ()1,()1F iw iw e d e τδττδτ∞ ---∞ ? ==←?→? 11()1*22F iw iw e dw e dw τ τ δτπ π∞∞ -∞ -∞ ←?→= =?? 及 1()1*2()()12()2F F iw iw X e d w e d w R w τττδτπδτπδπ∞∞ ---∞-∞←?→===←?→??或即 00000()cos ,cos ,()cos 2iw iw iw X X e e R a w w S w a w e d ττ ττττττ∞ ---∞ +===?若则因为所以 0000()()0000()()2[]2*2[()()]2 [()()]iw iw iw i w w i w w a S w e e e d a e e d a w w w w a w w w w τττ ττττπδδπδδ∞ ---∞ ∞ ---+-∞= +=+= -++=-++?? 例3 2 2||0()cos ().2 a V V a R w b e S w τττ-=+求 000|| 2 2 cos [()()] 2F F a w w w w w a e a w ττπδδ-←?→-++←?→+Q 2 0022 2()[()()]2 V a ab S w w w w w a w πδδ∴= -+++ + 白噪声：设X(t)是平稳随机过程且EX(t)=0,1t R ∈ 20 00()(,)02 X N S w s s σ=>或 或,则称X （t ）是白噪声。 此时0 001 ()2()()22it X s R s e dw s ττπδτδτπ π ∞ -∞ = = =? 若平稳过程功率谱密度为011,||, ()0,||.X s w w S w w w ≤?=? >? 则称()X t 是带限（低通）白噪声，此时 1 1 1 00 011110 1 1 ()()22sin cos sin ()w iw iw X X w w R S w e dw S e dw S S S w w w dw w w τ ττππτ ττπ πτ πτ ∞-∞ -= === = ?? ? , 12211212()()()0()(),()()X EX t X t R t t EX t EX t X t X t =-==即与互不相关. (三)互谱密度及其性质：(,)()T iwt X T F w T X t e dt --=? 设X(t),Y(t)是平稳相关的，定义1 ()lim [(,)(,)]2XY X Y T S w E F w T F w T T →∞ =- 为X(t),Y(t)的互谱密度，(,)(),(,)()T T iwt iwt X Y T T F w T X t e dt F w T Y t e dt ----==?? ()XY S w 有性质: 01 1,()lim [(,)(,)] 211lim [(,)(,)]lim [(,)(,)]()22XY X Y T X Y X Y YX T T S w E F w T F w T T E F w T F w T E F w T F w T S w T T →∞→∞→∞===-= 1 2,()|,()(),()()2iw iw XY XY XY XY d S w R e d R S w e dw τ ττττττπ ∞ ∞ ∞ -∞ -∞ -∞ <∞= = ???XY -若|R 则 111 ,1,2,....()0,k k k t w w ππ τττ= =±±=-==X 2当时,R 即当t 时 03,()()cos ()sin Re[()]Im[()] Re[()]Im[()]XY XY XY XY XY XY w R w d i R w d S w i S w S w w S w w ττττττ ∞∞ -∞ -∞ = -=-??XY 由于S 是的偶函数,是的奇函数. 024|()|()()XY X Y S w S w S w ≤ 例1 设1{(),(,)}R Y Y t t R =∈=-∞∞是实正交增量随机过程EY(t)=0, 21[()()]||,,,E Y t Y s t s s t R -=-∈令X(t)=Y(t)-Y(t-1),求X(t)自相关函数，讨论 其平稳性，若平稳，求功率谱密度。 解：由题设知()()()(1)0X m t EX t EY t EY t ==--= (,)()()[()(1)][()(1)]X R t t EX t X t E y t y t y t y t ττττ+=+=--+-+- [()()][()(1)][(1)()][(1)(1)]1 [|1|2|||1|]2 E Y t Y t E Y t Y t E Y t Y t E Y t Y t τττττττ=+-+---++-+-=--++ 与t 无关，因此X(t)是平稳随机过程，并且 1||,||1,1 ()[|1|2|||1|]0,|| 1. 2X R τττττττ-≤?=--++=? >? 功率谱密度为1 1 2 1 2(1cos ) ()(1||)2(1)cos iw X w S w e d w d w τ τττττ---=-=-= ?? 例2． 设(1,2,....,)k A k n =是n 个实随机变量，(1,2....)k w k n =是n 个实数，试问k k A w 及之间应满足什么条件才能使1 ()k n iw t k k X t A e ==∑是一个复平稳随 机过程。 解：由平稳随机过程的定义，首先要求 11 ()()k k n n iw t iw t k k k k EX t E A e e EA =====∑∑常数(复) 而与t 无关，只有令k EA =0,或k iw t k EA e -=其次，要求 1 1 ()11 (,)[*] () k k k l n n iw s iw t X k l k l n n i w s w t k l k l R s t E A e A e e E A A --==-====∑∑∑∑ 仅依赖于s-t,只要令2,, ()0,.k k l k l E A A k l σ?==?<>? 此时，有()21 (,)k n jw s t X k k R s t e σ-==∑ 由上可见，当20,,1,2....k iw t k k kl EA e k n E σδ-====k k l 或EA 及A A 时 X （t ）成为一个复平稳随机过程。 1,, 0,. kl k l k l δ=?=? <>? 例3，设{(),1}n n ξ≥是均值为零的平稳序列，试证()()()n A n B n m ηξξ=+-仍是一平稳序列，其中A ，B 为常数，m 为一正整数。 证：因为()[()][()]0.()E n AE n BE n m ηξξ=+-=常数 (,)()() [()()][()()] n n l E n n l E A n B n m A n l B n l m ηηηξξξξ+=+=+-+++-又R =22()()()()A R l ABR l m ABR l m B R l ξξξξ+-+++ 仅依赖于L 而与n 无关，故由定义知()n η为平稳序列。 例4．设(),()t t ξη是两个相互独立的平稳过程，试证()()()t t t ζξη=+也是平稳过程。 证：12()()()E t E t E t m m ζξη=+=+Q （常数） 又由()()t t ξη与的相互独立，平稳性，就有 (,)[()()][()()][()()]R t t E t t E t t t t ζτζζτξηξτητ+=+=++++ =1212()()R m m m m R ζηττ+++ 仅依赖于τ而与t 无关，故由定义知()t ζ为平稳过程。 例5 设(),()t t ξη是两平稳相关过程，且有 ()()0,()(),()()E t E t R R R R ξηξηξηξηττττ====-- 试证：00()()cos ()sin X t t w t t w t ξηξη=+也是平稳随机过程,又若(t),(t)的谱密度为()(),S w w ξη与S 试用他们及(),()t t ξη的互谱密度表示()X t 的谱密度。 解：因为00()()cos ()sin 0EX t E t w t E t w t ξη=+= 0000(,)[()cos ()sin ]*[()cos ()()sin ()] X R t t E t w t t w t t w t t w t τξηξττηττ+=++++++又=00()cos ()sin R w R w ξξηττττ+ 由此知X(t)是平稳随机过程，且 000000()()()()0000()()(()cos ()sin )1 [()()()()21[()()][()()22 iw iw X X i w w i w w i w w i w w S w R e d R w R w e d R e d R e d i R e d i R e d i S w w S w w S w w S w w τ τ ξ ξηττττξξξηξηξξξηξητττττττττττττττ∞ ∞ ---∞ -∞∞ ∞ ∞ ∞ ---+---+-∞ -∞-∞-∞= = +=+-+=-++---+? ?????]习题6， 2 2 22,0 ()cos()~(0,2),..()0,0a a e a X t A wt U r vA d l a a σπσ-??≥=+ΘΘ=?? A Θ与独立 则因2 2 222 00 1()()cos()02a X a m t EX t e a wt d da π σθθπσ ∞-==+=?? 2(,)cos()cos(())()()X t t A R t t EX X a wt w t f f dad ττθτθθθθ∞∞ +Θ-∞-∞ +== +++? ? =22cos (2)cos ()X w w R στσττΓ==， ()X t 所以是平稳随机过程，其次，1 ()lim cos()2T T T X t A wt dt T θ→∞-<>=+? .sin lim cos 0()18.7a e T aT A EX t wT θ→∞=== 故由定义知，平稳S.PX(t)的均值具有各态历经性。 再考察时间相关 2222221()()lim cos()cos[()]21lim [cos cos(22)]22sin(22)cos lim cos 2422cos () |T T T T T T T T T X X t X t A wt w t dt T A w wt w dt T A A wt w A w w T w w R τττττττσττ-→∞-→∞-→∞<+>=+Θ++Θ=+++Θ++Θ=+=≠=? ?g 但是 2 22 3 22201 ()()cos 2 1 cos cos () 2 a X X t X t w EA a w e da w R t στττστσ-∞<+>====?g 由定义，欲使S.PX(t)的自相关函数具有各态历经性必须 (()()()()())1()()0 X P X t X t R t E X t X t D X t X t τττ<+>==<+>=?<+>= 但是经计算知 222422()()[()()](()())1 cos [()]4 D X t X t E X t X t E X t X t w EA EA ττττ<+>=<+>-<+>=- 而 222.EA σ= 2222 2 5 24 220 42444 24224244(3)8(2)81()()cos (8(2))cos 0() 42 a u a ada du u a EA e da u e du D X t X t w w w k σσσσσσσσπ ττσσσττπ= ∞ - = ∞ -== ==Γ=Γ=∴<+>=-=<><>+? ? 故(()()()()() 1.X P x t X t E X t X t R τττ<+>=<+>=≠ 从而，X（t）的自相关函数具有各态历经性。 第一章 1． 填空 若X 1,X 2,…,X n 是相互独立的随机变量,且g i (t)是X i 的特征函数,i=1,2,…,n)则X=X 1+X 2+…X n 的特征函数g(t)= ＿g 1(t) g 2(t)…g n (t) 2.设P(S)是X 的母函数，试证: (1)若E(X)存在，则()1EX P '= (2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P ′ (1)-[ P ′ (1)]2 证明:(1)因为()0 k k k P s p s ∞ == ∑，则()1 1 k k k P s kp s ∞ -='= ∑，令1s →，得 ()1 1k k E X P kp ∞ ='==∑ 。 （2）()1 1 k k k P s kp s ∞ -='= ∑， ()()2 2 1k k k P s k k p s ∞ -=''=-∑()2222 =k k k k k k p s kp s ∞ --=-∑ 令1s →，得()()()2 22112 P 1= 1k k k k p kp EX p EX p EX p ∞ ='''-=--+=-∑ ()()2=P 1+1EX p '''∴ ()()()()2 22P 1+11DX EX EX p p ''''∴=-=-???? 证毕 3． 设X 服从B(n,p),求X 的特征函数g(t)及EX,EX 2 ,DX. 解：X 的分布列为P(X=k)=1k k n n C p q -,q=1-p ,k=0,1,2,...n, ()00 k n n n itk k k n k k it n k it g t e C p q C pe q pe q n n k k ? ??? ? ? ? ? ? ? --===+∑∑== 由性质得 ()() , 0n t d it EX i i np dt p q g e ==-=-=+ ()()()22 " 2 2 2 2 0n t it i npq d i p q g p n e EX dt ===-=+-+ ()2 2DX =EX EX =npq - 随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为： 利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2） 6.1 6.2 6.3 6.4设有n 维随机矢量)(21n ξξξξτ =服从正态分布，各分量的均值为 n i a E i ,,2,1, ==ξ，其协方差矩阵为 ????? ? ??? ? ?=22 2 2 2 2 2000000σσσσσσσ a a a B 试求其特征函数。 解：n 元正态分布的特征函数为 }2 1 e x p {),,,(21][Bt t t j t t t n '-'=μφξ n i a E i ,,2,1, ==ξ ),,,(21n t t t t =' ，则 ∑== 'n i i jat t j 1 μ ()()),,,(2 1 2 23222 2212 1' ++='n n t t t t t a t t a t t Bt t σσσσσσ =22223232222221221σσσσσσn t t a t t t a t t t ++++++ =∑∑ -=+=+ 1 1 2112 2n i i i n i i a t t t σσ ∴]21exp[)]21(exp[),,,(1 1 211 2221][∑ ∑ -=+=- -=n i i i n i i i n a t t t jat t t t σσφξ 6.5. 设n 维正态分布随机矢量)(21n T ξξξξ =各分量的均值为i E i =ξ， n i ,3,2,1=，各分量间的协方差为 n i m i m n b i m ,3,2,1,|,|,=--= 设有随机变量∑==n i i 1 ξη，求η的特征函数。 解：易得：???? ? ???????=n ξξξη 21]111[ 2 ) 1(][][1 1 += ==∑∑==n n i E E n i n i i ξη 协方差矩阵为： ??????? ??? ? ?? ???------=n n n n n n n n n n 321 312211121B 所以 ]111[]111['??= B ηD =2 2 3n n + 由于高斯分布的随机变量的线形组合依旧是高斯分布的，所以η的特征函数为： ?? ? ???????++-+=2456822)1(exp )(t n n n t n n j t ηΦ 6.6 设有三维正态分布随机矢量)(321ξξξξ=T ，其各分量的均值为零，即0][=i E ξ )3,2,1(=i ，其协方差矩阵为 ???? ? ??=333231232221131211b b b b b b b b b B 第十二章 平稳随机过程 §1 基本概念 定义1：已给s.p t X t X {=，}T t ∈，若1≥?n ，即T 中任意的,,,21n t t t Λ与 h t h t h t n +++,,,21Λ，n 维r.v ),,(21n t t t X X X Λ与),,(21h t h t h t n X X X +++Λ有相同 的n 维d.f 。即 ) ,,,;,,(),,() ,,(),,,;,,,(2121212121212121n n n h t h t h t n t t t n n x x x h t h t h t F x X x X x X P x X x X x X P x x x t t t F n n ΛΛΛΛΛΛ+++=≤≤≤=≤≤≤=+++ 则称s.p t X 是一个严（强，狭义）平稳过程。 当t X ?n 维d.l 时，则有 ),,;,,,(),,;,,,(21212121n n n n x x x h t h t h t f x x x t t t f ΛΛΛΛ+++= 若取n =1，则有),(),(1111x h t f x t f +=，特别，当T ∈0，可取,1t h -=则有),0(),(111x f x t f =。此时平稳过程t X 的一维d.l 与1t （时间）无关。于是 X X m dx x xf t X E μ=== ?+∞ ∞ -),0()(1 即t X 的均值是一个与时间无关的常数。 其方差 ?∞ ∞ -=-=-=.),0()(][2 22 X X X t t dx x f m x m X E X D σ也与时间t 无关的 常数。 而且T X 的二维d.l 也只依赖于.21t t -=τ即当2t h -=时，有 ).,;(),;0,(),;,(2121212121x x f x x t t f x x t t f τ∧ =-= 所以t X 与τ+t X 之间自相关为 ??∞∞-∞ ∞ -+== =+).(),;(),(21212 1ττττX t t X R dx dx x x f x x X X E t t R 它只依赖于.τ类似地τ+t t X X ,之间协方差为 第三章 习 题 1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概 率为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链. （1）写出状态空间； （2）求一步转移概率矩阵； （3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为 {2,1,0,1,2}S =-- （2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为 10000000 0000 1q r p q r p q r p ????????=???????? P （3）因为两步转移概率矩阵为 22 (2) 2222 22 1 0000 202220 20 000 1q rq r pq pr p q rq r pq pr p q qr pq r p pr ????++????==+? ?++?????? P P 所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为 (2) 12(1)p p pr p r =+=+ 2．设{,1,2,}i Y i =L 为相互独立的随机变量序列，则 （1）{,1,2,}i Y i =L 是否为Markov 链？ （2）令1 n n i i X Y == ∑，问{,1,2,}i X i =L 是否为Markov 链？ 解（1）由于 11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,) ()()()() ()() (,,,) n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------================= ========L L L L L 因此，{,1,2,}n Y n =L 是马尔可夫链. （2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依 次 类 推 ， 1121 n n X U U U --=+++L 为 1 n U -的函数，记为 1112(),n n n n f U X U U U --=+++L 为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U L L 相互 独立，则其相应的函数1122(),(),,(),n n f U f U f U L L 也相互独立，从而 12211122111 1112211 (,,,)(,,,) (,,,)()() n n n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑L L L 因此{,1,2,}n X n =L 是马尔可夫链. 3 设,1,2,i X i =L 是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j ===L ，如果 max{,1,2,,1}n i X X i n >=-L ，其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻 n 产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n =L 是Markov 链，并求其转移概率； （2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n =L 是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率. 证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足 平稳随机过程 ?严格平稳随机过程 ?广义平稳随机过程 ?平稳随机过程自相关函数性质?各态历经过程 1. 严格平稳（Strict Sense Stationary, SSS)随机过程定义: 随机过程X (t )的任意N 维统计特性与时间起点无关。 1111(,,,,,)(,,,,,) X N N X N N p x x t t t t p x x t t +?+?=如果X (t ) 是严格平稳的,则与t 无关。 (,)()X X p x t p x =即X(t)与X(t+?t)具有相同的统计特性。 二维概率密度 只依赖于τ，与t 1和t 2的具体取值无关。 12121212121221212 (,,,)(,,,) (,,,0)(,,) X X X X p x x t t p x x t t t t p x x t t t t p x x t t =+?+?=-?=-=ττ=- 如果X (t )是严格平稳随机过程, 则 121212121212 (,)(,,,)() X X X R t t x x p x x t t dx dx R t t ∞ -∞ ==ττ=-?()()X X X m t xp x dx m ∞ -∞==?22 2()()()X X X X t x m p x dx ∞ -∞σ=-=σ ? 100200300400500 -4-3-2-101234Stationay Gaussian Noise 0100200300400500 -4 -3 -2-101234Non-stationay Gaussian Noise 实验名称：相关正态随机过程的仿真 一、实验目的 以正态随机过程为例，掌握离散时间随机过程的仿真方法，理解正态分布随机过程与均匀分布随机过程之间的相互关系，理解随机过程的相关函数等数值特征;培养计算机编程能力。 二、实验内容 相关正态分布离散随机过程的产生 （1）利用计算机语言的[0,1]区间均匀分布随机数产生函数生成两个相互独立的序列 {U1(n)|n=1,2,…100000}，{U2(n)|n=1,2,…100000} 程序代码： clc; N=100000; u1=rand(1,N); u2=rand(1,N);%----------------在[0,1] 区间用rand函数生成两个相互独立的随机序列 n1=hist(u1,10);%--------------------------hist函数绘制分布直方图 subplot(121);%-----------------------------一行两列中的第一个图 bar(n1); n2=hist(u2,10); subplot(122); bar(n2); 实验结果： （2）生成均值为m=0，根方差σ=1的白色正态分布序列 {e(n)|n=1,2, (100000) [][]m n u n u n +=)(2cos )(ln 2-)(e 21πσ 程序代码： clc; N=100000; u1=rand(1,N); u2=rand(1,N);%---------------在[0,1] 区间用rand 函数生成两个相互独立的随机序列 en=sqrt(-2*log(u1)).*cos(2*pi*u2);%--------定义白色正态分布e(n) n=hist(en,100);%--------------------------hist 函数绘制分布直方图 bar(n); 实验结果： （3）假设离散随机过程x(n)服从均值为x m =0、根方差为2x =σ、相关函数为||2)(r k x x k ασ= )6.0(=α 功率谱函数为 平稳随机过程及其数字特征 平稳随机过程 粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。一.严平稳随机过程 1. 定义设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n 和任意t1 因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数 综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。 a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间 进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。 例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。 12121212 12 1 21212 2 2 2 (,)(,;)() (,)()()(,;)()()(0)(0)[()] X X X X X X X X X X X X X X R t t x x f x x dx dx R C t t x m x m f x x dx dx C R m C R m D X t τττττσ=?==??==?=?==∫∫∫∫ ∞<)]([2 t X E b)：另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。 因此，工程中平稳过程的定义如下： 二、宽平稳过程1、定义 若二阶矩过程( )X(t) 满足: E[X(t)]=m x ←常数 R x (t 1,t 2)=R x (τ) ←只与时间间隔(τ=t 2-t 1)有关 则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。 可见：一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程。反之：一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程。 c)：一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题。 习题一 1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。求X 的特征函数、EX 及DX 。其中01,1p q p <<=-是已知参数。 2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为 （2）求其期望和方差； （3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。 3．设X 是一随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。 （1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数； （2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为自然数）。 4．设12,,...,n X X X 相互独立，具有相同的几何分布，试求 的分布。 5．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 6．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 7．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 的概 率密度函数。 8．设X 、Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。求X+Y 的分布。 9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为 试求其特征函数。 10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩 阵为B σ?kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。 11．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和 213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。 12．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从2(0,)N σ，试求： （1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数； 1,0() 0,0()p p bx b x e x p x p x --?>? Γ??≤? =0,0 b p >>1 n k k X =∑ (1)()(1) jt jnt jt e e f t n e -=-21 ()1f t t =+1 1n i i X X n ==∑22 1[1()],1,1 (,)40,xy x y x y p x y ?+--< 4.1 设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求： （1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。 问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先， {}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ====== 根据泊松过程的独立增量性质可知 {}{}) (1212121211221212!)()]([)()()(t t k k e k k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是， {}21 122! )(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----= == (2) 解：该过程的均值为 []()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=??? ? ??-==∑∑+∞=--+∞ =-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >) [] ()[])] ([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-= 其中， )()]()([1212t t t N t N E -=-λ 12 1212)]([t t t N E λλ+= 于是，12t t >时的相关函数为 []121212 12121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-= 同理可得21t t >时的相关函数为 []221221)()(t t t t N t N E λλ+= 随机过程习题解答（一）第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a ）分别写出随机变量和的分布密度 （b ）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a ）试求和的相关系数； （b ）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。解：（a ）利用的独立性，由计算有： （b ）当的时候，和线性相关，即 3、 设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数 为 ，且是一个周期为T 的函数，即， 试求方差函数 。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a ）求的均值、方差和相关函数； （b ）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a ） （b ） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数， 为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数 ，因此有一维分布： P35/4. 解： (1) 其中 由题意可知， 的联合概率密度为： 利用变换： ，及雅克比行列式： 我们有 的联合分布密度为： 因此有： 且 V 和 相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于 独立、服从正态分布，因此 也服从正态分布，且 所以 。 （4） 由于： 所以 因此 当时， 当 时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i =j 时 ；否则 令 ，则有 （2） 设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求： （1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。 问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先， {}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ====== 根据泊松过程的独立增量性质可知 {}{}) (1212121211221212!)()]([)()()(t t k k e k k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是， {}21 122! )(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----= == (2) 解：该过程的均值为 []()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=??? ? ??-==∑∑+∞=--+∞ =-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >) [] ()[])] ([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-= 其中， )()]()([1212t t t N t N E -=-λ 12 1212)]([t t t N E λλ+= 于是，12t t >时的相关函数为 []121212 12121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-= 同理可得21t t >时的相关函数为 []221221)()(t t t t N t N E λλ+= 第一单元 1. 下列常见的分布中属于离散型随机变量的分布有（）：( 2.0分) A.二项式分布 B.均匀分布 C.泊松分布 D.正态分布 E.(0-1)分布 2. 下列常见的分布中属于连续型随机变量的分布有（）：(2.0分) A.二项式分布 B.均匀分布 C.泊松分布 D.正态分布 E.(0-2)分布 3. 下列关于随机变量分布函数性质的描述，正确的是（）：(2.0分) A.分布函数是一个不减函数 B.分布函数能够完整地描述随机变量的统计规律性 C.分布函数的最大值为无穷大 D.分布函数是右连续函数 E.离散型随机变量的分布函数是一系列冲激函数的线性组合 4. 下列关于随机变量概率密度性质的描述，正确的是（）：(2.0分) A.概率密度是一个不减函数 B.概率密度能够完整地描述随机变量的统计规律性 C.只有连续型随机变量才存在概率密度 D.概率密度是非负的函数 E.随机变量的概率密度一定存在 5. 随机试验有什么特点？(2.0分) 6. 基本事件是随机试验中最简单的随机事件。(2.0分) 7. 两个事件乘积的概率等于其中一个事件的概率乘以另一事件在此事件发生的条件下的条件概率。(2.0分) 8. 全概率公式用于在许多情况(B1，B2，…，Bn)下都可能发生事件A，求发生A 的全概率；贝叶斯公式则用于当A已经发生的情况下，求发生事件A的各种可能原因的条件概率。(2.0分) 9. 随机变量是样本空间上的单值实函数。(2.0分) 10. 两个随机变量如果相互独立，则它们的联合分布函数等于这两个随机变量的一维分布函数的乘积。(2.0分) 11. 如果要使两个随机变量之和的数学期望等于这两个随机变量的数学期望之和，则要求这两个随机变量是相互独立的。(2.0分) 12. 如果要使两个随机变量之和的方差等于这两个随机变量的方差之和，则要求这两个随机变量是相互独立的。(2.0分) 13. 两个随机变量如果是不相关的，则它们必定是相互独立的。(2.0分) 14. 当一个随机变量的数学期望为零时，它的方差和均方值相等。(2.0分) 15. 复随机变量的数学期望和方差都是复数。(2.0分) 16. 协方差是反映两个随机变量相关关系的数字特征。(2.0分) 17. 相互独立的随机变量和的特征函数等于各变量的特征函数的乘积。(2.0分) 18. 数学期望、方差和协方差都是矩的特殊情况，其中数学期望是随机变量的＿＿＿＿矩，方差是随机变量的＿＿＿＿矩，协方差是两个变量的＿＿＿＿矩。(2.0分) 19. 离散型随机变量的统计规律可以用＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿和＿＿＿＿来描述。(2.0分) 20. 连续型随机变量的统计规律可以用＿＿＿＿、＿＿＿＿和＿＿＿＿来描述。(2.0分) 21. 数学期望表示＿＿＿＿运算。(2.0分) 22. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率。(2.0分) 23. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率。(2.0分) 24. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15, 刮风(用B表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P(A|B), P(B|A), P(A+B)。(2.0分) 25. 12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率。(2.0分) 26. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“·”和“—”。由于通信系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台分别以概率0.8及0.2收到信息“·”及“—”；又当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9及0.1收到信号“—”及“·”。求当收报台收到“·”时，发报台确系发出信号“·”的概率，以及收到“—”时，确系发出“—”的概率。(2.0分) 27. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果。写出它的概率函数和分布函数。 (2.0分) 28. 如果ξ的概率函数为P{ξ=a}=1, 则称ξ服从退化分布。写出它的分布函数F(x), 画出F(x)的图形。(2.0分) 29. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F(x)=A+B arctgx, 求常数 A,B;P{|ξ|<1}以及概率密度υ(x)。(2.0分) 第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x) p k f (t)dt 分布函数 k x X 的概率分布用概率密度 f (x) F(x) 分布函数 连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,) 其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型 联合分布列 连续型联合概率密度 ３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 X EX x p k k X EX xf (x)dx 连续型随机变量 2 DX E(X EX) 2 EX (EX) 2 方差： 反映随机变量取值 的离散程度 协方差（两个随机变量 X ,Y ）： B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EY XY B XY 相关系数（两个随机变量 X,Y ）： 0，则称 X ,Y 不相关。 若 XY DX DY 独立 不相关 itX g(t) E(e ) itx e p k 连续 g(t) k e itx f (x)dx ４．特征函数 离散 g(t) 重要性质： g(0) 1， g(t) 1 g( t) g(t) ， ， g (0) i EX k k k ５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布 P( X 1) p,P( X 0) q EX p DX pq P(X k) C p q n k k k EX np DX n p q n k 泊松分布 P( X k) e k! EX DX 均匀分布略 ( x a)2 1 2 N(a, ) f (x) 2 2 2 EX a 正态分布 e DX 2 第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题完整答案，请搜淘宝 1、 设∑=-=N k k k k n U n X 1)cos(2ασ ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互 独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。 2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程， A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。 （1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？ （2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？ 3、 设}0),({≥t t X 是一实的零初值正交增量过程，且),(~)(2 t N t X σμ。令1)(2)(-=t X t Y ，0≥t 。试求过程}0),({≥t t Y 的相关函数),(t s R Y 。 4、 设有随机过程)sin(2)(Θ+=t Z t X ，+∞<<∞-t ，其中Z 、Θ是相互独立的随机 变量，)1,0(~N Z ，2/1)4/()4/(=-=Θ==ΘππP P 。问过程)(t X 是否均方可积过程？说明理由。 5、 设随机过程t Y t X t 2sin 2cos )(+=ξ，+∞<<∞-t ，其中随机变量X 和Y 独立同分 布。 （1） 如果)1,0(~U X ，问过程)(t ξ是否平稳过程？说明理由； （2） 如果)1,0(~N X ，问过程)(t ξ是否均方可微？说明理由。 6、 设随机过程});({+∞<<∞-t t X 是一实正交增量过程，并且0)}({=t X E ，及满足： {}+∞<<∞--=-t s s t s X t X E ,,)]()([2； 令：+∞<<∞---=t t X t X t Y ),1()()(，试证明)(t Y 是平稳过程。 7、 设0);sin()(≥=t Yt X t ξ，而随机变量X 、Y 是相互独立且都服从]1,0[上的均匀分布， 试求此过程的均值函数及相关函数。并问此过程是否是平稳过程，是否连续、可导？ 8、 设}),({R t t X ∈是连续平稳过程，均值为m ，协方差函数为ττb X ae C -=)(，其中:R ∈τ，0,>b a 。对固定的0>T ，令?-=T ds s X T Y 01)(，证明：m Y E =}{, )]1()()[(2)(21bT e bT bT a Y Var -----=。 9、 设),,,0,0(~),(2221ρσσN Y X ，令tY X t X +=)(，以及?=t du u X t Y 0)()(， （已经编辑到115页2008-3-20） 第四章随机过程 （电子版：盛艳霞OCR，编辑张学文2007.12 -2008.01） 1. 随机过程的概念及其分布律 原书91-132页90 第四章随机过程 为了从统计角度研究气象要素随时间和空间的变化,最好是利用近数十年发展起来的一个统计数学分支----随机过程和随机场理论。为研究气象信息随时间和空间的分布也要对随机过程有所了解。针对如上情况我们在这一章对随机过程的有关概念、性质和在气象上的个别应用作简要介绍。 1、随机过程的概念及其分布律 孤立的研究各点的气压、温度或风等气象要素时，我们把它看成随机变量（矢量）。这时可以分析它的期望值、方差、概率分布等等。 然而当把不同时刻的同一点的气压、温度或风连贯起来看时，这就是一连串的随机变量（矢量）。它们以时间为参数而有所变化。随机变量随某一参数（这里指时间）的变化给人们以过程的概念。所以就把随机变量随参数值的变化而变化的过程这一总体称为随机过程。 当掷骰子时，骰子出现的点数是随机变量。某次“3”点向上，就说这一次随机变量取值为3。而我们所谓的随机变量远不仅只有一个“3”，而应理解为很多次点子数的集合。同样地，随机过程一词也是指一个总体集合，而不是仅指某一时段的变量取值。例如说“春季北京的气温是一个随机过程”，则是指很多很多年的每年春季北京的气温的变化过程这个总体而言的。如1978年北京春季气温的变程仅是总体中的一个个例。它在随机过程中的地位和骰子为“3”点在随机变量中原书91-132页91 的地位是相当的。我们把这一条春季气温曲线称为这个随机过程的一个“现实”这样一个随机过程实际上是由无数具有同一的统计属性的现实组成的。 图4.1是乌鲁木齐冬季1月份的四年的气温曲线。它们就代表了1月气温这个随机过程的四个现实。而这一随机过程应为无数条这种曲线组成。如以T示表气温，y代表年代，d 代表日期，则一个随机过程可以表示为 T=T(y,d) （4．1） 图4.1 乌鲁木齐1月份气温曲线、 式中y有固定值时，例如y=1963年，则得到随机过程的一个现实。如d取固定值（如d=1）则T表示不同年份的这一天（元旦）的气温。这时同一d值不同y值的气温实为一随机变量。时常把这同一的时间d叫作“截口”。所以一个随机过原书91-132页92 关于平稳过程中的各态历经性的综述 首先要介绍一下什么是平稳过程，平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。严格地说，如果对于任意的n （=1，2…），12,,t t t T ∈n …,和任意实数h,当 12,,n t h t h t h T +++∈…,时，n 维随机变量 （X(1t ),X(2t ),…,X(t n )） 和 （X （1t h +）,X （2t h +）,…,X （n t h +）） 具有相同的分布函数，则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程。 在实际工作中，确定随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布，这在实际问题中往往不易办到，因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验，以便得到很多的样本函数。 但是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，就会提出这样一个问题：能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢？所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程，只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。 定义 设X （t ）是均方连续平稳随机过程，如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈X （t ）〉存在，即 〈X （t ）〉=1lim ()2T T T X t dt T -→∞ ? 存在，而且〈X （t ）〉=E ｛X （t ）｝=X μ依概率1相等。即〈X （t ）〉依概率1等于X μ= E ｛X （t ）｝, X μ代表随机过程的集平均（或称统计平均），则称该过程的均值具有各态历经性。 定义 设X （t ）是一均方连续平稳随机过程，且对于固定的τ，()X t X t τ（+）也是连续平稳随机过程，〈()X t X t τ（+）〉 代表()X t X t τ（+）沿整个时间轴的平均值，即 ()X t X t τ（+）=1lim (+)()2T T T X t X t dt T τ-→∞ ? 若〈()X t X t τ（+）〉存在，称〈()X t X t τ（+）〉为X （τ）的时间相关函数。又 应用统计与随机课程 课程实验报告题目：相关正态随机过程的仿真 实验1 相关正态随机过程的仿真 实验目的： 以正态随机过程为例，掌握离散时间随机过程的仿真方法，理解正态分布随机过程与均匀分布随机过程之间的相互关系，理解随机过程的相关函数等数值特征;培养计算机编程能力。 实验内容： 程序代码： u1=rand(1,100000); u2=rand(1,100000);%--------------------在[0,1]区间用rand函数生成两个相互独立的是随机序列n1=hist(u1,10)%--------------------------用hist函数绘制分布直方图 subplot(121)%-----------------------------将两幅分布图显示在一个窗口 bar(n1) n2=hist(u2,10) subplot(122) bar(n2) 实验结果： 结果分析： 因为两个独立序列是随机产生，且在[0,1]均匀分布，故将[0,1]分为十个等宽区间时，落在每个区间的数目应该大致相等。 实验内容： 程序代码： clc; u1=rand(1,100000); u2=rand(1,100000);%--------------------在[0,1]区间用rand函数生成两个相互独立的是随机序列en=sqrt(-2*log(u1)).*cos(2*pi*u2);--------定义白色正态分布e(n) n=hist(en,100);%-------------------------------用hist函数绘制分布直方图 bar(n) 实验结果: 结果分析： 绘制出的图形符合白色正态分布 第四章 平稳随机过程 第一节 平稳过程的概念 一、两类平稳过程 1.严平稳过程 定义1 设 为随机过程，如果对任意正整数n 及任意 ， 及任意实数τ, T t t t n ∈+++τττ,,,21 ，可使n 维随机变量 与())(,),(),(21τττ+++n t X t X t X 有相同的分布，即 的n 维分布函数Fn 满足： ),,,;,,,(),,,;,,,(21212121τττ+++=n n n n n n t t t x x x F t t t x x x F 对一切 ,2,1,=i x i 成立 则称 为严平稳过程，（强平稳过程，狭义平稳过程）。 定理1设 为严平稳过程，如果对任意 ，则有 证：首先利用柯西—许瓦兹不等式 可以证明 ，即自相关函数存在。 又由于 为严平稳过程，故对任意 有相同的分布， 所以 再由s 、t 的任意性可知 又对任意 及任意τ，使 T t s ∈++ττ,，有 ))(),(())(),((ττ++t X s X t X s X 与同分布，于是 []) ,()()()]()([),(ττττ++=++==t s R t X s X E t X s X E t s R X X )(),0(s t R s t R s X X ---=记令τ 2.宽平稳过程 定义2 设有随机过程 ，且对任意t ， ，如果 ) (),()(ττμX X X R t t R t =+=常数 则称 为宽平稳过程（弱平稳过程，广义平稳过程）。 以后涉及的平稳过程均指宽平稳过程。 严平稳过程与宽平稳过程的关系：严平稳过程不一定是宽平稳过程，宽平稳过程也不一定是严平稳过程，但对于二阶矩过程，严平稳过程就是宽平稳过程。正态过程的严平稳性与宽平稳性是等价的。 二、平稳过程的数字特征 设 为平稳过程，且 ，则 )]([t X E X =μ为常数，称其为均值。 )]()([)(ττ+=t X t X E R X 为其τ的一元函数， （自相关函数） )]([22t X E X =ψ为常数，（均方值）随机过程复习题
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