第1~4章课后练习
1. 叙述距离空间、赋范线性空间及内积空间的定义。各举一个例子并验证之。
2．证明：当距离空间(,)X ρ满足下列两个条件时，也是赋范线性空间。
（1）X 是线性空间； （2）(,)(,0),(,)(,0)x y x y x y x ρρρααρ=-=.
3．（1）什么是有界线性泛函；
（2）若在空间C[a,b]上定义泛函f 为()[]()()x a x t C a ,b ,f x t x t dt ?∈=
?????,
证明泛函f 是一个有界线性算子，并求其范数f 。
4. 叙述内积空间的投影定理，并说明在最佳逼近中的作用。
5．什么是Hilbert 空间，并举例说明。
6. 写出内积空间U 中的Cauchy-Schwarz 不等式；
验证由内积导出的范数满足范数的三条公理。
7. 在2[,]L ππ-中，定义内积(,)()()x y x t y t dt π
π-=? （1）验证三角函数系{1,cos ,sin ,,cos ,sin ,}t t nt nt 是2[,]L ππ-中的正交系； （2）求出上述三角函数系的一个规范正交系。
8.简述内积空间U 在有限维子空间上最佳逼近的思想和方法。
用计算器求超越方程数值解的几个简单有趣的例子 孟也清（原创）REV1.02 01052013 很显然，这些超越方程都可以编个简单程序解决，但这里说的是仅使用普通函数计算器, JUST FOR FUN! 解方程1 X=Cos(X) 这可能是世界上最简单的用函数计算器迭代方式解超越方程的例子了，只要你连续按函数计算器上的COS键。第一个近似解可以是计算器上显示的任何数字，如一开机为0就可按键，或是99999999都无所谓，因为COS是周期函数，所有数字都会以2π为模。 按键若干次后你就看到那个解趋近你使用的计算器的最高精度。 在8位计算器上得到X=0.7390851,约按键50次， 在10位计算器上得到X=0.739085133,约按键52次， 在Windows上的32位计算器上为X=0.73908513321516064165531208767387，约按键200次。 注意上面X是弧度 若X是“度“则收敛更快, 仅10次即可得到32位解X=0.9998477415310881129598107686798 解方程2 X= - LOG(X) 见下图，蓝色为y=log(x), 紫色为y=-x, 交点约为X=0.4 若用X取对数再取正值后再迭代，其过程发散。 所以这样解, 将两次相近的解的几何平均值代回去迭代。有弦位法的意思。 X0=0.4 X1’=-Log(X0) =0.39794 X1=(X0+X1’)/2=0.39897 经过10次迭代可得到 X10=0.399012978260252 用几何平均值代回去迭代，也是10次，因为Xn范围很小。 1
解方程3 X=10LOG(X) 若X为功率，而10LOG(X)表示dBm，则在数值上有两个点它们是相等的。 即求解方程X=10LOG(X)的两个解。 见下图，蓝色为y=x, 紫色为y=10log（x）, 交点2约为X=10，y=10LOG(10)=10，此点可用直接迭代求出，但收敛速度不很快。 交点1约为X=1.4，此点用直接迭代或上面平均值迭代均发散，反而在计算器上用凑数法比较快，为1.371288573~4 当然可考虑牛顿法（切线法）切线法似乎也会发散。弦位法应可以，没试过。 2
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5 105.0-?,那么近似数有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-?=x ，325* 102 1 1021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0?= π，欲使其近似值* π具有4位有效数字，必需 41*1021 -?≤-ππ，3*3102 11021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：3* 1021-?≤ -a a ，2*102 1 -?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2 123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知 δ=-* *x x x ，则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5* =，已知 cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差 限。（误差限的计算） 解： * 2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 π ππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若
1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
数值分析上机报告
前言 随着计算机技术的高速发展，越来越多的科技工作者使用计算机进行科学研究和解决工程技术问题。数值分析（或计算方法）课程的内容是科学工程计算的必备知识，已经成为众多理工科大学生、研究生的必修课程，越来越受到重视。 由于工程实际中所遇到的数学模型求解过程迭代次数很多，计算量很大，所以需要借助很多编程软件来解决，得到一个满足误差限的解。本文所计算题目，均采用C++编程。在本文中使用C++编写了牛顿法、牛顿-Steffensen法方程求解的程序和雅格比法、高斯－赛德尔迭代法求解方程组的程序及Ru n ge-Kutt a4阶算法，并通过实例求解验证了其可行性，比较了求解同一种问题时不同方法之间的优缺性，其中包含解的精确度和解的收敛速度两个重要指标。
一 牛顿法和牛顿-Steffensen 法迭代求解的比较 1. 计算题目 分别用牛顿法，及基于牛顿算法下的Steffensen 加速法 (1) 求ln(x +sin x )=0的根。初值x0分别取0.1, 1,1.5, 2, 4进行计算。 (2) 求sin x =0的根。初值x0分别取1，1.4，1.6, 1.8，3进行计算。 分析其中遇到的现象与问题。 2. 计算过程和结果 1.对方程ln(x +sin x )=0，其导数有些复杂，我们可以对其进行变形，即求解x+sinx=1的解。使用牛顿法，令1sin )(-+=x x x f ，则x x f cos 1)(+='，直至 5 110 1||-+?<-k k x x 时，结束迭代；然后再使用基于牛顿法的Steffensen 加速法进 行计算，直至51101||-+?<-k k x x 时，结束迭代。其迭代结果与迭代次数如下表所示（注N1为牛顿法迭代次数，N2为基于牛顿法Steffensen 加速法迭代次数）： 2.对方程sin x =0，使用牛顿法时，令x x f sin )(=，使用牛顿法计算，直至 5 110 1||-+?<-k k x x 时，结束迭代；然后依据Steffensen 加速法进行编程计算，直 至51101||-+?<-k k x x 时，结束迭代。其迭代结果与迭代次数如下表所示：
￥ 数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 4、取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么（1）(3 3-，（2）(2 7-，（3） ()3 1 3+ ，（4） ()6 1 1 ，（5）99- , 数值实验 数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。 Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。 数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题 实验目的： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 $ r e x x e x x ** * ** - == 141 . ≈)61
1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
第5章 MATLAB 数值计算 1.选择和填空。 （1）下列变量名中的________是合法变量。 A. char_1 , i , j B. x*y , a.1 C. x\y , a1234 D. end , 1bcx （2）已知x 为1个向量，计算ln(x)的运算为________。 A. ln(x) B. log(x) C. Ln(x) D. log10(x) （3）已知a=0:4，b=1:5，下面的运算表达式出错的为_______。 A. a+b B. a./b C. a ’*b D. a*b 2.用“from:step:to ”方式和linspace 函数分别得到从0到4π，步长为0.4π的变量x1和从0到4π分成10点的变量x2。 3.输入矩阵A =123456789?????????? ，使用全下标方式取出元素“3” ，使用单下标方式取出元素“8”，取出后2行子矩阵块，使用逻辑矩阵方式取出1379?????? 。 4.输入A 为3×3的魔方阵，Ｂ为3×3的单位阵，由小矩阵组成3×6的大矩阵C 和6×3的大矩阵D ，将D 矩阵的最后１行构成小矩阵E 。 5.输入字符串变量a 为“hello ”，将a 的每个字符向后移4个，例如“h ”变为“l ”，然后再逆序排放赋给变量b 。 6.求矩阵1234?????? 的转置矩阵、逆矩阵、矩阵的秩、矩阵的行列式值、矩阵的三次幂、矩阵的特征值和特征向量。 7.求解方程组12341241 23412342x 3x x 2x 8x 3x x 6 x x x 8x 77x x 2x 2x 5 -++=??++=??-++=??+-+=? 8.计算数组A =123456789?????????? ，B =111222333??????????的左除、右除以及点乘和点除。 9. 计算函数2()sin(4)-=t f t t 的值，其中t 的范围为0~2π，步长取0.1π；z 为0.707；1()f t 为()0>=f t 的部分，计算1()f t 的值。 作业题：3、5、9（写到作业纸上，待通知交时再交上来） 其余为练习题（大家上机练习一下，课堂上可能会提问）
数值分析简述及求解应用 摘要：数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，本文主要介绍了数值分析的一些求解方法的原理和过程，并应用在电流回路和单晶硅提拉过程中的，进一步体现数值分析的实际应用。 关键字：解方程组插值法牛顿法 一、引言 随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。有可靠的理论分析，要有数值实验，并对计算的结果进行误差分析。数值分析的主要内容包括插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。运用数值分析解决问题的过程包括： 实际问题→数学建模→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。 在自然科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题,方程组求解是科学计算中最常遇到的问题。如在应力分析、电路分析、分子结构、测量学中都会遇到解方程组问题。在很多广泛应用的数学问题的数值方法中，如三次样条、最小二乘法、微分方程边值问题的差分法与有限元法也都涉及到求解方程组。 在工程中常会遇到求解线性方程组的问题，解线性方程组的方法有直接法和迭代法，直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。将方程组的解看作是某极限过程的极限值，且计算这一极限值的每一步是利用前一步所得结果施行相同的演算步骤而进行。迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。迭代法包括Jacobi法SOR法、SSOR法等多种方法。非线性是实际问题中经常用到出现的并在科学和工程中的低位也越来越重要，很多线性模型都是在一定条件下由非线性简化得到的。所以往往需要非线性的研究。非线性的数值解法有牛顿法，迭代收敛的加速解法，弦解法和抛物线法等。还有很多问题都可用常微分方程的定解来描述，主要有处置问题和边值问题。常微分方程是描述连续变化的数学语言，微分方程的求解是确定满足给定方程的可微函数y(x)。下面就数值分析中常用的一些方法和实例进行阐述。 二、数值分析中的一些方法 1、插值法 许多实际问题都用y=f(x)来表示，有的函数虽然有解析式，但由于计算复杂实用不方便，为了找一个既能反映函数的特性又便于计算的函数，我们利用插值法可以得到这个简单函数，插值法包括拉格朗日插值，牛顿插值，Hermite插值等多种方法。 拉格朗日插值是n次多项式插值，其成功地用构造插值基函数的方法解决了
一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--%
计算机数值方法测试题二 Prepared on 22 November 2020
《计算机数值方法》测试题 一．判断题（1分×10=10分）（对打√，错打×） 1．数值方法是指解数值问题的计算机上可执行的系列计算公式。( ) 2．……计算R=≈是截断误差。( ) 3．不同的矩阵三角分解对应着不同的解法，但在本质上，都是经过A=LU 的分 解计算，再解Ly=b 和Ux=y 的线性方程组。( ) 4．一般不用n 次多项式做插值函数。( ) 5．Runge 现象说明并非插值多项式的次数越高其精度就越高。( ) 6．Romberg 算法是利用加速技术建立的。( ) 7．从复合求积的余项表达式看，计算值的精度与步长无关。( ) 8．可用待定系数法和函数值或公式的线性组合构造新的数值函数求解微分方程。 ( ) 9．局部截断误差e k （h ）与y （x k ）的计算值y k 有关。( ) 10．对大型线性方程组和非线性方程采用逐次逼近更为合适。( ) 二．填空题（2分×5=10分） 1． 设x ∈[a,b]，x ≠x 0，则一阶均差f （x ）= 。 2． 矩阵A 的F-范数||A||F = 。 3． Euler 公式为 。 4． 矩阵 A 的条件数Cond （A ）∞= 。 5． 设x 为准确值，x *为x 的一个近似值，近似值x *的相对误差E r （x *） = 。 三．选择题（2分×5=10分） 1．设x=Pi ；则x *=有（ ）位有效数字。 (A) 4位 (B)5位 (C)6位 2．顺序主元a ii ≠0（i=1,2……k ）的充要条件是A 的顺序主子式D i （i=1,2……n- 1）（ ）。 (A) 不全为0 (B) 全不为0 (C) 全为0 3．若存在实数P ≥1和c ＞0，则迭代为P 阶收敛的条件是（ ）。 (A) ∞ ?→?k lim p k k e e ||||1+=c (B) O(h p ) (C) O(h p+1) 4．方程x 3-x 2-1=0在x 0=附近有根，则迭代格式x k+1=在x 0=附近（ ）。 (A) 不收敛 (B) 局部收敛 (C)不确定 5．下面哪个公式的局部截断误差为O （h 3）。（ ） （A ）Euler 公式 （B ）三阶Runge —Kutta 公式 （C ）梯形公式 四．计算题（7分×6=42分）
数值分析之幂法及反幂法C 语言程序实例 1、算法设计方案： ①求1λ、501λ和s λ的值： s λ：s λ表示矩阵的按模最小特征值，为求得s λ直接对待求矩阵A 应用反幂法即可。 1λ、501λ：已知矩阵A 的特征值满足关系 1n λλ<< ，要求1λ、及501λ时，可 按如下方法求解： a ． 对矩阵A 用幂法，求得按模最大的特征值1m λ。 b ． 按平移量1m λ对矩阵A 进行原点平移得矩阵1m B A I λ=+，对矩阵B 用反幂法 求得B 的按模最小特征值2m λ。 c ． 321m m m λλλ=- 则：113min(,)m m λλλ=，13max(,)n m m λλλ=即为所求。 ②求和A 的与数5011 140 k k λλμλ-=+最接近的特征值 ik λ（k=0，1，…39）： 求矩阵A 的特征值中与k μ最接近的特征值的大小，采用原点平移的方法： 先求矩阵 B=A-k μI 对应的按模最小特征值k β，则k β+k μ即为矩阵A 与k μ最接近的特征值。 重复以上过程39次即可求得ik λ（k=0，1，…39）的值。 ③求A 的（谱范数）条件数2cond()A 和行列式det A ： 在（1）中用反幂法求矩阵A 的按模最小特征值时，要用到Doolittle 分解方法，在Doolittle 分解完成后得到的两个矩阵分别为L 和U ，则A 的行列式可由U 阵求出，即：det(A)=det(U)。 求得det(A)不为0，因此A 为非奇异的实对称矩阵，则： max 2()s cond A λλ= ，max λ和s λ分别为模最大特征值与模最小特征值。
数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?
华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷C （2015年1月9日） 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在本试卷上； 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一、（12分）解答下列问题： 1）设近似值0x >，x 的相对误差为δ，试证明ln x 的绝对误差近似为δ。 2）利用秦九韶算法求多项式 542()681p x x x x x =-+-+ 在3x =时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。 （12分）解答下列问题： 1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。 2）利用插值方法推导出恒等式： 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。
（1）设{}∞ =0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。 （2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合： 四、（14分）对积分()10I f x dx = ?，试 （1）构造一个以012113,,424 x x x ===为节点的插值型求积公式； （2）指出所构造公式的代数精度； （3）用所得数值求积公式计算积分1 203x dx ?的精确值； （4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。
（1）设?? ????=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。 （2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ????????????=????????????-?????? 六、（13分）对2阶线性方程组 11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? （11220a a ≠ ） （1）证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散； （2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。
非线性方程求根 问题：在相距100m的两座建筑物（高度相等的点）之间悬挂一根电缆，仅允许电缆在中间最多下垂1m，试计算所需电缆的长度。 设空中电缆的曲线（悬链线）方程为 ] , [ , ) ( 50 50 2 - ∈ + = - x e e a y a x a x （1） 由题设知曲线的最低点)) ( , (0 0y与最高点)) ( , (50 50y之间的高度差为1m，所以有 1 2 50 50 + = +- a e e a a a) ( （2） 由上述方程解出a后，电缆长度可用下式计算： ) ( ) (a a a x a x L e e a dx e e dx x y ds L 50 50 50 50 50 2 1- - - - = ? ? ? ? ? ? + = ' + = =? ? ?（3） 相关Matlab命令： 1、描绘函数] , [ , ) ( ) (1500 500 1 2 50 50 ∈ - - + = - a a e e a a y a a 的图形；
2、用fzero 命令求方程在1250=a 附近的根的近似值x ，并计算)(x y 的函数值； 3、编写二分法程序，用二分法求0=)(a y 在],[13001200内的根，误差不超过310-，并给出对分次数； 4、编写Newton 迭代法程序，并求0=)(a y 在],[13001200内的根，误差不超过310-，并给出迭代次数。 5、编写Newton 割线法程序，并求0=)(a y 在],[13001200内的根，误差不超过310-，并给出迭代次数。
线性方程组求解应用实例 问题：投入产出分析 国民经济各个部门之间存在相互依存的关系，每个部门在运转中将其他部门的产品或半成品（称为投入）经过加工变为自己的产品（称为产出），如何根据各部门间的投入产出关系，确定各部门的产出水平，以满足社会需求，是投入产出分析中研究的课题。考虑下面的例子： 设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始投入等如表1所示（数字表示产值）。 表1 国民经济三个部门间的关系单位：亿元 假定总投入等于总产出，并且每个部门的产出与它的投入成正比，由上表可以确定三个部门的投入产出表：如表2所示。 表2 三个部门的投入产出表
1、 方程组中，，则求解方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代均收敛的a 的范围是___________。 2、，则A 的LDL T 分解中，。 3、，则__________，_______________. 4、已 知，则用复合梯形公式计算求 得，用三点式求得____________. 5、，则_________ ，三点高斯求积公式______________. 6设* 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则* x 有________位有效数字。 7 3()1,[0,1,2,3]f x x x f =+-=设 则差商(均差)_____________，[0,1,2,3,4]f =________________。 8 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是__________________。 9.梯形求积公式和复化梯形公式都是插值型求积公式_____（对或错）。 10.牛顿—柯特斯求积公式的系数和()0n n k k C ==∑__________________。 11.用二次拉格朗日插值多项式2()sin0.34L x 计算的值。插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，0.3894）。 12.用二分法求方程3()10[1.0,1.5]f x x x =--=在 区间内的一个根，误差限 210ε-=。 13.用列主元消去法解线性方程组 1231231 232346,3525,433032.x x x x x x x x x ++=??++=??++=? 14. 确定求积公式
012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h -≈-++? 。 中待定参数i A 的值(0,1,2)i =，使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。 15、 试求使求积公式的代数精度 尽量高，并求其代数精度。 16.证明区间[a,b]上带权()x ρ的正交多项式(),1,2,n P x n = 的n 个根都是单根，且位于区间(a,b)内。 17.设()()[,],max ()n n a x b f x C a b M f x ≤≤∈=，若取 21cos ,1,2,,222k a b a b k x k n n +--=+= 作节点，证明Lagrange 插值余项有估计式21()max ()!2n n n a x b M b a R x n -≤≤-≤ 18用n=10的复化梯形公式计算时， （1）试用余项估计其误差 （2）用n=10的复化梯形公式计算出该积分的近似值。 19已知方程组AX ＝f,其中 （1）列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 （2）求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，SOR 迭代法的最佳松弛参数 和SOR 法 的谱半径(可直接用现有结论) 20试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式 有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？ 21证明方程=)(x f x 2-x -3=0在区间(2,3)内有且仅有一个根,并用迭代法求方程在区间(2,3)内的根,精确到小数点后4位。 22设f (1)=2，f (3)=4，f (4)=6，用拉格朗日插值法求f (x )的二次插值多项式P 2(x )，并求f (2)的近似值。
1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ
1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分
数值计算方法练习题 习题一 1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。 （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）； （7）； 2. 为使下列各数的近似值的相对误差限不超过，问各近似值分别应取几位有效数字？ 3. 设均为第1题所给数据，估计下列各近似数的误差限。 （1）；（2）；（3） 4. 计算，取，利用下列等价表达式计算，哪一个的结果最好？为什么？ （1）；（2）；（3） （4） 5. 序列满足递推关系式
若（三位有效数字），计算时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 6. 求方程的两个根，使其至少具有四位有效数字（要求利用 。 7. 利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。 （1）；（2） （3）；（4） 8. 设，求证： （1） （2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差增大；反向递推时误差函数减小。 9.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。 10.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 11.下列公式如何才比较准确？ （1） （2） 12.近似数x*=0.0310, 13.计算取 四个选项：
习题二 1. 已知，求的二次值多项式。 2. 令求的一次插值多项式，并估计插值误差。 3. 给出函数的数表，分别用线性插值与二次插值求的近似值，并估计截断误差。
4. 设，试利用拉格朗日余项定理写出以为节点的三次插值多项式。 5. 已知，求及的值。 6. 根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式，并用其计算和的近似值。 7. 已知函数的如下函数值表，解答下列问题 （1）试列出相应的差分表； （2）分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。 8. 下表为概率积分的数据表，试问： （1）时，积分 （2）为何值时，积分？
第二章 1. 题目：运用MATLAB编程实现牛顿迭代 2. 实验操作 1、打开MATLAB程序软件。 2、在MATLAB中编辑如下的M程序。 function [p1,err,k,y]=newton(f,df,p0,delta,max) %f 是要求根的方程(f(x)=0); %df 是f(x)的导数； %p0是所给初值,位于x*附近； %delta是给定允许误差； %max是迭代的最大次数； %p1是newton法求得的方程的近似解； %err是p0的误差估计； %k是迭代次数； p0 for k=1:max p1=p0-feval('f',p0)/feval('df',p0); err=abs(p1-p0); p0=p1; k p1 err y=feval('f',p1) if (err
p0 = 1.2000 k =1 p1=1.1030 err=0.0970 y=0.0329 k= 2 p1=1.0524 err=0.0507 y=0.0084 k =3 p1=1.0264 err=0.0260 y=0.0021 k =4 p1=1.0133 err=0.0131 y=5.2963e-004 k =5 p1=1.0066 err=0.0066 y=1.3270e-004 k =6 p1=1.0033 err=0.0033 y=3.3211e-005 k =7 p1=1.0017 err=0.0017 y=8.3074e-006 k =8 p1=1.0008 err=8.3157e-004 y = 2.0774e-006 k =9 p1=1.0004 err=4.1596e-004 y =5.1943e-007 k=10 p1=1.0002 err=2.0802e-004 y= 1.2987e-007 k=11 p1=1.0001 err=1.0402e-004 y =3.2468e-008 k=12 p1=1.0001 err=5.2014e-005 y=8.1170e-009 k=13 p1=1.0000 err=2.6008e-005 y= 2.0293e-009 k=14 p1=1.0000 err=1.3004e-005 y=5.0732e-010 k=15 p1 =1.0000 err=6.5020e-006 y=1.2683e-010 k=16 p1 =1.0000 err=3.2510e-006 y=3.1708e-011 k=17 p1 =1.0000 err=1.6255e-006 y =7.9272e-012 k=18 p1 =1.0000 err =8.1279e-007 y= 1.9820e-012 ans = 1.0000 结果说明：经过18次迭代得到精确解为1，误差为8.1279e-007。