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高中数学第二章解析几何初步章末复习

解析几何初步章末复习

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高频考点例析

考点一直线的方程

例1直线l过点P(8,6)，且与两条坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程．

[解]解法一：直线l与两条坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，必须且只需直线l在两条坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，

故设直线l的方程为x

a ＋y

＝1或x

＋y

－a

＝1(a≠0)，

当直线l的方程为x

a ＋y

＝1时，

把P(8,6)代入得8

a ＋6

＝1，解得a＝14，

∴直线l的方程为x＋y－14＝0；

当直线l的方程为x

a ＋y

－a

＝1时，

把P (8,6)代入得8a －6

a ＝1，解得a ＝2， ∴直线l 的方程为x －y －2＝0.

综上所述，直线l 的方程为x ＋y －14＝0或x －y －2＝0. 解法二：设所求直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－b

k . ∵直线与两条坐标轴围成等腰直角三角形， ∴|b |＝??????－b k .

∵b ≠0，∴k ＝±1.

当k ＝1时，直线l 的方程为y ＝x ＋b ，把P (8,6)代入得6＝8＋b ，解得b ＝－2， ∴直线l 的方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0；

当k ＝－1时，直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，把P (8,6)代入得6＝－8＋b ，解得b ＝14， ∴直线l 的方程为y ＝－x ＋14，即x ＋y －14＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＋y －14＝0或x －y －2＝0.

类题通法

常用待定系数法求直线方程

求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况．

[变式训练1]将直线的方程x－2y＋6＝0；

(1)化成斜截式，并指出它的斜率与在y轴上的截距；

(2)化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距．

解(1)将原方程移项得2y＝x＋6，两边同除以2，得斜截式y＝1

2x＋3，因此

它的斜率k＝1

，

在y轴上的截距为3.

(2)将原方程移项得x－2y＝－6，两边同除以－6，得截距式x

－6＋y

＝1.由方

程可知，直线在x轴、y轴上的截距分别为－6,3.

考点二直线的位置关系

例2已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a、b的值．

(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；

(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等．

[解](1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0，

即a2－a－b＝0.①

又点(－3，－1)在l1上，

∴－3a＋b＋4＝0.②

由①②解得a＝2，b＝2.

(2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，

∴l1的斜率也存在，a

b ＝1－a，即b＝a

1－a

故l1和l2的方程可分别表示为

l1：(a－1)x＋y＋4(a－1)

＝0，

l 2：(a －1)x ＋y ＋

a 1－a

＝0.

∵原点到l 1与l 2的距离相等，

∴4??

????a －1a ＝??????a 1－a ，解得a ＝2或a ＝2

3. 因此?????

a ＝2，

b ＝－2或???

a ＝2

3，b ＝2.

类题通法

两条直线位置的判定方法

两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系．解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况．

[变式训练2] 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)若l 1∥l 2，则?????

a (a －1)－2×1＝0，a (a 2－1)－6×1≠0.

∴a ＝－1.∴a ＝－1时，l 1∥l 2. (2)当l 2的斜率不存在时，a ＝1. 则l 2：x ＝0，l 1：x ＋2y ＋6＝0. 显然l 1与l 2不垂直．

当l 2斜率存在时，a ≠1. 则k 2＝

11－a

，k 1＝－a 2. ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝11－a ·? ????

－a 2＝－1. ∴a ＝23.

考点三求圆的方程

例3 有一圆与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求此圆的方程．

[解] 解法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为C (a ，b )，由|CA |＝|CB |，CA ⊥l ，

得????

(a －3)2＋(b －6)2＝(a －5)2＋(b －2)2＝r 2，b －6a －3×4

3＝－1.

解得a ＝5，b ＝92，r 2＝254， ∴圆的方程为(x －5)2＋? ??

??y －922＝25

解法二：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为C ，由CA ⊥l ，A (3,6)、B (5,2)在圆上，

得?????

32＋62＋3D ＋6E ＋F ＝0，

＋22

＋5D ＋2E ＋F ＝0，－E

2－6

－D 2

－3×43＝－1，

解得????

D ＝－10，

E ＝－9，

F ＝39.

∴所求圆的方程为：x 2＋y 2－10x －9y ＋39＝0.

解法三：设圆心为C ，则CA ⊥l ，又设AC 与圆的另一交点为P ，则CA 方程为y －6＝－3

4(x －3)，

即3x ＋4y －33＝0. 又k AB ＝

6－23－5

＝－2，

∴k BP ＝12，

∴直线BP 的方程为x －2y －1＝0. 解方程组????? 3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得?????

x ＝7，

y ＝3.

∴P (7,3)．

∴圆心为AP 中心? ?

???5，92，半径为|AC |＝52. ∴所求圆的方程为(x －5)2＋? ????y －922＝25

类题通法

求圆的方程常用的方法

求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：

(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组)；(3)解出a ，b ，r (或D ，E ，F )；(4)代入圆的方程．

[变式训练3] 已知圆经过点A (2，－1)，圆心在直线2x ＋y ＝0上且与直线x －y －1＝0相切，求圆的方程．

解解法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，

其圆心为? ????－D

2，－E 2.

∵圆过点A (2，－1)， ∴5＋2D －E ＋F ＝0，① 又圆心在直线2x ＋y ＝0上，

∴2·? ????－D 2＋? ????

－E 2＝0，即2D ＋E ＝0.② 将y ＝x －1代入圆方程得 2x 2＋(D ＋E －2)x ＋(1－E ＋F )＝0. Δ＝(D ＋E －2)2－8(1－E ＋F )＝0.③

将①②代入③中，得(－D －2)2－8(1－2D －5)＝0，即D 2＋20D ＋36＝0，∴D ＝－2或D ＝－18. 代入①②，得????

D ＝－2，

E ＝4，

F ＝3

或????

D ＝－18，

E ＝36，

F ＝67.

故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0 或x 2＋y 2－18x ＋36y ＋67＝0.

解法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)． ∵圆心在直线y ＝－2x 上，∴b ＝－2a ，即圆心为(a ，－2a )．

又圆与直线x －y －1＝0相切，且过点(2，－1)， ∴|a ＋2a －1|

2＝r ，(2－a )2＋(－1＋2a )2＝r 2，

即(3a －1)2＝2(2－a )2＋2(－1＋2a )2，解得a ＝1或a ＝9.

∴a ＝1，b ＝－2，r ＝2或a ＝9，b ＝－18，r ＝338，故所求圆的方程为：(x －1)2＋(y ＋2)2＝2，或(x －9)2＋(y ＋18)2＝338.

考点四直线与圆、圆与圆的位置关系

例4 已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，是否存在斜率为1的直线l ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点；若存在，写出直线l 的方程；若不存在，说明理由．

[解] 假设存在斜率为1的直线l ，满足题意，则OA ⊥OB ，

设直线l 的方程是y ＝x ＋b ，其与圆C 的交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1x 1

y 2

x 2

＝－1，

即x 1x 2＋y 1y 2＝0.①

由?????

y ＝x ＋b ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，

消去y ，得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0. 所以x 1＋x 2＝－(b ＋1)，x 1x 2＝12(b 2

＋4b －4)，② y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ＝1

2(b 2＋4b －4)－b 2－b ＋b 2 ＝1

2(b 2＋2b －4)，③ 把②③式代入①式，得

b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1或b ＝－4，且b ＝1或b ＝－4都使得

Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0成立．

故存在直线l满足题意，其方程为y＝x＋1或y＝x－4.

类题通法

开放性题的解题思路

解答这类题的思路是先假设存在，再运用直线与圆相交时满足的几何性质或代数关系作转化，求出所涉及的参数，最后通过验证来说明其是否存在．

[变式训练4]已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M 交于A，B两点，且|AB|＝23，求直线l的方程．

解(1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.

作示意图如图，作MC⊥AB于C.

在Rt△MBC中，|BC|＝3，|MB|＝2，

故|MC|＝|MB|2－|BC|2＝1，

由点到直线的距离公式得|k－1＋3－2k|

k2＋1

＝1，

解得k＝3

所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0.

(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，且|AB|＝23，所以适合题意．

综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.

思想方法

一、数形结合思想

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，这是数学的规律性与灵活性的有机结合，解析几何本身就是数与形的完美结合．例1直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且仅有一个公共点，则b的取值范围是()

A．|b|＝2

B．－1

C．－1≤b≤1

D．以上结论均不对

[解析]将曲线x＝1－y2变为x2＋y2＝1(x≥0)．画出直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2，如下图．

当直线y＝x＋b与曲线x2＋y2＝1相切时，满足|0－0＋b|

＝1，则|b|＝ 2.

观察图像，可得当b＝－2或－1

[答案]B

二、函数与方程思想

解决有关直线与圆的最值或范围问题时，常把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围．

例2 试在坐标平面yOz 内的直线2y －z －1＝0上确定一点P ，使P 点到点Q (－1,0,4)的距离最小．

[解] ∵P 在yOz 平面内，∴可设点P 的坐标为(0，y,2y －1)．由两点间的距离公式，

得|PQ |＝(0＋1)2＋(y －0)2＋(2y －1－4)2

＝

5y 2－20y ＋26＝

5(y －2)2＋6.

显然当y ＝2时，|PQ |取得最小值6，这时点P 的坐标为(0,2,3)．三、分类讨论思想

分类讨论思想是数学的基本思想之一，是历年高考的重点．在用二元二次方程表示圆时，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时，都要分类讨论．

例3 过点P (－1,0)，Q (0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x 轴上的截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．

[解] (1)当两条平行直线的斜率都不存在时，两条直线的方程分别为x ＝－1，x ＝0，它们在x 轴上的截距之差的绝对值为1，满足题意．

(2)当两条平行直线的斜率都存在时，设其斜率为k ，则两条直线的方程分别为y ＝k (x ＋1)，y ＝kx ＋2.

令y ＝0，分别得x ＝－1，x ＝－2

k . 由题意得???

??－1＋2k ＝1，即k ＝1.

∴两条直线的方程分别为y ＝x ＋1，y ＝x ＋2，即x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0.

综上可知，所求的两条直线方程分别为x ＝－1，x ＝0，或x －y ＋1＝0，x －y ＋2＝0.

四、转化与化归思想

涉及与圆有关的最值问题，可借助图形的性质，考查所给式子的几何意义，

一般地：

(1)形如y－b

x－a

的最值问题，可转化为动直线的斜率问题；

(2)形如ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距问题；

(3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离问题．例4如果实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，求：

(1)y

x的最大值或最小值；

(2)x＋y的最大值与最小值；

(3) (x－2)2＋y2的最大值与最小值．

[解](1)设P(x，y)，则点P的轨迹就是已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝6.

而y

的几何意义就是直线OP的斜率，其中O为坐标原点．

设y

＝k，则直线OP的方程为y＝kx.画图可知(图略)，当直线OP与圆相切时，斜率取得最值．

∵圆心C到直线y＝kx的距离为|3k－3|

k2＋1

，

∴当|3k－3|

k2＋1

＝6，即当k＝3±22时，直线OP与圆相切，

∴y

的最大值与最小值分别是3＋22与3－2 2.

(2)设x＋y＝b，则y＝－x＋b.画图可知(图略)，当直线y＝－x＋b与圆C：(x －3)2＋(y－3)2＝6相切时，截距b取得最值．

∵圆心C到直线y＝－x＋b的距离为|6－b|

，

∴当|6－b|

＝6，即当b＝6±23时，直线y＝－x＋b与圆C相切，

∴x＋y的最大值与最小值分别为6＋23与6－2 3.

(3)代数式(x－2)2＋y2的几何意义是圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝6上的点到定点(2,0)的距离．

∵圆心C(3,3)与定点(2,0)的距离是(3－2)2＋32＝10，圆的半径是6，

∴(x－2)2＋y2的最大值是10＋6，最小值是10－ 6.

高一数学必修一第二章知识总结

高一数学必修一第二章知识总结一、指数函数（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，? ? ?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,,0(* >∈>= n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1 * >∈>= =- n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r a 〃s r r a a += ),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）s r r a a a b =)( ),,0(R s r a ∈>．（二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；

（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；二、对数函数（一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式．两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．指数式与对数式的互化幂值真数指数对数（二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log 〃=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a n a m log log = ；（2）a b b a log 1log = ．（二）对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5 log 5 x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

高中数学必修二第二章经典练习题

绝密★启用前 201*年**中学同步教学测试试卷 **测试试卷考试围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号一二三四五总分得分注意事项： 1．答题前填写好自己的、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单项选择 1. 在空间，下列哪些命题是正确的（）． ①平行于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ③平行于同一个平面的两条直线互相平行 ④垂直于不一个平面的两条直线互相平行 A．仅②不正确B．仅①、④正确 C．仅①正确D．四个命题都正确 2. 如果直线 a是平面α的斜线，那么在平面α（） A 不存在与a平行的直线 B 不存在与a垂直的直线 C 与a垂直的直线只有一条 D 与a平行的直线有无数条3. 平面α有一四边形ABCD，P为α外一点，P点到四边形ABCD各边的距离相等，则这个四边形（） A 必有外接圆 B 必有切圆 C 既有切圆又有外接圆 D 必是正方形 4. 已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( ) A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC C．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45° 5. 若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交 6. 设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥(如图)，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( ) A．不存在B．只有1个 C．恰有4个D．有无数多个 7. 设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P 到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC（） A 是非等腰的直角三角形 B 是等腰直角三角形 C 是等边三角形 D 不是A、B、C所述的三角形 8. 已知正四棱锥S ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中

必修一数学第二章测试卷答案

必修一基本初等函数（I）测试题姓名：_______________班级：_______________考号：_______________ 1、已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围为（ ?） A．?????? B．?????? ?? ??? C．?????? ? D． 2、若函数在（，）上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是??????????????????????????????????????? （? ???） 3、D已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2+x)=f(－x)，当0≤x≤1时，f(x)=x2，则f(2015)= （ ??） A.－1?? ??? ??? B.1 ??? ??? ??? ??? C.0 ??? ??? ??? ??? ??? D.20152 4、已知函数为自然对数的底数)与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ??） A．?????? B．??????? C．????? D． 5、下图可能是下列哪个函数的图象(???? ) . ?????????. . ?????????.

6、?已知，，，则的大小关系是（??） A ．?????? B ．?????? C ．?????? D ． 7、设，，，则的大小关系是 A.??????? B. ?????? C.??????? D. 8、?下列函数中值域为（0，）的是（??? ） A. ????? B. ????? C. ????? D. 9、已知函数为自然对数的底数) 与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ??） A ．?????? B ．??????? C ．????? D ． 10、? 已知函数，若，则的取值范围是（ ???） A ．??????? B ．?????? C ．???????? D ． 11 、已知函数的最小值为（??? ） ??? A．6????????? ? ??? B．8????????????? ? C．9???????????? ?? D．12

高中数学平面解析几何的知识点梳理

平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点．（2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点．（3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直：（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=．线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ．

高中数学第二章解析几何初步章末复习

解析几何初步章末复习知识网络构建高频考点例析考点一直线的方程例1直线l过点P(8,6)，且与两条坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程． [解]解法一：直线l与两条坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，必须且只需直线l在两条坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，故设直线l的方程为x a ＋y a ＝1或x a ＋y －a ＝1(a≠0)，当直线l的方程为x a ＋y a ＝1时，把P(8,6)代入得8 a ＋6 a ＝1，解得a＝14， ∴直线l的方程为x＋y－14＝0；当直线l的方程为x a ＋y －a ＝1时，

把P (8,6)代入得8a －6 a ＝1，解得a ＝2， ∴直线l 的方程为x －y －2＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＋y －14＝0或x －y －2＝0. 解法二：设所求直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－b k . ∵直线与两条坐标轴围成等腰直角三角形， ∴|b |＝??????－b k . ∵b ≠0，∴k ＝±1. 当k ＝1时，直线l 的方程为y ＝x ＋b ，把P (8,6)代入得6＝8＋b ，解得b ＝－2， ∴直线l 的方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0；当k ＝－1时，直线l 的方程为y ＝－x ＋b ，把P (8,6)代入得6＝－8＋b ，解得b ＝14， ∴直线l 的方程为y ＝－x ＋14，即x ＋y －14＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＋y －14＝0或x －y －2＝0. 类题通法常用待定系数法求直线方程求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况．

苏教版高一数学必修一第二章章末检测

章末检测一、填空题 1．f (x )＝2x ＋13x －1 的定义域为________． 2．y ＝2x 2＋1的值域为________． 3．已知函数f (x )＝ax 2＋(a 3－a )x ＋1在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是________． 4．设f (x )＝? ?? x ＋3 (x >10)f (f (x ＋5)) (x ≤10)，则f (5)的值是______． 5．已知函数y ＝f (x )是R 上的增函数，且f (m ＋3)≤f (5)，则实数m 的取值范围是________． 6．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3在区间[－2,3]上的最大值与最小值的和为________． 7．若函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a x 为奇函数，则实数a ＝________. 8．若函数f (x )＝x 2－mx ＋m ＋2是偶函数，则m ＝______. 9．函数f (x )＝x 2＋2x －3，x ∈[0,2]，那么函数f (x )的值域为________． 10．用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小值，若函数f (x )＝min{|x |，|x ＋t |}的图象关于直线 x ＝－12 对称，则t 的值为________． 11．已知函数f (x )＝? ?? x ＋2， x <1，x 2＋ax ， x ≥1，当f [f (0)]＝4a ，则实数a 的值为________． 12．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋3，则f (－2)的值为________． 13．函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f (1)的取值范围是________． 14．若函数y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是________函数(填“增”或“减”)．二、解答题 15．已知函数f (x )＝ax ＋b x ＋c (a ，b ，c 是常数)是奇函数且1满足f (1)＝52，f (2)＝174 ，求f (x )的解析式．

2020新人教A版高中数学必修一第二章基本初等函数Ⅰ章末复习提升

【创新设计】2015-2016学年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）章末复习提升新人教A版必修1 1．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化． 2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图象特点． 3．应用指数函数y＝a x和对数函数y＝log a x的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a＞1和0＜a＜1两种情况的讨论． 4．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决． 5．理解幂函数的概念、图象和性质．在理解幂函数的概念、图象和性质时，要对幂指数α分两种情况进行讨论，即分α＞0和α＜0两种情况． 6．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各

类中两两相比较． 7．求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间． 8．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图造式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果．题型一有关指数、对数的运算问题指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容．指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等．换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用．例1 (1)化简 a 43－8a 3 1b 4b 3 2 ＋23 ab ＋a 3 2÷? ?? ??1－2 3b a ×3 ab ； (2)计算：2log 32－log 3329 ＋log 38－253 5 log . 解 (1)原式＝ a 3 1a －8b 2b 3 12 ＋2a 3 1b 3 1＋a 3 12 × a 3 1a 3 1－2b 3 1×a 31b 3 1＝ a 3 1a －8b a －8b ×a 31×a 31b 3 1 ＝a 3b . (2)原式＝log 34－log 3329 ＋log 38－53 5 log 2+ ＝log 3(4×932 ×8)－53 5 log 2+＝log 39－9＝2－9＝－7. 跟踪演练1 (1)求lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5log 54·log 25 ＋52 5 log ＋1643 的值． (2)已知x ＞1，且x ＋x －1 ＝6，求x 2 1－x 2 1- . 解 (1)lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5log 54·log 25 ＋52 5log ＋1643

高中数学必修一第二章公式全总结

指数运算公式一、根式 1、 () ()02 ≥=a a a 2、???????<-=>==0 ,0,00,2 a a a a a a a 3、 () ()0≥=a n a a n n 为偶数时要求当 4、???? ?=为偶数为奇数 n a n a a n n ,,二、指数幂 1、()010 ≠=a a 2、() a a a a a n n 101 1 =≠=--特别： 3、n n a a =1 4、n m n m a a = 5、n m n m n m a a a 1 1= = - 6、n m n m a a a +=? 7、n m n m a a a -=÷ 8、() n m n m a a = 9、()n n n b a b a ?=?注：① 0的0次幂没有意义，0没有负指数幂. ②负数没有偶次方根.（即负数不能开偶次方）对数运算公式对数的底数大于0且不等于1，真数大于0 1、指对互换： ()10log ≠>=?=a a y x a y a x 且 2、01log =a 3、1log =a a 4、()对数恒等式N a N a =log 5、()N M N M a a a log log log +=? 6、N M N M a a a log log log -= 7、b m n b a n a m log log = 公式7是如下两个公式的结合： () ()b m b b n b a a a n a m l o g 1l o g 2l o g l o g 1== 8、换底公式：

a b b c c a l o g l o g l o g = 换底公式的常用变形： ()() 1 l o g l o g 2l o g 1 l o g 1=?= a b a b b a b a 常用的代数恒等式 1、平方差公式：()()b a b a b a -+=-22 2、完全平方公式：()()?????+-=-++=+2 222 2222b ab a b a b ab a b a 3、十字相乘法公式（不用背，要求会方法）： ()()()ab x b a x b x a x +++=++2 4、立方和（差）公式： ()( )()() ?????++-=-+-+=+2 2332 233b ab a b a b a b ab a b a b a 5、完全立方公式： ()()?????-+-=-+++=+3 22333 22333333b ab b a a b a b ab b a a b a 6、三元完全平方公式： ()ca bc ab c b a c b a 2222 222 +++++=++

数学必修二第二章解析几何初步试卷及答案.doc

数学必修二第二章解析几何初步宝鸡铁一中王芳芳 2010.11 一、选择题： 1.x 轴上任一点到定点（0，2）、（1，1）距离之和最小值是（C ） A ．2 B ．22+ C ．10 D ．15+ 2.点（4，0）关于直线5x+4y+21=0对称的点是（B ） A ．（-6，8） B ．（-6，-8） C ．（-8，-6） D ．（6，8） 3.直线 032=+-y x l ：关于x y -=，对称的直线方程是（C ） A ．032=+-y x B ．032=-+x y C ．032=--y x D ．032=--y x 4.过点P （2，1），且倾斜角是直线l ：01=--y x 的倾斜角的两倍的直线方程为（B ） A ．012=--y x B ．2=x C ．)2(21-=-x y D ．012=--y x 5.以点A （-5，4）为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是（C ） A ．25)4()5(22=-++y x B ．16)4()5(22=++-y x C ．16)4()5(22=-++y x D ． 25)4()5(22=++-y x 6.一条直线过点P （-3，23 -），且圆 252 2=+y x 的圆心到该直线的距离为3，则该直线的方程为（C ） A ．3-=x B ． 23 3- =-=y x 或 C ．015433=++-=y x x 或 D ．01543=++y x

7.过点A （1，-1），B （-1，1），且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是（B ） A ．4)1()3(22=++-y x B ．4)1()1(2 2=-+-y x C ．4)1()3(22=-++y x D ． 4)1()1(22=+++y x 8.已知圆C ：4)2()(2 2=-+-y a x （0 a ），有直线l ：03=+-y x ，当直线l 被圆C 截得弦长为32时，a 等于（A ） A ．12- B ．2-2 C ．2 D ．12+ 9.直线)(0)11()3()12(R k k y k x k ∈==--+--，所经过的定点是（B ） A ．（5，2） B ．（2，3） C ．（－21 ，3） D ．(5，9) 10.若直线12++=k kx y 与直线2 21 +-=x y 的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（C ） A ．26-- k B ．0 61 k - C ．061 k - D ． 21 k 11.三条直线 155,02,0321=--=-+=-ky x l y x l y x l ：：：构成一个三角形，则k 的范围是（C ） A ．R k ∈ B ．R k ∈且0,1≠±≠k k C ．R k ∈且10,5-≠±≠k k

高中数学必修一第二章测试题正式

秀全中学2012——2013学年第一学期高一数学第二章单元检测（满分120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题只有一项是符合要求的） 1．函数32+=-x a y （a >0且a ≠1）的图象必经过点（A ）（0,1）（B ） (1,1) （C ） (2,3) （D ）(2,4) 2．函数lg y x = A.是偶函数，在区间(,0)-∞ 上单调递增 B.是偶函数，在区间(,0)-∞上单调递减 C.是奇函数，在区间(0,)+∞ 上单调递增 D ．是奇函数，在区间(0,)+∞上单调递减 3．三个数6 0.70.70.76log 6，，的大小关系为 A . 60.70.70.7log 66<< B . 60.7 0.7log 60.76<< C ．0.7 60.7log 660.7<< D . 60.70.70.76log 6<< 4．函数12 log (32)y x = - A ．[1,)+∞ B ．2(,)3+∞ C ．2(,1]3 D ．2[,1]3 5、已知镭经过100年，剩留原来质量的95．76%，设质量为1的镭经过x 年的剩留量为y ，则y 与x 的函数关系是（A ）y =(0．9576) 100 x （B ）y =(0．9576)100x （C ）y =( )x （D ）y =1－（0．0424） 100 x 6、函数y =x a log 在[1,3]上的最大值与最小值的和为1，则a = （A ）（B ） 2 （C ） 3 （D ） 7、下列函数中，在区间（0，2）上不是增函数的是（A ） 0.5log (3)y x =- （B ） 12+=x y （C ） 2x y -= （D ）x y 22= 8、函数与（）在同一坐标系中的图像只可能是 1009576.02131x a y =x y a log -=1,0≠>a a 且