有限元知识点归纳 1.、有限元解的特点、原因？ 答：有限元解一般偏小，即位移解下限性 原因：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以节点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此，连续体的整体刚度随之增加，离散后的刚度较实际的刚度K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。 2、形函数收敛准则（写出某种单元的形函数，并讨论收敛性）P49 (1)在节点i处N i=1,其它节点N i=0; (2)在单元之间，必须使由其定义的未知量连续； (3)应包含完全一次多项式； (4)应满足∑Ni=1 以上条件是使单元满足收敛条件所必须得。可以推证，由满足以上条件的形函数所建单元是完备协调的单元，所以一定是收敛的。 4、等参元的概念、特点、用时注意什么？（王勖成P131） 答：等参元—为了将局部坐标中几何形状规则的单元转换成总体（笛卡尔）坐标中的几何形状扭曲的单元，以满足对一般形状求解域进行离散化的需要，必须建立一个坐标变换。即： 为建立上述的变换，最方便的方法是将上式表示成插值函数的形式，即： 其中m是用以进行坐标变换的单元节点数，xi,yi,zi是这些结点在总体（笛卡尔）坐标内的坐标值，Ni’称为形状函数，实际上它也是局部坐标表示的插值函数。称前者为母单元，后者为子单元。 还可以看到坐标变换关系式和函数插值表示式：在形式上是相同的。如果坐标变换和函数插值采用相同的结点，并且采用相同的插值函数，即m=n，Ni’=Ni,则称这种变换为等参变换。 5、单元离散？P42 答：离散化既是将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之间用有限个点相连。每个部分称为一个单元，连接点称为结点。对于平面问题，最简单、最常用的离散方式是将其分解成有限个三角形单元，单元之间在三角形顶点上相连。这种单元称为常应变三角形单元。常用的单元离散有三节点三角形单元、六节点三角形单元、四节点四边形单元、八节点四边形单元以及等参元。 6、数值积分，阶次选择的基本要求？ 答：通常是选用高斯积分 积分阶次的选择—采用数值积分代替精确积分时，积分阶数的选取应适当，因为它直接影响计算精度，计算工作量。选择时主要从两方面考虑。一是要保证积分的精度，不损失收敛性；二是要避免引起结构总刚度矩阵的奇异性，导致计算的失败。
有限元理论基础
有限元理论基础 2.1 数值模拟技术 2.1.1数值模拟技术简介 在工程技术领域中许多力学问题和场问题，实质上就是在一定的边界条件下求解一些微分方程。对于少数简单问题，人们可以通过建立它们的微分方程与边界约束求出该问题的解析解。但是对于比较复杂的数学方程问题以及不规则的边界条件通过激吻戏法往往难以求解，而需要借助各种数值模拟方法活的相应的工程数值解，这就是所谓的数值模拟技术。 在实际工程领域中，用数值模拟技术可以对复杂的工程结构进行受力和响应分析，这样可以在设计或者加工前预知实体结构工作状态下的大概情况。 目前在工程实际应用中，常用的数值求解方法有：有限单元法、有限差分法、边界元等但从实用性和使用范围来说，有限单元法则是随着计算机技术的发展而被广泛应用的一种行之有效的数值计算方法。 2.2.2 有限元法 有限元法是一种基于能量原理的数值计算
方法，是解决工程实际问题的一种有效的数值计 算工具。它是里茨法的另一种表示形式，它可应用里茨法分析的所有弹性理论。 限元法是处理连续的结构体离散或有限个单元集合，也就是将连续的求解域离散为一定数量的单元集合体。且每个单元都具有一定的节点，相邻单元通过节点相互连续，同时使用等效节点力代替作用于单元上的力和选定场函数的节点值作为基本未知量。并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律：进而利用力学中的某些变分原理去建立用以求解节点未知量的有限元法方程，从而将一个连续域中的无限自由度问题化为离散域中的有限自由度问题。求解后，可利用解出的节点值和设定的插值函数确定整个单元集体上的场函数。有限元求解问题中的单元分析：t t t a k F= 式中：:t F单元节点作用力。 t K:单元刚度矩阵。 t a：单元节点位移。 通过单元分析确定单元刚度矩阵，建立单元节点作用力和单元为伊关系。有限元求解问题时建立 的结构整体平衡方程：P KU=
1. 诉述有限元法的定义 答：有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法 2. 有限元法的基本思想是什么 答：首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。 3. 有限元法的分类和基本步骤有哪些 答：分类：位移法、力法、混合法；步骤：结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。 4. 有限元法有哪些优缺点 答：优点：有限元法可以模拟各种几何形状复杂的结构，得出其近似解；通过计算机程序，可以广泛地应用于各种场合；可以从其他CAD软件中导入建好的模型；数学处理比较方便，对复杂形状的结构也能适用；有限元法和优化设计方法相结合，以便发挥各自的优点。 缺点：有限元计算，尤其是复杂问题的分析计算，所耗费的计算时间、内存和磁盘空间等计算资源是相当惊人的。对无限求解域问题没有较好的处理办法。尽管现有的有限元软件多数使用了网络自适应技术，但在具体应用时，采用什么类型的单元、多大的网络密度等都要完全依赖适用者的经验。 5. ?梁单元和平面钢架结构单元的自由度由什么确定 答：每个节点上有几个节点位移分量，就称每个节点有几个自由度 6. ?简述单元刚度矩阵的性质和矩阵元素的物理意义 答：单元刚度矩阵是描述单元节点力和节点位移之间关系的矩阵 单元刚度矩阵中元素aml的物理意义为单元第L个节点位移分量等于1，其他节点位移分量等于0时，对应的第m个节点力分量。 7. 有限元法基本方程中的每一项的意义是什么 答：整个结构的节点载荷列阵（外载荷、约束力），整个结构的节点位移列阵，结构的整体刚度矩阵，又称总刚度矩阵。 8. 位移边界条件和载荷边界条件的意义是什么 答：由于刚度矩阵的线性相关性不能得到解，从而引入边界条件。 9. ?简述整体刚度矩阵的性质和特点 答：对称性；奇异性；稀疏性；对角线上的元素恒为正。 11. 简述整体坐标的概念 答：单元刚度矩阵的坐标变换式把平面刚架的所有单元在局部坐标系X’Y’Z’下的单元刚度矩阵变换到一个统一的坐标系xOy下，这个统一的坐标系xOy称为整体坐标系。 13. 简述平面钢架问题有限元法的基本过程 答：力学模型的确定，结构的离散化，计算载荷的等效节点力，计算各单元的刚度矩阵，组集整体刚度矩阵，施加边界约束条件，求解降价的有限元基本方程，求解单元应力，计算结果的输出。 14. 弹性力学的基本假设是什么。 答：连续性假定，弹性假定，均匀性和各向同性假定，小变形假定，无初应力假定。 15.弹性力学和材料力学相比，其研究方法和对象有什么不同。 答：研究对象：材料力学主要研究杆件，如柱体、梁和轴，在拉压、剪切、弯曲和扭转等作用下的应力、形变和位移。弹性力学研究各种形状的弹性体，除杆件外，还研究平面体、空间体，板和壳等。因此，弹性力学的研究对象要广泛得多。研究方法：弹性力学和材料力学
有限元分析概念 有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件 有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。 有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解； 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类：
1）材料非线性问题 材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2）几何非线性问题 几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。 3）非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。
有限元分析概念 有限元法:把求解区域瞧作由许多小的在节点处相互连接的单元(子域)所构成,其模型给出基本方程的分片(子域)近似解,由于单元(子域)可以被分割成各种形状与大小不同的尺寸,所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性与复杂的边界条件 有限元模型:它就是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成,单元之间通过节点连接,并承受一定载荷。 有限元分析:就是利用数学近似的方法对真实物理系统(几何与载荷工况)进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素,即单元,就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 线弹性有限元就是以理想弹性体为研究对象的,所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中,材料的应力与应变呈线性关系,满足广义胡克定律;应力与应变也就是线性关系,线弹性问题可归结为求解线性方程问题,所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法,也有助于降低有限元分析的时间。 线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。 非线性问题与线弹性问题的区别: 1)非线性问题的方程就是非线性的,一般需要迭代求解; 2)非线性问题不能采用叠加原理; 3)非线性问题不总有一致解,有时甚至没有解。 有限元求解非线性问题可分为以下三类:
1)材料非线性问题 材料的应力与应变就是非线性的,但应力与应变却很微小,此时应变与位移呈线性关系,这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系,所以,一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据,有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟,尽管这些模型总有她们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有:非线性弹性(包括分段线弹性)、弹塑性、粘塑性及蠕变等。 2)几何非线性问题 几何非线性问题就是由于位移之间存在非线性关系引起的。 当物体的位移较大时,应变与位移的关系就是非线性关系。研究这类问题一般都就是假定材料的应力与应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题,橡胶部件形成过程为大应变问题。 3)非线性边界问题 在加工、密封、撞击等问题中,接触与摩擦的作用不可忽视,接触边界属于高度非线性边界。 平时遇到的一些接触问题,如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等,当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。 实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。 有限元理论基础
有限元分析及其应用-2010 思考题： 1、有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步骤有那些？其中“离散”的含义是什 么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？ 答：基本思想：几何离散和分片插值。 基本步骤：结构离散、单元分析和整体分析。 离散的含义：用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合，且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。当单元趋近无限小，节点无限多，则这种离散结构将趋近于实际的连续结构。 2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？ 区别：差分法：均匀离散求解域，差分代替微分，要求规则边界，几何形状复杂精度较低； 里兹法：根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式，求得近似解； 有限元：基于变分法，采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。 3、一根单位长度重量为q的悬挂直杆，上端固定，下端受垂直向下的外力P，试 1）建立其受拉伸的微分方程及边界条件； 2）构造其泛函形式； 3）基于有限元基本思想和泛函求极值构造其有限元的计算格式（即最小势能原理）。4、以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩 阵）。 5、什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？ 答：节点力：单元与单元之间通过节点相互作用 节点载荷：作用于节点上的外载 6、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自 由度和节点解释）？ 答：单元刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正 整体刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正、稀疏性、带状性。 Kij，表示j节点产生单位位移、其他节点位移为零时作用i节点的力，节点力等于节点位移与单元刚度元素乘积之和。 7、单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？ 答：形函数的特点：Ni为x，y的坐标函数，与位移函数有相同的阶次。 形函数Ni在i节点的值为1，而在其他节点上的值为0； 单元内任一点的形函数之和恒等于1； 形函数的值在0~1间变化。 8、描述弹性体的基本变量是什么？基本方程有哪些组成？ 答：基本变量：外力、应力、应变、位移 基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、几何条件 9、何谓应力、应变、位移的概念？应力与强度是什么关系？ 答：应力：lim△Q/△A=S △A→0 应变：物体形状的改变 位移：弹性体内质点位置的变化 10、问题的微分方程提法、等效积分提法和泛函变分提法之间有何关系？何谓“强形 式”？何谓“弱形式”，两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？
有限元法基本原理与应用 班级机械2081 姓名方志平 指导老师钟相强 摘要：有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 关键词：有限元法；变分原理；加权余量法；函数。 Abstract：Finite element method is based on the variational principle and the weighted residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivative by the variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it constitutes a different finite element method. Keywords：Finite element method; variational principle; weighted residual method; function。 引言 有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计
诚信·公平·开放·共赢 Loyalty Fair Opening Win-win 有限元法中的几个基本概念 有限元法是把要分析的连续体假想地分割成有限个单元所组成的组合体，简称离散化。 这些单元仅在顶角处相互联接，称这些联接点为结点。 离散化的组合体与真实弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠。显然，单元之间只能通过结点来传递内力。 通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的荷载称为结点荷载。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也将发生变形，因而各个结点要产生不同程度的位移，这种位移称为结点位移。 在有限元中，常以结点位移作为基本未知量。并对每个单元根据分块近似的思想，假设一个简单的函数近似地表示单元内位移的分布规律，再利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立结点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程，从而求解结点的位移分量。然后利用插值函数确定单元集合体上的场函数。显然，如果单元满足问题的收敛性要求，那么随着缩小单元的尺寸，增加求解区域内单元的数目，解的近似程度将不断改进，近似解最终将收敛于精确解。 附：FELAC 2.0软件简介 FELAC 2.0采用自定义的有限元语言作为脚本代码语言，它可以使用户以一种类似于数学公式书写和推导的方式，非常自然和简单的表达待解问题的微分方程表达式和算法表达式，并由生成器解释产生完整的并行有限元计算C程序。 FELAC 2.0的目标是通过输入微分方程表达式和算法之后，就可以得到所有有限元计算的程序代码，包含串行程序和并行程序。该系统采用一种语言(有限元语言)和四种技术(对象技术、组件技术、公式库技术生成器技术)开发而成。并且基于FELAC 1.0的用户界面，新版本扩充了工作目录中右键编译功能、命令终端输入功能，并且丰富了文本编辑功能，改善了用户的视觉体验，方便用户快速便捷的对脚本或程序进行编辑、编译与调试。其中并行版在前后处理上进行了相应的改进。
Matlab有限元分析20140226 为了用Matlab进行有限元分析，首先要学会Matlab基本操作，还要学会使用Matlab进行有限元分析的基本操作。 1. 复习：上节课分析了弹簧系统 x 推导了系统刚度矩阵
2. Matlab有限元分析的基本操作 （1）单元划分（选择何种单元，分成多少个单元，标号）（2）构造单元刚度矩阵（列出…） （3）组装系统刚度矩阵（集成整体刚度矩阵） （4）引入边界条件（消除冗余方程） （5）解方程 （6）后处理（扩展计算）
3. Matlab有限元分析实战【实例1】
分析： 步骤一：单元划分
>>k1=SpringElementStiffness(100)
a) 分析SpringAssemble库函数 function y = SpringAssemble(K,k,i,j) % This function assembles the element stiffness % matrix k of the spring with nodes i and j into the % global stiffness matrix K. % function returns the global stiffness matrix K % after the element stiffness matrix k is assembled. K(i,i) = K(i,i) + k(1,1); K(i,j) = K(i,j) + k(1,2); K(j,i) = K(j,i) + k(2,1); K(j,j) = K(j,j) + k(2,2); y = K; b) K是多大矩阵？ 今天的系统刚度矩阵是什么？ 因为 11 22 1212 k k k k k k k k - ?? ?? - ????--+ ?? 所以 1000100 0200200 100200300 - ?? ?? - ????-- ??？
机械与汽车学院 曹国强 主要内容： 1、有限元法的基本思想。 2、结构力学模型的简化和结构离散化。 3、有限元法的实施过程。 一、有限元法的基本思想 有限元法是随着计算机的发展而发展起来的一种有效的数值方法。其基本思想是：将连续的结构分割成数目有限的小单元体（称为单元），这些小单元体彼此之间只在数目有限的指定点（称为节点）上相互连接。用这些小单元体组成的集合体来代替原来的连续结构。再把每个小单元体上实际作用的外载荷按弹性力学中的虚功等效原理分配到单元的节点上，构成等效节点力，并按结构实际约束情况决定受约束节点的约束。这一过程称为结构的离散化。其次，对每个小单元体选择一个简单的函数来近似地表示其位移分量的分布规律，并按弹性力学中的变分原理建立起单元节点力和节点位移之间的关系（单元刚度方程），最后，把全部单元的节点力和节点位移之间的关系组集起来，就得到了一组以结构节点位移为未知量的代数方程组（总体刚度方程），同时考虑结构的约束情况，消去那些结构节点位移为零的方程，再由最后的代数方程组就可求得结构上有限个离散节点的各位移分量。求得了结构上各节点的位移分量之后，即可按单元的几何方程和物理方程求得各单元的应变和应力分量。 有限元法的实质就是把具有无限个自由度的连续体，理想化为有限个自由度的单元的集合体，使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。 经典解法（解析法）与有限元法的区别 解析法 { } 建立一个描述连续体性质的偏微分方程组 有限元解法 连续体 数目增加到∞ 大小趋于0 微元 有限元 离散化 （单元分析）集合 总体分析 求得近似解
二、结构力学模型的简化和结构离散化 （一）结构力学模型的简化 用有限元法研究实际工程结构问题时，首先要从工程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件、约束条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能地反映实际情况，不至于使简化后的解答与实际差别过大，但也不要带来计算上的过分复杂，在力学模型的简化过程中，必须判断实际结构的问题类型，是二维问题还是三维问题。如果是平面问题，是平面应力问题，还是平面应变问题。同时还要搞清楚结构是否对称，外载荷大小和作用位置，结构的几何尺寸和力学参数（弹性模量E、波松比μ等）。 （二）结构的离散化 将已经简化好的结构力学模型划分成只在一些节点连续的有限个单元，把每个单元看成是一个连续的小单元体，各单元之间只在一些点上互相联结，这些点称作节点，每个单元体称为一个单元。用只在节点处连接的单元的集合体代替原来的连续结构，把外载荷按虚功等效原理移置到有关受载的节点上，构成节点载荷，把连续结构进行这样分割的过程称为结构的离散化。现举例说明。 设一平面薄板，中间有一个园孔，其左端固定，右端受面力载荷q，试对其进行有限元分割和力学模型简化。
1、有限元这种数值计算方法起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构的矩阵分析。 2、有限单元法的基本思想:在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定 大小的单元,这些单元仅在有限个节点上相连接,并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。 3、节点:网格间相互连接的点。 4、边界:网格与网格的交界线。 5、有限元的优点:①理论基础简明,物理概念清晰,且可在不同的水平上建立起对该法的 理解②具有灵活性和适用性,应用范围极为广泛③该法在具体推导运算中,广泛采用了矩阵方法。 6、有限单元法分类(从选择基本未知量的角度:位移法(以节点位移为基本未知量,通用 性广、力法(以节点力、混合法(一部分以节点位移,另一部分以节点力 7、有限元法分析计算的基本步骤:①结构的离散化②单元分析(选择位移模式,建立单元 刚度方程,计算等效节点力③整体分析④求解方程,得出节点位移⑤由节点位移计算单元的应变与应力。 8、单元划分:将某个机械结构划分为由各种单元组成的计算模型。 9、有限元法基本近似性------几何近似。
10、弹性力学的任务:分析弹性体在受外力作用并处于平衡状态下产生的应力、应变和位移状态及其相互关系等。 11、弹性力学假设所研究的物体是连续的、完全弹性的、均匀的、各向同性的、微小变形的和无初应力的 12、外力:体力(分布在物体体积内的力---重力、惯性力、电磁力面力(分布在物体表面上的力---流体压力、接触力、风力 13、应力:物体受外力作用,或由于温度有所改变,其内部发生的内力。σ={ σx σy σz τx τy τz } = [σx σy σz τx τy τz ]T 14、应变:物体受到外力作用时,其形状发生改变时的形变。---长度和角度。 ε={ εx εy εz γx γy γz } = [εx εy εz γx γy γz ]T 15、位移:弹性体在载荷作用下,不仅会发生形变,还将产生位移,即弹性体位置 的移动。 δ={u v w }=[u v w ]T 16:、变形协调条件:设想在变形前,把弹性体分为许多微小立方单元体。变形后,每个单元体都产生任意变形而变成一些六面体。可能发生这样的情况,这些六面体
第一章结构分析及有限元分析基础知识 注：摘自《NX知识工程应用技术——CAD/CAE篇》 洪如瑾编译 清华大学出版社 [目标] 本章将简述结构分析及有限元分析的基础知识，为学习与应用结构分析做好准备，包括： ※ 结构与结构分析定义 ※ 结构的线性静态分析 ※ 材料行为与故障 ※ 有限元分析的基本概念 ※ 有限元模型 1.1结构分析基础知识 1.1.1结构基本概念 1.结构定义 结构可以定义为一个正承受作用的载荷处于平衡中的系统。平衡条件意味着结构是不移动的。一个自由的支架不是一个结构，它未被连接到任一物体上并无载荷作用与它。仅当它附着到外部世界，并且有作用力、压力或力矩时，支架成为一个结构。 例如横跨江面的大桥就是一个普通的结构，一个支架通过它的支撑连接到地面上，桥的重量是在结构上的一种载荷（力）。当汽车通过桥时，附加的力作用于桥的不同位置。 一个好的结构必须满足以下标准： （1） 当预期的载荷作用时，结构必须不出现故障。这个似乎是显而易见的，并意味着结构必须是“强度足够的”。故障意味着结构破裂、分离、弯曲，以及支撑作用载荷失败。 注意：考虑到意外的载荷，通常在设计中提供安全余量。余量常常利用安全因素来描述。例如，如果在结构上期待载荷是10 000磅，规定安全因素是2.0，则结构将设计成能经受住20 000磅载荷。 （2） 当载荷作用时，结构必须不产生过分变形。这意味着结构必须“刚度足够”。 变形可接受的极限（弯曲度、挠度、拉伸等）取决于特定情况。例如，在通常住宅中的地板由足够的吊带支撑，以防止当人在地板岸上行走时有“柔软”的感觉。 （3） 在它的服务生命周期，结构的行为应不会恶化。这意味着结构必须“足够耐用”，必须考虑环境影响和“磨损与破裂”。如果一座桥假定维持50年，则桥的设计必须提供整个50年寿命的结构完整性与充分的安全余量。2.结构分析 结构分析是用于决定一个结构是否将正确完成任务的工程分析过程。结构将在某些方式中进行模拟和求解描述它的行为的数学方程。分析可以人工方法或用计算机方法来完成。 结构分析的结果（答案）用于评估性能，摘要如下： （1）“强度足够吗？”：应力必须是在一可接受的范围内。 （2）“刚度足够吗？”：位移必须是在一可接受的范围内。 （3）“耐用度足够？”：对一个长的疲劳周期应力必须足够低。
1 课程论文：弹性力学有限元位移法原理（30分） 撰写一篇论文，对有限元位移法的原理作一般性概括和论述。要求论文论及但不限于下列内容：1）弹性力学有限元位移法的基本思想和数学、力学基础；2）有限元法求解的原理和过程，推导计算列式；对基本概念和矩阵符号进行解释和讨论；3）等参单元的概念、原理和应用。 1.1 对一维杆单元有限元形式的理解 我对此提出了几点疑问： 1)为什么边界条件u1=0，就要划去刚度矩阵[K]中对应的行列再解方程？ 2)为什么刚度矩阵[K]会奇异？ 3)为什么平衡方程本身是矛盾的，而加上边界条件u1=0之后就能解出一 个唯一的近似解？ 4)为什么刚度矩阵[K]是对称的？ 下面我谈谈自己的理解:节点平衡方程是在u1不定的前提下，假设单元内位移都是线性变化推导出来的，由此u1相当于一个不确定的定值约束，再加上中间两个节点的连续性要求，系统实际上只有三个独立的自由度（广义坐标）。 对于第一个问题，其实刚度矩阵[K]中的元素不是一成不变的，相反它是伴随边界条件动态变化的。当u1=0时由刚度矩阵的推导过程可以知道，刚度矩阵的第一行和第一列都会变为0，所以此时第一行和第一列对于求解方程是没有作用的。 对于第二个问题，由于系统自由度（广义坐标）只有三个，而我们的方程却列出
了四个，显然
这四个方程不可能线性无关，所以刚度矩阵奇异。 对于第三个问题，首先我们应该明确方程区别于等式，虽然左右两边都是用“=”连接，但是方程只在特殊条件下取得定解。由于平衡方程是在没有约束的条件下推导出来的，显然它不可能满足等式要求。宏观上看，系统在没有外部约束，而又施加有外力，显然系统会产生加速度而绝不会平衡。所以平衡方程本身是矛盾的。而加上边界条件之后，不但满足了平衡的前提，还改变了矩阵的结构和性质，所以有解。但是，由于我们提前假设了位移线性变化，相当于人为对单元施加了额外约束，让位移按照我们假设的规律变化，所以得到的解是过刚的近似解。但对于方程本身而言是精确解。 对于第四个问题，其力学的作用机理类似于作用力与反作用力，由于刚度矩阵不表征方向，所以其大小是相等的。 1.2 有限元法的思想 有限元法是求解连续介质力学问题的数值方法，更一般意义是一种分析结构问题和连续场数学物理问题的数值方法。 有限元法的基本思想是离散化和分片插值。 即把连续的几何机构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题。 求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至个集合体上的场函数。对每个单元，选取适当的插值函数，使得该函数在子域内部、在子域分界面上以及子域与外界面上都满足一定的条件。单元组合体在已知外载荷作用下处于平衡状态时，列出一系列以节点、位移为未知量的线性方程组，利用计算机解出节点位移后，再用弹性力学的有关公式，计算出各单元的应力、应变，当各单元小到一定程度，那么它就代表连续体各处的真实情况。
有限元法基础试题（A ） 一、填空题（5×2分） 1.1单元刚度矩阵e T k B DBd Ω = Ω? 中，矩阵B 为__________，矩阵D 为___________。 1.2边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为_______边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为_______边界。 1.3内部微元体上外力总虚功： ()(),,,,e x x xy y bx xy x y y by d W F u F v dxdy δστδτσδ??=+++++??+(),,,,x x y y xy y x u v u u dxdy σδσδτδδ??+++??的表达式中，第一项为____________________的虚功，第二项为____________________的虚功。 1.4弹簧单元的位移函数1N +2N =_________。 1.5 ij k 数学表达式：令j d =_____，k d =_____，k j ≠，则力i ij F k =。 二、判断题（5×2分） 2.1位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。（ ） 2.2变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。 （ ） 2.3变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。 （ ） 2.4常应变三角单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 2.5 对称单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 三、简答题（26分） 3.1列举有限元法的优点。（8分） 3.2写出有限单元法的分析过程。（8分） 3.3列出3种普通的有限元单元类型。（6分） 3.4简要阐述变形体虚位移原理。（4分） 四、计算题（54分） 4.1对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为10000N/m ，单元②的弹簧常数为20000N/m ，单元③的弹簧常数为10000N/m ，确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。（10分） 4.2对于如图所示的杆组装，弹性模量E 为10GPa ，杆单元长L 均为2m ，横截面面积A 均为2×10-4m 2，弹簧常数为2000kN/m ，所受荷载如图。采用直接刚度法确定节点位移、作用力和单元②的应力。（10分）
有限元法的理论基础 有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。 1.虚位移原理 虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。 虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。 2.最小势能原理 最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。最小势能原理仅适用于弹性力学问题。 2.2有限元法求解问题的基本步骤 弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。 2.2.1问题的分类 求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么？比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。 2.2.2建模 在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。因此，我们可以忽略几何不规则性，把一些载荷看做是集中载荷，并把某些支撑看做是固定的。材料可以理想化为线弹性和各向同性的。根据问题的维数、载荷以及理论化的边界条件，我们能够决定采用梁理论、板弯曲理论、平面弹性理论或者一些其他分析理论描述结构性能。在求解中运用分析理论简化问题，建立问题的模型。 2.2.3连续体离散化 连续体离散化，习惯上称为有限元网络划分，即将连续体划分为有限个具有规则形状的单元的集合，两相邻单元之间只通过若干点相互连接，每个连接点称为节点。单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质、描述变形的需要和计算精度而定，如二维连续体的单元可为三角形、四边形，三维连续体的单元可以是四面体、长方体和六面体等。为合理有效地表示连续体，需要适当选择单元的类型、数目、大小和排列方式。 离散化的模型与原来模型区别在于，单元之间只通过节点相互连接、相互作用，而无其他连接。因此这种连接要满足变形协调条件。离散化是将一个无限多自由度的连续体转化为一个有限多自由度的离散体过程，因此必然引起误差。主要有两类：建模误差和离散化误差。
有限元法理论及应用大作业 1、试简要阐述有限元理论分析的基本步骤主要有哪些？ 答：有限元分析的主要步骤主要有： （1）结构的离散化，即单元的划分； （2）单元分析，包括选择位移模式、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据虚功原理建立节点力与节点位移的关系，最后得到单元刚度方程； （3）等效节点载荷计算； （4）整体分析，建立整体刚度方程； （5）引入约束，求解整体平衡方程。 2、有限元网格划分的基本原则是什么？指出图示网格划分中不合理的地方。 题2图 答：一般选用三角形或四边形单元，在满足一定精度情况，尽可能少一些单元。 有限元划分网格的基本原则: 1.拓扑正确性原则。即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接 2.几何保持原则。即网络划分后，单元的集合为原结构近似 3.特性一致原则。即材料相同，厚度相同 4.单元形状优良原则。单元边、角相差尽可能小 5.密度可控原则。即在保证一定精度的前提下，网格尽可能的稀疏一些。（a）(b)中节点没有有效的连接，且（b）中单元边差相差很大。 （c）中没有考虑对称性，单元边差很大。 3、分别指出图示平面结构划分为什么单元？有多少个节点？多少个自由度？
题3图 答：（a ）划分为杆单元， 8个节点，12个自由度。 （b ）划分为平面梁单元，8个节点，15个自由度。 （c ）平面四节点四边形单元，8个节点，13个自由度。 （d ）平面三角形单元，29个节点，38个自由度。 4、什么是等参数单元？。 答：如果坐标变换和位移插值采用相同的节点，并且单元的形状变换函数与位移插值的形函数一样，则称这种变换为等参变换，这样的单元称为等参单元。 5、在平面三节点三角形单元中，能否选取如下的位移模式，为什么？ (1). ?????++=++=2 65432 21),(),(y x y x v y x y x u αααααα (2). ?????++=++=2 65242 3221),(),(y xy x y x v y xy x y x u αααααα 答：（1）不能，因为位移函数要满足几何各向同性，即单元的位移分布不应与人为选取的 坐标方位有关，即位移函数中的坐标x,y 应该是能够互换的。所以位移多项式应按巴斯卡三角形来选择。 （2）不能，位移函数应该包括常数项和一次项。
有限元分析基础 第一章有限元法概述 在机械设计中，人们常常运用材料力学、结构力学等理论知识分析机械零构件的强度、刚度和稳定性问题。但对一些复杂的零构件，这种分析常常就必须对其受力状态和边界条件进行简化。否则力学分析将无法进行。但这种简化的处理常常导致计算结果与实际相差甚远，有时甚至失去了分析的意义。所以过去设计经验和类比占有较大比重。因为这个原因，人们也常常在设计中选择较大的安全系数。如此也就造成所设计的机械结构整体尺寸和重量偏大，而局部薄弱环节强度和刚度又不足的设计缺陷。 近年来，数值计算机在工程分析上的成功运用，产生了一门全新、高效的工程计算分析学科——有限元分析方法。该方法彻底改变了传统工程分析中的做法。使计算精度和计算领域大大改善。 §1.1 有限元方法的发展历史、现状和将来 一，历史 有限元法的起源应追溯到上世纪40年代（20世纪40年代）。1943年R.Courant从数学的角度提出了有限元法的基本观点。50年代中期在对飞机结构的分析中，诞生了结构分析的矩阵方法。1960年R.W.Clough在分析弹性力学平面问题时引入了“Finite Element Method”这一术语，从而标志着有限元法的思想在力学分析中的广泛推广。 60、70年代计算机技术的发展，极大地促进了有限元法的发展。具体表现在： 1）由弹性力学的平面问题扩展到空间、板壳问题。 2）由静力平衡问题——稳定性和动力学分析问题。 3）由弹性问题——弹塑性、粘弹性等问题。 二，现状 现在有限元分析法的应用领域已经由开始时的固体力学，扩展到流体力学、传热学和电磁力学等多个传统的领域。已经形成了一种非常成熟的数值分析计算方法。大型的商业化有限元分析软件也是层出不穷，如： SAP系列的代表SAP2000（Structure Analysis Program） 美国安世软件公司的ANSYS大型综合有限元分析软件 美国航天航空局的NASTRAN系列软件 除此以外，还有MASTER、ALGO、ABIQUES、ADINA、COSMOS等。 三，将来 有限元的发展方向最终将和CAD的发展相结合。运用“四个化”可以概括其今后的发展趋势。那就是：可视化、集成化、自动化和网络化。 §1.2 有限元法的特点 机械零构件的受力分析方法总体说来分为解析法和数值法两大类。如大家学过的材料力学、结构力学等就是经典的解析力学分析方法。在这些解析力学方法中，弹性力学的分析方法在数学理论上是最为严谨的一种分析方法。 其解题思路是：从静力、几何和物理三个方面综合考虑，建立描述弹性体的平衡、应力、应变和位移三者之间的微分方程，然后考虑边界条件，从而求出微分方程的解析解。其最大的有点就是，严密精确。缺点就是微分方程的求解困难，很多情况下，无法求解。 数值方法是一种近似的计算方法。具体又分为“有限差分法”和“有限元法”。 “有限差分法”是将得到的微分方程离散成近似的差分方程。通过对一系列离散的差分