三角函数专项复习
锐角三角函数知识点总结
1、勾股定理:直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角,则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B):
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小。 6、正切的增减性:
当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,
7、解直角三角形的定义:已知边和角(两个,其中必有一边)→所有未知的边和角。 依据:①边的关系:222c b a =+;②角的关系:A+B=90°;③边角关系:三角函数的定义。(注意:尽量避免使用中间数据和除法)
A
90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A
对边
邻边
A
C
8、应用举例:
(1)仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。
仰角
铅垂线
水平线
视线
视线
俯角
(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示,即
h
i
l
=。坡度一般写成1:m的形式,如1:5
i=等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角),那么tan
h
i
l
α
==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA、OB、OC、OD的方向角分别是:45°、135°、225°。
4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是:北偏东45°(东北方向),南偏东45°(东南方向),南偏西45°(西南方向),北偏西45°(西北方向)。
类型一:直角三角形求值
例1.已知Rt△ABC中,,
12
,
4
3
tan
,
90=
=
?
=
∠BC
A
C求AC、AB和cos B.
例2.已知:如图,⊙O的半径OA=16cm,OC⊥AB于C点,?
=
∠
4
3
sin AOC
求:AB及OC的长.
例3.已知A
∠是锐角,
17
8
sin=
A,求A
cos,A
tan的值
:
i h l
=
h
l
α
对应训练:
1.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB
=5,则tan A 的值为
A
.
55 B .255 C .12
D .2 2.在△ABC 中,∠C =90°,sin A=5
3
,那么tan A 的值等于( ).
A .35
B . 45
C . 34
D . 43
类型二. 利用角度转化求值:
例1.已知:如图,Rt △ABC 中,∠C =90°.D 是AC 边上一点,DE ⊥AB 于E 点.
DE ∶AE =1∶2.
求:sin B 、cos B 、tan B .
例2. 如图,直径为10的⊙A 经过点(05)C ,
和点(00)O ,,与x 轴的正半轴交于点D ,B 是y 轴右侧圆弧上一点,则cos ∠OBC 的值为( )
A .12
B .3
C .35
D .4
5
对应训练:
3.如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径,若O ⊙的半径为
3
2
,2AC =,则sin B 的值是( )
A .
23 B .32 C .34 D .43
4. 如图4,沿AE 折叠矩形纸片ABCD ,使点D 落在BC 边的点F 处.已知8AB =,10BC =,AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )
D C B A O
y
x
第8题图
A.
3
4
B.
4
3
C.
3
5
D.
4
5
A D
E
C
B
F
类型三. 化斜三角形为直角三角形
例1 如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长.
例2.已知:如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=10,AC=5.
求:sin∠ABC的值.
对应训练
1.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形.若AB=2,求△ABC的周长.(结果保留根号)
2.已知:如图,△ABC中,AB=9,BC=6,△ABC的面积等于9,求sin B.
3. △ABC中,∠A=60°,AB=6 cm,AC=4 cm,则△ABC的面积是
A.23cm2
B.43cm2
C.63cm2
D.12 cm2
类型四:利用网格构造直角三角形
例1 如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为()
A.
1
2
B.
5
5
C.
10
10
D.
25
5
对应训练:
1.如图,△ABC 的顶点都在方格纸的格点上,则sin A =_______.
2.正方形网格中,AOB ∠如图放置,则tan AOB ∠的值是( )
A . 5 5 B. 2 5 5 C.1
2 D. 2 类型五:取特殊角三角函数的值
1).计算:?-?+?60tan 45sin 230cos 2.
2)计算:?-?+?30cos 245sin 60tan 2
.
3)计算:3-
1+(2π-1)0-3
3
tan30°-tan45°
4).计算:
30tan 2345sin 60cos 221
???
? ???-?+?+.
5).计算:
tan 45sin 301cos 60?+?
-?
;
类型六:解直角三角形的实际应用
例1.如图,从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°,如果此时热气球C 处的高度CD 为100米,点A 、D 、B 在同一直线上,则AB 两点的距离是( )
C
B
A A
B
O
A . 200米
B . 200米
C . 220米
D . 100()米
例2.已知:如图,在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子,当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在B 点;当它靠在另一侧墙上时,梯子的顶端在D 点.已知∠BAC =60°,∠DAE =45°.点D 到地面的垂直距离
m
23=DE ,求点B 到地面的垂直距离BC .
例3如图,一风力发电装置竖立在小山顶上,小山的高BD =30m . 从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°, 测得山顶B 的仰角∠DCB =30°,求风力发电装置的高AB 的长.
对应训练:
1..如图,小聪用一块有一个锐角为30?的直角三角板测量树高,已知小聪和树都与地面垂直,且相距33米,小聪身高AB 为1.7米,求这棵树的高度.
2.如图,为测量某物体AB 的高度,在D 点测得A 点的仰角为30°,朝物体AB 方向前进20米,到达点C ,再次测得点A 的仰角为60°,则物体AB 的高度为( )
A . 10
米
B . 10米
C . 20
米
D .
米
类型七:三角函数与圆:
A B
C
D E
例1. 如图,直径为10的⊙A 经过点(05)C ,和点(00)O ,,与x 轴的正半轴交于点D ,B 是
y 轴右侧圆弧上一点,则cos ∠OBC 的值为( )
A .12 B
C .35
D .45
例2. 已知:在⊙O 中,AB 是直径,CB 是⊙O 的切线,连接AC 与⊙
O 交于点D, (1) 求证:∠AOD=2∠C (2) 若AD=8,tanC=
3
4
,求⊙O 的半径。
对应训练:
1.如图,DE 是⊙O 的直径,CE 与⊙O 相切,E 为切点.连接CD 交⊙O 于点B ,在EC 上取一个点F ,使EF=BF.
(1)求证:BF 是⊙O 的切线; (2)若5
4
C cos , DE =9,求BF 的长.
A
第8题图
C
B A
作业: 1.已知2
1
sin =
A ,则锐角A 的度数是( ) A .75?
B .60?
C .45?
D .30? 2.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB
,则tan A 的值为( )
A
B
C .12
D .2 3.在△ABC 中,∠C =90°,sin A=5
3
,那么tan A 的值等于( ).
A .35
B . 45
C . 34
D . 43
4. 若sin α=
3
2
,则锐角α= . 5.将∠α放置在正方形网格纸中,位置如图所示,则tan α的值是
A .21
B .2
C .25
D .5
5
2
6.如图,AB 为⊙O 的弦,半径OC ⊥AB 于点D ,若OB 长为10,
3
cos 5
BOD ∠=, 则AB 的长是
A . 20 B. 16 C. 12 D. 8
7.在Rt △ABC 中,∠C=90°,如果cosA=
5
4
,那么tanA 的值是( ) A .53 B .35 C .43 D .3
4
8. 如图,在△ABC 中,∠ACB =∠ADC= 90°,若sin A =3
5
,则cos ∠BCD 的值为 .
9.计算:?-?+?60tan 45sin 230cos 2
10.计算?+?-?-?45tan 30tan 345cos 260sin 2.
α
D
C
B
A
11.计算:22sin 604cos 30+sin 45tan 60-?o o o o
.
12.已知在Rt △ABC 中,∠C =90°,a=64,b=212.解这个直角三角形
13. 已知:在⊙O 中,AB 是直径,CB 是⊙O 的切线,连接AC 与⊙O 交于点D, (3) 求证:∠AOD=2∠C
(4) 若AD=8,tanC=3
4
,求⊙O 的半径。
14.如图,某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端 B 处的俯角为30?,荷塘另一端D 处C 、B 在 同一条直线上,已知32AC =米,16CD =米, 求荷塘宽BD 为多少米?(结果保留根号)
15.如图,一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向,距离灯塔100海
里的A 处,它计划沿正北方向航行,去往位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处.
(1)B 处距离灯塔P 有多远?
(2)圆形暗礁区域的圆心位于PB 的延长线上,距离灯塔200
海里的O 处.已知圆形暗礁区域的半径为50海里,进入圆形暗礁区域就有触礁的危险.请判断若海轮到达B 处是否有触礁的危险,并说明理由.
D
B
O
A
C
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边,可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值. 例1 如图1,在△ABC 中,∠C =90°,AB =13,BC =5,则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练: 1.在Rt △ABC 中,∠ C =90°,若BC =1,AB 5,则tan A 的值为 ( ) A . 5 B 25 C .1 2 D .2 二、参数(方程思想)法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值,所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比,通过设定一个参数,并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长,然后结合相关条件解决问题. 例2 在△ABC 中,∠C =90°,如果tan A =5 12,那么sin B 的值是 . 对应训练: 1.在△ABC 中,∠C =90°,sin A=5 3,那么tan A 的值等于( ). A .35 B . 45 C . 34 D . 43 2.已知△ ABC 中, ο 90=∠C ,3cosB=2, AC=5 2 ,则 AB= . 3.已知Rt △ABC 中,,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B .
4.已知:如图,⊙O 的半径OA =16cm ,OC ⊥AB 于C 点,?=∠4 3sin AOC 求:AB 及OC 的长. 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时,可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中,利用“两锐角相等,则三角函数值也相等” 来解决. 例3 在Rt △ABC 中,∠BCA =90°,CD 是AB 边上的中线,BC =5,CD =4,则cos ∠ACD 的值为 . 对应训练 1.如图,O ⊙是ABC △的外接圆,AD 是O ⊙的直径, 若O ⊙的半径为32,2AC =,则sin B 的值是( )A .2 3
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3 AB DE ADE ===≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ,随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. (1)求之间的距离 (2)求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】(1)120米;(223. 【解析】 【分析】 (1)解直角三角形即可得到结论; (2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D ,于是得到'60A E AC ==, '30CE AA ==3Rt △ABC 中,求得33,然后根据三角函数的定义即可得到结论. 【详解】 解:(1)由题意得:∠ABD=30°,∠ADC=60°, 在Rt △ABC 中,AC=60m , ∴AB=sin 30AC ?=6012 =120(m ) (2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D , 则'60A E AC ==, '30 CE AA ==3 在Rt △ABC 中, AC=60m ,∠ADC=60°, ∴33∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235
初三数学锐角三角函数通用版 【本讲主要内容】 锐角三角函数 包括:正弦、余弦、正切。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 在Rt △ABC 中,∠C =90°,我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA 。 即 c a A A sin == 斜边的对边∠;把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即c b A A cos =∠=斜边的邻边;把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tanA ,即 b a A A A t an =∠∠=的邻边的对边。 2. 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。 3. 特殊角的三角函数值: 30° 45° 60° sin α 1 2 22 32 cos α 32 22 12 tan α 33 1 3 4. 记忆方法: 【解题方法指导】 例1. (2000年成都市)如图,在△ABC 中,∠C =90°,∠ABC =60°,D 是AC 的中点,那么tan ∠DBC 的值是________。 锐 角 α 三 角 函 数
分析:在Rt △ABC 中,由∠ABC =60°,可知3BC AC 60tan == ,即AC =3BC ,又CD = 1 2 AC ,tan ∠DBC 可求。 解:在△ABC 中, ∵∠C =90°,∠ABC =60°, ∴tan ∠ABC =tan60°=3BC AC =, ∴AC =3BC 。 又D 是AC 中点, ∴DC = 12AC =32 BC 。 ∴2 3 BC BC 23 BC DC DBC tan = ==∠。 评析:在解题中紧紧扣住tan α的定义。 例2. (2001年四川)在Rt △ABC 中 ,CD 是斜边AB 上的高,已知3 2 ACD sin = ∠,那么=AB BC ______。 分析:由Rt △ABC 中CD ⊥AB 于D ,可得∠ACD =∠B ,由sin ∠ACD = 2 3 ,那么sinB =23,设AC =2,AB =3,则BC =32522-=,则AB BC 可求。 解:∵∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D , ∴∠ACD =∠B 。 又sin ∠ACD =sinB = 23 , 可设AC =2,AB =3, ∴BC =32522-=。