几何综合题复习
几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型与几何论证型综合题，它主要考查考生综合运用几何知识的能力。
一、几何论证型综合题
例1、（盐城）如图，已知：⊙O1与⊙O2是等圆，它们相交于A、B两点，⊙O2在⊙O1上，AC是⊙O2的直径，直线CB交⊙O1于D，E为AB延长线上一点，连接DE。
(1)请你连结AD，证明：AD是⊙O1的直径；
(2)若∠E=60°，求证：DE是⊙O1的切线。
分析：解几何综合题，一要注意图形的直观提示，二要注意分析挖掘题目的隐含条件，不断地由已知想可知，发展条件，为解题创条件打好基础。
证明：
（1）连接AD，∵AC是⊙O2的直径，AB⊥DC Array∴∠ABD=90°,
∴AD是⊙O1的直径
（2）证法一：∵AD是⊙O1的直径，
∴O1为AD中点
连接O1O2，
∵点O2在⊙O1上，⊙O1与⊙O2的半径相等，
∴O1O2=AO1=AO2
∴△AO1O2是等边三角形，
∴∠AO1O2=60°
由三角形中位线定理得：O1O2∥DC，
∴∠ADB=∠AO1O2=60°
∵AB⊥DC，∠E=60，
∴∠BDE=30，∠ADE=∠ADB+∠BDE=60°+30°=90°
又AD是直径，
∴DE是⊙O1的切线
证法二：连接O1O2，
∵点O2在⊙O1上，O1与O2的半径相等，
∴点O1在⊙O2
∴O1O2=AO1=AO2，
∴∠O1AO2=60°
∵AB是公共弦，
∴AB⊥O1O2，
∴∠O1AB=30°
∵∠E=60°
∴∠ADE=180°-（60°+30°）=90°
由（1）知：AD是的⊙O1直径，
∴DE是⊙O1的切线.
说明：本题考查了三角形的中位线定理、圆有关概念以及圆的切线的判定定理等。
B 图5－1－2 练习一
1．如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过点C 作⊙O 的切线，交BC 的延长线于点P ，交AD 的延长线于点E ，若AD=5，AB=6，BC=9。 ⑴求DC 的长；
⑵求证：四边形ABCE 是平行四边形。
2．已知：如图，AB 是⊙O 的直径， 点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点C ，BD ⊥PD ，垂足为D ，连接BC 。
求证：（1）BC 平分∠PBD ；（2）BD AB BC ?=2
3．PC 切⊙O 于点C ，过圆心的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，BE ⊥PE ，垂足为E ，BE 交⊙O 于点D ，F 是PC 上一点，且PF ＝AF ，FA 的延长线交⊙O 于点G 。 求证：（1）∠FGD ＝2∠PBC ；（2）PC PO
AG AB
=.
4.已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，直径CD ⊥AB ，垂足为E 。弦BF 交CD 于点M ，交AC 于点N ，且BF=AC ，连结AD 、AM ， 求证：(1)△ACM ≌△BCM ； (2)AD ·BE=DE ·BC ；
(3)BM 2=MN·MF 。
5.已知：如图，△ABC 中，AC ＝BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ． 求证：（1）AD ＝BD ；
（2）DF 是⊙O 的切线．
二、几何计算型综合题
解这类几何综合题，应该注意以下几点：
（1）注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形；
（2）灵活运用数学思想与方法.
例2．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 分别是OA 、OB 的中点． （1）求证：△ADE ≌△BCF ；
（2）若AD = 4cm ，AB = 8cm ，求CF 的长． 解：
（1）∵四边形ABCD 为矩形，
∴AD ＝BC ，OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ， AD ∥BC ，
∴OA ＝OB ＝OC ，∠DAE ＝∠OCB ，∴∠OCB ＝∠OBC ， ∴∠DAE ＝∠CBF ．
B
（例2题）
B C
D O
F
又∵AE ＝
12OA ，BF ＝1
2
OB ，∴AE ＝BF ， ∴△ADE ≌△BCF ．
（2）解：过点F 作FG ⊥CD 于点G ，则∠DGF ＝
90
o， ∵∠DCB ＝90o，∴∠DGF ＝∠DCB ， 又∵∠FDG ＝∠
BDC ，∴△DFG ∽△DBC ， ∴FG DF DG BC DB DC
==． 由（1）可知DF ＝3FB ，得34
DF DB =，
∴3448
FG DG ==
，∴FG ＝3，DG ＝6， ∴GC ＝DC －DG ＝8－6＝2．
在Rt △FGC 中，CF =说明：本题目考查了矩形的性质，三角形全等的判定以及相似三角形的判定及性质。 练习二
1.已知：如图，直线PA 交⊙O 于A 、E 两点，PA 的垂线DC 切⊙O 于点C ，过A 点作⊙O 的直径AB 。
（1）求证：AC 平分∠DAB ；
（2）若DC ＝4，DA ＝2，求⊙O 的直径。
2．已知：如图，以Rt △ABC 的斜边AB 为直 径作⊙O ，D 是⊙O 上的
点，且有AC=CD 。过点C 作⊙O 的切线，与BD 的延长线交于点E ，
连结CD 。 (1)试判断BE 与CE 是否互相垂直?请说明理由； (2)若tan ∠DCE=12
，求⊙O 的半径长。
3．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，D 是⊙O 上的一点，且AD ∥CO 。(1)求证：ΔADB
B
（例2）
C
D
F
G
∽ΔOBC ；(2)若AB=2，
AD 的长。(结果保留根号)
4．如图,AD 是ABC ?的角平分线, 延长AD 交ABC ?的外接圆O 于点E ,过C D E 、、三点的圆1O 交AC 的延长线于点F ，连结EF DF 、．
(1)求证：AEF ?∽FED ?；
(2) 若6,3AD DE ==, 求EF 的长；
(3) 若DF ∥BE , 试判断ABE ?的形状，并说明理由．
5．如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，A 是BDC 的中点，AE ⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长
线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴△ADC ∽△EBA ；
⑵AC 2＝1
2
BC·CE ；
⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot ∠CAD 的值。
能力提高
A
1、如图矩形ABCD 中，过A ，B 两点的⊙O 切CD 于E ，交BC 于F ，AH ⊥BE 于H ，连结EF 。 （1） 求证：∠CEF ＝∠BAH
（2） 若BC ＝2CE ＝6，求BF 的长。
2．如图，⊙O 的弦AB=10，P 是弦AB 所对优弧上的一个动点，tan ∠APB=2， (1)若△APB 为直角三角形，求PB 的长；
(2)若△APB 为等腰三角形，求△APB 的面积。
3.如图l ，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连结EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 交BD 于点F ．
(1)求证：OE=OF ；
(2)如图2，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE=OF ”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
图1
C B
4．如图11，在△ABC 中，∠ABC ＝90，AB ＝6，BC ＝8
。
以AB 为直径的⊙O 交AC 于D ，E 是BC 的中点，连接ED
并延长交BA 的延长线于点F 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）求DB 的长；
（3）求S △FAD ∶S △FDB 的值 5． 已知：□ABCD 的对角线交点为O ，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，分别沿DE 、BF 折叠四边形ABCD, A 、C 两点恰好都落在O 点处，且四边形DEBF 为菱形（如图）．
⑴求证：四边形ABCD 是矩形；
⑵在四边形ABCD 中，求BC AB
的值．
6．
如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在BA 的延长线上，CA=AO ，点D 在⊙O 上，
B
E
∠ABD=30°．
⑴求证：CD 是⊙O 的切线；
⑵若点P 在直线AB 上，⊙P 与⊙O 外切于点B ，与直线CD 相切于点E ，设⊙O 与⊙P 的半径分别为r 与R ，求
R
r
的值．
7、知直线L 与◎○相切于点A ，直径AB=6，点P 在L 上移动，连接OP 交⊙○于点C ，连接BC 并延长BC 交直线L 于点D.
(1)若AP=4，求线段PC 的长;（4分）
(2)若ΔPAO 与ΔBAD 相似，求∠APO 的度数和四边形OADC 的面积.（答案要求保留根号） 8、如图7，已知BC 是⊙O 的直径，AH ⊥BC ，垂足为D ，点A 为BF 的
A B D
C · ·
E
O P
中点，BF交AD于点E，且BE EF=32，AD=6.
(1) 求证：AE=BE；(2) 求DE的长；(3) 求BD的长 .
9、如图1：⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在
?
CB上取一点D，分别作直
线CD、ED交直线AB于点F、M。（1）求∠COA和∠FDM的度数；（2）求证：△FDM∽△COM；
（3）如图2：若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在
?
EB上，仍作直线CD、ED，
分别交直线AB于点F、M，试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论。
10、已知：如图12，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝5cm，CD＝6cm，∠DCB＝60°，∠ABC ＝90°。等边三角形MPN（N为不动点）的边长为a cm，边MN和直角梯形ABCD的底边BC都
在直线l 上，NC ＝8cm 。将直角梯形ABCD 向左翻折180°，翻折一次得到图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去。
（1）将直角梯形ABCD 向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a ≥2cm ，这时两图形重叠部分的面积是多少？ （2）将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD 的面积，这时等边三角形的边长a 至少应为多少？ （3）将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？
11、如图，ABC ?是等边三角形，⊙O 过点B,C ，且与CA BA ,的延长线分别交于点D,E ．弦DF ∥AC ，EF 的延长线交BC 的延长线于点G ． （1）求证：BEF ?是等边三角形； （2）若4=BA ，2=CG ，求BF 的长．
12、已知：如图，BD 是⊙O 的直径，过圆上一点A 作⊙O 的切线交DB 的延长线于P ，过B 点作BC ∥PA 交⊙O 于C ，连结AB 、AC 。
I
图12M C
B
（图5－11） P
D
（1）求证：AB=AC；
（2）若PA=10，PB=5，求⊙O的半径和AC的长。
13、如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D是⊙O上的一点，DE⊥AB于点E，且DE的延长线分别交AC、⊙O、BC的延长线于F、M、G.
（1）求证：AE·BE＝EF·EG；
（2）连结BD，若BD⊥BC，且EF＝MF＝2，求AE和MG的长.
答案：
练习一
C
1．⑴解：∵AD ∥BC
∴AB DC =
∴DC=AB=6
⑵证明：∵AD ∥BC ，
∴∠EDC=∠BCD
又∵PC 与⊙O 相切， ∴∠ECD=∠DBC
∴△CDE ∽△BCD
∴
DC
DE
BC DC =
∴DE 49
62
2===BC DC ∴AE=AD+DE=5+4=9
∴AE BC
∴四边形ABCE 是平行四边形。 2. 证明：（1）连结OC 。
∵PD 切⊙O 于点C ， 又∵BD ⊥PD ， ∴OC ∥BD 。 ∴∠1＝∠3。 又∵OC ＝OB ， ∴∠2＝∠3。
∴∠1＝∠2，即BC 平分∠PBD 。 （2）连结AC 。
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°。 又∵BD ⊥PD ，∴∠ACB ＝∠CDB ＝90° 又∵∠1＝∠2，∴△ABC ∽△CBD
∴
AB BC CB BD
=
，∴2
BC AB BD ＝ 3.( 1）连结OC 。
∵PC 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥PC 。
∵BE ⊥PE ，∴OC ∥BE 。∴∠POC ＝∠PBE 。 又∵∠PBE ＝∠FGD ，∴∠POC ＝∠FGD 。 ∵∠POC ＝2∠PBC ，∴∠FGD ＝2∠PBC 。 （1） 连结BG
∵AB 是的直径，∴∠AGB ＝90°。 又∵OC ⊥PC ，∴∠PCO ＝90°， ∴∠AGB ＝∠PCO 。 ∵FP ＝FA ，
∴∠FPA ＝∠PAF ＝∠BAG 。
∴△PCO ∽△AGB 。∴
PC PO
AG AB
=
B 5-1-3图
4.
5. （1）证法一：连结CD，
∵BC为⊙O的直径,∴CD⊥AB
∵AC＝BC,∴AD＝BD．
证法二：连结CD，
∵BC为⊙O的直径
∴∠ADC＝∠BDC＝90°
∵AC＝BC，CD＝CD
∴△ACD≌△BCD,∴AD＝BD （2）证法一：连结OD，
∵AD＝BD，OB＝OC
∴OD∥AC
∵DE⊥AC ∴DF⊥OD
∴DF是⊙O的切线．
证法二：连结OD，
∵OB=OD,∴∠BDO＝∠B
∵∠B＝∠A,∴∠BDO=∠A
∵∠A+∠ADE＝90°,∴∠BDO＋∠ADE＝90°
∴∠ODF=90°,∴DF是⊙O的切线．
练习二
1．（1）证法一：连结BC
∵AB为⊙O的直径∴∠ACB＝90o
又∵DC切⊙O于C点
∴∠DCA＝∠B
∵DC⊥PE
∴Rt△ADC∽Rt△ACB
∴∠DAC＝∠CAB
（2）解法一：在Rt△ADC中，AD＝2，DC＝4 ∴AC＝AD2＋DC2＝2 5
由（1）得Rt△ADC∽Rt△ACB
∴AB
AC
＝
AC
AD
即AB＝
AC2
AD
＝
20
2
＝10
∴⊙O的直径为10
（1）证法二：连结OC
∵OA＝OC ∵∠ACO＝∠CAO
又∵CD切⊙O于C点
∴OC⊥DC
∵CD⊥PA
∴OC∥PA
∴∠ACO＝∠DAC
∴∠DAC＝∠CAO
（2）解法二：过点O作OM⊥AE于点M，连结OC
∵DC切⊙O于C点∴OC⊥DC
又∵DC⊥PA∴四边形OCDM为矩形
∴OM＝DC＝4又DC2＝DA·DE
∴DE＝8，∴AE＝6，∴AM＝3
在Rt△AMO中,OA＝OM2＋AM2＝5即⊙O的直径为10。
2.
3. (1)略；（2）由（1），得△ADB ∽△OBC ，
4.
(1）证明：连结两圆的相交弦CE
在圆1O 中，EFD DCE ∠=∠，
在圆O 中，BAE DCE ∠=∠， ∴EFD BAE ∠=∠，
又因为AE 是BAC ∠角平分线，得∠BAE=∠CAE ， ∴CAE EFD ∠=∠， ∵AEF FED ∠=∠，
∴AEF ?∽FED ?． （2）∵AEF ?∽FED ?，
∴
AE
EF
EF DE =
， ∴27)(2
=?+=?=DE DE AD DE AE EF ， ∴33=EF ．
（3）证明：根据同弧上的圆周角相等，
得到：ABC AEC ∠=∠，CBE CAE ∠=∠， ∴ABE AEC CAE ∠=∠+∠，
∵AEC CAE ACE ∠+∠+∠=180°， ∴ABE ACE ∠+∠=180°， 又FCE ACE ∠+∠=180， ∴FCE ABE ∠=∠ ．
∵DF ∥BE ，FDE AEB ∠=∠，
又∵FCE EDF ∠=∠，∴∠AEB =∠ABE ， ∴ABE ?为等腰三角形．
5．⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠CDA ＝∠ABE ，
∵BF AD =，∴∠DCA ＝∠BAE ，∴△CAD ∽△AEB
⑵过A 作AH ⊥BC 于H(如图)∵A 是BDC 中点，∴HC ＝HB ＝1
2
BC ，
∵∠CAE ＝900，∴AC 2＝CH·CE ＝1
2 BC·CE
⑶∵A 是BDC 中点，AB ＝2，∴AC ＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC ＝EM 2 ①
∵AC 2＝1
2
BC·CE ，BC·CE ＝8 ②
①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2＝17
∵EC 2＝AC 2＋AE 2，∴AE ＝17－22＝13 ∵△CAD ∽△ABE ，∴∠CAD ＝∠AEC ， ∴cot ∠CAD ＝cot ∠AEC ＝AE AC ＝13
2
提高练习 1.
2.
3. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE=∠AOF＝90?．OB＝OA
又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90?=∠AFO+∠MAE
∴∠MEA＝∠AFO
∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ∴OE=OF
(2)OE ＝OF 成立
证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BOE=∠AOF ＝90?．OB ＝OA 又∵AM ⊥BE ，∴∠F+∠MBF ＝90?=∠B+∠OBE
又∵∠MBF ＝∠OBE ∴∠F ＝∠E ∴Rt △BOE ≌ Rt △AOF ∴OE=OF 4. （1）证明：略
（2）在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8 ∴AC ＝10 ∵BC 2
＝CD ?AC ∴CD ＝
5
32
，AD ＝518
又∵△ADB ∽△BDC ∴BD 2
＝AD ?CD ＝
5
32?518
∴BD ＝524 （3）∵∠FDA ＝∠FBD ∠F ＝∠F ∴△FDA ∽△FBD ∴S △FAD ∶S △FDB ＝16
9
)(
2=BD AD 5、（1）证明：连结OE
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DO=OB ， ∵四边形DEBF 是菱形， ∴DE=BE ， ∴EO ⊥BD ∴∠DOE= 90°
即∠DAE= 90° 又四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形
（2）解：∵四边形DEBF 是菱形
∴∠FDB=∠EDB 又由题意知∠EDB=∠EDA
由（1）知四边形ABCD 是矩形
∴∠ADF=90°，即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90° 则∠ADB= 60° ∴在Rt △ADB 中，有AD ∶AB=1∶3 即3=BC
AB
6、
（1）证明：连结OD 、DA ，
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BDA=90°
又∠ABD=30°，∴AD=
2
1
AB=OA 又AC=AO ，∴∠ODC=90°∴CD 切⊙O 于点D （2）方法一：连结PE ，由（1）知∠DAB=60°，又AD=AC ∴∠C=30°
又∵DE 切⊙P 于E ，∴PE ⊥CE ∴PE=2
1
CP
又PE=BP=R ，CA=AO=OB= r ∴3r=R ，即3
1
=R r
方法二：连结PE ，
又∵DE 切⊙P 于E ，∴PE ⊥CE
∴OD ∥PE ∴EP OD =CP CO 即R r r R r +=32 ，∴3
1
=R r
7、解：（1）与l ◎○相切于点A ， 0
904=∠∴
222AP OA OP +=∴
B
E
222434
,32
1
+=∴===
=OP AP AB OC OP 5=∴OP 235=-=∴PC
（2）? PAO ∽ΔBAD,且∠1>∠2，∠4=∠4=90
，APO ∠=∠∴2
3
213
2∠+∠=∠∠=∠∴=∴ OC OB
APO ∠=∠=∠∴2221
000
903901904=∠∴=∠+∠∴=∠∴APO APO 030=∠∴APO
在Rt ΔBAD 中，0
302=∠=∠APO
323
3
630tan 60=?
==∴AD 方法一：过点O 作OE ⊥BC 于点E ，
2
33303,233
,3020
0=
?==∴==∠con BE OE BO 332==∴BE BC
BOC BAD OADC S S S ??-=∴四边形
3
4
9
362
3
33213262121
21-=??-??=?-?=
OE BC AD AB
=
34
15
方法二：在Rt ΔOAP 中，AP=6tan600
=33,OP=2OA=6,
∴DP=AP －AD=3,336,3323=-=-==-OC OP PC
过点C 作CF ⊥AP 于F ，∴∠CPF=300
, ∴CF=
2
321=PC ∴S 四边形OADC =S ΔOAP －S ΔCDP =21AP ·OA －21DP ·CF =21(2
3
3333?-?)
=
4
315 8. (1) 连AF ，因A 为的BF 中点，∴∠ABE=∠AFB ，又∠AFB=∠ACB ，∴ ∠ABE=∠ACB .
∵ BC 为直径，∴∠BAC=90°，AH ⊥BC ，∴∠BAE=∠ACB ，∴∠ABE=∠BAE ， ∴ AE=BE . (2) 设DE=x(x>0)，由AD=6，BE EF=32，AE EH=BE EF ， 有(6-x)(6+x)=32，由此解得x=2， 即DE 的长为2 . (3) 由(1)、(2)有：BE=AE=6-2=4， 在Rt ΔBDE 中，BD=2224-=32 9、解（1）∵AB 为直径，CE ⊥AB
∴?
AC ＝?
AE ，CG ＝EG 在Rt △COG 中，
∵OG ＝
2
1OC ∴∠OCG ＝300
，∠COA ＝600
又∵∠CDE 的度数
＝
2
1
弧CAE 的度数 ＝?
AC 的度数
＝∠COA 的度数＝600
∴∠FDM ＝1800－∠CDE ＝1200
（2）证明：
∵∠COM ＝1800－∠COA ＝1200
∴∠COM ＝∠FDM
在Rt △CGM 和Rt △EGM 中
∵?
?
?==EG CG GM
GM ∴Rt △CGM ≌Rt △EGM ∴∠GMC ＝∠GME
又∠DMF ＝∠GME ∴∠OMC ＝∠DMF ∴△FDM ∽△COM （3）解：结论仍成立。
∵∠FDM ＝1800
－∠CDE
∴∠CDE 的度数＝2
1
弧CAE 的度数＝?AC 的度数＝∠COA 的度数
∴∠FDM ＝1800
－∠COA ＝∠COM
∵AB 为直径，CE ⊥AB ； ∴在Rt △CGM 和Rt △EGM 中
∵??
?==EG
CG GM
GM
∴Rt △CGM ≌Rt △EGM
几何综合题 一图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。 图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。 图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二.基本图形及辅助线 解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例： 1、与相似及圆有关的基本图形
2、正方形中的基本图形 3、基本辅助线 （1）角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；【参见(一)1；（二）1；西城中考总复习P57例6】* （2）与中点相关——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线；【参见(一)2、3、4、5】* （3）共端点的等线段——旋转基本图形（60°，90°），构造圆；垂直平分线，角平分线——翻折；转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；【参见(一)6,7,8,9】 （4）特殊图形的辅助线及其迁移 ．．．． ——梯形的辅助线（什么时候需要这样添加？）等【参见(一)7】 作双高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数
中考数学复习几何压轴题 1．在△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△E D C ''(使E BC '∠＜180°)，连接D A '、E B '，设直线E B '与AC 交于点O . (1)如图①，当AC =BC 时，D A ':E B '的值为 ； (2)如图②，当AC =5，BC =4时，求D A ':E B '的值； (3)在(2)的条件下，若∠ACB =60°，且E 为BC 的中点，求△OAB 面积的最小值. 图① 图② 答 案 ： 1；……………………………………………………………………………………………1分 （2）解：∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ．∴AC DC BC EC =． 由旋转图形的性质得，C D DC C E EC '='=,,∴AC C D BC C E '='． ∵ D C E ECD ' '∠=∠,∴ , E AC D C E E AC ECD '∠+''∠='∠+∠即 D AC E BC '∠='∠． ∴E BC '?∽D AC '?.∴4 5 ==''BC AC E B D A ．……………………………………………………4分 （3）解：作BM ⊥AC 于点M ，则BM =BC ·sin 60°=23． ∵E 为BC 中点，∴CE = 2 1 BC =2． △CDE 旋转时，点E '在以点C 为圆心、CE 长为半径的圆上运动． ∵CO 随着E CB '∠的增大而增大， ∴当E B '与⊙C 相切时，即C E B '∠=90°时E CB '∠最大，则CO 最大． O D E'O E' A D
2013中考数学压轴题动态几何题型精选解析（三） 例题如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（﹣2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE． （1）填空：点D的坐标为，点E的坐标为． （2）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式． （3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动． ①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围． ②运动停止时，求抛物线的顶点坐标． 思路分析： （1）构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点D、点E的坐标； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （3）本问非常复杂，须小心思考与计算： ①为求s的表达式，需要识别正方形（与抛物线）的运动过程．正方形的平移，从开始到结束，总共历时秒，期间可以划分成三个阶段：当0＜t≤时，对应图（3）a；当＜t≤1时，对应图（3）b；当1＜t≤时，对应图（3）c．每个阶段的表达式不同，请对照图形认真思考； ②当运动停止时，点E到达y轴，点E（﹣3，2）运动到点E′（0，），可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位．由此得到平移之后的抛物线解析式，进而求出其顶点坐标． 解：（1）由题意可知：OB=2，OC=1． 如图（1）所示，过D点作DH⊥y轴于H，过E点作EG⊥x轴于G． 易证△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（﹣1，3）； 同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E（﹣3，2）． ∴D（﹣1，3）、E（﹣3，2）． （2）抛物线经过（0，2）、（﹣1，3）、（﹣3，2）， 则 解得
圆的综合大题 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF． （1）证明：AF平分∠BAC； （2）证明：BF＝FD； （3）若EF＝4，DE＝3，求AD的长． 2．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，点P在右半圆上移动（点P与点A，B不重合），过点P作PC⊥AB，垂足为C；点Q在射线BM上移动（点M在点B的右边），且在移动过程中保持OQ∥AP． （1）若PC，QO的延长线相交于点E，判断是否存在点P，使得点E恰好在⊙O上？若存在，求出∠APC的大小；若不存在，请说明理由； （2）连接AQ交PC于点F，设，试问：k的值是否随点P的移动而变化？证明你的结论．
3．已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D，C重合），MN为折痕，点M，N分别在边BC，AD上，连接AP，MP，AM，AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P． （1）请你在图1中作出⊙O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）与是否相等？请你说明理由； （3）随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．（图2，3供参考） 4．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F． （I）如图①，若∠F＝50°，求∠BGF的大小； （II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．
5．如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O 于点E，交OD于点G，连接CB并延长交⊙于点F，连接AD，EF． （1）求证：∠ACD＝∠F； （2）若tan∠F＝ ①求证：四边形ABCD是平行四边形； ②连接DE，当⊙O的半径为3时，求DE的长． 6．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE． （1）求AC、AD的长； （2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
2017年中考数学几何辅助线作法及常考题型解析第一部分常见辅助线做法 等腰三角形 1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法； 2. 作一腰上的高； 3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。 梯形 1. 垂直于平行边 2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线 3. 平行于两条斜边 4. 作两条垂直于下底的垂线 5. 延长两条斜边做成一个三角形 菱形 1. 连接两对角 2. 做高 平行四边形 1. 垂直于平行边 2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形 3. 做高——形内形外都要注意 矩形 1. 对角线 2. 作垂线 很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A 字形等。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 解几何题时如何画辅助线? ①见中点引中位线，见中线延长一倍 在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。 ②在比例线段证明中，常作平行线。 作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线 初中数学辅助线的添加浅谈
1．（1）操作发现· 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC ＝2DF ，求AB AD 的值； （3）类比探究 保持（1）中的条件不变，若DC ＝n ·DF ，求 AB AD 的值． 2．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB ＝75o，以CD 为一边的
等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上． （1）求∠AED 的度数； （2）求证：AB ＝BC ； （3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC ＝30o． 求 DF FC 的值． 3.如图①，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．AD ＝2cm ，BC ＝6cm ，AE ＝4cm ．点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上，顺次连接B 、P 、Q 、C ，线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M ．若点P 在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动，使图形M 的形状发生改变，但面积始终．． 为10cm 2．设EP ＝x cm ，FQ ＝y cm ，A B C D E 图1 A B C D E 图2 F
解答下列问题： （1）直接写出当x ＝3时y 的值； （2）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当x 取何值时，图形M 成为等腰梯形？图形M 成为三角形？ （4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积． 4．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC ，△A 1B 1C 1． A B C D E F （备用图） A B C D E F Q P 图① 图 ① A C A 1 B 1 C 1
几何图形变换压轴题中考整理 1（黑龙江省哈尔滨市）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．（1）如图l，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG＋DC＝AD； （2）如图2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是____________________________________； （3）在（2）的条件下，若AG＝2 5，DC＝3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别 3，求线段PQ的长． 与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG＝ 2 （湖北省随州市）如图①，已知△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC 的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论． （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． （3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．
3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测 量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长 线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 3．在△ABC 中，点P 为BC 的中点． （1）如图1，求证：AP ＜ 2 1 （AB +BC ）； （2）延长AB 到D ，使得BD =AC ，延长AC 到E ，使得CE =AB ，连结DE ． ①如图2，连结BE ，若∠BAC =60°，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明； ②请在图3中证明：BC ≥ 2 1 DE ． 图13－2 E A B D G F O M N C 图13－3 A B D G E F O M N C 图13－ 1 A ( G ) B ( E ) C O D ( F )
如图 8，在Rt ABC中，CAB 90，AC 3 ， AB 4 ，点 P 是边 AB 上任意一点，过点 P 作PQ AB 交BC于点E，截取 PQ AP ，联结 AQ ，线段 AQ 交BC于点D，设 AP x ，DQ y ．【2013徐汇】 （1）求y关于x的函数解析式及定义域；（ 4 分） （2）如图 9，联结CQ，当CDQ和ADB相似时，求x的值；（ 5 分） （3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边 AB 上时，求 AP 的长．（ 5 分） C Q D E A P B （图 8） C Q D E A （图 9） P B C A B （备用图） 【2013 奉贤】如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点 C作 AB的垂线交⊙ O于点 D，联结 OD，过点 B 作 OD的平行线交⊙ O于点 E、交射 线CD于点 F． （1）若 ⌒ ED BE⌒ ，求∠ F 的度数； （2）设CO x, EF y,写出y 与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）设点 C 关于直线 OD 的对称点为 P ，若△ PBE 为等腰三角形，求 OC 的长． 第 25 题 【 2013 长宁】△ ABC 和△ DEF 的顶点 A 与 D 重合，已知∠ B = 90 . ，∠ BAC = 30 . ， BC=6，∠ FDE = 90 ， DF=DE=4. （1）如图①， EF 与边 、 分别交于点 ，且 . 设 DF a ，在射线 上取 AC AB G 、H FG=EH DF 一点 P ，记： DP xa ，联结 CP. 设△ DPC 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写 出定义域； （2）在（ 1）的条件下，求当 x 为何值时 PC // AB ； （ 3）如图②，先将△ DEF 绕点 D 逆时针旋转，使点 E 恰好落在 AC 边上，在保持 DE 边与 AC 边完 全重合的条件下， 使△ DEF 沿着 AC 方向移动 . 当△ DEF 移动到什么位置时， 以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 图① 图② 【 2013 嘉定】已知 AP 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 上的一个动点 （不与点 A 、P 重合），联结 AC ，以直线 AC 为对称轴翻折 AO ，将点 O 的对称点记为 O 1 ，射线 AO 1 交半圆 O 于 点 B ，联结 OC . （1）如图 8，求证： AB ∥ OC ； （2）如图 9，当点 B 与点 O 1 重合时，求证： AB CB ；
2020年全国各地中考数学压轴题汇编（贵州专版） 几何综合 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2020?贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（） A．24 B．18 C．12 D．9 解：∵E是AC中点， ∵EF∥BC，交AB于点F， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF=BC， ∴BC=6， ∴菱形ABCD的周长是4×6=24． 故选：A． 2．（2020?遵义）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（） A．10 B．12 C．16 D．18 解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PBE =S △PBN ，S △PFD =S △PDM ，S △PFC =S △PCN ， ∴S △DFP =S△PBE=×2×8=8， ∴S 阴=8+ 8=16， 故选：C． 3．（2020?贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（） A．B．1 C．D． 解：连接BC， 由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan∠BAC=1， 故选：B． 4．（2020?遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（）
第三课时 几何代数综合题1.已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=320 ,AE ⊥BD ，垂足是 E.点F 是点E 关于AB 的对称点，连接 AF 、BF. （1）求AE 和BE 的长； （2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为 m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）.当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的m 的值. （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角（0°＜＜180°），记旋转中的△ABF 为△A ′BF ′，在旋转过程 中，设A ′F ′所在的直线与直线 AD 交于点P.与直线BD 交于点Q.是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由 . 解：（1）在Rt △ABD 中，AB=5，AD = ，由勾股定理得：BD === ． ∵S △ABD =BD?AE =AB?AD ， ∴AE===4． 在Rt △ABE 中，AB=5，AE=4，由勾股定理得： BE=3．（2）设平移中的三角形为△ A ′ B ′F ′，如答图2所示：由对称点性质可知，∠ 1=∠2．由平移性质可知，AB ∥A ′B ′，∠4=∠1，BF=B ′F ′=3． ①当点F ′落在AB 上时，∵AB ∥A ′B ′， ∴∠3=∠4，∴∠3=∠2， ∴BB ′＝B ′F ′=3，即m=3； ②当点F ′落在AD 上时，∵AB ∥A ′B ′， ∴∠6=∠2，∵∠1=∠2，∠5=∠1， ∴∠5=∠6，又易知A ′B ′⊥AD ， ∴△B ′F ′D 为等腰三角形， ∴B ′D=B ′F ′=3， ∴BB ′＝B D ﹣B ′D =﹣3=，即m=． （3）存在．理由如下：
中考数学压轴题(几何综合题） 1、如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4厘米，BC＝6厘米，D是BC的中点．点E从A 出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1厘米/秒的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值； （2）当a＝1 2 时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； （3）当a＝2时，是否存在某个时间，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值； 若不存在，请说明理由． 解：（1）∵t＝2，∴CF＝2厘米，AE＝2a厘米， ∴EC＝(4－2a ) 厘米． ∵△ECF∽△BCA．∴EC CF CB AC = ∴422 64 a - =．∴ 1 2 a=． （2）由题意，AE＝1 2 t厘米，CD＝3厘米，CF＝t厘米． ∵EG∥CD，∴△AEG∽△ACD．∴EG AE CD AC =， 1 2 34 t EG =．∴EG＝ 3 8 t． ∵以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，∴EG＝DF． 当0≤t＜3时，3 3 8 t t =-， 24 11 t=． 当3＜t≤6时，3 3 8 t t=-， 24 5 t=． 综上 24 11 t=或 24 5 （3）由题意，AE＝2t厘米，CF＝t厘米，可得：△AEG∽△ACD AG＝5 2 t厘米，EG＝ 3 2 t，DF＝3－t厘米，DG＝5－ 5 2 t（厘米）． G D B A C F E （第27题） D B A C 备用图 图1
几何证明题分类汇编 一、证明两线段相等 1．如图3，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，EA AD ⊥，M 是AE 上一点， BAE MCE =∠∠，45MBE =o ∠． （1）求证：BE ME =． （2）若7AB =，求MC 的长． 2、（8分）如图11，一张矩形纸片ABCD ，其中AD=8cm ，AB=6cm ，先沿对角线BD 折叠，点C 落在点C ′的位置，BC ′交AD 于点G. （1）求证：AG=C ′G ； （2）如图12，再折叠一次，使点D 与点A 重合，的折痕EN ，EN 角AD 于M ，求EM 的长. 2、类题演练 3如图，分别以Rt△ABC 的直角 边AC 及斜边AB 向外 作等边 △ACD 、等边△ABE ．已知∠BAC =30o，EF ⊥AB ，垂足为F ，连结DF ． （1）试说明AC =EF ； （2）求证：四边形ADFE 是平行四边形． 4如图，在△ABC 中，点P 是边AC 上的一个动点，过点P 作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． (1)求证：PE ＝PF ； (2)*当点P 在边AC 上运动时，四边形BCFE 可能是菱形吗？说明理由； 图3 A B C D E F 第20题图
A B C D M N E F P (3)*若在AC 边上存在点P ，使四边形AECF 是正方形，且 AP BC ＝3 2 ．求此时∠A 的大小． 二、证明两角相等、三角形相似及全等 1、（9分）AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、B 都不重合）， 点C 是BE 延长线上的一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合。 （1）（5分）求证：△AHD ∽△CBD （2）（4分）连HB ，若CD=AB=2，求HD+HO 的值。 2、（本题8分）如图9，四边形ABCD 是正方形，BE ⊥BF ，BE=BF ，EF 与BC 交于点G 。 （1）求证：△ABE≌△CBF ；（4分） （2）若∠ABE=50o，求∠EGC 的大小。（4分） 3、（本题7分）如图8，△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90o，D 在AB 上． （1）求证：△AOC ≌△BOD ；（4分） （2）若AD ＝1，BD ＝2，求CD 的长．（3分） 2、类题演练 1、 (8分)如图，已知∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，CE 与 AB 相交于F ． (1)求证：△CEB ≌△ADC ； (2)若AD ＝9cm ，DE ＝6cm ，求BE 及EF 的长． A B C D 图8 O A B D F E 图9 A O D B H E C
中考数学几何选择填空压轴题精选配答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
2016中考数学几何选择填空压轴题精选(配答案)一．选择题（共13小题） 1．（2013蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC 于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HEHB． A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 2．（2013连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作 D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A ．B ． C ． D ． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论： ①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：
如图8，在ABC Rt ?中，?=∠90CAB ，3=AC ，4=AB ，点P 是边AB 上任意一点，过点P 作AB PQ ⊥交BC 于点E ，截取AP PQ =，联结AQ ，线段AQ 交BC 于点D ，设x AP =，y DQ =．【2013徐汇】 （1）求y 关于x 的函数解析式及定义域； （4分） （2）如图9，联结CQ ，当CDQ ?和ADB ?相似时，求x 的值； （5分） （3）当以点C 为圆心，CQ 为半径的⊙C 和以点B 为圆心，BQ 为半径的⊙B 相交的另一 个交点在边AB 上时，求AP 的长． （5分） 【2013奉贤】如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =8， 点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，联结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ． （1）若 ，求∠F 的度数； （2）设,,y EF x CO ==写出y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （图8） C A B D E P Q C A B D E P Q （图9） （备用图） C A B BE ED =⌒ ⌒
第25题 （3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长． 【2013长宁】△ABC 和△DEF 的顶点A 与D 重合，已知∠B =?90. ，∠BAC =?30. ，BC=6，∠ FDE =?90，DF=DE=4. （1）如图①，EF 与边AC 、AB 分别交于点G 、H ，且FG=EH . 设a DF =，在射线DF 上取一点P ，记：a x DP =，联结CP. 设△DPC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）在（1）的条件下，求当x 为何值时 AB PC //； （3）如图②，先将△DEF 绕点D 逆时针旋转，使点E 恰好落在AC 边上，在保持DE 边与AC 边完全重合的条件下，使△DEF 沿着AC 方向移动. 当△DEF 移动到什么位置时，以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 【2013嘉定】已知AP 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的一个动点（不与点A 、P 重合），联结AC ，以直线AC 为对称轴翻折AO ，将点O 的对称点记为1O ，射线1AO 交半圆O 于点B ，联结OC . （1）如图8，求证：AB ∥OC ； （2）如图9，当点B 与点1O 重合时，求证：CB AB =； 图① 图②
2019年中考数学真题分类汇编—几何题汇总 一、选择题 1．【2019连云港市】如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是 A．18m2B．m2C．2D2 （第1 题）（第2题）（第3题） 2．【2019宿迁】一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC等于（ ） A．105°B．100°C．75°D．60° 3．【2019宿迁】一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（ ） A．20πB．15πC．12πD．9π 4、【2019常州】下图是某几何体的三视图,该几何体是()
A. 圆柱 B. 正方体 C. 圆锥 D.球 5、【2019常州】如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是( ) A、线段PA B、线段PB C、线段PC D、线段PD 6．【2019镇江】一个物体如图所示，它的俯视图是（ ） A．B． C．D． 7、【2019淮安】下图是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是
（ ） 8．【2019泰州】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、 G 在小正方形的顶点上，则△ABC 的重心是（ ） A ．点D B ．点E C ．点F D ．点G 9、【2019扬州】 已知n 是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2,n+8,3n ，则满足 条件的n 的值有（ ）A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 10．【2019连云港市】如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AB ．将矩形ABCD 对折，得 到折痕MN ；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，ME 与BC 的交点为F ；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G ．下列结论：① △CMP 是直角三角形；②点C 、E 、G 不在同一条直线上；③PC ＝ ；④BP ＝AB ；⑤点 F 是△CMP 外接圆的圆心．其中正确的个数为A B C E D F G ····
中考数学几何选择填空压轴题精选 一．选择题（共13小题） 1．（2013?蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE 的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE?HB． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2013?连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A．B．C．D． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论： ①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S?DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（） A．①③B．②④C．①④D．②③ 5．（2008?荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（） A．5：3B．3：5C．4：3D．3：4 6．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（） A．B．C．D． 7．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（） A．B．6C．D．3 8．（2013?牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 9．（2012?黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论： ①（BE+CF）=BC； ②S△AEF≤S△ABC； ③S四边形AEDF=AD?EF； ④AD≥EF； ⑤AD与EF可能互相平分， 其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个
近年来中考数学压轴题大集合 【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕 〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上 〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕 由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图①
页眉内容 中考数学复习--几何综合题 Ⅰ、综合问题精讲： 几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键． 解几何综合题，还应注意以下几点： ⑴ 注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基 本图形． ⑵ 掌握常规的证题方法和思路． ⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数 学思想方法伯数形结合、分类讨论等）． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（南充，10分）⊿ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB 相交于点E ，点F 是BE 的中点． （1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）若AE ＝14，BC ＝12，求BF 的长． 解：（1）证明：连接OD ，AD ． AC 是直径， ∴ AD⊥BC． ⊿ABC 中，AB ＝AC ， ∴ ∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC． 又∠BED 是圆内接四边形ACDE 的外角， ∴∠C ＝∠BED ． 故∠B ＝∠BED ，即DE ＝DB ． 点F 是BE 的中点，DF ⊥AB 且OA 和OD 是半径， 即∠DAC ＝∠BAD ＝∠ODA ． 故OD ⊥DF ，DF 是⊙O 的切线． （2）设BF ＝x ，BE ＝2BF ＝2x ． 又 BD ＝CD ＝21 BC ＝6， 根据BE AB BD BC ?=?，2(214)612x x ?+=?． 化简，得 27180x x +-=，解得 122,9x x ==-（不合题意，舍去）．
中考数学几何专题知识点总结78点中考数学 几何压轴题 1 同角或等角的余角相等 2 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 3 过两点有且只有一条直线 4 两点之间线段最短 5 同角或等角的补角相等 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边
16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
几何综合题 1.已知△ABC中，AD是的平分线，且AD=AB，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点H． （1）如图1，若 ①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB=2，求AC和AH的长； （2）如图2，用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明． 答案： （1）①75 B ∠=?，45 ACB ∠=?； ②作DE⊥AC交AC于点E. Rt△ADE中，由30 DAC ∠=?，AD=2可得DE=1，AE3 =. Rt△CDE中，由45 ACD ∠=?，DE=1，可得EC=1. ∴AC31 =+. Rt△ACH中，由30 DAC ∠=?，可得AH33 + =； （2）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC 证明：延长AB和CH交于点F，取BF中点G，连接GH. BAC ∠ 60 BAC ∠=?
易证△ACH ≌△AFH . ∴AC AF =,HC HF =. ∴GH BC ∥. ∵AB AD =， ∴ ABD ADB ∠=∠. ∴ AGH AHG ∠=∠ . ∴ AG AH =. ∴()2222AB AC AB AF AB BF AB BG AG AH +=+=+=+==. 2.正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与线段BD 交于点M ，作CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ． （1）如图1，当045α?<