导数——泰勒不等式专题 一、泰勒公式: 泰勒公式,也称泰勒展开式,主要是用于求某一个复杂函数在某点的函数值。如果一个函数足够平滑,即若函数)(x f 在包含0x 的某个闭区间],[b a 具有n 各阶导数,且在开区间),(b a 上存在1+n 阶导数,则对],[b a 上任意一点x ,有 ).()(! )()(!2)()(!1)(!0)()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= 其中)(x R n 为泰勒展开式的余项,泰勒展开式也叫泰勒级数. 我们更多的是用泰勒公式在00=x 的特殊形式: )(!) 0(!2) 0( !1)0(!0)0()(2 2x R x n f x f f f x f n n +++''+'+= .以下列举一些常见函数的泰勒公式: ++++=32!31 !21 !11 1x x x e x ① +-+-=+4324 1 3121 )1ln(x x x x x ② +-+-=753!71!51!31sin x x x x x ③ -+-=4 2!41!211cos x x x ④ ++++=-32111x x x x ⑤从中截取片段,就构成了高考数学考察导数的常见不等式: x e x +≥1①; 1ln -≤x x ②; 212 x x e x ++≥③对0≥x 恒成立; x x x x ≤+≤+)1ln(1④对0≥x 恒成立; x x x x ≤≤-sin 63 ⑤对0≥x 恒成立; 2421cos 214 22x x x x +-≤≤-⑥对0≥x 恒成立
本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 利用导数处理与不等式有关的问题 关键词:导数,不等式,单调性,最值。 导数是研究函数性质的一种重要工具。例如求函数的单调区间、求最大(小)值、求函数的值域等等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质;因此,很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质,从而解决不等式问题。下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。 一、利用导数证明不等式 (一)、利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于(或小于)0时,则该函数在该区间上单调递增(或递减)。因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式: 1、直接构造函数,然后用导数证明该函数的增减性;再利用函数在它的同一单调递增(减) 区间,自变量越大,函数值越大(小),来证明不等式成立。 例1:x>0时,求证;x 2x 2 --ln(1+x)<0 证明:设f(x)= x 2x 2 --ln(1+x) (x>0), 则f'(x)= 2x 1x - + ∵x>0,∴f ' (x)<0,故f(x)在(0,+∞)上递减, 所以x>0时,f(x)
1.已知函数f (x )=x 2-ax -a ln x (a ∈R ). (1)若函数f (x )在x =1处取得极值,求a 的值; (2)在(1)的条件下,求证:f (x )≥-x 33+5x 22-4x +116 . 2.(优质试题·烟台模拟)已知函数f (x )=x 2-ax ,g (x )=ln x ,h (x )=f (x )+g (x ). (1)若函数y =h (x )的单调减区间是????12,1,求实数a 的值; (2)若f (x )≥g (x )对于定义域内的任意x 恒成立,求实数a 的取值范围.
3.(优质试题·山西四校联考)已知f (x )=ln x -x +a +1. (1)若存在x ∈(0,+∞),使得f (x )≥0成立,求a 的取值范围; (2)求证:在(1)的条件下,当x >1时,12x 2+ax -a >x ln x +12 成立. 4.已知函数f (x )=(2-a )ln x +1x +2ax . (1)当a <0时,讨论f (x )的单调性; (2)若对任意的a ∈(-3,-2),x 1,x 2∈[1,3],恒有(m +ln 3)a -2ln 3>|f (x 1)-f (x 2)|成立,求实数m 的取值范围. 5.(优质试题·福州质检)设函数f (x )=e x -ax -1. (1)当a >0时,设函数f (x )的最小值为g (a ),求证:g (a )≤0; (2)求证:对任意的正整数n ,都有1n +1+2n +1+3n +1+…+n n +1<(n +1)n +1.
答案精析 1.(1)解 f ′(x )=2x -a -a x ,由题意可得f ′(1)=0,解得a =1.经检验,a =1时f (x )在x =1处取得极值,所以a =1. (2)证明 由(1)知,f (x )=x 2-x -ln x , 令g (x )=f (x )-????-x 33+5x 22 -4x +116 =x 33-3x 22+3x -ln x -116 , 由g ′(x )=x 2 -3x +3-1x =x 3-1x -3(x -1)=(x -1)3x (x >0),可知g (x )在(0,1)上是减函数, 在(1,+∞)上是增函数,所以g (x )≥g (1)=0,所以f (x )≥-x 33+5x 22-4x +116 成立. 2.解 (1)由题意可知,h (x )=x 2-ax +ln x (x >0), 由h ′(x )=2x 2-ax +1x (x >0), 若h (x )的单调减区间是????12,1, 由h ′(1)=h ′????12=0,解得a =3, 而当a =3时,h ′(x )=2x 2-3x +1x =(2x -1)(x -1)x (x >0). 由h ′(x )<0,解得x ∈????12,1, 即h (x )的单调减区间是????12,1, ∴a =3. (2)由题意知x 2-ax ≥ln x (x >0), ∴a ≤x -ln x x (x >0). 令φ(x )=x -ln x x (x >0),
专题09导数与不等式的解 题技巧 -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
专题导数与不等式的解题技巧 一.知识点 基本初等函数的导数公式 ()常用函数的导数 ①()′=(为常数); ②()′=; ③()′=;④′=; ⑤()′=. ()初等函数的导数公式 ①()′=;②( )′=; ③( )′=;④()′=; ⑤()′=;⑥( )′=; ⑦()′=. .导数的运算法则 ()[()±()]′=; ()[()·()]′=; ()′=. .复合函数的导数 ()对于两个函数=()和=(),如果通过变量,可以表示成的函数,那么称这两个函数(函数=()和=())的复合函数为=(()). ()复合函数=(())的导数和函数=(),=()的导数间的关系为,即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 二.题型分析 (一)函数单调性与不等式 例.【一轮复习】已知函数()=+,∈(-,),则满足(-)+(-)>的的取值范围是( ).(,) .(,) .(,) .(,) 【答案】 【分析】在区间(﹣,)上,由(﹣)=﹣(),且′()>可知函数()是奇函数且单调递增,由此可求出的取值范围.
【点睛】本题考查了判断函数的奇偶性和单调性的问题,综合运用了函数的奇偶性和单调性解不等式进行合理的转化,属于中档题. 练习.对任意,不等式恒成立,则下列不等式错误的是().. .. 【答案】 【分析】构造函数,对其求导后利用已知条件得到的单调性,将选项中的角代入函数中,利用单调性化简,并判断正误,由此得出选项. 【解读】构造函数,则,∵,∴ ,即在上为增函数,则,即 ,即,即,又,即, 即,故错误的是.故选:. 【点睛】本小题考查构造函数法,考查利用导数研究函数的单调性,考查化归与转化的数学思想方法.构造函数法主要应用于题目所给已知条件中含有,也含有其导数的不等式,根据不等式的结构,构造出相应的函数.如已知是,可构造,可得 . (二)函数最值与不等式
导数与不等式专题一 1. (优质试题北京理18倒数第3大题,最值的直接应用) 已知函数。 ⑴求的单调区间; ⑵若对于任意的,都有 ≤,求的取值范围. 解:⑴,令, 当时,与的情况如下: 所以,的单调递增区间是和:单调递减区间是, 当时,与的情况如下: 所以,的单调递减区间是和:单调递增区间是。 ⑵当时,因为11 (1)k k f k e e ++=>,所以不会有 当时,由(Ⅰ)知在上的最大值是, 所以等价于,解 综上:故当时,的取值范围是[,0]. 2 ()()x k f x x k e =-()f x (0,)x ∈+∞()f x 1e k 221()()x k f x x k e k '=-()0,f x x k '==±0k >()f x ()f x '()f x (,)k -∞-(,)k +∞(,)k k -0k <()f x ()f x '()f x (,)k -∞(,)k -+∞(,)k k -0k >1(0,),().x f x e ?∈+∞≤0k <()f x (0,)+∞2 4()k f k e -=1(0,),()x f x e ?∈+∞≤24()k f k e -= 1 e ≤10.2k -≤<1(0,),()x f x e ?∈+∞≤ k 1 2 -
2. (优质试题天津理20倒数第3大题,最值的直接应用,第3问带有小的处理技巧) 已知函数,其中. ⑴若曲线在点处切线方程为,求函数的解析式; ⑵讨论函数的单调性; ⑶若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围. 解:⑴,由导数的几何意义得,于是. 由切点在直线上可得,解得. 所以函数的解析式为. ⑵. 当时,显然(),这时在,上内是增函数. 当时,令,解得 当变化时,,的变化情况如下表: + 0 - - 0 + ↗ 极大 值 ↘ ↘ 极小值 ↗ ∴在,内是增函数,在,内是减函数. ⑶由⑵知,在上的最大值为与的较大者,对于任意的 ,()()0≠++= x b x a x x f R b a ∈ ,()x f y =()( )2,2f P 13+=x y ()x f ()x f ??????∈2,21a ()10≤x f ?? ? ???1,41b 2()1a f x x '=- (2)3f '=8a =-(2,(2))P f 31y x =+27b -+=9b =()f x 8 ()9f x x x =-+2 ()1a f x x '=- 0a ≤()0f x '>0x ≠()f x (,0)-∞(0,)+∞0a >()0f x '=x =x ()f x '()f x x (,-∞()+∞()f x '()f x ()f x (,-∞)+∞((0,)+∞()f x 1[,1]41()4f (1)f 1 [,2]2 a ∈
利用导数处理与不等式有关的问题 关键词:导数,不等式,单调性,最值。 导数是研究函数性质的一种重要工具。例如求函数的单调区间、求最大(小)值、求函数的值域等等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质;因此,很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质,从而解决不等式问题。下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。 一、利用导数证明不等式 (一)、利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于(或小于)0时,则该函数在该区间上单调递增(或递减)。因而在证明不等式时,根据不等式的特点,有时可以构造函数,用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式: 1、直接构造函数,然后用导数证明该函数的增减性;再利用函数在它的同一单 调递增(减)区间,自变量越大,函数值越大(小),来证明不等式成立。 例1:x>0时,求证;x 2x 2 --ln(1+x)<0 证明:设f(x)= x 2x 2 --ln(1+x) (x>0), 则f'(x)= 2x 1x - + ∵x>0,∴f'(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上递减, 所以x>0时,f(x)
导数中“不等式”相关的几个问题 f (x )=ln(1+ax ) -2x x +2 . 专题二:不等式两边“变量”相同且不含参 1. (2016年山东高考)已知.当时,证明对于任意的成立. 2. (2016年全国II 高考)讨论函数的单调性,并证明当时,; 专题三:不等式两边不同“变量”的任意存在组合型 1. 已知函数f (x )=x -1 x +1 ,g (x )=x 2-2ax +4,若对于任意x 1∈[0,1],存在x 2∈[1,2],使 f (x 1)≥ g (x 2),则实数a 的取值范围是__________ 2. 已知函数.设当时,若()2 21 ()ln ,R x f x a x x a x -=-+ ∈1a =()3 ()'2 f x f x +>[]1,2x ∈x x 2f (x)x 2 -= +e 0x >(2)20x x e x -++>1()ln 1a f x x ax x -=-+ -()a R ∈2()2 4.g x x bx =-+1 4 a =