因数与倍数相关习题（1）
一、填空题
1．28的所有因数之和是_____.
2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有_____种不同的拼法.
3. 一个两位数,十位数字减个位数字的差是28的因数,十位数字与个位数字的积是2
4.这个两位数是_____.
4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人.
5. 两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,则这两个数的差是_____.
6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友,要求每人所得的梨数,桔数相等,最多可分给_____个小朋友,每个小朋友得梨_____个,桔_____个.
7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形布片_____块.
8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料,能锯成尽可能大的正方体木块(不余料)_____块.
9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个,又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出,如果他要赚得10元钱利润,那么他必须卖出苹果_____个.
10. 含有6个因数的两位数有_____个.
11．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公因数是1，但两两均不互质，请问有多少组这种解？
12．和为1111的四个自然数，它们的最大公因数最大能够是多少？
13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳214米，黄鼠狼每次跳4
32米，它们每秒钟都只跳一次.比赛途中,从起点开始每隔8
312米设有一个陷井,当它们之中有一个掉进陷井时,另一个跳了多少米?
14. 已知a 与b 的最大公因数是12,a 与c 的最小公倍数是300,b 与c 的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a ,b ,c 共有多少组?
(例如:a =12、b =300、c =300，与a =300、b =12、c =300是不同的两个自然数组)
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答 案:
1． 56
28的因数有1,2,4,7,14,28,它们的和为
1+2+4+7+14+28=56.
2. 4
因为105的因数有1,3,5,7,15,21,35,105能拼成的长方形的长与宽分别是105和1,35和3,21与5,15与7.所以能拼成4种不同的长方形.
3. 64
因为28=2⨯2⨯7,所以28的因数有6个:1,2,4,7,14,28.在数字0,1,2,…，9中，只有6与4之积，或者8与3之积是24，又6-4=2，8-3=5.
故符合题目要求的两位数仅有64.
4. 28
因为667=23⨯29,所以这班师生每人种的棵数只能是667的因数:1,23,29,667.显然,每人种667棵是不可能的.
当每人种29棵树时,全班人数应是23-1=22,但22不能被4整除,不可能.
当每人种23棵树时,全班人数应是29-1=28,且28恰好是4的倍数,符合题目要求.
当每人种1棵树时,全班人数应是667-1=666,但666不能被4整除,不可能.
所以,一班共有28名学生.
5. 40或20
两个自然数的和是50,最大公因数是5,这两个自然数可能是5和45,15和35,它们的差分别为(45-5=)40,(35-15=)20,所以应填40或20.
[注]这里的关键是依最大公因数是5的条件,将50分拆为两数之和:50=5+45=15+35.
6. 36,1,3.
要把梨36个、桔子108个分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36的因数，又要是108的因数，即一定是36和108的公因数.因为要求最多可分给多少个小朋友,可知小朋友的人数是36和108的最大公因数.36和108的最大公因数是36,也就是可分给36个小朋友.
每个小朋友可分得梨: 36÷36=1(只)
每个小朋友可分得桔子: 108÷36=3(只)
所以,最多可分得36个小朋友,每个小朋友可分得梨1只,桔子3只.
7. 56
剪出的正方形布片的边长能分别整除长方形的长48厘米及宽42厘米,所以它是48与42的公因数,题目又要求剪出的正方形最大,故正方形的边长是48与42的最大公因数.
因为48=2⨯2⨯2⨯2⨯3,42=2⨯3⨯7,所以48与42的最大公因数是6.这样,最大正方形的边长是6厘米.由此可按如下方法来剪:长边每排剪8块,宽边可剪7块,共可剪(48÷6)⨯(42÷6)=8⨯7=56(块)正方形布片.
8. 200
根据没有余料的条件可知长、宽和高分别能被正方体的棱长整除,即正方体的棱长是180,45和18的公因数.为了使正方体木块尽可能大,正方体的棱长应是180、45和18的最大公因数.180,45和18的最大公因数是9,所以正方体的棱长是9厘米.这样,长180厘米可公成20段,宽45厘米可分成5段,高18厘米可分成2段.这根木料共分割成(180÷9)⨯(45÷9)⨯(18÷9)=200块棱长是9厘米的正方体.
9. 150
根据3与5的最小公倍数是15,张老师傅以5元钱买进15个苹果,又以6元钱卖出15个苹果,这样,他15个苹果进与出获利1元.所以他获利10元必须卖出150个苹果.
10. 16
含有6个因数的数,它的质因数有以下两种情况:一是有5个相同的质因数连乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用M 表示含有6个因数的数，用a 和b 表示M 的质因数，那么
5a M =或b a M ⨯=2
因为M 是两位数，所以M = a 5只有一种可能M =25，而M = a 2⨯b 就有以下15种情况：
72,52,32222⨯=⨯=⨯=M M M ，
172,132,112222⨯=⨯=⨯=M M M ，
23,232,192222⨯=⨯=⨯=M M M ，
113,73,53222⨯=⨯=⨯=M M M ，
27,35,25222⨯=⨯=⨯=M M M .
所以,含有6个因数的两位数共有
15+1=16(个)
11. 三个数都不是质数,至少是两个质数的乘积,两两之间的最大公因数只能分别是2,3和5,这种自然数有6,10,15和12,10,15及18,10,15三组.
12. 四个数的最大公因数必须能整除这四个数的和,也就是说它们的最大公因数应该是1111的因数.将1111作质因数分解,得
1111=11⨯101
最大公因数不可能是1111,其次最大可能数是101.若为101,则将这四个数分别除以101,所得商的和应为11.现有
1+2+3+5=11,
即存在着下面四个数
101,101⨯2,101⨯3,101⨯5,
它们的和恰好是
101⨯(1+2+3+5)=101⨯11=1111,
它们的最大公因数为101.
所以101为所求.
13. 黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是432与8312的“最小公倍数”4
99，即跳了4994
11÷=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是214和8312的“最小公倍数”299，即跳了299÷2
9=11次掉进陷井. 经过比较可知,黄鼠狼先掉进陷井,这时狐狸已跳的行程是2
14⨯9=40.5(米). 14. 先将12、300分别进行质因数分解：
