弦振动研究试验
传统的教学实验多采用音叉计来研究弦的振动与外界条件的关系。采用柔性或半柔性的弦线，能用眼睛观察到弦线的振动情况，一般听不到与振动对应的声音。
本实验在传统的弦振动实验的基础上增加了实验内容，由于采用了钢质弦线，所以能够听到振动产生的声音，从而可研究振动与声音的关系；不仅能做标准的弦振动实验，还能配合示波器进行驻波波形的观察和研究，因为在很多情况下，驻波波形并不是理想的正弦波，直接用眼睛观察是无法分辨的。结合示波器，更可深入研究弦线的非线性振动以及混沌现象。
【实验目的】
1. 了解波在弦上的传播及弦波形成的条件。
2. 测量拉紧弦不同弦长的共振频率。
3. 测量弦线的线密度。
4. 测量弦振动时波的传播速度。
【实验原理】
张紧的弦线4在驱动器3产生的交变磁场中受力。移动劈尖6改变弦长或改变驱动频率，当弦长是驻波半波长的整倍数时，弦线上便会形成驻波。仔细调整，可使弦线形成明显的驻波。此时我们认为驱动器所在处对应的弦为振源，振动向两边传播，在劈尖6处反射后又沿各自相反的方向传播，最终形成稳定的驻波。
图 1
为了研究问题的方便，当弦线上最终形成稳定的驻波时，我们可以认为波动是从左端劈尖发出的，沿弦线朝右端劈尖方向传播，称为入射波，再由右端劈尖端反射沿弦线朝左端劈尖传播，称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉，在适当的条件下，弦线上就会形成驻波。这时，弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。如图1所示。
设图中的两列波是沿X轴相向方向传播的振幅相等、频率相同、振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，当传至弦线上相应点时，相位差为恒定时，它们就合成驻波用粗实线表示。由图1可见，两个波腹或波节间的距离都是等于半个波长，这可从波动方程推导出来。
下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动相位始终相同的点作坐标原点“O”，且在X ＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：Y1＝Acos2π(ft－x/ λ)
Y2＝Acos2π(ft＋x/ λ)
式中A为简谐波的振幅，f为频率，λ为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：
Y1＋Y2＝2Acos2π（x/ λ）cos2πft ······①由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2Acos2π(x / λ) |，只与质点的位置X有关，与时间无关。
由于波节处振幅为零，即｜cos2π(x / λ) |＝0
2πx / λ＝(2k+1) π / 2 ( k=0.1. 2. 3. ······) 可得波节的位置为：
X＝（2K＋1）λ /4 ······②而相邻两波节之间的距离为：
X K＋1－X K ＝[2（K＋1）＋1] λ/4－（2K＋1）λ / 4）＝λ / 2 ·····③又因为波腹处的质点振幅为最大，即｜cos2π(X / λ) | =1
2πX / λ＝Kπ ( K=0. 1. 2. 3. ······)
可得波腹的位置为：
X＝Kλ / 2＝ 2kλ / 4 ·····④这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节（或相邻两波腹）间的距离，就能确定该波的波长。
１
２
在本实验中，由于弦的两端是固定的，故两端点为波节，所以，只有当均匀弦线的两个固定端之间的距离（弦长）L 等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，其数学表达式为：
L ＝n λ / 2 ( n=1. 2. 3. ···)
由此可得沿弦线传播的横波波长为：
λ＝2L / n ······⑤ 式中n 为弦线上驻波的段数，即半波数，L 为弦长。 根据波动理论，弦线横波的传播速度为：
V ＝(T/ρ)
1/2
······⑥
即： 式中T 为弦线中张力，ρ为弦线单位长度的质量，即线密度。
根据波速、频率与波长的普遍关系式V ＝f λ，和⑤式可得横波波速为：
V ＝2Lf/n ······⑦ 如果已知张力和频率f ，则由⑥⑦式可得线密度为：
ρ=T(n/2Lf)2
( n=1. 2. 3. ······) ······⑧ 如果已知线密度和频率f ，则由⑧式可得张力为：
T=ρ(2Lf/n)
2 ( n=1. 2. 3. ······) ······⑨
如果已知线密度和张力，则由⑧式可得频率f 为：
······⑩
以上的分析是根据经典物理学得到的，实际的弦振动的情况是复杂的。我们在实验中可以看到，接收波形很多时候并不是正弦波，或者带有变形，或者没有规律振动，或者带有不稳定性振动，这就要求我们引入更新的非线性科学的分析方法。可以参见有关的资料，例如参考文献１。
【乐理分析】
常见的音阶由7个基本的音组成，用唱名表示即：do ，re ，mi ，fa ，so ，la ，si ，用7个音以及比它们高一个或几个八度的音、低一个或几个八度的音构成各种组合就成为各种乐器的“曲调”。每高一个八度的音的频率升高一倍。
振动的强弱（能量的大小）体现为声音的大小，不同物体的振动体现的声音音色是不同的，而振动的频率f 则体现音调的高低。f = 261.6Hz 的音在音乐里用字母c 1
表示。其相应的音阶表示为：c ，d ，e ，f ，g ，a ，b ，在将c 音唱成“do ”时定为c 调。人声及
L
2n
T f ?
ρ=
2
V T ρ=
３
器乐中最富有表现力的频率范围约为60Hz~1000Hz 。c 调中7个基本音的频率，以“do ”音的频率f = 261.6Hz 为基准，按十二平均律*的分法，其它各音的频率为其倍数，其倍数值如表1所示：
表 1
*注：常用的音乐律制有五度相生律、纯律（自然律）和十二平均律三种，所对应的频率是不同的。五度相生律是根据纯五度定律的，因此在音的先后结合上自然协调，适用于单音音乐。纯律是根据自然三和弦来定律的，因此在和弦音的同时结合上纯正而和谐，适用于多声音乐。十二平均律是目前世界上最通用的律制，在音的先后结合和同时结合上都不是那么纯正自然，但由于它转调方便，在乐器的演奏和制造上有着许多优点，在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用。常见的乐器都是参照上述表格确定的值制造的，例如钢琴，竖琴，吉它等。
金属弦线形成驻波后，产生一定的振幅，从而发出对应频率的声音。如果将驱动频率设置为表1所定的值，由弦振动的理论可知，通过调节弦线的张力或长度，形成驻波，就能听到与音阶对应的频率了（当然，这时候的环境噪音要小些）。这样做的特点是能产生准确的音调，有助于我们对音阶的判断和理解。
【实验仪器】
1. DH4618型弦振动研究实验仪
2. 双踪示波器
实验仪器由测试架和信号源组成，测试架的结构如图2所示。
图 2
1235467
8
61Kg
４
1—调节螺杆 2—圆柱螺母 3—驱动传感器 4—弦线 5—接收传感器 6—支撑板 7—张力杆 8—砝码 9—信号源 10—示波器
【实验内容】
一、实验前准备
1. 选择一条弦，将弦的带有铜圆柱的一端固定在张力杆的U 型槽中，把带孔的一端套到调整螺杆上圆柱螺母上。
2. 把两块劈尖（支撑板）放在弦下相距为L 的两点上（它们决定弦的长度），注意窄的一端朝标尺，弯脚朝外，如图２；放置好驱动线圈和接收线圈，按图２连接好导线。
3. 挂上质量可选砝码到张力杆上，然后旋动调节螺杆，使张力杆水平（这样才能从挂的物块质量精确地确定弦的张力），见图３。因为杠杆的原理，通过在不同位置悬挂质量已知的物块，从而获得成比例的、已知的张力，该比例是由杠杆的尺寸决定的。如图3（a ），挂质量为“M ”的重物在张力杆的挂钩槽3处，弦的拉紧度等于3M ；如图3（b ），挂质量为“M ”的重物在张力杆的挂钩槽4处，弦紧度为4M ，……。
注意：由于张力不同，弦线的伸长也不同，故需重新调节张力杆的水平。
（a ）张力3M （b ）张力4M
图 3 张力大小的示意
二、实验内容
1. 张力、线密度和弦长一定，改变驱动频率，观察驻波现象和驻波波形，测量共振频率。
1) 放置两个劈尖至合适的间距，例如60cm ，装上一条弦。在张力杠杆上挂上一定质量的砝码（注意，总质量还应加上挂钩的质量），旋动调节螺杆，使张力杠杆处于水平状态，把驱动线圈放在离劈尖大约5~10cm 处，把接收线圈放在弦的中心位置。提示：为了避免接收传感器和驱动传感器之间的电磁干扰，在实验过程中要保证两者之间的距离至少有10cm 。
2)
驱动信号的频率调至最小，合适调节信号幅度，同时调节示波器的通道增益为
10mV/格。
3) 慢慢升高驱动信号的频率，观察示波器接收到的波形的改变。注意：频率调节过程不能太快，因为弦线形成驻波需要一定的能量积累时间，太快则来不及形成驻波。如果不能观察到波形，则调大信号源的输出幅度；如果弦线的振幅太大，造成弦线敲击传感器，则应减小信号源输出幅度；适当调节示波器的通道增益，以观察到合适的波形大小。一般一个波腹时，信号源输出为2～3V(峰-峰值)，即可观察到明显的驻波波形，同时观察弦线，应当有明显的振幅。当弦的振动幅度最大时，示波器接收到的波形振幅最大，这时的频率就是共振频率。
4) 记下这个共振频率，以及线密度、弦长和张力，弦线的波腹波节的位置和个数等参数。如果弦线只有一个波腹，这时的共振频率为最低，波节就是弦线的两个固定端（两个劈尖处）。
5) 再增加输出频率，连续找出几个共振频率（3~5个）并记录。注意，接收线圈如果位于波节处，则示波器上无法测量到波形，所以驱动线圈和接收线圈此时应适当移动位置，以观察到最大的波形幅度。当驻波的频率较高，弦线上形成几个波腹、波节时，弦线的振幅会较小，眼睛不易观察到。这时把接收线圈移向右边劈尖，再逐步向左移动，同时观察示波器（注意波形是如何变化的），找出并记下波腹和波节的个数，及每个波腹和波节的位置。
2. 张力和线密度一定，改变弦长，测量共振频率。
1) 选择一根弦线和合适的张力，放置两个劈尖至一定的间距，例如60cm，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。
2) 记录相关的线密度，弦长，张力，波腹数等参数。
3) 移动劈尖至不同的位置改变弦长，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。记录相关的参数。
3. 弦长和线密度一定，改变张力，测量共振频率和横波在弦上的传播速度。
1) 放置两个劈尖至合适的间距，例如60cm，选择一定的张力，改变驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。
2) 记录相关的线密度，弦长，张力等参数。
3) 改变砝码的质量和挂钩的位置，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。记录相关的参数。
4. 张力和弦长一定，改变线密度，测量共振频率和弦线的线密度。
1) 放置两个劈尖至合适的间距，选择一定的张力，调节驱动频率，使弦线产生稳
５
定的驻波。
2) 记录相关的弦长，张力等参数。
3) 换用不同的弦线，改变驱动频率，使弦线产生同样波腹数的稳定驻波。记录相关的参数。
5. 聆听音阶高低及与频率的关系
1) 对照表1，选定一个频率，选择合适的张力，通过移动劈尖的位置，改变弦长，在弦线上形成驻波，聆听声音的音调和音色。
2) 依次选择其他频率，聆听声音的变化。
3) 换用不同的弦线，重复以上步骤。
*6. 探究弦线的非线性振动
1) 设定一定的张力、线密度、弦长和驱动频率，张力不要过大，频率不宜过高，在示波器上观察到驻波波形。
2) 移动接收传感器的位置，注意驻波波形有无变化。
3) 移动接收传感器的位置，注意驻波频率有无变化。
【数据处理】
1.张力和弦长一定，测量弦线的共振频率和横波的传播速度。
根据公式10求得的共振频率计算值，与实验得到的共振频率相比较，分析这两者存在差异的原因。
2
2.张力和线密度一定，改变弦长，测量弦线的共振频率和横波的传播速度
2
６
７
作弦长与共振频率的关系图
3. 弦长和线密度一定，改变张力，测量弦线的共振频率和横波的传播速度
作张力与共振频率的关系图。
根据
算出波速，这一波速与λ?=f V =2Lf/n （f 是共振频率，λ是 波长）作比较，分析存在差别的原因。
作张力与波速的关系图。
4. 弦长和张力一定，改变线密度，测量弦线的共振频率和线密度。 已知弦线的静态线密度（由天平秤称出单位长度的弦线的质量）为： 弦线1：0.562g/m ；弦线2：1.030g/m ；弦线3：1.515g/m 。
2比较测量所得的线密度与上述静态线密度有无差别，试说明原因。
【注意事项】
1. 仪器应可靠放置，张力挂钩应置于实验桌外侧，并注意不要让仪器滑落。
2. 弦线应可靠挂放，砝码的悬挂的取放应动作轻小，以免使弦线崩断而发生事故。
【思考题】
ρ
=T V
1. 通过实验，说明弦线的共振频率和波速与哪些条件有关？
2. 换用不同弦线后，共振频率有何变化？存在什么关系？
3. 如果弦线有弯曲或者不是均匀的，对共振频率和驻波有何影响？
4. 相同的驻波频率时，不同的弦线产生的声音是否相同？
5. 试用本实验的内容阐述吉它的工作原理。
*6. 移动接收传感器至不同位置时，弦线的振动波形有何变化？是否依然为正弦波？试分析原因。
８
９
附录1 DH4618型弦振动实验仪信号源使用说明
一、概述
在研究弦振动实验时，需要功率信号源对弦线进行激励驱动，使其产生驻波。本信号源可配合DH4618型弦振动研究实验仪进行弦振动实验。仪器的特点是输出阻抗低，激振信号不易失真，同时频率稳定性好，频率的调节细度和分辨率也足够小，能很好地找到弦线的共振频率。
本仪器也可在其它合适的场合作正弦波信号源用。 二、主要技术指标
1、环境条件
使用温度范围：5℃~35℃，相对湿度范围：25%~85%
2、电源：交流220V ±10%，50Hz 。
3、频率：频率信号为正弦波，失真度≤1%。
频率范围：频段I 为15~100Hz ，频段Ⅱ为100~1000Hz 。 4、频率显示：采用等精度测频，四位数字显示。
测量范围：0~99.99Hz ，分辨率0.01Hz ，测频精度：±（0.2%＋0.01 Hz ）；
100.0~999.9Hz ，分辨率0.1Hz ，测频精度：±（0.2%＋0.1 Hz ）； 1000~9999Hz ，分辨率1Hz ，测频精度：±（0.2%＋1 Hz ）；
5、功率输出
输出幅度：0~10V P-P 连续可调，输出电流：≥0.5A
三、仪器结构
仪器的信号输出及调节均在前面板上进行，附图1为仪器的前面板图。
附图
1
1、四位数显频率表
2、频段选择
3、频率粗调
4、频率细调
5、激励信号输出
6、激励信号波形
7、激励信号幅度调节
四、仪器的使用
1、打开信号源的电源开关，信号源通电。调节频率，频率表应有相应的频率指示。用示波器观察“波形”端，应有相应的正弦波；调节“幅度”旋钮，波形的幅度产生变化，当幅度调节至最大时，波形的峰-峰值应≥10V，这时仪器已基本正常，再通电预热10分钟左右，即可进行弦振动实验。
2、按DH4618型弦振动研究实验仪的讲义说明，将驱动传感器的引线接至本仪器的“激振”端，注意连线的可靠性。
3、仪器的频率“粗调”用于较大范围地改变频率，“细调”用于准确地寻找共振频率。由于弦线的共振频率的范围很小，故应细心调节，不可过快，以免错过相应的共振频率。
4、当弦线振动幅度过大时，应逆时针调节“幅度”旋钮，减小激振信号；振动幅度过小时，应加大激振信号的幅度。
五、注意事项
1、仪器的“激振”输出为功率信号，应防止短路。
2、仪器的频率稳定度和显示精度都较高，故使用前应预热。
１０
弦振动的研究 '、实验目的 1、观察固定均匀弦振动共振干涉形成驻波时的波形，加深驻波的认识。 2、了解固定弦振动固有频率与弦线的线密p、弦长L和弦的张力T的关系，并进行测 量。 、、实验仪器 弦线，电子天平，滑轮及支架，砝码，电振音叉，米尺 、实验原理 为了研究问题的方便，认为波动是从A 点发出的，沿弦线朝E端方向传播，称为入射波，再由E端反射沿弦线朝A端传播，称为反射 波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传 播时将相互干涉，移动劈尖E 到适合位置?弦线上 的波就形成驻波。这时, 弦线上的波被分成几段形 成波节和波腹。驻波形成如图（2）所示。 设图中的两列波是沿X轴相向方向传 播的振幅相等、频率相同振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向 图（2）左传播的用细虚线 表示，它们的合成驻波用粗 实线表示。由图可见，两个 波腹间的距离都是等于半 个波长，这可从波动方程推
导出来。 下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射 波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点 “0”，且在X二0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为： Y i = Acos2 (ft —x/ ) Y2 = Acos[2 (ft + x/ "+ ] 式中A为简谐波的振幅，f为频率，为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波 叠加后的合成波为驻波，其方程为： Y i + 丫2 = 2Acos[2 (x/ ) + /2]Acos2 ft ① 由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动， 它们的振幅为丨2A cos[2 (x/ )+ /2] | ，与时间无关t，只与质点的位置 x有关。 由于波节处振幅为零，即：丨cos[2 (x/ ) + /2] | =0 2 (x/ ) + /2 = (2k+1) / 2 (k=0. 2. 3. …) 可得波节的位置为： x = k /2 ②而相邻两波节之间的距离为： X k+1 —X k = (k + 1) 12—k / 2 = / 2③又因为波腹处的质点振幅为最大，即I cos[2 (x/ ) + /2] | =1
弦振动研究试验 传统的教学实验多采用音叉计来研究弦的振动与外界条件的关系。采用柔性或半柔性的弦线，能用眼睛观察到弦线的振动情况，一般听不到与振动对应的声音。 本实验在传统的弦振动实验的基础上增加了实验内容，由于采用了钢质弦线，所以能够听到振动产生的声音，从而可研究振动与声音的关系；不仅能做标准的弦振动实验，还能配合示波器进行驻波波形的观察和研究，因为在很多情况下，驻波波形并不是理想的正弦波，直接用眼睛观察是无法分辨的。结合示波器，更可深入研究弦线的非线性振动以及混沌现象。 【实验目的】 1. 了解波在弦上的传播及弦波形成的条件。 2. 测量拉紧弦不同弦长的共振频率。 3. 测量弦线的线密度。 4. 测量弦振动时波的传播速度。 【实验原理】 张紧的弦线4在驱动器3产生的交变磁场中受力。移动劈尖6改变弦长或改变驱动频率，当弦长是驻波半波长的整倍数时，弦线上便会形成驻波。仔细调整，可使弦线形成明显的驻波。此时我们认为驱动器所在处对应的弦为振源，振动向两边传播，在劈尖6处反射后又沿各自相反的方向传播，最终形成稳定的驻波。 图 1
为了研究问题的方便，当弦线上最终形成稳定的驻波时，我们可以认为波动是从左端劈尖发出的，沿弦线朝右端劈尖方向传播，称为入射波，再由右端劈尖端反射沿弦线朝左端劈尖传播，称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉，在适当的条件下，弦线上就会形成驻波。这时，弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。如图1所示。 设图中的两列波是沿X轴相向方向传播的振幅相等、频率相同、振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，当传至弦线上相应点时，相位差为恒定时，它们就合成驻波用粗实线表示。由图1可见，两个波腹或波节间的距离都是等于半个波长，这可从波动方程推导出来。 下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动相位始终相同的点作坐标原点“O”，且在X ＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为：Y1＝Acos2π(ft－x/ λ) Y2＝Acos2π(ft＋x/ λ) 式中A为简谐波的振幅，f为频率，λ为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为： Y1＋Y2＝2Acos2π（x/ λ）cos2πft ······①由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2Acos2π(x / λ) |，只与质点的位置X有关，与时间无关。 由于波节处振幅为零，即｜cos2π(x / λ) |＝0 2πx / λ＝(2k+1) π / 2 ( k=0.1. 2. 3. ······) 可得波节的位置为： X＝（2K＋1）λ /4 ······②而相邻两波节之间的距离为： X K＋1－X K ＝[2（K＋1）＋1] λ/4－（2K＋1）λ / 4）＝λ / 2 ·····③又因为波腹处的质点振幅为最大，即｜cos2π(X / λ) | =1 2πX / λ＝Kπ ( K=0. 1. 2. 3. ······) 可得波腹的位置为： X＝Kλ / 2＝ 2kλ / 4 ·····④这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节（或相邻两波腹）间的距离，就能确定该波的波长。 １
弦振动的研究 一、实验目的 1、观察固定均匀弦振动共振干涉形成驻波时的波形，加深驻波的认识。 2、了解固定弦振动固有频率与弦线的线密ρ、弦长L和弦的张力Τ的关系， 并进行测量。 三、 波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点“O”，且在X＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程
分别为： Y1＝Acos2π(ft－x/ λ) Y2＝Acos[2π (ft＋x/λ)+ π] 式中A为简谐波的振幅，f为频率，λ为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为： Y1＋Y2＝2Acos[2π（x/ λ）+π/2]Acos2πft ① 由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2A cos[2π（x/ λ）+π/2] |，与时间无关t，只与质点的位置x有关。 由于波节处振幅为零，即：｜cos[2π（x/ λ）+π/2] |＝0 2π（x/ λ）+π/2＝(2k+1) π/ 2 ( k=0. 2. 3. … ) 可得波节的位置为： x＝kλ /2 ② 而相邻两波节之间的距离为： x k＋1－x k ＝(k＋1)λ/2－kλ / 2＝λ / 2 ③ 又因为波腹处的质点振幅为最大，即｜cos[2π（x/ λ）+π/2] | =1 2π（x/ λ）+π/2 ＝kπ( k=0. 1. 2. 3. ) 可得波腹的位置为： x＝(2k-1)λ/4 ④ 这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节或相邻两波腹间的距离，就能确定该波的波长。 在本实验中，由于固定弦的两端是由劈尖支撑的，故两端点称为波节，所以，只有当弦线的两个固定端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为： L＝nλ/ 2 ( n=1. 2. 3. … ) 由此可得沿弦线传播的横波波长为： λ＝2L / n ⑤ 式中n为弦线上驻波的段数，即半波数。 根据波速、频率及波长的普遍关系式：V＝λf，将⑤式代入可得弦线上横波的
实验八 固定均匀弦振动的研究 XY 弦音计是研究固定金属弦振动的实验仪器，带有驱动和接收线圈装置，提供数种不同的弦，改变弦的张力，长度和粗细，调整驱动频率，使弦发生振动，用示波器显示驱动波形及传感器接收的波形，观察拨动的弦在节点处的效应，进行定量实验以验证弦上波的振动。它是传统的电子音叉的升级换代产品。它的优点是无燥声污染，通过函数信号发生器可以方便的调节频率，而这两点正好是电子音叉所不及的。 [实验目的] 1. 了解均匀弦振动的传播规律。 2. 观察行波与反射波互相干涉形成的驻波。 3. 测量弦上横波的传播速度。 4. 通过驻波测量，求出弦的线密度。 [实验仪器] XY 型弦音计、函数信号发生器、示波器、驱动线圈和接收线圈等。 [实验原理] 设有一均匀金属弦线，一端由弦码A 支撑，另一端由 弦码B 支撑。对均匀弦线扰动，引起弦线上质点的振动， 假设波动是由A 端朝B 端方向传播，称为行波，再由B 端 反射沿弦线朝A 端传播，称为反射波。行波与反射波在同 一条弦线上沿相反方向传播时将互相干涉，移动弦码B 到 适当位置。弦线上的波就形成驻波。这时，弦线就被分成 几段，且每段波两端的点始终静止不动，而中间的点振幅 最大。这些始终静止的点称为波节，振幅最大的点称为波 腹。驻波的形成如图4-8-1所示。 设图4-8-1中的两列波是沿x 轴相反方向传播的振幅相等、频率相同的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，它们的合成驻波用粗实线表示。由图4-8-1可见，两个波腹间的距离都是等于半个波长，这可以从波动方程推导出来。 下面用简谐表达式对驻波进行定量描述。设沿x 轴正方向传播的波为行波，沿x 轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点，且在x =0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程为： )(2cos 1λπx ft A y -= )(2cos 2λ πx ft A y += 式中A 为简谐波的振幅，f 为频率，λ为波长，x 为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为： 图 4-8-1
实验13 弦振动的研究 任何一个物体在某个特定值附近作往复变化，都称为振动。振动是产生波动的根源，波动是振动的传播。均匀弦振动的传播，实际上是两个振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播的叠加，在一定条件下可形成驻波。本实验验证了弦线上横波的传播规律：横波的波长与弦线中的张力的平方根成正比，而与其线密度（单位长度的质量）的平方根成反比。 一. 实验目的 1. 观察弦振动所形成的驻波。 2. 研究弦振动的驻波波长与张力的关系。 3. 掌握用驻波法测定音叉频率的方法。 二. 实验仪器 电动音叉、滑轮、弦线、砝码、钢卷尺等。 三. 实验原理 1. 两列波的振幅、振动方向和频率都相同，且有恒 定的位相差，当它们在媒质内沿一条直线相向传播时，
将产生一种特殊的干涉现象——形成驻波。如图3-13-1所示。在音叉一臂的末端系一根水平弦线，弦线的另一端通过滑轮系一砝码拉紧弦线。当接通电源，调节螺钉使音叉起振时，音叉带动弦线A端振动，由A端振动引起的波沿弦线向右传播，称为入射波。同时波在C点被反射并沿弦线向左传播，称为反射波。这样，一列持续的入射波与其反射波在同一弦线上沿相反方向传播，将会相互干涉。当C点移动到适当位置时，弦线上就形成驻波。此时，弦线上有些点始终不动，称为驻波的波节；而有些点振动最强，称为驻波的波腹。 2. 图3-13-2所示为驻波形成的波形示意图。在图中画出了两列波在T=0，T/4，T/2时刻的波形，细实线表示向右传播的波，虚线表示向左传播的波，粗实线表示合成波。如取入射波和反射波的振动相位始终相同的点作为坐标原点，且在X=0处，振动点向上到达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为： （3-13-1） （3-13-2）式中为波的振幅，为频率，λ为波长，为弦线上质点的坐标位置。 两波叠加后的合成波为驻波，其方程为： （3-13-3）由上式可知，入射波与反射波合成后，弦线上各点都在以同一频率作 简谐振动，它们的振幅为，即驻波的振幅与时间无关，而与质
弦振动实验-报告
实验报告 班级姓名学号 日期室温气压成绩教师 实验名称弦振动研究 【实验目的】 1.了解波在弦上的传播及驻波形成的条件 2.测量不同弦长和不同张力情况下的共振频率 3.测量弦线的线密度 4.测量弦振动时波的传播速度 【实验仪器】 弦振动研究试验仪及弦振动实验信号源各一台、双综示波器一台 【实验原理】 驻波是由振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成的特殊干涉现象。 当入射波沿着拉紧的弦传播，波动方程为 ()λ πx =2 y- cos A ft 当波到达端点时会反射回来，波动方程为 ()λ πx cos =2 y+ A ft
式中，A 为波的振幅；f 为频率；λ为波长；x 为弦线上质点的坐标位置，两拨叠加后的波方程为 ft x A y y y πλπ2cos 2cos 22 1=+= 这就是驻波的波函数，称为驻波方程。式中，λπx A 2cos 2是各点的振幅 ，它只与x 有关，即各点 的振幅随着其与原点的距离x 的不同而异。上式表明，当形成驻波时，弦线上的各点作振幅为λ πx A 2cos 2、频率皆为f 的简谐振动。 令02cos 2=λπx A ，可得波节的位置坐标为 () 412λ +±=k x Λ2,1,0=k 令12cos 2=λπx A ，可得波腹的位置坐标为 2λ k x ±= Λ 2,1,0=k 相邻两波腹的距离为半个波长，由此可见，只要从实验中测得波节或波腹间的距离，就可以确定波长。 在本试验中，由于弦的两端是固定的，故两端 点为波节，所以，只有当均匀弦线的两个固定端之间的距离（弦长）L 等于半波长的整数倍时，才能形成驻波。 既有 2λ n L = 或 n L 2=λ Λ2,1,0=n
弦 振动的研究 一、实验目的 1、观察固定均匀弦振动共振干涉形成驻波时的波形，加深驻波的认识。 2、了解固定弦振动固有频率与弦线的线密ρ、弦长L 和弦的张力Τ的关系，并进行测量。 三、波。示。轴负方向传播的波为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点 “O ”，且在X ＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别为： Y 1＝Acos2(ft －x/ ) Y 2＝Acos[2 (ft ＋x/λ)+ ]式中A 为简谐波的振幅，f 为频率，为波长，X 为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为： Y 1 ＋Y 2＝2Acos[2（x/ ）+/2]Acos2ft ① 由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2A cos[2（x/ ）+/2] |，与时间无关t ，只与质点的位置x 有关。 由于波节处振幅为零，即：｜cos[2（x/ ）+/2] |＝0
2（x/ ）+/2＝(2k+1) / 2 ( k=0. 2. 3. … ) 可得波节的位置为： x＝k /2 ②而相邻两波节之间的距离为： x k＋1－x k ＝(k＋1)/2－k / 2＝ / 2 ③ 又因为波腹处的质点振幅为最大，即｜cos[2（x/ ）+/2] | =1 2（x/ ）+/2 ＝k ( k=0. 1. 2. 3. ) 可得波腹的位置为： x＝(2k-1)/4 ④ 这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节或相邻两波腹间的距离，就能确定该波的波长。 在本实验中，由于固定弦的两端是由劈尖支撑的，故两端点称为波节，所以，只有当弦线的两个固定端之间的距离（弦长）等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波的条件，其数学表达式为： L＝n / 2 ( n=1. 2. 3. … ) 由此可得沿弦线传播的横波波长为： ＝2L / n ⑤ 式中n为弦线上驻波的段数，即半波数。 根据波速、频率及波长的普遍关系式：V＝f，将⑤式代入可得弦线上横波的传播速度： V＝2Lf/n ⑥ 另一方面，根据波动理论，弦线上横波的传播速度为： V＝(T/ρ)1/2 ⑦ 式中T为弦线中的张力，ρ为弦线单位长度的质量，即线密度。 再由⑥⑦式可得 f =（T/ρ）1/2（n/2L） 得 T＝ρ / (n/2Lf )2 即ρ＝T (n/2Lf )2 ( n=1. 2. 3. … ) ⑧ 由⑧式可知，当给定T、ρ、L，频率f只有满足以上公式关系，且积储相应能量时才能在弦线上有驻波形成。 四、实验内容 1、测定弦线的线密度：用米尺测量弦线长度，用电子天平测量弦线质量，记录数据 2、测定11个砝码的质量，记录数据
论文题目来源： 国家自然科学基金项目 编号： 四川省自然科学研究项目 编号： 校级自然科学研究项目 编号：
弦振动实验的研究 学生：王彬 指导老师：吴英 摘要：弦振动实验存在着诸多困难，弦的张力会因弦的振动发生变化，弦的线密度会发生微小变化，当波腹数增多时现象不明显，低频信号器共振频率读取不准确等。本研究通过文献综述、理论研究、比较研究等方法，针对上述原因，利用实验室的装置验证弦振动理论采集相应数据并进行结果处理，通过在体验实验过程和数据处理方面的困难，对本实验装置提出切合实际的改进方法，以克服主观和客观方面的困难，使实验现象更加明显。 关键字：弦振动；共振；波腹；张力；线密度
The Research of String Vibration Experiment Undergraduate:Wang Bin Supervisor:Wu Ying Abstract:String vibration experiment is an important experiment of college physics. The experiment is also a deep exploration and application of string vibration knowledge. There are many difficulties in the experiment. For example, string tension will change because of the vibration of the string. And the linear density of the string will inevitably have subtle change. Besides, we can not get precise data of the resonance frequency of low frequency signal generator when the increase of the wave loop is not obvious. As for the above reasons, this research, with the following methods, such as literature review, theoretical research and comparative approach and so on, uses the equipments in the lab to prove the theory of string vibration and collects relevant data and then deal with the data. After knowing the difficulties in the experiment and in dealing with the data, I will propose some practical methods to improve and reform the experiment equipments so that we can overcome subjective and objective difficulties and so that the experimental phenomenon can become more obvious. Key words:string vibration; resonance frequency; wave loop; string tension; linear density.
弦振动的研究报告 班级：工程力学二班 学号：120107020045 姓名：康昕程
实 验 报 告 【实验目的】 1. 了解波在弦上的传播及驻波形成的条件 2. 测量不同弦长和不同张力情况下的共振频率 3. 测量弦线的线密度 4. 测量弦振动时波的传播速度 【实验仪器】 弦振动研究试验仪及弦振动实验信号源各一台、双综示波器一台 【实验原理】 驻波是由振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成的特殊干涉现象。 当入射波沿着拉紧的弦传播，波动方程为 ()λπx ft A y -=2cos 当波到达端点时会反射回来，波动方程为 ()λπx ft A y +=2cos 式中，A 为波的振幅；f 为频率；λ为波长；x 为弦线上质点的坐标位置，两拨叠加后的波方程为 ft x A y y y πλ π 2cos 2cos 221=+= 这就是驻波的波函数，称为驻波方程。式中，λ π x A 2cos 2是各点的振幅 ，它只与x 有关， 即各点的振幅随着其与原点的距离x 的不同而异。上式表明，当形成驻波时，弦线上的各点作振幅为λ π x A 2cos 2、频率皆为f 的简谐振动。 令02cos 2=λ π x A ，可得波节的位置坐标为 ()4 12λ +±=k x 2,1,0=k 令12cos 2=λ π x A ，可得波腹的位置坐标为 2 λ k x ±= 2,1,0=k 相邻两波腹的距离为半个波长，由此可见，只要从实验中测得波节或波腹间的距离，就可以确定波长。 在本试验中，由于弦的两端是固定的，故两端点为波节，所以，只有当均匀弦线的两个固定端之间的距离（弦长）L 等于半波长的整数倍时，才能形成驻波。
实验四弦振动的研究 【实验目的】 1.观察弦振动时形成的驻波； 2.用两种方法测量弦线上横波的传播速度，比较两种方法测量的结果； 3.验证弦振动的波长与张力的关系。 【实验仪器和用具】 电振音叉(频率约为100Hz)，弦线，分析天平，滑轮，砝码，低压电源，米尺【实验原理】 如图12-1所示，将细弦线的一端固定在 电振音叉上，另一端绕过滑轮挂上砝码。当音 叉振动时，强迫弦线振动(弦振动的频率应与 音叉的频率f相等)，形成一系列向滑轮端前 进的横波，在滑轮处反射后沿相反的方向传播，在音叉与滑轮间往返传播的横波的叠加形成一定的驻波。适当调节砝码的重量或弦长(音叉到滑轮间的弦线距离)，在弦上将出现稳定的、强烈的振动，即弦线与音叉的共振。弦线共振时，驻波的振幅最大，音叉端为振动的节点(非共振时，音叉端不是驻波的节点)，若此时弦上有n个半驻波，则有n l/ 2 = λ，弦上的波速υ则为 υfλ = (12-1) 或 2l υf n = (12-2) 根据波动理论，横波在弦线上的传播速度υ与弦线张力T及弦线的线密度ρ之 间的关系为 υ=（12-3） 将式(12-3)代入(12-1)得： (124) f==- 式(12-4)表示，以一定频率振动的弦，，其波长λ将随张力T及线密度ρ的变化而变
化的规律。同时也表示出，弦长l 、张力T 、线密度ρ一定的弦，其自由振动的频率不只一个，而是包括相当于 ,3,2,1=n 的 321,,f f f 等多种频率。其中1=n 的频率称作基频， 3,2=n 的频率称作第一、第二谐频，但基频较其它谐频强的多，因此它决定弦的频率，而各谐频决定它的音色。振动体有一个基频和多个谐频的规律不只在弦线上存在，而是普遍的现象。但基频相同的各振动体，其各谐频的的能量分布可以不同，所以音色不同。 当弦线在频率为f 的音叉策动下振动时，适当改变T l 、和ρ，和强迫力发生共振的不一定是基频，而可能是第一、第二、第三 、谐频，此时在弦线上出现2，3，4 ，个半波区。 【实验内容】 1.测量弦线的线密度 取2米长和所用的弦线相同的线，在分析天平上称出其质量m ，求出它的线密度ρ。 2.观察弦线上的驻波 根据已知音叉频率f (一般为100Hz )和已知的线密度ρ，求出弦长在20cm 30~附近，若要弦的基频与音叉共振时，弦的张力T 。 选取弦线长在130cm 左右，根据上述计算的张力T 值，选择适当的砝码挂在弦线上，给电振音叉的线圈通以50Hz ，电压为2~1V 的交流电，使音叉作受迫振动，进行以下观测： (1)使弦线长从20cm 左右开始逐渐增加(拉动音叉移动)，当4,3,2,1=n 个半波区的几种情况下弦线共振时，分别测出弦长并计算出波长λ。 (2)使弦长l 大于1=n 共振时的弦长，小于2=n 共振时的弦长，从这种情况下振动的弦上，测出波长λ，并和上面的测量结果相比较(注意：此时音叉端点不是弦的节点)。 3.弦上横波的波长与张力的关系 增加砝码的质量，再细调弦线长使之出现共振，测出弦线长l ，算出波长λ。
弦振动地研究 一、实验目地 1观察固定均匀弦振动共振干涉形成驻波时地波形，加深驻波地认识? 2 了解固定弦振动固有频率与弦线地线密 p、弦长L和弦地张力T地关系, 并进行 测量? 二、实验仪器 弦线，电子天平，滑轮及支架，砝码，电振音叉，米尺 三、实验原理 为了研究问题地方便，认为波动是从A 点发 出地，沿弦线朝E端方向传播，称为入射波，再 由E端反射沿弦线朝A端传播，称为反射波.入 射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时 将相互干涉，移动劈尖E 到适合位置?弦线上地 波就形成驻波.这时，弦线上地波被分成几段形 成波节和波腹.驻波形成如图（2）所示.b5E2RGbCAP 设图中地两列波是沿X轴相向方向传播地振 幅相等、频率相同振动方向一致地简谐波.向右 传播地用细实线表示，向左传播地用细虚线表 示，它们地合成驻波用粗实线表示.由图可见， 两个波腹间地距离都是等于半个波长，这可从波 动方程推导出来QEanqFDPw 下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述 .设沿X轴正方向传播地波为入射波，沿X轴负方向传播地波为反射波，取它们振 动位相始终相同地点作坐标原点 “0”，且在X二0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们地波动方程
分别为：DXDiTa9E3d Y i = Acos2二(ft — x/ ) 丫2= Acos[2 二(ft + x/ 入)+ -：] 式中A为简谐波地振幅，f为频率，■为波长，X为弦线上质点地坐标位置.两波叠加后地合成波为驻波，其方程为：RTCrpUDGiT Y i + 丫2 = 2Acos[2 二(x/ ■) + 二/2]Acos2二ft① 由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们地振幅为丨2A cos[27：(x/ ■) +二/2] 与时间无关t,只与质点地位置x有关.5PCzVD7HxA 由于波节处振幅为零，即:| cos[2二(x/ ■) +二/2] | = 0 2 二(x/ ■) + 二/2 = (2k+1)二/ 2 ( k=0. 2. 3. …) 可得波节地位置为： x = k /2 ② 而相邻两波节之间地距离为： X k +1 — X k= (k + 1)和./2 — k". / 2=和"/ 2 ③ 又因为波腹处地质点振幅为最大，即| cos[2二(x/ ■) +二/2] |=1 2二(x/ ) + 二/2= k二(k=0. 1.2. 3.…) 可得波腹地位置为： x = (2k-1) /4④ 这样相邻地波腹间地距离也是半个波长.因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节或相邻两波腹间地距离，就能确定该波地波长.jLBHrnAILg 在本实验中，由于固定弦地两端是由劈尖支撑地，故两端点称为波节，所以，只有当弦线地两个固定端之间地距离(弦长)等于半波长地整数倍时，才能形成驻波，这就是均匀弦振动产生驻波地条件，其数学表达式为：XHAQX74J0X L= n / 2 ( n=1.2. 3. …) 由此可得沿弦线传播地横波波长为： =2L/n ⑤ 式中n为弦线上驻波地段数，即半波数. 根据波速、频率及波长地普遍关系式：V = f，将⑤式代入可得弦线上横波地传播速度：
竭诚为您提供优质文档/双击可除清华弦振动实验报告 篇一：弦振动试验实验报告 弦振动试验 一、实验目的 1．观察在弦线上形成的驻波 2．用弦驻波法测量张紧弦线上驻波的波长 3．研究弦线上张力与弦线上驻波波长之间的关系； 4．研究均匀弦线横波的传播速度与张力、弦线密度之间的关系 二、数据处理 1．在张力一定的条件下（加9个砝码），求波的传播速度 2.求横波的波长与弦线中的张力的关系 1 2 lgλ lgT
由以上可知，波长的对数和张力的对数成线性关，且相关的线性方程是：Y=0.0035x+1034543. 3 篇二：大学物理实验报告-弦振动 华南理工大学实验报告 课程名称：大学物理实验 理学院系数学专业创新班姓名任惠霞 实验名称弦振动20XX.9.6指导老师 （报告内容：目的、仪器装置、简单原理、数据记录及结果分析等） 一.实验目的 1.观察弦上形成的驻波 2.学习用双踪示波器观察弦振动的波形 3.验证弦振动的共振频率与弦长、张力、线密度及波腹数的关系 二.实验仪器 xY弦音计、双踪示波器、水平尺 三实验原理 当弦上某一小段受到外力拨动时便向横向移动，这时弦上的张力将使这小段恢复到平衡位置，但是弦上每一小段由于都具有惯性，所以到达平衡位置时并不立即停止运动，而是继续向相反方向运动，然后由于弦的张力和惯性使这一小
段又向原来的方向移动，这样循环下去，此小段便作横向振动，这振动又以一定的速度沿整条弦传播而形成横波。理论和实验证明，波在弦上传播的速度可由下式表示：??= ρ ??1 -------------------------------------------------------① 另外一方面，波的传播速度v和波长λ及频率γ之间的关系是： v=λγ --------------------------------------------------------② 将②代入①中得γ =λ 1 ?? -------------------------------------------------------③ρ1 又有L=n*λ/2或λ=2*L/n代入③得γ n=2L
弦振动的实验研究 弦是指一段又细又柔软的弹性长线，比如二胡、吉它等乐器上所用的弦。用薄片拨动或者用弓在张紧的弦上拉动就可以使整个弦的振动,再通过音箱的共鸣,就会发出悦耳的声音。对弦乐器性能的研究与改进，离不开对弦振动的研究，对弦振动研究的意义远不只限于此，在工程技术上也有着极其重要的意义。比如悬于两根高压电杆间的电力线、大跨度的桥梁等，在一定程度上也是一根“弦”，它们的振动所带来的后果可不象乐器上的弦的振动那样使我们们感到愉快。对于弦振动的研究，有助于我们理解这些特殊“弦”的振动特点、机制，从而对其加以控制。同时，弦的振动也提供了一个直观的振动与波的模型，对它的分析、研究是处理其它声与振动问题的基础。欧拉最早提出了弦振动的二阶方程，而后达朗贝尔等人通过对弦振动的研究开创了偏微分方程论。 本实验意在通过对一段两端固定弦振动的研究，了解弦振动的特点和规律。 预备问题 1． 复习DF4320示波器的使用。 2． 什么是驻波？它是如何形成的？ 3． 什么是弦振动的模式？共振频率与哪些因素有关？ 4． 张力对波速有何影响？试比较以基频和第一谐频共振时弦中的波速。 一、 实验目的： 1、了解驻波形成的条件，观察弦振动时形成的驻波； 2、学会测量弦线上横波传播速度的方法： 3、用作图法验证弦振动频率与弦长、频率与张力的关系。 二、实验原理 一根两端固定并张紧的弦，静止时处于水平平衡位置，当在弦的垂直方向被拉离平衡位置后，弦会有回到平衡位置的趋势，在这种趋势和弦的惯性作用下，弦将在平衡位置附近振动。令弦线长度方向为x 轴，弦被拉动的方向（与x 轴垂直的方向）为y 轴，如图1所示。若设弦的长度为L ，线密度为ρ，弦上的张力为T ，对一小段弦线微元dl 进行受力分析，运用牛顿第二定律定律，可得在y 方向的运动微分方程 ()2222t y dx dx x y T ??=??ρ （1） 若令ρ/2 T v =， 上式可写为 2222 21t y v x y ??=?? （2） y 图1
实验十 弦振动特性的研究 一 实 验 目 的 1． 观察弦振动时形成的驻波。 2． 用两种方法测量弦线上横波的传播速度，比较两种方法测得的结果。 3． 验证弦振动的波长与张力的关系。 二 仪 器 和 用 具 电振音叉（约100Hz ），弦线分析天平，滑轮，砝码，低压电源，米尺。 三 实 验 原 理 1 弦线上横波传播速度（一），如图1所示，将细弦线的一端固定在电振音叉上，另一端绕过滑轮挂上砝码。当音叉振动量，强迫弦线振动（弦振动频率应当和音叉的频率ν等），形成列向滑轮端前进的横波,在滑轮处反射后沿相反方向传播。在音叉与滑轮间往反传播的横波的叠加形成一定的驻波，适当调节砝码 重量或弦长(音叉端到滑轮轴间的线长官，在弦上将 出现稳定的强烈地振动，即弦与音叉共振。弦共振 时，驻波的振幅最大，音叉端为稍许振动的节点（非 共振时，音叉端不是驻波的节点），若此时弦上有n 个半波区，则n l /2=λ，弦上的波速v 则为 n l v v 2γγλ ==或 （1） 2 弦线上横波传播速度（二），若横波在张紧的弦线上沿x 轴正方向传播，我们取 δd AB =的微元段加以讨论（图2）。设弦线的线密度（即单位长质量）为， 则此微元段弦线ds 的质量为ρds. 在A 、B 处受到左右邻段的张力分别为21,T T ，其方向为沿弦的切线方向，与x 轴交成1a 、2a 角。 由于弦线上传播的横波在x 方向无振动，所以作用在微元 段ds 上的张力的x 分量应该为零，即 0cos cos 1122=-a T a T （2） 又根据牛顿第二定律，在y 方向微元段的运动方程为 221122sin sin dt y d ds a T a T ρ=- （3） 对于小的振动，可取dx ds ≈，而1a 、2a 都很小，所以 221121sin ,sin ,1cos ,1cos tga a tga a a a ≈≈≈≈。 又从导数的几何意义可知dx x z dx dy tga dx dy tga +??? ??=??? ??=21, 式（2）将成为T T T T T ===-1212,0即表示张力不随时间和地点而变，为一定值。式（3）将成为 22dt y d pds dx dy T dx dy T z dx x =??? ??-??? ??+ （4）
弦振动研究 【实验目的】 1．了解波在弦上的传播及驻波形成的条件。 2．测量不同弦长和不同张力情况下的共振频率。 3．测量弦线的先行密度。 4．测量弦振动时波的传播速度。 【实验仪器】 弦振动研究实验仪及弦振动实验信号源各一台、双踪示波器一台。 实验仪器结构描述见图3-23-1 【实验原理】 驻波是有振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成的特殊干涉现象。 当入射波沿着拉紧的弦传播时，波动方程为 )(2cos λ πx ft A y - = 当波到达端点时会反射回来，波动方程为 ) (2cos λ πx ft A y + = 式中，A 为波的振幅；f 为频率；λ为波长；x 为弦线上质点的坐标位置，两波叠加后的波方程为 ft x A y y y πλ π2cos 2cos 221=+= 这就是驻波的波函数，称之为驻波方程。式中，λ πx A 2cos 2是各点的振幅，它只与x 有关，即各点的振幅随着其与远点的距离x 的不同而异。上式表明，当形成驻波时，弦线上的各点作振幅为λ πx A 2cos 2、频率皆为f 的简谐振动。
由式（3-23-3）可知，另02cos 2=λ πx A ，可得波节的位置坐标为 4 ) 12(λ +±=k x ???=，，， 210k 另12cos 2=λπx A ，可得波腹的位置坐标为 2 λ k x ±= ???=，，， 210k 由式（3-23-4）、式（3-23-5）可得相邻两波腹（波节）的距离为半个波长，由此 可见，只要从实验中的测得波节或波腹间的距离，就可以确定波长。 在本实验中，由于弦的两端是固定的，故两端点为波节，所以，只有当均匀弦线的连个固定端之间的距离（弦长）L 等于半波长的整数倍时，才能形成驻波。 即有 2 λ = L 或 n L 2= λ ???=，，， 210n 式中，L 为弦长；λ为驻波波长；n 为半波数（波腹数）。 另外，根据波动理论，假设弦柔韧性很好，波在弦上的传播速度v 取决于线密度μ和弦的张力T ，其关系为 μ T v = 又根据波速、频率与波长的普遍关系式λf v =，可得 μ λT f v = = 由式（3-23-6）、式（3-23-8）可得横波传播速度 n L f v 2= 如果已知张力和频率，由式（3-23-6）、式（3-23-8）可得线密度 2 )2( Lf n T =μ 如果已知线密度和频率，则由式（3-23-10）可得张力 2 ) 2( n Lf T μ= 如果已知线密度和张力，则由式（3-23-11）可得张力 μ T L n f 2= 【实验内容】 一、实验前准备
弦振动与驻波研究 【实验目的】 1．观察在弦上形成的驻波； 2．确定弦线振动时驻波波长与张力的关系； 3．学习对数作图和最小二乘法进行数据处理。 【实验原理】 在一根拉紧的弦线上，其中张力为T ，线密度为μ，则沿弦线传播的横波应满足下述运动方程： 2 222x y T t y ??=??μ (1) 式中x 为波在传播方向（与弦线平行）的位置坐标，y 为振动位移。将(1)式与典型的波动 方程 2 2222x y V t y ??=?? 相比较，即可得到波的传播速度: μ T V = 若波源的振动频率为f ，横波波长为λ，由于波速λf V =，故波长与张力及线密度之间的关系为： μ λT f 1 = (2) 为了用实验证明公式(2)成立，将该式两边取对数，得： 11 lg lg lg lg 22 T f λμ=-- (3) 固定频率f 及线密度μ，而改变张力T ，并测出各相应波长λ，作lg λ-lg T 图，若得 一直线，计算其斜率值（如为2 1 ），则证明了λ∝2 1 T 的关系成立。 弦线上的波长可利用驻波原理测量。当两个振幅和频率相同的相干波在同一直线上相向传播时，其所叠加而成的波称为驻波，一维驻波是波干涉中的一种特殊情形。在弦线上出现
许多静止点，称为驻波的波节。相邻两波节间的距离为半个波长。 【实验仪器】 1、可调频率数显机械振动源； 2、振动簧片； 3、弦线（铜丝）； 4、可动刀片支架； 5、可动刀口支架； 6、标尺； 7、固定滑轮； 8、砝码与砝码盘； 9、变压器;10、实验平台；11、实验桌 图1 实验装置示意图
图2 可调频率数显机械振动源面板图 （1、电源开关 2、频率调节 3、复位键 4、幅度调节 5、频率指示） 实验装置如图1所示，金属弦线的一端系在能作水平方向振动的可调频率数显机械振动源的振簧片上，频率变化范围从0-200Hz 连续可调，频率最小变化量为0.01Hz ，弦线一端通过定滑轮⑦悬挂一砝码盘⑧；在振动装置(振动簧片)的附近有可动刀片支架④，在实验装置上还有一个可沿弦线方向左右移动并撑住弦线的可动刀口⑤。滑轮⑦固定在实验平台⑩上，其产生的摩擦力很小，可以忽略不计。若弦线下端所悬挂的物体的质量为m （包含砝码和砝码盘及悬线的质量），张力mg T =。当波源振动时，即在弦线上形成向右传播的横波；当波传播到可动刀口与弦线相交点时，由于弦线在该点受到刀口两壁阻挡而不能振动，波在切点被反射形成了向左传播的反射波。这种传播方向相反的两列波叠加即形成驻波。当振动端簧片与弦线固定点至可动刀口⑤与弦线交点的长度L 等于半波长的整数倍时，即可得到振幅较大而稳定的驻波，振动簧片与弦线固定点为近似波节，弦线与可动刀口相交点为波节。它们的间距为L ，则 2 λ n L = (4) 其中n 为任意正整数。利用式(4)，即可测量弦上横波波长。由于簧片与弦线固定点在振动不易测准，实验也可将最靠近振动端的波节作为L 的起始点，并用可动刀口④指示读数，求出该点离弦线与可动刀口⑤相交点距离L 。
实验 弦振动的研究 专业___________________ 学号___________________ 姓名___________________ 一、预习要点 1. 了解振动，波动的含义； 2. 掌握弦线振动，横波，纵波的含义； 3. 掌握形成驻波的条件，并注意观察视频，实验时是如何调出驻波现象； 4. 在课前写好预习报告，上课时务必将预习报告和原始数据表格一并带来，否则扣分。 二、实验内容 1. 验证横波的波长与弦线张力的关系（固定波源振动的频率100Hz f =，改变砝码质量）； 固定一个波源振动的频率，在砝码盘上添加不同质量的砝码，以改变同一弦上的张力。每改变一次张力(即增加一次砝码)，均要左右移动可动滑轮的位置，使弦线出现振幅较大而稳定的驻波。用实验平台上的标尺测量波节的位置，即可根据实验原理算出波长。 利用坐标纸作M ln ln -λ图，求其直线斜率1k ，并由1 111ln ln ln C T k C M k '+=+=λ（1C 、1C '表示常数）说明λln 与T ln 的线性关系，验证横波的波长与弦线中的张力的关系。 2. 验证横波的波长与波源振动频率的关系（固定砝码质量M 225g =，改变波源振动的频率）； 在砝码盘上放上一定质量的砝码，以固定弦线上所受的张力，改变波源振动的频率，同样用驻波法即可算出各相应的波长。 利用坐标纸作ln ln f λ-图，求其直线斜率2k ，并由22ln ln k f C λ=+（2C 表示常数）说明λln 与ln f 的线性关系，验证横波的波长与波源振动频率的关系。 三、实验注意事项 1. 注意砝码盘本身也有质量； 2. 实验时要防止机械共振； ①刚开机时出现的50Hz 就是易共振的频率，所以开机前先关小振幅，等开机后，调节好适当的频率，再把振幅调节到最大； ②在验证横波的波长与弦线中的张力的关系实验中，加减砝码时，应把振幅调节到最小； 3. 要准确求得驻波的波长，必须在弦线上调出振幅尽可能大且稳定的驻波。在固定频率和张力的 条件下，可沿弦线方向左、右移动可动滑轮的位置，找出“近似驻波状态”，在调节移动可动滑轮附近平台上铺一张白纸作为背景(以利观察波节或波腹)，然后仔细移动可动滑轮位置，逐步逼近，最终使弦线出现振幅较大且稳定的驻波。注意防止假象的出现。 4. 注意各波节点的读数。 四、思考题 1. 形成相干波的条件是什么？ 2. 驻波节点间距与波长的关系？ 五、数据处理注意事项 1. 画图时，λln 为纵坐标，M ln 、f ln 为横坐标，作为对数值，不用标注单位； 2. 110k110100%k k E k -=?，220k220 100%k k E k -=?，1020(0.5,1)k k ==