第二章 直线和圆的方程
章末总结
体系构建
题型整合
题型1 直线的倾斜角与斜率
例1已知直线l 过P(−2,−1) ，且与以A(−4,2) ，B(1,3) 为端点的线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围为 . 答案： (−∞,−3
2
]∪[4
3
,+∞)
解析：根据题中的条件可画出图形，如图所示，
由已知得直线PA 的斜率k PA =−3
2 ，直线PB 的斜率k PB =4
3 ，由图可知，当直线l 由PB 变化到与y 轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90∘ ，故斜率的取值范围是[4
3,+∞) ；当直线l 由与y 轴平行的位置变化到PA 时，它的倾斜角由90∘ 增大到PA 的倾斜角，故斜率的变化范围是(−∞,−3
2] .
综上可知，直线l 的斜率的取值范围是(−∞,−3
2]∪[4
3,+∞) . 方法归纳
求直线的倾斜角与斜率的注意点：（1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断倾斜角的取值范围.（2）当直线的倾斜角α∈[0,π
2) 时，随着α 的增大，直线的斜率k 为
非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(π
2
,π) 时，随着α 的增大，直线的斜率k 为负值且
逐渐变大. 迁移应用
1.（2021四川绵阳南山中学高二期中）经过点P(0,−1) 作直线l ，若直线l 与以A(1,−2) ，B(2,1) 为端点的线段AB 相交，则l 的倾斜角的取值范围是( )
A.[0,π
4
] B.[π4
,
3 π
4
]
C.[3 π4,π)
D.[0,π
4]∪[3 π
4,π) 答案：D
解析：设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α ， 由题意知k PA =
−1−(−2)0−1
=−1 ，k PB =
−1−10−2=1 ，
由图可知，−1≤k ≤1 ，所以0≤α≤π4
或
3 π4
≤α＜π .
题型2 直线的方程及其应用
例2（2021重庆十八中高二期中）已知点A(−1,0) 和点B 关于直线l ：x +y −1=0 对称.
（1）若直线l 1 过点B ，且使得点A 到直线l 1 的距离最大，求直线l 1 的方程； （2）若直线l 2 过点A ，且与直线l 交于点C ，△ABC 的面积为2，求直线l 2 的方程. 答案：（1） 设点B(m,n) ，
则{−1+m 2+n
2−1=0,n m+1
=1, 解得{m =1,n =2,
所以点A(−1,0) 关于直线l ：x +y −1=0 对称的点B 的坐标为(1,2).
若直线l 1 过点B ，且使得点A 到直线l 1 的距离最大，则直线l 1 与过点A ，B 的直线垂直， 所以直线l 1 的斜率k =−1
k
AB
=−1 ，故直线l 1 的方程为y −2=−(x −1) ，即x +y −3=0 .
（2）|AB|=√(2−0)2+(1+1)2=2√2 ，因为△ABC 的面积为2， 所以△ABC 的AB 边上的高ℎ=2
√2
=√2 ，又点C 在直线l 上，直线l 与直线AB 垂直，
所以点C 到直线AB 的距离为√2 . 易知直线AB 的方程为y =x +1 ， 设C(a,b) ，则√2
=√2 ，即b =a −1 或b =a +3 ，又b =1−a ，解得{a =1,
b =0
或
{a =−1,b =2,
则直线l 2 的方程为y =0 或x =−1 . 方法归纳
求直线方程的两种方法：（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论.（2）待定系数法：设出含有参数的直线方程，由已知条件求出参数的值，即可得到所求直线方程. 迁移应用
2.（2021安徽宿州十三所重点中学高二期中）已知直线l ：2x +3y +6=0 . （1）求经过点P(2,−1) 且与直线l 平行的直线的方程；
（2）求与直线l 垂直，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3的直线方程. 答案： （1）由题意可设所求直线的方程为2x +3y +λ=0(λ≠6) .
把点P(2,−1) 代入得4−3+λ=0 ，即λ=−1 ，故所求直线的方程为2x +3y −1=0 . （2）由题意可设所求直线的方程为3x −2y +m =0 . 令y =0 ，则x =−m
3 ；
令x =0 ，则y =m
2 . 由题意知，1
2⋅|−
m
3
|⋅|m
2|=3 ， 解得m =±6 ，故所求直线的方程为3x −2y −6=0 或3x −2y +6=0 .
题型3 与圆有关的最值问题
例3已知M(m,n) 为圆C ：x 2+y 2−4x −14y +45=0 上任意一点. （1）求
n−3m+2
的最大值和最小值；
（2）求m 2+n 2 的最大值和最小值.
答案：（1）由题意知圆C 的圆心为C(2,7) ，半径r =2√2 .记点Q(−2,3) ， ∵
n−3m+2
表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y −3=k(x +2) ，即kx −y +2k +3=
0 ，
∵ 直线MQ 与圆C 有公共点， ∴
√k 2+1
≤2√2 ，
解得2−√3≤k ≤2+√3 ，
∴n−3
的最大值为2+√3，最小值为2−√3 .
m+2
（2）设μ=(m−0)2+(n−0)2，
则该式等价于点M(m,n)与原点的距离的平方，
∴μmax=(√(2−0)2+(7−0)2+r)2
，
=(√53+2√2)2
=61+4√106
μmin=(√(2−0)2+(7−0)2−r)2
，
=(√53−2√2)2
=61−4√106
∴m2+n2的最大值为61+4√106，最小值为61−4√106 .
方法归纳
（1）求x−a
型的最大值和最小值可转化为求过点(x,y)和(a,b)的直线斜率的最大值y−b
和最小值；（2）求(x−a)2+(y−b)2型的最大值和最小值可转化为求(x,y)与(a,b)的距离的最大值和最小值的平方.
迁移应用
3.（2021四川宜宾叙州二中高二月考）已知点(x,y)满足x2+y2=1，则x+y的取值范围是( )
A.[−√2,√2]
B.[−1,1]
C.[1,√2]
D.(1,√2]
答案：A
解析：设x+y=b，则圆心(0,0)到直线x+y=b的距离小于或等于半径，
≤1，
即
√12+12
解得−√2≤b≤√2，
故−√2≤x+y≤√2.
题型4 直线与圆的综合问题
例4（2021浙江湖州高二期中）如图，已知圆O:x2+y2=1，点P(t,4)为直线y=4上一点，过点P作圆O的切线，切点分别为M，N.
（1）已知t=1，求切线方程；
（2）直线MN是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；
（3）当t＞1时，两条切线分别交y轴于点A，B，连接OM，ON，记四边形PMON的面积为S1，三角形PAB的面积为S2，求S1⋅S2的最小值.
答案：（1）当切线的斜率不存在时，切线方程为x=1，符合题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y−4=k(x−1)，即kx−y−k+4=0.
由d =r 得
√k 2+1
=1 ，解得k =
158
，所以切线方程为y =
158
x +
178
.
综上，切线方程为x =1 或y =
158
x +178
.
（2）由题意得M ，N 在以点P 为圆心，切线长PM 为半径的圆上， 则圆P ：(x −t)2+(y −4)2=t 2+15 ，
联立得{(x −t)2+(y −4)2=t 2+15,x 2+y 2=1,
化简得tx +4y −1=0 ，则{x =0,
4y −1=0, 解得
{
x =0,
y =14
,
所以直线MN 过定点(0,1
4) .
（3）连接PO ，易知S 1=2S △PMO =2×1
2|PM|⋅|OM|=√t 2+15 ，
设l PM :y −4=k 1(x −t) ，l PN :y −4=k 2(x −t) ，
则A(0,4−k 1t) ，B(0,4−k 2t) ，∴|AB|=|k 1−k 2|t ，∴S △PAB =1
2|AB|⋅t =1
2|k 1−k 2|⋅t 2 . 过点P 作圆O 的切线方程记为y −4=k(x −t) ， 即kx −y −kt +4=0 ， 由d =r 得
√k 2+1
=1 ，整理得(t 2−1)k 2−8tk +15=0, 则该方程的两根为k 1 ，k 2 ，
所以k 1+k 2=8t
t 2−1 ，k 1⋅k 2=15
t 2−1 ， 则|k 1−k 2|=√(k 1+k 2)2−4k 1k 2=2√t 2+15t 2−1
，
所以S 2=
√t 2+15⋅t 2
t 2−1
，则S 1⋅S 2=
t 2(t 2+15)t 2−1
(t >1) ，
令m =t 2−1 ，则S 1⋅S 2=
(m+1)(m+16)
m
=m +16m
+17≥2√m ⋅
16m
+17=25 ，
当且仅当m =4 ，即t =√5 时，等号成立， 所以(S 1⋅S 2)min =25 . 方法归纳
解决平面几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决；二是将曲线中的最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用配方法、判别式法、函数单调性法以及基本不等式法求解. 迁移应用
4.已知圆O:x 2+y 2=2 ，直线l:y =kx −2 .
（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB =π
2 ，求k 的值；
（2）若k=1
2
，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，试问：直线CD是否过定点？请说明理由.
答案：（1）根据题意，圆O的圆心为O(0,0)，半径r=√2，
若直线l与圆O交于不同的两点A，B，且∠AOB=π
2，则点O到l的距离d=√2
2
r=1，
所以
√k2+1
=1，解得k=±√3.
（2）由题意可知O、P、C、D四点在以OP为直径的圆上，
设P(t,1
2t−2)，则以OP为直径的圆的方程为x(x−t)+y(y−1
2
t+2)=0，
即x2+y2−tx−(1
2
t−2)y=0，又C、D在圆O：x2+y2=2上，即直线CD为两个圆
的公共弦所在的直线，则直线CD的方程为tx+(1
2t−2)y−2=0，即(x+y
2
)t−2(y+1)=
0，
令{x+y
2
=0,
y+1=0,可得{
x=1
2
,
y=−1,
即直线CD过定点(1
2
,−1).
题型5 直线与圆的方程的应用
例5 （2021江苏南京田家炳高级中学高二检测）如图，某海面上有O、A、B三个小
岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45∘方向且距O岛40√2千米处，B岛在O 岛的正东方向且距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.圆C经过O、A、B三点.
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船在O岛的南偏西30∘方向且距O岛40千米的D处，正沿着北偏东45∘方向行驶，若不改变方向，试问：该船有没有触礁的危险？请说明理由. 答案：（1）由题意得A(40,40)、B(20,0)，
设过O、A、B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2−4F>0)，
则{F=0,
402+402+40D+40E+F=0,
202+20D+F=0,
解得D=−20，E=−60，F=0，所以圆C的方程为x2+y2−20x−60y=0. （2）由题意得D(−20,−20√3)，且该船的航线所在的直线l的斜率为1，
故该船的航线为直线l：x−y+20−20√3=0，
由（1）知圆心为C(10,30) ，半径r =10√10 ， 因为圆心C 到直线l 的距离d =√3|
√12+12
=10√6<10√10 ，所以该船有触礁的危险.
方法归纳
直线与圆的方程的应用，一般先建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示点，把直线和圆看成满足某种条件的点的集合或轨迹，再用直线和圆上的点的坐标(x,y) 满足的方程表示直线和圆，通过研究方程，解决实际问题. 迁移应用
5.树林的边界是直线l （如图CD 所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l 的垂线AC 上的点A 和点B 处，|AB|=|BC|=a （a 为正常数），若兔子沿AD 方向以速度2μ 向树林逃跑，同时狼沿BM(M ∈AD) 方向以速度μ 进行追击（μ 为正常数），如果狼到达M 处的时间不多于兔子到达M 处的时间，那么狼就会吃掉兔子.
（1）求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积S(a) ； （2）若兔子要想不被狼吃掉，求θ(θ=∠DAC) 的取值范围. 答案：（1）如图，建立平面直角坐标系，
则A(0,2a) ，B(0,a) ，设M(x,y) ， 由
|BM|μ
≤
|AM|2μ
得x 2+(y −
2a 3)2≤4a 29
，
∴M 在以(0,2a
3
) 为圆心，2a
3 为半径的圆上及其内部， ∴S(a)=
4a 29
π .
（2）设l AD :y =kx +2a(k ≠0) ， 由兔子要想不被狼吃掉得
|2a−
2a
3|√1+k 2
2a
3 ，
解得k ∈(−√3,0)∪(0,√3) ， ∴0<∠ADC <π
3 ，∴θ∈(π6,π
2) .
高考链接
1.（2020课标Ⅰ文，6，5分）已知圆x2+y2−6x=0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：B
解析：根据题意，将圆的方程化为(x−3)2+y2=9，所以圆心为C(3,0)，半径为3，设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，弦长最短，此时|CP|=√(3−1)2+(0−2)2=2√2，所以弦长的最小值为2√9−|CP|2=2.
2.（2020北京，5，4分）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
答案：A
解析：设圆心为C(x,y)，则√(x−3)2+(y−4)2=1，化简得(x−3)2+(y−4)2=1，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，所以|OC|≥|OM|−1=√32+42−1=4，所以|OC|≥4，当且仅当C是线段OM与圆M的交点时取等号，故选A.
3.（2020课标Ⅱ理，5，5分）若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为( )
A.√5
5B.2√5
5
C.3√5
5
D.4√5
5
答案：B
解析：由题意可知该圆的圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(a,a)，则圆的半径为a，
所以圆的标准方程为(x−a)2+(y−a)2=a2. 由题意可得(2−a)2+(1−a)2=a2，
整理得a2−6a+5=0，
解得a=1或a=5，
所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，
则圆心(1,1)到直线2x−y−3=0的距离d1=
√5=2√5
5
，圆心(5,5)到直线2x−y−
3=0的距离d2=
√5=2√5
5
，
所以圆心到直线2x −y −3=0 的距离为
2√5
5
.
4.（2020天津，12，5分）已知直线x −√3y +8=0 和圆x 2+y 2=r 2(r ＞0) 相交于A ，B 两点.若|AB|=6 ，则r 的值为 . 答案： 5
解析：圆心(0,0)到直线x −√3y +8=0 的距离d =
√1+3
=4 ，
由|AB|=2√r 2−d 2 可得6=2√r 2−42 ，解得r =5 .
5.（2018江苏，12，5分）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y =2x 上在第一象限内的点，B(5,0) ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ，则点A 的横坐标为 . 答案：3
解析：设A(a,2a)(a ＞0) ，则由圆心C 为AB 的中点得C(a+52
,a) ，
易得圆C ：(x −5)(x −a)+y(y −2a)=0 ， 与y =2x 联立解得点D 的横坐标为x D =1 ，
所以D(1,2) .所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5−a,−2a) ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−a+52
,2−a) ， 由AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 得(5−a)(1−a+52
)+(−2a)⋅(2−a)=0 ，整理得a 2−2a −3=0 ，解得a =3 或a =−1 （舍去）.
6.（2019浙江，12，6分）已知圆C 的圆心坐标是(0,m) ，半径长是r .若直线2x −y +3=0 与圆C 相切于点A(−2,−1) ，则m = ，r = . 答案：-2; √5
解析：由题意可知k AC =−1
2⇒ 直线AC 的方程为y +1=−1
2(x +2) ， 把(0,m) 代入得m =−2 .此时r =|AC|=√4+1=√5 .
第二章 直线和圆的方程 章末总结 体系构建 题型整合 题型1 直线的倾斜角与斜率 例1已知直线l 过P(−2,−1) ，且与以A(−4,2) ，B(1,3) 为端点的线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围为 . 答案： (−∞,−3 2 ]∪[4 3 ,+∞) 解析：根据题中的条件可画出图形，如图所示， 由已知得直线PA 的斜率k PA =−3 2 ，直线PB 的斜率k PB =4 3 ，由图可知，当直线l 由PB 变化到与y 轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90∘ ，故斜率的取值范围是[4 3,+∞) ；当直线l 由与y 轴平行的位置变化到PA 时，它的倾斜角由90∘ 增大到PA 的倾斜角，故斜率的变化范围是(−∞,−3 2] . 综上可知，直线l 的斜率的取值范围是(−∞,−3 2]∪[4 3,+∞) . 方法归纳
求直线的倾斜角与斜率的注意点：（1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断倾斜角的取值范围.（2）当直线的倾斜角α∈[0,π 2) 时，随着α 的增大，直线的斜率k 为 非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(π 2 ,π) 时，随着α 的增大，直线的斜率k 为负值且 逐渐变大. 迁移应用 1.（2021四川绵阳南山中学高二期中）经过点P(0,−1) 作直线l ，若直线l 与以A(1,−2) ，B(2,1) 为端点的线段AB 相交，则l 的倾斜角的取值范围是( ) A.[0,π 4 ] B.[π4 , 3 π 4 ] C.[3 π4,π) D.[0,π 4]∪[3 π 4,π) 答案：D 解析：设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α ， 由题意知k PA = −1−(−2)0−1 =−1 ，k PB = −1−10−2=1 ， 由图可知，−1≤k ≤1 ，所以0≤α≤π4 或 3 π4 ≤α＜π . 题型2 直线的方程及其应用 例2（2021重庆十八中高二期中）已知点A(−1,0) 和点B 关于直线l ：x +y −1=0 对称. （1）若直线l 1 过点B ，且使得点A 到直线l 1 的距离最大，求直线l 1 的方程； （2）若直线l 2 过点A ，且与直线l 交于点C ，△ABC 的面积为2，求直线l 2 的方程. 答案：（1） 设点B(m,n) ， 则{−1+m 2+n 2−1=0,n m+1 =1, 解得{m =1,n =2, 所以点A(−1,0) 关于直线l ：x +y −1=0 对称的点B 的坐标为(1,2). 若直线l 1 过点B ，且使得点A 到直线l 1 的距离最大，则直线l 1 与过点A ，B 的直线垂直， 所以直线l 1 的斜率k =−1 k AB =−1 ，故直线l 1 的方程为y −2=−(x −1) ，即x +y −3=0 . （2）|AB|=√(2−0)2+(1+1)2=2√2 ，因为△ABC 的面积为2， 所以△ABC 的AB 边上的高ℎ=2 √2 =√2 ，又点C 在直线l 上，直线l 与直线AB 垂直，
第2章直线和圆的方程章末重难点归纳总结
重点一 直线的倾斜角与斜率 【例1-1】（2022·全国·高二课时练习）已知两点()1,2A -，()2,1B ，直线l 过点()0,1P -且与线段AB 有交点，则直线l 的倾斜角的取值范围为（ ） A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．ππ30,,42π4⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 【答案】C 【解析】如图所示，直线PA 的斜率21110 PA k -+= =--，直线PB 的斜率11 120PB k += =-． 由图可知，当直线l 与线段AB 有交点时，直线l 的斜率[]1,1k ∈-， 因此直线l 的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫ ⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ ． 故选：C
【例1-2】（2022·江苏·高二）下列命题中，错误的是______．（填序号） ①若直线的倾斜角为α，则(0,)απ∈； ①若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大； ①若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α． 【答案】①①① 【解析】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为α，则[0,)απ∈，所以①错误； 对于①中，当倾斜角[0,)2π α∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，且0k >； 当倾斜角(,)2 π απ∈，直线的倾斜角越大，则直线的斜率k 越大，但0k <，所以①错误； 对于①中，根据直线斜率的概念，可得当[0,)απ∈且2 πα≠时，直线的斜率为tan k α=，所以①错误. 故答案为：①①①. 【一隅三反】 1．（2022·全国·高二课时练习）（多选）若经过()1,1A a a -+和()3,B a 的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的值可能为（ ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2 【答案】BCD 【解析】由题意得11 0132AB a a k a a +-= =<----，即20a +>，所以2a >-，故选：BCD ． 2．（2022·黑龙江黑河）直线l 经过点()1,1P -和以()()3,1,3,2M N -为端点的线段相交，直线l 斜率的取值范围是（ ） A ．3,2⎛ ⎤-∞ ⎥⎝ ⎦ B ．1,2⎡⎫ -+∞⎪⎢⎣⎭ C ．13,22⎡⎤ -⎢⎥⎣⎦ D ．13,,22⎛⎤⎡⎫ -∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
第2章 直线和圆的方程 §2.1直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角与斜率： 倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，以x 轴为基准，x 轴正向和直线l 向上的方向之间所成的角α叫直线的倾斜角，取值范围为0180α︒︒≤<. 斜率：直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用k 来表示. 斜率k 公式：如果直线经过两点()11122212(,),(,),P x y P x y x x ≠,则1 212tan x x y y k --==α. 直线的方向向量：斜率为k 的直线的一个方向向量是()1,k ,若斜率为k 的直线的一个方向向量的坐标为(,)x y ，则y k x =. 2.两条直线平行和垂直的判定 斜率分别为12k k ，的两条不重合的直线12,l l ，有1212//l l k k ⇔=. 斜率分别为12k k ，的两条直线12,l l ，有12121l l k k ⊥⇔=-. §2.2 直线的方程 1.直线方程： ⑴点斜式：()00x x k y y -=-（不能表示斜率不存在的直线） ⑵斜截式：b kx y +=（不能表示斜率不存在的直线，b 是直线与y 轴的交点纵坐标（即y 轴上的截距）） ⑶两点式：1112122121 (,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠-- ⑷截距式： 1x y a b +=（,a b 是直线在,x y 轴上的截距，且0,0a b ≠≠） ⑸一般式：0=++C By Ax （,A B 不同时为0） 2.给定直线方程判断直线的位置关系： （一）对于直线222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有： ⑴⎩⎨⎧≠=⇔21 2121//b b k k l l ； ⑵1l 和2l 相交12k k ⇔≠； ⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔21 21b b k k ； ⑷12121-=⇔⊥k k l l .
第二章 直线和圆的方程知识梳理 1.直线的倾斜角和斜率 ⑴直线倾斜角的范围为___________. ⑵直线的斜率k =_________. ⑶过两点()()111222,,,P x y P x y ()12x x ≠的直线的斜率k =_________. ⑷.不重合且斜率存在的两条直线1l 、2l ，① 1l ∥2l ⇔_________；② 1l ⊥2l ⇔_________。 2.直线的方程 ⑴.点斜式方程为___________.⑵斜截式方程为___________. ⑶.两点式方程为___________.⑷截距式方程为___________. ⑸.一般式方程为___________. 3.距离公式 ⑴.表示过1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=交点的直线系方程为___________. ⑵.两点()()111222,,,P x y P x y 间的距离公式为________________________________. ⑶.点()000,P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离为____________________________. ⑷.两条平行直线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间的距离为_________________. 4.两条直线1111:0l A x B y C ++=与2222:0l A x B y C ++=， ⑴1l 与2l 相交⇔_________________； ⑵1l ∥2l ⇔_______________________________； ⑶1l ⊥2l ⇔__________________________. 5．三种常见的对称问题 (1)点关于点的对称 点P (x 0，y 0)关于点M (a ，b )的对称点为P ′________________． (2)点关于直线的对称 若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，则由方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧ A ·x 1＋x 22＋ B ·y 1＋y 22＋ C ＝0， 可得点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中A ≠0，x 1≠x 2)． (3)线关于点、线的对称 线是点构成的集合，直线的方程是直线上任一点P (x ，y )的坐标x ，y 满足的表达式，故求直线关于点、线的对称，可转化为求该直线上任一点关于点、线的对称．
2.4.2 圆的一般方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点) 2.会在不同条件下求圆的一般方程．(重点) 1. 通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养. 2. 通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养. (1)把(x －a )2 ＋(y －b )2 ＝r 2 展开是一个什么样的关系式？ (2)把x 2 ＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程一定表示圆吗？在什么条件下一定表示圆？ 这就是今天我们将要研究的问题． 圆的一般方程 (1)圆的一般方程的概念 当D 2 ＋E 2 －4F ＞0时，二元二次方程x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程． 其中圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2 ，－E 2，圆的半径为r ＝12D 2＋E 2 －4F . (2)对方程x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的讨论 ①D 2 ＋E 2 －4F ＞0时表示圆． ②D 2 ＋E 2 －4F ＝0时表示点⎝ ⎛⎭⎪⎫ －D 2，－E 2. ③D 2 ＋E 2 －4F ＜0时，不表示任何图形． 思考：方程Ax 2 ＋Bxy ＋Cy 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？ [提示]A ＝C ≠0，B ＝0且D 2 ＋E 2 －4F ＞0. 1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)方程x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆．( ) (2)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系．( ) (3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化．( )
2.2.3 直线的一般式方程 课标解读 课标要求 素养要求 1.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系. 2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化. 3.能用直线的一般式方程解决有关问题. 1.数学抽象——根据一般式方程与二元一次方程抽象出两者的关系. 2.逻辑推理——能够通过推理，进行直线的一般式方程与特殊形式的转化. 自主学习·必备知识 教材研习 教材原句 定义：关于x,y 的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于x,y 的二元一次方程 Ax +By +C =0 （其中A,B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称 一般式 . 自主思考 当A =0 或B =0 或C =0 时，方程Ax +By +C =0 分别表示什么样的直线？ 提示 若A =0 ，则y =−C B ，表示与y 轴垂直的一条直线；若B =0 ，则x =−C A ，表示 与x 轴垂直的一条直线；若C =0 ，则Ax +By =0 ，表示过原点的一条直线. 名师点睛 1.直线的一般式方程的结构特征 （1）方程是关于x,y 的二元一次方程. （2）方程中等号的左侧自左向右一般按x,y ，常数的顺序排列. （3）x 的系数一般不为分数和负数. （4）虽然直线的一般式方程有三个参数，但是只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 2.直线的一般式方程与特殊形式的互化 3.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 直线l 1 ：A 1x +B 1y +C 1=0 （A 1,B 1 不同时为0），直线l 2 ：A 2x +B 2y +C 2=0 （A 2,B 2 不同时为0） .
圆的一般方程 【学习目标】 1.圆的一般方程的概念 当时,二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程． 其中圆心为,圆的半径为r ＝. 2.对方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的讨论 ①D 2＋E 2－4F ＞0时表示圆． ②D 2＋E 2－4F ＝0时表示点. ③D 2＋E 2－4F ＜0时,不表示任何图形． 思考：方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？ 【小试牛刀】 1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( ) 2.二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0一定是某个圆的方程.( ) 3.若方程x 2＋y 2－2x ＋Ey ＋1＝0表示圆,则E ≠0.( ) 4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.( ) 【经典例题】 题型一圆的一般方程的认识 注意：判断方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是否表示圆,关键是将其配方⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2 －4F 4,最后转化为判断D 2＋E 2 －4F 的正负问题． 例1 若方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆,则a 的取值范围是________． [跟踪训练]1下列方程各表示什么图形？若表示圆,求出其圆心坐标和半径长． ①x 2＋y 2－4x ＝0；②2x 2＋2y 2－3x ＋4y ＋6＝0；③x 2＋y 2＋2ax ＝0.
题型二求圆的一般方程 注意：确定圆的方程的主要方法是待定系数法,即列出关于a,b,r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为： (1)根据题意,设所求的圆的标准方程为(x―a)2＋(y―b)2＝r2(r＞0)； (2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组； (3)解方程组,求出a,b,r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程 例2 已知△ABC的三个顶点为A(1,4),B(－2,3),C(4,－5),求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． [跟踪训练]2 已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0,圆心在直线x＋y－1＝0上,且圆心在第二象限,半径长为2,求圆的一般方程． 题型三与圆有关的轨迹问题 注意：求涉及到曲线的轨迹问题时,一般有两种方法：一是直接法,即把动点满足的条件直接用坐标“翻译”过来的方法；二是代入法,代入法也叫相关点法,就是把动点(x,y)与相关点(x0,y0)建立等式,再把x0,y0用x,y 表示后代入到它所满足的曲线的方法．解题时要注意条件的限制． 例3 点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； [思路探究](1)设点P坐标→用P，A坐标表示点M坐标→求轨迹方程
高一数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》章末练习题卷（共22题） 一、选择题（共10题） 1.已知直线l过点(1,2)且到点A(3,3)和B(5,7)的距离相等，求直线l的方程． 情况二、直线l过线段AB的中点(5,7)，直线l的方程为( ) A．3 2B．5 4 C．5x−4y+3=0D．3x−2y+1=0 2.已知直线l过点(2,1)和点(4,0)，则直线l的斜率为( ) A．−2B．−1 2C．1 2 D．2 3.“m=4 3 ”是“直线x−my+4m−2=0与圆x2+y2=4相切”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 4.已知实数x，y满足x2+y2+4x−6y+12=0，则y的最小值是( ) A．4B．2C．−1D．−3 5.直线ax+by+a+b=0(ab≠0)和圆x2+y2−2x−5=0的交点个数为( ) A．0B．1C．2D．与a，b有关 6.对于平面直角坐标系内的任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：∣∣AB∣∣=∣x2−x1∣+∣y2−y1∣．给出下列三个命题： ①若点C在线段AB上，则∣∣AC∣∣+∣∣CB∣∣=∣∣AB∣∣； ②在△ABC中，∣∣AC∣∣+∣∣CB∣∣>∣∣AB∣∣； ③在△ABC中，若∠A=90∘，则∣∣AB∣∣2+∣∣AC∣∣2=∣∣BC∣∣2． 其中错误的个数为( ) A．0B．1C．2D．3 7.圆x2+y2−2x=0与圆x2+y2+4y=0的位置关系是( ) A．相离B．外切C．相交D．内切 8.圆(x−2)2+(y+3)2=2上的点与点(0,−5)的最大距离为( ) A．√2B．2√2C．4√2D．3√2 9.阿波罗尼斯（约公元前262∼190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k
圆的方程 考点一 圆的方程 【例1】（1）（2019·河北新华.石家庄二中高一期末）过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20 x y +-=
上的圆的方程是（） A ．()()22 314x y -++= B ．()()22 314x y ++-= C ．()()2 2 114x y -+-= D ．()()2 2 114x y +++= （2）（2020·海林市朝鲜族中学高一期末）圆心为()3,1，半径为5的圆的标准方程是（ ） A ．()()22 315x y +++= B ．()()22 3125x y +++= C ．()()2 2 315x y -+-= D ．()()2 2 3125x y -+-= 【答案】（1）C （2）D 【解析】（1）本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线20x y +-=上，排除B 、D ， 点()1,1B -在圆上，排除A 故选C （2）∵所求圆的圆心为()3,1，半径为5，∴所求圆的标准方程为：()()2 2 3125x y -+-=， 故选：D . 【一隅三反】 1．（2020·河南濮阳.高一期末（理））设(2,1),(4,1)A B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ） A ．2 2 (3)2x y -+= B ．2 2 (3)8x y -+= C ．2 2 (3)2x y ++= D ．2 2 (3)8x y ++= 【答案】A 【解析】AB 的中点坐标为(3,0)，圆的半径为||2AB r === 所以圆的方程为22 (3)2x y -+=.故选：A.
2．（2020·广东东莞四中高一月考）圆心为()1,2-，且与x 轴相切的圆的标准方程为（ ） A ．()()2 2 122x y -+=+ B ．()()22 124x y -++= C ．()()2 2 122x y ++-= D ．()()2 2 124x y ++-= 【答案】B 【解析】因为圆心为()1,2-，圆与x 轴相切，所以圆的半径为2， 所以圆的标准方程为()()2 2 124x y -++=，故选：B 3．（2020·河北运河.沧州市一中高一期末）已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ∆外接圆的圆心坐标为( ) A ．()5,2 B ．()5,2- C ．()2,5 D ．()5,2- 【答案】A 【解析】线段AB 中点坐标为()2,5，线段AB 斜率为 64 131 -=-，所以线段AB 垂直平分线的斜率为1-，故线段AB 的垂直平分线方程为()52y x -=--，即7y x =-+. 线段AC 中点坐标为()2,3，线段AC 斜率为 60331-=-，所以线段AC 垂直平分线的斜率为1 3 -，故线段AC 的垂直平分线方程为()1 323y x -=--，即11133 y x =-+. 由7 5111233y x x y y x =-+⎧=⎧⎪ ⇒⎨⎨ ==-+⎩⎪⎩ .所以ABC ∆外接圆的圆心坐标为()5,2.故选：A 考点二 根据圆的方程求参数 【例2】（2020·西夏.宁夏大学附属中学高一期末）方程x 2 ＋y 2 ＋ax ＋2ay ＋2a 2 ＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是( ) A ．a <－2或a >23 B ．－ 2 3 解得223a -<<， 选D.
2.4 圆的方程 2.4.1 圆的标准方程 学习目标核心素养 1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点) 2.会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点) 3.能准确判断点与圆的位置关系．(易错点) 通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养. “南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑．该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米． 请问游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系？ 1．圆的标准方程 (1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． (2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示． (3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆． 思考：平面内确定圆的要素是什么？ [提示]圆心坐标和半径．
2．点与圆的位置关系 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝x0－a2＋y0－b2. 位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点 点在圆外d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 点在圆上d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆．( ) (2)若圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝m2(m≠0)，则圆心为(a，b)，半径为m.( ) (3)圆心是原点的圆的标准方程是x2＋y2＝r2(r＞0)．( ) [提示](1)×(2)×(3)√ 2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是( ) A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3 C．(－2,3)， 2 D．(2，－3)， 2 D[由圆的标准方程可得圆心为(2，－3)，半径为 2.] 3．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是( ) A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝ 2 B[以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.] 4．已知点P(1，－1)在圆(x＋2)2＋y2＝m的内部，则实数m的取值范围是________．m＞10[由条件知(1＋2)2＋(－1)2＜m，解得m＞10.] 点与圆的位置关系
第2课时直线与圆的方程的应用 学习任务核心素养 1.能用直线和圆的方程解决一些简单的 数学问题与实际问题．(重点) 2.会用“数形结合”的数学思想解决问题．(难点) 通过直线与圆的位置关系的应用，提升直观想象、数学运算及逻辑推理素养. 有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m．当水面下降1 m后，水面宽多少米？ 如何才能正确地解决上述问题？ 知识点用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题． 第二步：通过代数运算，解决代数问题． 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论． 一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是() A．x2＋y2＝25 B．x2＋y2＝25(y≥0) C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0) D．随建立直角坐标系的变化而变化 D[没有建立平面直角坐标系，因此圆的方程无法确定，故选D．]
类型1 直线与圆的方程的实际应用 【例1】 (对接教材P 93例题)某圆拱桥的水面跨度为20 m ，拱高为4 m ．现有一船，宽10 m ，水面以上高3 m ，这条船能否从桥下通过？ [解] 建立如图所示的坐标系，使圆心C 在y 轴上．依题意，有 A (－10,0)， B (10,0)，P (0,4)，D (－5,0)，E (5,0)． 设这座圆拱桥的拱圆的方程是 x 2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 102＋b 2＝r 2，02＋(b －4)2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－10.5，r ＝14.5， 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52(0≤y ≤4)． 把点D 的横坐标x ＝－5代入上式，得y ≈3.1. 由于船在水面以上高3 m,3<3.1， 所以该船可以从桥下通过． 试总结应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤． [提示] (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知； (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素； (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知； (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． [跟进训练] 1．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km
直线方程 考点一点斜式方程 【例1】（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）经过点(1,2)，且倾斜角为30 的直线方程
是（ ）． A ．21)3 y x += + B ．21)y x -=- C 360y -+-= D 20y -+ 【答案】C 【解析】因为直线倾斜角为30︒，故直线斜率为30tan ︒=.故直线方程为：)21y x -=-， 360y -+-=.故选：C . 【一隅三反】 1．（2019·伊美区第二中学高二月考（理））经过点（3-，2），倾斜角为60°的直线方程是（ ） A ．23)y x += - B ．23)y x -= + C ．23)y x -=+ D ．23)y x += - 【答案】C 【解析】由直线的倾斜角为60︒，得到直线的斜率tan 60k =︒=()32-， 则直线的方程为)23y x -=+故选C 2．（2020·海林市朝鲜族中学高一期末）过点P （4，－1）且与直线3x －4y ＋6＝0垂直的直线方程是（ ） A ．4x ＋3y －13＝0 B ．4x －3y －19＝0 C ．3x －4y －16＝0 D ．3x ＋4y －8＝0 【答案】A 【解析】因为两直线垂直，直线3x ﹣4y+6=0的斜率为34，所以所求直线的斜率k=﹣4 3 则直线方程为y ﹣（﹣1）=﹣4 3 （x ﹣4），化简得4x+3y ﹣13=0故选：A ． 考点二 斜截式方程 【例2】（2019·福建高三学业考试）已知直线l 的斜率是1，且在y 轴上的截距是1-，则直线l 的方程是（ ）
A ．1y x =-- B ．1y x =-+ C ．1y x =- D ．1y x =+ 【答案】C 【解析】直线l 的斜率为1k =，且在y 轴上的截距为1-，所以直线l 的方程为1y x =-．故选：C ． 【一隅三反】 1．（2020·元氏县第一中学）倾斜角为135,在y 轴上的截距为1-的直线方程是 A ．10x y -+= B ．10x y --= C ．10x y +-= D ．10x y ++= 【答案】D 【解析】倾斜角135θ=tan 1k θ∴==-，直线方程截距式110y x x y =--∴++= 考点三 两点式方程 【例·】（2020·巴楚县第一中学高一期末）已知点()1,2A ，()1,2B --，则直线AB 的方程是________. 【答案】20x y -= 【解析】直线的两点式方程为 11 2121 x x y y x x y y --=--，代入()1,2A ，()1,2B --，得 12 12 12x y --=----，整理得直线AB 的方程是20x y -=.故答案为: 20x y -=. 【一隅三反】 1．（2019·平罗中学高二月考（文））过()1,2，()5,3的直线方程是（ ） A ． 21 5131 y x --=-- B ． 21 3251 y x --=-- C ． 13 5153 y x --=-- D ． 23 5223 x y --=-- 【答案】B 【解析】因为所求直线过点()1,2，()5,3，所以322511-=---y x ，即21 3251 y x --=--. 故选：B 2．（2019·广东清新.恒大足球学校高三期中）过点（4，－2）和点（－1，3）的直线方程为____________. 【答案】20x y +-= 【解析】由题意可知，直线过点()4,2-和点()1,3-， 由两点坐标，求得斜率() 32114 k --= =---，
章末检测(二) 直线和圆的方程 (时间：120分钟 满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知过点M (－2，a )，N (a ，4)的直线的斜率为－1 2，则|MN |＝( ) A ．10 B ．180 C ．6 3 D ．6 5 解析：选D 由k MN ＝ a －4－2－a ＝－1 2，解得a ＝10，即M (－2，10)，N (10，4)，所以|MN | ＝（－2－10）2＋（10－4）2＝65，故选D. 2．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：选D 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为⎝⎛⎭⎫a ，－3 2b ，由于圆心位于第三象限，所以a <0，b >0.直线方程x ＋ay ＋b ＝0可化为y ＝－1a x －b a .因为－1 a >0，－ b a >0，所以直线不经 过第四象限． 3．经过点(1，0)且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 解析：选B 由⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1， y ＝1，即所求圆的圆心坐标为(1，1)．由该圆过点(1，0)，得其半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. 4．如果圆x 2＋y 2＋ax ＋by ＋c ＝0(a ，b ，c 不全为零)与y 轴相切于原点，那么( ) A ．a ＝0，b ≠0，c ≠0 B ．b ＝c ＝0，a ≠0 C ．a ＝c ＝0，b ≠0 D ．a ＝b ＝0，c ≠0
2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.1 两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离公式 学习目标核心素养 1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交 点坐标．(重点) 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置 关系．(难点) 3.掌握两点间距离公式并会应用．(重点) 1. 通过两直线交点坐标的学习，提升数学 运算、直观想象的数学素养. 2. 通过两点间距离学习，培养逻辑推理和 直观想象的数学素养. 点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0上，那么我们会有Ax0＋By0＋C＝0，若P(x0，y0)，同时在两条直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0上时，我们会有A i x0＋B i y0＋C i＝0(i＝1,2)，那么点P就是这两条直线的交点． 下面我们就来研究两直线的交点问题． 1．两条直线的交点坐标 几何元素及关系代数表示 点A A(a，b) 直线l l：Ax＋By＋C＝0 点A在直线l上Aa＋Bb＋C＝0 直线l1与l2的交点是A 方程组 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧A1x＋B1y＋C1＝0 A2x＋B2y＋C2＝0 的解是 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧x＝a y＝b 111111222222 的位置关系如表所示： 方程组 ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧A1x＋B1y＋C1＝0 A2x＋B2y＋C2＝0 的解一组无数组无解 直线l1和l2公共点的个数一个无数个零个 直线l1和l2的位置关系相交重合平行 (1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 |P1P2|＝x2－x12＋y2－y12.
(2)两点间距离的特殊情况 ①原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2 ＋y 2 . ②当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. ③当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|. 思考：两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式是否可以写成|P 1P 2|＝ x 1－x 2 2 ＋y 1－y 2 2 的形式？ [提示] 可以，原因是x 2－x 1 2 ＋y 2－y 1 2 ＝x 1－x 2 2 ＋y 1－y 2 2 ，也就是 说公式中P 1，P 2两点的位置没有先后之分． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解，则两条直线相交． ( ) (2)若两条直线的斜率都存在且不等，则两条直线相交． ( ) (3)已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|. ( ) (4)已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. ( ) [提示] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ 2．直线x ＝1和直线y ＝2的交点坐标是( ) A ．(2,2) B ．(1,1) C ．(1,2) D ．(2,1) C [由⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＝1，y ＝2 得交点坐标为(1,2)，故选C.] 3．已知△ABC 的顶点A (2,3)，B (－1,0)，C (2,0)，则△ABC 的周长是( ) A ．2 3 B ．3＋2 3 C ．6＋3 2 D ．6＋10 C [|AB |＝ 2＋1 2 ＋32 ＝32，|BC |＝ 2＋1 2 ＋0＝3，|AC |＝2－2 2 ＋32 ＝ 3，则△ABC 的周长为6＋3 2.] 4．若直线x －ay ＋1＝0与直线x ＋y －1＝0的交点在y 轴上，则a 的值是________． 1 [直线x ＋y －1＝0与y 轴的交点为(0,1)，把(0,1)代入x －ay ＋1＝0的－a ＋1＝0解得a ＝1.] 两条直线的交点问题 (1)l 1：2x －y ＝7和l 2：3x ＋2y －7＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0和l 2：4x －12y ＋8＝0；
章末综合测评(二) 直线和圆的方程 (满分：150分 时间：120分钟) 一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若直线经过A (1,0)，B (4， 3)两点，则直线AB 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° A [由A ， B 的坐标得k AB ＝3－04－1＝3 3，因此直线AB 的倾斜角为30°，故选A ．] 2．过点P (－1，3)且倾斜角为30°的直线方程为( ) A ．3x －3y ＋43＝0 B ．3x －y ＋23＝0 C ．3x －3y ＋23＝0 D ． 3x －y ＝0 A [由倾斜角为30°知，直线的斜率k ＝ 3 3 ， 因此，其直线方程为y －3＝ 3 3 (x ＋1)， 化简得， 3x －3y ＋4 3＝0，故选A ．] 3．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( ) A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0D ．x －2y ＋3＝0 A [结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为－12，直线方程为y －2＝－1 2 (x －1)，即x ＋2y －5＝0.] 4．过点(2,0)且与直线2x －4y －1＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0B ．2x ＋y －4＝0
C ．x －2y －2＝0 D ．x ＋2y －2＝0 C [直线2x －4y －1＝0的斜率为k ＝12，故过点(2,0)的直线方程为y －0＝1 2(x －2)，化简 得x －2y －2＝0.] 5．经过点(1,0)且圆心是两直线x ＝1与x ＋y ＝2的交点的圆的方程为( ) A ．(x －1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 B [由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1， y ＝1， 即所求圆的圆心坐标为(1,1)．由该圆过点(1,0)，得其半 径为1，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.] 6．若直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a ＝( ) A ．2或－1B ．－1 C ．2D ．23 B [依题意得，⎩ ⎪⎨⎪⎧ a a －1－2×1＝0，① 2a 2 －1－6a －1≠0，② 解①得，a ＝－1或a ＝2， 因为a ＝－1适合不等式②，a ＝2不适合②， 所以a ＝－1，故选B ．] 7．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0与圆C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋a ＝0，若圆C 1与圆C 2有且仅有一个公共点，则实数a ＝( ) A ．14 B ．34 C ．14或45 D ．34或14
第2章直线和圆的方程 [巩固层·知识整合] [提升层·题型探究] (教师独具) 直线的倾斜角与斜率lααl k A．－3＜k≤0 B．k＞－ 3 C．k≥0或k＜－ 3
D ．k ≥0或k ＜－ 33 (2)某直线l 的倾斜角α＝45°，又P 1(2，y 1)，P 2(x 2,5)，P 3(3,1)是此直线上的三点，求 x 2，y 1的值． (1)C [通过画图可知k ＜－3或k ≥0.应选C.] (2)[解] 由α＝45°，故直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1， 又P 1，P 2，P 3都在此直线上，故kP 1P 2＝kP 2P 3＝k l ， 即 5－y 1x 2－2＝1－5 3－x 2 ＝1，解得x 2＝7，y 1＝0. 求直线的倾斜角与斜率的注意点 (1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x 轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的X 围． (2)当直线的倾斜角α∈[0°，90°)时，随着α的增大，直线的斜率k 为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈(90°，180°)时，随着α的增大，直线的斜率k 为负值且逐渐变大． [跟进训练] 1．直线ax ＋y ＋2＝0及两点P (－2,1)，Q (3,2)，假设直线与线段PQ 相交，那么实数a 的取值X 围是( ) A ．a ≤－43或a ≥32 B ．a ≤－32或a ≥4 3 C ．－43≤a ≤3 2 D ．－32≤a ≤4 3 A [因为直线ax ＋y ＋2＝0过定点A (0，－2)，根据题意画出几何图形如下图： 直线ax ＋y ＋2＝0可化为y ＝－ax －2，因为P (－2,1)，Q (3,2)，
章末检测（二） 直线和圆的方程 A 卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分,考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题,共60分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1．已知圆C 以点(2,－3)为圆心,半径等于5,则点M (5,－7)与圆C 的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外 D ．无法判断 解析：选B 点M (5,－7)到圆心(2,－3)的距离d ＝5－2 2 ＋－7＋3 2 ＝5,故点 M 在圆C 上． 2．已知过点M (－2,a ),N (a,4)的直线的斜率为－1 2,则|MN |＝( ) A ．10 B ．180 C ．6 3 D ．6 5 解析：选 D 由k MN ＝a －4 －2－a ＝－1 2 ,解得a ＝10,即M (－2,10),N (10,4),所以|MN |＝ －2－10 2 ＋10－42 ＝65,故选D. 3．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3,且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍,则( ) A ．m ＝－3,n ＝1 B ．m ＝－3,n ＝－3 C ．m ＝3,n ＝－3 D ．m ＝3,n ＝1 解析：选D 依题意得：直线3x －y ＝33的斜率为3,∴其倾斜角为60°.∴－3 n ＝－ 3,－m n ＝tan 120°＝－3,得m ＝3,n ＝1. 4．经过点M (2,1)作圆x 2 ＋y 2 ＝5的切线,则切线方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y －5＝0 D ．2x ＋y ＋5＝0 解析：选C ∵M (2,1)在圆上,∴切线与MO 垂直． ∵k MO ＝1 2,∴切线斜率为－2.又过点M (2,1), ∴y －1＝－2(x －2),即2x ＋y －5＝0. 5．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远,那么l 的方程为( )