第七章证明的环节和方法
第一节证明的环节
一、取证
二、举证
三、质证
（一）概念。
所谓质证，是指当事人、诉讼代理人及第三人在法庭的主持下，对当事人及第三人提出的证据就其真实性、合法性、关联性以及证明力的有无、大小予以说明和质辩的活动或过程。
质证制度的意义在于，通过质证程序使审理更加公开、法院能够正确地认定证据、保障当事人的程序权利。《证据规定》第47条规定：证据应当在法庭上出示，由当事人质证。未经质证的证据，不能作为认定案件事实的依据。
质证不同于诉讼中的对质。对质，是指在庭审中，双方当事人各自申请的具有专门知识的人相互之间就其对案件事实中专门问题的认识所进行的说明和质辩。对质与质证的相同点在于：两者都是在双方之间展开的行为；其行为都表现为对某一对象的说明和质辩；两者都涉及案件的事实。不同的是，质证是在当事人、诉讼代理人、第三人之间进行，而对质则是在案外的具有专门知识的人之间进行的；对质的目的是便于法院通过比较获得对专门问题的正确认识，而质证的目的在于法院正确认定证据。
（二）质证的主体和客体
1、质证的主体
质证的主体，是指在质证过程对证据予以说明、质辩的主体。质证的主体范围包括当事人、诉讼代理人和第三人。法院是证据认定的主体，不是质证的主体。
2、质证的客体
质证的客体，是指质证主体质证行为的对象。质证的客体是证据，其范围是当事人向法院提出的证据，包括根据当事人的申请由法院调查收集的证据。在质证时，根据当事人申请由法院调查收集的证据作为提出申请的一方当事人提供的证据。
法院依职权调查收集的证据不属于质证的对象。法院应当将依职权调查收集的证据在庭审中予以出示，听取当事人的意见，并可以就
调查收集该证据的情况予以说明。当事人可以对法院就其调查收集的合法性、真实性和关联性问题提出质疑，但不能同法院就这些问题在法庭上进行质辩。这是由法院在诉讼的中立、裁判的地位所决定的。如果法院在听取当事人意见后，发现所收集的证据本身或收集证据的方法有问题时，应当自行撤回该证据。
（三）质证的程序
在法庭审理中，质证按照以下程序进行：(1)原告出示证据，被告、第三人与原告进行质证；(2)被告出示证据，原告、第三人与被告进行质证；(3)第三人出示证据，原告、被告与第三人进行质证。
（四）质证中应当注意的几个问题
1．当事人在证据交换过程中认可并记录在卷的证据，无须进行质证，可以作为认定案件事实的依据，但审判人员应当在庭审中对此说明。当事人在证据交换过程中已经认可的证据即表明当事人双方对该证据的证明力没有异议。
2．涉及国家秘密、商业秘密和个人隐私或者法律规定的其他应当保密的证据，不得在开庭时公开质证。因为如果公开质证就有可能泄露国家秘密、商业秘密以及侵害个人隐私。民事诉讼法规定，涉及国家秘密、个人隐私的案件不应当公开审理，而涉及商业秘密的案件，当事人申请不公开审理的，可以不公开审理。需要注意的是，由于《证据规定》规定商业秘密的案件不得公开质证，因此即使涉及商业秘密的案件法院没有准许当事人不公开审理申请的，也不能公开质证。也就是说，公开审理的案件有可能存在不公开质证的情形。不公开审理的案件，如果涉及上述三类案件的一定是不公开质证，但不公开质证并不等于不质证，不公开质证可以理解为质证涉及国家秘密、商业秘密和个人隐私的证据时，不得有不得接触该国家秘密、了解该商业秘密和知晓隐私的人在场。如果质证的对方当事人属于不得接触该国家秘密的人时，实际上质证就无法进行。这种情况下，应当在当事人证明其属于国家秘密时，由法院直接对该证据的效力加以认定。涉及商业秘密和个人隐私的应当视具体情况而定。
3．对书证、物证、视听资料进行质证时，当事人有权要求出示证据的原件或者原物。但以下两种情况除外：(1)出示原件或者原物确有困难并经人民法院准许出示复制件或者复制品的；(2)原件或者原物已不存在，但有证据证明复制件、复制品与原件或原物一致的。要求出示证据的原件或者原物主要目的在于有效地质证证据的法律
效力和证明力。
4．质证一般采取一证一质，逐个进行的方法；也可以在对方同意的情况下，对一组有关联的证据一并予以质证。当案件有两个以上独立的诉讼请求的，当事人可以分别围绕其诉讼请求逐个予以质证。
法庭应当将当事人的质证情况记入笔录，并由当事人核对后签名或者盖章。已经质证的证据一般不得重复质证。
四、认证
（一）概念。
所谓认证就是指法官在庭审过程中，就当事人提供的及法院调查收集的经双方质证后，加以审查认定，以确认其证据效力有无、大小的诉讼行为。
（二）特征：１、认证是在庭审过程中的诉讼行为；庭前是不能对证据材料进行认定；２、认证是一项证明行为，证明证据材料证明力的有无、大小；３、认证是确认遵循一定规则，针对证据材料本身进行分析、归纳、判断后逻辑分析的诉讼活动。
第二节推定
一、免证规则
免证规则，是指在司法活动中对那些无需用证据来证明的未知案件事实，凭借司法人员的经验常识或逻辑推理等直接加以确认的证明规则。在当今世界各国，比较多见的免证规则包括推定与司法认知，另外也有国家将自认归于此列。
免证是通过人类长期实践被多次证明为有效的法律规则。它也属于理性证明的范畴，并不构成对证据裁判主义的背离，而是一种变通和补充。它同利用证据来证明案情有所不同，比如它不一定由当事人申请提出，一般可以由法官依职权直接作出。这样就有利于司法人员高效地处理纷争，及时解决纠纷，节约了诉讼投入，而且一般不至于发生差错，为诉讼当事人所乐于接受。但是长期以来，我国没有建立起科学完善的免证制度，只有少数零星且混乱的规定；广大司法人员更未养成使用免证方法的意识和习惯，这无疑是对司法资源的极大浪费，今后在构建各种运用证据规则时，应该有意识地同步构建免证规则。
二、推定的概念
推定是司法证明的重要方法之一，也是司法证明领域内使用比较混乱的一个概念。概念上的混乱容易导致实践中的混乱。为
了明确推定的概念，首先要区分推定与推理、推论，其次要区分推定与拟制。
推理、推论与推定的方法和功能都有相似之处，它们都属于从已知事实推导出未知事实的逻辑思维活动，但是，三者的侧重和适用范围有所不同。就司法证明活动而言，推理强调的是发现，属于查明案件事实的范畴，推论强调的是论证，属于证明案件事实的范畴，推定强调的是确定，属于认定案件事实的范畴。
特点是：1、在性质上，推定本身并非证据，而是一种法律所规定或认可的事实认定方法。2、在适用上，推定表现为一个连续的动态过程。（这个过程可分为三个环节、两个阶段，三环节是：①一方当事人为适用推定而证明基础事实；②法官运用推定对未知事实加以确认；③对方当事人如对推定事实认定有异议，可提出相反证据加以反驳。其中①②构成确认推定事实成立的完整阶段③为反证阶段）。3、在结果上，运用推定所认定的事实是一种具有法律拘束力的事实。4、从功能上看，推定与证据不同，它不仅仅是一种认定事实的方法，而且还是举证责任的调节器。（具体说，①法律上的推定可以改变举证责任的事实对象，从而减轻举证责任的负担；②推定可以调整举证责任的分担。）
（一）推理
推理是从已知的事实或判断出发，按照一定的逻辑规律和规则，推导出新的认识和判断。
在司法实践中，推理的结论是否真实可靠，主要取决于两个方面的因素：其一是推理的前提是否真实；其二是推理的形式是否正确。
所谓前提是否真实，就是作为推理前提的判断是否符合客观实际情况。推理的基本形式一般包括大前提、小前提和结论，前提是否真实，指的是大前提。所谓形式是否正确，指推理的形式
是否符合逻辑思维的有关规则，如同一律、矛盾律、排中律等。
人们在推理时使用的大前提主要有两种情况：一种是必须真实的大前提；一种是或然真实的大前提。第一种前提是客观真理或者必然发生的事情。例如，一个人吃了超过致死量的毒药而且没有及时抢救的话，就会导致死亡。无论什么人，只要符合上述条件，就必死无疑。这就是必然真实的大前提。第二种前提是可能发生的事情，或者是只在某些情况下才会发生的事情。例如，一个人在受到他人侵害之后会采取相应的报复行动。这就是或然真实的大前提，因为有人在受到他人侵害之后并不会采取报复行动。大前提的真实性决定着结论的可靠性。由于以必然真实性判断为大前提的结论比较可靠，所以司法证明中的推理最好使用必然真实的判断为大前提。但是在司法实践中，受各种条件的限制，人们有时只能使用或然真实的判断为大前提。然而，以或然真实性判断作为大前提的推理结论虽然不太可靠，但并不等于说这些结论都是错误的。它们可能是正确的，也可能是错误的。换句话说，大前提是或然性的，结论也是或然性的。当然，这种结论并非没有价值。例如，一个男子被人杀死了。侦查人员通过调查得知该男子的妻子与他人通奸，于是做出如下推理：通奸的妻子往往会与奸夫合谋杀害亲夫（大前提）；这个妻子与他人通奸（小前提）；所以她也很可能与奸夫合谋杀害亲夫（结论）。毫无疑问，这个大前提属于或然性判断，其推理结论也属于或然真实的认识。
推理是与查明案件事实相联系的。在司法实践中，凡是承担查明案情职责、义务的人，就都有可能进行推理。
（二）推论
推论是用语言形式表达出来的推理。即推论是以推理为基础的，先有推理，才有推论；推理是推论的前奏，推论是推理延续；推理是推论的实质内容，推论是推理的表现形式。
从司法证明的种类来看，推理一般属于自向证明的方法，推论一般属于他向他明的手段，或者说，推理属于自己查明案件事实的活动，推论属于向他人证明案件事实的活动，推论就是要用充分的证据和严谨的论述来说明推论者所查明的案件事实，或者推论者所主张的案件事实。
在诉讼中，他向证明活动主要由诉辩双方进行，因此他们是推论的主要使用者。法官虽然不承担证明责任，但是在判决时也要用推论的形式向当事人乃至社会公众说明其认定的案件事实，所以也要进行推论。
（三）推定
推定是指根据两个事实之间的一般联系规律或者“常态联系”，当一个事实存在的时候便可以认定另外一个事实的存在。例如，很多国家的法律规定，当一个人已经失踪若干年（4年、5年或7年）以后，法律便可以推定那个人已经死亡。因为在一般情况下这么多年一直杳无音讯，下落不明的人，往往已经死亡了。
推定和推论一样，也是以推理为基础的，由于推定的大前提往往都是或然真实性判断，所以推定的事实并不一定是客观事实，例如，一个离家外出，4年、5年、7年，法院宣布其死亡之后，却又突然活着回来了。虽然这种情况比较少见，但毕竟也是存在的。由此可见，法院依法推定的死亡，不一定是客观存在的事实，只是法律上推定的事实。而且具有假定的性质。推定是与认定案件事实相联系的，因此其主要是法官的专有职务行为。
推理与推定的联系和区别：
推定，是指基于事物间的常态联系，法律规定或者由法院按照经验法则，从已知的基础事实推断未知的推定事实存在或不存在，并允许或不允许当事人提出反证予以推翻的一种证据法则。
推理，是指从已知的事实或判断出发，按照一定的逻辑规律和规则，推导出新的知识或者判断。
联系：都是从已知事实推导出未知事实的思维活动，与基础事实之间存在常态联系。
区别：
（1）主体不同。推定是司法人员的行为，推理则是一般人都可以做出的。
（2）依据不同。推定是基于事物间的常态联系，法律规定或者由法院按照经验法则做出的，而推理则是按照一定的逻辑规律和规则做出的。
（3）目的不同。推定强调的是思维的结果。推理强调的是发现。
结果不同。推定强调的是确定，属于认定事实的范畴。推理强调的是论证说服，属于查明事实的范畴。
（四）拟制
拟制是指法律在特定情况下把某种事实视为另一种事实并发生相同的法律效果。例如，我国《刑法》第67年规定：“被采取强制措施的犯罪嫌疑人、被告人和正在服刑的罪犯，如实供述司法机关还未掌握的本人其他罪行的，以自首论”。这就是把如实供述行为在法律上视为“自首行为”。
拟制与推定都具有假定的性质，但二者仍有区别，拟制的含义是明知为A，视其为B，例如，《民法通则》第51条规定：“公民经常居住地与住所不一致的，经常居住地视为住所。”这就是法律上的拟制，因为经常居住地实际上并不是住所，只是法律规定可以将其视为住所而已。推定则是不知其是否为B，推定为B。例如，《民法通则》第66条规定：“本人知道他人以本人名义实施民事行为而不作否定表示的，视为同意。”这就是法律上的推定。因为“表见代理”的内容可能是本人实际上同意的，也可能是本人实际上不同意，但是依法律可以推定为同意。
司法证明中的推定是指由法律规定或者由法官作出的带有假定性质的事实判断。推定必须以一定的事实为基础，然后根据客观事物之间联系的规律推论另一事实的存在。在此，前一个事实称为“基础事实”或“前提事实”；后一个事实称为“推定事实”或“结果事实”。
在司法活动中，推定的主要作用是减少不必要的证明和避免难以完成的证明。推定的后果主要是证明责任的免除或转移。在
适用推定的情况下，本来对案件事实负有证明责任的一方就要以不必举证，或者由法官直接认定，或者要求对方举出反证。
推定与法律拟制的联系和区别：
推定，是指基于事物间的常态联系，法律规定或者由法院按照经验法则，从已知的基础事实推断未知的推定事实存在或不存在，并允许或不允许当事人提出反证予以推翻的一种证据法则。
法律拟制，即在法律上假定实际是假但并非不可能为真的某物为真，并且不允许反驳的一种证据法则。
联系：两者都是法律有明文规定的，都可以由法官做出。
区别：
1)推定除了法律有明文规定之外，有时是基于事物间的常态联系或法院的经验法则，而法律拟制只能基于法律明文规定做出。
2)制定基础不同：推定是以外部政策为基础制定的，而法律拟制是建立在盖然性的基础上的。
3)能否反驳不同：推定可以反驳，而法律拟制不能反驳。
4)两种事实之间的关系不同：推定是是以概率为基础的，法律拟制则不然。
5)
事实推定与推理的联系和区别：
事实推定是指法院依据某一已知事实，根据经验法则，推论与之相关的诉讼中需要证明的另一事实是否存在。
推理是从已知的事实或判断出发，按照一定的逻辑规律和规则，推导出新的知识或者判断。
联系：都是依据已知事实做出判断，都是推导得出另一事实。
区别：
1)主体不同。事实推定是法院做出的，而推理是一般人都可以做出的。
2)目的不同。事实推定是为了得出诉讼中另一个需要证明的事实，而推理则是推导新知识或判断而已。
依据不同。事实推定是基于法律规定或者由法院按照经验法则做出的，而推理则是按照一定的逻辑规律和规则做出的。
三、推定的种类
（一）根据是否由法律明确规定，推定可分为立法推定与司法推定（法律上的推定与事实上的推定）
前者是指由法律明确规定的推定，又称为法律上的推定或法律推定。后者是指由法官在诉讼活动中依据一定规则进行的推定，又称为诉讼中的推定或事实上的推定。
立法推定和司法推定都是关于事实的推定。二者的形式一般
都表现为：只要有事实A存在，就可以推定事实B存在。但二者的性质和效力有所不同。就法律规范而言，立法具有较强的固定性，司法具有较大的灵活性。因此，立法推定属于固定性推定，具有严格的强制效力；司法推定则属于灵活性推定，效力也比较宽松。
在基础事实与推定事实之间的伴生关系比较稳定或比较确定的情况下，就可以采用立法推定；而在基础事实与推定事实之间的伴生关系不太稳定或不太确定的情况下，就应该利用司法推定。此外，为了追求或实现法律的某种价值目标，立法者认为有必要用稳定的法律形式确定两种事实之间的联系。
立法者在决定是否采法律形式使某种推定定型化的时候，必须考虑两个方面的因素：其一是该种推定的基础事实与推定事实之间的关系，在一般情况下是否有A必然有B；其二是该种推定所列事务的价值目标。如司法公正与司法效率，实体公正与程序公正，保护人权与打击犯罪等。
（二）根据推定的效力，或推定结论是否具有终局的性质，推定可分为：可反驳的推定和不可反驳的推定。
立法推定多属于不可反驳的推定；司法推定一般属于可以反驳的推定。一般来说，在可反驳的推定中，基础事实与推定事实之间的联系处于或然状态，所以当事人可以用证据和推论进行反驳乃至推翻。在不可反驳的推定中，基础事实与推定事实之间的关系往往是必然的或者稳定的，或者是法律出于某种价值取向而将其规定为“必然的或稳定的”。因此，这种推定的结论在法律上具有终局的效力，当事人不能进行反驳，但当事人不能反驳的是这种推定本身，作为该推定的基础的事实，都可以反驳。
无罪推定也属于基于一定价值取向而规定的不可反驳的立法推定。按照无罪推定的原则，一个人在被法院依法判定有罪之前，
应该被推定为无罪。然而，这并不是说，根据已经掌握的证据，被告人无罪的可能性大于有罪的可能性，所以要推定其无罪。无罪推定的功能在于强调刑事审判中的证明责任由公诉方承担，而且公诉方必须用达到法律证明标准的证据证明被告人有罪，否则法律认为必须宣布被告人无罪。由此可见，无罪推定的目标是要保护被告人的合法权利，是要保障司法的公正，是要把“无罪者被错判有罪”的可能性限制到最低的水平。这就是刑事司法的价值取向。
因为无罪推定是法律明确规定的，所以对这个推定本身是不能反驳的，法院必须坚持“疑罪从无”，既不能“疑罪从有”，也不能“疑罪从轻”。但是，和其他不可反驳的推定一样，无罪推定本身是不能反驳的，但是无罪推定的基础事实是可以反驳的，而反驳的方法就是由公诉方用充分证据证明被告人有罪。
区别：
1、效力不同。可反驳的推定不具有终局效力，而不可反驳的
推定在法律上具有终局的效力。
2、可反驳的推定中，基础事实与推定事实之间的联系处于或
然状态，所以可以反驳甚至推翻。而不可反驳的推定中基础事实与推定事实之间的关系往往是必然的或者稳定的，所以不能进行反驳。
推定的意义：（一）推定是一种便捷的事实认定方法。（二）推定具有合理分配举证责任的法律功能。1、对于主张适用推定的当事人而言，推定实质意义上意味着减轻了他的举证责任。2、对于对方当事人而言，推定意味着举证责任的转换。
第三节司法认知
一、司法认知的概念
司法认知也称为审判上的认知、审判上知悉。是指法官对于待认定的事实，在审判中不待当事人举证，而直接予以确认，作
为判决的依据。
司法认知在英美法系国家通常被视作一种证据形式，而在大陆法系国家则通常被视为一种免证事项。
司法认知与司法推定有很大的相似性。二者都属于法官的职能，而且都具有确认事实和免除证明责任的功能。从功能上看，司法认知是由法官在审理案件过程中，对于那些显而易见，众所周知或没有争议等无需证明的事实采用直接确认的方法予以认定。
二、司法认知的特点
1、司法认知的主体只能是狭义的司法人员，即法官。
2、司法认知的对象是特定的案件事实。
3、司法认知的作用是免除有关当事人的证明责任，从而减少不必要的证明，提高诉讼效率。
4、从性质上看，司法认知是司法证明的一种特殊方法。
5、司法认知具有可反驳性。
三、司法认知的范围
司法认知的对象为法官应当知道的特定事实，具体包括显而易见的事实、众所周知的事实和没有争议的事实。
（一）确定司法认知范围的原则
1、人民法院不得对法律采取司法认知。
（1）人民法院不得对外国法律采取司法认知。
（2）对我国法律，人民法院没有必要采取司法认知。
2、司法认知的事实必须是没有合理争议的案件事实。
3、法官个人的知识和经验是法官个人在长期的学习和办案过程中的逐步积累起来的，具有不确定性，不可能采取司法认知。
（二）司法认识的范围
1、公众周知的事实。
2、裁判上显著的事实。
3、职务上已知的事实。
4、自然科学定律。
5、国家机关公报的事实。
6、生效裁判，公证文书和行政行为确认的事实。
7、其他明显的当事人不能提出合理争议的事实。
思考题
1、比较推定与拟制的异同？
2、简述推定的种类？
3、简述司法认知的概念和特点？
4、司法认知的范围有哪些？
v1.0可编辑可修改 专题复习证明线段相等角相等的基本方法( 一) 一、教学目标： 知识与技能：使学生掌握根据角和线段位置关系如在一个三角形中或在两个 三角形中，利用等边对等角、或三角形全等证明角相等线段相等的基本方法. 过程与方法：使学生在根据角或边的位置关系确定证明角相等或线段等的方法 过程中，体验证明角相等线段相等的基本方法，在交流的过程中感受和丰富学生 的学习经验；培养学生推理论证能力 . 情感态度与价值观：激活学生原有的知识与经验，使每个学生按照自己的习 惯进行提取、存储信息，形成不同的认知结构，优化学生的思维品质，获得不同的 发展 . 二、教学重点： 掌握根据角和线段位置关系确定证明角相等线段相等的基本方法. 教学难点： 分析图形的形状特征，识别角或线段的位置关系，确定证明方法. 三、教学用具：三角板、学案等 四、教学过程： （一）引入： 相等的线段和角是构成特殊几何图形的主要元素，也是识别特殊图形的主要 依据；运用三角形全等证明线段相等角相等，常出现在中考 15 题左右的位置，是 北京市中考必考内容；运用全等三角形的知识寻求经过图形变换后得到的图形 与原图形对应元素间的关系，常与特殊图形结合，出现在综合题中. （二）例题： 例 1 已知：如图 1，△ ABC中， AB=AC，BC为最大边，点 D、 E 分别在 BC、AC上， BD=CE，F 为 BA延长线上一点， BF=CD. 求证：∠ DEF=∠ DFE . 分析：要证在一个三角形中的两角相等，考虑用等腰三角形的性质（等边对
v1.0可编辑可修改 段相等． 证明：∵ AB=AC∴∠ B=∠C． 在△ BDF和△ CED中， BD CE, B C,图 1 BF CD , BDF CED. DF ED.点拨：抓住图形的特征（两角在一个图形中） DEF DFE . 常用等边对等角证明，这是证两角相等的常用方法． 例 2 已知：如图 1，在△ ABC中，∠ ACB=90， CD AB 于点 D, 点 E 在 AC 上， CE=BC,过 E 点作 AC的垂线，交 CD的延长线于点 F ．求证 AB=FC. 分析：观察 AB与 FC在图形中的位置，发现这两条线段分别位于两个三角形中，考虑用三角形全等来证明．准备三角形全等的条件时，已知一对角一对边对应相等，还需证另一对对应角相等；已知条件有直角，故利用同角的余角相等来证. 证明：∵ FE ⊥ AC 于点 E，ACB90°，∴FECACB 90°， 易证A F ． ∴ △ ABC ≌ △ FCE . ∴AB FC ． 点拨：根据图形特征，要证明相等的两边分别在两 F D B A C E 图1 个三角形中，常利用证明两边所在的两个三角形全等来证．在证明两角相等时， 利用了同角的余角相等证明，也可用等角的余角相等来证，但较复杂．例 3 两个大小不同的等腰直角三角板如图1-1 所示放置，图1-2 是由它抽象出的几何图形， B，C，E 在同一条直线D 上，连结 DC ．求证：∠ ABE=∠ ACD．
极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可 以用上面的极限严格定义证明，例如： )0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5 )13(lim 2 =-→x x ； ???≥<=∞→时当不存在， 时 当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运 用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条 件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x
（2） e x x x =+→10 ) 1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的 等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且 )(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当) ()(lim 110 x g x f x x →存在时，)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 110 x g x f x x →，即)() (lim 0x g x f x x →=) ()(lim 110x g x f x x →。 5．洛比达法则 定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满 足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大； （2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0； （3）) () (lim x g x f ''存在（或是无穷大）；
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要：不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词：不等式，公式法，构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象，难懂，证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换，通过化简后使不等式变得简单，更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证：)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母，则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23（*） 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. （*）式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数，且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证：n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12-
初中几何证明常用方法 归纳 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
几何证明常用方法归纳 一、证明线段相等的常用办法 1、同一个三角形中，利用等角对等边：先证明某两个角相等。 2、不同的三角形中，利用两个三角形全等：A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 3、通过平移或旋转或者折叠得到的线段相等。 4、线段垂直平分线性质：线段垂直平分线的一点到线段两个端点的距离相等。 5、角平分线的性质：角平分线上的一点到角两边的距离相等。 6、线段的和差。 二、求线段的长度的常用办法 1、利用线段的和差。 2、利用等量代换：先求其他线段的长度，再证明所求线段与已求的线段相等。 3、勾股定理。 三、证明角相等的常用办法 1、同（等）角的余(补)角相等。 2、两直线平行，内错角（同位角）相等。 3、角的和差 4、同一个三角形中，利用等边对等角：先证明某两条边相等。 5、不同的三角形中，利用两个三角形全等：A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 四、求角的度数的常用方法 1、利用角的和差。 2、利用等量代换：先求其他角的长度，再证明所求角与已求的角相等。 3、三角形内角和定理。 五、证明直角三角形的常用方法 1、证明有一个角是直角。（从角） 2、有两个角互余。（从角） 3、勾股定理逆定理。（从边） 4、30度角所对的边是另一边的一半。 5、三角形一边上的中线等于这边的一半 六、证明等腰三角形的常用方法 1、证明有两边相等。（从边） 2、证明有两角相等。（从角） 七、证明等边三角形的常用方法 1、三边相等。 2、三角相等。 3、有一角是60度的等腰三角形。 八、证明角平分线的常用方法 1、两个角相等（定义）。 2、等就在：到角两边的距离相等的点在角平行线上。 九、证明线段垂直平分线的常用方法 1、把某条线段平分，并与它垂直。
极限的论证计算，其一般方法可归纳如下 1、 直接用定义()等δεε--,N 证明极限 例、试证明01 lim =∞→n n 证：要使ε<-01n ，只须ε 1 >n ，故 0>?ε，11 +?? ? ???=?εN ，N n >?，有ε<-01 n 2、 适当放大，然后用定义或定理求极限或证明极限 例、证明：0! lim =∞→n a n n ，0>a 证：已知0>a 是一个常数 ?∴正整数k ，使得k a ≤ ()ε 1!,01+???? ????=?>?∴+εεk a N k ，当N n >时，有 ε<-0! n a n 3、用两边夹定理在判定极限存在的同时求出极限 例、求()() n n n n 264212531lim ??-??∞ → 解： ()()()()n n n n n 212264212753264212531?-??-??=??-?? ()()()()n n n n n n 41 125312642211253264?-????=?-??> ∴ ()()n n n 41 2642125312 >??? ? ????-??
两边开n 2次方： ()()121 21412642125311222→?=>??-??>n n n n n n n n 由两边夹：()() 1264212531lim =??-??∞ →n n n n 4、 利用等价性原理把求一般极限的问题化为无穷小量的极限问 题 例、设0≠→l S n ()∞→n ，0>p 为常数，求证：p p n l S →()∞→n 证：00→-≤-≤l S l S n n ，得 l S n →()∞→n 记 n n l S α+=，其中 0→n α()∞→n 再记n n l S α+=()n n l l l βα+=??? ? ? ?+=11，其中0→=l n n αβ()∞→n 则有()p n p p n l S β+=1。 若取定自然数p K >，则当1 高中数学不等式的几种常见证明方法 摘 要：不等式是中学数学的重要知识，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目都有所出现，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解. 关键字：不等式；数学归纳法；均值；柯西不等式 一、比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法. 例 1 设,x y R ∈，求证：224224x y x y ++≥+. 证明： 224224x y x y ++-- ＝2221441x x y y -++-+ ＝22(1)(21)x y -+- 因为 2(1)0x -≥， 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+ 例 2 已知：a ＞b ＞c ＞0, 求证：222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++??. 证明：222a b c b c a c b c a b c a b c +++????＝222a b c b a c c b c a b c ------?? ＞222a b c b a c c b c c c c ------?? ＝0c ＝1 222a b c b c a c b c a b c a b c +++??∴??＞1 ∴222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++?? 二、分析法 分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立. 例 3 求证3< 证明： 960+>> 5456<成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱写，从而加强针对性，较快地探明解题的途径. 三、综合法 从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法. 例 4 已知,a b R +∈，1a b +=，求证：221125()()2 a b a b +++≥ 证明：∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 221 2 a b +≥ 证明三角形全等找角相等的方法 1、利用平行直线性质 两直线平行的性质定理：1. 两直线平行，同位角相等 2. 两直线平行，内错角相等 例1.如图所示，直线AD 、BE 相交于点C ，AC=DC ，BC=EC. 求证：AB=DE 已知：如图所示，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AD ＝BC ，AE ＝BF ，CE ＝DF ，试说明：（1）DF ∥CE ；（2）DE ＝CF ． A B C D E F 1 2 2、巧用公共角 要点：在证两三角形全等时首先看两个三角形是不是有公共交点，如果有公共交点，在看他们是否存在公共角 例1.如图所示，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC, ∠B=∠C. 求证：AD=AE 10. 已知：如图,AD ＝AE,AB ＝AC,BD 、CE 相交于O. 求证：OD ＝OE ． 三、利用等边对等角 要点：注意相等的两条边一定要在同一个三角形内才能利用等边对等角 例1.在△ABC 中，AB=AC ，AD 是三角形的中线. 求证：△ABD ≌△ACD 四、利用对顶角相等 例1、已知：四边形ABCD 中, AC 、BD 交于O 点, AO=OC , BA ⊥AC , DC ⊥AC ．垂 足分别为A , C ． 求证：AD=BC 已知：如图，在AB 、AC 上各取一点，E 、D ，使AE=AD ，连结BD ，CE ，BD 与CE 交于O ，连结AO ，∠1=∠2， 求证：∠B=∠C 五、利用等量代换关系找出角相等 （1）=A B ∠+∠+公共角公共角，则可以得出=A B ∠∠ 例1. 已知：如图13－4，AE=AC ， AD=AB ，∠EAC=∠DAB ， 求证：△EAD ≌△CAB ． 已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE. 求证 :BD=CE A C B E D 图13－4 极限计算方法总结 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5)13(lim 2=-→x x ；??? ≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时， 不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2 x - ～ 2x -。 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 徐老师模型数学20170727 证明两角相等的方法 百汇学校徐国纲 一、相交线、平行线 1、对顶角相等； 2、同角或等角的余角（或补角）相等； 3、两直线平行，同位角相等、内错角相等； 4、两边分别对应平行（或垂直）的两角相等或互补； 5、凡直角都相等； 6、角的平分线分得的两个角相等； 二、三角形 7、等腰三角形的两个底角相等； 8、三线合一：等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角； 9、三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和； 10、全等三角形的对应角相等； 11、相似三角形的对应角相等； 12、角平分性质定理的逆定理：到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上； 三、四边形 13、平行四边形的对角相等； 14、菱形的每一条对角线平分一组对角； 15、等腰梯形在同一底上的两个角相等； 四、圆 16、同弧或等弧（或两条相等的弦）所对的圆心角相等； 17、同弧或等弧所对的圆周角相等； 18、圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； 19、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角； 20、三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角； 21、弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角； 22、从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； 五、三角函数 23、如果两个锐角的同名三角函数值相等，则这两个锐角相等； 六、等式性质 24、等量代换：若∠1=∠2，且∠2=∠3，则∠1=∠3； 25、等式性质：等量加等量，其和（或差）相等：若∠1=∠2，则∠1+∠3=∠2+∠3或∠1-∠3=∠2-∠3. 第1 页共1 页 证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1．排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥，且1a b c ++=，求证： ()22229 1. a b c abc +++≥2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈，试证：2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 323235 x y +≤++.. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6．抽屉原理 在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x ->+7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证： ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5）设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证：9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证： 4 ≤. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中，首项132 a = ，且对任意*1,n n N >∈，均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+< 证明两角相等的方法 黄冈中学初三数学备课组【重点解读】 证明两角相等是中考命题中常见的一种题型，此类证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，特别是在中考有限的两个小时中。恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。在教学中总结了一些定理（或常见结论）以及几种处理方法，仅供参考。 【相关定理或常见结论】 1、相交线、平行线： （1）对顶角相等； （2）等角的余角（或补角）相等； （3）两直线平行，同位角相等、内错角相等； （4）凡直角都相等； （5）角的平分线分得的两个角相等. 2、三角形 （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）； （3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和 （4）全等三角形的对应角相等； （5）相似三角形的对应角相等. 3、四边形 （1）平行四边形的对角相等； （2）菱形的每一条对角线平分一组对角； （3）等腰梯形在同一底上的两个角相等. 4、圆 （1）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. ，圆心角相等. （3）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. （4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角. （5）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角. （6）正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角. （7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角； 5、利用等量代换、等式性质 证明两角相等. 6、利用三角函数计算出角的度数相等 【典题精析】 （一） 利用全等相关知识证明角相等 例1 已知：如图，CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，BE 与CD 交于点O ，且BD CE =． 求证：AO 平分BAC ∠． 分析：要证AO 平分BAC ∠，因为CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ，所以只要证明OD=OE ；若能证明若能证△OBD ≌△OCE 即可，因为可证 ∠ODB=∠OEC=90°,∠BOD=∠COE ，而BD=CE ，故问题得到解决． 证明：∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ∴∠ODB=∠OEC=90° 在△O BD 和△OCE 中 ∠ODB=∠OEC ∠BOD=∠COE BD=CE ∴△OBD ≌△OCE ∴OD=OE ∵CD AB ⊥于点D ，BE AC ⊥于点E ∴AO 平分BAC ∠． 说明：本例的证明运用了对顶角相等，角的平分线性质的逆定理 例2 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是梯形内一点，ED ⊥AD ，BE=DC ，∠ECB=45 o ． 求证：∠EBC ＝∠EDC 分析：要证明∠EBC ＝∠EDC ，容易想到证全等，而图中没有全等的三角形，如果 极限计算方法总结（简洁版） 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证 明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2=-→x x ；???≥<=∞→时当不存在， 时当，1||1||0lim q q q n n ； 等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理 1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1） B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+ →1 )1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如： 133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0)21(lim ，e x x x =+∞→3)3 1(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以 不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾． 昭通学院 学生毕业论文 论文题目证明不等式的几种方法 姓名 学号 201103010128 学院数学与统计学院 专业数学教育 指导教师 2014年3月6日 证明不等式的几种方法 摘 要：证明不等式就是要推出这个不等式对其中所有允许值都成立或推出数值不等式成立。本文主要归纳了几种不等式证明的常用方法。 关键词：不等式; 证明; 方法 1.引言 在定义域中恒成立的不等式叫做恒不等式，确认一个不等式为恒不等式的过程为对该不等式进行证明。证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒不等式进行合乎逻辑的等价变换。主要方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、归纳法、放缩法、构造法、导数法、均值不等式性质证明不等式等方法。 2.不等式证明的常用方法 2.1 比较法 比较法是直接作出所证不等式，两边的差（或商）然后推演出结论的方法。具体地说欲证B A >)(B A <,直接将差式B A -与0比较大小；或若当+∈R B A ,时，直接将商式 B A 与1比较大小[]1。 差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“若0≥-b a ,则b a ≥;若0≤-b a ,则 b a ≤.”其一般步骤为： 1.作差：观察不等式左右两边构成的差式，将其看成一个整体。 2.变形：把不等式两边的差进行变形，或变形成一个常数，或为若干个因式的积，或一个或几个平方和。其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的方法。 3.判断：根据已知条件与上述变形结果判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求不等式成立的结论。 应用范围：当被证的不等式两端是多项式，对于分式或对数式时，一般使用差值比较法。 商值比较法的理论依据是：“∈b a ,+R ，若b a 1≥则b a ≥;若b a 1≤则b a ≤.”其一 般步骤为： 1.作商：将左右两端作商。 2.变形：化简商式到最简形式。 求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .00 x g x f x g x f x x x x x →→→± = ± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?= ? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) ()(x g x f 在0x x →时也存在，且有 ) ()() ()(lim lim lim x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、 0等情况，都不能直接用四则运算法则， 必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 例1：求2 42 2 lim --- →x x x 解：原式=()() ()022 22lim lim 2 2 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有 ()() 1sin lim =→x g x g x x 或()() 1sin lim =∞ →x g x g x 不等式证明的基本方法 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020 绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a，b为实数，则，当且仅当ab≥0时，等号成立。 几何说明：（1）当ab>0时，它们落在原点的同一边，此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和。 （2）如果ab<0，则a，b分别落在原点两边，a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和（下图为ab<0，a>0，b<0的情况，ab<0的其他情况可作类似解释）。 |a－b|表示a－b与原点的距离，也表示a到b之间的距离。 定理2 设a，b，c为实数，则，等号成立 ，即b落在a，c之间。 推论1 推论2 ［不等式证明的基本方法］ 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。 所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量， 使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证： 思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明： 证法一：高中数学不等式的几种常见证明方法(县二等奖)
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