3 流体运动学基础
一、学习目的和任务
1.理解拉格朗日(Lagrange)方法和欧拉(Euler)方法的基本思想。
2.掌握流体动力学中的若干基本概念。
3.掌握流体运动的连续性方程的积分形式及其应用。
4.了解连续性方程的微分形式和圆柱坐标系、球面坐标系中的连续性方程。
5.了解流体微元的运动分析的基本方法，理解亥姆霍兹速度分解定理。
6.理解流体微元运动的四种形式。
二、重点、难点
1.重点
欧拉(Euler)方法、连续性方程的积分形式、亥姆霍兹速度分解定理、微元运动的四种形式。
2.难点
连续性方程、亥姆霍兹速度分解定理。
流体运动学主要讨论流体的运动参数（例如速度和加速度）和运动描述等问题。运动是物体的存在形式，是物体的本质特征。流体的运动无时不在，百川归海、风起云涌是自然界流体运动的壮丽景色。而在工程实际中，很多领域都需要对流体运动规律进行分析和研究。因此，相对于流体静力学，流体运动学的研究具有更加深刻和广泛的意义。
3.1 描述流体运动的二种方法
为研究流体运动，首先需要建立描述流体运动的方法。从理论上说，有二种可行的方法：拉格朗日(Lagrange)方法和欧拉(Euler)方法。流体运动的各物理量如位移、速度、加速度等等称为流体的流动参数。对流体运动的描述就是要建立流动参数的数学模型，这个数学模型能反映流动参数随时间和空间的变化情况。拉格朗日方法是一种“质点跟踪”方法，即通过描述各质点的流动参数来描述整个流体的流动情况。欧拉方法则是一种“观察点”方法，通过分布于各处的观察点，记录流体质点通过这些观察点时的流动参数，同样可以描述整个流体的流动情况。下面分别介绍这二种方法。
3.1.1拉格朗日(Lagrange)方法
这是一种基于流体质点的描述方法。通过描述各质点的流动参数变化规律，来确定整个流体的变化规律。无数的质点运动组成流体运动，那么如何区分每个质点呢？区分各质点方法是根据它们的初始位置来判别。这是因为在初始时刻（t=t0）,每个质点所占的初始位置（a,b,c）各不相同，所以可以据此区别。这就像长跑运动员一样，在比赛前给他们编上号码，在任何时刻就不至于混淆身份了。当经过△t时间后，t=t0+△t，初始位置为a,b,c）的某质点到达了新的位置(x,y,z)，因此，拉格朗日方法需要跟踪质点的运动，以确定该质点的流动参数。拉格朗日方法在直角坐标系中位移的数学描述是：
??
?
??
===),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x （3－1）
式中，初始坐标（a,b,c ）与时间变量t 无关，（a,b,c,t ）称为拉格朗日变数。类似地，对任一
物理量N ，都可以描述为：
),,,(t c b a N N = （3－2）
显然，对于流体使用拉格朗日方法困难较大，不太合适。
3.1.2欧拉(Euler)方法
欧拉方法描述适应流体的运动特点，在流体力学上获得广泛的应用。欧拉方法利用了流场的概念。所谓流场，是指流动的空间充满了连续的流体质点，而这些质点的某些物理量的分布在整个流动空间，形成物理量的场，如速度场、加速度场、温度场等，这些场统称为流场。通过在流场中不同的空间位置(x ,y ,z )设立许多“观察点”，对流体的流动情况进行观察，来确定经过该观察点时流体质点的流动参数，得到物理量随时间的函数(x ,y ,z,t )，(x ,y ,z,t )称为欧拉变数。欧拉方法在直角坐标系中位置的数学描述是：
??
?
??
===),,,(),,,(),,,(t z y x z z t z y x y y t z y x x x （3－3） 类似地，对任一物理量N ，都可以描述为：
),,,(t z y x N N = （3－4）
需要注意的是，“观察点”的空间位置(x ,y ,z )是固定的，当质点从一个观察点运动到另一个观
察点，质点的位移是时间t 函数（同样地，其他物理量也是），只不过这种函数是用观察点和时间t 为变量，即欧拉变数(x ,y ,z,t )表示出来的。因此，欧拉变数(x ,y ,z,t )中的x 、y 、z 不是独立变量，它们也是t 的函数，即有：
??
?
??
===)()()(t z z t y y t x x （3－5）
欧拉方法对流场的表达式举例如下： 描述速度场的表达式：
),,,(t c b a v v =，或写成分量形式： （3－6）
?
?
?
??
===),,,(),,,(),,,(t z y x v v t z y x v v t z y x v v z z y y x x （3－7）
压强场的表达式：
),,,(t z y x p p = （3－8）
密度场的表达式：
),,,(t z y x ρρ= （3－9）
温度场的表达式：
),,,(t z y x T T = （3－10）
可以用河流上的水文站来理解欧拉方法。为测绘河流的水情，需要在河流沿线设立许多水文站，即水情观察点，综合各水文站的数据，即可知道整个河流的水文情况（如水位分布、流速分布等）。
如果将观察点的区域适当扩大，这样的观察点又称为控制体。与观察点一样，控制体的空间坐标和形状一经确定，即固定不变。控制体的表面称为控制面，流体质点经过控制面进出控制体。控制体是研究流体运动的常用方法。 3.1.3拉格朗日方法与欧拉方法的等价关系
上述二种方法的着眼点尽管不同，实质上它们是等价的。如果编号为（a,b,c ）的质点，在t 时刻正好到达空间位置(x ,y ,z )，则根据（3－1）和（3－3）有：
),,,()],,,(),,,,(),,,,([),,,(t c b a N t c b a z t c b a y t c b a x N t z y x N N === （3－11）
因此，用一种方式描述的质点流动规律完全可以转化为另一种方式。本书中的描述主要是用欧拉方法。
3.2 流体动力学中的基本概念
为后面叙述方便，本节集中介绍流体动力学中经常使用的几个概念。
3.2.1定常场与非定常场
如果流场中的各物理量的分布与时间t 无关，即：
0=???=??=??=??=??t
T t t p t ρv （3－12） 则称为定常场或定常流动。定常场各物理量分布具有时间不变性。如果任何一个物理量分布
不具有时间不变性，则称为非定常场或非定常流动。
3.2.2均匀场与非均匀场
如果流场中的各物理量的分布与空间无关，即：
0=?????=??=??=??=??=??=??=??=??=??=??=??z
T y T x T z y x z p y p x p z y x ρρρv v v （3－13） 则称为均匀场或均匀流动。均匀场各物理量分布具有空间不变性。如果任何一个物理量分布不具有空间不变性，则称为非均匀场或非均匀流动。
3.2.3质点导数
将式（3－4）对时间t 求导，因其中的变量x 、y 、z 又是t 的复合函数，见式（3－5），故有：
t
N
dt dz z N dt dy y N dt dx x N dt dN ??+??+??+??= （3－14）
我们称上式为质点导数。
考虑到位移对时间的导数就是速度，即：
z y x v dt
dz
v dt dy v dt dx ＝＝＝,, （3－15） 所以质点导数又可写成：
t
N
z N v y N v x N v dt dN z y x ??+
??+??+??= （3－16） 若令： z
y x ??
+??+??=?k
j i （3－17） 则（3－16）又可写成：
t
N N dt dN ??+??=)v （ （3－18） 式中，?称为哈密顿（Hamilton ）算子，是按照式（3－17）进行微分的记号。
分析式（3－18），知质点导数由二部分组成： （1）
t
N
??：称为当地导数，反映是物理量随时间的变化率。在定常场中，各物理量均不随时间变化，故当地导数必为零。 （2）z
N
v y N v x N v z y x
??+??+??或N )??v （：称为迁移导数，反映是物理量随空间的变化率。在均匀场中，各物理量均不随空间变化，故迁移导数必为零。
下面以物理量速度v 为例，进一步说明质点导数的物理意义。由式（3－18），速度v 的质点导数为：
t
dt d ??+??=v v v v )（ （3－19） 直角坐标系中，也可写成：
??
??
?
?
???
??+??+??+??=??+??=??+??+??+??=??+??=??+??+??+??=??+??=t v z v v y v v x v v t v v dt dv t v z v v y v v x v v t v v dt dv t
v z v v y v v x v v t v v dt dv z z z z y z x z z z y y z y y y x y y y x x z x y x x x x x )))v v v （（（ （3－20）
式（3－20）中，速度的质点导数就是质点的加速度，它同样由当地导数（当地加速度）和
迁移导数（迁移加速度）组成。例如，在x 向，当地导数
t v x
??表示v x 随时间t 的变化率，即由时间引起的加速度。迁移导数是三项之和，其中的x
v
v x x ??表示由x 方向位移引起的加
速度， y
v v x
y
??表示由y 方向位移引起的加速度，z v v x z ??表示由z 方向位移引起的加速度。
由此可见，在用欧拉方法描述流体运动时，质点加速度不再是
简单的速度对时间求导，还要包含位移引起加速度。图3－1所示装置可以说明质点加速度的概念。装在水箱中的水经过水箱底部的一段等径管路a 及变径喷嘴段b ，由喷嘴喷出。除速度和加速度外不考虑其他物理量，也不考虑管路截面上的流动，则流动方向只有沿管路s 方向，v 是经过管路的平均速度。在水位高h 维持不变的条件下，管路a 段的速度是匀速运动，
即速度与时间t 和空间位置s 无关，形成的流场是定常场和均匀场，因空间位置s 改变引起的迁移加速度和因时间t 引起的当地加速度都是零。管路b 段的速度沿s 逐渐加快，但不随时间t 改变，因此形成的流场是定常场和非均匀场，因空间位置s 改变引起的迁移加速度不为零，因时间t 引起的当地加速度是零。依此，读者可以分析在水位高h 持续下降的情况下，二段的迁移加速度和当地加速度的情况。
3.2.4迹线与流线
3.2.
4.1 迹线与流线的定义
迹线是流体质点运动轨迹线，
是拉格朗日方法描述的几何基础，用此方法描述时，表达式就是式（3－1）。
流线是流场中假想的这样一条曲线：某一时刻，位于该曲线上的所有流体质点的运动方向都与这条曲线相切。可见，流线是欧拉方法描述的几何基础。同一时刻，流场中会有无数多条流线（流线簇）构成流动图景，称为流线谱或流谱。
虽然流线是假想的，但采用流场可视化技术仍然可以观察到流线的存在。比如，在流场中均匀投入适量的轻金属粉末，用合适的曝光时间拍摄照片，则许多依次首尾相连的短线就组成流场中的流线谱。如图3－2，流体通过二种不同的管中窄口处出现的流现形状。
3.2.
4.2 流线的作法
在流场中任取一点（如图3-3），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量v 1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量v 2…，如此继续下去，得一折线1234 …n ，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。
3.2.
4.3 流线微分方程式
图3－1 当地加速度与
迁移加速度
图3－2流线谱中显示的流线形状
图3－3流线的作法 图3－4流线微分方程式
参见图3－4，设流线上某质点A 的瞬时速度为
k j i v z y x v v v ++= （3－21）
流线上微小线段长度的矢量为
k j i s dz dy dx d ++= （3－22）
根据流线定义，速度矢量v 与流线矢量d s 方向一致，矢量的×积为零，于是有
0 s v =?d （3－23）
写成投影形式，得
z
y x v dz
v dy v dx =
= （3－24）
这就是最常用的流线微分方程式。 [例题3－1] 已知流场中质点的速度为
??
???=-==0z
y x v ky v kx v
)
0(≥y
试求流场中质点的加速度及流线方程。
解： 从0=z v 和)0(≥y 知，流体运动只限于Oxy 平面的上半部分，质点速度为
kr y x k v v v y x =+=+=2
222
由（3－20）可以得质点加速度为
x k x v v dt dv a x x x x 2
=??== y y y
y y k
y
v v dt
dv a 2=??==
0=z a r k y k
a a x
y x
a 2
22
2
22
=+=+=
从流线方程
ky
dy kx
dx -=
消去k ，积分得
C
y x ln ln ln +-=
即 C xy =
作流线方程C xy 的曲线如图3－5所示，是一族双曲线，质点离原点越近，即r 越小，其加速度与加速度均越小，在r ＝0点处，速度与加速度均为零。流体力学上称速度为零的点为驻点（或滞止点），如图中O 点即是。
在r →∞的无穷远处，质点速度与加速度均趋于无穷。流体力学上称速度趋于无穷的点为奇点。
驻点和奇点是流场中的两种极端情况，一般流场中不一定存在。
3.2.
4.3 流线的性质
流线具有以下性质：
（1） 定常流动中流线形状不随时间变化，而且流体质点的迹线与流线重合。
定常流动时，质点经过空间各点的速度不随时间变化，因而形成的流线簇图景必然固定不变。现在解释迹线与流线重合的理由：见图3－3，如果有一质点在初始时刻的位置处于1点，因流线的切线方向是其运动的方向，在经过△t 时间后，这个质点必然运动到相邻点2点。依次类推，质点必然沿流线运动，也就是说，迹线和流线场合。但是在非定常流动的情况下，流线的形状随时间而改变，迹线也没有固定的形状，两者不会重合。
（2） 在实际流场中，除了驻点和奇点以外，流线既不能相交，也不能突然转折。
如图3－6，若某时刻流场中存在两条相交流线l 1和l 2，则流经交点A 处的质点此时刻有两种速度，一是l 1的切线方向，另一是l 2的切线方向，但是在牛顿力学中，在某一时刻，一个质点只可能以一种速度运动，故流线不可能相交。若流线在B 点突然转折，因B 点不存在切线，故流经B 点的质点速度方向可以是任意方向，这显然也是不可能的。
如果流场中存在着奇点或驻点，则流线可以相交，这是一种例外。如图3－7，子弹在大气中飞行，在前缘尖处A ，空气被子弹推动一起运动，形成驻点，此处流线相交。可解释为，驻点处的空气不可能被无限推动下去（这将导致空气被无限压缩），在某个时刻将发生流动，但向上还是向下（仅从平面上看），由偶然因素确定，这样就形成了相交的二条流线。在子弹的尾部，流线不能转折，因此形成涡流，涡流旋转的能量消耗了子弹运行的部分能量，即增大了子弹运行的阻力。为了减少流体对运动物体的阻力，需要把物体表面做成所谓的“流线型”，使其表面曲线符合流线的性质。
图3－5双曲线型流线
图3－6流线不能相交或转折 图3－8流管与流束
图3－7飞行的子弹
3.2.5 流管与流束
在流场中任意取出一个有流线从中通过的封闭曲线，如图3－8中的l ，l 上的所有流线围成一个封闭管状曲面，称为流管。流管内所包含的所有流体称为流束。当流管的横断面积无穷小时，所包含的流束称为元流，最小的元流就退化为一条流线。如果封闭曲线取在管道内壁周线上，则流束就是管道内部的全部流体，这种情况称为总流。 3.2.5过流断面、流量和净通量 3.2.5.1 过流截面
流管内与流线处处垂直的截面称为过流截面（或过流断面），过流截面可以是平面或曲面，如图3－9所示。 3.2.5.2 流量
单位时间内流过某过流截面的流体体积称为体积流量，也简单称为流量，如果流过的流体按质量计量，则称为质量流量。
选择用来计算流量的截面称为控制面。当控制面为过流截面时（不论是平面还是曲面）
，由于速度方向与面积垂直，所以流量的计算式如下： 在微元面积dA 上质点速度大小为v ，则d A 上流量为
vdA dq v = （3－25）
在当控制面是平面时
?
=A
v vdA q （3－26）
在当控制面是曲面时
??=
A
v vdA q （3－27）
如果控制面不是过流截面时，需要将面积向过流截面上投影再计算流量。见图3－10，设面积矢量的法矢与质点速度方向的夹角为θ，则有d A 上流量为
dA d vdA dq v n v A v ?=?==θcos （3－28）
在当控制面是平面时
?
???=A
A
v dA d q n v A v ＝ （3－29）
在当控制面是曲面时
图3－9过流截面
图3－10流量与净通量
?????+?=
A
A
v dA d q n v A v （3－30）
3.2.5.3 净通量
如果控制面取为封闭曲面，如图3－10所示，这时整个控制面上，有的面积是流体流入，同时，也有面积是流出。矢量的法矢与质点速度方向的夹角为θ，则d A 上流量dq v 可用式（3－28）表示。可见，当流出时，dq v ≥0，流入时，dq v <0，整个封闭控制面上的流量
???????=?==A
A
A
v dA d vdA q n v A v n v ),cos( （3－31）
则q v 称为封闭曲面上的体积净通量（简称净通量或净流量）。同理，质量净通量为
???=A
m dA q n v ρ （3－32）
净通量q v 反映了微面积上流出、流入流量的代数和，若q v >0，表示流出大于流入，控制体内流体减少；q v <0，表示流出小于流入，控制体内流体增加；而q v ＝0，表示流出等于流入，控制体内流体质量不变。
3.2.6平均速度
流体在流场中流动，一般情况下空间各点的速度都不相同，而且速度分布规律函数 v =v (x, y, z )有时难以确定，即使在简单的等径管道中（见图3－11），由于粘性、摩擦、质点碰撞混杂等原因，速度分布规律也是不容易确定的。在工程实际中，有时也没有必要弄清楚精确的速度分布。为简化计算，可以用平均速度代替各点的瞬时速度。若通流截面的面积为A ，流量为q v ，则定义平均速度为
A
q v v
=
（3－33） 式中q v 值可以通过测量获得。
如图3－11，从几何上看，以平均速度v 为基准线，质点速度v 超过v （v v v ?+=）的阴影面积和低于v （v v v ?-=）的白色面积应该正好相抵。原因如下：
因??
??+=?+==A
A
A
v vdA A v dA v v vdA q )(
考虑到（3－32）,所以有
0=??A
vdA （3－34）
因为一般情况下不会出现所有质点速度全都相同，故总有△v 2
>0，所以
02
>??A
dA v （3－35）
利用分部积分和式（3－34），有
?????=???
?????-??=??=?0)())((2
223v d vdA vdA v vdA v dA v A A A A （3－36） 图3－11平均速度
式（3－34）、（3－35）和（3－36）在下面的动能修正系数和动量修正系数一节中将要用到。
3.2.7动能修正系数和动量修正系数 3.2.7.1 动能修正系数
单位时间内，若dA 上通过的质点动能为
dA v 3
2
1ρ,则通过通流截面A 的流体质点总动能E ????+?+?+=?+==A A
A dA v v v v v v dA v v dA v E )33(2)(2121322333ρ
ρρ
A v dA v A v A v A 32
232312ραρ
=???
? ???+=
? （3－37） 式中，1312
2>?+
=?A
dA v A v α，是用平均速度代替瞬时质点速度计算动能时所乘的一个系数，称为动能修正系数。
3.2.7.2 动量修正系数
单位时间内，若dA 上通过的质点动量为dA v 2ρ,则通过通流截面A 的流体质点总动M
?
??? ???+=+?+=?+==????A A A A dA v A v A v dA v v v v dA v v dA v M 2
22222211)2()(ρρρρ A v 2βρ= （3－38）
式中，1112
2>?+
=?A
dA v A v β，是用平均速度代替瞬时质点速度计算动量时所乘的一个系数，称为动量修正系数。
动能修正系数α和动量修正系数β在后面章节中的伯努利方程和动量方程将要用到。具体取值与流态（流态的概念见第五章管中流动）有关：管中层流时取2=α，3
4
=β；管中湍流时取106.1≈=α，102.1≈=β。
3.2.8三元流、二元流和一元流
除时间t 外，如果流场中的流动参数依赖与空间的三个坐标，则称这样的流动为三元流动。流动参数依赖与空间的二个坐标，称为二元流动。流动参数依赖与空间的一个坐标（可以是曲线坐标），称为一元流动。
比较而言，一元流动的情形最为简单。因此，工程实际中，常常将流动问题简化为一元流动来解决。
3.3 流体运动的连续性方程
3.3.1积分形式的连续性方程
如图3－12，在流场中取任意形状的控制体，则有流线穿入或穿出该控制体。如前所述，控制体一经取定，其形状、大小和空间位置就不得再行改变。
现设控制体体积V ，表面积A ，控制体内含有的流体质量m 用体积积分表示为
???=V
dV m ρ
m 随时间t 的变化率记为
?????
=??V
dV t t m ρ （3－39） 根据质量守恒定律，m 的变化必有原因。当控制体不变时，影响其内部流体质量增减的唯一因素就是通过表面A 流入、流出的质量多少。在单位时间内，当流出大于流入时，m 必减小，反之，则增加，且m 增加或减少的质量就是流出与流入的质量之差。利用质量净通量概念可得等式
???????
-
=?V
A
dV t dA ρρn v （3－40） 或者写成
?????=??
+
?V
A
dV t dA 0ρρn v （3－41） 根据质量净通量的意义，
0>???A
dA n v ρ，表示A 上流出质量大于流入质量，控制体V 内
质量减少，故
0
???V
dV t ρ，二者符号相反，反之亦然。 式（3－41）就是质量守恒定律在运动流体中的数学表示，称为积分形式的连续性方程，简
称连续性方程或连续方程式。实际应用需要使用其简化形式，常用的简化形式有 （1）定常流动
在定常流动中，流场任何空间点处的密度不随时间改变，故微元的质量也不改变，进而整个控制体内的质量也不变，即
0=??
???V
dV t ρ，因此，式（3－41）简化为
图3－12流场中的控制体
0=???A
dA n v ρ （3－42）
上式的意义是：当定常流动时，在单位时间内，从控制体的表面A 流出的质量与流入的质量相等。该式对可压缩的和不可压缩的流体都适用。 （2）不可压缩的流体流动
当流体是不可压缩时，流场中密度处处相等且为恒量，又考虑到控制体V 不变，故
0????????
=??V
V dV t dV t ＝ρρ 因此，式（3－41）简化为
0=???A
dA n v （3－43）
上式的意义是：当流体是不可压缩时，在单位时间内，从控制体的表面A 流出的体积与流
入的体积相等。值得注意的是，该式对定常流动和非定常流动都适用。 （3）一元流动
如图3－13，当流体在流管l （工程实际中的管道可以视为流管）内流动，流体只能从过流断面A 1流入，A 2流出。在断面上取微元dA 1－dA 2，则微元内流动就是一元流动，在定常场中，其极限情形是流体沿流线流动。若将整个流管都视为一元流动，则式（3－42）可以写成
01
1
2
2
=?-?=?????A A A
dA dA dA n v n v n v ρρρ （3－44）
这就是一元流动时的连续性方程。
在定常流场中，用平均流速代替真实流速，平均密度代替真实密度，上式简化成
0111222=-A v A v ρρ
或
222111A v A v ρρ= （3－45）
对既是定常场又不可压缩的流动，C ==21ρρ，故式（3－46）可以更简单地表示为
2211A v A v = （3－46）
在工程实际中，被直接使用的公式多是式（3－46）。
*3.3.2微分形式的连续性方程
微分形式的连续性方程可以用二种方法导出：微元控制体分析法和有限控制体分析法，下面分别介绍。
3.3.2.1 微元控制体分析法
采用微元控制体分析法的前提是要求流场中流体物理量时时处处连续可微，对于不同的坐标系，还要求选定相适应的控制体形状。当采用直角坐标系时，选取控制体形状为立方体。
图3－13一元流动
如图3－14，在t 时刻的流场中，任选一点A (x , y , z )，以A 为角点作一个立方体，各面都与相应的坐标面平行，三个边长分别为dx 、dy 和dz 。设该时刻A 点的速度为v = (v x , v y , x z )，密度为ρ，由于dx 、dy 和dz 很小，可以认为交于A 点的三个面上的速度和密度都和A 点相同，而其他三个面上的速度和密度则由多元函数的泰勒展开式取一阶小量得到。例如，在x 方向上，平面ABCD 上的速度为v x ，平面EFGH 上的速度则为dx x
v v x
x ??+
。 现在分析立方控制体内的质量的变化。先考察在x 方向，在t 时刻，从平面ABCD 流入控制体的质量为dydz v x ρ，平面EFGH 上流出的质量则为dydz dx x
v v x x ])
([??+ρρ。这样我们得到：单位时间内，在x 方向从控制体的净流出质量为
dxdydz x
v x ??)
(ρ
同理，可以得到y 、z 方向从控制体的净流出质量为
dxdydz y
v y ??)(ρ和
dxdydz z
v z ??)
(ρ 三者之和为
dxdydz z v y v x
v z y x ???
?????+??+??)()()(ρρρ （3－47）
与此同时，因为控制体的体积是不变的，控制体内流体质量的流失必然造成控制体密度的减
少，在单位时间内，由于密度减少使控制体内的质量减少了
dxdydz t
??-
ρ
（3－48） 负号表示增量的变化方向与式（3－47）相反，即流出质量为正号时，控制体内的质量增量为负。根据质量守恒定律，式（3－47）与式（3－48）应该相等，即
dxdydz z v y v x
v z y x ????????+??+??)()()(ρρρ＝dxdydz t ??-ρ
图3－14 立方型微元控制体
化简得
0)
()()(=??+??+??+??z
v y v x v t z y x ρρρρ （3－49）
上式即为直角坐标系中微分形式的连续性方程，适用于可压缩流体的三元流动和非定常流
动。
若是定常流动，流场中各点的密度不随时间而变化，故（3－49）简化为
0)
()()(=??+??+??z
v y v x v z y x ρρρ （3－50） 若是不可压缩流体，密度为常数，故（3－49）又简化为
0=??+??+??z
v y v x v z
y x （3－51）
3.3.2.2 有限控制体分析法
利用高等数学中的基础知识对式（3－41）中的两项改写。 （1）将对面积的曲面积分???A
dA n v ρ化为对坐标的曲面积分，利用奥－高公式再化为三重
积分，过程如下：
????++=?A
z
y
x
A
dxdy v dxdz v dydz v dA )(ρρρρn v
????????
???+??+??=V z y x dxdydz z v y v x v )()()(ρρρ （3－52）
（2）利用控制体与时间无关的特性，将?????
V
dV t ρ中的积分、微分顺序颠倒，即有如下变化过程：
??????????????=??=??=??V
V V V dxdydz t dV t dV t dV t ρ
ρρρ （3－53） 由式（3－41、（3－52）和（3－53）得
0)()()(=???
??
???+??+??+?????V z y x dxdydz z v y v x v t ρρρρ 因为控制体V 是在流场中任取的，且被积函数处处连续，故要使上式成立，必然有被积函
数为零，即
0)()()(=??+??+??+??z
v y v x v t z y x ρρρρ （3－54） 上式与式（3－49）完全相同。
*3.3.3 圆柱坐标系和球面坐标系中的连续性方程
在许多实际的流动问题中，运动物体可能是一种轴对称或球体，流场的边界可能是曲面或曲线，此时利用曲线坐标系更为方便，而圆柱坐标系和球坐标系是最常用的坐标系。为避免繁琐的推导，这里直接给出圆柱坐标系和球坐标系中的连续性方程。
3.3.3.1 圆柱坐标系
圆柱坐标系通常用坐标）（z r ,,?来表示，参见图3－15，易得它与直角坐标系）（z y x ,,的关系
???
??===z z r y r x θθsin cos 或者 ???
??
??
==+=z z x y y x r arctan 22θ （3－55）
连续性方程为
0)()()(=??++??+??+??t
r v z v r v r v r z r ρ
ρρθρρθ （3－56）
3.3.3.1 圆柱坐标系
圆柱坐标系通常用坐标）（??,,r 来表示，参见图3－16，易得它与直角坐标系）（z y x ,,的关系
???
??
===θ?θ?θcos sin sin cos sin r z r y r x 或者 ????
?????=+=+=z y z y x z z y x r arctan arccos 2
222
22?θ＋＋ （3－57）
图3－15 圆柱坐标系
图3－16 球坐标系
连续性方程为
0)()sin ()sin (2=??
+??+???θ?
θθθrv r v r v r r （3－58）
3.4 流体微元的运动分析
由理论力学知，刚体的运动只有两种基本运动形式：平移和旋转运动。对于流体，由于没有一定的形状，且不能承受剪切力，其运动要比刚体复杂的多。可以想像，除了具有平移和旋转二种运动形式之外，流体在运动过程中还要发生变形运动。本小节通过分析流体微元的运动，导出亥姆霍兹速度分解定理，分析流体的运动形式。
3.4.1 亥姆霍兹速度分解定理
为推导亥姆霍兹速度分解定理，仍采用流体微元法。如图3－17，在t 时刻，从流场中任取取一个流体的微元A 。设点A 的空间坐标为r = (x , y , z )，运动速度为
V A = V (x , y , z , t )＝v x (x , y , z , t )i + v y (x , y , z , t )j + v z (x , y , z , t )k 同一时刻，在A 的邻近处再取微元B ，B 点的坐标点矢径为r + δr = (x+δx , y+δy , z+δz )，运动速度为 V B = V B (x , y , z , t )＝V (x+δx , y+δy , z+δz , t )
当绝对值 |δr | 很小时，V B 取V A 的一阶增量，即取A 点
速度的多元函数泰勒级数一阶展开式
V V V V V V V δδδδ+=??+??+??+
=A A B z z
y y x x （3－59） 其中
z z
y y x x δδδδ??+??+??=
V
V V V （3－60） 或
?
???
??
???
??+??+??=??+??+??=??+??+??=
z z v y y v x x v v z z v y y v x x v v z z
v y y v x x v v z z z z y y y y x x x x δδδδδδδδδδδδ （3－61）
图3－17 球坐标系
写成矩阵形式
??
?
???????????????
????????????????????????????=??????????z y x z v y
v x
v
z v y v x v z v y v x
v v v v z z z y y y x x
x z y x δδδδδδ （3－62）
显然，δV 表示的是在t 时刻，点B 相对于点A 的相对运动速度。
根据矩阵运算法则,可以把上式中的九个偏导数组成的的方阵分解为一个对称方阵和一个反对称方阵
???
?
????
?
???
??????????+????+????+??????+????+????+????=??????
??????????????????????????????z v z v y v z
v x v y v x v y v y v x v x v z v x
v y v x v z v y
v x
v z v y v x v z v y v x v z
y z x z x y y
x
y z x y
x x
z z z y y y x x
x )(21)(21)(21)(21)(21)(21
????
????
?
???
???
???
??-????-????-????-????-????-??+0
)(21)(21)(210)(21)(21)(210z
v y v z
v x v y v x v y v x v x v z v x
v y v y z x z x y x y z x y x （3－63） 为使上式简明，定义以下一些符号和量，令
,x v x xx ??=
ε ,y v y yy ??=ε,z v
z zz ??=ε ),(21x
v y v y
x yx
xy ??+??==εε ),(
21x
v z v z
x zx xz ??+??==εε
),(21y v x v x
y zy yz ??+??==εε
),(21z
v y v y
z x ??-??=Ω
),(21x
v z v z x y ??-??=Ω
)(21y
v x v x
y z ??-??=Ω
上述各式代入（3－63）和（3－62），得：
??
?
??
Ω-Ω+++=Ω-Ω+++=Ω-Ω+++=x y z y x v z x z y x v y z z y x v y z zz zy zx z x z yz yy yx y z y xz xy xx x δδδεδεδεδδδδεδεδεδδδδεδεδεδ (3-64)
写成矢量式：
r r δδδ?+?=ΩE V (3-65) 代入(3-59)：
r r δδ?+?+=ΩE V V A B (3-66)
其中
k j i z y x Ω+Ω+Ω=Ω (3-67)
???
?
?
?????=zz zy zx yz yy yx
xz xy xx εεεεεεεεεE (3-68) 这就是流体力学中的亥姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理。关于定理的意义在下一节将进
行分析。
3.4.2 流体微元运动的四种形式 现在考察式(3-64)各项的意义。我们无需分析复杂的空间运动情况，而仅需分析一下平面流动就足以说明式(3-64)各项的意义。
图3－18 流体微元的平面运动
如图3－18，设流体ABCD 只在xoy 平面运动，若A 点的速度为(x v ,y v )，根据式（3－59），可得其他三点的速度并分别标在图上。
由于在t 时刻A 、B 、C 、D 各点的速度不同，故经过Δt 时刻后，ABCD 矩形将变形为近似矩形A ’B ’C ’D ’。这个变形可以分解为四种单一运动的合成，即为平移、线变形、旋转和角变形运动的综合结果，这四种运动如图3－19所示。事实上，亥姆霍兹速度分解定理正是将流体的运动分解为这四种运动。
因为0,0==z z v δ，故(3-64)可以简化为：
??
???Ω++=Ω-+=x y x v y y x v z yy yx y z xy xx x δδεδεδδδεδεδ (3-69)
当A(x,y)点运动到A ’ (x+δx , y+δy)点后，A ’的速度可以表示为
??
?
??Ω+++=Ω-++=x y x v v y y x v v z yy yx y y z xy xx x x δδεδεδδεδε'' (3-70)
此式包含了(3-64)中所涉及的各种符号，所以完全可以分析亥姆霍兹(Helmholtz)速度分解定
理中各项的含义，下面分析其中包含的四种运动。
图3－19 流体微元的四种运动形式
3.4.2.1 平移运动
当式（3－70）中
??
?
??=Ω===Ω==00z yy yx z xy xx εεεε (3-71)
则有 ?
??
==y y x x v v v v '' (3-72)
上式表明，微元运动从A 运动到C 时，包含有平移运动。若流体对象ABCD 做平移运动，则保持形状不变，如图3－19所示，ABCD 做平移运动到A ’B ’C ’D ’。 x v 、y v 称为平移速度。
3.4.2.2线变形运动
若在流动中，只有x 方向的速度x v 以及
0≠??x
v x
，则在时间经过Δt 后，运动的流体微元只有AB 边在x 方向发生了相对变化，如图3－20，其相对变化率就是线变形率，为
xx x x
x x x x
v t x t
x x v t x t v t x x v v t
AB AA BB t AB AB B A εδδδδ=??=??????=???-???+
=
??-=??-)('
''' (3-73)
上式表明：x v x
xx ??=
ε表示的是运动流体沿x 方向的线变形率。同理可知，y
v y yy ??=ε表示的是运动流体沿y 方向的线变形率，,z
v z
zz ??=ε表示的是运动流体沿z 方向的线变形率。可以推论，微元在空间的体膨胀率应为
zz yy xx z
y x z
v y v x v εεεκ++=??+??+??=
(3-74) 图3－20 线变形运动分析
第三章 一元流体动力学基础 1.直径为150mm 的给水管道，输水量为h kN /7.980，试求断面平均流速。 解：由流量公式vA Q ρ= 注意：()vA Q s kg h kN ρ=?→// A Q v ρ= 得：s m v /57.1= 2.断面为300mm ×400mm 的矩形风道,风量为2700m 3/h,求平均流速.如风道出口处断面收缩为150mm ×400mm,求该断面的平均流速 解：由流量公式vA Q = 得：A Q v = 由连续性方程知2211A v A v = 得：s m v /5.122= 3.水从水箱流经直径d 1=10cm,d 2=5cm,d 3=2.5cm 的管道流入大气中. 当出口流速10m/ 时,求 (1)容积流量及质量流量;(2)1d 及2d 管段的流速 解：(1)由s m A v Q /0049.0333== 质量流量s kg Q /9.4=ρ (2)由连续性方程： 33223311,A v A v A v A v == 得：s m v s m v /5.2,/625.021== 4.设计输水量为h kg /294210的给水管道，流速限制在9.0∽s m /4.1之间。试确定管道直径，根据所选直径求流速。直径应是mm 50的倍数。 解：vA Q ρ= 将9.0=v ∽s m /4.1代入得343.0=d ∽m 275.0 ∵直径是mm 50的倍数，所以取m d 3.0= 代入vA Q ρ= 得m v 18.1= 5.圆形风道，流量是10000m 3/h,，流速不超过20 m/s 。试设计直径，根据所定直径求流速。直径规定为50 mm 的倍数。 解：vA Q = 将s m v /20≤代入得：mm d 5.420≥ 取mm d 450= 代入vA Q = 得：s m v /5.17= 6.在直径为d 圆形风道断面上，用下法选定五个点，以测局部风速。设想用和管轴同心但不同半径的圆周，将全部断面分为中间是圆，其他是圆环的五个面积相等的部分。测点即位于等分此部分面积的圆周上，这样测得的流速代表相应断面的平均流速。（1）试计算各测点到管心的距离，表为直径的倍数。（2）若各点流速为54321u u u u u ，，，，，空气密度为ρ，求质量流量G 。
第四章 流体动力学基础 复习思考题 1. 在 流动中，伯努利方程不成立。D (A) 恒定 (B) 理想流体 (C) 不可压缩 (D) 可压缩 2. 在总流伯努利方程中，速度 v 是 速度。B (A) 某点 (B) 断面平均 (C) 断面形心处 (D) 断面上最大 3. 文透里管用于测量 。D (A) 点流速 (B) 压强 (C) 密度 (D) 流量 4. 毕托管用于测量 。A (A) 点流速 (B) 压强 (C) 密度 (D) 流量 5. 密度 ρ = 800kg/m 3 的油在管中流动，若压强水头为2m 油柱，则压强为 N/m 2。C (A) 1.96×104 (B) 2×103 (C) 1.57×104 (D) 1.6×103 6. 应用总流能量方程时，两断面之间 。D (A) 必须是缓变流 (B) 必须是急变流 (C) 不能出现急变流 (D) 可以出现急变流 7. 应用总流动量方程求流体对物体合力时，进、出口的压强应使用 。B (A) 绝对压强 (B) 相对压强 (C) 大气压强 (D) 真空值 8. 伯努利方程中 g v p z 22 αγ++表示 。B (A) 单位质量流体具有的机械能 (B) 单位重量流体具有的机械能 (C) 单位体积流体具有的机械能 (D) 通过过流断面的总机械能 9. 粘性流体恒定总流的总水头线沿程变化规律是 。A (A) 沿程下降 (B) 沿程上升 (C) 保持水平 (D) 前三种情况都有可能 10. 粘性流体恒定总流的测压管水头线沿程变化规律是 。D (A) 沿程下降 (B) 沿程上升 (C) 保持水平 (D) 前三种情况都有可能 11. 动能修正系数α = 。C (A) A v u A A ??d 1 (B) A v u A A ????? ??d 12 (C) A v u A A ????? ??d 13 (D) A v u A A ????? ??d 14 12. 动量修正系数α0 = 。B (A) A v u A A ??d 1 (B) A v u A A ????? ??d 12 (C) A v u A A ????? ??d 13 (D) A v u A A ????? ??d 14 13. 描述不可压缩粘性流体运动的微分方程是 。D (A) 欧拉方程 (B) 边界层方程 (C) 斯托克斯方程 (D) 纳维—斯托克斯方程 14. 恒定水流运动方向应该是： 。D (A) 从高处向低处流 (B) 从压强大处向压强小处流 (C) 从流速大的地方向流速低的地方流 (D) 从单位重量流体机械能高的地方向低的地方流 15. 欧拉运动微分方程式 。D (A) 适用于不可压缩流体，不适用于可压缩流体 (B) 适用于恒定流，不适用于非恒定流 (C) 适用于无旋流，不适用于有旋流 (D) 适用于上述所提及的各种情况下的流动。 16. 两艘平行行驶的船只，为什么不能靠得太近？ 17. 理想流体运动微分方程的伯努利积分和欧拉积分有何区别？ 18. 粘性流体运动微分方程和理想流体微分方程主要差别是什么？ 19. N-S 方程适用范围是什么？各项的物理意义是什么？
3 流体运动学基础 一、学习目的和任务 1.理解拉格朗日(Lagrange)方法和欧拉(Euler)方法的基本思想。 2.掌握流体动力学中的若干基本概念。 3.掌握流体运动的连续性方程的积分形式及其应用。 4.了解连续性方程的微分形式和圆柱坐标系、球面坐标系中的连续性方程。 5.了解流体微元的运动分析的基本方法，理解亥姆霍兹速度分解定理。 6.理解流体微元运动的四种形式。 二、重点、难点 1.重点 欧拉(Euler)方法、连续性方程的积分形式、亥姆霍兹速度分解定理、微元运动的四种形式。 2.难点 连续性方程、亥姆霍兹速度分解定理。 流体运动学主要讨论流体的运动参数（例如速度和加速度）和运动描述等问题。运动是物体的存在形式，是物体的本质特征。流体的运动无时不在，百川归海、风起云涌是自然界流体运动的壮丽景色。而在工程实际中，很多领域都需要对流体运动规律进行分析和研究。因此，相对于流体静力学，流体运动学的研究具有更加深刻和广泛的意义。 3.1 描述流体运动的二种方法 为研究流体运动，首先需要建立描述流体运动的方法。从理论上说，有二种可行的方法：拉格朗日(Lagrange)方法和欧拉(Euler)方法。流体运动的各物理量如位移、速度、加速度等等称为流体的流动参数。对流体运动的描述就是要建立流动参数的数学模型，这个数学模型能反映流动参数随时间和空间的变化情况。拉格朗日方法是一种“质点跟踪”方法，即通过描述各质点的流动参数来描述整个流体的流动情况。欧拉方法则是一种“观察点”方法，通过分布于各处的观察点，记录流体质点通过这些观察点时的流动参数，同样可以描述整个流体的流动情况。下面分别介绍这二种方法。 3.1.1拉格朗日(Lagrange)方法 这是一种基于流体质点的描述方法。通过描述各质点的流动参数变化规律，来确定整个流体的变化规律。无数的质点运动组成流体运动，那么如何区分每个质点呢？区分各质点方法是根据它们的初始位置来判别。这是因为在初始时刻（t=t0）,每个质点所占的初始位置（a,b,c）各不相同，所以可以据此区别。这就像长跑运动员一样，在比赛前给他们编上号码，在任何时刻就不至于混淆身份了。当经过△t时间后，t=t0+△t，初始位置为a,b,c）的某质点到达了新的位置(x,y,z)，因此，拉格朗日方法需要跟踪质点的运动，以确定该质点的流动参数。拉格朗日方法在直角坐标系中位移的数学描述是：
第三章流体动力学基础复习题 一、概念部分 1、描述流体运动的方法有和；前者以为研究对象，而后者以为研究对象。 2、流体运动的几何描述有：，，和。 3、流线有什么特点？流线、脉线和迹线有什么区别和联系？ 4、流体微团基本运动形式有，和变形运动等， 而变形运动又包括和两种。 5、描述有旋运动几何要素有、和。 6、判断正误：理想流体不存在有旋运动是否正确？为什么？试举例说明。 7、表征涡流的强弱的参数有和。 8、在无涡流空间画出的封闭周线上的速度环量为。 9、简述汤姆孙定理的内容 10、速度势函数?存在的条件是什么？流函数存在的条件是什么？ 11、简述流函数的物理意义的内容，并证明。 12、流网存在的条件是什么？简述流网的性质所包含的内容？ 13、无环量圆柱绕流运动由流、流和流叠加而成，有环量的圆柱绕流运动是无环量的圆柱绕流运动与流叠加而成。 14、是驻点。通过驻点的流线一定是零流线，是否正确？为什么？零流线是。轮廓线是。 15、描述流体运动的微分方程有、和。 写出它们的表达式。 16、纳维-斯托克斯方程中的速度只能是平均速度，是否正确？为什么？ 17、写出总水头和测压管水头的表达式，并说明各项的物理意义。 18、写出总压、全压和势压得表达式，并说明各项的物理意义。 19、简述系统和控制体的定义和特点 二、计算部分 1、已知拉格朗日描述：求速度与加速度的欧拉描述 2、试判断下列流场的描述方式：并转换成另一种描述方式 3、已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为： 试求在t=0时刻位于点（a,b)的流体质点的运动轨迹及拉格朗日法表示的速度场 4、粘性流体在半径为R 的直圆管内做定常流动。设圆管截面（指垂直管轴的平面截面）上?????==-t t be y ae x ()()?????+-=+-=-t y t x e b u e a u 1111???+=+=t y u t x u y x
思考题及答案 一、选择 (1) 二、例题 (2) 三、问答 (14) 一、选择 问题：恒定流是： A、流动随时间按一定规律变化； B、流场中任意空间点的运动要素不随时间变化； C、各过流断面的速度分布相同； D、各过流断面的压强相同。 问题：非恒定流是： A、； B、； C、； D、。 问题：一元流动是： A、均匀流； B、速度分布按直线变化； C、运动参数是一个空间坐标和时间变量的函数； D、限于直线流动。 问题：均匀流是： A、当地加速度为零； B、迁移加速度为零； C、向心加速度为零； D、合加速度为零。 问题1：流速势函数存在的必要与充分条件是: A、平面无旋流动； B、理想流体平面流动； C、不可压缩流体平面流动； D、无旋流动。 问题2：设流速势函数j=xyz，则点B（1，2，1）处的速度u 为： B A、5； B、1； C、3； D、2。
判断：公式（3－14）与公式（3－16）两式形式完全相同，因此其应用条件也相同。 你的回答：对错 判断：土坝渗流中的流网网格一定是直线正方形网格。 你的回答：对错 二、例题 例1如图3-7，已知流速场为，其中C为常数，求流 线方程。 解：由式得 图3-7 积分得： 则： 此外，由得： 因此，流线为Oxy平面上的一簇通过原点的直线，这种流动称为平面点源流动（C＞0时）或平
面点汇流动（C＜0时） 例2已知平面流动 试求：（1）t=0时，过点M（-1，-1）的流线。 （2）求在t=0时刻位于x=-1，y=-1点处流体质点的迹线。解：（1）由式 （2）由式 得 得 得： 由t=0时，x=-1，y=-1得C 1=0, C 2 =0，则有： 将：t=0，x=-1，y=-1 代入得瞬时流线 xy=1 最后可得迹线为： 即流线是双曲线。 例3已知流动速度场为
第四章 流体动力学基础 4-1 设固定平行平板间液体的断面流速分布为1/7 max /2/2u B y u B -??= ??? ，0y ≥ 总流的动能修正系数为何值? 解：1 7 2max max 012728 2B A A B y v ud u dy u B A B ??- ?=== ????? 因为31.0A A u d A v α???≈+ ??? ? u u v ?=-所以 1 7 22 33821.0 1.01 1.0572B B A A B y u v d dy B A v B α-????-- ??? ?≈+ =+?-= ? ? ??? ????? ?? 4-2 如图示一股水流自狭长的缝中水平射出，其厚度00.03m δ=，平均流速V 0＝8m/s ，假设此射流受重力作用而向下弯曲，但其水平分速保持不变。试求(1)在倾斜角45θ=o 处的平均流速V ；(2)该处的水股厚度δ。 解：（1）由题意可知：在45度水流处，其水平分速度仍为8m/s,由勾股定理可得：V=? 45sin 8 =11.31m/s （2）水股厚度由流量守恒可得：VD D V δδ=000，由于缝狭长，所以两处厚 度近似相等，所以00 0.038 0.02111.31 V V δδ?= = =m 。 4-3 如图所示管路，出口接一收缩管嘴，水流射人大气的速度V 2=20m/s ，管径d 1＝0.1m ，管嘴出口直径d 2＝0.05m ，压力表断面至出口断面高差H ＝5m ，两断面间的水头损失为210.5(/2)V g 。试求此时压力表的读数。
解：取压力表处截面为截面1-1，收缩管嘴处截面为截面2-2，选择两截面包围的空间为控制体，由实际流体的恒定总流能量方程得：
第三章 流体动力学基础 习 题 一、单选题 1、在稳定流动中，在任一点处速度矢量是恒定不变的，那么流体质点是 （ ） A ．加速运动 B ．减速运动 C ．匀速运动 D ．不能确定 2、血管中血液流动的流量受血管内径影响很大。如果血管内径减少一半，其血液的流量将变为原来的（ ）倍。 A ．21 B ．41 C ．81 D ．161 3、人在静息状态时，整个心动周期内主动脉血流平均速度为0.2 m/s ，其内径d =2×10-2 m ，已知血液的粘度η =×10-3 Pa·S，密度ρ=×103 kg/m 3 ，则此时主动脉中血液的流动形态处于（ ）状态。 A ．层流 B ．湍流 C ．层流或湍流 D ．无法确定 4、正常情况下，人的小动脉半径约为3mm ，血液的平均速度为20cm/s ，若小动脉某部分被一硬斑阻塞使之变窄，半径变为2mm ，则此段的平均流速为（ ）m/s 。 A ．30 B ．40 C ．45 D ．60 5、有水在同一水平管道中流动，已知A 处的横截面积为S A =10cm 2 ，B 处的横截面积为 S B =5cm 2，A 、B 两点压强差为1500Pa ，则A 处的流速为（ ）。 A ．1m/s B ．2m/s C ．3 m/s D ．4 m/s 6、有水在一水平管道中流动，已知A 处的横截面积为S A =10cm 2 ，B 处的横截面积为S B =5cm 2 ，A 、B 两点压强之差为1500Pa ，则管道中的体积流量为（ ）。 A ．1×10-3 m 3 /s B ．2×10-3 m 3 /s C ．1×10-4 m 3 /s D ．2×10-4 m 3 /s 7、通常情况下，人的小动脉内径约为6mm ，血流的平均流速为20cm/s ，若小动脉某处被一硬斑阻塞而变窄，测得此处血流的平均流速为80cm/s ，则小动脉此处的内径应为（ ）mm 。 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 8、正常情况下，人的血液密度为×103 kg/m 3 ，血液在内径为6mm 的小动脉中流动的平均速度为20cm/s ，若小动脉某处被一硬斑阻塞而变窄，此处内径为4mm ，则小动脉宽处与窄处压强之差（ ）Pa 。 二、判断题
第三章 一元流体动力学基础 1.直径为150mm 的给水管道，输水量为h kN /7.980，试求断面平均流速。 解：由流量公式vA Q ρ= 注意：()vA Q s kg h kN ρ=?→// A Q v ρ= 得：s m v /57.1= 2.断面为300mm ×400mm 的矩形风道,风量为2700m 3/h,求平均流速.如风道出口处断面收缩为150mm ×400mm,求该断面的平均流速 解：由流量公式vA Q = 得：A Q v = 由连续性方程知2211A v A v = 得：s m v /5.122= 3.水从水箱流经直径d 1=10cm,d 2=5cm,d 3=2.5cm 的管道流入大气中. 当出口流速10m/ 时,求 (1)容积流量及质量流量;(2)1d 及2d 管段的流速 解：(1)由s m A v Q /0049.0333== 质量流量s kg Q /9.4=ρ (2)由连续性方程： 33223311,A v A v A v A v == 得：s m v s m v /5.2,/625.021== 4.设计输水量为h kg /294210的给水管道，流速限制在9.0∽s m /4.1之间。试确定管道直径，根据所选直径求流速。直径应是mm 50的倍数。 解：vA Q ρ= 将9.0=v ∽s m /4.1代入得343.0=d ∽m 275.0 ∵直径是mm 50的倍数，所以取m d 3.0= 代入vA Q ρ= 得m v 18.1= 5.圆形风道，流量是10000m 3/h,，流速不超过20 m/s 。试设计直径，根据所定直径求流速。直径规定为50 mm 的倍数。 解：vA Q = 将s m v /20≤代入得：mm d 5.420≥ 取mm d 450= 代入vA Q = 得：s m v /5.17= 6.在直径为d 圆形风道断面上，用下法选定五个点，以测局部风速。设想用和管轴同心但不同半径的圆周，将全部断面分为中间是圆，其他是圆环的五个面积相等的部分。测点即位于等分此部分面积的圆周上，这样测得的流速代表相应断面的平均流速。（1）试计算各测点到管心的距离，表为直径的倍数。（2）若各点流速为 54321u u u u u ，，，，，空气密度为ρ，求质量流量G 。 解：（1）由题设得测点到管心的距离依次为1r ……5r
［陈书4－8］测量流速的皮托管如图所示，设被测流体的密度为ρ，测压管内液体密度为1ρ，测压管内液面的高度差为h 。假定所有流体为理想流体，皮托管直径很小。试证明所测流速 ρ ρρ-=12gh v ［证明］沿管壁存在流线，因此可沿管壁列出理想流体的Bernoulli 方程： g p g V z g p g V z ρρ2222121122++=++ （1） 其中点1取在皮托管头部（总压孔），而点2取在皮托管环向测压孔（静压孔）处。 因流体在点1处滞止，故：01=V 又因皮托管直径很小，可以忽略其对流场的干扰，故点2处的流速为来流的速度，即： 2V v = 将以上条件代入Bernoulli 方程（1），得： ()??????-+-=g p p z z g v ρ21212 （2） 再次利用皮托管直径很小的条件，得：021=-z z 从测压管的结果可知：()gh p p ρρ-=-121 将以上条件代入（2）式得：ρρρ-= 12gh v 证毕。 ［陈书4－13］水流过图示管路，已知21p p =，m m 3001=d ，s m 61=v ，m 3=h 。不计损失，求2d 。 ［解］因不及损失，故可用理想流体的Bernoulli 方程： g p g v z g p g v z ρρ2222121122++=++ （1） 题中未给出流速沿管道断面的分布，再考虑到理想流体的条件，可认为流速沿管道断面不变。此外，对于一般的管道流动，可假定水是不可压缩的，于是根据质量守恒可得： 2211A v A v = （2）
其中1A 和2A 分别为管道在1和2断面处的截面积： 4211d A π=，4222d A π= （3） 方程（1）可改写为： ()g p p g v z z g v ρ2121212222-++-= （4） 根据题意：021=-p p ，h z z =-21 （5） 将（5）代入（4），得：g v h g v 222122+= （6） 再由（2）和（3）式可得：44 2222 11d v d v ππ= 所以：222112d d v v = （7） 将（7）式代入（6）得：g v h g d d v 2221424121 += 整理得：2 12142412v v gh d d += 14212122d v gh v d += （8） 将m m 3001=d ，s m 61=v ，m 3=h ，2m 8.9=g 代入（8）式，得： ()mm 236m 236.03.036 8.96364 2==?+?=d ［陈书4－19］图示两小孔出流装置，试证明不计流动损失时有关系式()22211y h y y h =+。（此题陈书2y 的标注有误） ［证明］因不计损失，可视流体为理想流体，则位于1h 深度处的小孔出流速度为： 112gh v =
第四章 流体动力学基础 本章在流体运动学的基础上，加进动力学因素，对运动流体的应力状态作进一步分析，定义应力张量，并给出应力张量和变形率张量之间的联系。建立不可压缩流体运动微分方程 — N-S 方程。对理想流体运动微分方程 —— 欧拉方程在恒定条件下沿流线积分得到恒定元流的能量方程 —— 伯努利方程，进而推广到总流，得到恒定总流的能量方程。将动量守恒定律用于恒定总流得到恒定总流的动量方程。 §4—1运动流体的应力状态 ● 在静止流体里，无论是理想还是粘性流体，流体质点只能承受压应力，即静水压强。 任一点上的静水压强与作用方向无关，只是位置的函数。这说明静止流体的应力状态可由一个静压强（数量场）来描述。 ● 在运动的流体中，既可能有压应力又可能有切应力。把流体在运动状态下的压应力叫 做动水压强，以示与静水压强的区别。 ● 在运动的理想流体里，由于没有粘滞性的作用，虽有质点的相对运动，也不会有切应 力，因此理想流体中只有动水压强，而且可用分析静水压强特性的同样方法推证：任一点的动水压强在各方向上的大小都相等，和静水压强有同样的特性。 ● 在运动的实际流体中，由于粘滞性作用，既有压应力又有切应力。任意一点处的应力 是矢量，而且还与作用面方向有关。所以把法向为n 的作用面上的应力矢量表示为 ),,,(t z y x p n ，这里我们定义法线的正方向为受力面的外法向，即法向应力为正表示流体 受拉。应力矢量的分量形式为),,(nz ny nx p p p ，其中每一个分量的两个脚标的含义是：前一个表示作用面方向；后一个表示应力分量之投影方向。由此，也可知 xy p 等的含义。 ● 由如下九个量组成的二阶张量，称为应力张量，记为 ??? ? ? ?????=zz zy zx yz yy yx xz xy xx p p p p p p p p p ][P 主对角线上的三个元素是法应力分量，其它是切应力分量。可以证明这个张量是对称的，所以它只有六个独立的分量。 ● 有了应力张量[P ]，任意方位作用面上的应力都可知道，为：][P ?=n p n ，如法向为n 的 作用面上应力的y 方向的分量为 z zy y yy x xy ny n p n p n p p ++= ● 运动流体中的每一点都对应一个应力张量，有了这个应力张量，即可知道该点处任意方位作用面上的应力，可见运动流体的应力状态可由应力张量来描述。 ● 应力张量主对角线上三个元素之和 zz yy xx p p p ++ 是坐标变换中的不变量，即其值不随 坐标轴的转动而改变，任意三个相互垂直的作用面上的法应力之和都是相同的。于是可定义 )(3 1 zz yy xx p p p p ++-= 为流体的动压强。它由场点唯一对应，而与作用面的方位无关。所以运动流体中存在一动压强场，它是数量场。要注意p 并非任意方位作用面上真正的压应力nn p -. ● 各向同性的不可压缩牛顿流体的应力和变形速率之间存在线性关系：
第三章流体动力学基础 描述流体运动的两种方法： 拉格朗日法和欧拉法。除个别质点的运动问题外，都应用欧拉法。 拉格朗日法：是以个别质点为研究对象，观察该质点在空间的运动，然后将每个质点的运动情况汇总，得到整个流体的运动。质点的运动参数是起始坐标和时间变量t的连续函数。 欧拉法：是以整个流动空间为研究对象，观察不同时刻各空间点上流体质点的运动，然后将每个时刻的情况汇总起来，描述整个运动。空间点的物理量是空间坐标）和时间变量t的连续函数。 恒定流：各空间点上的运动参数都不随时间变化的流动。 非恒定流：各空间点上的运动参数随时间变化的流动。 一（二、三）元流：流体流动时各空间点上的运动参数是一（二、三）个空间坐标和时间变量的连续函数。 均匀流：流线是平行直线的流动。 非均匀流：流线不是平行直线的流动。 流线：表示某时刻流动方向的曲线，曲线上各质点的速度矢量都与该曲线相切。迹线：流体质点在一段时间内的运动轨迹。 流管：某时刻，在流场内任意做一封闭曲线，过曲线上各点做流线，所构成的管状曲面。 流束：充满流体的流管。 过流断面：与所有流线正交的横断面。 元流：过流断面无限小的流束，断面上各点的运动参数均相同。
总流：过流断面为有限大小的流束，断面上各点的运动参数不相同。流量：单位时间内通过某一过流断面的流体量。以体积计为体积流量，简称流量；以质量计为质量流量；以重量计为重量流量 非均匀渐变流：在非均匀流中流线近似于平行直线的流动。 水头线：总流或元流沿程能量变化的几何图示。 水力坡度：单位流程内的水头损失。 （简答）流线有哪些主要性质？流线和迹线有无重合的情况？答：流线性质：（1）在恒定流中，流线的形状和位置不随时间变化；（2）在同一时刻，一般情况下流线不能相交或转折。在恒定流中流线与迹线重合，非恒定流中一般情况下两者不重合，但当速度方向不随时间变化只是速度大小随时间变化时，两者仍重合。 试述流动分类：（1）根据运动参数是否随时间变化，分为恒定流和非恒定流；（2）根据运动参数与空间坐标的关系，分为一元流、二元流和三元流；（3）根据流线是否平行，分为均匀流和非均匀流。 不可压缩流体的连续性微分方程：不可压缩流体运动必须满足该方程。
流体力学基本练习题 一、名词解释 流体质点、流体的体膨胀系数、流体的等温压缩率、流体的体积模量、流体的粘性、理想流体、牛顿流体、不可压缩流体、质量力、表面力、等压面、质点导数、定常场、均匀场、迹线、流线、流管、流束、流量、过流断面（有效截面）、层流、湍流、层流起始段、粘性底层、水力光滑管、水力粗糙管、沿程阻力、局部阻力 二、简答题 1. 流体在力学性能上的特点。 2. 流体质点的含义。 3. 非牛顿流体的定义、分类和各自特点。 4. 粘度的物理意义及单位。 5. 液体和气体的粘度变化规律。 6. 利用欧拉平衡方程式推导出等压面微分方程、重力场中平衡流体的微分 方程。 7. 等压面的性质。 8. 不可压缩流体的静压强基本公式、物理意义及其分布规律。 9. 描述流体运动的方法及其各自特点 10. 质点导数的数学表达式及其内容。写出速度质点导数。 11. 流线和迹线的区别，流线的性质。 三、填空题、判断 （一）流体的基本物理性质 1. 水力学是研究液体静止和运动规律及其应用的一门科学。（） 2. 当容器大于液体体积，液体不会充满整个容器，而且没有自由表面。（） 3. 气体没有固定的形状，但有自由表面。（） 4. 水力学中把液体视为内部无任何间隙，是由无数个液体质点组成的。（）
5. 粘滞性是液体的固有物理属性，它只有在液体静止状态下才能显示出来，并且是引起液体能量损失的根源。（） 6. 同一种液体的粘滞性具有随温度升高而降低的特性。（） 7. 作层流运动的液体，相邻液层间单位面积上所作的内摩擦力，与流速梯度成正比，与液体性质无关。（） 8. 惯性力属于质量力，而重力不属于质量力。（） 9. 质量力是指通过所研究液体的每一部分重量而作用于液体的、其大小与液体的质量成比例的力. （） 10. 所谓理想流体，就是把水看作绝对不可压缩、不能膨胀、有粘滞性、没有表面张力的连续介质。（） 11. 表面力是作用于液体表面，与受力作用的表面面积大小无关。（） 12. 水和空气的黏度随温度的升高而减小。（） 13. 流体是一种承受任何微小切应力都会发生连续的变形的物质。（） 14. 牛顿流体就是理想流体。（） 15. 在一个大气压下，温度为4C时，纯水的密度为1000kg/m A3o （） 16. 不同液体的黏滞性各不相同，同一液体的黏滞性是一常数。（） 17. 水力学中，单位质量力是指作用在单位_____ 液体上的质量力。（） A 面积 B 体积 C 质量 D 重量 18. 水力学研究的液体是一种_____ 、____ 、_____ 续质。（） A 不易流动易压缩均质 B 不易流动不易压缩均质 C 易流动易压缩均质 D 易流动不易压缩均质 19. 不同的液体其粘滞性_____ ,同一种液体的粘滞性具有随温度 _________ 而降低的特性。（） A 相同降低 B 相同升高 C 不同降低 D 不同升高 20. 动力粘滞系数的单位是：（B） 22 A N.s/m B N.s/m 2 C m 2/s D m/s 21. 下列说法正确的是：（）
第三章流体动力学基础 本章是流体动力学的基础。主要阐述了流体运动的两种描述方法,运动流体的基本类别与基本概念，用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程。此外，还阐述了无旋流与有旋流的判别，引出了流函数与势函数的概念，并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多复杂问题。 第一节流体流动的基本概念 1.流线 （1）流线的定义 流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。图3-1为流线谱中显示的流线形状。 （2）流线的作法： 在流场中任取一点（如图3-2），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。 流线是欧拉法分析流动的重要概念。 图3-1 图3-2 （3）流线的性质（图3-3） a.同一时刻的不同流线，不能相交。图3-3 因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。 b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。 因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。 c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。 因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。 （4）流线的方程（图3-4） 根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：图3-4
设d s为流线上A处的一微元弧长: u为流体质点在A点的流速: 因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和d s重合。 所以即 展开后得到：——流线方程（3-1） （或用它们余弦相等推得) 2.迹线 (1)迹线的定义 迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。 图3-5中烟火的轨迹为迹线。 (2)迹线的微分方程 （3-2） 式中，u x,u y,u z均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。图3-5 注意：流线和迹线微分方程的异同点。 ——流线方程 3.色线（colouring line) 又称脉线，是源于一点的很多流体质点在同一瞬时的连线。 例如：为显示流动在同一点投放示踪染色体的线，以及香烟线都是色线。图3-6 考考你：在恒定流中，流线、迹线与色线重合。 流线、迹线、色线的比较： 概念名 流线是表示流体流动趋势的一条曲线，在同一瞬时线上各质点的速度向量都与其相切，它描述了流场中不同质点在同一时刻的运动情况。
第3章流体运动学 选择题： 【3.1】 用欧拉法表示流体质点的加速度a 等于：（a ）22 d d t r ；（b ）v t ??；（c ）()v v ??； （d ）()t ?+???v v v 。 解：用欧拉法表示的流体质点的加速度为 () d d t t ?= =+??v v a v v （d ） 【3.2】 恒定流是：（a ）流动随时间按一定规律变化；（ b ）各空间点上的运动要 素不随时间变化；（c ）各过流断面的速度分布相同；（d ）迁移加速度为零。 解：恒定流是指用欧拉法来观察流体的运动，在任何固定的空间点若 流体质点的所有物理量皆不随时间而变化的流动. （b ） 【3.3】 一元流动限于：（a ）流线是直线；（b ）速度分布按直线变化；（c ）运 动参数是一个空间坐标和时间变量的函数；（d ）运动参数不随时间变化的流动。 解：一维流动指流动参数可简化成一个空间坐标的函数。 （c ） 【3.4】 均匀流是：（a ）当地加速度为零；（b ）迁移加速度为零；（c ）向心加 速度为零；（d ）合加速度为零。 解：按欧拉法流体质点的加速度由当地加速度和变位加速度（亦称迁移加速度）这两部分组成，若变位加速度等于零，称为均匀流动 （b ） 【3.5】 无旋运动限于：（a ）流线是直线的流动；（b ）迹线是直线的流动；（c ） 微团无旋转的流动；（d ）恒定流动。 解：无旋运动也称势流，是指流体微团作无旋转的流动，或旋度等于零的流动。 （d ） 【3.6】 变直径管，直径1320mm d =，2160mm d =，流速1 1.5m/s V =。2V 为：（a ） 3m/s ；（b ）4m/s ；（c ）6m/s ；（d ）9m/s 。 解：按连续性方程， 22 1 12 2 4 4 V d V d π π =，故
第4章 流体动力学基础 4.1 重度γoil =8.82kN/m 3的重油，沿直径d =150mm 输油管路流动，现测得其重量流量Q G =490kN/h ，问它的体积流量Q V 及平均流速v 各为若干？ 解：体积流量33 490kN/h 55.56m /h 8.82kN/m G v Q Q γ = = =, 平均流速2 2155.561 0.873m/s 36000.15/43600 4 v Q v d ππ= ? =?= 4.2 如图所示，水流过长直圆管的A 、B 两断面，A 处的压头比B 处大45m ，试问：(1)水的流动方向？(2)水头损失f h ？设流动不可压，一维定常流，H =50m 。（压头为p /γ） 解：（1）假定流体从A 到B ，伯努利方程22 1 122 1222f p u p u z z h g g γγ++=+++ 流动不可压缩，一维定常流，则1 2 12f p p z z h γ γ + =+ + 水头损失1 2 125m<0f p p h z z γ γ =-+- =-，则表明流体的流动是从B 到A （2）水头损失f h =5m 4.3 水银压差计连接在水平放置的汾丘里流量计上，如图。今测得其中水银高差h =80mm,已知D =10厘米，d =5厘米，汾丘里流量计的流量系数μ=0.98。问水通过流量计的实际流量为若干？ 题4.2图 题4.3图 解：由文丘流量计流量公式2 111 2 1 2(1)1d g h Q Au A γαγ?==--得 2 3 2212 2 11 22(1)(1)0.0201m /s 14 1d d g h D g h Q A γγπαγαγ??=-=-=-- 其中2 212()4d A D A d α= ==，22211113.613.61 g g γρργρρ====
3 流体运动学基础 流体运动学主要讨论流体的运动参数（例如速度和加速度）和运动描述等问题。运动是物体的存在形式，是物体的本质特征。流体的运动无时不在，百川归海、风起云涌是自然界流体运动的壮丽景色。而在工程实际中，很多领域都需要对流体运动规律进行分析和研究。因此，相对于流体静力学，流体运动学的研究具有更加深刻和广泛的意义。 3.1 描述流体运动的二种方法 为研究流体运动，首先需要建立描述流体运动的方法。从理论上说，有二种可行的方法：拉格朗日(Lagrange)方法和欧拉(Euler)方法。流体运动的各物理量如位移、速度、加速度等等称为流体的流动参数。对流体运动的描述就是要建立流动参数的数学模型，这个数学模型能反映流动参数随时间和空间的变化情况。拉格朗日方法是一种“质点跟踪”方法，即通过描述各质点的流动参数来描述整个流体的流动情况。欧拉方法则是一种“观察点”方法，通过分布于各处的观察点，记录流体质点通过这些观察点时的流动参数，同样可以描述整个流体的流动情况。下面分别介绍这二种方法。 3.1.1拉格朗日(Lagrange)方法 这是一种基于流体质点的描述方法。通过描述各质点的流动参数变化规律，来确定整个流体的变化规律。无数的质点运动组成流体运动，那么如何区分每个质点呢？区分各质点方法是根据它们的初始位置来判别。这是因为在初始时刻（t =t 0）,每个质点所占的初始位置（a,b,c ）各不相同，所以可以据此区别。这就像长跑运动员一样，在比赛前给他们编上号码，在任何时刻就不至于混淆身份了。当经过△t 时间后，t = t 0+△t ，初始位置为a,b,c ）的某质点到达了新的位置(x ,y ,z )，因此，拉格朗日方法需要跟踪质点的运动，以确定该质点的流动参数。拉格朗日方法在直角坐标系中位移的数学描述是： ?? ? ?? ===),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x （3－1） 式中，初始坐标（a,b,c ）与时间变量t 无关，（a,b,c,t ）称为拉格朗日变数。类似地，对任一 物理量N ，都可以描述为： ),,,(t c b a N N = （3－2） 显然，对于流体使用拉格朗日方法困难较大，不太合适。 3.1.2欧拉(Euler)方法 欧拉方法描述适应流体的运动特点，在流体力学上获得广泛的应用。欧拉方法利用了流场的概念。所谓流场，是指流动的空间充满了连续的流体质点，而这些质点的某些物理量的分布在整个流动空间，形成物理量的场，如速度场、加速度场、温度场等，这些场统称为流场。通过在流场中不同的空间位置(x ,y ,z )设立许多“观察点”，对流体的流动情况进行观察，来确定经过该观察点时流体质点的流动参数，得到物理量随时间的函数(x ,y ,z,t )，(x ,y ,z,t )称为欧拉变数。欧拉方法在直角坐标系中速度的数学描述是：
第四章 流体动力学 2、为何提出“平均流速”的概念？ 3、举例说明连续性方程的应用。 本次课内容引出 §4-1流体的运动微分方程 一、理想流体的运动微分方程 讨论理想流体受力及运动之间的动力学关系，即根据牛顿第二定律，建立理想流体的动力学方程。 如图所示，根据牛顿第二定律，作用在微元六面体上的合外力在某坐标轴方向投影的代数和等于此流体微元质量乘以其在同轴方向的分加速度。 在x 轴方向 x x ma F =∑ 可得 x x ma dydz x p p dydz dx x p p dG =??? ? ? ??+-??? ????-+2121 因为 dt du a dt u d a x x ==, ，dt du a dt du a z z y y ==, 图3.4.1 微元六面体流体质点
所以流体微元沿x 方向的运动方程为 dt du dxdydz dxdydz x p Xdxdydz x ρρ=??- 整理后得 dt du x p X x = ??- ρ1 同理，y 轴方向 dt du y p Y y =??-ρ1 z 轴方向 dt du z p Z z =??- ρ1 ——理想流体的运动微分方程，又称欧拉运动微分方程（1755）。是研究理想流体各种运动规律的基础，对可压缩性流体和不可压缩性流体都是适用的。 如果流体处于平衡状态，则 0===dt du dt du dt du z y x 欧拉平衡微分方程，所以，平衡只是运动的特例。 一、 粘性流体的运动微分方程 与欧拉方程的推导类似，这里要考虑作用于流体微团上的力有：质量力、压力，粘性切应力。 如图所示，在流体中取一六面体微团，其边长分别为dx ，dy ，dz 。 作用于该微元体上的力: 1.表面力：法向应力， 切向应力。 每一侧面上的切应力可沿两座标轴方向分解，因而在每个侧面上的面力有三个分力： 一个法向应力，两个切向应力，构成点的应力张量，共有九个分量：
第3章流体动力学基础 3.1 解： z u u y u u x u u t u a x z x y x x x x? ? + ? ? + ? ? + ? ? = ()() 34 2 2 4 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + + + = + - + + + + = + + = z y x t z y t y x t u u y x z u u y u u x u u t u a y z y y y x y y? ? + ? ? + ? ? + ? ? = ()() 3 2 1 1 1 = - + + = - + + + - - = + - = z y x z x t z y t u u x y z u u y u u x u u t u a z z z y z x z z? ? + ? ? + ? ? + ? ? = ()() 11 2 1 2 2 2 1 1 = + + + + = - + - + + + = - + = z y x t z y t y x t u u z x 2 2 2 286 . 35s m a a a a z y x = + + = 3.2 解： （1）32 35 6 2 3= - = + =xy xy u xy y u a y x x 2 2 2 5 2 7310 . 33 3 32 3 1 s m a a a y u y a y x y y = + = = = - = （2）二元流动 （3）恒定流 （4）非均匀流 3.3 解： bh u y h u bdy h y u udA Q h h A max 7 8 7 1 max 7 1 max8 7 8 7 = = ? ? ? ? ? = =? ?
第三章水动力学基础 1、渐变流与急变流均属非均匀流。( ) 2、急变流不可能是恒定流。( ) 3、总水头线沿流向可以上升，也可以下降。( ) 4、水力坡度就是单位长度流程上的水头损失。( ) 5、扩散管道中的水流一定是非恒定流。( ) 6、恒定流一定是均匀流，非恒定流一定是非均匀流。( ) 7、均匀流流场内的压强分布规律与静水压强分布规律相同。( ) 8、测管水头线沿程可以上升、可以下降也可不变。( ) 9、总流连续方程v1A1 = v2A2对恒定流和非恒定流均适用。( ) 10、渐变流过水断面上动水压强随水深的变化呈线性关系。( ) 11、水流总是从单位机械能大的断面流向单位机械能小的断面。( ) 12、恒定流中总水头线总是沿流程下降的，测压管水头线沿流程则可以上升、下降或水平。( ) 13、液流流线和迹线总是重合的。( ) 14、用毕托管测得的点流速是时均流速。( ) 15、测压管水头线可高于总水头线。( ) 16、管轴高程沿流向增大的等直径管道中的有压管流，其管轴压强沿流向增大。( ) 17、理想液体动中，任意点处各个方向的动水压强相等。( ) 18、恒定总流的能量方程z1 + p1／g + v12 ／2g = z2 +p2／g + v22／2g +h w1- 2 ，式中各项代表( ) (1) 单位体积液体所具有的能量；(2) 单位质量液体所具有的能量； (3) 单位重量液体所具有的能量；(4) 以上答案都不对。 19、图示抽水机吸水管断面A─A动水压强随抽水机安装高度h的增大而( ) (3) 不变(4) 不定 h1与h2的关系为( ) (1) h＞h(2) h＜h(3) h1 = h2(4) 无法确定 ( ) (1) 测压管水头线可以上升也可以下降(2) 测压管水头线总是与总水头线相平行 (3) 测压管水头线沿程永远不会上升(4) 测压管水头线不可能低于管轴线 22、图示水流通过渐缩管流出，若容器水位保持不变，则管内水流属( ) (3) 恒定非均匀流(4) 非恒定非均匀流 ( ) (1) 逐渐升高(2) 逐渐降低(3) 与管轴线平行(4) 无法确定 24、均匀流的总水头线与测压管水头线的关系是( ) (1) 互相平行的直线；(2) 互相平行的曲线；(3) 互不平行的直线；(4) 互不平行的曲线。