数值分析上机作业

数值分析上机实验报告

姓名：

班级：

学号：

第一次上机：

1.题目：

分别用不动点法和牛顿法求解方程

x-exp(x)+4 = 0

Fixed point converge to negative root

The principal：

a number p is fixed point for a given function g if g(p) = p .And we can change The equation to fixed point form .as for fixed point if lim

p k make g(p k) = p k .

k

We can change the form to :

g1 = exp(g0) -4

use the initial number as 1

The code:

g0 = 1;

g1 = exp(g0) -4;

while abs(g1 - g0)>0.00001

g0 = g1;

g1 = exp(g0) -4;

end

g1

the results :

>> w1_fixed_point

g1 =

-3.9813

结果分析

通过控制迭代式的形式可以决定收敛到正跟或负根。

Fixed point converge to positive root

The principal：

We can change a new fixed point form to produce a positive root

We can change the form to :

g1 = log(4+g0);

use initial number as -3.9

The code:

g0 = -3.9;

g1 = log(4+g0);

while abs(g1 - g0)>0.00001

g0 = g1;

g1 = log(g0+4);

end

g1

the results :

>> w1_fixed_point_positive

g1 =

1.7490

Newton’s method to find negative roots The principal：

We derive Newton’s method ,based on taylor polynomials .newton’s method is a kind of fixed point method which has two order convergence. We can change the form to :

g1 = g0-(g0-exp(g0)+4)/(1-exp(g0) )

use initial nuber as -3

The code:

g0 = -3;

g1 = g0-(g0-exp(g0)+4)/(1-exp(g0));

while abs(g1 - g0)>0.00001

g0 = g1;

g1 = g0-(g0-exp(g0)+4)/(1-exp(g0))

end

the results :

>> w1_newton

g1 =

-3.981342639636226

g1 =

-3.981339370911418

结果分析：

收敛速度明显快于不动点（结果太长没打出）。

Newton’s method to find positive roots

The principal：

Use initial number as 1

The code:

g0 = 1;

g1 = g0-(g0-exp(g0)+4)/(1-exp(g0));

while abs(g1 - g0)>0.00001

g0 = g1;

g1 = g0-(g0-exp(g0)+4)/(1-exp(g0));

end

g1

the results :

>> w1_newton

g1 =

1.749031386012702

Multiple roots

结果分析：

通过确定初始值得正负来控制收敛到哪个根。

2.p100#9题

题目：

Use each of the following methods to find a solution in[0.1,1] accurate to

within 10^-4 for

600*x^4 -550*x^3+200*x^2-20*x-1=0

a.bisection

b.newton’s method

c.secant method

d.method of false position

e.mullers’s methed

a.Bisection

原理：

The method calls for a repeated halving of subintervals of [a,b] and ,artificial each step ,locating the half containing the root of equation.

代码：

The code:

%bisection

function anser=Bisection(f,a,b)

tol=1.0e-3;

fa=subs(f,a);

fmeans=subs(f,(a+b)/2);

if(fa*fmeans>0)

t=(a+b)/2;

anser=Bisection(f,t,b);

else

if(fa*fmeans==0)

anser=(a+b)/2;

else

if(abs(b-a)<=tol)

anser=(b+3*a)/4;

else

s=(a+b)/2;

anser=Bisection(f,a,s);

end

end

end

运行结果：

>> Bisection('600*x^4 -550*x^3+200*x^2-20*x-1',-5,5) ans =

-0.035858154296875

b.newton’s method

原理:

X =( 600*x^4 -550*x^3+200*x^2 -1)/20 Use initial number as 1

代码：

g0 = 1;

g1 = ( 600*g0^4 -550*g0^3+200*g0^2 -1)/20;

while abs(g1 - g0)>0.00001

g0 = g1;

g1 = g0-(g0-exp(g0)+4)/(1-exp(g0));

end

g1

结果：

>> w1_newton

g1 =

1.749031386012702

c.secant

原理:

Use interval [-5,5]

代码：

function anser=Secant(f,a,b)

tol=1.0e-5;

error=0.1;

fa=subs(sym(f),a);

fb=subs(sym(f),b);

anser=a-(b-a)*fa/(fb-fa);

while(error>tol)

x1=anser;

fx=subs(sym(f),x1);

s=fx*fa;

if(s>0)

anser=b-(x1-b)*fb/(fx-fb);

else

anser=a-(x1-a)*fa/(fx-fa);

end

error=abs(anser-x1);

end

end

结果：

Secant('600*x^4 -550*x^3+200*x^2-20*x-1',-5,5)

ans =

0.277662174145539

d.method of false position 原理:

Use interval [-5,5]

代码：

%method of False Position

function anser=Position(f,a,b)

tol=1.0e-5;

f1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);

f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);

if(f1==0)

anser=a;

end

if(f2==0)

anser=b;

end

tol1=1;

r1=a;

r2=b;

fv=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);

while(tol1>tol)

f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),r2);

anser=r2-(r2-r1)*f2/(f2-fv);

fr=subs(sym(f),findsym(sym(f)),anser);

if(f2*fr<0)

tol1=abs(anser-r2);

r1=r2;

r2=anser;

fv=subs(sym(f),findsym(sym(f)),r1);

else

tol1=abs(anser-r2);

r2=anser;

fv=0.5*subs(sym(f),findsym(sym(f)),r1);

end

end

结果：

>> Position('600*x^4 -550*x^3+200*x^2-20*x-1',-5,5)

ans =

0.277662174145539

结果分析：

牛顿法的收敛速度一般较快。

3.

题目：应用newton法求f(x)的零点，e=10^-6 f(x) = x-sin(x)

再用求重根的方法求零点

１．

Newton＇ｓｍｅｔｈｏｄ

原理:

The iterative equation

g1 = g0-(g0-sin(g0))/(1-cos(g0));

use 1 as initial number

代码：

clear;

g0 = 1;

g1 = g0-(g0-sin(g0))/(1-cos(g0));

while abs(g1 - g0)>0.000001

g0 = g1;

g1 = g0-(g0-sin(g0))/(1-cos(g0))

end

结果：

>> w3_newton

g1 =

1.4990e-006

结果分析：

牛顿法在重根是为一介收敛，失去速度优势。２．Mutiple roots methods 1

原理:

g1 = g0-(g0-sin(g0))/(1-cos(g0));

because g is a zero of f(x) of multiplicity 3 so the iteration equation is

g1 = g0-3*(g0-sin(g0))/(1-cos(g0))

use 1 as initial number

代码：

clear;

g0 = 1;

g1 = g0-(g0-sin(g0))/(1-cos(g0));

while abs(g1 - g0)>0.000001

g0 = g1;

g1 = g0-3*(g0-sin(g0))/(1-cos(g0))

end

结果：

>> w3_mutiple_root

g1 =

-0.0095

g1 =

2.8751e-008

g1 =

6.3996e-009

3．Mutiple roots methods 2

原理:

g(x) = x – u(x)/u’(x)

=x – f(x)*f’(x)/f’(x)^2 – f(x)*f’’(x)

代码：

function anser = multiple(f,x0)

tol=1.0e-5;

df=diff(sym(f));

df2=diff(df);

x1=x0;

error=0.1;

while(error>tol)

fx=subs(f,x1);

df=subs(df,x1);

df2=subs(df2,x1);

anser=x1-fx*df/(df^2-fx*df2);

error=abs(anser-x1);

x1=anser;

end

end

结果：

>> Newton_Tay('x-sin(x)',1)

ans =

0.0302

结果分析：

两种方法的收敛速度都快于牛顿法。重根公式有效。4.

题目：

应用newton法求f(x) 的零点，e= 10^-6 这里f(x) = x – sin(x) 再用steffensen’s method 加速其收敛

（1）newton法

原理:

The iterative equation

g1 = g0-(g0-sin(g0))/(1-cos(g0));

use 1 as initial number

代码：

clear;

g0 = 1;

g1 = g0-(g0-sin(g0))/(1-cos(g0));

while abs(g1 - g0)>0.000001

g0 = g1;

g1 = g0-(g0-sin(g0))/(1-cos(g0))

end

结果：

>> w3_newton

g1 =

1.4990e-006

（2）steffensen’s method 原理:

P n = {Δ2}(P n)

代码：

p1 = 1;

p0 = -1;

n = 0;

while n<100&&abs(p1 - p0)>0.000001

p1 = p0 - sin(p0);

p2 = p1 - sin(p1);

p0 = p0 -(p1 - p0)^2/(p2 - 2*p1 +p0); n = n+1;

end

p0

结果：

>> w4_steffensen

p0 =

0.0358

p0 =

-1.6324e-009

p0 =

-2.0680e-025

结果分析：

通过加速收敛速度明显加快。

第二次上机

1.

题目：

观察lagrange差值的runge现象

用Neville’s迭代差值算法，对于函数

f(x)=1/(1+25*x^2),-1<=x<=1

进行lagrange插值。取不同的等分数

n =5 ，10，将区间[-1,1]n等份，却等距节点。把f(x)和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。

当n=5

原理：

n = 5

代码：

xx = -1:0.01:1;

yy = zeros(1,201);

for ii = 1:201

n = 6;

Q = zeros(n,n);

x = -1:(2/(n-1)):1

x0 = xx(ii);

for i= 1:n

Q(i,1) =1/(1+25*x(i)*x(i));

end

for i = 2:n

for j = 2:i

Q(i,j)=((x0 - x(i-j+1))*Q(i,j-1) - (x0 - x(i))*Q(i-1,j-1))/(x(i)- x(i -j+1));

end

end

yy(ii) = Q(n,n);

end

y = 1./(1+25.*xx.*xx);

plot([xx,xx],[yy,y]),grid on

结果：

结果分析：

当阶数较少（5阶时）runge现象并不明显。当n=10

原理：

n = 10

代码：

xx = -1:0.01:1;

yy = zeros(1,201);

for ii = 1:201

n = 11;

Q = zeros(n,n);

x = -1:(2/(n-1)):1

x0 = xx(ii);

for i= 1:n

Q(i,1) =1/(1+25*x(i)*x(i));

end

for i = 2:n

for j = 2:i

Q(i,j)=((x0 - x(i-j+1))*Q(i,j-1) - (x0 - x(i))*Q(i-1,j-1))/(x(i)- x(i -j+1));

end

end

yy(ii) = Q(n,n);

end

y = 1./(1+25.*xx.*xx);

plot([xx,xx],[yy,y]),grid on

结果：

结果分析：

阶数为10时观察到明显的runge现象，在边缘部分误差突然增大。

2.

题目p155#28题

The upper portion of this noble beast is tobe approximated using clamped cubic spline interpolants.the curve is drawn on agrid from which the table is https://www.doczj.com/doc/016593010.html,e algorithm 3.5 to construct the clamped cubic splines.

原理：

Given a function f defined on [a,b] and a set of nodes a=x0

a) S(x) is a cubic polynomial, denoted Si(x) , on the

subinterval [xi,xi+1] for each i=0,1,…,n-1;

代码：

function [a,b,c,d]=Clampcubicspline(x,y,FPO,FPN)

n=length(x);

m=length(y);

if m~=n

end

n=n-1;

a=y;

for i=1:n

h(i)=x(i+1)-x(i);%用h(i)记录x的差值

end

Alph=zeros(1,n+1);

Alph(1)=3*(a(2)-a(1))/h(1)-3*FPO;

Alph(n+1)=3*FPN-3*(a(n+1)-a(n))/h(n);

for i=2:n

Alph(i)=3*(a(i+1)-a(i))/h(i)-3*(a(i)-a(i-1))/h(i-1);

end

l=zeros(1,n+1);

u=zeros(1,n);

z=zeros(1,n+1);

l(1)=2*h(1);

u(1)=0.5;

z(1)=Alph(1)/l(1);

for i=2:n

l(i)=2*(x(i+1)-x(i-1))-h(i-1)*u(i-1);

u(i)=h(i)/l(i);

z(i)=(Alph(i)-h(i-1)*z(i-1))/l(i);

end

l(n+1)=h(n)*(2-u(n));

z(n+1)=(Alph(n+1)-h(n)*z(n))/l(n+1);

c=zeros(1,n+1);

c(n+1)=z(n+1);

for j=n:-1:1

c(j)=z(j)-u(j)*c(j+1);

b(j)=(a(j+1)-a(j))/h(j)-h(j)*(c(j+1)+2*c(j))/3;

d(j)=(c(j+1)-c(j))/(3*h(j));

end

a=a(1:n);

c=c(1:n);

%curve 1

x1=[1 2 5 6 7 8 10 13 17];

y1=[3.0 3.7 3.9 4.2 5.7 6.6 7.1 6.7 4.5];

FPO=1.0;

FPN=-2/3;

[a,b,c,d]=Clampcubicspline(x1,y1,FPO,FPN);

n=length(x1);

for i=1:n-1

t=(x1(i+1)-x1(i))/50;

xx=x1(i):t:x1(i+1);

yy=a(i)+b(i)*(xx-x1(i))+c(i)*(xx-x1(i)).^2+d(i)*(xx-x1(i)).^3; plot(xx,yy,'r')

hold on

end

%curve 2

x2=[17 20 23 24 25 27 27.7];

y2=[4.5 7.0 6.1 5.6 5.8 5.2 4.1];

FPO=3;

FPN=-4;

[a,b,c,d]=Clampcubicspline(x2,y2,FPO,FPN);

n=length(x2);

for i=1:n-1

t=(x2(i+1)-x2(i))/50;

xx=x2(i):t:x2(i+1);

yy=a(i)+b(i)*(xx-x2(i))+c(i)*(xx-x2(i)).^2+d(i)*(xx-x2(i)).^3; plot(xx,yy,'c')

hold on

end

%curve 3

x3=[27.7 28 29 30];

y3=[4.1 4.3 4.1 3.0];

FPO=1/3;

数值分析上机作业

昆明理工大学工科研究生《数值分析》上机实验 学院：材料科学与工程学院 专业：材料物理与化学 学号：2011230024 姓名: 郑录 任课教师：胡杰

P277-E1 1.已知矩阵A= 10787 7565 86109 75910 ?? ?? ?? ?? ?? ??,B= 23456 44567 03678 00289 00010 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ,错误！未找到引用源。 = 11/21/31/41/51/6 1/21/31/41/51/61/7 1/31/41/51/61/71/8 1/41/51/61/71/81/9 1/51/61/71/81/91/10 1/61/71/81/91/101/11?????????????????? （1）用MA TLAB函数“eig”求矩阵全部特征值。 （2）用基本QR算法求全部特征值（可用MA TLAB函数“qr”实现矩阵的QR分解）。解：MA TLAB程序如下： 求矩阵A的特征值： clear; A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10]; E=eig(A) 输出结果： 求矩阵B的特征值： clear; B=[2 3 4 5 6;4 4 5 6 7;0 3 6 7 8;0 0 2 8 9;0 0 0 1 0]; E=eig(B) 输出结果：

求矩阵错误！未找到引用源。的特征值： clear; 错误！未找到引用源。=[1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6; 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7; 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8; 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9;1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10; 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11]; E=eig(错误！未找到引用源。) 输出结果： （2）A= 10 7877565861097 5 9 10 第一步：A0=hess(A);[Q0,R0]=qr(A0);A1=R0*Q0 返回得到： 第二部：[Q1,R1]=qr(A1);A2=R1*Q1

数值分析上机作业

数值分析上机实验报告 选题：曲线拟合的最小二乘法 指导老师： 专业： 学号： 姓名：

课题八曲线拟合的最小二乘法 一、问题提出 从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y 与时间t 的拟合曲线。 二、要求 1、用最小二乘法进行曲线拟合； 2、近似解析表达式为()33221t a t a t a t ++=?； 3、打印出拟合函数()t ?，并打印出()j t ?与()j t y 的误差，12,,2,1 =j ； 4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5、*绘制出曲线拟合图*。 三、目的和意义 1、掌握曲线拟合的最小二乘法； 2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组； 3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。 四、计算公式 对于给定的测量数据(x i ,f i )(i=1,2,…，n )，设函数分布为 ∑==m j j j x a x y 0)()(? 特别的，取)(x j ?为多项式 j j x x =)(? (j=0, 1,…，m )

则根据最小二乘法原理，可以构造泛函 ∑∑==-=n i m j i j j i m x a f a a a H 1 10))((),,,(? 令 0=??k a H (k=0, 1,…，m ) 则可以得到法方程 ???? ??????? ?=????????????????????????),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(1010101111000100m m m m m m m m f f f a a a ????????????????????? 求该解方程组，则可以得到解m a a a ,,,10 ，因此可得到数据的最小二乘解 ∑=≈m j j j x a x f 0)()(? 曲线拟合：实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。 五、结构程序设计 在程序结构方面主要是按照顺序结构进行设计，在进行曲线的拟合时，为了进行比较，在程序设计中，直接调用了最小二乘法的拟合函数polyfit ，并且依次调用了plot 、figure 、hold on 函数进行图象的绘制，最后调用了一个绝对值函数abs 用于计算拟合函数与原有数据的误差，进行拟合效果的比较。

数值分析实验报告1

实验一误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε（1.1）和（1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 （1（2 （3）写成展 关于α solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程： 程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m);

ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n

很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号：06450210 姓名：万轩 实验二插值法

东南大学数值分析上机作业汇总

东南大学数值分析上机作业 汇总 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

数值分析上机报告 院系： 学号： 姓名：

目录 作业1、舍入误差与有效数 (1) 1、函数文件cxdd.m (1) 2、函数文件cddx.m (1) 3、两种方法有效位数对比 (1) 4、心得 (2) 作业2、Newton迭代法 (2) 1、通用程序函数文件 (3) 2、局部收敛性 (4) （1）最大δ值文件 (4) （2）验证局部收敛性 (4) 3、心得 (6) 作业3、列主元素Gauss消去法 (7) 1、列主元Gauss消去法的通用程序 (7) 2、解题中线性方程组 (7) 3、心得 (9) 作业4、三次样条插值函数 (10) 1、第一型三次样条插值函数通用程序： (10) 2、数据输入及计算结果 (12)

作业1、舍入误差与有效数 设∑ =-=N j N j S 2 2 11 ，其精确值为?? ? ??---1112321N N . （1）编制按从小到大的顺序1 1 131121222-? ??+-+-=N S N ，计算N S 的通用程序； （2）编制按从大到小的顺序()1 21 11111222-???+--+-=N N S N ，计算N S 的通用程序； （3）按两种顺序分别计算642101010,,S S S ,并指出有效位数； （4）通过本上机你明白了什么？ 程序： 1、函数文件cxdd.m function S=cxdd(N) S=0; i=2.0; while (i<=N) S=S+1.0/(i*i-1); i=i+1; end script 运行结果（省略>>）： S=cxdd(80) S= 0.737577 2、函数文件cddx.m function S=cddx (N) S=0; for i=N:-1:2 S=S+1/(i*i-1); end script 运行结果（省略>>）： S=cddx(80) S= 0.737577 3、两种方法有效位数对比

数值分析上机题课后作业全部-东南大学

2015.1.9 上机作业题报告 USER

1.Chapter1 1.1题目 设S N = 1 j 2?1 N j =2 ，其精确值为 )1 1123(21+--N N 。 （1）编制按从大到小的顺序1 1 1311212 22-+??+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。 （2）编制按从小到大的顺序1 21 1)1(111222-+ ??+--+-= N N S N ，计算S N 的通用程序。 （3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。（编制程序时用单精度） （4）通过本次上机题，你明白了什么？ 1.2程序 1.3运行结果

1.4结果分析 按从大到小的顺序，有效位数分别为：6，4，3。 按从小到大的顺序，有效位数分别为：5，6，6。 可以看出，不同的算法造成的误差限是不同的，好的算法可以让结果更加精确。当采用从大到小的顺序累加的算法时，误差限随着N 的增大而增大，可见在累加的过程中，误差在放大，造成结果的误差较大。因此，采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。 2.Chapter2 2.1题目 （1）给定初值0x 及容许误差ε，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。 （2）给定方程03 )(3 =-=x x x f ,易知其有三个根3,0,3321= *=*-=*x x x ○1由牛顿方法的局部收敛性可知存在,0>δ当),(0δδ+-∈x 时，Newton 迭代序列收敛于根x2*。试确定尽可能大的δ。 ○2试取若干初始值，观察当),1(),1,(),,(),,1(),1,(0+∞+-----∞∈δδδδx 时Newton 序列的收敛性以及收敛于哪一个根。 （3）通过本上机题，你明白了什么？ 2.2程序

Matlab作业3(数值分析)答案

Matlab作业3（数值分析） 机电工程学院（院、系）专业班组 学号姓名实验日期教师评定 1.计算多项式乘法(x2+2x+2)(x2+5x+4)。 答： 2. （1）将(x-6)(x-3)(x-8)展开为系数多项式的形式。（2）求解在x=8时多项 式(x-1)(x-2) (x-3)(x-4)的值。 答：（1） （2）

3. y=sin(x)，x从0到2π，?x=0.02π，求y的最大值、最小值、均值和标准差。 4.设ｘ＝[0.00.30.8 1.1 1.6 2.3]'，y=[0.500.82 1.14 1.25 1.35 1.40]'，试求二次多项式拟合系数，并据此计算x1=[0.9 1.2]时对应的y1。解：x=[0.0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]'; %输入变量数据x y=[0.50 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40]'; %输入变量数据y p=polyfit(x,y,2) %对x,y用二次多项式拟合,得到系数p x1=[0.9 1.2]; %输入点x1 y1=polyval(p,x1) %估计x1处对应的y1 p = -0.2387 0.9191 0.5318 y1 = a) 1.2909

5.实验数据处理：已知某压力传感器的测试数据如下表 p为压力值，u为电压值，试用多项式 d cp bp ap p u+ + + =2 3 ) ( 来拟 合其特性函数，求出a,b,c,d，并把拟合曲线和各个测试数据点画在同一幅图上。解： >> p=[0.0,1.1,2.1,2.8,4.2,5.0,6.1,6.9,8.1,9.0,9.9]; u=[10,11,13,14,17,18,22,24,29,34,39]; x=polyfit(p,u,3) %得多项式系数 t=linspace(0,10,100); y=polyval(x,t); %求多项式得值 plot(p,u,'*',t,y,'r') %画拟和曲线 x = 0.0195 -0.0412 1.4469 9.8267

数值分析上机实验报告

数值分析上机实验报告

《数值分析》上机实验报告 1.用Newton 法求方程 X 7-X 4+14=0 在（0.1，1.9）中的近似根（初始近似值取为区间端点，迭代6次或误差小于0.00001）。 1.1 理论依据： 设函数在有限区间[a ，b]上二阶导数存在，且满足条件 {}α?上的惟一解在区间平方收敛于方程所生的迭代序列 迭代过程由则对任意初始近似值达到的一个中使是其中上不变号 在区间],[0)(3,2,1,0,) (') ()(],,[x |))(),((|,|,)(||)(|.4;0)(.3],[)(.20 )()(.110......b a x f x k x f x f x x x Newton b a b f a f mir b a c x f a b c f x f b a x f b f x f k k k k k k ==- ==∈≤-≠>+ 令 )9.1()9.1(0)8(4233642)(0)16(71127)(0)9.1(,0)1.0(,1428)(3 2 2 5 333647>?''<-=-=''<-=-='<>+-=f f x x x x x f x x x x x f f f x x x f 故以1.9为起点 ?? ?? ? ='- =+9.1)()(01x x f x f x x k k k k 如此一次一次的迭代，逼近x 的真实根。当前后两个的差<=ε时，就认为求出了近似的根。本程序用Newton 法求代数方程(最高次数不大于10)在（a,b ）区间的根。

1.2 C语言程序原代码： #include #include main() {double x2,f,f1; double x1=1.9; //取初值为1.9 do {x2=x1; f=pow(x2,7)-28*pow(x2,4)+14; f1=7*pow(x2,6)-4*28*pow(x2,3); x1=x2-f/f1;} while(fabs(x1-x2)>=0.00001||x1<0.1); //限制循环次数printf("计算结果：x=%f\n",x1);} 1.3 运行结果： 1.4 MATLAB上机程序 function y=Newton(f,df,x0,eps,M) d=0; for k=1:M if feval(df,x0)==0 d=2;break else x1=x0-feval(f,x0)/feval(df,x0); end e=abs(x1-x0); x0=x1; if e<=eps&&abs(feval(f,x1))<=eps d=1;break end end

数值分析作业思考题汇总

￥ 数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 4、取 ，计算 ，下列方法中哪种最好为什么（1）(3 3-，（2）(2 7-，（3） ()3 1 3+ ，（4） ()6 1 1 ，（5）99- , 数值实验 数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。 Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。 数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题 实验目的： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 $ r e x x e x x ** * ** - == 141 . ≈)61

数值分析拉格朗日插值法上机实验报告

课题一：拉格朗日插值法 1.实验目的 1．学习和掌握拉格朗日插值多项式。 2.运用拉格朗日插值多项式进行计算。 2.实验过程 作出插值点（1.00，0.00），（-1.00，-3.00），（2.00，4.00）二、算法步骤 已知：某些点的坐标以及点数。 输入：条件点数以及这些点的坐标。 输出：根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值。 3.程序流程： （1）输入已知点的个数； （2）分别输入已知点的X坐标； （3）分别输入已知点的Y坐标； 程序如下： #include #include #include float lagrange(float *x,float *y,float xx,int n) /*拉格朗日

插值算法*/ { int i,j; float *a,yy=0.0; /*a作为临时变量，记录拉格朗日插值多项*/ a=(float*)malloc(n*sizeof(float)); for(i=0;i<=n-1;i++) { a[i]=y[i]; for(j=0;j<=n-1;j++) if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]); yy+=a[i]; } free(a); return yy; } int main() { int i; int n; float x[20],y[20],xx,yy; printf("Input n:");

scanf("%d",&n); if(n<=0) { printf("Error! The value of n must in (0,20)."); getch();return 1; } for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("x[%d]:",i); scanf("%f",&x[i]); } printf("\n"); for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("y[%d]:",i);scanf("%f",&y[i]); } printf("\n"); printf("Input xx:"); scanf("%f",&xx); yy=lagrange(x,y,xx,n); printf("x=%f,y=%f\n",xx,yy); getch(); } 举例如下：已知当x=1，-1,2时f(x)=0，-3,4，求f(1.5)的值。

(完整版)数值计算方法上机实习题答案

1． 设?+=1 05dx x x I n n ， （1） 由递推公式n I I n n 1 51+-=-，从0I 的几个近似值出发，计算20I ； 解：易得：0I =ln6-ln5=0.1823, 程序为： I=0.182; for n=1:20 I=(-5)*I+1/n; end I 输出结果为：20I = -3.0666e+010 （2） 粗糙估计20I ，用n I I n n 51 5111+- =--，计算0I ； 因为 0095.05 6 0079.01020 201 020 ≈<<≈??dx x I dx x 所以取0087.0)0095.00079.0(2 1 20=+= I 程序为：I=0.0087; for n=1:20 I=(-1/5)*I+1/(5*n); end I 0I = 0.0083 （3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。 首先分析两种递推式的误差；设第一递推式中开始时的误差为000I I E '-=，递推过程的舍入误差不计。并记n n n I I E '-=，则有01)5(5E E E n n n -==-=-Λ。因为=20E 20020)5(I E >>-，所此递推式不可靠。而在第二种递推式中n n E E E )5 1(5110-==-=Λ，误差在缩小， 所以此递推式是可靠的。出现以上运行结果的主要原因是在构造递推式过程中，考虑误差是否得到控制， 即算法是否数值稳定。 2． 求方程0210=-+x e x 的近似根，要求4 1105-+?<-k k x x ，并比较计算量。 （1） 在[0，1]上用二分法； 程序：a=0;b=1.0; while abs(b-a)>5*1e-4 c=(b+a)/2;

数值分析实验报告1

实验一 误差分析 实验（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（）和（）根的差别，从而分析方程（）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b =

的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到（）的全部根，程序中的“ess ”即是（）中的ε。 实验要求： （1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（）和（）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何 （2）将方程（）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象 出现 （3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将 方程（）写成展开的形式， ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感 思考题一：（上述实验的改进） 在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。

高等数值分析上机作业

高等数值分析上机作业

目录 上机作业1 (1) 上机作业2 (5) 上机作业3 (10) 上机作业4 (13) 上机作业5 (16) 上机作业6 (19) 上机作业7 (20) 上机作业8 (29)

第8章 函数逼近与曲线拟合 上机作业1： 最佳平方逼近 8-11.设()[]1,1,arcsin -∈=x x x f ， （1） 在{}32,,,1x x x span =φ中求()x f 的最佳平方逼近多项式； （2） 在{})(),(),(),(3210x T x T x T x T span =φ中求()x f 的最佳平方逼近多项式。 解：（1） 基于幂函数的最佳平方逼近 简单原理： 对于],[)(b a C x f ∈及一个线性无关函数组的集合 {}],,[)(,),(),(10b a C x x x span n ?=???φ 若存在,φ∈*S 使得 ()dx x S x f x x S x f x S x f b a x S x S ?-=-=-∈∈* 2)(2 2)(2 2 )]()([min )()(min )()(ρφ φ ，则称()x S *是 ()x f 在子集[]b a ,?φ中的最佳平方逼近函数。 取(),,,1,0,n j x x j j ==?就有{}n x x x span ,,,,12 =φ。对于任意的()φ∈x S ，有()∑==n j j j x a x S 0，()x S 为次数n ≤的多项式。 令)(x f 在},,,1{32x x x span =φ中的最佳平方逼近函数为 φ∈+++=3 *2**1*0*3 2)(x a x a x a a x S 通过求解法方程 ???? ? ? ? ??=??????? ????????? ??),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),() ,(321032103323130 3322212023121110130201000????????????????????????????????????f f f f a a a a 其中.arcsin )(,)(,)(,)(,1)(332210x x f x x x x x x x =====????

数值分析实验报告模板

数值分析实验报告模板 篇一：数值分析实验报告(一)(完整) 数值分析实验报告 1 2 3 4 5 篇二：数值分析实验报告 实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。利用二分法求解给定非线性方程的根，在给定的范围内，假设f(x,y)在[a,b]上连续，f(a)xf(b) 直接影响迭代的次数甚至迭代的收敛与发散。即若x0 偏离所求根较远，Newton法可能发散的结论。并且本实验中还利用利用改进的Newton法求解同样的方程，且将结果与Newton法的结果比较分析。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。掌握二分法的原理，验证二分法，在选对有根区间的前提下，必是收

敛，但精度不够。熟悉Matlab语言编程，学习编程要点。体会Newton使用时的优点，和局部收敛性，而在初值选取不当时，会发散。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b) Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式xk?1?xk?f(xk) f'(xk) 产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 xk?1?xk?rf(xk) 'f(xk) 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton 法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x);

数值分析上机作业1-1

数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题 实验目的： 算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出： 考虑一个高次的代数多项式 ∏=-= ---=20 1)()20)...(2)(1()(k k x x x x x p （E1-1） 显然该多项式的全部根为l ，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的（也称为简 单的）。现考虑该多项式方程的一个扰动 0)(19 =+x x p ε (E1-2) 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（E1-1）中19 x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（E1-1）和（E1-2）根的差别，从而分析方程（E1-1）的解对扰动的敏感性。 实验内容： 为了实现方便，我们先介绍两个 Matlab 函数：“roots ”和“poly ”，输入函数 u ＝roots （a ） 其中若变量a 存储1+n 维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,...,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 0...1121=++++-n n n n a x a x a x a 的全部根，而函数 b=poly(v) 的输出b 是一个n ＋1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“Poly ”是两个互逆的运算函数. ve=zeros(1,21); ve(2)=ess; roots(poly(1:20))+ve) 上述简单的Matlab 程序便得到（E1-2）的全部根，程序中的“ess ”即是（E1-2）中的ε。 实验要求： （1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（E1-1）和(E1-2)的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？ （2）将方程（E1-2）中的扰动项改成18 x ε或其他形式，实验中又有怎样的现象出现？

(完整版)哈工大-数值分析上机实验报告

实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。

Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式 产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可，下面给出主程序。 二分法源程序： clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0;

%%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序：clear %%%% 输入函数 f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f);

数值分析作业

第二章 1. 题目：运用MATLAB编程实现牛顿迭代 2. 实验操作 1、打开MATLAB程序软件。 2、在MATLAB中编辑如下的M程序。 function [p1,err,k,y]=newton(f,df,p0,delta,max) %f 是要求根的方程(f(x)=0); %df 是f(x)的导数； %p0是所给初值,位于x*附近； %delta是给定允许误差； %max是迭代的最大次数； %p1是newton法求得的方程的近似解； %err是p0的误差估计； %k是迭代次数； p0 for k=1:max p1=p0-feval('f',p0)/feval('df',p0); err=abs(p1-p0); p0=p1; k p1 err y=feval('f',p1) if (err> newton('f','df',1.2,10^(-6),20) 3.实验结果

p0 = 1.2000 k =1 p1=1.1030 err=0.0970 y=0.0329 k= 2 p1=1.0524 err=0.0507 y=0.0084 k =3 p1=1.0264 err=0.0260 y=0.0021 k =4 p1=1.0133 err=0.0131 y=5.2963e-004 k =5 p1=1.0066 err=0.0066 y=1.3270e-004 k =6 p1=1.0033 err=0.0033 y=3.3211e-005 k =7 p1=1.0017 err=0.0017 y=8.3074e-006 k =8 p1=1.0008 err=8.3157e-004 y = 2.0774e-006 k =9 p1=1.0004 err=4.1596e-004 y =5.1943e-007 k=10 p1=1.0002 err=2.0802e-004 y= 1.2987e-007 k=11 p1=1.0001 err=1.0402e-004 y =3.2468e-008 k=12 p1=1.0001 err=5.2014e-005 y=8.1170e-009 k=13 p1=1.0000 err=2.6008e-005 y= 2.0293e-009 k=14 p1=1.0000 err=1.3004e-005 y=5.0732e-010 k=15 p1 =1.0000 err=6.5020e-006 y=1.2683e-010 k=16 p1 =1.0000 err=3.2510e-006 y=3.1708e-011 k=17 p1 =1.0000 err=1.6255e-006 y =7.9272e-012 k=18 p1 =1.0000 err =8.1279e-007 y= 1.9820e-012 ans = 1.0000 结果说明：经过18次迭代得到精确解为1，误差为8.1279e-007。

数值分析实验报告总结

数值分析实验报告总结 随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科 学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。 算法算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完 整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。 误差 计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差， 并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表 第三章泛函分析泛函分析概要 泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间 变换的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科

如果 a 是相容范数，且任何满足 为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽 范数 范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函 分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内 的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以 Cn 空间为例， Rn 空间类似。最常用的范数就是 P-范数。那么 当P 取1, 2 ,s 的时候分别是以下几种最简单的情形: 其中2-范数就是通常意义下的距离。 对于这些范数有以下不等式: 1 < n1/2 另外，若p 和q 是赫德尔共轭指标，即 1/p+1/q=1 么有赫德尔不等式: II = ||xH*y| 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式 般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之 矩阵范数通常也称为相容范数。 象为元素和空间。女口：距离空间，赋范线性空间， 内积空间。 1-范数: 1= x1 + x2 +?+ xn 2-范数: x 2=1/2 8 -范数: 8 =max oo ，那 外，还规定其必须满足相容性: 所以

研究生《数值分析》课程作业(二) (含答案)

研究生《数值分析》课程作业（二） 姓名： 学号： 专业： 1、据如下函数值表，建立二次的Lagrange 插值多项式及Newton 插值多项式。 20012222()()()()()()() (1)(2)(0)(2)(-0)(1)59 3143 (01)(02)(10)(12(20)(21)22 L x f x l x f x l x f x l x x x x x x x x x =++-----=? +?+?=-+------解： 二次 l agr ange插值 ） Newton 插值多项式： 200100120122()()[,](-)[,,](-)(-) 5559 32(0)(0)(1)32()3 2222 N x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x =++=-?-+--=-+-=-+ ()y f x =2、已知单调连续函数在如下采样点处的函数值 *()0[2,4],f x x =求方程在内根的近似值使误差尽可能小。 解：1 ()()y f x x f y -==解： 对的反函数进行二次插值

1110201122012010210122021(0)(0)(0)(0)(0)(0) (0)() ()() ()()()()()() (0 2.25)(05)(03)(05)(03)(0 2.25) 2 3.54( 3 2.25)(35)(2.253)(2.255)(53)(5 2.25) y y y y y y L f y f y f y y y y y y y y y y y y y ---------=++--------+-+-=? +?+? ----+-+- 2.945 ≈()(1)01(1)1()[,]()(,),()[,],() ()()()() (1)! ,n n n n n n n n f x a b f x a b a x x x b L x x a b f R x f x L x x n a b x ξωξ+++≤<<<≤∈=-=+∈ 3、证明：设在上连续，在内存在，节点是满足拉格朗日插值条件的多项式，则对任何插值余项 这里（）且依赖于。 0110101(0,1,,)()()0()()()()()()()()[,]()()()()()()() (),,,(k n n k n n n n n n x k n R x R x R x K x x x x x x x K x x K x x x a b t f t L t K x t x t x t x t x x x x t ωφφφ+===---==----- 证由条件知节点是的零点，即。于是其中是与有关的待定函数。 现把看成上的固定点，作函数 根据插值条件和余项定义，知在点及处均为零。故明：1111)[,]2()[,]1()()[,]()(,)(,),()()(1)!()0 ()()(,),(1)! n n n n a b n t a b n t t a b n t a b a b f n K x f K x a b x n φφφφξφξξξξ++++'+'''+∈=-+==∈+（） （） （）（）在上有个零点，根据罗尔定理，在内至少有个零点。对再应用罗尔定理，可知在内至少 有个零点。依次类推，在上至少有一个零点，记为 使 于是 ， 且依赖于于是得到插值余项。 证毕。 44、试用数据表建立不超过次的埃尔米特插值多项式。 解：（用重节点的均差表建立埃尔米特多项式）

MATLAB与数值分析实验报告一

MATLAB与数值分析实验报告 报告人：秦旸照 学号： 2015020901033 时间： 2016.4.8 电子科技大学电子工程学院

一、实验目的 实验一：MATLAB软件平台与程序设计实验 二、实验原理 1.熟练掌握矩阵的生成、加、减、乘、除、转置、行列式、逆、范数等运算操作。（用.m文件和Matlab函数编写一个对给定矩阵进行运算操作的程序） 2. 熟练掌握算术符号操作和基本运算操作，包括矩阵合并、向量合并、符号转换、展开符号表达式、符号因式分解、符号表达式的化简、代数方程的符号解析解、特征多项式、函数的反函数、函数计算器、微积分、常微分方程的符号解、符号函数的画图等。（用.m文件编写进行符号因式分解和函数求反的程序） 3. 掌握Matlab函数的编写规范。 4.掌握Matlab常用的绘图处理操作，包括：基本平面图、图形注释命令、三维曲线和面的填充、三维等高线等。（用.m文件编写在一个图形窗口上绘制正弦和余弦函数的图形，并给出充分的图形注释） 5. 熟练操作MATLAB软件平台，能利用M文件完成MATLAB的程序设计。 三、实验方案 1. 编程实现以下数列的图像，用户能输入不同的初始值以及系数。并以 x，y为坐标显示图像 x(n+1) = a*x(n)-b*(y(n)-x(n)^2); y(n+1) = b*x(n)+a*(y(n)-x(n)^2) 2. 编程实现奥运5环图，允许用户输入环的直径。 3. 实现对输入任意长度向量元素的冒泡排序的升序排列。 不允许使用sort函数。 四、实验结果 1. 编程实现以下数列的图像，用户能输入不同的初始值以及系数。并以 x，y为坐标显示图像