2014级硕士研究生数值分析上机实习（第一次） 姓名：学号：学院： 实习题目：分别用二分法和Newton迭代法求方程x3■ 2x210x-20=0的根.实习目的：掌握两种解法，体会两种解法的收敛速度. 实习要求：用C程序语言编程上机进行计算，精确到8位有效数字. 报告内容： 1.确定实根的个数以及所在区间 2.将最后两次计算结果填入下表（保留8位数字）： 3.实习过程中遇到哪些问题？如何解决？有何心得体会?
4.两种解法的计算程序（此页写不下时可以加页）：
2014级硕士研究生数值分析上机实习（第二次）姓名：学号：学院： 实习题目：计算8阶三对角矩阵A=tridiag（0.235, 1.274, 0.235）的行列式.实习目的：掌握计算行列式的方法. 实习要求：首先选择一种算法，然后用C程序语言编程上机进行计算.报告内容： 1.简单描述所采用的算法: 2?计算结果： A 3.实习过程中遇到哪些问题？如何解决？有何心得体会?
4.写出C语言计算程序（此页写不下时可以加页）：
2014级硕士研究生数值分析上机实习（第三次） 姓名：学号：学院： 分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组实习题目： 2lx + 9.8y+ 3.4z= 6.7 <2.7x + 1.8y+ 7.2z= 2.4 8.6x + 1.5y + 3.4z = 1.9 实习目的：感受两种迭代法的收敛速度. 首先构造收敛的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法，然后用实习要求： C程序语言编程上机进行求解，初始值均取为0,精确到4位小 数. 报告内容： 1.写出收敛的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法:
实验一误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε（1.1）和（1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 （1（2 （3）写成展 关于α solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程： 程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m);
ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n
很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号：06450210 姓名：万轩 实验二插值法
数值分析实验报告 姓名：周茹 学号： 912113850115 专业：数学与应用数学 指导老师：李建良
线性方程组的数值实验 一、课题名字：求解双对角线性方程组 二、问题描述 考虑一种特殊的对角线元素不为零的双对角线性方程组（以n=7为例） ?????????? ?????? ? ???? ?d a d a d a d a d a d a d 766 55 44 3 32 211??????????????????????x x x x x x x 7654321=?????????? ? ???????????b b b b b b b 7654321 写出一般的n （奇数）阶方程组程序（不要用消元法，因为不用它可以十分方便的解出这个方程组） 。 三、摘要 本文提出解三对角矩阵的一种十分简便的方法——追赶法，该算法适用于任意三对角方程组的求解。 四、引言 对于一般给定的d Ax =，我们可以用高斯消去法求解。但是高斯消去法过程复杂繁琐。对于特殊的三对角矩阵，如果A 是不可约的弱对角占优矩阵，可以将A 分解为UL ，再运用追赶法求解。
五、计算公式（数学模型） 对于形如????? ?? ????? ??? ?---b a c b a c b a c b n n n n n 111 2 2 2 11... ... ...的三对角矩阵UL A =，容易验证U 、L 具有如下形式： ??????? ????? ??? ?=u a u a u a u n n U ...... 3 3 22 1 ， ?? ????? ? ?? ??????=1 (1) 1132 1l l l L 比较UL A =两边元素，可以得到 ? ?? ??-== = l a b u u c l b u i i i i i i 111 i=2, 3, ... ,n 考虑三对角线系数矩阵的线性方程组 f Ax = 这里()T n x x x x ... 2 1 = ,()T n f f f f ... 2 1 = 令y Lx =，则有 f Uy = 于是有 ()?????-== --u y a f y u f y i i i i i 1 1 11 1 * i=2， 3, ... ,n 再根据y Lx =可得到
数值分析实验（2014,9,16~10,28） 信计1201班，人数34人 数学系机房 数值分析 计算实习报告册 专业 学号 姓名 2014~2015年第一学期
实验一 数值计算的工具 Matlab 1.解释下MATLAB 程序的输出结果 程序： t=0.1 n=1:10 e=n/10-n*t e 的结果：0 0 -5.5511e-017 0 0 -1.1102e-016 -1.1102e-016 0 0 0 2.下面MATLAB 程序的的功能是什么？ 程序： x=1;while 1+x>1,x=x/2,pause(0.02),end 用迭代法求出x=x/2,的最小值 x=1;while x+x>x,x=2*x,pause(0.02),end 用迭代法求出x=2*x,的值，使得2x>X x=1;while x+x>x,x=x/2,pause(0.02),end 用迭代法求出x=x/2,的最小值，使得2x>X 3.考虑下面二次代数方程的求解问题 02=++c bx ax 公式a ac b b x 242-+-=是熟知的，与之等价地有a c b b c x 422-+-=，对于 1,100000000,1===c b a ，应当如何选择算法。 应该用a ac b b x 242-+-=计算，因为b 做分母 4.函数)sin(x 有幂级数展开...! 7!5!3sin 7 53+-+-=x x x x x 利用幂级数计算x sin 的MATLAB 程序为
function s=powersin(x) s=0; t=x; n=1; while s+t~=s; s=s+t ； t=-x^2/（(n+1)*(n+2)）*t ； n=n+2； end t1=cputime; pause(10); t2=cputime; t0=t2-t1 (a)解释上述程序的终止准则。 当s+t=s ，终止循环。 (b)对于2/21,2/11 ,2/πππ=x 计算的进度是多少？分别计算多少项？ X=pi/2时，s =1.0000 x=11pi/2时，s=-1.0000 x=21pi/2时，s =0.9999 Cputime 分别是0.1563 0.0469 0.0156 5.考虑调和级数∑∞ =11 n n ，它是微积分中的发散级数，在计算机上计算该级数的部 分和，会得到怎么样的结果，为什么？ function s=fun(n) s=0; t=1/n; for i=1:n s=s+1/i; end 当n=100时s =5.1874 当n=80时s =4.9655 当n=50时，s =4.4992 当n=10时，s =2.9290 6.指数函数的级数展开...! 3!213 2++++=x x x e x ，如果对于0 实验一 误差分析 实验（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（）和（）根的差别，从而分析方程（）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b = 的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到（）的全部根，程序中的“ess ”即是（）中的ε。 实验要求： （1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（）和（）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何 （2）将方程（）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象 出现 （3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将 方程（）写成展开的形式， ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感 思考题一：（上述实验的改进） 在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 (此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 2012级6班###(学号)计算机数值方法 实验报告成绩册 姓名:宋元台 学号： 成绩： 数值计算方法与算法实验报告 学期： 2014 至 2015 第 1 学期 2014年 12月1日课程名称: 数值计算方法与算法专业:信息与计算科学班级 12级5班 实验编号： 1实验项目Neton插值多项式指导教师：孙峪怀 姓名：宋元台学号：实验成绩： 一、实验目的及要求 实验目的： 掌握Newton插值多项式的算法，理解Newton插值多项式构造过程中基函数的继承特点，掌握差商表的计算特点。 实验要求： 1. 给出Newton插值算法 2. 用C语言实现算法 二、实验内容 三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页) 1.算法分析： 下面用伪码描述Newton插值多项式的算法： Step1 输入插值节点数n，插值点序列{x(i),f(i)},i=1,2,……,n,要计算的插值点x. Step2 形成差商表 for i=0 to n for j=n to i f(j)=((f(j)-f(j-1)(x(j)-x(j-1-i)); Step3 置初始值temp=1,newton=f(0) Step4 for i=1 to n temp=(x-x(i-1))*temp*由temp(k)=(x-x(k-1))*temp(k-1)形成 (x-x(0).....(x-x(i-1)* Newton=newton+temp*f(i); Step5 输出f（x）的近似数值newton(x)=newton. 2.用C语言实现算法的程序代码 #include 数值分析上机实验报告 《数值分析》上机实验报告 1.用Newton 法求方程 X 7-X 4+14=0 在（0.1，1.9）中的近似根（初始近似值取为区间端点，迭代6次或误差小于0.00001）。 1.1 理论依据： 设函数在有限区间[a ，b]上二阶导数存在，且满足条件 {}α?上的惟一解在区间平方收敛于方程所生的迭代序列 迭代过程由则对任意初始近似值达到的一个中使是其中上不变号 在区间],[0)(3,2,1,0,) (') ()(],,[x |))(),((|,|,)(||)(|.4;0)(.3],[)(.20 )()(.110......b a x f x k x f x f x x x Newton b a b f a f mir b a c x f a b c f x f b a x f b f x f k k k k k k ==- ==∈≤-≠>+ 令 )9.1()9.1(0)8(4233642)(0)16(71127)(0)9.1(,0)1.0(,1428)(3 2 2 5 333647>?''<-=-=''<-=-='<>+-=f f x x x x x f x x x x x f f f x x x f 故以1.9为起点 ?? ?? ? ='- =+9.1)()(01x x f x f x x k k k k 如此一次一次的迭代，逼近x 的真实根。当前后两个的差<=ε时，就认为求出了近似的根。本程序用Newton 法求代数方程(最高次数不大于10)在（a,b ）区间的根。 1.2 C语言程序原代码： #include 指导教师： 姓名： 学号： 专业： 联系电话： 上海交通大学 目录 序言 (3) 实验课题(一) 雅可比迭代法和高斯-塞得尔迭代法的收敛性和收敛速度 (4) 数值分析 (5) 实验课题(二) 松弛因子对SOR法收敛速度的影响 (6) 数值分析 (12) 总结 (13) 附录（程序清单） (14) 1.雅可比迭代法和高斯-塞得尔迭代法的收敛性和收敛速度 (14) 雅可比迭代法： (14) 高斯-塞得尔迭代法： (16) 2.松弛因子对SOR法收敛速度的影响 (18) 松弛法（SOR） (18) 序言 随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在实际解决这些计算问题的长期过程中，形成了计算方法这门学科，专门研究各种数学问题的数值解法（近似解法），包括方法的构造和求解过程的误差分析，是一门内容丰富，有自身理论体系的实用性很强的学科。 解决工程问题，往往需要处理很多数学模型，这就要花费大量的人力和时间，但是还有不少数学模型无法用解析法得到解。使用数值方法并利用计算机，就可以克服这些困难。事实上，科学计算已经与理论分析、科学实验成为平行的研究和解决科技问题的科学手段，经常被科技工作者所采用。作为科学计算的核心内容——数值分析（数值计算方法），已逐渐成为广大科技工作者必备的基本知识并越来越被人重视。 由于数值方法是解数值问题的系列计算公式，所以数值方法是否有效，不但与方法本身的好坏有关，而且与数值问题本身的好坏也有关，因此，研究数值方法时，不但需要研究数值方法的好坏，即数值稳定性问题，而且还需要研究数值问题本身的好坏，即数值问题的性态，以及它们的判别问题。 数值计算的绝大部分方法都具有近似性，而其理论又具有严密的科学性，方法的近似值正是建立在理论的严密性基础上，根据计算方法的这一特点。因此不仅要求掌握和使用算法，还要重视必要的误差分析，以保证计算结果的可靠性。数值计算还具有应用性强的特点，计算方法的绝大部分方法如求微分方程近似解，求积分近似值，求解超越方程，解线性方程组等都具有较强的实用性，而插值法，最小二乘法，样条函数等也都是工程技术领域中常用的，有实际应用价值的方法。 应用数值计算方法解决科学研究和工程中的实际问题，首先要建立描述具体问题的适当数学模型；其次，要选择一定的计算方法并制定相应的计算方案；并编制、设计合理的计算机程序；最后由计算机计算出数值结果。其中，计算方案的设计和计算方法的选择是上述求解过程中极为重要的环节，是程序设计和分析数值计算结果准确性的基础。 本实验所使用的是Visual C++ 6.0程序设计语言。 C++是在C语言的基础上拓展而来的。C++引入了面向对象的机制，同时又充分保留了C语言的简洁性和高效性，并且与C语言完全兼容，具有C语言高效灵活、功能强大、可移植性好等诸多优点，是面向对象程序设计的最佳语言之一。 数值分析实验报告模板 篇一：数值分析实验报告(一)(完整) 数值分析实验报告 1 2 3 4 5 篇二：数值分析实验报告 实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。利用二分法求解给定非线性方程的根，在给定的范围内，假设f(x,y)在[a,b]上连续，f(a)xf(b) 直接影响迭代的次数甚至迭代的收敛与发散。即若x0 偏离所求根较远，Newton法可能发散的结论。并且本实验中还利用利用改进的Newton法求解同样的方程，且将结果与Newton法的结果比较分析。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。掌握二分法的原理，验证二分法，在选对有根区间的前提下，必是收 敛，但精度不够。熟悉Matlab语言编程，学习编程要点。体会Newton使用时的优点，和局部收敛性，而在初值选取不当时，会发散。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b) Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式xk?1?xk?f(xk) f'(xk) 产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 xk?1?xk?rf(xk) 'f(xk) 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton 法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x); 课题一：拉格朗日插值法 1.实验目的 1．学习和掌握拉格朗日插值多项式。 2.运用拉格朗日插值多项式进行计算。 2.实验过程 作出插值点（1.00，0.00），（-1.00，-3.00），（2.00，4.00）二、算法步骤 已知：某些点的坐标以及点数。 输入：条件点数以及这些点的坐标。 输出：根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值。 3.程序流程： （1）输入已知点的个数； （2）分别输入已知点的X坐标； （3）分别输入已知点的Y坐标； 程序如下： #include 插值算法*/ { int i,j; float *a,yy=0.0; /*a作为临时变量，记录拉格朗日插值多项*/ a=(float*)malloc(n*sizeof(float)); for(i=0;i<=n-1;i++) { a[i]=y[i]; for(j=0;j<=n-1;j++) if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]); yy+=a[i]; } free(a); return yy; } int main() { int i; int n; float x[20],y[20],xx,yy; printf("Input n:"); scanf("%d",&n); if(n<=0) { printf("Error! The value of n must in (0,20)."); getch();return 1; } for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("x[%d]:",i); scanf("%f",&x[i]); } printf("\n"); for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("y[%d]:",i);scanf("%f",&y[i]); } printf("\n"); printf("Input xx:"); scanf("%f",&xx); yy=lagrange(x,y,xx,n); printf("x=%f,y=%f\n",xx,yy); getch(); } 举例如下：已知当x=1，-1,2时f(x)=0，-3,4，求f(1.5)的值。 数值分析上机报告 班级：20级学隧2班 姓名：000000000 学号：00000000000 目录 1 序言 (6) 2 题目 (7) 2.1 题2 (7) 2.1.1 题目内容 (7) 2.1.2 MATLAB程序 (8) 2.1.3 计算结果 (8) 2.1.4 图形 (9) 2.1.5 分析 (14) 2.2 题3 (14) 2.2.1 题目内容 (14) 2.2.2 程序 (14) 2.2.3 计算结果 (14) 2.2.4 图形 (15) 2.2.5 分析 (16) 2.3 选做题5 (16) 2.3.1方法介绍 (17) 2.3.2计算结果及分析 (17) 3总结 (18) 4．附录 (19) 4.1 题1程序代码 (19) 4.2 题2程序代码 (22) 4.3 题3程序代码 (26) 数值分析2015上机实习报告要求 1．应提交一份完整的实习报告。具体要求如下： （1）报告要排版，美观漂亮（若是纸质要有封面，封面上）要标明姓名、学号、专业和联系电话； （2）要有序言，说明所用语言及简要优、特点，说明选用的考量； （3）要有目录，指明题目、程序、计算结果，图标和分析等内容所在位置，作到信息简明而完全； （4）要有总结，全方位总结机编程计算的心得体会； （5）尽量使报告清晰明了，一般可将计算结果、图表及对比分析放在前面，程序清单作为附录放在后面，程序中关键部分要有中文说明或标注， 指明该部分的功能和作用。 2．程序需完好保存到期末考试后的一个星期，以便老师索取用于验证、询问或质疑部分内容。 3．认真完成实验内容，可以达到既学习计算方法又提高计算能力的目的，还可以切身体会书本内容之精妙所在，期间可以得到很多乐趣。 4．拷贝或抄袭他人结果是不良行为，将视为不合格。 5．请按任课老师要求的时间和载体（电子或纸质）提交给任课老师。 实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。 Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式 产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可，下面给出主程序。 二分法源程序： clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0; %%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序：clear %%%% 输入函数 f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f); 数值分析上机实习报告要求 1．应提交一份完整的实习报告。具体要求如下： （1）要有封面，封面上要标明姓名、学号、专业和联系电话； （2）要有序言，说明所用语言及简要优、特点，说明选用的考量； （3）要有目录，指明题目、程序、计算结果，图标和分析等内容所在位置，作到信息简明而完全； （4）要有总结，全方位总结机编程计算的心得体会； （5）尽量使报告清晰明了，一般可将计算结果、图表及对比分析放在前面，程序清单作为附录放在后面，程序中关键部分要有中文说明或标注，指明该部分 的功能和作用。 2．程序需完好保存到期末考试后的一个星期，以便老师索取用于验证、询问或质疑部分内容。 3．认真完成实验内容，可以达到既学习计算方法又提高计算能力的目的，还可以切身体会书本内容之精妙所在，期间可以得到很多乐趣。 4．拷贝或抄袭他人结果是不良行为，将视为不合格。 5．报告打印后按要求的时间提交给任课老师。 数值分析上机试题2 （选择其中1个题目） 5.用Ru n ge-Kutt a 4阶算法对初值问题y/=-20*y，y(0)=1按不同步长求解，用于观察稳定区间的 作用，推荐两种步长h=0.1,0.2。 注：此方程的精确解为：y=e-20x 6.实验内容 (1)实际验证梯形求积公式、Simpson求积公式、Newton-Cotes求积公式的代数精度。 (2)针对上述三个函数和积分区间[a,b]，实验观察梯形求积公式、Simpson求积公式和 Newton-Cotes求积公式的复化求积公式的实际计算效果。 y=exp(-x.^2).*sin(10*x)+4; a=1; b=3; y=sin(5*x)./x.^3;a=2*pi; b=4*pi; y=sin(5*x)./x.^3;a=2*pi;b=9.4248; 1 实验一、误差分析 一、实验目的 1．通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令； 2．通过上机计算，了解误差、绝对误差、误差界、相对误差界的有关概念； 3．通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性。 二．实验原理 误差问题是数值分析的基础，又是数值分析中一个困难的课题。在实际计算中，如果选用了不同的算法，由于舍入误差的影响，将会得到截然不同的结果。因此，选取算法时注重分析舍入误差的影响，在实际计算中是十分重要的。同时，由于在数值求解过程中用有限的过程代替无限的过程会产生截断误差，因此算法的好坏会影响到数值结果的精度。 三．实验内容 对20,,2,1,0 =n ，计算定积分 ?+=10 5dx x x y n n . 算法1：利用递推公式 151--=n n y n y , 20,,2,1 =n , 取 ?≈-=+=1 00182322.05ln 6ln 51dx x y . 算法2：利用递推公式 n n y n y 51511-= - 1,,19,20 =n . 注意到 ???=≤+≤=10 10202010201051515611261dx x dx x x dx x , 取 008730.0)12611051(20120≈+≈y .: 四.实验程序及运行结果 程序一： t=log(6)-log(5); n=1; y(1)=t; for k=2:1:20 y(k)=1/k-5*y(k-1); n=n+1; end y y =0.0884 y =0.0581 y =0.0431 y =0.0346 y =0.0271 y =0.0313 y =-0.0134 y =0.1920 y =-0.8487 y =4.3436 y =-21.6268 y =108.2176 y =-541.0110 y =2.7051e+003 y =-1.3526e+004 y =6.7628e+004 y =-3.3814e+005 y =1.6907e+006 y =-8.4535e+006 y =4.2267e+007 程序2： y=zeros(20,1); n=1; y1=(1/105+1/126)/2;y(20)=y1; for k=20:-1:2 y(k-1)=1/(5*k)-(1/5)*y(k); n=n+1; end 运行结果：y = 0.0884 0.0580 0.0431 0.0343 0.0285 0.0212 0.0188 0.0169 航空航天大学 《数值分析》计算实习报告 第一大题 学院：自动化科学与电气工程学院 专业：控制科学与工程 学生姓名： 学号： 教师： 电话： 完成日期： 2015年11月6日 航空航天大学 Beijing University of Aeronautics and Astronautics 实习题目： 第一题 设有501501?的实对称矩阵A ， ??? ???? ?????????=5011A a b c b c c b c b a 其中，064.0,16.0),501,,2,1(64.0)2.0sin()024.064.1(1 .0-==???=--=c b i e i i a i i 。矩阵A 的特征值为)501,,2,1(???=i i λ，并且有 ||min ||,501 150121i i s λλλλλ≤≤=≤???≤≤ 1.求1λ，501λ和s λ的值。 2.求A 的与数40 1 5011λλλμ-+=k k 最接近的特征值)39,,2,1(???=k k i λ。 3.求A 的(谱数)条件数2)A (cond 和行列式detA 。 说明： 1.在所用的算法中，凡是要给出精度水平ε的，都取12-10=ε。 2.选择算法时，应使矩阵A 的所有零元素都不储存。 3.打印以下容： （1）全部源程序； （2）特征值），，39,...,2,1(,s 5011=k k i λλλλ以及A det ,)A (cond 2的值。 4.采用e 型输出实型数，并且至少显示12位有效数字。 一、算法设计方案 1、求1λ，501λ和s λ的值。 由于||min ||,501 150121i i s λλλλλ≤≤=≤???≤≤，可知绝对值最大特征值必为1λ和501 λ其中之一，故可用幂法求出绝对值最大的特征值λ，如果λ=0，则1λ=λ，否则 501λ=λ。将矩阵A 进行一下平移： I -A A'λ= （1） 对'A 用幂法求出其绝对值最大的特征值'λ，则A 的另一端点特征值1λ或501λ为'λ+λ。 s λ为按模最小特征值，||min ||501 1i i s λλ≤≤=，可对A 使用反幂法求得。 2、求A 的与数40 1 5011λλλμ-+=k k 最接近的特征值)39,...,2,1(=k k i λ。 计算1)1,2,...,50=(i i λ-k μ，其模值最小的值对应的特征值k λ与k μ最接近。因此对A 进行平移变换： )39,,2,1k -A A k k ==（I μ （2） 对k A 用反幂法求得其模最小的特征值'k λ，则k λ='k λ+k μ。 3、求A 的(谱数)条件数2)(A cond 和行列式detA 。 由矩阵A 为非奇异对称矩阵可得： | | )(min max 2λλ=A cond （3） 其中max λ为按模最大特征值，min λ为按模最小特征值，通过第一问我们求得的λ和s λ可以很容易求得A 的条件数。 在进行反幂法求解时，要对A 进行LU 分解得到。因L 为单位下三角阵，行 列式为1，U 为上三角阵，行列式为主对角线乘积，所以A 的行列式等于U 的行列式，为U 的主对角线的乘积。 数值分析实验报告总结 随着电子计算机的普及与发展，科学计算已成为现代科 学的重要组成部分，因而数值计算方法的内容也愈来愈广泛和丰富。通过本学期的学习，主要掌握了一些数值方法的基本原理、具体算法，并通过编程在计算机上来实现这些算法。 算法算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完 整的解题步骤。算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。具有的特征：正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现、计算结果可靠。 误差 计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差， 并且应能估计误差。误差是指近似值与真正值之差。绝对误差是指近似值与真正值之差或差的绝对值；相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值。误差来源见表 第三章泛函分析泛函分析概要 泛函分析是研究“函数的函数”、函数空间和它们之间 变换的一门较新的数学分支，隶属分析数学。它以各种学科 如果 a 是相容范数，且任何满足 为具体背景，在集合的基础上，把客观世界中的研究对象抽 范数 范数，是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函 分析及相关的数学领域，泛函是一个函数，其为矢量空间内 的所有矢量赋予非零的正长度或大小。这里以 Cn 空间为例， Rn 空间类似。最常用的范数就是 P-范数。那么 当P 取1, 2 ,s 的时候分别是以下几种最简单的情形: 其中2-范数就是通常意义下的距离。 对于这些范数有以下不等式: 1 < n1/2 另外，若p 和q 是赫德尔共轭指标，即 1/p+1/q=1 么有赫德尔不等式: II = ||xH*y| 当p=q=2时就是柯西-许瓦兹不等式 般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之 矩阵范数通常也称为相容范数。 象为元素和空间。女口：距离空间，赋范线性空间， 内积空间。 1-范数: 1= x1 + x2 +?+ xn 2-范数: x 2=1/2 8 -范数: 8 =max oo ，那 外，还规定其必须满足相容性: 所以 序言 数值分析是计算数学的范畴，有时也称它为计算数学、计算方法、数值方法等，其研究对象是各种数学问题的数值方法的设计、分析及其有关的数学理论和具体实现的一门学科，它是一个数学分支。是科学与工程计算（科学计算）的理论支持。许多科学与工程实际问题（核武器的研制、导弹的发射、气象预报）的解决都离不开科学计算。目前，试验、理论、计算已成为人类进行科学活动的三大方法。 数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。现在面向数值分析问题的计算机软件有：C,C++,MATLAB,Python,Fortran等。 MATLAB是matrix laboratory的英文缩写，它是由美国Mathwork公司于1967年推出的适合用于不同规格计算机和各种操纵系统的数学软件包，现已发展成为一种功能强大的计算机语言，特别适合用于科学和工程计算。目前，MATLAB应用非常广泛，主要用于算法开发、数据可视化、数值计算和数据分析等，除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。 本实验报告使用了MATLAB软件。对不动点迭代，函数逼近（lagrange插值，三次样条插值，最小二乘拟合），追赶法求解矩阵的解，4RungeKutta方法求解，欧拉法及改进欧拉法等算法做了简单的计算模拟实践。并比较了各种算法的优劣性，得到了对数值分析这们学科良好的理解，对以后的科研数值分析能力有了极大的提高。 目录 序言 (1) 问题一非线性方程数值解法 (3) 1.1 计算题目 (3) 1.2 迭代法分析 (3) 1.3计算结果分析及结论 (4) 问题二追赶法解三对角矩阵 (5) 2.1 问题 (5) 2.2 问题分析（追赶法） (6) 2.3 计算结果 (7) 问题三函数拟合 (7) 3.1 计算题目 (7) 3.2 题目分析 (7) 3.3 结果比较 (12) 问题四欧拉法解微分方程 (14) 4.1 计算题目 (14) 4.2.1 方程的准确解 (14) 4.2.2 Euler方法求解 (14) 4.2.3改进欧拉方法 (16) 问题五四阶龙格-库塔计算常微分方程初值问题 (17) 5.1 计算题目 (17) 5.2 四阶龙格-库塔方法分析 (18) 5.3 程序流程图 (18) 5.4 标准四阶Runge-Kutta法Matlab实现 (19) 5.5 计算结果及比较 (20) 问题六舍入误差观察 (22) 6.1 计算题目 (22) 6.2 计算结果 (22) 6.3 结论 (23) 7 总结 (24) 附录 数值分析2016上机实习报告要求 1．应提交一份完整的实习报告。具体要求如下： （1） 报告要排版，美观漂亮；要标明姓名、学号、专业和联系电话； （2） 要有目录，指明题目、程序、计算结果，图标和分析等内容所在位置，作 到信息简明而完全； （3）要有总结，全方位总结机编程计算的心得体会； （4）尽量使报告清晰明了，一般可将计算结果、图表及对比分析放在前面，程序 清单作为附录放在后面，程序中关键部分要有中文说明或标注，指明该部分的功能和作用。 2．程序需完好保存到期末考试后的一个星期，以便老师索取用于验证、询问或质疑部分内容。 3．认真完成实验内容，可以达到既学习计算方法又提高计算能力的目的，还可以切身体会书本内容之精妙所在，期间可以得到很多乐趣。 4．拷贝或抄袭他人结果是不良行为，将视为不合格。 5．请按任课老师要求的时间和载体（电子或纸质）提交给任课老师。 6.提交电子邮件请务必按述格式命名邮件主题和文档名，以方便统计 学号姓名2016_2上机实习报告 如：2015201597张帅哥数值分析2016-2计算报告 数值分析上机试题 1． 编程计算∑∞11=n cn ， 其中c= 4.4942?10307， 给出并观察计算结果，若有问题，分析之。 2． 利用牛顿法求方程ln 2x x -=(x-ln x=2)于区间[2,4]的根，考虑不同初值下牛顿法的收敛情况。 3． 给出1251 2+=x y 在xk=0+0.25k 处的值yk, k=0,1,2,3,4. 请给出由节点 xk 确定的三次样 条插值函数S(x), 使其满足条件：S /(0)=0, S /(1)=-0.074, 分析逼近效果如何？ 4. 松弛因子对SOR 法收敛速度的影响。 用SOR 法求解方程组Ax =b ,其中 3-2-.2-2-3-B ,41141......14114 要求程序中不存系数矩阵A ,分别对不同的阶数取w=1.1, 1.2, ...,1.9进行迭代，记录近似解x (k)达到||x (k)-x (k-1)||<10-6时所用的迭代次数k ，观察松弛因子对收敛速度的影响，并观察当w ≤0或w ≥2会有什么影响？ 5. 用Ru n ge-Kutt a 4阶算法对初值问题y /=-20*y ，y (0)=1按不同步长求解，用于观察稳定区间的 作用，推荐两种步长h=0.1,0.2。 注：此方程的精确解为：y =e -20x数值分析实验报告1
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