第三章 系统的时间响应
3-1 什么是时间响应？
答：时间响应是指系统的 响应（输出）在时域上的表现形式或系统的动力学方程在一定初始条件下的解。
3.2 时间响应由哪两部分组成？各部分的定义是什么?
答：按分类的原则不同，时间响应有初始状态为零时，由系统的输入引起的响应;零输入响应，即系统的 输入为零时，由初始状态引起的响应。 按响应的性质分为强迫响应和自由响应。
对于稳定的系统，其时间响应又可分为瞬态响应和稳态响应。
3.3时间响应的瞬态响应反映哪方面的性能？而稳态响应反映哪方面的性能？ 答：瞬态响应反映了系统的稳定性和响应的快速性两方面的性能；稳态响应反映了系统响应的准确性。
3.4 设系统的单位脉冲响应函数如下,试求这些系统的传递函数. 1.25(1)()0.0125;t w t e -= (2)()510sin(44
w t t t =++）；
);t
-3(3)w(t)=0.1(1-e
(4)()0.01w t t =
解：（1）
11()()()()()00
w t x t L X s L G s X s i --????===????
()1X s i
=
(),()()G s G s L w t =????????
-1w(t)=L 所以，0.01251.251)()()0.0125 1.25
t G s L w t L e s -??===????
??+??(
(2)()()G s L w t =????
5510sin(4)sin 4cos422L t t t s s
=
++=++????????
5452()2222161616
s s s s s s =
++=++++
113(3)()()0.1(1)0.11t G s L w t L e s s s ????-????==-=-????????+?????
?0.1(31)s s =+ 0.01(4)()()0.012
G s L w t L t s ===
????????
3.5解
1
1()()11
0.256min.t T
G s x
t e ou Ts T -==-+=（）因为一阶系统的单位阶跃响应函数为解得，
1
(2)(),()101
21111()()2211G s r t At t Ts A T T t x t L AL A t T Te or Ts s Ts T s s =
==+????---??==-+=-+??++??????
因为一阶系统在输入作用下的时间响应
()
0.256()()()(1) 2.56(1)t t t
T t T Te T e t r t x t At A
AT e e or
-
-
-
-+=-=-=-=-
当t=1min e(t) = 2.53度
3.6解
解：（1）该系统的微分方程可以表示为
o i u iR u += ω?
=
idt C u o 1
其传递函数为 1
1
1111)
()
()(+=+=
+
==
Ts RCs Cs
R Cs s u s u s G i o 其中T=RC 。
显然，该系统为一阶系统，其单位脉冲响应函数为T t
e T
t -
=1)(ω，单位脉冲响应
如图（b ）；其单位阶跃响应函数为T
t
ou e
x -
-=1，单位阶跃响应如图（c ）；其单
位斜坡响应函数为T
t or Te
T t x -
+-=，单位斜坡响应如图（d ）。
（2）标准积分器的传递函数为 Ts
s G 1
)(= 其中T=RC 其单位脉冲响应函数为T t 1)(1=
ω；其单位阶跃响应函数为T
t
t x ou =)(1；其单位斜坡响应函数为T
t t x or 2)(2
1=，显然，用图（a ）所示网络代替积分器，存在误差e(t)。
它们分别为：
（a ） 当输入为单位脉冲函数时
)1(1
)()()(1T t
e T t t t e --=-=ωω
若t< )()()(1=-=-=-T t e T t t t e ωω 若t=T, )1 1(1)1(1)()()(1e T e T t t t e T t -=-=-=-ωω 若t>>T, T e T t t t e T t 1 )1(1)()()(1=-=-=-ωω （b ） 当输入为单位阶跃函数时 T t ou ou e T t t x t x t e -+-=-=1)()()(1 若t< ou ou e T t t x t x t e 若t=T, e e T t t x t x t e T t ou ou 1 1)()()(1=+-=-=- 若t>>T, )(1 1)()()(1T t T e T t t x t x t e T t ou ou -=+-=-=- （c ） 当输入为单位斜坡函数时 T t or or Te T t T t t x t x t e --+-=-=2)()()(2 1 若t< 若t=T, )1 5.0()()()(1e T t x t x t e or or -=-= 若t>>T, )5.0()()()(1T t T t t x t x t e or or -=-= 从以上分析可知，用图（a ）所示系统代替积分器时，只能用在t< 3.7已知控制系统的微分方程为2.5()()20()y t y t x t '+=，试用Laplace 变换法，求 该系统的单位脉冲w ()t 和单位阶跃响应()ou x t ，并讨论二者的关系。 解：由传递函数的定义和系统的微分方程，可得系统的传递函数为 ()208 ()() 2.510.4 Y s G s X s s s = ==++ 系统的单位脉冲响应为 0.488 ()[()()][ *1][]80.40.4 t w t L G s X s L L e s s -'''====++ 系统的单位阶跃响应为 8111 ()[()()][ *]20[]0.40.4 ou x t L G s X s L L s s s s '''===-++11 20[]0.4 L s s '=-+ 比较()w t 和()ou x t ，有()w t =()ou x t '或()ou x t =0 ()t w t dt ?。由此可得结论：系统 对某种输入的导数的响应等于系统对该输入的响应的导数；系统对某种输入的积分的响应等于系统对该输入饿响应的积分。 3.9已知单位反馈系统的开环传递函数为 (s)= 求：（1）K=20，T=0.2；（2）K=16，T=0.1；（3）K=2.5，T=1等三种情况是的单位阶跃响应。并分析开环增益K 与时间常数T 对系统性能的影响。 解：由于单位反馈系统，其前向通道传递函数与开环传递函数相等，所以系统的闭环传递函数为 由于为一阶系统，故时间常数为。故单位阶跃响应为 当K=20，T=0.2时， =0.952（1-） 当K=1.6，T=0.2时， =0.615（1-） 当K=2.5，T=1时， =0.714（1-） 从上面可知：当K值增大时，系统的响应应快速性好；T值减小是，系统的响应快速性变好。 3.11解 解：简化传递函数方框图有 ω，且 显然，这是一个简单的二阶系统。无阻尼固有频率为 n ω 2 n 则，阻尼比为，有阻尼固有频率为 3.12图为某数控机床系统的位置随动系统的方框图，试求： （1）阻尼比ξ及无阻尼比固有频率w n ； （2）求该系统的M p ，t p ，t s 和N 。 解：G k (s)= 9(1) s s + H(S)=1 G B (s)=9 (1)91(1) s s s s ++ + =929s s ++ 该系统为一简单的二阶系统，其中w n =3s -1 , ξ=16 w d =w 21ξ-2116?? - ??? -1=2.958s -1 σ=ξw n =0.5 β=arctan w d σ?? ? ?? ? =arctan5.916=1.403 则单位阶跃响应参数 t r =w d πβ-=0.587s t p = w d π=1.062s M p =w d e σπ?? ?- ? ??=0.538=53.8% 过度过程时间t s 若△=2%，t s = 4 σ =8s 若△=5%，t s = 2s d t w π 3 σ =6s 振荡次数N 若△=2%，N= 2s d t w π πξ =3.7≈4 若△=5%，N= 2s d t w π πξ ≈3 3 . 12 图为某数控机床系统的位置随动系统的方框图，试求： （1） 阻尼比ξ及无阻尼固有频率 ω n ； （2） 该系统的 M p ，t p ，t s 和 N 。 解： Θ G K （s ）= ) 1(9 +s s H (s) = 1 G B （s ）=1) s(s 911) s(s 9 ++ + = 9 9 2 ++s s 显然，该系统为一简单二阶系统，其中ωn = 3s 1 -；ξ= 6 1 ，即它是一个二阶欠阻尼系统。 ω d = ω n ξ2 1-=3 ? )6 1( 2 1- s 1 - = 2.958 s 1 - σ = ξ ω n = 3 ? 6 1 = 0.5 β = arctan(σ ωd ) = arctan5.916 = 1.403 则单位阶跃响应参数为 上升时间 t r = ω β πd - = 958 .2403 .114.3- s = 0.587 s 峰值时间 t p = ω π d = 958 .214 .3 s = 1.062 s 最大超调量 M p = e d π σ ω )( - = e 14.3958 .25 .0?- = 0.538 = 53.8% 过度过程时间 若 ?= 2% t s = σ 4 = 5.04s = 8 s 若 ?= 5% t s = σ3 = 5.03s = 6 s 振荡次数 N = ω π d s t 2 若 ?= 2% N = ω π d s t 2 = πξ ξ 2 12- = 3.7 ≈ 4 若 ?= 5% N = ω π d s t 2 = πξ ξ 2 15.1- = 2.828 ≈ 3 3.13 试求下述系统在单位斜坡函数r （t ）=t （t ≥0） 输入的响应y(t)和误差函数e(t)。 1(1)()1G s Ts = + 2 2 2(2)()(01)2n n n G s s s ξξωωω=≤<++ 21[()]L r t s = 解：（1）∵ 2 2221111()()11s s T T Y s G s s T s s s T =?=?=-+ ++ 2 21()[]1t T s T T y t L t T Te s s T -=-+=-++∴ t t T T - - ∴ e(t)=t-y(t)=t-(t-T+Te )=T-Te 2212n n s s ωξωω??++2n 22 1 (2) ∵ Y(s)=G(s)=s s 22( cos ) n t d d n e t t ξωξ ξ ωωωω-+n 2∴ y(t)=t- t n ξωξωω≥n -d 2e =t-0) ωω=d 其中， t ξωξωω≥n -d n 2e 则 e(t)=t-y(t)= 0) 3.15 要使图（题3.15）所示系统的单位阶跃响应的最大超调量等于25%，峰值时间p t 为2秒。试确定K 和t K 的值 解 由图可知 系统的传递函数为 K s K K s K s K s K s K s G f f B +?+= ++ ? = 22 2 )1(11)( 则K n =ω 2 K K f =ξ 又 %252 1==--ξξπ e M p ==+= ∴4.0) ln ( 11 2 p M π ξ2 K K f 而 s t p 2=2 1ξ ωπ-= n p t K t w p n ==-= ∴93.2) 1(2 22 2ξπ 93.2=∴K 47.071.14.022=÷?==K K f ξ 3.17. 单位反馈系统的开环传替函数为： ) 5)(1()(++= s s s K s G k 其斜坡函数输入时，系统的稳态误差01.0=ss e 的K 值。 解： 由于是单位反馈系统，ss ss e ε=，并且该系统为I 型系统，归一化有 ) 12 .0)(1(5 /)(++= s s s K s G k 其增益为K/5 在斜坡函数输入时， 01.05 ===K e ss ss ε ∴ 500=K 3.18 如图（题3.18a ）所示系统，已知s s N s X i 1)()(= =， 试求输入)(s X i 和扰动 )(s N 作用下的稳态误差。 解： 先求当 0)(,0)(≠=s N S X I 时，即 )(s N 单独作用下的稳态误差 ssN e 。此时系统的方框图可以简化为图（题3.18.b ）所示。 因此，干扰作用下的输出为)() 54)(13(1 4)(s N s s s s X oN +++= 由干扰产生的误差为 )()()()(s X s X s X E oN oN i s N -=-= ∴ )() 54)(13(1 4)(s N s s s s E N +++= 则该误差的稳态值为 5 1 1)54)(13(14lim )(lim -=?+++?-==s s s s s s sE e N ssN 再求当 0)(,0)(=≠s N s X i 时，即)(s X i 单独作用下的稳态误差ssx e 。 此时系统的方框图可以简化为图（题3.18.C ）所示。 因此，输入作用下的传替函数为 ) 54(4)()(+= s s X s X i o 输入作用下的误差为 )(5 41 )()()(s X s s X s X s E i o i x +=-= 则该误差的稳态值为 5 1 1)541lim )(lim 0 =?+? ==→s s s s sE e x s ssx 根据线性系统的叠加原理，系统在输入和干扰共同作用下的误差等于分别作用下的误差之和，即 05 1 51=-=+=ssN ssX ss e e e 3-19.已知单位反馈系统的闭环传递函数为 n n n n n B a s a a s a a s G +++++=--11...)(1 求斜坡函数输入和抛物线函数输入时的稳态误差。 解：将系统传递函数化为单位反馈形式有 2 2112211...1...)(1)()(11s a s a s a s a s a s a s a s a s G s G s G n n n n n n n n n n K K B ------+++++ ++++=+= 即可得 ) ...(...)(232 212 21111-------++++=++++=n n n n n n n n n n B a s a s s a s a s a s a s a a s G 可以看出：该系统为型系统，其静态无偏差系数为 静态位置无偏差系数为 ∞==→)()(lim 0 s H s sG K s p 单位阶跃信号输入时的稳态偏差为 011 =+=P ss K ε 静态速度无偏差系数为 ∞==→)()(lim 0 s H s sG K s v 单位斜坡信号输入时的稳态偏差为 01 ==v ss K ε 静态加速度无偏系数为 2 2 )()(lim -→= =n n s v a a s H s G s K 单位抛物线信号输入时的稳态偏差为 n n a ss a a K 21 -= = ε 故当斜坡函数输入时，系统静态无偏系数为∞，其稳态误差为零；当抛物线输入时，系统静态无偏系数为2 -n n a a ，其稳态误差为n n a a 2 -。 3-20系统的负载变化往往是系统的主要干扰。已知系统如图（题3.20）所示，试分析扰动N （s ）对系统输出和稳态误差的影响。 解：当X i (s)=0, N(s)0≠时，) () (s N s X oN = ) ()(11 s H s G + 系统误差为E(s)= X i (s) -- X oN (s)= --X oN (s) 所以 E(s)= -- ) ()(11 s H s G + N(s) 则稳态误差为 e ss = )(lim 0 s sE s →= -- s s lim 0 →? ) ()(11 s H s G +? N(s) 若扰动为单位阶跃函数，则 e ss = )(lim 0 s sE s →= -- s s lim 0 →?)()(11 s H s G +? s 1 = -- ) 0()0(11 H G + 可见，开环传递函数G(0)H(0)越大，由阶跃扰动引起的稳态误差就越小。对于 积分环节的个数大于或等于1的系统，G(0)H(0)∞ →，则扰动不影响稳态响应，稳态误差为零。 图（题3.20） 实验一、“控制系统时间响应分析”实验报告 一、实验类型 验证性实验 二、实验目的 1、 求系统在时间常数τ不同取值时的单位脉冲、单位阶跃响应和任意输入响应，熟悉系统时间响应的定义和图形曲线 2、 求系统的上升时间、峰值时间、最大超调量和调整时间等性能指标，熟悉系统瞬态性能指标的定义。 三、实验仪器与设备（或工具软件） 计算机，MATLAB 软件 四、实验内容、实验方法与步骤 已知系统传递函数 50 )1(05.050)(2+++=s s s G τ 1、求系统在时间常数τ不同取值时的单位脉冲、单位阶跃响应和任意输入响应。 应用impulse 函数，可以得到τ=0，τ=0.0125、τ=0.025时系统单位脉冲响应；应用step 函数，同样可以得到τ=0，τ=0.0125、τ=0.025时系统单位阶跃响应。 2、求系统的瞬态性能指标 五、实验结果 1、系统在时间常数τ不同取值时的单位脉冲、单位阶跃响应和任意输入响 t=[0:0.01:0.8];%仿真时间区段 nG=[50]; tao=0; dG=[0.05 1+50*tao 50]; G1=tf(nG ,dG); tao=0.0125; dG=[0.05 1+50*tao 50]; G2=tf(nG ,dG); tao=0.025; dG=[0.05 1+50*tao 50]; G3=tf(nG,dG);%三种τ值下，系统的传递函数模型 [y1,T]=impulse(G1,t);[y1a,T]=step(G1,t); [y2,T]=impulse(G2,t);[y2a,T]=step(G2,t); [y3,T]=impulse(G3,t);[y3a,T]=step(G3,t);%系统响应 subplot(131),plot(T,y1,'--',T,y2,'-.',T,y3,'-') legend('tao=0','tao=0.0125','tao=0.025') xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)');grid on; subplot(132),plot(T,y1a,'--',T,y2a,'-.',T,y3a,'-') legend('tao=0','tao=0.0125','tao=0.025') grid on;xlabel('t(sec)'),ylabel('x(t)');%产生图形 t=[0:0.01:1];u=sin(2*pi*t);% 仿真时间区段和输入 Tao=0.025; 第三章 系统的时间响应 3-1 什么是时间响应？ 答：时间响应是指系统的 响应（输出）在时域上的表现形式或系统的动力学方程在一定初始条件下的解。 3.2 时间响应由哪两部分组成？各部分的定义是什么? 答：按分类的原则不同，时间响应有初始状态为零时，由系统的输入引起的响应;零输入响应，即系统的 输入为零时，由初始状态引起的响应。 按响应的性质分为强迫响应和自由响应。 对于稳定的系统，其时间响应又可分为瞬态响应和稳态响应。 3.3时间响应的瞬态响应反映哪方面的性能？而稳态响应反映哪方面的性能？ 答：瞬态响应反映了系统的稳定性和响应的快速性两方面的性能；稳态响应反映了系统响应的准确性。 3.4 设系统的单位脉冲响应函数如下,试求这些系统的传递函数. 1.25(1)()0.0125;t w t e -= (2)()510sin(44 w t t t =++）； );t -3(3)w(t)=0.1(1-e (4)()0.01w t t = 解：（1） 11()()()()()00 w t x t L X s L G s X s i --????===???? ()1X s i = (),()()G s G s L w t =???????? -1w(t)=L 所以，0.01251.251)()()0.0125 1.25 t G s L w t L e s -??===???? ??+??( (2)()()G s L w t =???? 5510sin(4)sin 4cos422L t t t s s = ++=++???????? 5452()2222161616 s s s s s s = ++=++++ 第三章 线性系统的时域分析与校正 习题及答案 3-3 一阶系统结构图如图所示。要求系统闭环增益2=ΦK ，调节时间4.0≤s t s ，试确定参数21,K K 的值。 解 由结构图写出闭环系统传递函数 111)(212211211 +=+=+ =ΦK K s K K K s K s K K s K s 令闭环增益21 2 == ΦK K ， 得：5.02=K 令调节时间4.03 32 1≤==K K T t s ，得：151≥K 。 3-2 单位反馈系统的开环传递函数) 5(4 )(+= s s s G ，求单位阶跃响应)(t h 和调节时间 t s 。 解：依题，系统闭环传递函数 )1)(1(4) 4)(1(4 454)(2 12 T s T s s s s s s ++ =++=++= Φ ?? ?==25 .01 21T T 4 1)4)(1(4 )()()(210++++=++= Φ=s C s C s C s s s s R s s C 1) 4)(1(4 lim )()(lim 00 0=++=Φ=→→s s s R s s C s s 3 4 )4(4lim )()()1(lim 0 1 1-=+=Φ+=→-→s s s R s s C s s 3 1 )1(4lim )()()4(lim 0 4 2=+=Φ+=→-→s s s R s s C s s t t e e t h 43 1 341)(--+-= 421 =T T ， ∴3.33.3111==??? ? ??=T T T t t s s 。 159.075.40''<''==T t s 3-3 机器人控制系统结构图如图所示。试确定参数 21,K K 值，使系统阶跃响应的峰值时间5.0=p t s ，超调 量%2%=σ。 解 依题，系统传递函数为 2 22 12121211 2)1()1()1(1) 1()(n n n s s K K s K K s K s s s K K s s K s ωξωωΦΦ++=+++=+++ += 由 ?? ???=-=≤=--5 .0102.0212n p o o t e ωξπσξπξ 联立求解得 ?? ?==10 78 .0n ωξ 比较)(s Φ分母系数得 ?? ? ??=-===146.0121001221K K K n n ξωω 3-4 某典型二阶系统的单位阶跃响应如图所示。试确定系统的闭环传递函数。 第一节线性差分方程一、后移算子B定义为三、齐次方程解的计算1、AR(n)过程自相关函数ACF 1阶自回归模型AR(1) Xt= Xt-1+ at 的k 阶滞后自协方差为：Xt= 1Xt-1+ 2Xt-2 + at 该模型的方差0以及滞后1期与2期的自协方差1, 2分别为一般地，n 阶自回归模型AR(n) Xt= 1Xt-1+ 2Xt-2 + …nXt-n + at 其中：zi 是AR(n)特征方程⑵=0的特征根，由AR(n)平稳的条件知，|zi|<1; 因此，当zi均为实数根时，k呈几何型衰减(单调或振荡)；当存在虚数根时，则一对共扼复根构成通解中的一个阻尼正弦波项，k呈正弦波衰减。对MA(1)过程其自协方差系数为二、偏自相关函数从Xt 中去掉Xt-1的影响，则只剩下随机扰动项at ,显然它与Xt-2无关, 因此我们说Xt与Xt-2的偏自相关系数为零，记为MA(1)过程可以等价地写成at 关于无穷序列Xt , Xt-1 ，…的线性组合的形式：与MA(1)相仿，可以验证MA(m)过程的偏自相关函数是非截尾但趋于零的。ARMA(n,m)的自相关函数，可以看作MA(m)的自相关函数和AR(n)的自相关函数的混合物。当n=0时，它具有截尾性质；当m=0时，它具有拖尾性质；当n、m都不为0时，它具有拖尾性质从识别上看，通常：ARMA(n , m)过程的偏自相关函数(PACF ) 可能在n阶滞后前有几项明显的尖柱 (spikes )，但从n阶滞后项开始逐渐趋向于零；而它的自相关函数(ACF )则是在m阶滞后前有几项明显的尖柱，从m阶滞后项开始逐渐趋向于零。对k=1 , 2 , 3,…依次求解方程，得上述……序列为AR模型的偏自相关函数。偏自相关性是条件相关，是在给定的条件下，和的条件相关。换名话说， 第三章 控制系统的时域分析法 一、知识点总结 1．掌握典型输入信号（单位脉冲、单位阶跃、单位速度、单位加速度、正弦信号）的拉氏变换表达式。 2．掌握系统动态响应的概念，能够从系统的响应中分离出稳态响应分量和瞬态响应分量；掌握系统动态响应的性能评价指标的概念及计算方法（对于典型二阶系统可以直接应用公式求解，非典型二阶系统则应按定义求解）。 解释：若将系统的响应表达成拉普拉氏变换结果（即S 域表达式），将响应表达式进行部分分式展开，与系统输入信号极点相同的分式对应稳态响应；与传递函数极点相同的分式对应系统的瞬态响应。将稳态响应和瞬态响应分式分别进行拉氏逆变换即获得各自的时域表达式。 性能指标：延迟时间、上升时间、峰值时间、调节时间、超调量 3．掌握一阶系统的传递函数形式，在典型输入信号下的时域响应及其响应特征；掌握典型二阶系统的传递函数形式，掌握欠阻尼系统的阶跃响应时域表达及其性能指标的计算公式和计算方法；了解高阶系统的性能分析方法，熟悉主导极点的概念，定性了解高阶系统非主导极点和零点对系统性能的影响。 tr tp ts td 4．熟悉两种改善二阶系统性能的方法和结构形式（比例微分和测速反馈），了解两种方法改善系统性能的特点。 5．掌握系统稳定性分析方法：劳斯判据的判断系统稳定性的判据及劳斯判据表特殊情况的构建方法（首列元素出现0，首列出现无穷大，某一行全为0）；掌握应用劳斯判据解决系统稳定裕度问题的方法。了解赫尔维茨稳定性判据。 6．掌握稳态误差的概念和计算方法；掌握根据系统型别和静态误差系数计算典型输入下的稳态误差的方法（可直接应用公式）；了解消除稳态误差和干扰误差的方法；了解动态误差系数法。 二、相关知识点例题 例1. 已知某系统的方块图如下图1所示，若要求系统的性能指标为： δδ%=2222%，tt pp=1111，试确定K和τ的值，并计算系统单位阶跃输入下的特征响应量：tt，tt。 图1 解：系统闭环传递函数为：Φ(s)=CC(ss)RR(ss)=KK ss2+(1+KKKK)ss+KK 因此，ωnn=√KK，ζζ=1+KKKK2√KK， δ%=e?ππππ?1?ππ2?ζζ=0.46， t pp=ππωωdd=1ss?ωdd=ωnn?1?ζζ2=3.14 ?ωnn=3.54 K=ωnn2=12.53，τ=2ζζωnn?1KK=0.18 t ss=3ζζωωnn=1.84ss t P p t t t t t x B x x B x Bx x ===---M 221第3章 平稳时间序列分析 一个序列经过预处理被识别为平稳非白噪声序列，那就说明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。 3.1 方法性工具 3.1.1 差分运算 一、p 阶差分 记 t x ?为t x 的1阶差分：1--=?t t t x x x 记t x 2 ?为t x 的2阶差分：21122---+-=?-?=?t t t t t t x x x x x x 以此类推：记 t p x ?为t x 的p 阶差分：111---?-?=?t p t p t p x x x 二、k 步差分 记t k x ?为t x 的k 步差分：k t t t k x x x --=? 3.1.2 延迟算子 一、定义 延迟算子相当与一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻。记B 为延迟算子，有 延迟算子的性质： 1. 10 =B 2.若c 为任一常数，有1 )()(-?=?=?t t t x c x B c x c B 3.对任意俩个序列{t x }和{t y }，有11)(--±=±t t t t y x y x B 4. n t t n x x B -= 5.)!(!!,)1()1(0 i n i n C B C B i n i i n n i i n -= -=-∑=其中 二、用延迟算子表示差分运算 1、p 阶差分 t p t p x B x )1(-=? 2、k 步差分 t k k t t t k x B x x x )1(-=-=?- 3.2 ARMA 模型的性质 3.2.1 AR 模型 定义 具有如下结构的模型称为p 阶自回归模型，简记为AR(p): t s Ex t s E Var E x x x x t s t s t t p t p t p t t t πΛ?=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,0222110εεεσεεφεφφφφε (3.4) AR(p)模型有三个限制条件： 条件一： ≠p φ。这个限制条件保证了模型的最高阶数为p 。 条件二： t s E Var E t s t t ≠===,0)(,)(,0)(2εεσεεε。这个限制条件实际上是要求随机干扰序列 }{t ε为 零均值白噪声序列。 条件三：t s Ex t s π?=,0ε。这个限制条件说明当期的随机干扰与过去的序列值无关。 通常把AR(p)模型简记为： t p t p t t t x x x x εφφφφ+++++=---Λ22110 (3.5) 第三章线性系统的时域分析法 线性系统的时域分析法 本章主要内容： 时域分析的提法（概念，时域性能指标） 一阶系统的分析（稳定性分析稳态分析动态分析） 二阶系统的分析（稳定性分析稳态分析动态分析） 控制系统的一般分析（稳定性分析稳态分析动态分析） 3.1 时域分析的提法 3.1.1 时域分析的基本思想 时域分析法是控制系统常用的一种分析方法。该方法直观，容易理解。 3.1.2 时域分析问题的提法 时域分析问题是指在时间域内对系统的性能进行分析，是通过系统在典型信号作用下的时域响应，来建立系统的结构、参数与系统的性能的定量关系。 稳定稳定性能 系统的分析包括三个方面：稳态稳态性能 动态动态性能 线性控制系统稳定性的定义：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定，简称稳定。反之，若在初始扰动的影响下，系统的过渡过程随时间的推移而发散，则称该系统为不稳定。 在时域分析法中，控制系统的稳态性能是指：时间t趋于无穷大时，系统输出的状态，称为系统的的稳态响应。 反映系统动态过程的性能称为系统的动态性能。描述系统动态性能的指标称为动态指标。 3.1.3 系统的时域响应 ?系统的数学模型是微分方程描述时 ?系统的数学模型是传递函数描 ?当系统的数学模型是别的形式是，可转化为上面两种形式求解。上面的两种形式是时域分析中常用的形式。 3.1.4性能指标的时域描述（性能指标，性能指标的定量化） 3.1. 4.1 稳定性描述 控制系统的稳定性，是控制系统能正常工作的必要条件 控制系统在实际工况中，总会受到内部和外界一部分因素的扰动。例如负载或能源的波动、系统参数的的变化、环境条件的改变等。对于不稳定的系统，当其受到这些扰动，即使这些扰动很弱，持续时间很短，照样会使系统中的各物理量偏离其原来的平衡点，并随时间的增加而发散，以至在扰动消失后，系统也不会再恢复到原来的工作点，显然不稳定系统是无法工作的。 为了使控制系统受到扰动后仍能稳定工作，需要分析并找出保证系统稳定工作的条件。（这本身是系统分析的一个重要稳态） 例子：摆的平衡点（稳定的平衡点、不稳定的平衡点、稳定区域） 单摆和小球运动的这种稳定概念，可以推广于控制系统。假如系统具有一个平衡的稳定工作状态，如果系统受到有界扰动偏离了原平衡状态，无论扰动引起的偏差有多大，当扰动消除后，看系统是否能回到原来的平衡状态，若能，则认为系统是稳定的，否则系统是不稳定的。 在分析线性系统稳定性时，我们关心的是系统运动的稳定性，即系统方程在不受任何外界输入下，方程的解在时的渐近行为。或者系统在某一给定输入下，按一种方式运动，不受干扰的影响，既便有些偏离运动状态，当干扰消除后，终能回到原运动状态。在数学上，这种性质表现为系统微分方程的齐次解，其通解称为微分方程的一个运动。 平衡点的稳定与运动状态的稳定严格的的说是有区别的，但可以证明，在线性系统中，它们是等价的。 线性系统稳定性的定义，常采用俄国学者李亚普诺夫在1892年给的定义。线性控制系统稳定性的定义： 若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐 衰减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定，简称稳定。反之，若在初始扰动 的影响下，系统的过渡过程随时间的推移而发散，则称该系统为不稳定。 Chp.3 时间响应分析 基本要求 (1) 了解系统时间响应的组成；初步掌握系统特征根的实部和虚部对系统自由响应项的影响情况，掌握系统稳定性与特征根实部之间的关系。 (2 ) 了解控制系统时间响应分析中的常用的典型输入信号及其特点。 (3) 掌握一阶系统的定义和基本参数，能够求解一阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应；掌握一阶系统时间响应曲线的基本形状及意义。掌握线性系统中，存在微分关系的输入，其输出也存在微分关系的基本结论。 (4) 掌握二阶系统的定义和基本参数；掌握二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关系；掌握二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。 (5) 了解主导极点的定义及作用； (6) 掌握系统误差的定义，掌握系统误差与系统偏差的关系，掌握误差及稳态误差的求法；能够分析系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。 (7) 了解单位脉冲响应函数与系统传递函数之间的关系。 重点与难点 重点 (1) 系统稳定性与特征根实部的关系。 (2) 一阶系统的定义和基本参数，一阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应曲线的基本形状及意义。 (3) 二阶系统的定义和基本参数；二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关系；二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。 (4) 系统误差的定义，系统误差与系统偏差的关系，误差及稳态误差的求法；系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。 难点 (1) 二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关系；二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。 (2) 系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。 建立数学模型后进一步分析、计算和研究控制系统所具有的各种性能。 时域分析法利用L 变换对系统数学模型求解，可以导出各种时域性能指标。 § 1 时间响应及组成 1、响应：古典控制理论中响应即输出，一般都能测量观察到；现代控制理论中，状态变量不一定都 能观察到。能直接观察到的响应叫输出。 2、时间响应：系统在输入信号作用下，其输出随时间变化的规律。 若系统稳定，时间响应由瞬态响应和稳态响应组成。 3、瞬态响应：系统在达到稳态响应前的时间响应。 4、稳态响应：当t fg时的时间响应。 实验三连续时间系统的时域分析 一实验目的： 1、熟悉和掌握常用的用于信号与系统时域分析的MATLAB 函数； 2、掌握如何利用Matlab 软件求解一个线性时不变连续时间系统的零状态响 应、冲激响应和阶跃响应。 二实验原理： 在信号与线性系统中，LTI(线性时不变)连续时间系统以常系数微分方程描述，系统的零状态响应可以通过求解初始状态为零的微分方程得到。在Matlab 中，控制系统工具箱提供了一个用于求解零初始条件微分方程数值解的函数lsim ，其调用形式为： ),,(t f sys lsim y = 式中，t 表示计算系统响应的抽样点向量，f 是系统输入信号向量（即激励），sys 是LTI 系统模型，用来表示微分方程。在求解微分方程时，微分方程的LTI 系统模型sys 要借助Matlab 中的tf 函数来获得，其调用形式为： ),(a b tf sys = 式中，b 和a 分别为微分方程右端和左端各项的系数向量。例如对于三阶微分方程： )()()()()()()()(01230123t f b t f b t f b t f b t y a t y a t y a t y a +'+''+'''=+'+''+''' 可以用以下命令： b=[b3,b2,b1,b0]; a=[a3,a2,a1,a0]; sys=tf(b, a); 来获得LTI 模型。 系统的LTI 模型建立后，就可以求出系统的冲激响应和阶跃响应。在连续时间LTI 中，冲击响应和阶跃响应是系统特性的描述。输入为单位冲击函数)(t δ所引起的零状态响应称为单位冲击响应，简称冲击响应，用)(t h 表示；输入为单位阶跃函数)(t ε所引起的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用)(t u 表示。求解系统的冲激响应的函数是impulse ，求解系统的阶跃响应可以利用函数step ，其调用形式分别为： 习 题 4-1 什么是时间响应？ 答：机械工程系统在外加作用(输入)激励下，其输出量随时间变化的函数 关系称之为系统的时间响应，通过对时间响应的分析可揭示系统本身的动态特性。 4-2 时间响应有哪两部分组成？各部分的定义是什么？ 答：任一系统的时间响应都是由瞬态响应和稳态响应两部分组成。 瞬态响应： 系统受到外加作用激励后，从初始状态到最终状态的响应过 程称为瞬态响应。 稳态响应: 时间趋于无穷大时，系统的输出状态称为稳态响应。 瞬态响应反映了系统动态性能，而稳态响应偏离系统希望值的程度可用来 衡量系统的精确程度。 4-3 如图所示的电网络，试求其单位阶跃响应、单位脉冲响应和单位斜坡响应，并 画出相应的响应曲线。 解：如图RC 电网络的传递函数为： ()1 1 G s RCs = + T RC = （1）单位阶跃响应： ()11t t RC T C t e e - - =-=- 图（题4-3） （2）单位脉冲响应： ()11t t RC T C t e e T RC --== （3）单位斜坡响应： ()11t t RC T C t t T e t RC e --????=--=-- ? ?? ??? 4-4 设温度计能在1分钟内指示出响应值的98％，并且假设温度计为一阶系统，求 时间常数。如果将此温度计放在澡盆内，澡盆的温度依10℃/min 的速度线性变化，求温度计示值的误差是多大？ ()()()()()() ()()()()() 2 024040.250 41 0.25 11 10.25110 10 0.251 10 2.5 2.5 1010 2.51 2.51 i i t t t i s T T G s Ts s X s s X s G s X s s s X t t e e t X t X t t t e e t e ---=== = ++=== +=-+?? =-=-+-=- ??? →∞ 解：当时 2.5o s C = Chp.3时间响应分析 基本要求 (1) 了解系统时间响应的组成；初步掌握系统特征根的实部和虚部对系统自由响应项的 影响情况，掌握系统稳定性与特征根实部之间的关系。 (2 ) 了解控制系统时间响应分析中的常用的典型输入信号及其特点。 (3) 掌握一阶系统的定义和基本参数，能够求解一阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响 应及单位斜坡响应；掌握一阶系统时间响应曲线的基本形状及意义。掌握线性系统中，存在微分关系的输入，其输出也存在微分关系的基本结论。 (4) 掌握二阶系统的定义和基本参数；掌握二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应 曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关系；掌握二阶系统性能指标的定义 及其与系统特征参数之间的关系。 (5) 了解主导极点的定义及作用； (6) 掌握系统误差的定义，掌握系统误差与系统偏差的关系，掌握误差及稳态误差的求 法；能够分析系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。 (7) 了解单位脉冲响应函数与系统传递函数之间的关系。 重点与难点 重点 (1) 系统稳定性与特征根实部的关系。 (2) 一阶系统的定义和基本参数，一阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应曲线的基本形状及意义。 (3) 二阶系统的定义和基本参数；二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的 基本形状及其振荡情况与系统阻尼比之间的对应关系；二阶系统性能指标的定义及其与系统 特征参数之间的关系。 (4) 系统误差的定义，系统误差与系统偏差的关系，误差及稳态误差的求法；系统的输 入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。 难点 (1) 二阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻 尼比之间的对应关系；二阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。 (2) 系统的输入、系统的结构和参数以及干扰对系统偏差的影响。 建立数学模型后进一步分析、计算和研究控制系统所具有的各种性能。 时域分析法利用L变换对系统数学模型求解，可以导出各种时域性能指标。 §1 时间响应及组成 1、响应：古典控制理论中响应即输出，一般都能测量观察到；现代控制理论中，状 态变量不一定都能观察到。能直接观察到的响应叫输出。 2、时间响应：系统在输入信号作用下，其输出随时间变化的规律。 若系统稳定，时间响应由瞬态响应和稳态响应组成。 第三章线性系统的时域分析法 一、教学目的与要求： 对本章的讲授任务很重，要使学生通过本章的学习建立起分析系统特性的概念及方法，围绕控制系统要解决的三大问题，怎样从动态性能、稳态性能及稳定性三方面衡量控制系统，要求学生掌握一阶、二阶系统的典型输入信号响应，参数变化对系统性能的影响，尤其是二阶系统参数与特征根的关系，系统稳定性的概念与判据方法，精度问题，即稳态误差的分析与求法。 二、授课主要内容： 本章着重讨论标准二阶系统的阶跃响应，明确系统的特征参数与性能指标的关系。通过对系统阶跃响应的分析，明确系统稳定的充要条件，掌握时域判稳方法。 1．系统时间响应的性能指标 1）典型输入信号 2）动态过程与稳态过程 3）动态性能与稳态性能 2．一阶系统的时域分析 3．二阶系统的时域分析 1）二阶系统数学模型的标准形式 2）二阶系统的瞬态响应和稳态响应 3）系统参数与特征根及瞬态响应的关系 4．高阶系统的时域分析 1）高阶系统的单位阶跃响应 2）闭环主导极点 5．性系统的稳定性分析 1）系统稳定的充分必要条件 2）劳斯—赫尔维茨稳定判据 6．线性系统的稳态误差计算 1）误差与稳态误差 2）系统类型与静态误差系数 （详细内容见讲稿） 三、重点、难点及对学生的要求（掌握、熟悉、了解、自学） 重点：二阶系统的特点，劳斯稳定判据，稳态误差。 难点：二阶系统阶跃响应与特征根及参数ζ和ωｎ的关系。 要求： 1.掌握一阶系统对典型试验信号的输出响应的推导，理解系统参数T和K的物 理意义。 2.重点掌握不同二阶系统阶跃响应的特点，及阶跃响应与特征根在根平面位置 之间的关系；理解系统参数ζ和ωｎ的物理意义。 3.掌握控制系统阶跃响应性能指标的含义，以及计算二阶欠阻尼系统性能指标 的方法。 4.掌握劳斯稳定判据判别系统稳定性的方法。 5.理解系统稳态误差与系统的“型”及输入信号的形式之间的关系。 6.理解高阶系统主导极点的概念，以及高阶系统可以低阶近似的原理。 7.了解根据系统的阶跃和脉冲响应曲线获得系统数学模型的方法。 四、主要外语词汇 时域分析法 time scale analytical method 根轨迹法 root-locus plot method 频域分析法 phase scale analytical method 性能指标 performance specification 高阶系统 higher-order system 稳定性 stability 劳思-赫尔维茨判据 routh’s stability criterion 稳态误差 stability error 误差系数 error parameter 五、辅助教学情况（见课件） 六、复习思考题 【教学目的】 ※熟悉系统时间响应、性能指标的概念及求法 ※了解稳态误差的相关知识 【教学重点】 ※时间响应的基本概念 ※二阶系统的阶跃响应及欠阻尼状态下的性能指标及参数的求取 ※误差及稳态误差的概念 ※位置误差、速度误差和加速度误差的计算 【教学难点】 ※二阶系统的时间响应 ※干扰作用下的系统误差的计算 【教学方法及手段】 采用板书讲授的方式，将二阶系统在不同阻尼下的时间响应进行对比讲解，并将各种阻尼状态下的极点分布进行比较，画在一个复平面上，通过绘制响应曲线来表明各性能指标在图上的位置，帮助学生对概念的理解。 【学时分配】 8课时 【教学内容】 对于一个实际的系统，在建立数学模型之后，就可以采用不同的方法来分析和研究系统的动态性能。本章的时域分析就是其中一种重要的方法。 时域分析法是直接求解系统的微分方程，即利用拉氏变换和拉氏反变换求解，然后根据响应的表达式及其描述曲线来分析系统的性能。这种方法结果直观，应用范围广。 本章主要介绍系统的时间响应及其组成，并对一阶、二阶系统的典型时间响应进行分析，最后介绍系统的误差与稳态误差的概念。 3-1 时间响应 时间响应的概念 系统在外加作用激励下，其输出量随时间变化的函数关系，称之为系统的时间响应。通过对时间响应的分析可揭示系统本身的动态特性。 任一系统的时间响应都是由瞬态响应和稳态响应两个部分组成。 瞬态响应：系统受到外加作用激励后，从初始状态到最终状态的响应过程。 稳态响应：时间趋于无穷大时，系统的输出状态。 瞬态响应反映了系统动态性能。 稳态响应偏离系统希望值的程度可用来衡量系统的精确程度。 3-2 一阶系统的时间响应 1、一阶系统的数学模型 用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。 a 图示的RC 电路，其微分方程为 i(t)+ r(t) + （a ） 电路图 R C )(t r U dt du RC c c =+ )()()(t r t C t C T =+? 其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC 为时间常数。 （b ）方块图控制系统时间响应分析”实验报告
第三章 系的时间响应分析
第三章 系统时间响应习题及解答
时间序列分析报告材料张能福第三章
第三章控制系统的时域分析法知识点
第三章平稳时间序列分析
第三章 时域响应
第三章系统的时间响应分析机械工程控制基础教案
连续时间系统的时分析
第四章 系统的时间响应分析
最新第三章系统的时间响应分析机械工程控制基础教案教学文案
第三章-线性系统的时域分析法知识交流
第三章 线性系统的时域分析
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