第三章 系统的时间响应
3-1 什么是时间响应？
答：时间响应是指系统的 响应（输出）在时域上的表现形式或系统的动力学方程在一定初始条件下的解。
3.2 时间响应由哪两部分组成？各部分的定义是什么?
答：按分类的原则不同，时间响应有初始状态为零时，由系统的输入引起的响应;零输入响应，即系统的 输入为零时，由初始状态引起的响应。 按响应的性质分为强迫响应和自由响应。
对于稳定的系统，其时间响应又可分为瞬态响应和稳态响应。
3.3时间响应的瞬态响应反映哪方面的性能？而稳态响应反映哪方面的性能？ 答：瞬态响应反映了系统的稳定性和响应的快速性两方面的性能；稳态响应反映了系统响应的准确性。
3.4 设系统的单位脉冲响应函数如下,试求这些系统的传递函数. 1.25(1)()0.0125;t w t e -= (2)()510s i n (44
w t t t =++）；
);t
-3(3)w(t)=0.1(1-e
(4)()0.01w t t
= 解：（1）
11()()()()()00
w t x t L X s L G s X s i --????===???? ()1X s i
=
(),()()G s G s L w t =????????
-1w(t)=L 所以，0.01251.251)()()0.0125 1.25
t G s L w t L e s -??===????
??+??(
(2)()()G s L w t =????
5510sin(4)sin 4cos422L t t t s s
=
++=++????????
5452()2222161616
s s s s s s =
++=++++
113(3)()()0.1(1)0.11t G s L w t L e s s s ????-????==-=-????????+?????
?0.1(31)s s =+ 0.01(4)()()0.012
G s L w t L t s ===
????????
3.5解
1
1()()11
0.256min.t T
G s x
t e ou Ts T -==-+=（）因为一阶系统的单位阶跃响应函数为解得，
1
(2)(),()101
21111()()2211G s r t At t Ts A T T t x t L AL A t T Te or Ts s Ts T s s =
==+????---??==-+=-+??++??????
因为一阶系统在输入作用下的时间响应
()
0.256()()()(1) 2.56(1)t
t t
T t T Te T e t r t x t At A
AT e e or
-
-
-
-+=-=-=-=-
当t=1min e(t) = 2.53度
3.6解
解：（1）该系统的微分方程可以表示为
o i u iR u += ω?
=
i d t C u o 1
其传递函数为 1
1
1111)
()
()(+=+=
+
==
Ts RCs Cs
R Cs s u s u s G i o 其中T=RC 。
显然，该系统为一阶系统，其单位脉冲响应函数为T t
e T
t -
=1)(ω，单位脉冲响应
如图（b ）；其单位阶跃响应函数为T
t
ou e
x -
-=1，单位阶跃响应如图（c ）；其单
位斜坡响应函数为T
t or Te
T t x -
+-=，单位斜坡响应如图（d ）。
（2）标准积分器的传递函数为 Ts
s G 1
)(= 其中T=RC 其单位脉冲响应函数为T t 1)(1=
ω；其单位阶跃响应函数为T
t
t x ou =)(1；其单位斜坡响应函数为T
t t x or 2)(2
1=，显然，用图（a ）所示网络代替积分器，存在误差e(t)。
它们分别为：
（a ） 当输入为单位脉冲函数时
)1(1
)()()(1T t
e T t t t e --=-=ωω
若t< )()()(1=-=-=-T t e T t t t e ωω 若t=T, )1 1(1)1(1)()()(1e T e T t t t e T t -=-=-=-ωω 若t>>T, T e T t t t e T t 1 )1(1)()()(1=-=-=-ωω （b ） 当输入为单位阶跃函数时 T t ou ou e T t t x t x t e -+-=-=1)()()(1 若t< ou ou e T t t x t x t e 若t=T, e e T t t x t x t e T t ou ou 1 1)()()(1=+-=-=- 若t>>T, )(1 1)()()(1T t T e T t t x t x t e T t ou ou -=+-=-=- （c ） 当输入为单位斜坡函数时 T t or or Te T t T t t x t x t e --+-=-=2)()()(2 1 若t< 若t=T, )1 5.0()()()(1e T t x t x t e or or -=-= 若t>>T, )5.0()()()(1T t T t t x t x t e or or -=-= 从以上分析可知，用图（a ）所示系统代替积分器时，只能用在t< 3.7已知控制系统的微分方程为2.5()()20()y t y t x t '+=，试用Laplace 变换法，求 该系统的单位脉冲w ()t 和单位阶跃响应()ou x t ，并讨论二者的关系。 解：由传递函数的定义和系统的微分方程，可得系统的传递函数为 ()208 ()() 2.510.4 Y s G s X s s s = ==++ 系统的单位脉冲响应为 0.488 ()[()()][ *1][]80.40.4 t w t L G s X s L L e s s -'''====++ 系统的单位阶跃响应为 8111 ()[()()][ *]20[]0.40.4 ou x t L G s X s L L s s s s '''===-++11 20[]0.4 L s s '=-+ 比较()w t 和()ou x t ，有()w t =()ou x t '或()ou x t =0 ()t w t dt ?。由此可得结论：系统 对某种输入的导数的响应等于系统对该输入的响应的导数；系统对某种输入的积分的响应等于系统对该输入饿响应的积分。 3.9已知单位反馈系统的开环传递函数为 (s)= 求：（1）K=20，T=0.2；（2）K=16，T=0.1；（3）K=2.5，T=1等三种情况是的单位阶跃响应。并分析开环增益K 与时间常数T 对系统性能的影响。 解：由于单位反馈系统，其前向通道传递函数与开环传递函数相等，所以系统的闭环传递函数为 由于为一阶系统，故时间常数为。故单位阶跃响应为 当K=20，T=0.2时， =0.952（1-） 当K=1.6，T=0.2时， =0.615（1-） 当K=2.5，T=1时， =0.714（1-） 从上面可知：当K值增大时，系统的响应应快速性好；T值减小是，系统的响应快速性变好。 3.11解 解：简化传递函数方框图有 ω，且 显然，这是一个简单的二阶系统。无阻尼固有频率为 n ω 2 n 则，阻尼比为，有阻尼固有频率为 3.12图为某数控机床系统的位置随动系统的方框图，试求： （1）阻尼比ξ及无阻尼比固有频率w n ； （2）求该系统的M p ，t p ，t s 和N 。 解：G k (s)= 9(1) s s + H(S)=1 G B (s)=9 (1)91(1) s s s s ++ + =929s s ++ 该系统为一简单的二阶系统，其中w n =3s -1 , ξ=16 w d =w -1=2.958s -1 σ=ξw n =0.5 β=arctan w d σ?? ? ?? ? =arctan5.916=1.403 则单位阶跃响应参数 t r =w d πβ-=0.587s t p = w d π=1.062s M p =w d e σπ?? ?- ? ??=0.538=53.8% 过度过程时间t s 若△=2%，t s = 4 σ =8s 若△=5%，t s = 2s d t w π 3 σ =6s 振荡次数N 若△=2%，N= 2s d t w π πξ =3.7≈4 若△=5%，N= 2s d t w π πξ ≈3 3 . 12 图为某数控机床系统的位置随动系统的方框图，试求： （1） 阻尼比ξ及无阻尼固有频率 ω n ； （2） 该系统的 M p ，t p ，t s 和 N 。 解： G K （s ）= ) 1(9 +s s H (s) = 1 G B （s ）=1) s(s 911) s(s 9 ++ + = 9 9 2 ++s s 显然，该系统为一简单二阶系统，其中ωn = 3s 1 -；ξ= 6 1 ，即它是一个二阶欠阻尼系统。 ω d = ω n ξ2 1-=3 ? )6 1(2 1- s 1 - = 2.958 s 1 - σ = ξ ω n = 3 ? 6 1 = 0.5 β = arctan(σ ωd ) = arctan5.916 = 1.403 则单位阶跃响应参数为 上升时间 t r = ω β πd - = 958 .2403 .114.3- s = 0.587 s 峰值时间 t p = ω π d = 958 .214 .3 s = 1.062 s 最大超调量 M p = e d π σ ω )( - = e 14.3958 .25 .0?- = 0.538 = 53.8% 过度过程时间 若 ?= 2% t s = σ 4 = 5.04s = 8 s 若 ?= 5% t s = σ3 = 5.03s = 6 s 振荡次数 N = ω π d s t 2 若 ?= 2% N = ω π d s t 2 = πξ ξ 2 12- = 3.7 ≈ 4 若 ?= 5% N = ω π d s t 2 = πξ ξ 2 15.1- = 2.828 ≈ 3 3.13 试求下述系统在单位斜坡函数r （t ）=t （t ≥0） 输入的响应y(t)和误差函数e(t)。 1(1)()1G s Ts = + 2 2 2(2)()(01)2n n n G s s s ξξωωω=≤<++ 21[()]L r t s = 解：（1）∵ 2 2221111()()11s s T T Y s G s s T s s s T =?=?=-+ ++ 2 21()[]1t T s T T y t L t T Te s s T -=-+=-++∴ t t T T - - ∴ e(t)=t-y(t)=t-(t-T+Te )=T-Te 2212n n s s ωξωω??++2n 22 1 (2) ∵ Y(s)=G(s)=s s 22( cos ) n t d d n e t t ξωξ ξ ωωωω-+n 2∴ y(t)=t- t n ξωξωω≥n -d 2e =t-0) ωω=d 其中， t ξωξωω≥n -d n 2e 则 e(t)=t-y(t)= 0) 3.15 要使图（题3.15）所示系统的单位阶跃响应的最大超调量等于25%，峰值时间p t 为2秒。试确定K 和t K 的值 解 由图可知 系统的传递函数为 K s K K s K s K s K s K s G f f B +?+= ++ ? = 22 2 )1(11)( 则K n =ω 2 K K f =ξ 又 %252 1==--ξξπ e M p ==+= ∴4.0) ln ( 11 2 p M π ξ2 K K f 而 s t p 2=2 1ξ ωπ-= n p t K t w p n ==-= ∴93.2) 1(2 22 2ξπ 93.2=∴K 47.071.14.022=÷?==K K f ξ 3.17. 单位反馈系统的开环传替函数为： ) 5)(1()(++= s s s K s G k 其斜坡函数输入时，系统的稳态误差01.0=ss e 的K 值。 解： 由于是单位反馈系统，ss ss e ε=，并且该系统为I 型系统，归一化有 ) 12.0)(1(5 /)(++= s s s K s G k 其增益为K/5 在斜坡函数输入时， 01.05 ===K e ss ss ε ∴ 500=K 3.18 如图（题3.18a ）所示系统，已知s s N s X i 1)()(= =， 试求输入)(s X i 和扰动 )(s N 作用下的稳态误差。 解： 先求当 0)(,0)(≠=s N S X I 时，即 )(s N 单独作用下的稳态误差 ssN e 。此时系统的方框图可以简化为图（题3.18.b ）所示。 因此，干扰作用下的输出为)() 54)(13(1 4)(s N s s s s X oN +++= 由干扰产生的误差为 )()()()(s X s X s X E oN oN i s N -=-= ∴ )() 54)(13(1 4)(s N s s s s E N +++= 则该误差的稳态值为 5 1 1)54)(13(14lim )(lim -=?+++?-==s s s s s s sE e N ssN 再求当 0)(,0)(=≠s N s X i 时，即)(s X i 单独作用下的稳态误差ssx e 。 此时系统的方框图可以简化为图（题3.18.C ）所示。 因此，输入作用下的传替函数为 ) 54(4)()(+= s s X s X i o 输入作用下的误差为 )(5 41 )()()(s X s s X s X s E i o i x += -= 则该误差的稳态值为 5 1 1)541lim )(lim 0 =?+? ==→s s s s sE e x s ssx 根据线性系统的叠加原理，系统在输入和干扰共同作用下的误差等于分别作用下的误差之和，即 05 1 51=-=+=ssN ssX ss e e e 3-19.已知单位反馈系统的闭环传递函数为 n n n n n B a s a a s a a s G +++++=--11...)(1 求斜坡函数输入和抛物线函数输入时的稳态误差。 解：将系统传递函数化为单位反馈形式有 2 2112211...1...)(1)()(11s a s a s a s a s a s a s a s a s G s G s G n n n n n n n n n n K K B ------+++++ ++++=+= 即可得 ) ...(...)(232 212 21111-------++++=++++=n n n n n n n n n n B a s a s s a s a s a s a s a a s G 可以看出：该系统为型系统，其静态无偏差系数为 静态位置无偏差系数为 ∞==→)()(lim 0 s H s sG K s p 单位阶跃信号输入时的稳态偏差为 011 =+=P ss K ε 静态速度无偏差系数为 ∞==→)()(lim 0 s H s sG K s v 单位斜坡信号输入时的稳态偏差为 01 ==v ss K ε 静态加速度无偏系数为 2 2 )()(lim -→= =n n s v a a s H s G s K 单位抛物线信号输入时的稳态偏差为 n n a ss a a K 21 -= = ε 故当斜坡函数输入时，系统静态无偏系数为∞，其稳态误差为零；当抛物线输入时，系统静态无偏系数为2 -n n a a ，其稳态误差为n n a a 2 -。 3-20系统的负载变化往往是系统的主要干扰。已知系统如图（题3.20）所示，试分析扰动N （s ）对系统输出和稳态误差的影响。 解：当X i (s)=0, N(s)0≠时，) () (s N s X oN = ) ()(11 s H s G + 系统误差为E(s)= X i (s) -- X oN (s)= --X oN (s) 所以 E(s)= -- ) ()(11 s H s G + N(s) 则稳态误差为 e ss = )(lim 0 s sE s →= -- s s lim 0 →? ) ()(11 s H s G +? N(s) 若扰动为单位阶跃函数，则 e ss = )(lim 0 s sE s →= -- s s lim 0 →?)()(11 s H s G +? s 1 = -- ) 0()0(11 H G + 可见，开环传递函数G(0)H(0)越大，由阶跃扰动引起的稳态误差就越小。对于 积分环节的个数大于或等于1的系统，G(0)H(0)∞ →，则扰动不影响稳态响应，稳态误差为零。 图（题3.20）
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