习题 3-1
1. 验证函数()f x =在区间[0,4]上满足罗尔定理的条件，并求出使得结
论成立的点ξ。
解：显然函数()f x =[0,4]上连续，在(0,4)上可导，且有(0)(4)0f f ==
所以函数在区间[0,4]上满足罗尔定理，则有()0
f ξ'=
=，83
ξ=
。 2. 验证函数3
()1f x x =-在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出使
得结论成立的ξ。
解：函数3
()1f x x =-在区间[1,2]上连续，在(1,2)上可导，则满足拉格朗日中值定理，则
有2(2)(1)
321
f f ξ-=-，即ξ=
3. 函数4
()1f x x =-与2
()g x x =在区间[1,2]上是否满足柯西中值定理的所有条
件，如满足，求出满足定理的数值ξ。
解：函数4
()1f x x =-与2
()g x x =在区间上连续，在区间(1,2)上可导，则满足柯西中值
定理，则有3
(2)(1)4(2)(1)2f f g g ξξ
-=-，即ξ=
4. 若4次方程432
012340a x a x a x a x a ++++=有4个不同的实根，证明
3201234320a x a x a x a +++=
的所有根皆为实根。
证明：设432
01234()f x a x a x a x a x a =++++，()0f x =的四个实根分别为1234,,,x x x x ，
且1234x x x x <<<，则函数()f x 在1[,](1,2,3)i i x x i +=上满足罗尔定理的条件，则在
1(,)i i x x +内至少存在一点i ξ，使得()0i f ξ'=。
这说明方程32
01234320a x a x a x a +++=至少有3个实根，而方程为3次方，则最多也只
有3个实根，所以结论得到证明。
5. 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，证明：存在(0,1)ξ∈，
使得
()
()f f ξξξ
'=-
。
解：构造辅助函数()()F x xf x =，而()()F x xf x =满足罗尔定理的条件，所以有在(0,1)，至少存在一点ξ，()()0f f ξξξ'+=即()
()f f ξξξ
'=-。
6. 试用拉格朗日中值定理证明： （1）2121sin sin x x x x -≤-； （2）当0x >时，
ln(1)1x
x x x
<+<+。 解：（1）设()sin f x x =，则()f x 在区间12(,)x x 上满足拉格朗日中值定理，则有
12
1212sin sin cos ,(,)x x x x x x ξξ-=∈-，又因为cos 1ξ≤，则
1212
sin sin 1x x x x -≤-， 1212sin sin x x x x -≤-。
（2）设()ln(1)f x x =+，则()f x 在区间(0,)x 上满足拉格朗日中值定理，则有
ln(1)11x x ξ+=+ (0,)x ξ∈，又因为11111x ξ<<++，则1ln(1)
11x x x
+<<+，即
ln(1)1x
x x x <+<+。
7. 证明等式：arctan arccot 2
x x π
+=
。
证明：设()arctan arccot f x x x =+，则有()(arctan arccot )0f x x x ''=+=， 所以()f x c ≡，代入0x =，得到arctan arccot 2
x x π
+=
。
8.设()f x 在[1,2]上具有二阶导数()f x ''，且(2)(1)0f f ==。若
()(1)()F x x f x =-。证明：至少存在一点ξ(1,2)∈，使得()0F ξ''=。
证明：因为(1)(2)0F F ==，在[1,2]上应用罗尔定理，有1()0F ξ'=， 又因为(1)0F '=，所以在1[1,]ξ上应用罗尔定理，有()0F ξ''=，1[1,][1,2]ξ?。
9.设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明：在(,)a b 内存在点ξ和η，使得 ()()2a b
f f ξηη
+''=
。 证明：构造辅助函数2
()g x x =，()f x 与()g x 在(,)a b 内满足柯西中值定理，即有
22
()()()()()
()()()f b f a f f b f a g b g a g b a ηη'--=='--，(,)a b η∈
而()f x 在(,)a b 内满足拉格朗日中值定理，所以()()()()f b f a f b a ξ'-=-， 即()()2a b
f f ξηη
+''=
。
习题 3-2
1. 用洛必达法则求下列极限：
（1）0sin lim sin x ax bx →； （2）30sin lim x x x
x
→-； （3）332132lim 1x x x x x x →-+--+； （4）2
tan lim tan 3x x x π→； （5
）2
lim x ； （6）2
ln()2lim tan x x x ππ
+
→-； （7）2
120
lim x x x e
→； (8) 0
lim cot x x x →; （9）2
lim(sec tan )x x x π
→
-；
（10）11lim()1ln x x x x
→--； （11）tan 0lim x
x x +→； （12）1
lim x x x →+∞； （13）1
lim(1sin )x
x x →+; (14) 111
lim x
x x
-→
解：（1）（
型）；000sin (sin )cos lim
lim lim sin (sin )cos x x x ax ax a ax a bx bx b bx b →→→'==='；
（2）（0
0型）；3320000sin (sin )1cos sin 1lim lim lim lim ()366x x x x x x x x x x x x x x →→→→'---===='； （3）（0
型）；
33232322111132(32)3363lim lim lim lim 1(1)321622
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→'-+-+-===='--+--+---； （4）（
∞∞型）；2
2
2
2
tan sin cos3cos33sin 3lim lim lim lim 3tan 3cos sin 3cos sin x x x x x x x x x
x x x x x ππππ→→→→
-=?===-；
（5）（
∞
∞型）
；2
1
2ln lim
lim lim 4lim 01x x x x x x →+∞
?
'====；
（6）（∞∞型）；2222ln()(ln())cos 22lim lim lim 0tan (tan )2
x x x x x x x x x πππππ
π+++→→→
'
--==='-
；
（7）（0?∞型）；2
2
2
1
1
1
3
2
00
2
32()lim lim
lim 12x x x x x x e e
x x e x x
→→→-
===∞-； （8）（0?∞型）；0
0lim cot lim
1tan x x x
x x x
→→==；
（9）（∞-∞型）；
2
2
2
2
1sin 1sin cos lim(sec tan )lim[
]lim lim 0cos cos cos sin x x x x x x x
x x x x x x π
π
ππ→
→
→→
---=-===；
（10）（∞-∞型）；
1111ln (1)ln lim()lim lim
11ln (1)ln ln x x x x x x x x
x x x x x x x
→→→---==---+
11ln ln 11
lim lim ln 1ln 22
x x x x x x x x x →→+===+-+；
（11）（00型）；
2tan 0000ln sin lim ln lim tan ln lim
lim
tan 0cot 0
lim 1x
x x x x x
x x x x
x
x x x x e e e
e
e +
+
++→→→→+
→======；
（12）（0
∞型）；1
1
ln 1lim
lim
lim ln 0lim 1x
x x x x x x
x x x x e e
e
e →+∞→+∞→+∞
→+∞
=====；
（13）（1∞型）；
1
1
ln(1sin )
cos 1sin 0
1
lim ln(1sin )lim ln(1sin )
lim
lim 0
lim(1sin )x x
x
x x
x
x x x x x x x
x x e e e e e ++→→→→++→+=====；
（14）（1∞型）；1ln l
111
1
11
limln lim lim 11
1
lim x
x
x
x
x x x x x
x x
e
e e e
---→→→-→====。
2.验证下列极限存在，但不能用洛必达法则求出。
（1）201
sin
lim
sin x x x x →； （2）sin lim x x x x
→∞+。 解：（1）用洛必达法则求：
2220001111
sin
2sin cos ()
11lim
lim lim(2sin cos )sin cos x x x x x x x x x x x x x x x
→→→+-==-，求不出 用一般的方法：200001sin
11lim
lim sin lim lim sin 0sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x x
→→→→=?=?=； （2）用洛必达法则求：
sin 1cos lim
lim lim(1cos )1
x x x x x x x x →∞→∞→∞++==+， 求不出
用一般的方法：
sin sin lim
lim(1)101x x x x x
x x
→∞→∞+=+=+=。
3.设()f x 在0x =处二阶可导，且(0)0f =，试确定a 的值使()g x 在0x =处可 导，并求(0)g '，其中
()
()f x g x x a ??
=???
00x x ≠=
解：因为函数()f x 在0x =处二阶可导，则函数在0x =处一定连续，即有
第四章 不定积分 习 题 4-1 1.求下列不定积分： （1）解：C x x x x x x x x x +-=-= -??- 25 232 122d )5(d )51( （2）解：?+x x x d )32(2 C x x x ++ ?+ =3 ln 29 6 ln 6 22 ln 24 （3）略. (4) 解：? ??-+ -= +-x x x x x x x d )1(csc d 1 1d )cot 1 1( 2 2 2 2 =C x x x +--cot arcsin (5) 解：?x x x d 2103 C x x x x x x += ==??80 ln 80 d 80 d 810 (6) 解：x x d 2 sin 2 ?=C x x x x ++= -= ?sin 2 12 1d )cos 1(2 1 (7)? +x x x x d sin cos 2cos C x x x x x x x x x x +--=-= +-= ?? cos sin d )sin (cos d sin cos sin cos 2 2 (8) 解：? x x x x d sin cos 2cos 2 2 ?? - = -= x x x x x x x x d )cos 1sin 1( d sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 C x x +--=tan cot (9) 解： ???-=-x x x x x x x x x d tan sec d sec d )tan (sec sec 2 =C x x +-sec tan (10) 解：},,1max{)(x x f =设?? ? ??>≤≤--<-=1,11,11,)(x x x x x x f 则. 上连续在),()(+∞-∞x f ， )(x F 则必存在原函数，???? ???>+≤≤-+-<+-=1,2 1 11, 1,21)(32212 x C x x C x x C x x F 须处处连续，有又)(x F )2 1(lim )(lim 12 1 21 C x C x x x +- =+-+-→-→ ，,2 1112C C +- =+-即
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分，共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续，则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=，则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =，则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(，则=)(x f 。 二、单项选择（每小题2分，共10分） 1. 设x x f ln )(=，2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是（ ） （A ）()+∞-,2 （B ）[)+∞-,2 （C ）()2,-∞- （D ）(]2,-∞- 2. 当0→x 时，下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是（ ） （A ）x sin （B ）2 x x + （C ）3x （D ）x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的（ ） （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a ， 上二次可微，且0)()(>'-''x f x f x ，则x x f ) ('在区间)0(a ，内是（ ） （A ）不增的 （B ）不减的 （C ）单调增加的 （D ）单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(，则=-?x x xf d )1(2 。 （A ）C x +-2 2)1(2 （B ）C x +--2 2)1(2
大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分
第四章 习题参考解答 习题4-1 1、下列各方程中,哪些是微分方程,哪些不是微分方程?若是微分方程，请指出其阶数 （1）是一阶微分方程； （2）不是微分方程； （3）是一阶微分方程； （4）是二阶微分方程； （5）是一阶微分方程； （6）是一阶微分方程。 2、在下列各题所给的函数中，检验其中哪个函数是方程的解?是通解还是特解? （1）（B ）是特解 （C ）是通解； （2）(A)是特解 （B ）是通解； （3）（A ）是通解（B ）是特解 3、求下列各微分方程在指定条件下的特解 （1）解：x x x y xe dx xe e dx ==-?? (1)x y e x C ∴=-+ 将(0)1y =代入上式，得2C = 故满足初始条件的特解为：2)1(+-=x e y x （2）解：C x x dx y +==? ln 将(1)1y =代入上式，得1C = 故满足初始条件的特解为：1ln +=x y 4、写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程 （1）解：设曲线为)(x y y = 由条件得2x y =' （2） 解：设曲线为)(x y y =，则曲线上点),(y x P 处的法线斜率为y k '- =1 由条件知PQ 中点的横坐标为0，所以Q 点的坐标为)0,(x -，从而有 01 ()y x x y -=-' --
即：20yy x '+= 注：DQ PD k = 习题4-2 1、求下列微分方程的通解 （1）sec (1)0x ydx x dy ++= 解：原方程变形为：cos 1x ydy dx x =- + 积分：11 cos 1 x ydy dx x +-=-+?? 得：sin ln 1y x x C =-+++ 所求的通解为：C y x x =++-sin 1ln （2） 10x y dy dx += 解：原方程变形为： 1010 x y dy dx = 积分：1010x y dy dx =? ? 得：1111010ln10ln10 y x C -=+ 所求的通解为：1010x y C --= （3）ln y y y '= 解：原方程变形为： ln dy dx y y = 积分：1ln dy dx y y =? ? 得：ln ln y x C =+，2ln x y C e = 所求的通解为：x Ce y e = 注：21,2C C e C e C ==； （4）tan cot ydx xdy = 解：原方程变形为：cot tan ydy xdx =
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限 微积分试卷及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 31 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+ 2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). (A) 2π (B) 22π (C) 2 (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（ ） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 1 3(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） 微积分试题及答案 5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（， ）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 21x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、 有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim ββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分）1、1sin x y x =求函数 的导数 2、 21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、31)x x +计算（ 6、21 0lim(cos )x x x + →计算 五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2 )100R x x x =-（，总成本函数为2 ()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21 y x x =+的图形（12分） 六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x + →+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数 一、 选择题 1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B 二、填空题 1、0x = 2、6,7a b ==- 3、18 4、3 5、20x y +-= 三、判断题 1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题 1、 1sin 1sin 1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )x x x x x x y x e e x x x x x x x x x x x '='='??=-+??? ?=-+（（ 2、 22()112(arctan )121arctan dy f x dx x x x dx x x xdx ='=+-++= 3、 解： 2222)2)22230 2323(23)(23(22)(26) (23x y xy y y x y y x y y x y x y yy y x y --'+'=-∴'=--'----'∴''=- 微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+ 第四章 不定积分 一、学习要求 1、理解原函数与不定积分的概念及性质。 2、掌握不定积分的第一类换元法、第二类换元法及分部积分法。 二、练习 1．在下列等式中，正确的结果是( C ). A. '()()f x dx f x =? B.()()df x f x =? C. ()()d f x dx f x dx =? D.[()]()d f x dx f x =? 2.若ln x 是函数()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）； A. ln ax B.1ln ax a C.ln x a + D.21(ln )2 x 3.设()f x 的一个原函数是2x e -，则()f x ＝（ B ）； A. 2x e - B. 22x e -- C. 24x e -- D. 24x e - 4．'' ()xf x dx =? （ C ）. A.'()xf x C + B. '()()f x f x C -+ C. '()()xf x f x C -+ D. '()()xf x f x C ++. 5 ．将 化为有理函数的积分，应作变换x =（ D ）. A. 3t B. 4 t C. 7 t D. 12 t 6.dx = 1/7 ()73d x -， 2cos 2dx x = 1/2 ()tan 2d x ，2 19dx x =+1/3 ()arctan3d x ； 7. 已知(31)x f x e '-=，则()f x =1 3 3x e c ++. 8.设()f x 是可导函数，则'()d f x x ?为()f x C +. 9.过点(1,2)且切线斜率为34x 的曲线方程为41y x =+ 10.已知()cos xf x dx x C =+?，则()f x =sin x x - 11.求下列不定积分 解: (1) 22 32tan 1tan tan tan 1sin 3 x dx xd x x c x ==+-?? (2) 22arctan 11 x x x x x x x dx e dx de e c e e e e -===++++??? 5 34 2 (3)t a n s e c t a n s e c s e c x x d x x x d x ? =??? 22 2(s e c 1)s e c s e c x x d x =-?? ()642sec 2sec sec sec x x x d x =-+?753121 sec sec sec 753 x x x c = -++ 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ B ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ D ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ C ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ A ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ A ）. 高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos 微积分刘迎东编第四章习题4.6答案 4.6 有理函数的积分 习题4.6 求下列不定积分： （1）3 3 x dx x +? 解： ()()()33223227939272727ln 33239327327ln 3.32 x t t dxx t t t dt t t C x t x x x x C ??+=-+-=-+-+ ?+?? ++=-++-++?? （2）223310 x dx x x ++-? 解：()2222231310ln 310.310310 x dx d x x x x C x x x x +=+-=+-++-+-?? （3）2125x dx x x +-+? 解： ()()()()22222222511122412252252251211ln 25arctan .22 d x x d x x x dx dx x x x x x x x x x x C -+-+-+==+-+-+-+-+-=-+++???? （4）() 21dx x x +? 解：()()()()22 222222211111ln .2212111d x dx x d x C x x x x x x x ??==-=+ ?++++????? （5）331 dx x +? 解： ( )( )322222223121213ln 1111211131ln 1212121ln 1ln 1.2x x dx dx x dx x x x x x x d x x x dx x x x x x x C ---??=+=+- ?++-+-+?? -+=+-+-+??-+ ?? ???=+--+++????? （6）()() 221 11x dx x x ++-? 解：()()()222211111122ln 1.1121111x dx dx x C x x x x x x ?? ?+=+-=-++ ?-+++-+ ??? ?? （7）()()() 123xdx x x x +++? 解： ()()()13222123123132ln 2ln 1ln 3.22 xdx dx x x x x x x x x x C ??-- ?=++ ?++++++ ??? =+-+-++?? （8）5438x x dx x x +--? 解： ()()542233232 8811184332118ln 4ln 13ln 1.32x x x x dx x x dx x x x x x x x x dx x x x x x x x x x C ??+-+-=+++ ? ?-+-?? ??=+++-- ?+-?? =+++-+--+??? （9）()() 221dx x x x ++? 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞. 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷 一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b += . 3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y = ≤≤≤≤,则 ()() ()() D af x bf y d f x f y σ++?? = . 5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序 2220 (,)x x dx f x y dy -=? ? . 二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内） 6.直线l 1: 155 121x y z --+==-与直线l 2:623 x y y z -=??+=?的夹角为 （A ） 2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6 π . [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分 cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθ? ? 可以写成直角坐标中的二次积分为 （A ）100(,)dy f x y dx ?? （B ）1 00(,)dy f x y dx ?? （C ） 10 (,)dx f x y dy ? ? （D ）10 (,)dx f x y dy ?? [ ] 8.设1, 02 ()122, 12 x x f x x x ? ≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -= （A ） 12. （B ）12-. （C ）34. （D ）3 4 -. [ ] ＜ 第五章 一元函数积分学 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写 出cos t a == 邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ? 分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为' 1u =） 解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-. 于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++???? 。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v ，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算： sin cos (cos cos )cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=--=-++???大一微积分期末试卷及答案
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