第一讲线段、角的计算与证明问题
【前言】
中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。第二部分往往就是开始拉分的中，难题了。大家研究今年的北京一模就会发现，第二部分，或者叫难度开始提上来的部分，基本上都是以线段，角的计算与证明开始的。城乡18个区县的一模题中，有11个区第二部分第一道题都是标准的梯形，四边形中线段角的计算证明题。剩下的7个区县题则将线段角问题与旋转，动态问题结合，放在了更有难度的倒数第二道乃至压轴题当中。可以说，线段角问题就是中考数学有难度题的排头兵。对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。在这个专题中，我们对各区县一模真题进行总结归纳,分析研究，来探究线段，角计算证明问题的解题思路。
第一部分真题精讲
【例1】（2010，崇文，一模）
∥，如图，梯形ABCD中，A D B C
，°，，．求AB的长．
=∠===
BD CD BDC AD BC
9038
【思路分析】线段，角的计算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解，并且熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是AB,已知的是AD,BC以及△BDC是等腰直角三角形,所以要把未知的AB也放在已知条件当中去考察.做AE,DF垂直于BC,则很轻易发现我们将AB带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中.于是有解如下.
【解析】
作AE BC ⊥于E DF BC ⊥，于F ．
DF ∥AE ∴，
AD BC ∴∥，四边形AEFD 是矩形．
3EF AD AE DF ∴===，．
BD CD DF BC =⊥，，DF ∴是BDC △的BC 边上的中线． 1
9042
BDC DF BC BF ∠=∴=
==°，． 4431AE BE BF EF ∴==-=-=，． 在Rt ABE △中，222AB AE BE =+
AB ∴
【例2】（2010，海淀，一模）
已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90DCB ∠=?，AC BD ⊥于点O ，2,4DC BC ==，求AD 的长.
O
D
C
B A
【思路分析】 这道题给出了梯形两对角线的关系.求梯形上底.对于这种对角线之间或者和其他线段角有特殊关系(例如对角线平分某角)的题,一般思路是将对角线提出来构造一个三角形.对于此题来说,直接将AC 向右平移,构造一个以D 为直角顶点的直角三角形.这样就将AD 转化成了直角三角形中斜边被高分成的两条线段之一,而另一条线段BC 是已知的.于是问题迎刃而解.
O
E
D
C
B
A
【解析】
过点D 作//DE AC 交BC 的延长线于点E . ∴ BDE BOC ∠=∠. ∵ AC BD ⊥于点O , ∴ 90BOC ∠=?. ∴ 90BDE ∠=?. ∵ //AD BC ，
∴ 四边形ACED 为平行四边形. ∴ AD CE =.
∵ 90,90BDE DCB ∠=?∠=?， ∴ 2DC BC CE =?. ∵ 2,4DC BC ==， ∴ 1CE =. ∴ 1AD =
此题还有许多别的解法，例如直接利用直角三角形的两个锐角互余关系，证明△ACD 和 △DBC 相似，从而利用比例关系直接求出CD 。有兴趣的考生可以多发散思维去研究。
【例3】（2010，东城，一模）
如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B ∠=?，=25AD BC =，，E 为DC 中点，
4
tan 3
C =．求AE 的长度
．
E
D
C
B
A
【思路分析】 这道题是东城的解答题第二部分第一道，就是我们所谓提难度的门槛题。乍看之下好象直接过D 做垂线之类的方法不行.那该怎样做辅助线呢?答案就隐藏在E 是中点这个条件中.在梯形中,一腰中点是很特殊的.一方面中点本身是多对全等三角形的公共点,另一方面中点和其他底,腰的中点连线就是一些三角形的中线,利用中点的比例关系就可以将已知条件代入.比如这道题,过中点E 做BC 的垂线,那么这条垂线与AD 延长线,BC 就构成了两
个全等的直角三角形.并且这两个直角三角形的一个锐角的正切值是已经给出的.于是得解.
F
E
M
D
C
B
A
【解析】
过点E 作BC 的垂线交于BC 点F ，交AD 的延长线于点M . 在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是DC 的中点， ∴M MFC DE CE ∠=∠=，
在M DE ?和FCE ?中， M MFC
DEM CEF DE CE ∠=∠??
∠=∠??=?
∴MDE FCE ??≌ . ∴EF ME DM CF ==，
∵25AD BC ==，
，∴3
2
DM CF ==. 在Rt FCE ?中，4tan 3EF C CF
==， ∴2EF M E ==.
在Rt AME ?
中，AE
【总结】 以上三道真题,都是在梯形中求线段长度的问题.这些问题一般都是要靠做出精妙的辅助线来解决.辅助线的总体思路就是将梯形拆分或者填充成矩形+三角形的组合,从而达到利用已知求未知的目的.一般来说,梯形的辅助线主要有以下5类:
过一底的两端做另一底的垂线，拆梯形为两直角三角形+ 一矩形
平移一腰，分梯形为平行四边形+ 三角形 延长梯形两腰交于一点构造三角形 平移对角线，转化为平行四边形+三角形
连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三角形或者过中点做底边垂线构筑两个全等的直角三角形
以上五种方法就是梯形内线段问题的一般辅助线做法。对于角度问题，其实思路也是一样的。通过做辅助线使得已知角度通过平行，全等方式转移到未知量附近。之前三道例题主要是和线段有关的计算。我们接下来看看和角度有关的计算与证明问题。
【例4】 （2010，延庆，一模）
如图，在梯形CD AB 中，AB DC ∥，DB 平分ADC ∠，过点A 作AE BD ∥，交CD 的延长线于点E ，且2C E ∠=∠，30BDC ∠=?，3AD =，求CD 的长．
A
B
D
E
【思路分析】 此题相对比较简单，不需要做辅助线就可以得出结果。但是题目中给的条件都是此类角度问题的基本条件。例如对角线平分某角，然后有角度之间的关系。面对这种题目还是需要将已知的角度关系理顺。首先根据题目中条件，尤其是利用平行线这一条件，可以得出（见下图）角C 与角1，2，3以及角E 的关系。于是一系列转化过后，发现角C=60度，即三角形DBC 为RT 三角形。于是得解。
【解析】：
1
3A
B
∵ AE BD ∥
∴13∠=∠，2∠=∠E ∵12∠=∠ ∴3∠=∠E
∴32∠=∠+∠=∠ADC E E ∵ 2C E ∠=∠
∴60∠=∠=?ADC BCD ∴梯形ABCD 是等腰梯形 ∴3==BC AD
∵230∠=?，60∠=?BCD ∴90∠=?DBC 在Rt DBC △中， ∵230∠=?，3=BC ∴6=CD
【例5】（2009，西城，一模）
已知：PA =4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.如图，当∠APB=45°时，求AB 及PD 的长；
【思路分析】这是去年西城一模的压轴题的第一小问。如果线段角的计算出现在中间部分，往往意味着难度并不会太高。但是一旦出现在压轴题，那么有的时候往往比函数题，方程题更为棘手。这题求AB 比较容易，过A 做BP 垂线，利用等腰直角三角形的性质，将△APB 分成两个有很多已知量的RT △。但是求PD 时候就很麻烦了。PD 所在的三角形PAD 是个钝角三角形，所以就需要我们将PD 放在一个直角三角形中试试看。构筑包含PD 的直角三角形，最简单的就是过P 做DA 延长线的垂线交DA 于F ，DF 交PB 于G 。这样一来，得到了△PFA △AGE 等多个RT △。于是与已求出的AB 等量产生了关系，得解。 【解析】：
如图，作AE ⊥PB 于点E ． ∵ △APE 中，∠APE=45
°，PA =， ∴
sin 1AE PA APE =?∠==，
cos 1PE PA APE =?∠==． ∵ 4PB =，
∴ 3BE PB PE =-=．
在Rt △ABE 中，∠AEB=90°， ∴
AB =．
如图，过点P 作AB 的平行线，与DA 的延长线交于F ，设DA 的延长线交PB 于G ． 在Rt △AEG 中，可得
cos cos AE AE AG EAG ABE =
=∠∠，
（这一步最难想到，利用直角三角形斜边高分成的两个小直角三角形的角度关系）
13EG =，23
PG PB BE EG =--=．
在Rt △PFG
中，可得cos cos PF PG FPG PG ABE =?∠=?∠=
，FG ．
【总结】 由此我们可以看出，在涉及到角度的计算证明问题时，一般情况下都是要将已知角度通过平行，垂直等关系过度给未知角度。所以，构建辅助线一般也是从这个思路出发，利用一些特殊图形中的特殊角关系（例如上题中的直角三角形斜边高分三角形的角度关系）以及借助特殊角的三角函数来达到求解的目的。
第二部分 发散思考
通过以上的一模真题，我们对线段角的相关问题解题思路有了一些认识。接下来我们自己动手做一些题目。希望考生先做题，没有思路了看分析，再没思路了再看答案。 【思考1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CD AB =．若AC ⊥BD ， AD+BC=310， 且?=∠60ABC ， 求CD 的长． 【思路分析】 前面我已经分析过，梯形问题无非也就那么几种辅助线的做法。此题求腰，所以自然是先将腰放在某个RT
三
角形中。另外遇到对角线垂直这类问题，一般都是平移某一条对角线以构造更大的一个RT 三角形，所以此题需要两条辅助线。在这类问题中，辅助线的方式往往需要交叉运用，如果思想放不开，不敢多做，巧做，就不容易得出答案。 [解法见后文]
【思考2】如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=30°，∠C=60°，E ，M ，F ，N 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，已知BC=7，MN=3，求EF
【思路分析】此题有一定难度，要求考生不仅掌握中位线的相关计算方法，也对三点共线提出了要求。若求EF ，因为BC 已知，所以只需求出AD 即可。由题目所给角B ，角C 的度数，应该自然联想到直角三角形中求解。 （解法见后）
【思考3】已知ABC ?，延长BC 到D ，使C D B C =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ．
⑴ 求AE AC
的值；
⑵ 若AB a =，FB EC =，求AC 的长．
【思路分析】 求比例关系，一般都是要利用相似三角形来求解。此题中有一个等量关系BC=CD ，又有F 中点，所以需要做辅助线，利用这些已知关系来构造数个相似三角形就成了获得比例的关键。 （解法见后）
A B
F E C
D
【思考4】如图3，△ABC 中，∠A=90°，D 为斜边BC 的中点，E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF ，若BE=3，CF=4，试求EF 的长．
【思路分析】 中点问题是中考几何中的大热点，几乎年年考。有中点自然有中线，而倍长中线方法也成为解题的关键。将三角形的中线延长一倍，刚好可以构造出两个全等三角形，很多问题就可以轻松求解。本题中，D 为中点，所以大家可以看看如何在这个里面构造倍长中线。
（解法见后）
【思考5】 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ?和BCE ?都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形，并证明你的结论．
P Q
N M
E
D C
【思路分析】此题也是中点题，不同的是上题考察中线，此题考察中位线。本题需要考生对各个特殊四边形的性质了如指掌，判定，证明上都需要很好的感觉。尤其注意梯形，菱形，正方形，矩形等之间的转化条件。 （解法见后）
第三部分 思考题答案
思考1
【解析】：作DE ⊥BC 于E ，过D 作DF ∥AC 交BC 延长线于F ． 则四边形ADFC 是平行四边形，∴CF AD =，DF=AC ． ∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴AC=BD ．∴BD DF =
又∵AC ⊥BD ，DF ∥AC ，∴BD ⊥DF ． ∴ΔBDF 是等腰直角三角形 ∴11
()5
22
DE BF AD BC ==+=3
在CDE Rt ?中，
∵?=∠60DCE ， DCE CD DE ∠?=sin ∴??=60sin 35CD ，∴10=CD 思考2 【解析】：
延长BA ，CD 交于点H ，连接HN ，
因为∠B=30°，∠C=60°，所以∠BHC=90° 所以HN=DN （直角三角形斜边中线性质） ∠NHD=∠NDH=60°
连接MH ，同理可知∠MHD=∠C=60°。
所以∠NHD=∠MHD ，即H ，N ，M 三点共线（这一点容易被遗漏，很多考生会想当然认为他们共线，其实还是要证明一下） 所以HM=3.5 ，NH=0.5 AN=0.5 所以AD=1 EF=（1+7）/2=4
思考3
【解析】 ⑴过点F 作FM AC ∥，交BC 于点M ． ∵F 为AB 的中点 ∴M 为BC 的中点，12
FM AC =
由FM AC ∥，得CED MFD ∠=∠，
ECD FMD ∠=∠，∴FMD ECD ??∽
∴
2
3
DC EC DM FM == ∴2211
3323EC FM AC AC ==?=
∴1
132
AC AC
AE AC EC AC AC AC --===
⑵ ∵AB a =，∴11
22
FB AB a =
= 又FB EC =，∴1
2
EC a =
∵13EC AC =，∴3
32
AC EC a ==．
思考4 【解析】：
延长ED 至点G ，使DG=ED ，连接CG ，FG ． 则△CDG ≌△BDE ．所以CG=BE=3，∠2=∠B ． 因为∠B+∠1=90°，所以∠1+∠2=∠FCG=90°． 因为DF 垂直平分EG ，所以FG=EF ．
在Rt △FCG
中，由勾股定理得5FG =，所以EF=5．
A B
F E C
D
M
思考5 【解析】：
证明：如图，连结AC 、BD ．
∵PQ 为ABC ?的中位线， ∴12PQ AC ∥，1
2PQ AC =．
同理12MN AC ∥，1
2
MN AC =．
∴MN PQ ∥，MN PQ =，
∴四边形PQMN 为平行四边形．（有些同学做到这一步就停了，没有继续发现三角形全等这一特点，从而漏掉了菱形的情况，十分可惜） 在AEC ?和DEB ?中，
AE DE =，EC EB =，60AED CEB ∠=?=∠，
即AEC DEB ∠=∠． ∴AEC DEB ??≌． ∴AC BD =． ∴11
22
PQ AC BD PN =
== ∴四边形PQMN 为菱形．
初中数学试卷 马鸣风萧萧 思想方法专题：线段与角计算中的思想方法 ——明确解题思路，体会便捷通道 ◆类型一分类讨论思想在线段或角的计算中的应用【方法14】 1．已知∠AOB＝90°，OC是它的一条三等分线，则∠AOC等于() A．30°或60°B．45°或60° C．30°D．45° 2．已知点A、B、C在同一条直线上，且AC＝5cm，BC＝3cm，M、N分别是AC、BC的中点． (1)画出符合题意的图形； (2)依据(1)的图形，求线段MN的长． 3．★已知∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，试求∠COF的度数． ◆类型二整体思想及从特殊到一般的思想 4．如图，线段上的点依次增加，请你填写图中相应的线段数： (1)请猜想：当线段AB上有6个、10个点时(含A，B两点)，分别有几条线段？ (2)当线段AB上有n(n为正整数且n≥2)个点(含A，B两点)呢？
5．★已知O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC.【方法13】 (1)如图①，若∠AOC ＝30°，求∠DOE 的度数； (2)在图①中，若∠AOC ＝α，直接写出∠DOE 的度数(用含α的代数式表示)； (3)将图①中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置，探究∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 参考答案与解析 1．A 2．解：(1)点B 在线段AC 上，如图①所示； 点B 在线段AC 的延长线上，如图②所示． (2)当点B 在线段AC 上时，由AC ＝5cm ，BC ＝3cm ，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，得MC ＝12AC ＝12 ×5＝52(cm)，NC ＝12BC ＝12×3＝32(cm)．由线段的和差，得MN ＝MC －NC ＝52－32 ＝1(cm)； 当点B 在线段AC 的延长线上时，同理可得MC ＝52cm ，NC ＝32 cm.由线段的和差，得MN ＝MC ＋NC ＝52＋32 ＝4(cm)． 综上所述，线段MN 的长为1cm 或4cm. 3．解：如图①，∵OE 平分∠AOB ，∠AOE ＝30°，∠BOD ＝20°，∴∠AOD ＝30°＋30°＋20°＝80°.∵OD 平分∠AOC ，∴∠COD ＝∠AOD ＝80°.∵OF 平分∠BOC ，∴∠COF ＝(80°＋20°)÷2＝50°；
证题技巧之三一一证明线段或角的和差倍分 一、证明线段或角的倍分 1、方法：①长（或大）折半 ②短（或小）加倍 2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问 题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。 3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或 利于利用已知条件而添。 4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与 被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。此时，添 线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。参考例 4、例 5、例6。 例1 AD 是^ ABC 的中线，ABEF 和ACGH 是分别以AB 和 AC 为边向形外作的正方形。求证：FH=2AD / BAC+ / ACN=180 证明：延长AD 至N 使AD=DN 则ABNC 是平行四边形 CN=AB=FA AC=AH 又/ FAH+ / BAC=180 ???△ FAHY NCA ??? FH=AN 例 2、△ ABC 中，/ B=2 / C , AD 是高，M 是BC 边上的中点。 $ ???
1 求证：DM=2 AB / 2=Z B ???/ 2=2Z 1 ???/ 1 = / DNM 又 AN=DN=ND ? DM=2 A B 1 贝J BFAC ??? BF=AE ???△ AEC 心 BFD ?DF 二CE 二 CD=2CE 作业: 1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长 1 线交AC 于F ,求证：AF=2 FC 2、AB 和AC 分别切? O 于B 和C, BD 是直径。求证/ BAC 二Z CBD 3、圆内接△ ABC 的AB=AC ,过C 作切线交AB 的延长线于D , DE 垂直于AC 的延长线于E 。求证：BD=2CE 例4从平行四边形的钝角顶点 A 向BC 边作垂线，垂足为E , 证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN 贝J MN // AC / 1 = / C ??? DM=DN 例 3 △ ABC 中，AB=AC , E 是 AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且 DB=AC 。求证：CD=2CE 证明：过B 作CD 的中线BF V AB=AC , E 是AB 的中点 又 DB=AC
专题一线段的有关计算 1、若点B在直线AC上，AB=12，BC=7，则A，C两点的距离是． 2、已知点B在直线AC上，线段AB=8cm，AC=18cm，P、Q分别是线段AB、AC的中点，则线段PQ=． 3、如图，已知点C为AB上一点，AC=12cm，CB=AC，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长． 4、已知线段AB上顺次有三个点C、D、E，把线段AB分成2：3：4：5四部分，且AB=56cm．（1）求线段AE的长；（2）若M、N分别是DE、EB的中点，求线段MN的长度． 5、如图，线段AB=8cm，C是线段AB上一点，AC=3.2cm，M是AB的中点，N是AC的中点． （1）求线段CM的长；（2）求线段MN的长．
6、如图，己知线段AB上，顺次有三个点C、D、E，把线段AB分成2：3：4：5四部分，CE=56，求BD的长． 7、如图，A、B、C、D是直线l上顺次四点，M、N分别是AB、CD的中点，且MN=6cm，BC=1cm，求AD的长． 8、如图，动手操作如图，平面内有A、B、C、D 四点，按下列语句画图： （1）画射线AB，直线BC，线段AC；（2）延长CA；（3）连接AD与BC相交于点E．
专题二角度的有关计算 1、25°20′24″=°，34.37°=°′″． 2、下午1点24分，时针与分针所组成的度． 3、计算：①33°52′+21°54′=；②36°27′×3=，175°26′÷3=． 4、如图，点A、O、E在同一直线上，∠AOB=40°，∠EOD=28°46′，OD平分∠COE，求∠COB的度数． 5、如图，点O是直线AB上一点．∠AOC=30°，∠BOD=60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，求∠MON的度数． 6、如图，点A，O，E在同一条直线上，∠AOB=40°，∠COD=28°，OD平分∠COE．（1）求∠COE的度数．（2）求∠BOD的度数．
线段与角的计算 一、选择题 1.如图，下列不正确的几何语句是（ ） A.直线AB 与直线BA 是同一条直线 B.射线OA 与射线OB 是同一条射线 C.射线OA 与射线AB 是同一条射线 第1题图 D.线段AB 与线段BA 是同一条线段 2 . 已知α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算 6 1 （α+β）的结果依次是28°、48°、60°、88°，其中只有一人计算正确，他是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 已知A 、B 两点之间的距离是10 cm ，C 是线段AB 上的任意一点，则AC 中点与BC 中点 间的距离是（ ） A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.不能计算 4、下列各直线的表示法中，正确的是（ ）. A 、直线A B 、直线AB C 、直线ab D 、直线Ab 5、一个钝角与一个锐角的差是（ ）. A 、锐角 B 、钝角 C 、直角 D 、不能确定 6、下列说确的是（ ）. A 、角的边越长，角越大 B 、在∠AB C 一边的延长线上取一点 D C 、∠B=∠ABC+∠DBC D 、以上都不对 7、下列说法中正确的是（ ）. A 、角是由两条射线组成的图形 B 、一条射线就是一个周角 C 、两条直线相交，只有一个交点 D 、如果线段AB=BC ，那么B 叫做线段AB 的中点 8、同一平面互不重合的三条直线的交点的个数是（ ）. A 、可能是0个，1个，2个 B 、可能是0个，2个，3个 C 、可能是0个，1个，2个或3个 D 、可能是1个可3个
9、下列说法中，正确的有（）. ①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，线段最短； ④若AB=BC，则点B是线段AC的中点． A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 10、钟表上12时15分钟时，时针与分针的夹角为（）. A、90° B、82.5° C、67.5° D、60° 11、按下列线段长度，可以确定点A、B、C不在同一条直线上的是（）. A、AB=8cm，BC=19cm，AC=27cm B、AB=10cm，BC=9cm，AC=18cm C、AB=11cm，BC=21cm，AC=10cm D、AB=30cm，BC=12cm，AC=18cm 12．汽车车灯发出的光线可以看成是( ) A．线段 B．射线 C．直线 D．弧线 13．下列图形中表示直线AB的是( ) A B C D 14．下列说确的是( ) A．平角是一条直线 B．角的边越长，角越大 C．大于直角的角叫做钝角 D．把线段AB向两端无限延伸可得到直线AB 15．木匠在木料上画线，先确定两个点的位置，就能把线画得很准确，其依据是( ) A．两点确定一条直线 B．两点确定一条线段 C．过一点有一条直线 D．过一点有无数条直线 16．如图，若∠AOC＝∠BOD，则∠AOD与∠BOC的关系是( ) A．∠AOD>∠BOC B．∠AOD<∠BOC C．∠AOD＝∠BOC D．无法确定
第一讲 线段、角的计算与证明问题 【前言】 中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。第二部分往往就是开始拉分的中，难题了。大家研究今年的北京一模就会发现，第二部分，或者叫难度开始提上来的部分，基本上都是以线段，角的计算与证明开始的。城乡18个区县的一模题中，有11个区第二部分第一道题都是标准的梯形，四边形中线段角的计算证明题。剩下的7个区县题则将线段角问题与旋转，动态问题结合，放在了更有难度的倒数第二道乃至压轴题当中。可以说，线段角问题就是中考数学有难度题的排头兵。对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。在这个专题中，我们对各区县一模真题进行总结归纳,分析研究，来探究线段，角计算证明问题的解题思路。 第一部分 真题精讲 【例1】（2018，崇文，一模） 如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，9038BD CD BDC AD BC =∠===，° ，，．求AB 的长． 【思路分析】线段，角的计算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解，并且熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是AB,已知的是AD,BC 以及△BDC 是等腰直角三角形,所以要把未知的AB 也放在已知条件当中去考察.做AE,DF 垂直于BC,则很轻易发现我们将AB 带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中.于是有解如下. 【解析】 作AE BC ⊥于E DF BC ⊥，于F ． DF ∥AE ∴， AD BC ∴ ∥，四边形AEFD 是矩形．
一、线段计算题：（word 可编辑） 1、如图，点D 为线段CB 的中点，AD=8cm ，AB=10cm ，求CB 的长度． 解：∵ DB=AB ﹣AD ， ∴DB=10-8=2cm ∵点D 为线段CB 的中点 BC=2BD=4cm ． 2、如图，已知C 点为线段AB 的中点，D 点为BC 的中点，AB ＝10cm ，求AD 的长度。 解：∵C 点为线段AB 的中点， AB ＝10cm ∴152 AC CB AB cm === ∵D 点为BC 的中点， ∴1 2.52 CD BC cm = = ∴5 2.57.5AD AC CD cm =+=+= 答：AD 的长度为7.5cm 。 3、已知C ，D 两点将线段AB 分为三部分，且AC ：CD ：DB=2：3：4，若AB 的中点为M ，BD 的中点为N ，且MN=5cm ，求AB 的长． 解：设AC=2x ，CD=3x ，DB=4x ， ∴AB=AC+CD+DB=9x ， ∵AB 的中点为M ， ∴MB= AB=4.5x ， ∵N 是DB 的中点， ∴NB= DB=2x ， ∴MB ﹣NB=MN ， ∴4.5x ﹣2x=5， ∴2.5x=5， ∴x=2， ∴AB=9x=18cm 4、如图，M 是线段AC 中点，B 在线段AC 上，且AB=2cm 、BC=2AB ，求BM
长度． 解：∵AB=2cm，BC=2AB，∴BC=4cm， ∴AC=AB+BC=2+4=6cm， ∵M是线段AC中点， ∴AM= AC=3cm， ∴BM=AM﹣AB=3﹣2=1cm． 故BM长度是1cm． 5、如图，已知AB：BC：CD=2：3：4，E、F分别为AB、CD中点，且EF=15．求线段AD的长． 解：设AB=2x，BC=3x，CD=4x，∵E、F分别是AB和CD的中点， ∴BE= AB=x，CF= CD=2x， ∵EF=15cm， ∴BE+BC+CF=15cm， ∴x+3x+2x=15， 解得：x= ， ∴AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x= cm 6、已知AB=10cm，点C在直线AB上，如果BC=4cm，点D是线段AC的中点，求线段BD的长度． 解：∵AB=10cm，BC=4cm，点C在直线AB上，∴点C在线段AB上或在线段AB的延长线上． ①当点C在线段AB上时，如图①， 则有AC=AB﹣BC=10﹣4=6． ∵点D是线段AC的中点， ∴DC= AC=3， ∴DB=DC+BC=3+4=7； ②当点C在线段AB的延长线上时，如图②，
如何证比例线段 在我们这个科技高速发展的时代中,初等几何已经是必不可少了。而如何证明比例线段是几何中的重要成分。 1.利用相似或位似来证明比例线段∶证明两个图形相似或位似，那它们的对应边的比例相等。例如 如图所示,AB∥CD,证明∶。 证：∵AB∥CD ∴∠1∠6，∠2∠5 又∵∠3∠4 ∴△ABE∽△CDE ∴ 2.利用中位线定理证明比例线段∶三角形的中位线与底边之比是1比2，梯形的中位线与两底之和的比也是1比2，……
例如：点D、E、F、G和H是AB、AC、EH、EC和BC的中点，如图所示，求证:。 证：∵点D、E、F、G是AB、AC、EH、EC的中点 ∴DE、FG分别是△ABC、△EHC的中位线 ∴,即 又∵H是BC的中点 ∴DE＝HC ∴ 3. 利用重心来证明比例线段∶三角形的三条中线交与一点,这点到顶点的距离与它到对边中点距离之比为2∶1, 如图所示, 。
4.利用面积比来证明比例线段∶ 如图,在△ABC中,DE∥BC,且S△ADE∶S△DEB＝1∶3,求DE∶BC？ 解:∵S△ADE∶S△DEB＝1∶3 ∴AF∶FG＝1∶3 又∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC ∴DE∶BC＝1∶4 5. 利用平行截线段来证明比例线段∶如图，如果直线a∥b∥c,那么
,,。 6. 利用黄金分割来证明比例线段∶如图所示,△ABC∽△ BCD,＝0.618……这就是黄金分割定理。 7.利用角平分线定理来证明比例线段∶如图所示，AD是∠BAC
的平分线，那么。 8. 利用切割线定理来证明比例线段∶如图所示，PT是圆O的切线，直径AB和弦CD的延长线交于点P，则PT 2＝PA·PB=PD·PC,即,,。这就是切割线定理。 9. 利用相交弦定理来证明比例线段∶如图所示，AB、CD都是圆O的弦，它们相交于点P，则PA·PB＝PC·PD，即。
专题八__线段与角的和差倍分计算__[学生用书A62] 一线段的和差倍分计算 教材P153作业题第4题) 已知线段AB＝a(如图1)，延长BA至点C，使AC＝1 2AB.D为线段BC的中点． (1)求CD的长； (2)若AD＝3 cm，求a的值． 在一条直线上顺次取A，B，C三点，已知AB＝5 cm，点O是线段AC 的中点，且OB＝1.5 cm，则BC的长是() A．6 cm B．8 cm C．2 cm或6 cm D．2 cm或8 cm 如图2，某汽车公司所运营的公路AB段有四个车站依次是A，C，D，B， AC＝CD＝DB.现想在AB段建一个加油站M，要求使A，C，D，B站的各一辆汽车到加油站M所花的总时间最少，则M的位置在() A．在AB之间B．在CD之间C．在AC之间D．在BD之间如图3，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝4 cm， 求线段CD的长度． 如图4，已知点C是线段AB上一点，AC＜CB，D，E分别是AB，CB 的中点，AC＝8，EB＝5，求线段DE的长．
如图5，线段AC ∶CD ∶DB ＝3∶4∶5，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，且MN ＝2 cm ，求AB 的长． 如图6，点C 分线段AB 为5∶7，点D 分线段AB 为5∶11，已知CD ＝2 cm ，求AB 的长． 如图7，已知线段AB 上有两点C ，D ，且AC ＝BD ，M ，N 分别是线段 AC ，AD 的中点．若AB ＝a cm ，AC ＝BD ＝b cm ，且a ，b 满足(a －10)2＋???? ??b 2－4＝0.求线段MN 的长度． 二 角的和差倍分计算 如图10，已知直线AB 上一点O ，∠AOD ＝44°，∠BOC ＝32°，∠EOD ＝90°，OF 平分∠COD ，求∠FOD 与∠EOB 的度数． 已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比∠α小 30°，求∠α，∠β. 如图11，从点O 引出6条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，且∠AOB ＝100°，OF 平分∠BOC ，∠AOE ＝∠DOE ，∠EOF ＝140°，求∠COD 的度数．
图形的认识（线段的计算和证明） 【课前热身】 1、过一点可以画______条直线，经过两点可以画______条直线. 2、将一个细木条固定在墙上，只需要两个钉子，这样的依据是____________________. 3、下列语句： ⑴点a在直线l上；⑵直线的一半就是射线；⑶延长直线AB到C；⑷射线OA与射线AO 是同一条射线.其中正确的语句有() A．0句B．1句C．2句D．3句 4、平面上有三点A、B、C，①连结其中任意二点，共可得线段_______条；①经过任意二点画直线，共可得到直线________条. 5、过平面上A、B、C、D四点中任意两点画一条直线，共可画__________________条直线.【本讲说明】 在学习了直线、射线、线段的知识之后，我们来重点学习线段的计算与证明。线段的计算与证明是初中几何的重要内容之一，同学们们在学习中会遇到证明线段相等、和差倍分关系以及计算线段的长度。线段的证明可以培养同学们的逻辑推理能力与几何分析能力，在线段的计算中，我们将进入方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等的应用。 【课程引入】 已知，如图，AB＝16㎝，C是BC的中点，且AC=10㎝，D是AC的中点，E是BC的中点，求线段DE的长。 【典例分析】 【知识点1】线段证明计算与方程思想 【例题1】如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD＝3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF＝24，求线段AB、BC、CD的长. 【举一反三】 1、如图,M、N为线段AB上两点，且AM:MB＝1:3，AN:NB＝5:7.若MN＝2，求AB的长. A B C D E ···
线段与角的计算及解题方法 求线段长度的几种常用方法： 1．利用几何的直观性,寻找所求量与已知量的关系 例1．如图1所示，点C分线段AB为5：7，点D分线段AＢ为5:11,若CD=１0cｍ,求AB。 图1 分析:观察图形可知,ＤC=ＡC-AD,根据已知的比例关系，AＣ、AD均可用所求量AＢ表示,这样通过已知量ＤC，即可求出AB。 解:因为点Ｃ分线段AB为５:７,点D分线段ＡB为5：11 所以 又因为ＣD＝1０cm，所以AＢ=9６ｃm 2．利用线段中点性质,进行线段长度变换 例2.如图2，已知线段AB=80ｃm,Ｍ为AB的中点,Ｐ在MB上，Ｎ为PB的中点，且NB=14cm，求PA的长。 图２ 分析:从图形可以看出,线段AＰ等于线段AM与MＰ的和,也等于线段ＡB与PB的差,所以,欲求线段PA的长,只要能求出线段AM与ＭＰ的长或者求出线段PB的长即可。 解:因为N是PB的中点，NB=14 所以ＰＢ＝2NB＝2×14＝２８ 又因为ＡP=ＡＢ－PB,AB＝８0 所以ＡP=80-２8=５2(cm） 说明:在几何计算中，要结合图形中已知线段和所求线段的位置关系求解，要做到步步有根据。 ３. 根据图形及已知条件,利用解方程的方法求解
例3. 如图3，一条直线上顺次有A、Ｂ、C、D四点,且C为AＤ的中点，,求ＢC是AB的多少倍？ 图３ 分析：题中已给出线段BC、AB、AD的一个方程,又Ｃ为AD的中点,即，观察图形可知,,可得到BC、AB、AＤ又一个方程，从而可用ＡD分别表示AＢ、ＢC。 解：因为C为ＡD的中点，所以 因为,即 又 由<1>、<2＞可得： 即BC=3ＡB 例４. 如图４,C、Ｄ、E将线段AB分成2：3：4:５四部分，M、Ｐ、Q、N分别是AC、CD、DＥ、EB的中点，且MN=21,求PQ的长。 图4 分析：根据比例关系及中点性质，若设AＣ=2x,则AＢ上每一条短线段都可以用x的代数式表示。观察图形，已知量ＭN=MC＋CＤ+DE＋EN，可转化成x的方程，先求出ｘ,再求出PQ。 解：若设AC=2x，则 于是有 那么 即 解得:
O D C B A E D C B A 线段、角的计算与证明问题 1、如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，9038BD CD BDC AD BC =∠===，°，，．求 AB 的长． 2、已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90DCB ∠=?，AC BD ⊥于点O ，2,4DC BC ==，求AD 的长. 3、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B ∠=?，=25AD BC =， ，E 为DC 中点，4 tan 3 C = ．求AE 的长度 4、如图，在梯形CD AB 中，AB DC ∥，DB 平分ADC ∠，过点A 作AE BD ∥，交CD 的延长线于点E ，且2C E ∠=∠，30BDC ∠=?，3AD =，求CD 的长． A B D E
5 、已知：PA =，4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.如图，当∠APB=45°时，求AB 及PD 的长； 6、已知ABC ?，延长BC 到D ，使CD BC =．取AB 的中点F ，连结FD 交AC 于点E ． ⑴ 求 AE AC 的值； ⑵ 若AB a =，FB EC =，求AC 的长． 7、如图3，△ABC 中，∠A=90°，D 为斜边BC 的中点，E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF ，若BE=3，CF=4，试求EF 的长． A B F E D
P Q N M E D C B A 8、如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ?和BCE ?都是等边三角形，AB 、 BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形， 并证明你的结论． 9、已知：如图，BC 是⊙O 的弦，点A 在⊙O 上，AB = AC = 10，4sin 5 ABC ∠= ． 求：（1）弦BC 的长； （2）∠OBC 的正切的值． 10．如图，△ABC 中，AB=AC ，5 4 cos =∠ABC ，点D 在边BC 上，BD =6，CD=AB . (1) 求AB 的长； (2) 求ADC ∠的正切值. （第9题图）
线段和角精选练习题 资料由小程序：家教资料库整理 一．选择题（共22小题） 1．如图是某个几何体的展开图，该几何体是（） A．圆柱B．圆锥C．圆台D．四棱柱 2．如图，线段AD上有两点B、C，则图中共有线段（） A．三条B．四条C．五条D．六条 3．下列语句：①不带“﹣”号的数都是正数；②如果a是正数，那么﹣a一定是负数；③射线AB和射线BA是同一条射线；④直线MN和直线NM是同一条直线，其中说法正确的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，某同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩 下树叶的周长比原树叶的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是 （） A．两点之间，直线最短B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短D．经过一点有无数条直线 5．若数轴上点A、B分别表示数2、﹣2，则A、B两点之间的距离可表示为（） A．2+（﹣2）B．2﹣（﹣2） C．（﹣2）+2 D．（﹣2）﹣2 6．如图，点C在线段AB上，点D是AC的中点，如果CB=CD，AB=10.5cm，那么BC的长为（） A．A2.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm 7．已知线段AB=8cm，在直线AB上画BC，使BC=2cm，则线段AC的长度是（） A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．4cm或16cm 8．如图，在直线l上顺次取A、B、C三点，使得AB=5cm，BC=3cm，如果O是线段AC的中点，那么线段OB长为（） A．1cm B．1.5cm C．2cm D．4cm 9．已知点A、B、P在一条直线上，则下列等式中，能判断点P是线段AB的中点的个数有（）①AP=BP；②BP=AB；③AB=2AP；④AP+PB=AB．
有关线段，角的计算问题专门练习 1. 如图，4AB cm =，3BC cm =，如果O 是线段AC 的中点，求线段OA 、OB 的长度. 2. 如图，已知C 、D 是线段AB 上的两点，36AB cm =，且D 为AB 的中点，14CD cm =，求线段BC 和AD 的长 3. 如图所示，已知线段80AB cm =，M 为AB 的中点，P 在MB 上，N 为PB 的中点，且14NB cm =，求PA 的长. 4. 如图所示，点C 在线段A B 上，线段6AC cm =，4BC cm =，点M 和N 分别是AC 和BC 的中点，求线段MN 的长度. 5. 已知P 为线段AB 上的一点，且2 5 AP AB =，M 是AB 的中点，若2PM cm =，求AB 的长. 6. 如图，C 、D 是线段AB 上的两点，已知14BC AB =，1 3 AD AB =，12AB cm =，求CD 、BD 的长.
7. 在一条直线上顺次取A 、B 、C 三点，已知5AB cm =，点O 是线段AC 的中点，且 1.5OB cm =，求线段BC 的长.（两种情况） 8. 已知A 、B 、C 三点共线，且10AB cm =，4BC cm =，M 是A C 的中点，求AM 的长. 9．如图所示，B 、C 两点把线段AD 分成2:3:4三部分，M 是AD 中点，CD =8，求MC 的长． 10.如图所示，回答问题：’ (1)在线段AB 上取一点C 时，共有几条线段？ (2)在线段AB 上取两点C 、D 时，共有几条线段？ (3)在线段AB 上取两点C 、D 、E 时，共有几条线段？ (4)你能否说出，在线段AB 上取n 个点时（不与A 、B 重合），直线A 上共有多少条 线段？你发现它们有什么规律，你能试着总结出来吗？和同学们交流一下．
第一讲线段、角的计算与证明问题 【前言】 中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或者中档题,目的在于考察基础。第二部分往往就是开始拉分的中, 难题了。大家研究今年的北京一模就会发现,第二部分,或者叫难度开始提上来的部分,基本上都是以线段,角的计算与证明开始的。城乡 18个区县的一模题中, 有 11个区第二部分第一道题都是标准的梯形, 四边形中线段角的计算证明题。剩下的 7个区县题则将线段角问题与旋转, 动态问题结合, 放在了更有难度的倒数第二道乃至压轴题当中。可以说,线段角问题就是中考数学有难度题的排头兵。对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数, 更重要的是对于整个做题过程中士气, 军心的影响。在这个专题中,我们对各区县一模真题进行总结归纳 , 分析研究,来探究线段,角计算证明问题的解题思路。 第一部分真题精讲 【例 1】 (2010,崇文,一模如图 , 梯形 ABCD 中 , A D B C ∥ , 9038BD CD BDC AD BC =∠===, °, , .求 AB 的长. 【思路分析】线段,角的计算证明基本都是放在梯形中,利用三角形全等相似 , 直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解, 并且熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是 AB, 已知的是
AD,BC 以及△ BDC 是等腰直角三角形 , 所以要把未知的 AB 也放在已知条件当中去考察 . 做 AE,DF 垂直于 BC, 则很轻易发现我们将 AB 带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中 . 于是有解如下 . 【解析】 作 AE BC ⊥于 E DF BC ⊥, 于 F . DF ∥ AE ∴, AD BC ∴∥ , 四边形 AEFD 是矩形. 3EF AD AE DF ∴===, . BD CD DF BC =⊥, , DF ∴是 BDC △的 BC 边上的中线. 1 9042 BDC DF BC BF ∠=∴= ==°, . 4431AE BE BF EF ∴==-=-=, . 在 Rt ABE △中, 222AB AE BE =+ AB ∴= 【例 2】 (2010,海淀,一模
七年级数学线段计算、角度计算专题练习 一日一练 周一 1、若点B 在直线AC 上，AB=12，BC=7，则A ，C 两点的距离是。答案：5或19 提示：关键点是点B 在直线AC 上，分两种情况: ①点B 在线段AC 上，AC=AB-BC=12-7=5 ②点B 在线段AC 的延长线上，则AC=AB+BC=12+7=19 2、已知点B 在直线AC 上，线段AB=8cm ，AC=18cm ，P 、Q 分别是线段AB 、 AC 的中点，则线段PQ= 。 答案：13cm 或5cm 当点B 在线段CA 的延长线上时 AP=AB=4cm,AQ=AC=9cm 121 2 PQ=AQ+AP=9+4=13cm ∴当点B 在线段AC 上时 AC=18cm,AB=8cm AP=AB=4cm, AQ=AC=9cm 121 2 PQ=AQ-AP=9-4=5cm ∴周三
1、如图，已知点C 为AB 上一点，AC=12cm ，CB=AC ，D 、E 分别为AC 、AB 1 2的中点，求DE 的长． 解：AC=12cm,CB=∵12 AC CB=6cm ∴AB=AC+BC=12+6=18cm ∴E 是AB 的中点 ∵AE=BE=9cm ∴D 是AC 的中点 ∵DC=AD=6cm ∴所以DE=AE-AD=3cm 2、已知线段AB 上顺次有三个点C 、D 、E ，把线段AB 分成2：3：4：5四部分，且AB=56cm ．（1）求线段AE 的长；（2）若M 、N 分别是DE 、EB 的中点，求线段MN 的长度． 解（1）设AC=2x,则CD 、DE 、EB 分别为3x 、4x 、5x ， 由题意得，2x+3x+4x+5x=56, 解得，x=4, AC 、CD 、DE 、EB 分别为8cm 、12cm 、16cm 、20cm ， 则AE= AC+CD+DE=36cm; （2）M 是DE 的中点 ∵ME==8cm, ∴1 2DE N 是EB 的中点∵
期末复习：线段和角的有关计算 一、课前热身，引入课题 问题1：已知线段AB ＝5cm ，C 为线段AB 上一点，且BC ＝3cm ，则线段AC ＝ cm 。 问题2：已知线段AB ＝5cm ，C 为直线AB 上一点，且BC ＝3cm ，则线段AC ＝ cm 。 问题3：已知∠AOB ＝50°， OC 为∠AOB 内一射线，且∠BOC=30°，则∠AOC ＝ °。 问题4：已知∠AOB ＝50°，∠BOC=30°，则∠AOC ＝ °。 今天我们复习线段和角的有关计算： 二、问题探究，探寻规律 例1 如图，已知线段AB=10cm ，C 为线段AB 上一点，M 、N 分别为AC 、BC 的中点， （1） 若BC ＝4cm ，求MN 的长， （2） 若BC ＝6cm ，求MN 的长， （3） 若BC ＝8cm ，求MN 的长， （4） 若C 为线段AB 上任一点，你能求MN 的长吗？请写出结论，并说明理由。 例2 如图，已知∠AOB ＝90°，OM ，ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ， （1） 若∠AOC ＝30°，求∠MON 的度数， （2） 若∠BOC ＝50°，求∠MON 的度数， （3） 由（1）（2）你发现了什么，请写出结论，并说明理由。 例3 如图，已知线段AB=10cm ，C 为线段AB 延长线上一点，M 、N 分别为AC 、BC 的中点， （1） 若BC ＝4cm ，求MN 的长， （2） 若BC ＝6cm ，求MN 的长， （3） 若C 为线段AB 延长线上任一点，你能求MN 的长吗？ 若能，请求出MN 的长，并说明理由。 例4 如图，已知∠AOB ＝90°，OM ，ON 分别平分∠AOC 和∠BOC ， （1） 若∠AOC ＝40°，求∠MON 的度数， （2） 若∠AOC ＝α，求∠MON 的度数， （3） 若∠BOC ＝β，求∠MON 的度数， （4） 由（1）（2）（3）的结果，你发现了什么规律，请写出结论，并说明理由。 三、拓展提高、应用规律 例5 已知∠AOB ＝α，过O 任作一射线OC ，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ， （1） 如图，当OC 在∠AOB 内部时，试探寻∠MON 与α的关系； （2） 当OC 在∠AOB 外部时，其它条件不变，上述关系是否成立？画出相应图形，并说明理由。 B
D H F E P C B A D H F E P C B A 线段计算，几何证明 1.AD 是⊙O 的直径，且AD=6。 A 、B 、C 、D 、E 、F 为⊙O 的六等分点，P 为劣弧? AF 上一动点，连接PA 、PB 、PD 、PE 。 (1)当点P 运动到点F 时，求出PA+PB 的值； （2）当点P 运动到? AF 之间时（不与点A 与点F 重合），求出PD PB PE PA ++值. (3)令t= PA+PB+PD+PE ，请直接写出t 的取值范围. 2.已知，Rt △ABC 中，∠BAC ＝900 ，AH ⊥BC 于H ，P 是AB 上一动点，AD ⊥CP ，BE ⊥CP ，HD 与BE 两延长张交于点F 。 （1）当AB ＝AC 时，求∠BFH 的度数。 （2）当∠ABC=30°时，探求BF 与CD 的数量关系，说明理由。 （3）当∠ABC=α时，直接用α的代数式表示CD BF 的值。
3.如图1，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，点P 为DC 上一点，且AP=AB ，过点C 作 CE ⊥BP 交直线BP 于E . （1）若BC AB =4 3,求证BP=23 CE ； （2）若AB=BC , ①如图2，当点P 与E 重合时，求PC PD 的值： ②如图3，设∠DAP 的平分线AF 交直线BP 于F ，当CE=1，PC PD =7 4 时，直接写出线段AF 的长为______． A B C D P E (E ) P D C B A F E P D C B A 4.已知：如图①，△ABC 中，AI 、BI 分别平分∠BAC 、∠ABC ．CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，交BI 延长线于E ，联结CI ． （1）设∠BAC=2α．如果用α表示∠BIC 和∠E ，那么∠BIC= ，∠E= ； （2）如果AB=1，且△ABC 与△ICE 相似时，求线段AC 的长； （3）如图②，延长AI 交EC 延长线于F ，如果∠α=30°，sin ∠F=，设BC=m ，试用m 的代数式表示BE ．
《圆的证明与计算》专题讲解 圆的有关证明 一、圆中的重要定理： (1) 圆的能义:主要是用来证明四点共圆. (2) 垂径定理:主要是用来证明一一弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3) 三者之间的关系圧理：主要是用来证明一一弧相等、线段相等、圆心角相等. (4) 圆周角性质泄理及其推轮：主要是用来证明一一直角、角相等、弧相等. (5) 切线的性质定理:主要是用来证明一一垂直关系. (6) 切线的判定眾理：主要是用来证明直线是圆的切线. (7) 切线长定理：线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化?这在圆中的证明和讣算中经常用到. 知识点一：判定切线的方法： (1＞若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化：平行转化：直径转化：中线转化等：有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直： (2)若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线泄理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线： 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点)；②直线与半径的关系是互相垂直。任证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化，要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线?例： 方法一：若直线1过OO上某一点A,证明I是OO的切线，只需连OA,证明OA丄1就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1如图，在Z\ABC中，AB=AC,以AB为直径的00交BC于D,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F. 求证：EF与OO相切. 例2如图，已知：AB是的直径，点C在€)0上，且ZCAB=30°, BD=0B, D在AB 的延长线上. 求证：DC是00的切线
关于b a 2=类问题的证明 一、思维方法 关于b a 2=类问题在实际问题中的呈现方式有两种：其一是在已知条件中呈现，其二是在问题中呈现。无论以哪一种方式呈现我们在解决问题的过程中的思维模式主要有以下几个方面。 截长补短；即取线段a 的中点或将线段b 延长一倍。 证全等。 从位置关系入手 b a 2= 相似 从结论类型入手 利用中位线 计算 解三角形 问题举例： 已知：在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，点D 是AC 边中点，作AE ⊥BD 于O 交BC 于点E 。 求证：BE=2CE ； 二、切入方法 切入点⑴：以上述问题为例，我们可以从基本思维方法入手寻找解题思路。 切入点⑵：从基本图形入手寻找解题思路。 E O D C B A
切入点⑶：从全等或相似三角形的“寻找”与“构造”入手寻找思路。这属于基本数学思想方法的范畴。 三、解题方法 1.从切入点⑴入手，①在BE 上取点G 使BG=CE,连接AG 、DE ，AG 交BD 于点H ，作AF 平分∠BAC 交BD 于F 。如图1. ②利用相似，从BE 与CE 的位置关系入手思考：BE 与CE 在同一条直线上且BE 与CE 是“部分线段”与“部分线段”之间的关系，可以构造“X ”形相似解决。如图2、3、4。 从结论类型入手思考：再寻找一对2倍关系的线段，使之与BE 、CE 分别位于两个三角形中。然后证明这两个三角形相似。如图5 2.从切入点⑵入手，提炼基本图形如图，在下图中两条直线上的线段比已知则其它直线上的线段比可求。辅助线作法：作平行线构造 图1 O H G F E D C B A 图2 O F E D C B A A B C D E F O 图3A B C D E F O 图4A B C D E F O 图5 A B C E F A C E F
一．选择题（共1小题，满分5分，每小题5分） 1．（5分）用平面截一个正方体，可能截出的边数最多的多边形是（）A．七边形B．六边形C．五边形D．四边形 二．填空题（共1小题） 2．如图，OB，OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD的代数式是∠AOD=． 三．解答题（共5小题） 3．已知：∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线． （1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小； （2）如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O 在∠AOD内旋转时求∠MON的大小； （3）在（2）的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON=2：3，求t的值．
4．如图，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有三个点时，线段总共有3条，如果线段AB上有4个点时，线段总数有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，… （1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有条； （2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有多少条？ 5．如图，已知∠AOM与∠MOB互为余角，且∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON 平分∠BOC． （1）求∠MON的度数； （2）如果已知中∠AOB=80°，其他条件不变，求∠MON的度数； （3）如果已知中∠BOC=60°，其他条件不变，求∠MON的度数； （4）从（1）、（2）、（3）中你能看出有什么规律． 6．如图，AD=DB，E是BC的中点，BE=AC=2cm，求线段DE的长．
线段的和差证明的问题 如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，求证：DE=AD-BE ' 已知在△ABC 中，∠B=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 和∠BCA ，求证：AE+CD=AC 、 在△ABC 中，AB=CB ，∠ABC=90°，AD 为角平分线交CB 于点E ，AD ⊥CD ，请判断线段CD 与AE 的数量关系，请说明理由 ； 已知在△ABC 中，∠B=2∠C ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，求证：AB+BD=AC | 如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 上移动，∠EAF=45°，AF 交CD 于F ，连接EF ，求证： A C
BE+DF=EF — 、 变式：已知AF 平分∠DAE ，求证：AE=BE+DF 变式：已知EF=BE+DF ，求证：∠EAF=45° { 如图，点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC ，垂足为M ，求证AM=DC+CM " 已知在△ABC 的BC 边上取两点D 、 F ，使BD=FC ，过D 、F 分别作BA 的平行线，依次交AC 于E 、 G ，求证：AB=ED+GF ~ 如图，已知△ABC 和△BED 都是等边三角形，且A 、E 、D 在一条直线上，求证：AB=BD+CD O B A M D B A G F E D C
\ 如图，在梯形ABCD 中，AD ∠DAB=120°时，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系写出你的猜想并证明 3）如图3，当∠DAB=90°时，∠B 与∠D 互补时，线段AB 、AD 、AC 有怎样的数量关系写出你的猜想并证明 》 △ABC 为等边三角形，点D 为BC 边上一点，连接AD,以AD 为边作等边△ADE(图1)，连接CE,易证：CE+DC=AC.当点D 在BC 延长线（或反向延长线）上时，其他条件不变，如图2、3两种情况下，上述结论是否成立若成立，给予证明。若不成立，请写出CE 、DC 、AC 之间的关系，并证明 A D B C E A B C D