2019-2020年中考数学 重难点专题讲座——第一讲 线段 角的计算证明
问题教案 人教新课标版
【前言】 中考的解答题一般是分两到三部分的。第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。第二部分往往就是开始拉分的中，难题了。大家研究今年的北京一模就会发现，第二部分，或者叫难度开始提上来的部分，基本上都是以线段，角的计算与证明开始的。城乡18个区县的一模题中，有11个区第二部分第一道题都是标准的梯形，四边形中线段角的计算证明题。剩下的7个区县题则将线段角问题与旋转，动态问题结合，放在了更有难度的倒数第二道乃至压轴题当中。可以说，线段角问题就是中考数学有难度题的排头兵。对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。在这个专题中，我们对各区县一模真题进行总结归纳,分析研究，来探究线段，角计算证明问题的解题思路。
第一部分 真题精讲
【例1】 （xx ，崇文，一模） 如图，梯形中，，9038BD CD BDC AD BC =∠===，°，，．求的长．
【思路分析】线段，角的计算证明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性质以及勾股定理等知识点进行考察的。所以这就要求我们对梯形的性质有很好的理解，并且熟知梯形的辅助线做法。这道题中未知的是AB,已知的是AD,BC 以及△BDC 是等腰直角三角形,所以要把未知的AB 也放在已知条件当中去考察.做AE,DF 垂直于BC,则很轻易发现我们将AB 带入到了一个有大量已知条件的直角三角形当中.于是有解如下.
【解析】
作于于 ，
四边形是矩形．
3EF AD AE DF ∴===，．
是的边上的中线．
1
9042
BDC DF BC BF ∠=∴=
==°，．
4431AE BE BF EF ∴==-=-=，． 在中，
已知：如图，在直角梯形中，∥，，于点O ，，求的长.
O
D
C
B A
【思路分析】 这道题给出了梯形两对角线的关系.求梯形上底.对于这种对角线之间或者和其他线段角有特殊关系(例如对角线平分某角)的题,一般思路是将对角线提出来构造一个三角形.对于此题来说,直接将AC 向右平移,构造一个以D 为直角顶点的直角三角形.这样就将AD 转化成了直角三角形中斜边被高分成的两条线段之一,而另一条线段BC 是已知的.于是问题迎刃而解.
O
E
D
C B A
【解析】
过点作交的延长线于点. ∴ . ∵ 于点, ∴ . ∴ . ∵ ，
∴ 四边形为平行四边形. ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∴
此题还有许多别的解法，例如直接利用直角三角形的两个锐角互余关系，证明△ACD 和 △DBC 相似，从而利用比例关系直接求出CD 。有兴趣的考生可以多发散思维去研究。
如图，在梯形中，，，，为中点，．求的长度
．E
D
C
B
A
【思路分析】 这道题是东城的解答题第二部分第一道，就是我们所谓提难度的门槛题。乍看之下好象直接过D 做垂线之类的方法不行.那该怎样做辅助线呢?答案就隐藏在E 是中点这个条件中.在梯形中,一腰中点是很特殊的.一方面中点本身是多对全等三角形的公共点,另一方面中点和其他底,腰的中点连线就是一些三角形的中线,利用中点的比例关系就可以将已知条件代入.比如这道题,过中点E 做BC 的垂线,那么这条垂线与AD 延长线,BC 就构成了两个全等的直角三角形.并且这两个直角三角形的一个锐角的正切值是已经给出的.于是得解.
F
E
M
D
C
B
A
【解析】
过点作的垂线交于点，交的延长线于点. 在梯形中，，是的中点， ∴ 在和中， M MFC DEM CEF DE CE ∠=∠??
∠=∠??=?
∴ . ∴ ∵，∴. 在中，， ∴. 在中，
【总结】以上三道真题,都是在梯形中求线段长度的问题.这些问题一般都是要靠做出精妙的辅助线来解决.辅助线的总体思路就是将梯形拆分或者填充成矩形+三角形的组合,从而达到利用已知求未知的目的.一般来说,梯形的辅助线主要有以下5类:
1、过一底的两端做另一底的垂线，拆梯形为两直角三角形+ 一矩形
2、平移一腰，分梯形为平行四边形+ 三角形
3、延长梯形两腰交于一点构造三角形
4、平移对角线，转化为平行四边形+三角形
5、连接顶点与中点延长线交于另一底延长线构筑两个全等三角形或者过中点做底边垂线
构筑两个全等的直角三角形
以上五种方法就是梯形内线段问题的一般辅助线做法。对于角度问题，其实思路也是一样的。通过做辅助线使得已知角度通过平行，全等方式转移到未知量附近。之前三道例题主要是和线段有关的计算。我们接下来看看和角度有关的计算与证明问题。
【例4】（xx，延庆，一模）
如图，在梯形中，，平分，过
点作，交的延长线于点，且，，，
求的长．
A B
D
E
【思路分析】 此题相对比较简单，不需要做辅助线就可以得出结果。但是题目中给的条件都是此类角度问题的基本条件。例如对角线平分某角，然后有角度之间的关系。面对这种题目还是需要将已知的角度关系理顺。首先根据题目中条件，尤其是利用平行线这一条件，可以得出（见下图）角C 与角1，2，3以及角E 的关系。于是一系列转化过后，发现角C=60度，即三角形DBC 为RT 三角形。于是得解。
【解析】： ∵
∴，
∵
∴
∴ ∵ ∴
∴梯形是等腰梯形 ∴ ∵， ∴ 在中， ∵， ∴
【例5】（xx ，西城，一模）
已知：，，以A B 为一边作正方形A B C D ，使P 、D 两点落在直线A B 的两侧.
如图，当∠APB=45°时，求AB 及PD 的长；
【思路分析】这是去年西城一模的压轴题的第一小问。如果线段角的计算出现在中间部分，往往意味着难度并不会太高。但是一旦出现在压轴题，那么有的时候往往比函数题，方程题更为棘手。这题求AB 比较容易，过A 做BP 垂线，利用等腰直角三角形的性质，将△APB 分成两个有很多已知量
123
A B
D
E D
的RT △。但是求PD 时候就很麻烦了。PD 所在的三角形PAD 是个钝角三角形，所以就需要我们将PD 放在一个直角三角形中试试看。构筑包含PD 的直角三角形，最简单的就是过P 做DA 延长线的垂线交DA 于F ，DF 交PB 于G 。这样一来，得到了△PFA △AGE 等多个RT △。于是与已求出的AB 等量产生了关系，得解。
【解析】：
如图，作AE ⊥PB 于点E ． ∵ △APE 中，∠APE=45°，，
∴
sin 1AE PA APE =?∠==，
cos 1PE PA APE =?∠==．
∵ ， ∴ ．
在Rt △ABE 中，∠AEB=90°， ∴ ．
如图，过点P 作AB 的平行线，与DA 的延长线交于F ，设DA 的延长线交PB 于G ． 在Rt △AEG 中，可得
cos cos AE AE AG EAG ABE =
==∠∠
（这一步最难想到，利用直角三角形斜边高分成的两个小直角三角形的角度关系） ，．
在Rt △PFG
中，可得cos cos PF PG FPG PG ABE =?∠=?∠=，．
【总结】 由此我们可以看出，在涉及到角度的计算证明问题时，一般情况下都是要将已知角度通过平行，垂直等关系过度给未知角度。所以，构建辅助线一般也是从这个思路出发，利用一些特殊图形中的特殊角关系（例如上题中的直角三角形斜边高分三角形的角度关系）以及借助特殊角的三角函数来达到求解的目的。
第二部分 发散思考
通过以上的一模真题，我们对线段角的相关问题解题思路有了一些认识。接下来我们自己动手做一些题目。希望考生先做题，没有思路了看分析，再没思路了再看答案。 【思考1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，．若AC ⊥BD ，
AD+BC =， 且， 求CD 的长．
【思路分析】 前面我已经分析过，梯形问题无非也就那么几种辅助线的做法。此题求腰，所以自然是先将腰放在某个RT 三角形中。另外遇到对角线垂直这类问题，一般都是平移某一条对角线以构造更大的一个RT 三角形，所以此题需要两条辅助线。在这类问题中，辅助线的方式往往需要交叉运用，如果思想放不开，不敢多做，巧做，就不容易得出答案。 [解法见后文]
【思考2】如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B=30°，∠C=60°，E ，M ，F ，N 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，已知BC=7，MN=3，求EF
【思路分析】此题有一定难度，要求考生不仅掌握中位线的相关计算方法，也对三点共线提出了要求。若求EF ，因为BC 已知，所以只需求出AD 即可。由题目所给角B ，角C 的度数，应该自然联想到直角三角形中求解。 （解法见后）
【思考3】已知，延长到，使．取的中点，连结交于点． ⑴ 求的值； ⑵ 若，，求的长．
A
B F
E D
【思路分析】求比例关系，一般都是要利用相似三角形来求解。此题中有一个等量关系BC=CD，又有F中点，所以需要做辅助线，利用这些已知关系来构造数个相似三角形就成了获得比例的关键。（解法见后）
【思考4】如图3，△ABC中，∠A=90°，D为斜边BC的中点，E，F分别为AB，AC上的点，且DE ⊥DF，若BE=3，CF=4，试求EF的长．
【思路分析】中点问题是中考几何中的大热点，几乎年年考。有中点自然有中线，而倍长中线方法也成为解题的关键。将三角形的中线延长一倍，刚好可以构造出两个全等三角形，很多问题就可以轻松求解。本题中，D为中点，所以大家可以看看如何在这个里面构造倍长中线。
（解法见后）
【思考5】如图，在四边形中，为上一点，和都是等边三角形，、、、的中点分别为、、、，试判断四边形为怎样的四边形，并证明你的结论．
【思路分析】此题也是中点题，不同的是上题考察中线，此题考察中位线。本题需要考生对各个特
殊四边形的性质了如指掌，判定，证明上都需要很好的感觉。尤其注意梯形，菱形，正方形，矩形等之间的转化条件。
（解法见后）
第三部分 思考题答案
思考1 【解析】：作DE ⊥BC 于E ，过D 作DF ∥AC 交BC 延长线于F ．
则四边形ADFC 是平行四边形，∴，DF=AC ． ∵四边形ABCD 是等腰梯形， ∴AC=BD ．∴
又∵AC ⊥BD ，DF ∥AC ，∴BD ⊥DF ． ∴ΔBDF 是等腰直角三角形
∴11()522DE BF AD BC ==+=
在中，
∵， ∴，∴
思考2 【解析】：
延长BA ，CD 交于点H ，连接HN ，
因为∠B=30°，∠C=60°，所以∠
所以HN=DN ∠NHD=∠NDH=60°
连接MH ，同理可知∠MHD=∠C=60°。
所以∠NHD=∠MHD ，即H ，N ，M 三点共线（这一点容易被遗漏，很多考生会想当然认为他们共线，其实还是要证明一下） 所以HM=3.5 ，NH=0.5 AN=0.5 所以AD=1 EF=（1+7）/2=4
思考3
【解析】 ⑴过点作，交于点．
∵为的中点 ∴为的中点， 由，得， ，∴ ∴ ∴22113323EC FM AC AC
==?=
∴1132AC AC
AE AC EC AC AC AC --=== ⑵ ∵，∴ 又，∴ ∵，∴．
思考4 【解析】：
延长ED 至点G ，使DG =ED ，连接CG ，FG ．
则△CDG ≌△BDE ．所以CG =BE =3，∠2=∠B ． 因为∠B +∠1=90°，所以∠1+∠2=∠FCG =90°． 因为DF 垂直平分EG ，所以FG =EF ．
在Rt △FCG
中，由勾股定理得5FG ===，所以EF =5．
思考5 【解析】：
证明：如图，连结、． ∵为的中位线， ∴，． 同理，． ∴，，
∴四边形为平行四边形．（有些同学做到这一步就停了，没有继续发
现三角形全等这一特点，从而漏掉了菱形的情况，十分可惜） 在和中， ，，， 即． ∴．
A B
F E C
D
M
∴．
∴
∴四边形为菱形．
2019-2020年中考数学一轮复习第17课时平面图形的认识教学案（无答
案）
教学目标：
1.能结合实例，认识体会线段，角，平行，垂直的概念。
2.认识三角形，掌握三角形内角和定理，会进行相关的面积与角的计算。
教学重难点：
掌握三角形内角和定理，会进行相关的面积与角的计算。
教学过程：
（一）【复习指导】
1. 两点确定一条直线，即过两点有且只有________条直线，两点之间最短。
2. 角的常用计量单位有__________,1周角＝_______，1平角＝_______,1直角＝_______．
3. 如果两个角的和等于______，就说这两个角_______，同角或等角的余角_______；如果两个角的
和等于______，就说这两个角互补，同角或等角的补角________.
4. ___________________________________叫对顶角，对顶角___________.
5. 过直线外一点有且只有___________条直线与已知直线平行.
6. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补.
7. 平行线的判定：________相等,或______相等,或______互补，两直线平行.
8. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直.过直线外的一点作这条直线的垂线，____________到_____________的线段长叫做点到直线的距离。
9．线段的垂直平分线：
性质：线段垂直平分线上的到这条线段的的距离相等；
判定：到线段的点在线段的垂直平分线上。
10.角的平分线：
性质：角平分线上的点到角相等；
判定：到角的点在这个角的平分线上。
11.三角形的内角和：
三角形内角和为______,n边形的内角和为_____,外角和
为_____.
（二）【预习练习】 中考指要p58的基础演练。
预习检查中对错的较多的问题进行讲解
（三）【新知探究】
例1.将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆
上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为___________
例2. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，则的度数等于（ ） A ． B ．
C ．
D ．
例3．如图，一束光线与水平面成60°的角度照射地面，现在地面AB 上支放一个平面镜CD ，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD 与地面AB 所成角∠DCB 的度数等于 ( ) A ．30° B．45° C．50° D．60°
例4. 57°48′的余角＝ ° ′ ；它的补角＝ ° ′
例5．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是______边形。
例6.光线以如图1所示的角度α照射到平面镜Ⅰ上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ之间来回反射，已知∠α＝60°，∠β＝50°，∠γ＝ 度。
例7.如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（ ） A ．110° B ．115° C ．120° D ．130°
例8.如图，在△ABC 中，∠C ＝90o，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ．若BD ＝10cm ，BC ＝8cm ，则点
D 到直线
AB 的距离是 cm ．
1
3
2 B
（四）【变式拓展】
例9.下列时刻，时针与分针的夹角为直角的是（
）
A ．3时30分
B ．9时30分
C ．8时55分
D ．6时分
例10.已知以下基本事实：①对顶角相等；②一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；③两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则这两条直线平行；④全等三角形的对应边、对应角分别相等．
(1)在利用以上基本事实作为依据来证明命题“两直线平行，内错角相等”时，必须要用的基本事实有 (填入序号即可)； (2)根据在(1)中的选择，结合所给图形，请你证明命题“两直线平行，内错角相等”．
已知：如图，_________________________________． 求证：_________________________________． 证明：
例11如图，EF 是△ABC 的中位线，将△AEF 沿中线AD 的方向平
移到△
A 1E 1F 1，使线段E 1F 1落在BC 边上，若△AEF 的面积为7cm 2，则图
中阴影
部分的面积是 ________cm 2
（五）【当堂反馈】
见中考指要的典型例题1-4。
（六）【课后作业】
见中考指要的自我评估1-4。
（七）【教学反思】
c
b
a
1
2B
C
D
E 1
F 1
(第18题图)
中考数学中的“新定义” 近年来的中考试题中，“新定义”的题目频频出现．此类题目的解决，可以很好地体现学生的临场发挥能力和知识的迁移能力．现结合具体题目加以分析． 一、定义新符号 例l (2014·新疆维吾尔自治区)规定用符号[ ]表示一个实数的整数部分，例如[3．69]=3， ]=l ，按此规定1]= 分析及解答本题涉及到无理数的估算，∵9<13<16，∴3<<4，∴1<3， ∴1]=2．故应填2． 二、定义新数 例2 (2010·杭州市)定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数．下面给出特征数为 [2m ，1一m ，一1一m ]的函数的一些结论： ①当m = 一3时，函数图象的顶点坐标是(18,33 )； ②当m >0时，函数图象截x 轴所得线段的长度大于 32； ③当m <0时，函数在x > 14 时，y 随x 的增大而减小； ④当m ≠O 时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论是 ( )． A ．①②③④ B ．①②④ C ．①③④ D ．②④ 分析及解答不妨把m = 一3代入知道，a = 一6，b =4，C =2， 22186426()33y x x x =-++=--+ ，所以函数图象的顶点坐标是(18,33 )．①正确排除选项D ；由于当m <0时，对称轴124b m x a m -=-=-大于14 ，所以③错误，排除A 、C ．综上可知，故选B ． 三、定义新图形 (1)定义新点 例3 (2014·北京市)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (,)x y ，我们把点P (1,1)y x -++叫做点P 的伴随点．已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，…
初一上册 有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的初步认识。 （1）有理数：是初中数学的基础内容，中考试题中分值约为3-6分，多以选择题，填空题，计算题的形式出现，难易度属于简单。 考察内容：复数以及混合运算（期中、期末必考计算）数轴、相反数、绝对值和倒数（选择、填空）。 （2）整式的加减：中考试题中分值约为4分，题型以选择和填空题为主，难易度属于易。 考察内容： ①整式的概念和简单的运算，主要是同类项的概念和化简求值 ②完全平方公式，平方差公式的几何意义 ③利用提公因式发和公式法分解因式。 （3）一元一次方程：是初一学习重点内容，主要学习内容有（归纳、总结、延伸）应用题思维、步骤、文字题，根据已知条件求未知。中考分值约为1-3分，题型主要以选择和填空题为主，极少出现简答题，难易度为易。 考察内容： ①方程及方程解的概念 ②根据题意列一元一次方程 ③解一元一次方程。题型：追击、相遇、时间速度路程的关系、打折销售、利润公式。 （4）几何：角和线段，为下册学三角形打基础 初一下册
相交线和平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式和不等式组和数据库的收集整理与描述。 （1）相交线和平行线：相交线和平行线是历年中考中常见的考点。通常以填空，选择题形式出现。分值为3-4分，难易度为易。 考察内容： ①平行线的性质（公理） ②平行线的判别方法 ③构造平行线，利用平行线的性质解决问题。 （2）平面直角坐标系：中考试题中分值约为3-4分，题型以选择，填空为主，难易度属于易。 考察主要内容： ①考察平面直角坐标系内点的坐标特征 ②函数自变量的取值范围和球函数的值 ③考察结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。 （3）二元一次方程组：中考分值约为3-6分，题型主要以选择，解答为主，难易度为中。 考察内容：①方程组的解法，解方程组②根据题意列二元一次方程组解经济问题。 （4）不等式和不等式组：中考试题中分值约为3-8分，选择，填空，解答题为主。 主要考察内容： ①一元一次不等式（组）的解法，不等式（组）解集的数轴表示，不等式（组）的整数解等，题型以选择，填空为主。 ②列不等式（组）解决经济问题，调配问题等，主要以解答题为主。 ③留意不等式（组）和函数图像的结合问题。
中考数学重难点突破专题二：作图问题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
专题二作图问题 类型1尺规作图 1．(2017·兰州)在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线l和l外一点P. 求作：直线l的垂线，使它经过点P. 作法：如图：(1)在直线l上任取两点A、B； (2)分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q； (3)作直线PQ. 参考以上材料作图的方法，解决以下问题： (1)以上材料作图的依据是：______________________________________________ (2)已知：直线l和l外一点P. 求作：⊙P，使它与直线l相切．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑) 解：(1)到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
(2)如图⊙P 即为所求． 2．(2017·六盘水)如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝4，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN ︵的中点，P 是直径MN 上一动点． (1)利用尺规作图，确定当PA ＋PB 最小时P 点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)． (2)求PA ＋PB 的最小值． 解：(1)如图1所示，点P 即为所求； (2)由(1)可知，PA ＋PB 的最小值即为A′B 的长，连接OA′、OB 、OA ，∵A′点为点A 关直 线MN 的对称点，∠AMN ＝30°，∴∠AON ＝∠A′ON ＝2∠AMN ＝2×30°＝60°，又∵B 为AN ︵的中点，∴AB ︵＝BN ︵，∴∠BON ＝∠AOB ＝12∠AON ＝30°，∴∠A′OB ＝60°＋30°＝90°，又 ∵MN ＝4，∴OA′＝OB ＝12MN ＝12×4＝2.∴在Rt △A′OB 中，A′B ＝22，∴PA ＋PB 的最小值 为2 2. 3．(2017·舟山)如图，已知△ABC ，∠B ＝40°. (1)在图中，用尺规作出△ABC 的内切圆O ，并标出⊙O 与边AB ，BC ，AC 的切点D ，E ，F(保留痕迹，不必写作法)； (2)连接EF ，DF ，求∠EFD 的度数． 解：(1)如图1，⊙O 即为所求．
中考数学专题讲座一：选择题解题方法 一、中考专题诠释 选择题是各地中考必考题型之一，这说明选择题有它不可替代的重要性. 选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略与解法精讲 选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做. 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效. 三、中考典例剖析 考点一：直接法 从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1 方程的解是（） A．x=±1 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=0 思路分析：观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解：方程的两边同乘（x+1），得 x2﹣1=0， 即（x+1）（x﹣1）=0， 解得：x1=﹣1，x2=1． 检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解； 把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解． 则原方程的解为：x=1． 故选B． 点评：此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根． 对应训练 1．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（） A．7队B．6队C．5队D．4队 考点二：特例法 运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好.
初中数学重难点 姓名：__________ 指导：__________ 日期：__________
1. 函数（一次函数、反比例函数、二次函数）[点击可查看]中考占总分的15%左右。 函数对于学生来说是一个新的知识点，不同于以往的知识，它比较抽象，刚接受起来会有一定的困惑，很多学生学过之后也没理解函数到底是什么。 特别是二次函数是中考的重点，也是中考的难点，在填空、选择、解答题中均会出现，且知识点多，题型多变。 而且一道解答题一般会在试卷最后两题中出现，一般二次函数的应用和二次函数的图像、性质及三角形、四边形综合题难度较大。有一定难度。如果学生在这一环节掌握不好，将会直接影响代数的基础，会对中考的分数会造成很大的影响。 2.整式、分式、二次根式的化简运算 整式的运算、因式分解、二次根式、科学计数法及分式化简等都是初中学习的重点，它贯穿于整个初中数学的知识，是我们进行数学运算的基础，其中因式分解及理解因式分解和整式乘法运算的关系、分式的运算是难点。 中考一般以选择、填空形式出现，但却是解答题完整解答的基础。运算能力的熟练程度和答题的正确率有直接的关系，掌握不好，答题正确率就不会很高，进而后面的的方程、不等式、函数也无法学好。 3.应用题，中考中占总分的30%左右 包括方程（组）应用，一元一次不等式（组）应用，函数应用，解三角形应用，概率与统计应用几种题型。 一般会出现二至三道解答题（30分左右）及2—3道选择、填空题（10分—15分），占中考总分的30%左右。 现在中考对数学实际应用的考察会越来越多，数学与生活联系越来越紧密，因为
这样更能让学生感受学习数学在自己生活中的运用，以激发其学习兴趣。 应用题要求学生的理解辨别能力很强，能从问题中读出必要的数学信息，并从数学的角度寻求解决问题的策略和方法。方程思想、函数思想、数形结合思想也是中学阶段一种很重要的数学思想、是解决很多问题的工具。 4.三角形（全等、相似、角平分线、中垂线、高线、解直角三角形）、四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形），中考中占总分25%左右。 三角形是初中几何图形中内容最多的一块知识，也是学好平面几何的必要基础，贯穿初二到到初三的几何知识，其中的几何证明题及线段长度和角度的计算对很多学生是难点。 因为几何思维更灵活，定理、定义及辅助线的添加往往都是解决问题的关键，这就要求学生的思维更灵活，能多维度的思考问题，形成自己的解题思路和方法。也只有学好了三角形，后面的四边形乃至圆的证明就容易理解掌握了，反之，后面的一切几何证明更将无从下手，没有清晰的思路。其中解三角形在初三下册学习，是以直角三角形为基础的，在中考中会以船的触礁、楼高、影子问题出现一道大题。因此在初中数学学习中也是一个重点，而且在以后的高中数学学习中会将此知识点挖深，拓宽。成为高考的一个重点，因此，初中的同学们应将此知识点熟练掌握。 四边形在初二进行学习的，其中特殊四边形的性质及判定定理很多，容易混淆，深刻理解这些性质和判定、理清它们之间的联系是解决证明和计算的基础，四边形中题型多变，计算、证明都有一定难度。经常在中考选择题、填空题及解答题的压轴题（最后一题）中出现，对学生综合运用知识的能力要求较高。 5.圆，中考中占总分的10%左右
1 中考指导：在初中数学中，求阴影部分的面积问题是一个重要内容，在近年来的各地中考试题中屡见不鲜．这 类试题大多数都是求不规则图形的面积，具有一定的难度，因此，正确把握求阴影部分面积问题的解题方法，显得尤为重要．解决这类问题的常见方法有：规则图形直接利用公式计算、不规则图形利用图形的面积的和差计算、通过分割，割补转化为规则图形计算. 典型例题解析: 【例1】（浙江省鄞州区2017届九年级下学期教学质量检测一）如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC=45°，OB=2，则图中阴影部分的面积为（ ） A. π﹣2 B. 2 13π- C. π﹣4 D. 223 π- 【答案】A 【例2】（2017年浙江省金华市金东区中考数学模拟）在矩形ABCD 中，2BC=2，以A 为圆心，AD 为半径画弧交线段BC 于E ，连接DE ，则阴影部分的面积为（ ）
2 A. 22 π - B. 22 2π - C. 2π- D. 22 π- 【答案】A 点睛：本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、扇形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键． 【例3】（2018年河北邢台市宁晋县换马店镇初级中学中考模拟）AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直于AB 交于点E ，∠COB=60°，CD=23，则阴影部分的面积为（ ）
实用文档 用心整理 3 A. 3π B. 23 π C. π D. 2π 【答案】B 【解析】连接OD ． ∵CD ⊥AB ， ∴CE=DE= 1 2 3， 故S △OCE =S △ODE ， 即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积， 又∵∠COB=60°（圆周角定理）， ∴OC=2， 故S 扇形OBD =2602360?=23π，即阴影部分的面积为23 π． 故选B ． 强化训练 1．（山东省青岛市2018年中考数学试卷样题二）如图，正方形ABCD 的边AB=1， BD u u u r 和AC u u u r 都是以1为半径的圆 弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
中考数学重难点专题讲座 第九讲几何图形的归纳,猜想,证明问题 【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。08年的中考填空压轴是一道代数归纳题，已经展现出了这种趋势。09年的一模，二模也只是较少的区县出了这种归纳题，然而中考的时候就出了一道几何方面的n等分点总结问题。于是今年的一模二模，这种有关几何的归纳，猜想问题铺天盖地而来，这就是一个重要的风向标。而且根据学生反映，这种问题一般较难，得分率很低，经常有同学选择+填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的，所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。 第一部分真题精讲 【例1】2010，海淀，一模 如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设?B D C的面积为S， 2111 ?B D C的面积为S，…，?B D C的面积为S，则S=；S=____（用3222n+1n n n2n 含n的式子表示）． B1B2B3B4B5 D1D 2 D3D4…… A C 1C2C 3 C4C5 【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是 ?B AC,?B AC这种的,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先S所代表的三22332
2 3 3 = 2 3 .接下来通过总结 ,我们发现所求的 S = 1 n + 1 角形的底边 C D 是三角形 AC D 的底边,而这个三角形和△ AC B 是相似的.所以边长 2 2 2 2 3 3 的比例就是 AC 与 AC 的比值.于是 2 3 2 3 2 2 三角形有一个最大的共性就是高相等,为 3（连接上面所有的 B 点，将阴影部分放在反过来 的等边三角形中看）。那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。我们发 现所有的 B,C 点连线的边都是平行的，于是自然可以得出 D 自然是所在边上的 n+1 等分 n 点.例如 D 就是 B C 的一个三等分点.于是 2 2 2 D C = n + 1 - 1 n n ? 2 (n+1-1 是什么意思?为什么要 减 1?) S ?B n +1D n C n = 1 1 2n 3n D C ? 3 = 3 = 2 n n 2 n + 1 n + 1 【例 2】2010，西城，一模 在平面直角坐标系中，我们称边长为 1 且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形 ABCD 的四个顶点坐标分别是 (-8 ，0) ， (0 ，4) ， (8 ，0) ， (0 ，- 4) ， 则菱形 ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形 A B C D 的四个顶点坐 n n n n 标分别为 (-2n ，0) ， (0 ，n ) ， (2n ，0) ， (0 ，- n ) （ n 为正整数），则菱形 A B C D 能覆盖的 n n n n 单位格点正方形的个数为_________（用含有 n 的式子表示）． y 4 B A -8 O -4 D C 8 x 【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是 48（笑）。这里笔
课件园https://www.doczj.com/doc/c59150124.html, - 1 - 2014年中考数学专题讲座一：选择题解题方法 一、中考专题诠释 选择题是各地中考必考题型之一，2012年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性. 选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略与解法精讲 选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做. 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效. 三、中考典例剖析 考点一：直接法 从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1 （2012?白银）方程的解是（ ） A ．x=±1 B ． x =1 C ． x =﹣1 D ． x =0 思路分析： 观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解：方程的两边同乘（x+1），得 x 2﹣1=0， 即（x+1）（x ﹣1）=0， 解得：x 1=﹣1，x 2=1． 检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解； 把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解． 则原方程的解为：x=1． 故选B ． 点评： 此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根． 对应训练 1．（2012?南宁）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（ ） A ．7队 B ．6队 C ．5队 D ．4队 考点二：特例法 运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好. 例2 （2012?常州）已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且 a c b d ，给出下列四个不等式：
- 1 - 中考数学重难点专题 一元二次方程与二次函数 第一部分 真题精讲 【例1】 已知：关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数213(1)21=--+-y mx m x m 的图象关于y 轴对称． ①求二次函数1y 的解析式； ②已知一次函数222=-y x ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值12y y ≥均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数2 3y ax bx c =++的图象 经过点(50)-，，且在实数范围内，对于x 的同一个 值，这三个函数所对应的函数值132y y y ≥≥，均成立，求二次函数23=++y ax bx c 的解析式． 【例2】 关 于 x 的一元二次方程 22(1)2(2)10m x m x ---+=. （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根； （ 2）点 () 11A --，是抛物线 22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由. 【解析】：
- 2 - 【例3】 已知P （3,m -)和Q （1， m ）是抛物线 221y x bx =++上的两点． （1）求b 的值； （2）判断关于x 的一元二次方程2 21x bx ++=0是 否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值． 【解析】 【例4】已知抛物线2442y ax ax a =-+-，其中a 是常数． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若2 5 a > ，且抛物线与x 轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式． 【例5】 已知：关于x 的一元二次方程 ()()21210m x m x -+--=（m 为实数） （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛 物线()()2 121y m x m x =-+--总过x 轴上的一个 固定点； （3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程 ()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整数根， 把抛物线()()2 121y m x m x =-+--向右平移3个 单位长度，求平移后的解析式．
中考数学重难点专题讲座 第八讲 动态几何与函数问题 【前言】 在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。 【例1】 如图①所示，直角梯形OABC 的顶点A 、C 分别在y 轴正半轴与x 轴负半轴上.过点B 、C 作直线l .将直线l 平移，平移后的直线l 与x 轴交于点D ，与y 轴交于点E. （1）将直线l 向右平移，设平移距离CD 为t （t≥0），直角梯形OABC 被直线l 扫过的面积（图中阴影部份）为s ，s 关于t 的函数图象如图②所示，OM 为线段，MN 为抛物线的一部分，NQ 为射线，且NQ 平行于x 轴，N 点横坐标为4，求梯形上底AB 的长及直角梯形OABC 的面积. （2）当24t <<时，求S 关于t 的函数解析式. 【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图二
的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个M 点是何含义，于是无从下手。其实M 点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N 点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定就是当D 移动过了0点的时候.所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当24t <<时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去△ODE 的面积，于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。 【解】 （1）由图（2）知，M 点的坐标是（2，8） ∴由此判断：24AB OA ==， ； ∵N 点的横坐标是4，NQ 是平行于x 轴的射线， ∴4CO = ∴直角梯形OABC 的面积为： ()()112441222 AB OC OA +?=+?=..... (3分) （2）当24t <<时， 阴影部分的面积=直角梯形OABC 的面积-ODE ?的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系) ∴1122S OD OE =-? ∵142 OD OD t OE ==-， ∴()24OE t =- . ∴()()()21122441242 S t t t =-?-?-=-- 284S t t =-+-. 【例2】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x =>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；
2021年温州市中考数学 重难点复习：二次函数 目录 一、历年真题 二、知识点讲解 三、各地真题及模拟题精讲
一、历年真题 一．选择题（共8小题） 1．将抛物线y ＝x 2﹣2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为（ ） A ．y ＝x 2﹣1 B ．y ＝x 2﹣3 C ．y ＝（x +1）2﹣2 D ．y ＝（x ﹣1）2﹣2 【解答】解：将抛物线y ＝x 2﹣2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为y ＝x 2﹣2+1，即y ＝x 2﹣1． 故选：A ． 2．如图，抛物线y ＝﹣（x +m ）2+5交x 轴于点A ，B ，将该抛物线向右平移3个单位后，与原抛物线交于点C ，则点C 的纵坐标为（ ） A ．5 2 B ． 114 C ．3 D ． 134 【解答】解：将抛物线y ＝﹣（x +m ）2+5向右平移3个单位后得到y ＝﹣（x +m ﹣3）2 +5， 根据题意得：{y =?(x +m)2+5y =?(x +m ?3)2+5， 解得：{x =3 2?m y =114， ∴交点C 的坐标为（3 2?m ， 114 ）， 故选：B ． 3．已知点A （﹣3，a ），B （﹣2，b ），C （1，c ）均在抛物线y ＝3（x +2）2+k 上，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＜a ＜b B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a 【解答】解：函数的对称轴为：x ＝﹣2， a ＝3＞0，故开口向上， x ＝1比x ＝﹣3离对称轴远，故c 最大，b 为函数最小值， 故选：C ．
4．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，且对称轴在（﹣1，0）的左边，下列结论一定正确的是（） A．abc＞0B．2a﹣b＜0C．b2﹣4ac＜0D．a﹣b+c＞﹣1【解答】解：A、如图所示，抛物线经过原点，则c＝0，所以abc＝0，故不符合题意； B、如图所示，对称轴在直线x＝﹣1的左边，则?b 2a＜?1，又a＞0，所以2a﹣b＜0， 故符合题意； C、如图所示，图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故不符合题意； D、如图所示，当x＝﹣1时y＜0，即a﹣b+c＜0，但无法判定a﹣b+c与﹣1的大小，故 不符合题意． 故选：B． 5．抛物线y＝x2+6x+9与x轴交点的个数是（） A．0B．1C．2D．3 【解答】解：∵b2﹣4ac＝36﹣4×1×9＝0 ∴二次函数y＝x2+6x+9的图象与x轴有一个交点． 故选：B． 6．如图一段抛物线y＝x2﹣3x（0≤x≤3），记为C1，它与x轴于点O和A1：将C1绕旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，若点P（2020，m）在某段抛物线上，则m的值为（）
2019中考数学重点难点：易错知识点梳理初三学期的学习知识范围更广，课程的内容更加抽象，更加难以理解，尽快地掌握科学知识，迅速提高学习能力,由小编为您提供的2019中考数学重点难点，希望给您带来启发! ●失分点集中在以下几个方面： 考查简单二次根式的化简求值，函数中自变量取值范围，易出错。 考查点和圆、直线和圆的位置关系，易将其判定相混，或不审题误把圆直径当半径。 考查简单直角三角形的应用，失分点在于对括号中给出精确度忽略而错选。视图时，考生由于缺乏空间想象力而易失分。考查一元二次方程的实际应用，特别是均变速运动有关问题是难点。 以图表形式提供信息考查统计知识，由于信息量及阅读量大，线索多，要求小伙伴们冷静、细心审题，否则易失分。考查几何变换中点的坐标及点或线段在变换中经过的路线，考生容易在三个方面失分，旋转中的旋转方向，坐标与线段转化过程中忽略点所在位置或者是弧长公式、扇形面积公式相混。 考查概率在实际问题中应用，用频率估分概率时考生容易出错。
策略：从往年的试卷可以看出，小伙伴们卷面上一般会出现大量“会而不对”、“对而不全”的现象。小伙伴们应注意以下三个问题。 解题速度慢，导致后面的解答题没有时间做，连看题都没有时间了。解题速度缓慢原因就是不熟练，基础知识不熟练，基本方法不熟练，这是平时训练不够所致，所以我们经常说回归课本，目的就是要让考生全面、系统地掌握课本中的基础知识和基本方法，吃透课本中的例题和习题。 语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。运算错误多。答卷的时候，经常会犯一些低级的错误，这是运算能力的问题，
专题十三 拓展类型 1. (2019枣庄)对于实数a ，b ，定义关于“?”的一种运算：a ?b ＝2a ＋b ，例如3? 4＝2×3＋4＝10. (1)求4?(－3)的值； (2)若x ?(－y )＝2，(2y )?x ＝－1，求x ＋y 的值． 2. (2019湘潭)阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)． 立方差公式：x 3－y 3＝(x －y )(x 2＋xy ＋y 2)． 根据材料和已学知识，先化简，再求值：3x x 2－2x －x 2＋2x ＋4x 3－8 ，其中x ＝3. 3. (2019咸宁)定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解：
(1)如图①，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，C D.求证：四边形ABCD 是等补四边形； 探究： (2)如图②，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由； 运用： (3)如图③，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长． 第3题图
4. (2019兰州)【模型呈现】 如下图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°得到AD，过点D作DE⊥AC 于点E，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE.我们把这个数学模型称为“K型”．推理过程如下： 【模型应用】 如图①，Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，BC＝2.将斜边AB绕点A顺时针旋转一定角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE＝∠ABC，DE＝1，连接DO交⊙O于点F. (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)连接FC交AB于点G，连接F B. 求证：FG2＝GO·G B.
精心整理 中考数学重点难点分值题型分布 第一章数与式 1.1实数 考点 1. 2. 3. 4. 5. 考点 1. 2. 考点 考试内容： 1.科学记数法 2.近似数
1.2代数式 考点1：代数式（理解）——必考点 题型：选择题；分值：4分 考试内容： 1.列代数式表示简单的数量关系 2.能解释一些简单代数式的实际意义或几何意义 考点 1. 2. 1.3 考点 1. 2. 3. 4. 考点 题型：填空题；分值：3分、4分 考试内容： 1.完全平方公式、平方差公式的几何背景（了解） 2.平方差公式、完全平方公式 3.用平方差公式、完全平方公式进行简单计算
考点3：因式分解（灵活运用） 题型：填空题；分值：3分、4分 考试内容： 1.因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系（了解） 2.用提取公因式法、、公式法进行因式分解，会在实数范围内分解因式1.4分式与二次根式 考点 1. 2. 3. 4. 5. 考点 1. 2.简单的分式加减乘除乘方运算，用恰当方法解决与分式有关的问题考点3：二次根式（掌握）——必考点 题型：选择题；分值：3分 考试内容： 1.二次根式的概念
2.最简二次根式 3.二次根式的运算 第二章方程（组）与不等式（组） 2.1整式方程 考点1：一元一次方程(掌握，灵活运用) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 考点 1. 2. 3.用一元二次方程根的判别式判断根的情况 4.运用一元二次方程解决简单的实际问题
2.2分式方程 考点1：分式方程及其解法——必考点 题型：选择题、填空题；分值：3分、4分考试内容： 1.分式方程的概念 2. 3. 4. 考点 1. 2. 2.3 考点 1.二元一次方程组的有关概念（了解） 2.代入消元法、加减消元法的意义 3.选择适当的方法解二元一次方程组 考点2：二元一次方程组的应用——必考点题型：解答题；分值：9分
中考数学解答题重难点专题突破---解答重难点题型突破 题型一 简单几何图形的证明与计算 类型一 特殊四边形的探究 1．(开封模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝60°，以边AC 上一点O 为圆心，OA 为半径作⊙O，⊙O 恰好经过边BC 的中点D ，并与边AC 相交于另一点F. (1)求证：BD 是⊙O 的切线； (2)若BC ＝23，E 是半圆AGF ︵ 上一动点，连接AE 、AD 、DE. 填空： ①当AE ︵ 的长度是__________时，四边形ABDE 是菱形； ②当AE ︵ 的长度是__________时，△ADE 是直角三角形. 2．(商丘模拟)如图，已知⊙O 的半径为1，AC 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线BC ，E 是BC 的中点，AB 交⊙O 于D 点． (1)直接写出ED 和EC 的数量关系：； (2)DE 是⊙O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由； (3)填空：当BC ＝__________时，四边形AOED 是平行四边形，同时以点O 、D 、E 、C 为顶点的四边形是__________.
3．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝5 cm，点E从点A出发沿射线AD以1 cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动，设运动时间为t(s)． (1)连接EF，当EF经过BD边的中点G时，求证：△DGE≌△BGF； (2)填空： ①当t为__________s时，△ACE的面积是△FCE的面积的2倍； ②当t为__________s时，四边形ACFE是菱形. 4．(新乡模拟)如图，AC是?ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F. (1)求证：AE＝CF； (2)连接AF，CE. ①当EF和AC满足条件__________时，四边形AFCE是菱形； ②若AB＝1，BC＝2，∠B＝60°，则四边形AFCE为矩形时，EF的长是__________．
抛物线与几何问题 【知识纵横】 抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：2y ax bx c =++(a ≠0)；2、顶点式：y =a(x —h) 2-＋k ；3、交点式：y=a(x —x 1)(x —x 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0 的两个实根。 解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。 【典型例题】 【例1】 (浙江杭州) 在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。平移二 次函数2 tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B ，C 两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A ，B 。 （1）是否存在这样的抛物线F ， OC OB OA ?=2 ？请你作出判断，并说明理由； （2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=2 3 ，求抛物线F 对应的二次函数的解析式。 【思路点拨】（1）由关系式OC OB OA ?=2 来构建关于t 、b 的方程；(2)讨论 t 的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。 【例2】(江苏常州)如图,抛物线2 4y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O,它的顶点为A,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点.
（1）求点A 的坐标; （2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标; （3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为x,当462682S +≤≤+时,求x 的取值范围. 【思路点拨】（3）可求得直线l 的函数关系式是y=-2x ，所以应讨论①当点P 在第二象限时，x<0、 ②当点P 在第四象限是，x>0这二种情况。 【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2 x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点 P ，顶点M 到A 点时停止移动． （1）求线段OA 所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M 的横坐标为m , ①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短； （3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的 坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（2）构建关于PB 的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点Q 落在直线OA 的下方时、当点Q 落在直线OA 的上方时讨论。 【例4】（广东省深圳市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数 )0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan∠ACO＝3 1 ． （1）求这个二次函数的表达式． （2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ， 使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在， y B O A P M x 2x =
2020年中考数学总复习满分方法技巧解读专题讲座（共十三个专题） 2020年中考数学专题讲座一：选择题解题方法 一、中考专题诠释 选择题是各地中考必考题型之一，2019年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性. 选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略与解法精讲 选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做. 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效. 三、中考典例剖析 考点一：直接法 从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1 （2019?白银）方程的解是（） A．x=±1 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=0 思路分析：观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解：方程的两边同乘（x+1），得 x2﹣1=0， 即（x+1）（x﹣1）=0， 解得：x1=﹣1，x2=1． 检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解； 把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解． 则原方程的解为：x=1． 故选B． 点评：此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．