目录
1.两端铰支偏置转子的瞬态涡动分析 (1)
1.1转子动力学模型三维立体示意图：（UG） (3)
1.2转子动力学模型二维平面示意图：（CAD） (4)
1.3导出两端弹性支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程： (5)
1.3.1偏置转子在平动坐标系中的动量矩 (5)
1.3.2在平动坐标系中外力矩的表达 (7)
1.3.3在平动坐标系中定点转动微分方程 (7)
1.4形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图： . 8
1.4.1同步涡动的临界转速： (9)
1.4.2稳态自由涡动角速度与自转角速度的关系： (9)
1.4.3涡动角速度与自转角速度的关系曲线如下： (10)
1.5mathematic源代码 (11)
2. 威尔逊-- 法求解等加速时的瞬态涡动幅频特性 (12)
2.1 分析 (12)
2.2 MATLAB编程求解 (16)
两端铰支偏置转子的瞬态涡动分析
已知：设有两端铰支偏置单盘转子，两端的滚动轴承简化为铰支座，弹性轴跨长57,l cm =直径 1.5,d cm =弹性模量62622.110/20.5810/E Kg cm N cm =?=?，材料密度337.810/Kg cm ρ-=?。固定在离支承1/4处的圆盘厚2cm =，直径16D cm =，若不计重力影响与系统阻尼，圆盘的转动惯量近似按薄圆盘计算。?为自转角位移，取222 5.7/35.814/rad s rad s ?π=?=。假设无质量偏心，不计重力影响，外力矩的作用是保证转子作等加速转动。
求：
①画出转子动力学模型三维立体示意图，导出两端铰支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程；
②应用Mathematic 软件求解该转子形心稳态自由涡动时的频率方程，画出涡动角速度与自转角速度的关系曲线图；
③应用Wilson θ-数值方法求解等加速度时的瞬态涡动的幅频特性，并画出涡动振幅与自转角速度的幅频关系曲线图和瞬态涡动响应时间历程曲线。
1.3导出两端弹性支承刚性薄单盘偏置转子的瞬态涡动微分方程：
1.3.1偏置转子在平动坐标系中的动量矩
偏置转子的涡动是刚体在三维空间中的一般运动，可以分解成形心的平动和相对形心的运动。
随形心的平动用3个质点运动方程描述，相对形心的转动用3个定点运动方程描述，共计需要6个方程。
假设涡动引起的转轴弯曲变形很小，忽略横向弯曲引起的轴向位移。因而偏置转子在空间的一般运动用5个方程描述。下面导出单盘偏置转子由于变转速引起的瞬态涡动方程。
欧拉角表示的刚性支承偏置转子位置示意图
o x y z为过圆盘形心的圆盘无偏心，图中Axyz为固定坐标系，''''
平动坐标系，0' 为过圆盘形心的随盘转动的旋转坐标系，采用第
二类欧拉角表示的各坐标系的转换关系。
当圆盘以自转角速度C ?=Ω≠绕自转轴转动时，单盘偏置转子的角速度矢量ω在旋转后的动坐标系110'ξη?中的投影用第2类欧拉角表示为
111cos sin ξη?ωβωαβω?αβ?=-?=??=+?
（1-1） 注意，在图示情况下圆盘在作第2次旋转时绕负1'o ξ轴旋转，固角速度1
ξωβ=-，这与第1章所述有所不同。在平动坐标系'''o x y ?中圆盘对形心'o 的动量矩为
o'?x'y'H =H +H +H （1-2）
式中''(cos sin cos )'
(sin cos )'
(sin )x p d y d p p J J J J J ???βαβαα?βα?αβ=-=+=+H i H j H k
（1-3） 由于动坐标轴''o x 与1'o ξ的夹角1,'','o y o αη的夹角β很小，有
sin ,sin ,cos cos 1ααββαβ≈≈≈≈
代入对圆盘形心'o 的动量矩，略去二阶以上高阶无穷小量，有
''()x p p d y p p d p d J J J dt
d J J J dt
d J dt ??α?αβ?β?βα?αβαβ=+-=++=++H H H
（1-4） 注意，这里采用的是平动坐标系，如果采用旋转动坐标系，动量矩的导数的表达式不为此，但这两种坐标系下动量矩的最终形式是一致的。
1.3.2在平动坐标系中外力矩的表达
下面分析作用在弹性轴上的力矩。作用在转轴上的力矩有，弹性恢复力矩e M 和阻力矩R M 。
由材料力学知，圆轴在xoz 平面上弹性恢复力和弯矩
223322223()13x xx x x x a ab b a b F lEI x k x k a b a b a b M lEI x k x k a b ab αααααααα-+-=+=+-??=+=+ ???
（1-5） 注意，力矩的下标x 表示在'''x o z 平面内的力矩。同理圆轴在'yo z 平面内弹性恢复力y F 和恢复力矩
11122213()y yy y y y F k y k k y k a b M lEI y k y k a b ab ββββββ
ββ=+=+-=+=+
（1-6）
因忽略阻尼，所以没有阻力矩。
由合力矩定理得到各力矩在相应轴上的投影
''''''()0x ex Rx x y ey Ry y M M M k x k M M M k y k M αααβββ?αβ=+=-+=+=+=∑∑∑
（1-7）
注意，因假设转轴具有无限大扭转刚度，所以第3个方程等号右端等于零。如果考虑扭转刚度k ?，则弹性轴受到不均匀外力矩作用形
成的弹性扭矩?M 为k ????=-M k 1.3.3在平动坐标系中定点转动微分方程
将圆盘的动量矩和外力矩带入相对形心o '的动量矩定理
一、Maple 程序编写实例 1. 如图中1所示单自由度弹簧质量系统在，质量块质量为m ，当质量块下拉弹簧处于平衡位置时，静变 形为40mm 。求此弹簧质量系统的振动规律。 解：●建模 图1 系统受力：mg,回复力kx 。物体作上下的自由振动运动。 ● Maple 程序 > restart: #清零 > eq:=m*diff(x(t),t$2)=m*g-k* # ∑=F x m x .. (delta[st]+x): > eq:=lhs(eq)-rhs(eq)=0: #移项 > eq:=subs(diff(x(t),t$2)=DDx, #代换 delta[st]=m*g/k,eq): > eq:=expand(eq/m): #展开 > eq:=subs(k=m*omega[0]^2,eq): #代换 > X:=A*sin(omega[0]*t+beta): #系统通解 > k:=m*g/delta[st]: #弹簧刚度系数 > omega[0]:=sqrt(k/m): #固有频率 > x[0]:=-delta[st]: #初位移 > v[0]:=0: #初速度 > A:=sqrt(x[0]^2+v[0]^2/omega[0]^2): #振幅 > beta:=-Pi/2: #初相角 > delta[st]:=0.04:g:=9.8: #已知条件 > omega[0]:=eval(omega[0]): #已知条件 > A:=eval(A): #振幅数值 > X:=evalf(X,4); #系统振动规律 := X -.04000()cos 15.65t 答：此弹簧质量系统的振动规律x=-0.04cos(15.65t)。 2. 一个质量为m 的物体在一根抗弯刚度为EJ ﹑长为l 的简支梁上作自由振动。若此物体在梁未变形的位 置无初速度释放，求系统自由振动的频率。
振动与冲击 第!"卷第#期$%&’()*%+,-.’)/-%()(012%34,567!"(57#!88 ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! #非对称转子9轴承9基础系统的非线性振动" 沈松:郑兆昌!应怀樵" （:7北京大学力学与工程科学系，北京:88;<:；!7清华大学工程力学系，北京:888;#； "7东方振动和噪声技术研究所，北京:888;=） 摘要对柔性轴两端支承在滑动轴承上的转子，考虑非对称圆盘的陀螺力矩和弹性基础的振动，使用圆短轴承的非稳态非线性油膜力模型，建立了:8自由度的转子9轴承9基础系统运动方程，并通过数值方法计算系统稳态响应，分析了系统的非线性振动形式以及弹性基础的振幅调制对转子振动的影响。 关键词：转子系统，非线性振动，分叉，基础 中图分类号：/2:""7"，%"!!文献标识码：) 8引言 在工程旋转机械中，研究转子系统稳定性的一个重要方面就是由滑动轴承非线性油膜力的作用而产生的各种非线性振动，目前已有大量文献对此进行了多方面的研究，文［:］研究了柔性轴支承的对称转子非线性特性，文［!］使用了非稳态油膜模型描述滑动轴承的非线性油膜力，文［"］研究了非稳态油膜力下柔性轴支承的非对称陀螺转子模型，文［#］则建立了包括基础的简化的"自由度转子系统。 虽然转子系统的非线性振动常常由于滑动轴承的油膜力引起，但近年来许多理论和试验表明［=］，为更好地反映转子系统动力特性，应当考虑基础的影响。基础部分的振动将与转子9轴承部分的振动相互影响，根据文［"］的结果，转子9轴承部分的振动除旋转频率成分外，当出现油膜涡动时还会有半频或大约半频的成分，该半频可能同基础的固有频率比较接近，因此转子9轴承9基础系统中除旋转频率和半频外，不仅可能出现一阶临界转速频率，还可能出现基础的固有频率，这两种由于共振出现的频率都会对系统的稳定性造成不良影响。 为此本文在柔性轴非对称转子系统的基础上，又考虑弹性基础在垂直方向上的振动对整个转子系统的作用，使用文［!］的非稳态油膜力模型，建立了:8个自由度的非对称转子9非稳态油膜轴承9基础系统运动方程，并通过(>?@ABC9!积分和(>?D5E9’AFGH I5E法相结合的数值方法，计算转子在不同转速参数的瞬态响应，反映了弹性基础的共振形式。 :转子9轴承9基础系统模型 通常建立的转子轴承系统，两端的轴承座是不运动的。现在假设轴承座是固定在一个大质量的刚体基础上，基础与地面为弹性连接，个有一定的位移和转动，形成一个转子9轴承9基础系统。由于工程实际中基础位移在水平方向远小于垂直方向，因此本文仅考虑基础垂直方向的振动。 图:表示的是转子9轴承9基础系统在%JK（垂直面）和%LK（水平面）平面上的投影，).为柔性轴， 图:转子9轴承9基础系统力学模型示意 圆盘位于轴的%点，由于%点不处于).的中点，而具有陀螺力矩作用。30为基础，轴与基础通过在)、.两点的滑动轴承油膜力相互作用，基础在垂直方向J 上考虑位移和转动，将其视作平面内的刚体运动，假设具有位移和转角，在水平方向L上的位移和转动一般较J方向小得多而忽略。这样的转子9轴承9基础系统就成为一个:8自由度系统。 "国家重点基础研究项目（(57M:NN;8!8":O）和国家自然科学基金项目（(57:NN
1-2求周期性三角波的均值和均方根值。周期性三角波的数学表达式为 202 ()202A T A t t T x t A T A t t T ?+- <
1-3求双边指数函数的傅里叶变换，双边指数函数的波形如下图所示，其数学表达式为： 0()(0)0at at e t x t a e t -?-∞<?<<∞ ?? 解： ()()()()()()() 000000 2 2 221d 211d d 2211d d 221122*********j t at j t at j t a j t a j t a j t a j t X x t e t e e t e e t e t e t e e a j a j a j a j a a a a ωωωωωωωωπ πππππωπωπωπωπωπω∞--∞∞----∞∞--+-∞--+∞-∞==?+?=+=?-? -+=?+? -+=?+= +????? 1-6设()x t 与()y t 为互不相关的两信号，且()()()f t x t y t =+，()x t 、()y t 的自相关函数分别为()x R τ和()y R τ，求证()()()f x y R R R τττ=+。 证 ：
基于有限元法的转子轴承系统非线性特性研究 摘要针对典型的转子轴承系统构造了一个复杂多因素并且能够比较真实地反映实际系统的非线性系统模型。采用有限元方法将其离散化分为圆盘、轴段和轴承座等单元，并对各单元作了详细的动力分析，当考虑油膜力耦合作用时，广义力的求解引用了瑞利耗散函数，推出了油膜粘性阻尼力的非线性因素，再由拉格朗日方程得出系统的运动微分方程。最后 关键词：陀螺力矩油膜力转子轴承系统有限元 Finite element method based on nonlinear characteristics of rotor bearing Abstract A typical rotor-bearing system for a complex multi-factor structure and the ability to truly reflect the actual system of nonlinear system model. Finite element method to the disc is divided into discrete, such as shafts and bearing units, each unit made a detailed and dynamic analysis, when considering the coupling of oil film force, the generalized Rayleigh power dissipation of the solution quoted function, introduced the film's nonlinear viscous damping factor, then the Lagrange equations derived differential equations of motion. Finally, Key words: oil film force gyroscopic element rotor-bearing system 1 引言 转子系统在机械、动力、航空航天等领域有着广泛的应用，是机器设备的重要组成部分，随着旋转机械向高速、大功率的方向发展，在旋转机械中常常会出现非线性动力学现象(例如:跳跃、分岔和混沌等)，其对设备的运行构成了严重的威胁。因此转子动力系统的稳定性成为人们日益关注的问题。 轴承一转子系统是一个复杂的非线性动力系统。文献[1]研究了非线性轴承-转子系统运用时间有限元法对一个径向游隙的轴承模型与挠性轴的有限元模型求解出了系统的不平衡响应。文献[2]就600MW汽轮机组转子-轴承系统，建立了系统的运动方程和转子模型，采用有限元分析软件ANSYS 进行模态分析，计算汽轮机转子轴承系统的固有频率和临界转速，分析了转子的特性。文献[7,8]研究了转子动力学中轴系弯扭耦合的一些非线性动力特性。本文采用有限元法将转子轴承系统划分了3大单元，综合考虑了系统中存在的油膜力、陀螺力、不平衡力等严重的非线性激励源，建立了比较复杂的数学模型。最后采用数值分析法求解系统的运动微分方程，并给出了仿真实验。 2 转子轴承系统动力学模型 一个典型的转子-轴承系统通常可以沿轴线把转子系统划分为圆盘、轴段和轴承座等单元[3]。各单元间彼此在结点处连结。这些结点通常是选在圆盘中心，轴颈中心以及轴线的某些位置上，并按顺序编号（如图1）。 图1转子轴承系统 以轴承座中心线为s轴，建立固定坐标系oxys。转子轴的任一横截面位置可由如下两个位移向量表示，其中x、y为轴心坐 标， x y θθ 、为截面的偏转角，以及自转角?表示。 2.1 圆盘 设圆盘轴心与重心重合，圆盘的广义坐标是其轴心结点的位移向量， {} 1 ,T d y u xθ ?? =??和{}[] 2 ,T d x u yθ =- 。 oξηζ '以轴心结点为原点，固结在圆盘上的动坐标系（如图2）
第三章 作业题 1、在一维双原子晶格振动的情况下，证明在布里渊区边界a q 2π ±=处，声学支格波中所有 轻原子m 静止，而光学支格波中所有重原子M 静止。画出这时原子振动的图像。
2、.具有简单立方布喇菲格子的晶体，原子间距为2×10-10m ，由于非线性相互作用，一个沿[100]方向传播，波矢大小为10 103.1?=q m -1的声子同另一个波矢大小相等当沿[110]方向传播的声子相互作用，合成为第3个声子，试求合成后的声子波矢。 3、试求质量为m ，原子间距为2/a ，力常数交错为1β，2β的一维原子链振动的色散关系。当1215ββ=时，求在0=q 和a q π =处的)(q ω，并粗略画出色散关系。
4 对NaCl晶体，测知其密度ρ=2.18g/cm3,正负离子的平衡距离α=2.81×10-10m,格波光学支的最高频率为3.6×1013(rad/s),试以一维双原子晶链模型计算：（1）NaCl的恢复力常数β；（2）长声学波的波速；（3）NaCl的弹性模量。已知Na和Cl的原子量分别为23和35.5,每摩尔的原子数为6.024×1023，且由弹性波理论得到波速υ=（弹性模量/介质密度）1/2=[E/ ρ]1/2.（第二问中声学波公式有误，答案正确）
5 已知NaCl 晶体平均每对离子的相互作用能为 n r r q T U //)(2βα+-= 其中马德隆常数75.1=α，9=n ，平衡离子间距m 1082.2100-?=r 。 （1）试求离子在平衡位置附近的振动频率。 （2）计算与该频率相当的电磁波的滤长，并与NaCl 红外吸收频率的测量值61μm 进行比较。
非线性振动的研究包括理论分析方法和数值分析方法。其中理论分析方法有是沿着两个方向发展，第一是定性方法，第二是定量方法，也称为解析法。 定性方法是对方程解的存在性、唯一性、周期性和稳定性等的研究；定量方法是对方程解的具体表达形式、数量大小和解的数目等的研究。数值方法目前已广泛用于计算非线性振动系统，是一种求解非线性方程的有效方法。 本文在查询相关文献的基础上，对非线性振动理论的分析方法最新研究成果做简要概括和分析比较。 1、平均法 平均法是求解非线性振动最常见和最实用的近似方法之一。其基本思想是设待解微分方程与派生方程具有相同形式的解，只是振幅和相位随时间缓慢变化。将振幅和相位的导数用一个周期的平均值替代，得到平均化方程，求解平均化方程，得到振幅和相位的表达式，从而求解出原方程的近似解析解。 1.1利用平均法分析多自由度非线性振动 平均法主要是用在单自由度非线性振动的分析中，是一种求近似解的方法，虽然精度较低，但可避免繁琐的中间运算，具有便于应用的突出优点。将其推广的到多自由度系统，导出了平均化方程，由此能够得到多自由度非线性振动的幅频特性。 1.2用改进平均法求解自由衰减振动 用平均法求解自由衰减振动方程时，无论是线性阻尼还是平方阻尼，
在阻尼常量很小的情况下，平均法解均有较高的精度。但随阻尼常量的增加，阻尼对振动周期的影响已不能忽略，此时平均法解的结果与实际振动情况有了明显的偏离，需要改进。改进平均法是将待解微分方程的圆频率与派生方程圆频率的差异函数表示为阻尼系数的多项式。 2、FFT多谐波平衡法分析非线性系统 非线性动力系统的响应可能含有几个主导频率，且有可能与激振频率不成倍数关系。现有的单一谐波法和多谐波法仅限于系统响应主导频率为激振频率的非线性系统，因此在某些情况下使用单一谐波法或多谐波法研究非线性系统动力学特性是不可靠的，而基于快速傅立叶变换（FFT）和主导频率的 FFT 多谐波平衡法能够依据所有的主导频率构筑多谐波平衡方程，因此其解析解精确度高，并能广泛适用于单倍周期、多倍周期、与初始条件有关的多解性及拟周期响应等典型的非线性特征响应。 3、等效小参数法求解强非线性系统 等效小参量法是将谐波平衡法和扰动法相结合用于求高阶非线性系 统近似解的一种比较有效的方法，这种方法不仅适用于弱非线性系统，而且适用于强非线性系统，其近似解能较好地反映系统特性。在求解弱非线性系统时，扰动法和等效小参量法均具有较高的精确度，但对于强非线性系统，等效小参量法表现出较明显的优势。 参考文献： 【1】王海期.非线性振动.高等教育出版社.1992
1.滚道声 滚道声是由于轴承旋转时滚动体在滚道中滚动而激发出一种平稳且连续性的噪声，只有当其声压级或声调极大时才引起人们注意。其实滚道声所激发的声能是有限的，如在正常情况下，优质的6203轴承滚道声为25～27dB。这种噪声以承受径向载荷的单列深沟球轴承为最典型，它有以下特点： a.噪声、振动具有随机性； b.振动频率在1kHz以上； c.不论转速如何变化，噪声主频率几乎不变而声压级则随转速增加而提高； d.当径向游隙增大时，声压级急剧增加； e.轴承座刚性增大，总声压级越低，即使转速升高，其总声压级也增加不大； f.润滑剂粘度越高，声压级越低，但对于脂润滑，其粘度、皂纤维的形状大小均能影响噪声值。滚道声产生源在于受到载荷后的套圈固有振动所致。由于套圈和滚动体的弹性接触构成非线性振动系统。当润滑或加工精度不高时就会激发与此弹性特征有关的固有振动，传递到空气中则变为噪声。众所周知，即使是采用了当代最高超的制造技术加工轴承零件，其工作表面总会存在程度不一的微小几何误差，从而使滚道与滚动体间产生微小波动激发振动系统固有振动。尽管它是不可避免的，然而可采取高精度加工零件工作表面，正确选用轴承及精确使用轴承使之降噪减振。 2.落体滚动声 该噪声一般情况下，大都出现在低转速下且承受径向载荷的大型轴承。当轴承在径向载荷下运转，轴承内载荷区与非载荷区，若轴承具有一定径向游隙时，非载荷区的滚动体与内滚道不接触，但因离心力的作用则可能与外圈接触，为此，在低转速下，当离心力小于滚动体自重时，滚动体会落下并与内滚道或保持架碰撞且激发轴承的固有振动和噪声，并且有以下特点： a.脂润滑时易产生，油润滑时不易产生。当用劣质润滑脂时更易产生。 b.冬季常常发生。 c.对于只作用径向载荷且径向游隙较大时也易产生。 d.在某特定范围内也会产生且不同尺寸的轴承其速度范围也不同。 e.可能是连续声亦可能是断续声。
转子系统非线性振动研究进展 3 陈安华 刘德顺 朱萍玉 (湘潭矿业学院振动、冲击与诊断研究所,湖南湘潭,411201)摘 要 由于机械运转速度的不断提高和新型材料、新型结构的推广应用,旋转机械的非线性动力学行 为日显突出和重要1基于线性系统原理的转子动力学理论与方法难以对实践中出现的丰富的非线性动 力学现象作出准确的描述、阐释和预测1近年来,随着非线性科学研究的深入和渗透,转子系统非线性 振动已成为应用力学和机械工程领域的研究热点之一1从有利于建立旋转机械振动状态集与故障集之 间的映射关系出发,综述了近年来转子系统非线性振动研究的主要进展,总结了转子系统中出现的典型 非线性动力现象及其产生机理,目的在于丰富旋转机械故障诊断知识库1参551 关键词 转子 非线性振动 故障诊断 稳定性 分岔 分类号 TH17,TH113 第一作者简介 陈安华 男 35岁 博士 副教授 机械动力学与机械故障诊断 0 引言 自从Jeffcott H H (1919)以来,基于线性系统理论的转子动力学获得了很大的发展,涉及的主要问题(不平衡响应计算、临界转速确定、运转稳定性、参数辨识以及转子平衡)至今在理论上已较为成熟,在实践中也获得了成功的应用,并且拓展了新的应用领域,如机械故障诊断技术等1随着机械运转速度的日益提高和新型材料、新型结构的推广应用,旋转机械中出现的复杂的非线性动力学行为日益引起关注1导致转子系统非线性的主要因素有:轴和支承材料本身的非线性应力应变关系[1,2],滚动轴承刚度[3,4,5,6,7],滑动轴承和挤压油膜阻尼器的油膜力[8,9,10,11],间隙和碰摩[12,13,14,15,16,17],裂纹[18,19,20],参数(质量或刚度)时变[21,22,23]等1由于这些因素不可避免地存在,准确描述转子系统真实动力学行为的微分方程是非线性的1在不少实际问题的处理中,合理的线性化自然能显著地减少分析与计算工作量,降低理论上和技术上的难度,且所得结果与对真实系统的观测基本相符,因而基于线性系统理论的转子动力学得到了充分的发展和广泛的应用,并显示出强大的生命力1然而,当真实转子系统的非线性较为显著时,如果仍采用近似的线性化模型和线性系统的分析方法,将不可避免地“过滤”掉许多系统固有的非线性动力学现象,如稳态响应对初始条件的依赖性、解的多样性与稳定性、振动状态突变、超谐波次谐波共振、混沌振动以及系统长期性态(吸引子)对参数的依赖性等,其主观分析结果与真实系统的客观动力学行为之间必然存在不可忽视的定性和定量上的差异1在大型旋转机械状态监测与故障诊断实践中,人们时常面临转子动力学传统理论难以作出准确阐释的异常振动现象,这就说明,开展转子系统非线性振动的研究,不仅是转子动力学学科自身不断深化的必然结果,更是源于工业实践的迫切需求1 收稿日期:1999-02-24 3国家自然科学基金资助项目(编号:59875073)本文责任编辑:王窈惠 第14卷第2期 1999年 6月湘潭矿业学院学报J.XIAN GTAN MIN.INST.Vol.14No.2J un. 1999
振动测试技术期末总结 学号： 班级：建筑与土木工程（1504班） 姓名：杨允宁 2016年4月27日
目录 1 振动测试概述 (1) 1.1 振动的分类： (1) 1.1.1 按自由度分类： (1) 1.1.2 按激励类型分类： (1) 1.1.3 振动规律分类： (1) 1.1.4 按振动方程分类： (1) 1.2 振动基本参量表示方法： (2) 1.2.1 振幅(u)： (2) 1.2.2 周期(T)/频率(f)： (2) 1.2.3 相位( )： (2) 1.2.4 临界阻尼（C cr） (2) 1.2.5 结构的阻尼系数（c）： (2) 1.2.6 对数衰减率（δ）： (3) 1.3 振动测试仪器分类及配套使用: (3) 1.3.1 振动测试仪器分类 (3) 1.3.2 振动测试仪器配套使用: (4) 1.4 窗函数的分类及用途 (5) 1.4.1 矩形窗（Rectangular窗）： (5) 1.4.2 三角窗（Bartlett或Fejer窗）： (5) 1.4.3 汉宁窗（Hanning窗）： (5) 1.4.4 海明窗（Hamming窗） (6) 1.4.5 高斯窗（Gauss窗） (6) 1.5 信号采集及分析过程中出现的问题及解决方法 (7) 1.5.1 信号采集和分析过程中出现的问题 (7) 1.5.2 解决方法 (7) 2 惯性式速度型与加速度型传感器 (8) 2.1 惯性式传感器的分类： (8) 2.2 常用加速度计传感器的工作原理及力学模型： (8) 2.2.1 电动式（磁电式）传感器： (8) 2.2.2 压电式传感器： (9) 2.3 非惯性传感器： (11) 2.3.1 电涡流式传感器: (11) 2.3.2 参量型传感器: (11) 3 振动特性参数的常用量测方法 (11) 3.1 简谐振动频率的量测： (12) 3.1.1 李萨（Lissajous）如图形比较法： (12) 3.1.2 录波比较法： (12) 3.1.3 直接测频法： (12) 3.2 机械系统固有频率的测量 (13) 3.2.1 自由振动法： (13) 3.2.2 强迫振动法： (13) 3.3 简谐振幅值测量 (13)
诚信考试沉着应考杜绝违纪 浙江大学2013–2014学年夏学期 《机械振动基础》课程期末考试试卷A卷 开课学院：化工系，考试形式：闭卷，允许带 1张A4纸的笔记入场 考试时间： 2014 年 7 月 2 日, 下午14:00~16:00 ，所需时间： 120 分钟 考生姓名： __学号：专业：过程装备与控制工程 . 注意事项： (1)、考试形式为闭卷，允许带1页A4纸大小的参考资料、计算器和尺子。不允许带 PPT课件打印稿、作业本、笔记本草稿纸等纸质材料，不允许带计算机、IPad等智能电子设备。 (2)、第一、二大题答题内容写在试卷上，第三大题答题内容写在试卷所附答题纸上。试题（三个大题，共100分）： 一、判断题(每题2分，共18分) 1.1 杆的纵向振动、弦的横向振动和轴的扭转振动虽然在运动表现形式上并不相同， 但它们的运动微分方程是同类的，都属于一维波动方程。() 1.2 稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（m, k, c）和激振力的频率 及力幅，而与系统进入运动的方式（即初始条件）无关. () 1.3 在受到激励开始振动的初始阶段，振动系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠 加。即使在零初始条件下，也有自由振动与受迫振动相伴发生。() 1.4 为减轻钢丝绳突然被卡住时引起的动张力，应适当减小升降系统的刚度。() 1.5 汽轮机等高速旋转机械在开、停机过程中经过某一转速附近时，支撑系统会发生 剧烈振动，此为转子系统的临界转速，即转子横向振动的固有频率。() 1.6 谐波分析法是将非周期激励通过傅立叶变换表示成了一系列频率为基频整数倍的 简谐激励的叠加，从而完成系统响应分析。 () 1.7阻尼自由振动的周期小于无阻尼自由振动的周期。 () 1.8叠加原理可用于线性和非线性振动系统。 () 1.9若将激振力 F(t) 看作一系列单元脉冲力的叠加，则线性振动系统对任意激振力的 响应等于激振力作用时间内各个单元脉冲响应的总和。 ()
华中科技大学研究生课程考试试卷 课程名称： 非线性振动与控制 课程类别 □公共课 专业课 考核形式 开卷□闭卷 学生类别 考试日期 2011. 12. 21 学生所在院系 学号 姓名 任课教师 题1：（20分） Consider the motion of a particle of mass m sliding freely on a wire described by parabola 2z px = which rotates about the z -axis as shown in Figure 1. We assume that the wire is weightless and that its angular velocity Ωis changing with the position of the mass along the wire. There is no outside influence acting on the wire. (a) Show that the equations of motion are 20x x Ω+Ω= and 2222 2(14)4(2)0p x x p x x p g x +++-Ω= 2x Ω=where a constant of integration (essentially this is a statement of conservation of angular momentum) and that the governing equation for x can be written in the form 22224(14)4(2)0H p x x p x x pg x x +++- = (c) Discuss the motion of the mass along parabola. Show that the motion is always bounded in this system. (d) For 1, 32.2, 1000p g h ===and 12H =, plot the trajectories in the phase plane. 【注：这里g 为重力加速度，32.2g =这一值的单位为2 ft /s 。】 题2：（20分） Determine the singular points and their types for the system 2252 x x y y xy =+-=- Figure 1 Particle on a rotating parabola
轴承几种噪声分析 1.滚道声 滚道声是由于轴承旋转时滚动体在滚道中滚动而激发出一种平稳且连续性的噪声，只有当其声压级或声调极大时才引起人们注意。其实滚道声所激发的声能是有限的，如在正常情况下，优质的6203轴承滚道为25～27dB。这种噪声以承受径向载荷的单列深沟球轴承为最典型，它有以下特点： a.噪声、振动具有随机性； b.振动频率在1kHz以上； c.不论转速如何变化，噪声主频率几乎不变而声压级则随转速增加而提高； d.当径向游隙增大时，声压级急剧增加； e.轴承座刚性增大，总声压级越低，即使转速升高，其总声压级也增加不大； f.润滑剂粘度越高，声压级越低，但对于脂润滑，其粘度、皂纤维的形状大小均能影响噪声值。滚道声产生源在于受到载荷后的套圈固有振动所致。由于套圈和滚动体的弹性接触构成非线性振动系统。 当润滑或加工精度不高时就会激发与此弹性特征有关的固有振动，传递到空气中则变为噪声。 众所周知，即使是采用了当代最高超的制造技术加工轴承零件，其工作表面总会存在程度不一的微小几何误差，从而使滚道与滚动体间产生微小波动激发振动系统固有振动。尽管它是不可避免的，然而可采取高精度加工零件工作表面，正确选用轴承及精确使用轴承使之降噪减振。 2.落体滚动声 该噪声一般情况下，大都出现在低转速下且承受径向载荷的大型轴承。当轴承在径向载荷下运转，轴承内载荷区与非载荷区，若轴承具有一定径向游隙时，非载荷区的滚动体与内滚道不接触，但因离心力的作用则可能与外圈接触，为此，在低转速下，当离心力小于滚动体自重时，滚动体会落下并与内滚道或保持架碰撞且激发轴承的固有振动和噪声，并且有以下特点： a.脂润滑时易产生，油润滑时不易产生。当用劣质润滑脂时更易产生。 b.冬季常常发生。 c.对于只作用径向载荷且径向游隙较大时也易产生。 d.在某特定范围内也会产生且不同尺寸的轴承其速度范围也不同。 e.可能是连续声亦可能是断续声。 f.该强迫振动常激发外圈的二阶、三阶弯曲固有振动，从而发出该噪声。通过采用预载荷方法可有效降低该噪声，减少装机后轴承工作径向游隙，选用良好润滑剂亦能有所改善，有些国外企业采用轻型滚动体，如陶瓷滚子或空心滚子等技术措施来防止这种噪声的产生。 3.尖鸣声 它是金属间滑动摩擦产生相当剧烈的尖叫声，尽管此时轴承温升不高，对轴承寿命和润滑脂寿命也无多大影响，也不影响旋转，但不悦耳声令人不安，尤其是承受径向载荷的大型短圆柱滚子轴承常有此噪声，其特点为： a.轴承径向游隙大时易产生。 b.通常出现在脂润滑中，油润滑则较罕见。 c.随着轴承尺寸增大而减小，且常在某转速范围内出现。 d.冬季时常出现。 e.它的出现是无规则的，和不可预知的，并且与填脂量及性能、安装运转条件有关。这种噪声可 采用减少轴承径向游隙和采用浅度外圈滚道结构来防止。 4.保持架声 在轴承旋转过程中保持架的自由振动以及它与滚动体或套圈相撞击就会发出此噪声。它在各类轴承中都可能出现，但其声压级不太高而且是低频率的。其特点是： a.冲压保持架及塑料保持架均可产生。 b.不论是稀油还是脂润滑均会出现。
一维非线性振动的数值求解 高雁军1吴少平2 (1．湖北民族学院物理系，恩施，445000；2．华中师范大学物理系，武汉，430079) 摘要利用四阶龙格－库塔方法数值求解了一维阻尼振动方程，所得到的结果与用解析方法得到的结果完全一致，验证了四阶龙格－库塔方法的可靠性和精度。在此基础上，数值求解了在物理中有广泛应用的几个非线性方程，说明了非线性效应对于振动的影响。 关键词振动；非线性；龙格－库塔方法 振动是一种很常见的物理现象。在线性振动理论中，研究的是系统在平衡位置附近的微小振动，它的特点之一是描述物质运动状态的物理量在某一数值附近作周期性的变化。振动的例子有很多，比如，钟摆的摆动，活塞的往复运动，固体中原子的振动，交流电路中的电流在某一电流值附近作周期性的变化等，所以振动问题具有很重要、很广泛的应用。在普通物理中讲的振动都是线性的，对于这种振动，从物理上说，非线性效应还不明显，从数学上说，振动方程中
的非线性项被忽略掉了，因而振动方程求解起来也比较容易。但严格地说，物质世界没有真正的线性振动，它只是非线性振动的近似。如果某一物理量对平衡位置有较大偏离，在处理这类振动问题时，就必须考虑非线性项的作用，从而会产生新的物理现象，因此非线性振动有重要的理论和实际意义。不过，除了少数可以精确求解的非线性方程外，对于非线性问题，在数学上要得到解析解，也只能采取一些近似的、特别的方法(如摄动法、平均法、多尺度法、KMB法等)，还缺乏一种普遍的、行之有效的解析方法。随着计算机技术的飞速发展和人们对数值计算方法的深入研究，数值方法作为一种重要的手段日益受到人们的重视，数值计算也被应用到非线性振动的研究中来。 对于常微分方程的初值问题，数值方法的基本思想就是离散化，即将求解区域分成各离散点，然后直接求出各离散点上的、满足精度要求的未知函数的近似值。求解常微分方程的初值问题的数值方法有：欧拉方法、龙格－库塔法、阿达姆斯法等，其中四阶龙格－库塔法具有计算稳定、精度高的特点。本文中，采用四阶龙格－库塔方法求解了一维阻尼振动方程和在物理中有广泛应用的几个非线性方程，说明了非线性效应对于振动的影响。 1．四阶龙格－库塔公式
机械系统非线性振动及其控制作业 (仅供参考) 第一章 单自由度线性振动 2. 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如下图所示。试列出其振动微分方程，并求出其固有频率。 解：该系统可视为单自由度无阻尼系统，一起静平衡点作为振动原点，列出其振动微分方 程如下： 0m x k x += 因为其固有角频率为 n ω= 所以其固有频率为 2n f πω= 4.如下图所示，有一等截面的悬臂梁，其质量不计。在梁的自由端有两个集中质量m 1与m 2，由电磁铁吸住。今在梁静止时打开电磁铁开关，使m 2突然释放。试求m 1的振幅。 解：根据题意，题给悬臂梁系统可等效为一无阻尼单自由度弹簧系统。 根据材料力学的知，悬臂梁右端点初始静挠度为 ()31213m m gl EI δ?? += ??? 此时梁右端点的刚度，即弹簧的等效刚度为 ()()112133/EI k m m g l δ=+= 当2m 突然被释放后，1m 和梁组成新的弹簧系统，弹簧的静平衡长度为
3123m gl EI δ?? = ??? 新系统的弹簧的等效刚度为 ()21233/EI k m g l δ== 1m 的振幅为 3/3A EI == 6.某洗衣机机器部分重15kN ，用四个弹簧对称支承，每个弹簧的刚度为k=820N/cm 。 (1)试计算此系统的临界阻尼系数c c ； (2)这个系统装有四个阻尼缓冲器，每个阻尼系数c=16.8N·s/cm 。试问此系统自由振动时经过多少时间后，振幅衰减到10%？ (3)衰减振动的周期是多少？ 解：（1）系统的固有角频率为 14.79/n rad s ω=== 临界阻尼系数为 22229.57./c n c mn m N s cm ω====== （2）每个弹簧系统的衰减系数 /2(/4)2/ 2.24n c m c m === 系统在任一时刻的振幅与初始时刻的振幅比为 00 nt nt A e e A η--== 当系统的振幅衰减到10% 时，自由振动经历的时间 1111ln ln 1.032.240.1 t s n η= == （3）有阻尼系统的固有角频率为 14.62/r rad s ω=== 有阻尼系统的周期为 220.4314.62 r r T s π π ω= = =
一、运动方程的建立： 1. 图1所示系统，不考虑弹簧、梁的质量和转动惯量，给出系统运动方程。 题注：（1）并联弹簧系统∑=k K ，串联弹簧系 统[]11--∑=k K （2）常见杆系弹簧刚度计算方法： 2．对于问题1， m l 524.1=，251087.2Nm EI ?=，kg m 2.908=，m N k /10504.35?=，若小球在t=0时刻初始位移为0.0127m ，速度为0.254m/s ，求t=1s 时的速度和位移。（计算 中不考虑阻尼）。答案：m x 0157.0=, s m x /0813.0= 3．假定图1所示的系统受到一个垂直力作用，用杜哈梅积分计算系统在下面两种荷载情况下的动力位移响应（系统在初始t=0时刻静止，忽略阻尼）：a.一个大小为4.45kN 的力在t=0时刻突然施加到小球上，而在t=0.2s 时突然把该荷载移掉；b.一个大小为4.45kN 的力在t=0时刻突然施加在小球上，然后线性递减，在t=0.5s 时，荷栽变为0。两种情况见图2。 4．用Newmark 算法计算问题3中各个时刻的位移响应（计算时间长度5s ）要求绘图。 5．若阻尼比为15.0=ξ，重新计算问题2中的速度和位移。 6.根据实验观察发现，某一结构的自由振动，经历了10个循环以后，结构的位移振幅从1变花为0.6，那么该结构的临界阻尼比是多少？答案：0.815% 7.某一结构其振动频率s rad /3=ω，阻尼比为01.0=ξ，现考虑结构上的一个点，若已知结构在85N 的静力作用下，该点的位移为1mm ，该点处应力为MPa 20,问：受到的外力为t t F sin 850)(=N 时，该点的最大动位移和最大应力是多大？（假定结构处于线弹性状态，4.45kN P(t) 0.2s t 4.45kN P(t) 图2 x 图1
收稿日期:20030710 基金项目:航空科学基金项目(02C53019)资助 作者简介:刘晓宁(1976-),男(汉),山东, 博士研究生 刘晓宁 文章编号:100328728(2004)1021191203 三自由度齿轮传动系统的非线性振动分析 刘晓宁,王三民,沈允文 (西北工业大学,西安 710072) 摘 要:在建立三自由度齿轮间隙非线性动力学模型的基础上,利用增量谐波平衡法获得了受到参数激励和外部谐波激励的三自由度齿轮传动系统模型的周期响应,包括稳定和不稳定的周期轨道,并利用Floquet 理论研究其稳定性、分岔类型,对系统的参数变化进行分析,研究了系统通向混沌的倍周期分岔道路和拟周期分岔道路,绘制了系统周期解分岔图。关 键 词:齿轮转子轴承传动系统;增量谐波平衡法;Floquet 理论中图分类号:TH13 文献标识码:A N onlinear Vibrations of 32DOF G eared R otor 2B earing System LI U X iao 2ning ,W ANG San 2min ,SHE N Y un 2wen (N orthwestern P olytechnical University ,X i ′an 710072) Abstract :The incremental harm onic balance (IH B )method is used to obtain periodic m otions of a 32DOF non 2linear m odel of a geared rotor system subjected to parametric and external harm onic excitations.The stability of the periodic m otions is investigated by the Floquet theory ,the bifurcation behavior is traced.Parametric studies are performed to understand the effect of system parameters such as excitation frequency on the nonlinear dy 2namic behaviors. K ey w ords :G eared rotor bearing system ;Incremental harm onic balance (IH B )method ;Floquet theory 齿轮传动是应用最为广泛的一种机械传动形式。在齿轮传动系统中,由于齿侧间隙、支承间隙、时变刚度等因素的存在,导致系统产生强非线性振动,这种振动往往表现为系统的分叉、混沌振动现象,会对机械传动系统的工作性能和可靠性产生很大影响。因此,齿轮传动非线性系统的非线性振动研究引起了广泛的关注[2～5]。 从齿轮传动系统间隙非线性动力学研究来说,大部分的研究都是借助数值方法探讨系统分叉、混沌等现象的存在。增量谐波平衡法(IH B )作为求解非线性微分方程周期解的解析方法,具有精度高,适用于求解周期激励问题的特点,尤为重要的是能够求解出混沌吸引子内部的不稳定周期轨道,这也恰恰是实现混沌控制的目标稳定轨道。 本文综合利用增量谐波平衡法和数值方法研究三自由度齿轮传动系统的动态特性,考察系统参数对动态性能的影响,并结合应用Floquet 理论探讨了通向混沌的倍周期和拟周期分叉道路。 1 三自由度齿轮转子轴承系统的间隙非线性模型及方程 图1 三自由度非线性齿轮传动系统模型 如图1所示的三自由度非线性齿轮传动系统模型,齿轮部分包括齿轮惯量I g 1和I g 2,齿轮质量m g 1和m g 2,基圆直径d g 1和d g 2。齿轮啮合由非线性位移函数f h 和时变刚度 k h (t - ),线性粘性阻尼c h 描述。轴承和支撑轴的模型则由 等效的阻尼元件和非线性刚度元件表述。阻尼元件具有线 第23卷 第10期 机械科学与技术 V ol.23 N o.10 2004年 10月 MECH ANIC A L SCIE NCE AND TECH NO LOGY October 2004
《机电系统及其控制过程中的非线性振 动》课程报告 姓名： 学号： 指导教师：姚红良 时间：2016年7 月
对非线性振动课程的理解和认识 (1) 0前言 (1) 1含立方项非线性方程的椭圆函数解 (1) 2具体算例 (2) 2.1线性谐振子 (3) 2.2立方非线性振动 (3) 2.3杜芬系统的自由振动 (3) 3解析解与数值解结果的比较 (4) 3.1程序设计 (4) 3.2数值实验结果 (5) 参考文献: (5)
对非线性振动课程的理解和认识 0前言 立方项的非线性振动是物理学及工程应用中出现较多的一类非线性振动。立方项系数远小于线性项系数的杜芬方程,作为弱非线性的典型代表,得到了非常广泛的应用。近年来, 有关含?立方项的强作线性实际振动系统的研究越來越多，如双弹簧振子的横向振动、新材料中的纳米机械共振子的振动及悬索的振动等。描述这些振动系统的微分方程中，线牲项常常小于立方项，甚至仅存在立方项。 为了解决强非线性振动在工程设计中的实际应用，出现了诸如能量法、广义谐波函数平均袪、范式理论方法、同伦摄动法及迭代摄动法等多种强非线性振动系统周期解的近似求解方法。这些方法原则卜.都町以用来求解强立方非线性振动方程周期解，但只能得到近似结果。本文将依据弹性力作用下系统机械能守恒的原理，求解出一类含有线性项和立方项的非线性微分方程的楕确解析解。 1含立方项非线性方程的椭圆函数解 常见的含立方项非线性口由振动微分方程町表示为： 策+比必+=0, 式中，kl^ 0, k2N 0是由振动系统性质决定的非负常数。为了方便，设初始条件为: x(0) - A \x (0) = ()□ 可化为: xx + k}xx + k2x兀二(), 上式表明：方程表示的系统在振动过程中总机械能守恒。设总机械能为E,则在式中初始条件h E =斗仏/1' +十尼屮，从而； ■y-.v + ~k}x ++尼.丫’ = ~kiA' ++他/。 匕式?表明：系统的相图为闭合凸曲线，则式(1)的解町设为： x = 4cos 3o 将上式求导得: