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高中数学 解题方法介绍7 化归与转化的思想 苏教版

第7讲 化归与转化的思想在解题中的应用

一、知识整合

1.解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题(相对来说,对自己较熟悉的问题),通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。

2.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化。除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想的体现。

3.转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件,所以尽可能使转化具有等价性;在不得已的情况下,进行不等价转化,应附加限制条件,以保持等价性,或对所得结论进行必要的验证。

4.化归与转化应遵循的基本原则:

(1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。

(2)简单化原则:将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据。 (3)和谐化原则:化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。(4)直观化原则:将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。(5)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解。

二、例题分析

例1.某厂2001年生产利润逐月增加,且每月增加的利润相同,但由于厂方正在改造建设,元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等,随着投入资金的逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同,问全年总利润m 与全年总投入N 的大小关系是 ( )

A. m>N

B. m

C.m=N

D.无法确定[分析]每月的利润组成一个等差数列{a n },且公差d >0,每月的投资额组成一个等比数列{b n },且公比q >1。11a b =,且1212a b =,

比较12S 与12T 的大小。若直接求和,很难比较出其大小,但注意到等差数列的通项公式a n =a 1+(n-1)d 是关于n 的一次函数,其图象是一条直线上的一些点列。等比数列的通项公式b n =a 1q n-1是关于n 的指数函数,其图象是指数函数上的一些点列。

在同一坐标系中画出图象,直观地可以看出a i ≥b i 则12S >12T ,即m >N 。 [点评]把一个原本是求和的问题,退化到各项的逐一比较大小,而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的。在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵,通过对问题的反思、再加工后,使问题直观、形象,使解答更清新。

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例2.如果,三棱锥P —ABC 中,已知PA ⊥BC ,PA=BC=l ,PA ,BC 的公垂线ED=h .求证三棱锥P —ABC 的体积216V l h =. 分析:如视P 为顶点,△ABC 为底面,则无论是S △ABC 以及高h 都不好求.如果观察图形,换个角度看问题,创造条件去应用三棱锥体积公式,则可走出困境.

解:如图,连结EB ,EC ,由PA ⊥BC ,PA ⊥ED ,ED ∩BC=E ,可得PA ⊥面ECD .这样,截面ECD 将原三棱锥切割成两个分别以ECD 为底面,以PE 、AE 为高的小三棱锥,而它们的底面积相等,高相加等于PE+AE=PA=l ,所以

V P -ABC =V P -ECD +V A -ECD =13S △ECD ?AE+13S △ECD ?PE=13S △ECD ?PA=13?12BC ·ED ·PA=216

V l h =. 评注:辅助截面ECD 的添设使问题转化为已知问题迎刃而解. 例3.在2

5(32)x x ++的展开式中x 的系数为( ).

(A)160 (B)240 (C)360 (D)800

分析与解:本题要求25(32)x x ++展开式中x 的系数,而我们只学习过多项式乘法法则及二项展开式定理,因此,就要把对x 系数的计算用上述两种思路进行转化:

思路1:直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解,则25(32)x x ++展开式是一个关于x 的10次多项式,25

(32)x x ++ =(x 2+3x+2) (x 2+3x+2) (x 2+3x+2) (x 2+3x+2) (x 2+3x+2),它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x 并在其余四个括号中均选 择常数项2相乘得到,故为15C ·(3x)·4

4C ·24=5×3×16x=240x ,所以应选(B). 思路 2 利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算,∵x 2+3x+2=x 2+ (3x+2)=(x 2+2)+3x=(x 2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x),∴这条思路下又有四种不同的化归与转化方法.①如利用x 2+3x+2=x 2+(3x+2)转化,可以发现只有55C (3x+2)5中会有x 项,即4

5C (3x)·24=240x ,故选(B);②如利用x 2+3x+2= (x 2+2)+3x 进行转化,则只1

5C (x 2+2) 4

·3x 中含有x 一次项,即15C ·3x ·C 44·24=240x ;③如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2进行转化,就只有45C ·(x 2+3x)·24中会有x 项,即240x ;④如选择x 2+3x+2=(1+x)(2+x)进行转化,25(32)x x ++=5

(1)x +×5(2)x +展开式中的一次项x 只能由(1+x)5中的一次项乘以(2+x)5展开式中的常数项加上(2+x)5展开式中的一次项乘以(1+x)5展开式中的常数项后得到,即为15C x ·55C 25+15C ?24?x ?0

5C ?15=160x+80x=240x ,故选(B).

评注:化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知。

例4.若不等式2

43x px x p +>+-对一切04p ≤≤均成立,试求实数x 的取值范围。解:Q 243x px x p +>+- ∴2(1)430x p x x -+-+>

令()g p =2

(1)43x p x x -+-+,则要使它对04p ≤≤均有()0g p >,只要有 (0)0(4)0

g g >??>? 3x ∴>或1x <-。点评:在有几个变量的问题中,常常有一个变元处于主要地位,我们称之为主元,由于思维定势的影响,在解决这类问题时,我们总是紧紧抓住主元不放,这在很多情况下是正确的。但在某些特定条件下,此路往往不通,这时若能变更主元,转移变元在问题中的地位,就能使问题迎刃而解。本题中,若视x 为主元来处理,既繁且易出错,实行主元的转化,使问题变成关于p 的一次不等式,使问题实现了从高维向低维转化,解题简单易行。

三、总结提炼

1.熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础;丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁;培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、

法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础,重转化”是学好中学数学的金钥匙。

2.为了实施有效的化归,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论,既可以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,既可以从代数的角度去认识问题,又可以从几何的角度去解决问题。

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