高中数学 解题方法介绍7 化归与转化的思想 苏教版

高中数学解题中化归思想的运用化归是高中数学解题中经常运用的一种方法，它指的是通过某种操作，将一个复杂的问题转化为一个更为简单的问题，以便于解决。

化归思想的应用广泛，下面我们来看看在高中数学解题中，化归思想是如何运用的。

一、化式化式即将一个式子，通过某种运算，转化为另外一个式子。

在高中数学中，经常会用到多项式式子化简、换元、配方法、公式代入等方法。

1、多项式式子化简多项式式子的化简，是将多项式式子中的一个或多个同类项进行合并，以达到简化的目的。

如：将多项式2x³+5x²-3x-7与4x³-2x²+x+5相加，可以化简成为6x³+3x²-2x-2。

2、换元高中学习中，经常会碰到求导题目，这时可以通过换元，将高阶函数转化为低阶函数，以便进行求导运算。

如：设y=e^x，求y’/y。

y’/y=e^x/e^x=1又如：将x²+1=t，代入y=ln(t)中，则y’=1/(x²+1) * 2x =2x/(x²+1)3、配方法配方法是指通过某种运算，将一个含有有理式的式子转化为分子含有多项式，分母含有完全平方的式子，进而简化解题。

如：将分式1/(x-2)(x+3)进行配方法：1/(x-2)(x+3)=(A/(x-2))+(B/(x+3))，化简得：令x=2，则得到A=-1/5；令x=-3，则得到B=1/5。

4、公式代入高中数学中，很多题目都有相应的公式，可以将公式代入到试题中，从而进行解题。

如：已知一条直线经过点P（2，3），斜率为2，求该直线在y轴上的截距。

直线的一般式为：Ax+By+C=0已知斜率为2，可得到：A=2，B=-1将点P代入一般式中，则可得到C=1将A=2，B=-1，C=1代入公式中，可得到y轴截距为1。

二、化形化形是将一个复杂的问题转化为一个更加简单的问题，通过分析问题、变换思路，重构问题的形式，从而使问题更容易得到解决。

化归与转化思想在高考数学解题中的运用作者：***来源：《广东教育·高中》2021年第02期化歸与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图像、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.1.化归与转化的思想方法：解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.2.化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则;（2）简单化原则;（3）和谐化原则;（4）直观化原则;（5）正难则反原则3.化归与转化的途径：（1）从问题的反面思考;（2）局部向整体的转化;（3）未知向已知转化;（4）固定向重组的转化;（5）抽象向具体转化;（6）个别向一般的转化;（7）数向形的转化;（8）定量向定性的转化;（9）主元向辅元的转化.以下结合一些经典试题，谈谈化归与转化思想在高三解题中的运用.题型一：化归与转化思想简单化原则的体现化归与转化思想简单化原则在解题中的体现主要有：（1）将比较代数式的大小的问题，运用同构法，通过构造函数，化归为利用函数的单调性根据自变量的大小比较函数值的大小或者根据函数值的大小比较自变量的大小;（2）将概率与统计问题化归为集合间的基本关系与基本运算问题.例1. 若2a+log2a=4b+2log4b，则（）A. a>2bB. ab2 D. a【解析】由指数幂的运算性质和对数的运算性质可得，2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，又因为22b+log2b所以2a+log2a令f（x）=2x+log2x，由指数函数和对数函数性质以及函数单调性的性质可得f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（a）【评析】本题考查了指数幂和对数的运算，函数的单调性的性质，构造函数后，把问题化归与转化为根据函数单调性，由函数值的大小比较自变量的大小，体现了化归与转化思想的简单化原则.例2. 设命题p ∶ 4x-3≤1，命题 q∶ x2-（2a+1）x+a（a+1）≤ 0. 若？劭 p是？劭 q的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________.【解析】由4x-3≤1，得■≤x≤1，记A={x│■≤x≤1};由 x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0，可得a≤x≤a+1，记B={x│a≤x≤a+1}.因为？劭 p是？劭 q的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，所以A？芴B，所以a≤■，a+1≥1，解得0≤a≤■，所以实数a的取值范围是[0，■].【评注】本题的解答中，先把两个命题中的不等式的解集分别用集合A和集合B表示，再由？劭 p是？劭 q是的必要不充分条件转化为p是q的充分不必要条件，再转化为集合A为集合B的真子集，解得a的范围.题型二：化归与转化思想直观化原则的体现化归与转化思想直观化原则在解题中的体现主要有：（1）画出函数图像后，利用函数图像研究函数的性质，进而直观的解决与函数有关的问题;（2）立体几何问题中，将立体问题平面化，画出轴截面或者中截面，利用平面几何问题破解题目.例3. 设a， b∈R，则|“a>b”是“aa>bb”的（）A. 充要不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充要也不必要条件【解析】构造函数f（x）=xx=x2，x≥0-x2，x由图像可知f（x）=xx在R上单调递增.当a>b时，f（a）>f（b），即aa>bb，a>b？圯aa>bb.当f（a）>f（b），即aa>bb时， a>b，aa>bb？圯a>b，所以a>b？圳aa>bb，“a>b”是“aa>bb”的充要条件，故选C.【评注】本题是一道比较复杂的充分必要条件问题，通过观察题目，通过类比和联想，运用化归与转化思想，构造函数f（x）=xx后，画出这个函数的图像，运用图像法判断这个函数在其定义域R上为单调递增函数，把a和b看成这个函数的两个自变量，aa和bb分别看成这个函数的函数值f（a）和f（b），由增函数的性质可以得出，a>b？圳aa>bb，所以a>b是aa>bb的充分必要条件，体现了化归与转化思想的简单化和直观化原则.例4. 已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为h1，h2，则h1+h2的最小值为________.【答案】2■.【解析】由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球，内切球的半径R=1，如图为这个组合体的轴截面示意图，圆O为内切球的轴截面， E， F，G， H分别为切点，连接OA， OB， OC， OD， OE， OF， OG， OH，由题意可知AB⊥BC， AD⊥DC，AC=h1+h2，R=OE=OF=OG=OH=1，则S四边形ABCD=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，即AB×BC=■R×AB+■R×BC+■R×CD+■R×AD =■R（2AB+2BC）=R（AB+BC），所以AB×BC=AB+BC.由基本不等式可得AB×BC=AB+BC≥2■，则AB×BC≥4，当且仅当AB=BC时等号成立.所以（h1+h2）2=AC2=AB2+BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB=BC时等号成立，故h1+h2 的最小值为2■.【评注】本题的解答运用了化归与转化的思想，通过研究组合体和其内切球的轴截面，把空间立体几何问题化归为平面几何问题，做到了把问题直观化的原则.题型三：化归与转化思想熟悉化原则的体现化归与转化思想熟悉化原则在解题中的体现主要有：（1）不等式题目中，把含一个参数的不等式恒成立问题，通过分离变量，化归为求函数在给定区间上的最值问题;（2）立体几何题目中，利用长方体或者正方体模型，把一些三棱锥、四棱锥和三棱柱的外接球问题化归为熟悉的长方体或者正方体的外接球问题.例5. 若对任意的x∈（0，+∞），ax-ln（2x）≥1恒成立，则实数a的最小值是_______【解析】由已知可得，对任意的x∈（0，+∞），a≥■恒成立，令g（x）=■，g′（x）=■=■，令g′（x）=0，则1-ln（2x）=0，则x=■，当00，g（x）单调递增;当x>■时，g′（x）所以当x=■时， g（x）取得最大值 g（x）max =g（■）=■=■，所以a≥■，所以a的最小值为■.【评注】本题的解答运用了分离变量法，分离变量后，构造函数后，把a≥g（x）在（0，+∞）上恒成立等价转化为a≥[g（x）]max（x∈（0，+∞）），转化为求函数g（x）在（0，+∞）上的最大值问题，g （x）的最大值即为a的最小值，本题体现了化归与转化思想的熟悉化原则.例6. 设数列 {an} 的前n项为Sn，a1=1，当n≥2时，an=2anSn-2S2n.（1）求数列 {an} 的通项公式;（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k■对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.解：（1）因为当n≥2时，an=2anSn-2S2n，所以an=■，n≥2，所以（Sn-Sn-1）（2Sn-1）=2S2n，所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1，所以■-■=2，n≥2，所以数列{■}是以■=1为首项，以2为公差的等差数列，所以■=1+2（n-1）=2n-1，所以Sn=■，所以，當n≥2时，an=Sn-Sn-1=■-■=-■，因为a1=S1=1，所以an=1， n=1-■. n≥2（2）设f（n）=■，则■=■=■>1，所以f（n）在 n∈N？鄢上递增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，因为f（n）min =f（1）=■，所以0【评注】第（1）问运用了数列的前n项和Sn与通项an之间的关系an=Sn-Sn-1（n≥2），把an 转化为Sn-Sn-1，再合并同类项后运用取倒数法，再根据等差数列的定义得出数列{■}的通项公式，再得出数列{an}的通项公式;第（2）问分离变量后构造函数f（n），用作商法判断f（n）的单调性，把不等式f（n）≥k在n∈N？鄢上恒成立等价转化为f（n）min≥k（n∈N？鄢），两问都运用到了化归与转化思想.题型四：化归与转化思想和谐化原则的体现化归与转化思想和谐化原则在解题中的体现主要有：（1）解三角形问题中利用正弦定理实现边角的互化;（2）在三角函数问题中，将形如y=asinx+bcosx的函数问题利用辅助角公式化归为形如y=Asin（？棕x+？渍）的函数问题;（3）解析几何中，将两直线垂直化归为斜率乘积为-1或者方向向量的数量积为0;（4）将形如？滋=■形式的最值问题，转化为动直线斜率的最值问题.例7. △ABC的内角A， B， C的对边分别为a， b， c，已知b-c=a·cosC-c·cosA.（1）求角A;（2）若a=3，求b+2c的最大值.【解析】（1）因为b-c=a·cosC-c·cosA，由正弦定理可得，sinB-sinC=sinAcosC-sinCcosA，所以sinB-sinC=sin（A-C）所以sin（A+C）-sinC=sin（A-C），所以sinAcosC+cosAsinC-sinC=sinAcosC-cosAsinC，所以cosA=■，因为0（2）由（1）可得，C=■-B，由正弦定理得，■=■=■=2R，所以■=■=■，所以b=2■sinB，c=2■sin（■-B），所以b+2c=2■sinB+4■sin（■-B）=2■（2sinB+■cosB）=2■sin（B+？渍），其中tan？渍=■，？渍∈（0，■），由B∈（0，■），存在B使得B+？渍=■，所以sin（B+？渍）的最大值为1，所以b+2c的最大值为2■.【评注】第（1）问运用正弦定理实现边转化为角，再逆用两角差的正弦公式，运用内角和定理以及诱导公式，再运用两角和的正弦公式和两角差的正弦公式，得出cosA的值，得出角A的值;第（2）问运用了正弦定理将关于边的最值问题化为角的最值问题，运用三角形内角和定理以及诱导公式，再运用辅助角公式，化为三角函数在给定范围上的最值问题;两问都运用了化归与转化思想，体现了和谐化原则.由基本不等式可得AB×BC=AB+BC≥2■，则AB×BC≥4，当且仅当AB=BC时等号成立.所以（h1+h2）2=AC2=AB2+BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB=BC时等号成立，故h1+h2 的最小值为2■.【评注】本题的解答运用了化归与转化的思想，通过研究组合体和其内切球的轴截面，把空间立体几何问题化归为平面几何问题，做到了把问题直观化的原则.题型三：化归与转化思想熟悉化原则的体现化归与转化思想熟悉化原则在解题中的体现主要有：（1）不等式题目中，把含一个参数的不等式恒成立问题，通过分离变量，化归为求函数在给定区间上的最值问题;（2）立体几何题目中，利用长方体或者正方体模型，把一些三棱锥、四棱锥和三棱柱的外接球问题化归为熟悉的长方体或者正方体的外接球问题.例5. 若对任意的x∈（0，+∞），ax-ln（2x）≥1恒成立，则实数a的最小值是_______【解析】由已知可得，对任意的x∈（0，+∞），a≥■恒成立，令g（x）=■，g′（x）=■=■，令g′（x）=0，则1-ln（2x）=0，则x=■，当00，g（x）单调递增;当x>■时，g′（x）所以当x=■时， g（x）取得最大值 g（x）max =g（■）=■=■，所以a≥■，所以a的最小值为■.【评注】本题的解答运用了分离变量法，分离变量后，构造函数后，把a≥g（x）在（0，+∞）上恒成立等价转化为a≥[g（x）]max（x∈（0，+∞）），转化为求函数g（x）在（0，+∞）上的最大值问题，g （x）的最大值即为a的最小值，本题体现了化归与转化思想的熟悉化原则.例6. 设数列 {an} 的前n项为Sn，a1=1，当n≥2时，an=2anSn-2S2n.（1）求数列 {an} 的通项公式;（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k■對一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.解：（1）因为当n≥2时，an=2anSn-2S2n，所以an=■，n≥2，所以（Sn-Sn-1）（2Sn-1）=2S2n，所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1，所以■-■=2，n≥2，所以数列{■}是以■=1为首项，以2为公差的等差数列，所以■=1+2（n-1）=2n-1，所以Sn=■，所以，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=■-■=-■，因为a1=S1=1，所以an=1， n=1-■. n≥2（2）设f（n）=■，则■=■=■>1，所以f（n）在 n∈N？鄢上递增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，因为f（n）min =f（1）=■，所以0【评注】第（1）问运用了数列的前n项和Sn与通项an之间的关系an=Sn-Sn-1（n≥2），把an 转化为Sn-Sn-1，再合并同类项后运用取倒数法，再根据等差数列的定义得出数列{■}的通项公式，再得出数列{an}的通项公式;第（2）问分离变量后构造函数f（n），用作商法判断f（n）的单调性，把不等式f（n）≥k在n∈N？鄢上恒成立等价转化为f（n）min≥k（n∈N？鄢），两问都运用到了化归与转化思想.题型四：化归与转化思想和谐化原则的体现化归与转化思想和谐化原则在解题中的体现主要有：（1）解三角形问题中利用正弦定理实现边角的互化;（2）在三角函数问题中，将形如y=asinx+bcosx的函数问题利用辅助角公式化归为形如y=Asin（？棕x+？渍）的函数问题;（3）解析几何中，将两直线垂直化归为斜率乘积为-1或者方向向量的数量积为0;（4）将形如？滋=■形式的最值问题，转化为动直线斜率的最值问题.例7. △ABC的内角A， B， C的对边分别为a， b， c，已知b-c=a·cosC-c·cosA.（1）求角A;（2）若a=3，求b+2c的最大值.【解析】（1）因为b-c=a·cosC-c·cosA，由正弦定理可得，sinB-sinC=sinAcosC-sinCcosA，所以sinB-sinC=sin（A-C）所以sin（A+C）-sinC=sin（A-C），所以sinAcosC+cosAsinC-sinC=sinAcosC-cosAsinC，所以cosA=■，因为0（2）由（1）可得，C=■-B，由正弦定理得，■=■=■=2R，所以■=■=■，所以b=2■sinB，c=2■sin（■-B），所以b+2c=2■sinB+4■sin（■-B）=2■（2sinB+■cosB）=2■sin（B+？渍），其中tan？渍=■，？渍∈（0，■），由B∈（0，■），存在B使得B+？渍=■，所以sin（B+？渍）的最大值为1，所以b+2c的最大值为2■.【评注】第（1）问运用正弦定理实现边转化为角，再逆用两角差的正弦公式，运用内角和定理以及诱导公式，再运用两角和的正弦公式和两角差的正弦公式，得出cosA的值，得出角A的值;第（2）问运用了正弦定理将关于边的最值问题化为角的最值问题，运用三角形内角和定理以及诱导公式，再运用辅助角公式，化为三角函数在给定范围上的最值问题;两问都运用了化归与转化思想，体现了和谐化原则.。

高考数学复习化归与转化思想
佚名
知识整合
1．处置数学效果时，常遇到一些效果直接求解较为困难，经过观察、剖析、类比、联想等思想进程，选择运用恰当的数学方法停止变换，将原效果转化为一个新效果〔相对来说，对自己较熟习的效果〕，经过新效果的求解，到达处置原效果的目的，这一思想方法我们称之为化归与转化的思想方法。

2．化归与转化思想的实质是提醒联络，完成转化。

除极复杂的数学效果外，每个数学效果的处置都是经过转化为的效果完成的。

从这个意义上讲，处置数学效果就是从未知向转化的进程。

化归与转化的思想是处置数学效果的基本思想，解题的进程实践上就是一步步转化的进程。

数学中的转化屈指可数，如未知向转化，复杂效果向复杂效果转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，逾越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的表达。

3．转化有等价转化和非等价转化。

等价转化前后是充要条
件，所以尽能够使转化具有等价性；在不得已的状况下，停止不等价转化，应附加限制条件，以坚持等价性，或对所得结论停止必要的验证。

JIETI JIQIAO YU FANGFA解题技巧与方法135数学学习与研究2019.9浅谈高中数学解题中的化归与转化思想◎管善海（江西省南昌市心远中学，江西南昌330000）【摘要】在高中数学学习的过程中解题是对学习的数学知识的全面考量，在高中数学的学习中会遇到非常多的难题，但是当积累了大量的解题经验的时候，笔者发现在解题的过程中进行问题的化归和转化可以快速地解决实际的数学问题，这就是本文所要谈起的数学解题中的化归和转化思想．【关键词】高中数学；解题思路；化归与转化随着人们对高中数学的不断重视，如何提高高中学生的数学解题效率和解题正确率成为数学教师面临的难题．我们通过对学生进行大量的随机调查和对学生考试试卷的错题分析，发现学生在进行数学解题的时候，没有一个很好的解题思路，常常出现解到一半的时候，接下去不知道怎么解决的问题．为此笔者本文将谈一谈数学解题中化归与转化思想的应用．一、化归与转化思想（一）理论概念在高中数学的学习过程中会学习到一种化归和转化的解题思想，主要就是指在研究数学问题的时候，采取一定方式将研究的数学问题从一个特定的数学情境中转化到另一个情境中去，这样在转化的过程中数学问题变得简单，学生就可以在转化后的情境中将该问题进行解决，在将问题的答案转化到最开始的数学问题中去，验证该答案是否正确［1］．这是一种解题的策略，也就是我们本文说的化归和转化思想．在解决问题1的时候，可以先将问题1转化问题2．这样我们就可以先解决问题2，然后在利用问题2的答案去完成问题1，一般情况下像这样利用已解决的问题去转化解决未解决的问题的方式，被人们称为化归和转化解题思想．化归和转化思想就是将复杂的数学问题变成简单的问题，把学生没有见过的数学问题转化为学生熟悉的问题，将一个问题转化为另外一个问题，将问题的一种形式转化为了另外一种形式．在高中数学的学习过程中化归和转化思想是非常重要的，因为随着学生年级的不断上升，学习到的数学知识越来越复杂和庞大，为此学生在解决一个数学问题的时候，就会涉及非常多的知识点，这个时候通过化归和转化思想的应用，复杂抽象的问题就会转化为一个个清晰熟悉的数学问题．比如，在高中数学学习过程中数形结合的思想就是通过数和形之间的转化，有效地提高了解题的效率和质量．还有就是在函数和方程的解决过程中也体现出了函数、方程式、不等式之间的相互转化．因此，我们看出在高中数学的学习过程中转化思想随处都有渗透，而通过分析我们可以发现在高中数学的学习过程中分析法、反证法、待定系数法、构造法和换元法等等都是化归与转化思想的一种体现．（二）命题方向通过对近几年数学高考的数学试题进行整理分析，笔者发现在高考中非常重视化归与转化思想的考查，在选择题、填空题和解答题中都会有非常多的体现，因此，就要求学生对化归与转化思想进行有效的理解掌握．在高考出题时会有意识地运用数学变化的方式，灵活将多种知识领域的数学知识结合在一起，主要表现在数与形之间的转化、特殊与一般问题之间的转化、等式与不等式之间的转换．（三）主要原则1．熟悉化原则熟悉化原则就是指利用化归与转化的方式，将陌生的问题转化为学生熟悉的问题，从而利用学生熟悉的数学知识进行解答．2．简单化原则简单化原则就是指利用化归与转化思想，将抽象复杂的数学问题转化为相对简单的问题，然后学生通过自己掌握的数学知识进行解答，最后将问题的答案放入到最开始的数学问题当中．3．和谐化原则和谐化原则同样是利用化归与转化思想在进行数学问题解决的时候，通过数学问题的结论和条件，使其数学的解题过程更加和谐统一，有利于一种数学知识的快速应用，也就是说通过一个特定的方式来解决数学问题，从而提高了解题的效率和准确率．4．主观性原则主观性原则就是指利用化归与转化的思想，将一些含糊不清的问题、抽象的问题、深奥的问题，在经过了转化之后形成一些具体的、直观的、简单容易的数学问题．5．正难则化反原则在数学学习的过程中我们有时会遇到一些不易处理的数学问题，这个时候我们可以通过化归与转化的思想，将问题进行反置，就是说从该数学问题的对立面进行求证，最后根据求证解决的结果，就可以推出该问题的实际结论，这种解题的措施被称为化归与转化思想中的正难则化处理方式．二、化归思想和转化思想的应用（一）数形转化高中学生在数学学习的过程中经常会遇到函数图像和方程式的数学问题，学生在进行解决的时候常常是无处下手，这个时候我们可以利用数形转化的方式，将方程式利用函数图像的方式表示出来，给方程式代入几组特定的数组，我们就可以在平面中勾勒出该函数的图像，然后就可以根据函数图像的发展趋势和x 轴、y 轴之间的变化，求出该方程式的答案．像这样数形转化的求解方式，正好体现了化归与转化思想的实际应用［2］．（二）消元的转化在高中数学的学习过程中学生会学习到二元二次方程，学生都知道在求解的过程中由于是二次方程，最后会涉及一个正负根，也就是两个答案．在解决问题的时候会用到以一种解题方式—换元法，也就是我们说的消元法，通过消元的方式，将二元二次方程转化为一元二次方程，也就我们说到的将问题简单化．这样一元二次方程学生都非常熟悉了，就可以很快地求解出答案．然后再将该答案代入到消元的过程中，去求解最开始的二元二次方程，这样消元的转化，也充分地说明了化归与转化思想的应用．三、结束语在今后的高中数学学习过程中要不断地推广化归与转化思想，有效地提高学生的数学综合学习成绩．【参考文献】［1］刘海．基于学生发展核心素养的高中政治课堂转向［J ］．教育科学论坛，2016（20）：78－80．［2］王跃进．高中政治核心素养：特性分析与培育路径［J ］．中小学教师培训，2017（11）：65－68．。

化归与转化的思想方法[高考能力要求]我们在解决数学问题时，把复杂的生疏的、抽象的、困难的、未知的问题变成简单的、熟悉的、具体的、容易的、已知的问题来解决，这种思想我们称之为化归思想，也称为转化思想。

转化，通常分等价和非等价转化两种。

转化既是一种思想，又是一种策略，也是一种方法。

对一个数学问题，经过分析思考后，认为需要转变成另一个数学问题，这就是转化思想。

[例题精讲]一、 从陌生到熟悉的转化【例1】 将正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角B AC D --，求此时AB 与CD 所成的角。

分析 本题的一般解法是过点A ，作,//CB AE 且.CB AE =连结,DE 然后在ADE ∆中，求得A ∠的大小，但此法比较麻烦。

如果我们将此图形放入正方体内，那么就可发现AB 与CD 恰好为正方体的两条异面的面对角线，易知它们所成的角为.60︒【例2】 从1至20的正整数中，取出5个正整数，使它们互不相邻，一共有几种取法？分析 如果具体地考虑每一个数的取法，则比较困难。

现在我们换一种思路，假设5个数已经取出，将其用黑球表示，而其余的数用白球表示。

D A C BC例如，取出的数为6，8，10，12，15，如图。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ○ ● ○ ● ○ ● ○ ○ ● ○ ○ ○ ○ ○每一种取法恰好对应5只黑球和15只白球的一种排列，且5只黑球不相邻。

这样问题就转化为将5只黑球插入15只白球的16个空隙中即可。

故共有516C 种取法。

二、数、形之间的转换【例3】 不等式062||3>+-+x a x 在R 中恒成立，求实数a 的取值范围。

解析 将不等式变形为.232||->+x a x 设,232)(|,|)(-=+=x x g a x x f 由题意要使),()(x g x f >即满足)(x g 的图象在)(x f 的图象的下方，作出它们的图象，由图可知,3<-a 即.3->a【例4】 （05年全国高考卷Ⅰ理（5）设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象下列之一：则a 的值为（ ） A ．1 B ．－1C ．251--D ．251+- 本题是一道较新颖的考题，在从“数”和“形”两个方面给出了相关信息的条件下，求函数式中参数a 的值。

一、 考点回顾化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。

转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。

化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。

转化有等价转化与不等价转化。

等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。

应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。

常见的转化有： 1、等与不等的相互转化等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。

2、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。

3、特殊与一般的相互转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。

4、整体与局部的相互转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。

5、高维与低维的相互转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。

6、数与形的相互转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。

7、函数与方程的转化 二、经典例题剖析例1、设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．解析：（Ⅰ）讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值只需求出()F x 的导数'()F x 即可解决；1x >时()0f x >恒成立；因(1)0f =，于是可转化为证明()(1)f x f >，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，这由（Ⅰ）易知。

高中数学解题中化归思想的运用化归是高中数学中常用的一种解题思想，通常能够将乍一看十分复杂的数学问题化简为简单的形式，并有助于提高解题效率。

以下就是在高中数学解题中常用的化归思想。

1. 化简式子在高中数学中，经常会遇到一些复杂的式子需要进行化简。

这时，可以利用代数恒等式、特殊值、分子分母约分、公因式等方法进行化简，使得式子更加简单明了。

例如，对于下面的式子：$$\frac{3x^2+6x}{3}$$可以通过将分子分母都除以3来化简：2. 找出规律在高中数学中，很多数列题需要找出其中的规律以求得下一项或任意一项。

通常可以通过对前几项进行观察来找出规律，并据此求出剩余的项。

例如，对于下面的题目：已知数列$\{a_n\}$的前3项$a_1=1,a_2=3,a_3=7$，且$a_n-a_{n-1}-a_{n-2}=0$，求$a_{10}$。

3. 取特例在高中数学中，有时候我们需要回归到一些基本的数学概念，通过取特例来探究问题的本质。

例如，对于下面的问题：已知$a,b>0$，且$a+b=2$，求$ab$的最大值。

由于$a+b=2$，可以取$b=2-a$，则$ab=a(2-a)=-a^2+2a$。

此时，问题就变成了求$-a^2+2a$的最大值。

该函数在$a=1$处取得最大值1，从而得到$ab$的最大值为1。

4. 对称化在高中数学中，一些问题可以通过对称化的方法得到简洁的解决方式。

例如，对于下面的问题：已知正整数$x,y,z$满足$x+y+z=1$，求$x^2+y^2+z^2$的最小值。

由于$x+y+z=1$，可以令$a=\frac{x+y}{2},b=\frac{y+z}{2},c=\frac{z+x}{2}$，则$x=a+c-b,y=b+a-c,z=c+b-a$。

此时，$x^2+y^2+z^2$可以化成$a^2+b^2+c^2$的形式。

由于$x+y+z=1$，可以得到：$$2(a+b+c)=x+y+z+3(a+b+c)-3=2$$从而可得$a+b+c=1$。

专题3转化与化归思想化归就是转化和归结，它是解决数学问题的基本方法，在解决数学问题时，人们常常是将需要解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决模式的问题，以求得问题的解答.中学数学处处都体现出化归的思想，如化繁为简、化难为易、化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想.1．f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (7.5)等于________． 解析：由f (x ＋2)＝f (x )知，f (x )的周期为2，所以f (7.5)＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5. 答案：－0.52．若m ，n ，p ，q ∈R 且m 2＋n 2＝a ，p 2＋q 2＝b ，ab ≠0，则mp ＋nq 的最大值是________． 解析：(mp ＋nq )2＝m 2p 2＋2mpnq ＋n 2q 2≤m 2p 2＋m 2q 2＋n 2p 2＋n 2q 2＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝ab . 所以－ab ≤mp ＋nq ≤ab ，当且仅当mq ＝np 时等号成立． 答案：ab3.如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则P 1F ＋P 2F ＋P 3F ＋P 4F ＋P 5F ＋P 6F ＋P 7F ＝________.解析：设椭圆的另一个焦点为F ′，根据椭圆的对称性知，P 1F＋P 7F ＝P 1F ＋P 1F ′＝2a ，P 2F ＋P 6F ＝P 3F ＋P 5F ＝2a ，又|P 4F |＝a ，∴P 1F ＋P 2F ＋P 3F ＋P 4F ＋P 5F ＋P 6F ＋P 7F ＝7a ＝35.答案：354．已知关于x 的方程x 2＋2a log 2(x 2＋2)＋a 2－3＝0有惟一解，则实数a 的值为________． 解析：令f (x )＝x 2＋2a log 2(x 2＋2)＋a 2－3，显然f (x )是偶函数，方程f (x )＝0要有惟一实根，则此根必为x ＝0，故2a ＋a 2－3＝0，解得a ＝1或a ＝－3，当a ＝－3时，易知方程f (x )＝0不止有一个实根，故a ＝1.答案：15．已知三棱锥S －ABC 的三条侧棱两两垂直，SA ＝5，SB ＝4，SC ＝3，D 为AB 的中点，E 为AC 的中点，则四棱锥S －BCED 的体积为________．解析：由S △ADE ＝14S △ABC ，得V S －BCED ＝34V S －ABC ＝34V A －BSC ＝34×13×12×SB ×SC ×SA ＝152.答案：152[典例1](1)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝ 5，AA 1＝3，M 为线段BB 1上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．(2)若不等式x 2108＋y 24≥xy3k 对于任意正实数x ，y 总成立的必要不充分条件是k ∈[m ，＋∞)，则正整数m 只能取________．[解析] (1)将侧面展开后可得：当A 、M 、C 1三点共线时，AM ＋MC 1最小，又AB ∶BC＝1∶2，AB ＝1，BC ＝2，CC 1＝3，所以AM ＝2，MC 1＝2 2.又在原三棱柱中AC 1＝9＋5＝14，所以cos ∠AMC 1＝AM 2＋C 1M 2－AC 212AM ·C 1M ＝2＋8－142×2×22＝－12，故sin ∠AMC 1＝32.所以三角形面积为S ＝12×2×22×32＝ 3.(2)由x 2108＋y 24≥xy3k (x >0，y >0)⇒1xy ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2108＋y 24≥13k ⇒x 108y ＋y 4x ≥13k ， 所以13k 小于等于x 108y ＋y 4x (x >0，y >0)的最小值，因为x 108y ＋y4x≥2x 108y ·y4x＝1108(当且仅当x 2＝27y 2时取等号)， 所以3k≥108＝27×4＝2×332⇒log 33k≥log 3(2×332)⇒k ≥log 32＋32.所以k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫log 32＋32，＋∞，所以k ∈[m ，＋∞)是k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫log 32＋32，＋∞的必要不充分条件，即m <log 32＋32∈(2,3)，所以m ＝1或m ＝2.[答案] (1) 3 (2)1或21．把空间问题转化为平面问题是立体几何的基本思想，是化归思想在数学应用中的具体体现． 2．不等式恒成立的问题，一般转化为求函数的最值问题． [演练1]如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是________．解析：连结A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开与△A 1BC 1在同一个平面内，如图所示，连结A 1C ，则A 1C 的长度就是所求的最小值．通过计算，可得∠A 1C 1B ＝90°.又∠BC 1C ＝45°，∴∠A 1C 1C ＝135°. 由余弦定理可求得A 1C ＝5 2. 答案：5 2 [典例2]已知椭圆x 24＋y 22＝1，A ，B 是其左、右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，连结AM 交椭圆于点P ，在x 轴上有异于点A ，B 的定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP ，MQ 的交点，则点Q 的坐标为________．[解析] 法一：取P (0，2)，则M (2,22)，设Q (q,0)，由以MP 为直径的圆经过直线BP ，MQ 的交点可知，MQ ⊥PB ，则有k MQ ·k PB ＝－1，即222－q ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1. 解得q ＝0，即得Q (0,0)．法二：设M (2，m )，则直线AM 的方程为y ＝m4(x ＋2)，联立错误!消去y 并整理得，m 2＋832x 2＋m 28x ＋m 28－1＝0，则x P ＝m 28－1－2·m 2＋832＝－2·m 2－8m 2＋8， y P ＝m 4(x P ＋2)＝8mm 2＋8，所以k PB ＝8mm 2＋8－2·m 2－8m 2＋8－2＝－2m ， 设Q (q,0)，则k MQ ＝m 2－q ＝－1k PB ＝m2，解得q ＝0，即得Q (0,0)．法三：设P (x 0，y 0)，则直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4y 0x 0＋2，设Q (q,0)，则k MQ ·k PB＝－1，即4y 0x 0＋22－q ·y 0x 0－2＝－1，所以y 20x20－4·42－q ＝－1.又x 204＋y 202＝1，可得y 20x 20－4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204x 20－4＝－12，进而求得q ＝0，故Q (0,0)．[答案] (0,0)本题把圆过某点的问题转化为两直线的垂直问题，以便于建立方程求解，法一是用特例法，取P 的特殊位置，利用两直线垂直建立方程求解，过程简单，避免了“小题大做”．法二、法三是一般法，设出一个点的坐标，求解另一点的坐标，再由垂直关系建立方程求解．[演练2]过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)，作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE交曲线右支于点P ，若OE ＝12( OF ＋OP )，则双曲线的离心率为________．解析：由OE ＝12( OF ＋OP )可知E 为PF 的中点，则PF ＝2EF ＝2c 2－a 24＝ 4c 2－a 2.设双曲线的另一个焦点为F ′，则PF ′＝2EO ＝a ，则由双曲线的定义得 4c 2－a 2－a ＝2a ，即4c 2＝10a 2，e ＝102. 答案：102[典例3]若关于x 的方程x 4＋ax 3＋ax 2＋ax ＋1＝0有实数根，求实数a 的取值范围．[解] 由x 4＋ax 3＋ax 2＋ax ＋1＝0，得⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＋a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋a ＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋a －2＝0， 令t ＝x ＋1x(t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞))，则函数f (t )＝t 2＋at ＋a －2在t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)上有零点，因为Δ＝a 2－4a ＋8>0恒成立，所以f (－2)≤0或f (2)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a 2>2，f 2>0或⎩⎪⎨⎪⎧－a 2<－2，f －2>0，解得a ≤－23或a ≥2.所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[2，＋∞)．本题利用换元法先把四次方程转化为二次方程，再把方程有实根的问题转化为函数有零点的问题，从而可以数形结合求解．[演练3]设x ，y 为正实数，a ＝ x 2＋xy ＋y 2，b ＝p xy ，c ＝x ＋y .(1)如果p ＝1，则是否存在以a ，b ，c 为三边长的三角形？请说明理由；(2)对任意的正实数x ，y ，试探索当存在以a ，b ，c 为三边长的三角形时p 的取值范围． 解：(1)存在；∵p ＝1时b <a <c ， 且c －a ＝x ＋y －x 2＋xy ＋y 2 ＝xyx ＋y ＋x 2＋xy ＋y 2<xy ＝b ，所以p ＝1时，存在以a ，b ，c 为三边长的三角形． (2)∵a <c ，∴若a ，b ，c 构成三角形，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c >b ，c －a <b ，即⎩⎨⎧x ＋y ＋x 2＋xy ＋y 2>p xy ，x ＋y －x 2＋xy ＋y 2<p xy ，两边除以xy ，令xy ＝t ，得⎩⎪⎨⎪⎧f t >p ，g t <p ，这里f (t )＝t ＋1t＋t ＋1t＋1，g (t )＝t ＋1t－t ＋1t＋1， 由于f (t )＝t ＋1t＋t ＋1t ＋1≥2＋2＋1＝2＋3， 所以g (t )＝t ＋1t－t ＋1t＋1＝1t ＋1t＋t ＋1t＋1≤2－3，当且仅当t ＝1时，f (t )取最小值2＋3，g (t )取最大值2－ 3.因此2－3<p <2＋ 3.即p 的取值范围为(2－3，2＋3)时，以a ，b ，c 为三边的三角形总存在． [专题技法归纳]等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法．通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题．历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，这有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧．等价转化思想方法的特点具有灵活性和多样性．在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行．它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形．消去法、换元法、数形结合法等等，都体现了等价转化思想，我们经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化．1．设x ，y ∈R 且3x 2＋2y 2＝6x ，则x 2＋y 2的取值范围是________． 解析：法一：由6x －3x 2＝2y 2≥0，得0≤x ≤2. 由y 2＝3x －32x 2，得x 2＋y 2＝－12x 2＋3x＝－12(x －3)2＋92∈[0,4]．法二：由3x 2＋2y 2＝6x ，得(x －1)2＋y 232＝1，设⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos α，y ＝62sin α，则x 2＋y 2＝1＋2cos α＋cos 2α＋32sin 2α＝1＋32＋2cos α－12cos 2α＝－12cos 2α＋2cos α＋52∈[0,4]． 答案：[0,4]2．已知a >b >1，且log a b ＋3log b a ＝132，则a ＋1b 2－1的最小值为________．解析：令t ＝log a b <log a a ＝1，则log b a ＝1t，则log a b ＋3log b a ＝132可化为t ＋3t ＝132.解得t ＝12或t ＝6(舍去)，即log a b ＝12，则b ＝a ，即b 2＝a ，所以a ＋1b 2－1＝a ＋1a －1＝(a －1)＋1a －1＋1≥2 a －1×1a －1＋1＝3，当且仅当a －1＝1a －1，即a ＝2时取等号．答案：33．若不等式x 2＋px >4x ＋p －3对一切0≤p ≤4均成立，则实数x 的取值范围是________．解析：∵x 2＋px >4x ＋p －3，∴(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0，令g (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，则要使它对0≤p ≤4均有g (p )>0，只要有⎩⎪⎨⎪⎧g0>0，g 4>0，解得x >3或x <－1.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)4．若函数y ＝cos π3x 在区间[0，m ]上至少取得2个最大值点，则正整数m 的最小值为________．解析：因为x ∈[0，m ]，所以π3x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3m ，因为函数y ＝cos π3x 在区间[0，m ]上至少取得2个最大值点，所以π3m ≥2π，即m ≥6，所以正整数m 的最小值为6.答案：65．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．解析：原命题等价于圆心(0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1，即|c |13<1，故c 的取值范围是(－13,13)．答案：(－13,13)6．已知函数f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋nx 2＋1的定义域为R ，值域为[0,2]，则m ＝________，n ＝________.解析：由u ＝mx 2＋8x ＋n x 2＋1，得(u －m )x 2－8x ＋(u －n )＝0.∵x ∈R ，u －m ≠0，∴Δ＝(－8)2－4(u －m )(u －n )≥0.即u 2－(m ＋n )u ＋(mn －16)≤0.由1≤u ≤9知，关于u 的一元二次方程u 2－(m ＋n )u ＋(mn －16)＝0的两根为1,9，由韦达定理，得m ＋n ＝1＋9，mn －16＝1×9，解得m ＝n ＝5.答案：5 57．设三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ，P ，Q 分别是侧棱AA 1，CC 1上的点，且PA ＝QC 1，则四棱锥B －APQC 的体积为________．解析：特殊化法，取直棱柱，且P ，Q 为侧棱的中点，连结AQ ，则V B －APQC ＝2V B －AQC ＝2V Q －ABC ＝2×13S △ABC ·QC＝2×13S △ABC ×12C 1C ＝13S △ABC ×C 1C ＝13V .答案：13V8．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝y x －xy的取值范围是________．解析：由可行域得区域内的点与原点连线的斜率范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，故令t ＝yx，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2， u ＝t －1t ，根据函数u ＝t －1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上单调递增，得u ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－83，32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－83，32 9．设A 1，A 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点，若在椭圆上存在异于A 1，A 2的点P ，使得PO ·PA 2＝0，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．解析：由题设知∠OPA 2＝90°，设P (x ，y )(x >0)，以OA 2为直径的圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝a24，与椭圆方程联立得e 2x 2－ax ＋b 2＝0.由题设知，要求此方程在(0，a )上有实根，∵x ＝a 为其一根，则另一根为ae2－a ，且a e 2－a <a .解得e 2>12，所以e 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，1 10．已知集合A ＝{x |x 2＋a ≤(a ＋1)x ，a ∈R }，存在a ∈R ，使得集合A 中所有整数元素的和为28，则实数a 的取值范围是________．解析：到不等式x 2＋a ≤x (a ＋1)，即(x －a )(x －1)≤0，因此该不等式的解集中必有1与a .要使集合A 中所有整数元素的和为28，必有a >1.注意到以1为首项、1为公差的等差数列的前7项和为71＋72＝28，因此由集合A 中所有整数元素的和为28得7≤a ＜8，即实数a 的取值范围是[7,8)．答案：[7,8)11．我们知道，在三角形ABC 中，若三边a ，b ，c 满足c 2＝a 2＋b 2，则三角形ABC 是直角三角形，现在请你研究：若c n＝a n＋b n(n ≥3的自然数)，问三角形ABC 为哪种三角形？为什么？解：三角形ABC 是锐角三角形．∵c n＝a n＋b n， ∴c >a ，c >b 即c 是三角形ABC 的最大边， ∴要证角C 是锐角，只要证cos C >0即可．而cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，即证a 2＋b 2>c 2，构造函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c x.∵c >a ，c >b ，∴1>a c>0,1>b c>0. ∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．∵n >2，∴f (n )<f (2)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n ＝1， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2>1，即a 2＋b 2>c 2. 故当n >2时，三角形是锐角三角形．12．若定义在(－∞，4]上的减函数f (x )，使得不等式f (m －sin x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m －74＋cos 2x 对于一切实数x 均成立，求m 的取值范围．解：依题意⎩⎪⎨⎪⎧m －sin x ≤4，1＋2m －74＋cos 2x ≤4，1＋2m －74＋cos 2x ≤m －sin x ，1＋2m ≥0对任意x ∈R 恒成立．由不等式的性质可知，第二个不等式可省略，故⎩⎪⎨⎪⎧m －sin x ≤4，m －1＋2m ≥－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122－121＋2m ≥0，对x ∈R 恒成立．因为(m －sin x )max ＝m ＋1，⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122min ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤4，1＋2m －m ≤12，1＋2m ≥0，解此不等式组，得m ＝－12或32≤m ≤3，即m 的取值范围为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m ＝－12，或32≤m ≤3.。

高考数学化归与转化思想及方法讲解化归与转化的思想方法是中学数学中的重要思想方法之一，也是高考数学中重点考查的思想方法.化归与转化的思想就是将复杂或陌生、新颖的数学问题、数学信息和数学情景转化为简单或已知的数学知识和成熟的经验方法，从而解决问题的策略.化归与转化的思想,遵循以下五项基本原则: (1)化繁为简的原则. (2)化生为熟的的原则. (3)等价性原则. (4)正难反则易即逆向思维原则.当问题从正面解决困难时,可以转化为问题的逆否命题或考虑反证法.(5)形象具体化原则.将抽象的数学信息转化为可以观察,或者能够定性研究的具体问题.下面通过一些具体例子说明化归与转化思想中主要的一些方法.1.用构造法实现化归与转化例1 已知,3232,x y y x R y x --+>+∈且那么（ ）0y x .<+A 0y x .>+B 0 x y .<C 0 x y .>D分析：已知不等式两边都含有y x ,两个变量，而学生目前只学习一元函数，为此先把不等式化为yyxx 3232->---，使它的两边都只含有一个变量，于是可以构造辅助函数xxx f --=32)(，通过构造函数,把不等式问题化归为函数单调性问题.解：把原不等式化为y yxx3232->---，即)(3232y yxx ----->-.设.32)(xx x f --=因为函数xx--3,2均为R 上的增函数,所以xxx f --=32)(是R 上的增函数. 不等式)(3232y yxx----->-即)()(y f x f ->,0>+->∴y x y x 即,故选B .2.转换变量实现化归与转化例2设1log)2()(log 222+--+=t x t x y ,若t 在]2,2[-上变化时,y 恒取正值,求x 的取值范围.分析:本题中,如果把y 看作x 的函数,则该题就是一个有限制条件的定义域问题,解法较为复杂.由于t 在]2,2[-上变化,所以如果转换思维角度,把y 看作t 的函数,则y 就是关于t 的一次函数或常数函数.原命题的陈述方式变为:关于t 的函数y ，当自变量t 在]2,2[-上变化时，y 恒大于零，求字母x 的取值范围.从而有以下简捷解法. 解:设.1log2)(log)1(log)(2222+-+-==x x t x t f y 则)(x f 为一次函数或常数函数.当]2,2[-∈t 时,0)(>x f 恒成立,则⎩⎨⎧>>-,0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-01log3log 4log22222x x x ,解得1l o g 2-<x 或210,3log2<<∴>x x 或8>x ,所以x 的取值范围是).,8()21,0(+∞3.用换元法实现化归与转化例3已知,R a ∈求函数)cos )(sin (x a x a y --=最小值.分析:把函数)cos )(sin (x a x a y --=展开后,可以观察到该函数是关于x x x x cos sin cos sin +⋅与的三角函数式,因此可以把x x cos sin +看作一个量,把该函数式转化为一个二次函数在给定区间上的最值问题. 解:设xx t cos sin +=,则].2,2[),4sin(2-∈+=t x t π而),1(21]1)cos [(sin 21cos sin 22-=-+=⋅t x x x x所以x x x x a a t f y co s s i n )c o s (s i n )(2⋅++-==2121)1(212222-+-=-+-=a at t t at a ].2,2[,2121)(2122-∈-+-=t a a t（1）若22≤≤-a 时，当;2121)(,2m i n -==a t f a t （2）若2>a 时，)(t f 在]2,2[-上单调递减，;212)2()(2m in +-==a a f t f （3）若2-<a ，)(t f 在]2,2[-上单调递增，212)2()(2min ++=-=a af t f .4．用数形结合实现化归与转化例4 已知不等式22)12(x a x ⋅<-的解集中只有三个整数解,求实数a 的取值范围. 分析:如果本题从不等式的角度去考虑,将比较繁琐.如果画出函数22)(,)12()(ax x g x x f =-= 的大致图像（如图1所示）,从图像上可以看到,要使不等式成立,必须 0>a ,而且满足22)12(x a x ⋅<-的图像在y 轴的右边,由此看到，解集中三个整数解分别为3,2,1，而4不再是不等式的解，从而由函数值的大小关系，解得实数a 的取值范围. 通过数形结合,把求不等式中字母a 的问题,化归为两个二次函数在几个关键值的大小问题. 解:在同一坐标系中画出22)(,)12()(ax x g x x f =-=（0>a ）的大致图像图像,如图1所示.从图1中看到,要使不等式22)12(x a x ⋅<-的解集中只有三个整数解,那么这三个解只能是3,2,1.所以⎩⎨⎧≥<)4()4()3()3(g f g f 即⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅<22224735a a 解得.1649925≤<a 这就是实数a 的取值范围. 5.用分离变量法实现化归与转化例5 若不等式012≥++ax x 对一切]21,0(∈x 成立,则a 的最小值为 .分析:要求a 的最小值,需要求出a 的取值范围.若通过讨论一元二次不等式在给定区间上恒成立，可能较繁琐.若把字母a 单独分离出来,放于不等式的一边,则另一边是关于x 的函数关系式.通过求函数式的值域或范围,可以求得字母a 的取值范围.解:因为]21,0(∈x ,所以可以把不等式012≥++ax x 化为:)1(x x a +-≥.设x x x f 1)(+=, ]21,0(∈x .因为xx x f 1)(+=在]21,0(∈x 时单调递减,所以25)1( ,25)(-≤+-≥x x x f .要使不等式)1(xx a +-≥对一切]21,0(∈x 成立,则25-≥a ,所以a 的最小值为25-.6.用特殊化法实现化归与转化例6 已知|,0,3||,1|=⋅==OB OA OB OA 点C 在ABC ∠内,且30=∠AOC .设),(R n m OB n OA m OC ∈+=,则=nm ( )31 .A 3 .B 33.C 3 .D图1解析：本题若按通常解法，需要根据向量所给出的平面几何关系，把OB n OA m OC +=两边平方后，得到n m ,关系式，从中求出nm ,比较繁琐.现在如果把n m ,特殊化,如取1=m 则OB AC //.由AC OA AOC OA ⊥=∠=,30,1|| 得33||=AC ,所以31=n ,则3=nm ,由此判断选择支D C A ,,错误,故B 正确.7.用导数实现化归与转化例7 已知函数22()ln (0)f x x a x x x=++>， （I ）令1a =，求函数()f x 在2x =处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 在[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围.分析:本题是一个非基本初等函数在某点处切线和单调性的问题.在（I ）中,把1a =代入函数的解析式后,再求函数的导数,得()f x 在2x =处的切线斜率,最后写出方程.在（Ⅱ）中,先求函数22()ln (0)f x x a x x x=++>的导函数)(x f ',再令0)(≥'x f 在[1,)+∞上恒成立,求得a 的取值范围. 通过导数的几何意义,把非基本初等函数的切线和单调性问题,化归为求导函数值和不等式恒成立问题,这是导数的重要贡献之一. 解:（I ）由2222()ln ,'()2af x x a x f x x x x x=++=-+得切线的斜率k '(2)4f ==切点坐标（2，5+ln 2）， 所求切线方程为(5ln 2)4(2)y x -+=-,即02ln 34=+--y x（Ⅱ）若函数为[1,)+∞上单调增函数，则()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，即不等式2220ax x x-+≥在[1,)+∞上恒成立 也即222a x x ≥-在[1,)+∞上恒成立.令22()2,x x xϕ=-上述问题等价于m ax (),a x ϕ≥而22()2x x xϕ=-为在[1.)+∞上的减函数， 则max ()(1)0,x ϕϕ==于是0a ≥为所求.8.用定义、公式、定理、图形和已知结论等实现化归与转化例8已知数列{}n a 的前n 项和322+=n S n ,求数列{}n a 的通项n a .分析:数列{}n a 的前n 项和已知,根据前n 项和定义n n a a a S +++= 21得,当2≥n 时,1--=n n n S S a ,把数列{}n a 的前n 项和问题转化为数列的通项问题. 这是最常见和应用最广泛的解题方法,它蕴含着最直接的化归与转化的思想.解:因为322+=n S n ,所以当2≥n 时, 1--=n n n S S a 243)1(23222-=---+=n n n , 又当1=n 时,53211=+==S a ,所以⎩⎨⎧=≥-=1,52,24n n n a n .9.利用命题的否定或反证法实现化归与转化例9 已知下列三个方程: 03442=+-+a ax x , 0)1(22=+-+a x a x ,0222=-+a ax x 至少有一个方程有实数根,求实数a 的取值范围.分析:若从题设入手,三个方程至少有一个有实数根,则需要分为三类,即有一个方程有实根,有两个方程有实根, 有三个方程有实根.而且前两类中又各有三种情况,比较复杂.因此考虑该问题的相反情况即:三个方程都没有实根.求得a 的范围后,再在R 上求补集.该转化较好的体现了正难反则易的思想.解:假设三个方程均无实根，则有⎪⎩⎪⎨⎧<--<-<+--）（）（）（30)2(4)2(2 041)-(a 1 0)34(4)4(2222a a a a a ，解（1）得：,2123<<-a 解（2）得：,311>-<a a 或解（3）得：.02<<-a 所以三个方程均无实数解时.123-<<-a 因此三个方程至少有一个实数解时a 的取值范围是123-≥-≤a a 或.10.利用归纳类比实现化归与转化例10 在球面上有四个点C B A P 、、、,如果PC PB PA 、、两两互相垂直，如图2所示,且,a PC PB PA ===那么这个球面的面积是( )223.a A π 223 .a B π 23 .a C π 2433.a D π解析:本题若只从题设条件入手,不易确定PC PB PA 、、与球心及球的半径的关系，因此不易找到等量关系进行计算.若类比我们熟悉的球与多面体的组合体,则可以联想到球的内接正方体. PC PB PA 、、看作正方体顶点P 处的三条棱（如图3）,正方体的体对角线PD 就是球的直径. 通过类比, 确定了球心及半径与已知条件的关系,把问题转化为球的内接正方体P C B AD图3P ABC图2问题.所以球的半径a r 23=,球的表面积2234a rS ππ==.故选C .化归与转化的思想贯穿于解题行为的始终,化归与转化的方法精彩纷呈,不胜枚举.让我们深刻理解化归与转化的精髓,把握化归与转化的方法,进一步提高分析问题和解决问题的能力.。