第7讲 化归与转化的思想在解题中的应用

一、知识整合

1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。

2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。

3．转化有等价转化和非等价转化。等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。

4．化归与转化应遵循的基本原则：

（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。

（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。 （3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

二、例题分析

例1．某厂2001年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m 与全年总投入N 的大小关系是 （ ）

A. m>N

B. m

C.m=N

D.无法确定[分析]每月的利润组成一个等差数列{a n }，且公差d ＞0，每月的投资额组成一个等比数列{b n }，且公比q ＞1。11a b =，且1212a b =，

比较12S 与12T 的大小。若直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式a n =a 1+（n-1）d 是关于n 的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列。等比数列的通项公式b n =a 1q n-1是关于n 的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列。

在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出a i ≥b i 则12S ＞12T ，即m ＞N 。 [点评]把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的。在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新。

例2．如果，三棱锥P —ABC 中，已知PA ⊥BC ，PA=BC=l ，PA ，BC 的公垂线ED=h ．求证三棱锥P —ABC 的体积216V l h =． 分析：如视P 为顶点，△ABC 为底面，则无论是S △ABC 以及高h 都不好求．如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境．

解：如图，连结EB ，EC ，由PA ⊥BC ，PA ⊥ED ，ED ∩BC=E ，可得PA ⊥面ECD ．这样，截面ECD 将原三棱锥切割成两个分别以ECD 为底面，以PE 、AE 为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l ，所以

V P －ABC =V P －ECD +V A －ECD =13S △ECD ?AE+13S △ECD ?PE=13S △ECD ?PA=13?12BC ·ED ·PA=216

V l h =． 评注：辅助截面ECD 的添设使问题转化为已知问题迎刃而解． 例3．在2

5(32)x x ++的展开式中x 的系数为( )．

(A)160 (B)240 (C)360 (D)800

分析与解：本题要求25(32)x x ++展开式中x 的系数，而我们只学习过多项式乘法法则及二项展开式定理，因此，就要把对x 系数的计算用上述两种思路进行转化：

思路1：直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，则25(32)x x ++展开式是一个关于x 的10次多项式，25

(32)x x ++ =(x 2+3x+2) (x 2+3x+2) (x 2+3x+2) (x 2+3x+2) (x 2+3x+2)，它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x 并在其余四个括号中均选 择常数项2相乘得到，故为15C ·(3x)·4

4C ·24=5×3×16x=240x ，所以应选(B)． 思路 2 利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算，∵x 2+3x+2=x 2+ (3x+2)=(x 2+2)+3x=(x 2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，∴这条思路下又有四种不同的化归与转化方法．①如利用x 2+3x+2=x 2+(3x+2)转化，可以发现只有55C (3x+2)5中会有x 项，即4

5C (3x)·24=240x ，故选(B)；②如利用x 2+3x+2= (x 2+2)+3x 进行转化，则只1

5C (x 2+2) 4

·3x 中含有x 一次项，即15C ·3x ·C 44·24=240x ；③如利用x2+3x+2=(x2+3x)+2进行转化，就只有45C ·(x 2+3x)·24中会有x 项，即240x ；④如选择x 2+3x+2=(1+x)(2+x)进行转化，25(32)x x ++=5

(1)x +×5(2)x +展开式中的一次项x 只能由(1+x)5中的一次项乘以(2+x)5展开式中的常数项加上(2+x)5展开式中的一次项乘以(1+x)5展开式中的常数项后得到，即为15C x ·55C 25+15C ?24?x ?0

5C ?15=160x+80x=240x ，故选(B)．

评注：化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知。

例4．若不等式2

43x px x p +>+-对一切04p ≤≤均成立，试求实数x 的取值范围。解：Q 243x px x p +>+- ∴2(1)430x p x x -+-+>

令()g p =2

(1)43x p x x -+-+，则要使它对04p ≤≤均有()0g p >，只要有 (0)0(4)0

g g >??>? 3x ∴>或1x <-。点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的。但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解。本题中，若视x 为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p 的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行。

三、总结提炼

1．熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、

法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。

2．为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题。