高中数学解题八种思维模式和十种思维策略
引言
“数学是思维的体操”
“数学教学是数学(思维活动的教学。”
学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的综合,因而可以说数学思维是动的数学,而数学知识本身是静的数学,这二者是辩证的统一。作为思维载体的数学语言简练准确和数学形式具有符号化、抽象化、结构化倾向。
高中数学思维中的重要向题
它可以包括:
高中数学思维的基本形式
高中数学思维的一般方法
高中数学中的重要思维模式
高中数学解题常用的数学思维策略
高中数学非逻辑思维(包括形象思维、直觉思维问题研究;
高中数学思维的指向性(如定向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等研究;
高中数学思维能力评估:广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性
高中数学思维的基本形式
从思维科学的角度分析,作为理性认识的人的个体思维题可以分成三种:逻辑思维、形象思维、直觉思维
一数学逻辑思维的基本形式1、概念是逻辑思维的最基本的思维形式,数学概念间的逻辑关系,a同一关系b从属关系c交叉关系以及d对立关系e矛盾关系2、判断是逻辑思维在概念基础上的发展,它表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定,是认识概念间联系的思维形式。3、推理是从一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式,是对判断间的逻辑关系的认识。
二数学形象思维的基本形式1图形表象是与外部几何图形的形状相一致的脑中示意图,2图式表象是与外部数学式子的结初关系相一致的模式形象。3形象识别直感是用数学表象这个类象(普遍形象的特征去比较数学对象的个象,根据形象特征整合的相似性来判别个象是否与类
象同质的思维形式。4模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式,对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形,实施整合的思维形式。5形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础基础的复合直感。6象质转换直感是利用数学表象的变化或差异来判别数学在对象的质变或质异的形象特征判断。7图形想象是以空间形象直感为基础的对数学图形表象的加工与改造。8图式想象是以数学直感为基础的对数学图式表象的加工与改造。9关于联想和猜想,它们既是数学形象思维中想象推理不同表现形式,也是数学形象思维的重要方法。
三数学直觉思维的基本形式1、直觉是运用有关知识组块和形象直感对当前问题进敏锐的分析、推理,并能迅速发现解决向题的方向或途径的思维形式。2。灵感(或顿悟是直觉思维的另一种形式。
直觉思维是一种敏锐、快速的综合思维,既需要知识组块和逻辑推理的支持,也需形象、经验和似真推理的推动。
意识又可分为显意识与潜意识。直感是显意识,而灵感是潜意识。
思维的基本规律
一反映同一律:等值变形,等价变换
二思维相似律:同中辨异,异中求同
数学思维的特性
一数学思维的概括性数学思维能揭示事物之间抽象的形式结构和数量关系这些本质特征和规律,能够把握一类事物共有的数学属性。数学思维的概括性与数学知识的抽象性是互为表里、互为因果的。
二数学思维的问题性数学思维的问题性是与数学知识的问题性相联结的,定理、证明、概念、定义、理论、公式、方法中的队任何一个都不是数学的心脏,只有问题是数学的心脏。数学解题的思维过程是数学问题的变换过程,数学问题的推广、引申和应用过程,是新的数学问题发现和解决的过程,也是数学思维的深化过程和数学知识的发展过程。
三数学思维的相似性数学思维的相似性是思维相似律在数学思维活动中的反映。解决数学问题的根本思想在于寻求客观事物的数学关系和结构的样式,从已解决的问题中概括出思维模式,再用模式去处理类似问题。并进而形成新模式,构成相似系列,即各种概念、命题与方法的相似链。
数学思维的材料与结果
数学思维的材料就有外部材料与内部材料的区分
外部材料是指数学思维的对象,即现实世界中存在的数量关系、空间形式以及由此引申发展的各种结构关系。例如各种具体的思维目标:数学的概念、命题、定理、公式、法则,数学问题初始状态中的图形、符号和语言文字等。
内部材料是指思维主体已有的数学知识和经验,是储存于人脑的认知结构中的信息块。其中数学知识信息块由一些明晰的数学概念和关系结构组成,而数学经验信息块是一种带有模糊性质的思维“相似块”。
数学思维能力的评价标准
广阔性:发散思维
深刻性:收敛思维—集中思维和分析思维
灵活性:辨证思维,进退互用,正难则反,倒顺相通
敏捷性:直觉思维,转化化归,识别模式,反应速度,熟练程度
独创性:创新思维—直觉思维和发散思维中,解题方法新颖独特。
批判性:独立思考,善于提问,总结回顾,调控思维进程
等六个方面,是高中数学思维能力的评价标准
高中数学思维的关联系统
关联系统的三个方面包含的主要内容是:
数学关系—数学知识,数学经验和数学语言等;
心理关系—动机与意志,情感、情境与兴趣,性格与态度,精神与作风等;
社会条件一社会与时代的政治、经济、文化背景与主体的关系及其影响。
高中数学思维的一般方法
(一观察与实验
(二比较、分类与系统化
(三归纳、演绎与数学归纳法
(四分析与综合
(五抽象与概括
(六一般化与特殊化
(七模型化与具体化
(八类比与映射
(九联想与猜想
高中数学中的重要思维模式
一逼近模式把问题归结为条件与结论之间因果关系的演绎;选择适当的方向逐步逼近目标。
正向逼近一顺推演绎法、逆向逼近一逆求分析法、双向逼近一分析综合法或两头夹法、反面逼近-反证法、模糊逼近一尝试探索法、近似逼近一极限法等。
二叠加模式采用化整为零、以分求合的思想对问题进行横向分解或纵向分层实施各个击破而使
问题获解的思维方式。其思维程序是:(1把问题归结为若干种并列情形的总和或者播入有关的环节构成一组小问题;(2处理各种特殊情形或解决各个小问题,将它们适当组合、叠加而得到问题的一般解。爬坡法、逻辑划分法(分类、分域进行讨论和枚举、穷举都是它的别称、中途点法、辅助定理法等都是此类,容斥原理、抽屉原理与重叠原则,以及负向的叠加可称为叠减,在某种程度上也体现了登加模式的思想。
三变换模式变换模式是通过适当变更问题的表达形式使其由难化易、由繁化简,从而最终达到解决问题的思维方式。其思维程序是:(1选择适当的变换,等价的或不等价的(加上约束条件,以
改变问题的表达形式,(2连续进行有关变换,注意整个过程的可控制性和变换的技巧,直至达到目标状态。所谓等价变换,是指把原问题变更为新问题,使两者的答案完全相同。不等价变换则指新问题扩大或缩小了原问题的允许值范围。包括代数变换—代数式的恒等变形、代数换元法、方程与不等式的同解变换与可控制变换等;三角变换—三角式的恒等变形、三角换元法、万能变换等,几何变换—合同变换(即平移、对称与旋转、相似变换(包括位似变换、反演变换等。
四映射模式映射模式是把问题从本领域(或关系系统映射到另一领域,在另一领域中获解后再反演回原领域使问题解决的思维模式,它与变换模式在本质上是一致的,但变换通常是指从一个数学集合到它自身的映射。几何法:把数、式的问题归结为形的问题加以解决;解析法:把几何问题归结为代数问题加以解决;复数法与向量法一把几何或代数、三角问题归结为复数或向量向题加以解决;模拟法:把数学问题转化为物理问题或其他学科问题加以解决,其他如极坐标法、参数法等也属于映射模式的范围。
五方程模式方程模式(又称函数模式是通过列方程(或方程组与解方程(或方程组来确
定数学关系或解决问题的思维方式。方程模式是反映客观事物数量关系的一种重要数学模型,它是沟通已知元素与未知元素之间的辩证联系的一种基本方法。其思维程序是:(1把问题归
结为确定一个或几个未知量;(2列出已知量与未知量之间按照条件必须成立的所有关系式(即方程;(3解所得的方程或方程组得出结果。方程模式的思想通常适用于解决有关方程、函数与不等式等方面的许多问题,这是因为这三种数学对象之间存在某种相似和性,在一定条件下是可以相互转化、相互为用的。
六交轨模式交轨模式是通过分离问题的条件以形成满足每个条件的未知元素的轨迹(或集合,再通过叠加来确定未知元素而使向题解决的思维方式。交轨是一种特殊的叠加,通常的叠加是求出集合才的并,而交轨的叠加是求出集合的交。交轨模式与方程模式也具有部分相通的关系,方程组与不等式组等内容既可以用交轨观点去看待,也可以用方程观点去分析,它们之间的区别仅是观察问题时所强调的侧重面的不同。交轨模式下的具体模式主要有:1、轨迹相交法:它包括双轨迹模式、相似形模式、辅助图形模式及三轨迹模式等。双轨迹模式是:“把问题简化为作一个点。然后把条件分为两体部分,使每一部分变成未知点的一条轨迹;而每一条轨迹必须是一条直线或者是一个圆”。2、交集法一把向题的解归结成由几个条件所决定,每一个条件都可以确定出某种元素的一个集合,这些集合的交集元素就是所求的解。
七退化模式退化模式是运用联系转化的思想,将问题按适当方向后退到能看清关系或悟出解法
的地步,再以退求进来达到问题结论的思维方式。其思维程序是:(1将问题从整体或局部上后退,化为较易解决的简化问题、类比问题或特殊情形、极端情形等,而保持转化回原问题的联系通途;〈2〉用解决退化问题或情形的思想方法,经过适立当变换以解决原问题。如降维法:从高维向低维后退。包括数据、数量的简化:空间问题转化为平面问题,方程同题的消元、降次,行列式的降阶、去边等。类比法:联想形式类似的熟悉问题与原问题作性质或解法的比较对照,从中悟出相似性联系以达到转化。特殊化方法:从一般向特殊后退。即从问题的特殊情形或个别情况入手,观察性质或方法的变化规律,得出正确的解题途径。极端化方法:将问题退到极端情形,即考察极端元素耳或临界位置,往往能找到对解决问题有用的奠基因素以实现解题方法的过渡。
八递归模式递归模式是通过确立序列的相邻各项之间的一般关系以及初始值来确定通项或整
个序列的思维方式。它适用于定义在自然数集上的一类函数,是解决数学向题的一种重要逻辑模式,在计算机科学中有着重要的应用。其思维程序是:(1得出序列的第一项或前几项;(2找到一个或几个关系式,使序列的一般项和它相邻的前若干项联系起来;(3利用上面得到的关系式或通过变换求出更为基本的关系式(如等差、等比关系等,递推地求出序列的一般项或所有项。一般地,在递推关系转换成基本关系时,用迭代方法就能消去全部中间项而得到序列的通项公式。
高中数学解题常用的数学思维策略
(一以简驭繁。数学知识的发展是由简单到复杂,繁衍发展以至推演成为各门数学学科的。解题时的思维反应主要是学会浓缩观察数学形式结构,从总体的粗线条上把握题目的数学图式;或者将题中有关的概念或方法转化为较简的情形入手解决。数学中的换元法、代换法、变换法、递推法、母函数法及解方程中的消元、降次方法等就是体现这个策略的解题方法(二进退互用。‘先足够地退到我们所容易看清楚的地方,认透了钻深了,然后再上去(华罗庚语。主要方式有:从一般向特殊后退;从抽象向具体后退,从高维向低维后退和从较强命题向较弱命题后退。数学归纳法、经验归纳法、类比法、递推法、降维法、放缩法等数学方法或解题方法就是进退互用的辩证思维在具体方法中的一些总结。
(三数形迁移。在解决数学问题时,若把一个命题的条件或结论给出的数量关系式称为式结构,而把它在几何形态上的表现(图像或图形等称为形结构,数(或式和形之间的相互迁移、转化的表现形态主要有:A、由形结构迁移至式结构,解析几何是体现这种研究的典范。B、由式结构迁移至形结构,这就是通常所说的数形联想或几何方法,可使求解过程显得简洁直观。C、式结构或部分式结构之间的迁移,这是等价的式结构间的相互转换,常能发现隐含条件和认识各种变式间的本质联系与统一性,或者通过局部类比或相似联想的诱发解题线索以解决问题。D、形结构或部分形结构之间的迁移,几何变换就是利用了某种不变性来实现形与形之间的沟通。如类比接法、关系映射反演原则、模拟法、坐标法、交集法、抽屉原则、几何变换法、构造法、待定系数法等数学方法和解题方法均在一定意义上属于这个思想范畴。
(四化生为熟。人们认识事物的过程是一个渐进的逐步深化的过程,往往会呈现相对的阶段性,在数学中就是所研究的问题总会有较为熟悉和比较生疏之分。这样,在认识一个新事物或解决一个新问题时,往往会用已认识的事物性质和问题特征去比较对照新事物和新问题,设法将新问题的分析研究纳入到已有的认识结构或模式中来。化生为熟的目的是遇新思陈,推陈出新,起到用同求异,化难为易的作用。数学解题方法中的变更问题法或化归法、模式法、放缩法、构造法、类比法等都含有化生为熟的指导思想。
(五正难则反。解决数学间题时,一般总是先从正面入手按照习惯的思维途径去进行思考,这就是正向思维。如果这种思维方式对于特定的数学问题形成了一种较为强烈的意识,则就是一种定向思维。人们常常借助于一些具体的模式和方法先加强这种思维定势,而使许多数学问题得到解决。但是往往也会遇到从正面入手较繁或较难的情况,或出现一题些逻辑上的困境。这时,就要从辩证思维的观点出发,克服思维定势的消极面,从问题或其中的某个方面的反面入手去进行思考,采取顺繁则逆、正难则反的思维策略。就是说,当用顺证不易解决时就考虑用反证法或逆推法;当正向思维不能奏效时就采用逆向思维去探索;当推理中出现逻辑矛盾或缺陷时,就尝试从反面提出假设,通过背向思维进行论证。
(六倒顺相通。解数学题往往会用顺推,从条件出发之推出某些关系或性质去逼近结论,或者用逆求,由结论去寻找使它成立的充分条件,直至追溯到已知事项,但是最有效和简捷的解题途径是这两者的有机结合。倒顺相通策略的运用有两种表现形式。一种是侧重于整体性的思考,即抓住两头,盯着目标,寻求压缩中间环节的解题捷径;一种是侧重于联通性的思考,即两头夹击,沟通中间,达到目标的总体思路,也可以在解题过程中的局部加以使用。分析综合法就在此列。
(七动静转换。动和静(数学中常表述为定是事物状态表现的两个侧面。在数学中,一方面动和静在一个参照系统中是相对的,可以转化的。另一方面,对于同一事物可以追寻形成静止状态以前的运动过程;或者反过来,从运动表现中推出事物将会达到的相对静止局面。因此,在解决数学问题时,可用动的观点来处理静的数量和形态,即以动求静,也可以用静的方法来处理运动过程和事物,即以静求动,数学中的变换法,局部固定法,几何作图中的轨迹相交法等就是动静转换策略的具体运用。
高中数学思维讲义，蒋老师培训班专用(八分合相辅。从辩证思维的角度观察，任何事物的构成都具有“一中有多、多中有一”的性质，从而任何事物都是可以分割或分解的·反映在数学思维策略上，就是在解题过程中可以将求解问题进行分割或分解，转化成一些较小的且易于解决的小问题，再通过相加或合成，使原问题在整体上得到解决，这就是化一为多，以分求合的思想方法。有时也可以反过来，把求解问题纳入到较大的合成问题中，寓分于合，以合求分，使原问题迎刃而解。因此，分与合相辅相成、互寓互用、转化统一，是辩证思维的重要策略之一。分合相辅的主要表现形式是：综合与单一间的分合；整体与部分间的分合；无限与有限间的分合等。数学中微积分方法的思想就是思维中的一与多、分与合、有限与无限及离散与连续间的辩证关系的体现。数学解题方法中的枚举法、叠加法、中途点法，几何中的形体割补法，代数与三角中的拆项、添项法等都是分合相辅策略的具体运用。(九引参求变。数学中的常量和变量是相互依存，并在一定条件下可以相互转化的。而参数（或参变量）是介于常量和变量之间的具有中间性质的量。二参变量的本质虽然属于变量，但又可把它看成常数。正是由于参数的这种二重性和灵活性，在解决数学问题时，引进了参数就能表现出较大的能动作用和活力。引参求变的思维策略是将求解问题转化为参数问题加以解决，它是解决各种数学向题的有力武器（通常提到参数就局限于解析几何中的参数方程的理解是非常片面的）而数学中的待定系数法、。参数过渡法与参数方程法等都是体现引参求变思想的具体解题方法。(十以美启真。教学美的含义是丰富的，数学概念的简单性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题和数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等都是美的具体内容，上面的论述归结起来，可以认为数学美的主要内容有五个方面，即简单性、对称性、相似性、和谐性（或统一性）与奇异性。‘以美启真“是指用美的思想去开启数学真理，用美的方法去发现数学规律、解决数学问题。追求简单性，探求解题捷径。“多数学问题，虽然其表现形式地可能较为复杂，但其本质总是存在简单的一面。因此，如果能用简区单的观点、简化的方法对间题进行整体处理或实施分解、变换、降性维、减元等转化的策略，则往往能找到解题的简易途径。造成对称
性，简化解题方法。有些问题用对称的眼光去观察，通过形象的补形造成对称，或者用对称变换调整元素关系，则这样问题就可得到简化。运用相似性，引申发散问题。由于相似的因素、相似的条件统能够产生相似的关系或相似的结果。因此，在数学解题中常可利工程用相似性的启示，找到正确的解题思路，并能运用联想、类比、想猜等方法推广原命题，发现新知识，形成问题链。利用和谐性，变更化归问题。解数学问题的关键在于问题形式的变换与化归，而变换化归的依据在于各种形式间在其本质上的和谐与统一。因此，利用和谐性，就是设法将问题通过等价或不等价（加上控制条件）的转化，通过映射、分解、叠加等手段，使问题的条件和结论在新的协调的形式下相互沟通，达到问题的解决。构思奇异性，突破常规思维。奇异性的存在使得在解某些问题时，构造反例、寻求特例、采取反证递推途径或极端化手法能够发挥意料不到的作用。逆向思维、正难则反思想在解题中的运用就是对奇异性的通俗理解，它与数学发现中的奇异创新只是层次上的差别，而其思想实质是共通的。6/6
高中数学模型解题法 高中数学模型解题理念 数学模型解题首先需要明确以下六大理念(原则)： 理念之一——理论化原则。解题必须有理论指导，才能由解题的必然王国走进解题的自由王国，因为思维永远高于方法，伟大的导师恩格斯在100多年前就指出：一个名族要屹立于世界名族之林，就一刻也不能没有理论思维!思维策略永远比解题方法重要，因为具体解题方法可以千变万化，而如何想即怎样分析思考这一问题才是我们最想也是最有价 值的!优秀的解题方法的获得有赖于优化的思维策略的指导，没有好的想法，要想获得好的解法，是不可能的! 理论之二——个性化原则。倡导解题的个性张扬，即要学会具体问题具体分析，致力于追求解决问题的求优求简意识，但是繁复之中亦显基础与个性——通性通法不可丢，要练扎实基本功!具有扎实的双基恰恰是我们的优势，因为万变不离其宗，只有基础打得牢了才可以盖得起知识与思维的坚固大厦。因此要求同学们，在具体的解题过程中，要学会辩证地使用解题模型，突出其灵活性，并不断地体验反思解题模型的有效性，以便于形成自己独特的解题个性风格与特色。 理论之三——能力化原则。只有敢于发散(进行充分地联想和想象，即放得开)，才能有效地聚合，不会发散，则无力
聚合!因此，充分训练我们的发散思维能力，尽情地展开我们联想与想象的翅膀，才能在创新的天空自由地翱翔! 理论之四——示范化原则。任何材料都是给我们学生自学方法的示范，因此面对任何有利于增长我们的知识与智慧的机会，我们要应不失时机地抓住，并从不同的角度、不同的层次、甚至通过不同的训练途径、用不同时间段来认识、理解，并不断深化，以达到由表知里、透过现象把握问题本质与规律的目的。关于学思维方法，我们应当经过两个层次：一是：学会如何解题；二是：学会如何想题。 理论之五——形式化原则。哲学上讲内容与形式的辩证形式，内容决定形式，形式反映内容，充实寓于完美的形式之中，简洁完美的形式是充实而有意义的内容的有效载体，一个好的解题设想或者灵感，必然要通过解题的过程来体现，将解题策略设计及优化的解题过程程序化，形成可供我们在解题时遵循的统一形式，就是解题模型。 理论之六——习惯性原则。关于数学的解题，有三个层次：第一个层次，正常的解题，就是按照已知、求解、作答等等。这是我们大多数同学的解题情况，解出来，高兴得不得了，也不再做深层次的追求与思考，解不出来，就一头露水，而且很郁闷，不知其所以然。第二个层次，有思考的解题，主要就是发散和聚合，简单点说就是一题多解和对于解题“统一”模型的思考。第三个层次，主动的解题，就是对题
高一数学学习方法：数学解题思维和解题技巧_名师指点 高中数学学习，方法很重要，今天，学习方法网小编为大家整理了高一数学学习方法，供大家参考！更多内容尽请关注学习方法网！ 高一数学学习方法：数学解题思维和解题技巧 数学解题的思维过程 数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。 对于数学解题思维过程，G . 波利亚提出了四个阶段*（见附录），即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。 第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。 第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。 第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。 第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。 数学解题的技巧 为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略。 一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。 基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。 一、熟悉化策略所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。
浅析高中数学创新思维能力的培养 发表时间：2014-04-10T11:39:27.593Z 来源：《新疆教育》2013年第10期供稿作者：李彬政[导读] 创新意识及其特征，中外学生的主要差距著名美籍华人学者杨振宁教授曾指出创新能力有待于加强 陕西彬县范公中学李彬政 摘要：在数学教育中，学生的创新主要是对自然和社中的数学现有好、探，不新知，思，从数意识指界会象具奇心究心断追求独立考会学的发现和提出问题，进行探索和。教师应从数学创新的培养上入手，在平时的教学过程中把提高学生的数学创新角度研究意识真正意识落到实，发学生能。处激潜 关键词：中学生创新培养意识陕西彬县范公意识指会度研究意识处激潜意识 1、创新意识及其特征，中外学生的主要差距著名美籍华人学者杨振宁教授曾指出创新能力有待于加强；而具有创在于，中国学生缺乏创新意识，，最受欢迎的人才。提高学新能力的人才将是21世纪最具竞争力。所谓创新意识生的创新意识和创新能力是我们面临的重要课题，不断追求新知，是指对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，进行探索和研究。 独立思考，会从数学的角度发现和提出问题在数学教育中，学生的创新意识主要是指对自然界和社会中的数，独立思考，会从数学现象具有好奇心、探究心，不断追求新知，对某些定理、公学的角度发现和提出问题，进行探索和研究、延伸或推广。创新意识具有式、例题的结论或其本身进行深人，求异性、探索性、开创性。这就要求教师的教学观念必须转变教师能力和教学水平要提高，要教学要创新，教学思维要创新，；具有驾御全局，随机应变求教师基本功扎实，广博的专业知识，创设“问题情境”的能力。 的能力；具有开展数学活动的能力，难以屹立于世界民江泽民同志指出“一个没有创新能力的民族、创新能力，具族之林。”创新意识就是培养学生具有创新精神、新学说、新概念、新设计、新有发现新规律、新事物、新理论，是一切发明和创造的源泉方法的强烈愿望和主动探索精神。 2、创新意识的培养，以问促变，以问促创新意识 2.1 注重问题的教学，以问促思的培养：“发（1）问题的来源及选择。著名教育家陶行知先生曾说，过在不会问。”教师应指明千千万，起点是一问，禽兽不如人，收集大家思考的错误问题，导学生：在预习中发现书本的问题；例如，“角的根据生活实际的需要所提出问题作为问题的来源、拨慢的区别来作为问概念的推广”的内容，我们用时钟拨快。 题，从而引入角的新概念，教师应把它作为教学的（2）讲究问题呈示方式。对于问题，将发现问题的主出发点；最好能由学生根据情境自己发现问题，因为对一个人的创新能动权交给学生，让学生展示问题的过程。 力来讲，发现和提出问题的能力是至关重要的：是（3）问题的解决。教师在教学中要把握解决问题的方式，或小组讨论？是先独立研究独立操作（或思考）还是集体研究？这与所研究问题的难易程再相互交流，还是带着问题看书自学，将学生度有关。通常的做法，教师要尽可能地让学生参与活动，促进学生思作为活动的主体，要充分发挥数学交流的教学功能；要及时在学生活动过程中维的交互作用，培养学生的创新意识（即问题是怎样想到及问题解决后进行小结，将触发思维的因素？为什么这样想的，将引的？是什么使我这样想的？）进行显现让学生分析把握，为今后创新思导思维的方法、策略进行提炼，。 维打下基础，培养学生的创新意识 2.2 重例题的选择及变式，要有针对性；要首先，教师对教学中的例题的设计和选择进行一题多解的训练，要引导学生对原理进行广泛的变换和延相似性、相反性的新问题，进一伸，尽可能延伸出更多相关性、。 步发展学生的创造性思维激发主体意识是关键 2.3 创设民主氛围， “插嘴” 2.3.1允许。插嘴是一种特殊提创新意识始于积极思维，始于质疑提问中学李彬政象具心究心断追求立考会真正意识落，正是他触发主体意识，问方式。当学生不由自主地插嘴的时候。教师应鼓励学积极思维探讨，发现新知识、产生新思维的时候，探求真知。无论课中、生敢于“插嘴”，勇于质疑，师生合作，使整个学习过程成为质疑解课后，学生都可以提出自己的疑义。 惑的过程。” 亚里士多德曾讲：“创新思维就是从疑问和惊奇开始的，师生一起证明定理后，一学在学习《三角形的中位线》一节时，就是截取第三边中生突然插嘴：“老师，我觉得还有一种证法。大家都证不出，这下点，即折半法。”我要求同学们都证证看（加倍同学们都明白了，三角形的中位线定理只能用延长中位线，学生心领神会，愉法）来证明，我说这就是我们要讨论的问题，而且学生情绪悦地笑了。问题也就在民主、活跃的氛围中解释，大大提高了课堂效率。 高涨，课堂气氛异常活跃 2.3.2 动手和动脑相结合，脑手二者的相辅相成，能使大脑左右两半球趋于阶同活动，这对激发主体性，培养使两方面的能力都得以充分发挥并结合心之官则思”。思维是学习的基创新意识，无疑是非常大的，“ 。某种意义上，许多重础。鼓励学生敢想、善想，是十分重要的，牛顿在谈及成功的秘诀时，曾大的科学发现都是“想”出来的，发挥了学说“我一直在想、想、想”。只有解放了学生的头脑，立异标新，发挥其创造性的生的想象力，学生才能冲破旧藩篱。 威力。在培养想象力方面，数学无疑具有得天独厚的条件拓延学习空间 2.3.3 释放学生时间，，作业又多得做不完，试问，现在不少学校，课程从早到晚有什么时间去进行创造性思维培学生还有什么主体性可发挥，，离开了时间的保证，养。教育应以丰富多彩的课外话动为载体，在实际教学中，教师应认真落又哪里去寻找这样的空间？因此，把学生从“题海”之中解放出实素质教育，扎实抓好课堂实效，高效利用时间，开展丰富多来，同时，也要指导学生科学运筹彩、自愿性、多样性、灵活性创造性和实践性有机结合的课外活动，拓宽教育领域。鼓励学生扩大自己的活动领域，向社会实践：“测造需要广博的基求新知，延展学习空间。陶行知曾说，学生才能搜集丰富的资础。”只有节余了时间，解放了空间发挥内在的创造力。 料，扩大认知的眼界，参考文献［J］．广西师范学院学１邓小荣．高中数学的体验教学法（8）报，2003 ［Ｊ］．广西右江民２黄红．浅谈高中数学概念的教学方法，2003（6）族师专学报３胡中双．浅谈高中数学教学中创造性思维能力的培养，2001（７）［J］．湖南教育学院学报 ———综合高中数学教学探４竺仕芳．激发兴趣，走出误区，2003（4）索［J］．宁波教育学院学报［M］．北京：５杨培谊，于鸿．高中数学解题方法与技巧，1993 北京经济学院出版社
高中数学创新思维能力培养浅析 发表时间：2018-05-30T11:46:20.590Z 来源：《中国教师》2018年6月刊作者：齐锦莉[导读] 新时期的教学提倡素质教育，注重对学生创新思维的培养，高中数学教学也要紧跟时代发展步伐，更新教学理念，培养学生的创新思维。 齐锦莉四川省雅安中学 625000 【摘要】新时期的教学提倡素质教育，注重对学生创新思维的培养，高中数学教学也要紧跟时代发展步伐，更新教学理念，培养学生的创新思维。因此本文对高中数学中创新思维的重要性进行了阐述，并根据当前高中数学的教学现状，对学生创新思维的培养进行了探究。【关键词】高中数学；教师；创新思维；培养；学生 中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051 （2018）06-080-01 高中教学是学生成长发展的重要阶段，该阶段学生面临着高考的压力，还要提高自身能力。创新是一个国家、一个民族发展的不竭动力，学生是一个国家、一个民族未来发展的希望，因此对培养学生创新思维是极为重要的。本篇文章就对培养学生创新思维进行了探讨，希望能够帮助培养学生创新思维的工作开展。 一、高中数学教学学生创新思维的重要性 创新思维是指学生在学习、解决问题的过程中用独特的角度、方法解决，解决处理问题的角度、方法不受传统思维的局限，能够形成自己独特、新颖的思维模式。高中生涉及的知识面广阔、了解较多的知识，有利于高中生形成自己的创新思维模式。同时创新思维模式有利于自身的学习，对知识有更加深入的理解、能够多角度的思考问题。进而能够从整体上提高学生的综合素质、认知能力、综合能力等，有利于学生的思维活跃，不受传统、固定模式的局限，在日后的学习中能够全方位、多角度思考问题。 二、高中数学教学现状 （一）教学模式单一。 高中的教学知识难度增加、学生压力较大，尤其是高中数学知识难度大，学生对其的学习有一定的困难。我国传统的教学模式是教师单一向学生灌输知识，缺少师生之间的互动交流、对知识难点的理解，存在着一定的弊端，不利于高中生的学习。传统的教学模式比较固定、死板，在课堂上学生不能很好地表达自己的思维想法，不利于培养学生的创新性思维，影响到教学质量。 （二）教学资源匮乏。 教师在教学过程中忽视了高中数学的实际应用性，只是作为简单的高中学习科目进行讲解。在课堂上，教师按照课本、教学大纲进行教学、相关辅导教材，将知识点列在黑板上进行理论化脱离生活的讲解，要求学生强行记忆、死记硬背，这样的做法只是为了应对考试，没有考虑到是否对学生未来发展有帮助。在我们日常生活中有很多地方用到数学，利用数学思维去解决问题，因此在教师的教学中要重视数学在生活中的应用，着重培养学生的创新思维。 （三）学生联想能力得不到发展。 高中数学的知识难度加大，对于这个年龄段的学生来说，理解比较困难。有的学生是空间立体感不强，有的学生是想象力比较差，有的学生考虑问题固化不会变通，归根结底，是从抽象到形象的转化能力没有掌握。 三、高中数学教学中培养学生创新思维的方法 （一）教学模式多元化。 数学是人们生活必不可少的工具，是一切重大技术发展的基础；同时，为提高人的创新能力起到独特的作用，为了能够培养学生的创新思维，教师需要对高中数学教学模式进行改良创新，以此来激发学生对学习的兴趣，促使学生积极主动的学习。我们常说产生了兴趣就是成功的一半，因此学生对学习的积极性提高，学习的效率、质量也会有所提高。教师做好备课工作，将教学的每个细节都要考虑到，做到面面俱到提高教学质量。同时，教师要改变在教学中“我说你听”的模式，针对不同难度的问题采用不同的讲解方式。针对抽象较难理解的问题、知识点，教师可以利用多媒体教学设备表现出生动直观的图像，同时教师适当的引导学生，能够帮助学生对其的理解和掌握，也有利于学生对该知识点的记忆。充分利用多媒体设备教学，提高了课堂的教学效率，在相同的时间内，学生的注意力更加集中；师生之间的互动也促进了师生关系，实现了在师生交流互动中共同学习、探讨问题。能够从整体上提高学生的学习成绩，有利于培养并提高学创新思维，促进学生的全面健康发展。 （二）优化教学资源。 学生在学习过程中除了自身的努力学习，还需要老师的引导指点，教师在学生创新思维的培养中起了重要作用，因此教师要进行教学创新。教师在教学中不要局限于固定的教材资料，要结合教材制定新的教学计划，并提出相关问题与学生共同探讨。在探讨过程中按照教学计划，适当的引导学生选择不同的角度进行思考，把问题渗透到具体问题中，在讨论中让学生充分的表达自己的想法意见，帮助学生自主的解决问题。在思考中激发学生的求知欲，同时也锻炼了学生对创新思维的运用。比如函数部分，讲到供需函数，教师可以引导学生创造一个购物场景，让学生站在消费者和供货商两个不同立场上思考，看两个函数有什么特点？与生联系起来，激发了学生的思维。 （三）培养学生的想象灵活性。 数学内容灵活多变，只有提高学生的思维灵动性，发展学生的联想空间，促使学生从多角度分析问题，才能构建自己的思维模式，比如用等值语言叙述概念应用于概念教学；公式教学中帮助学生掌握公式的变形等等，促进学生的创新思维发展，同时加强学生的逆向思维能力以及辨识能力，综合提高学生的学习能力。 结束语：社会在不断的进步发展，我们的教育教学方法也要随之更新，创新思维在现代社会的发展中占有重要的地位，因此为了民族、国家的未来——学生，要在教育中着重培养创新思维，尤其是在高中数学的教学中，培养学生的创新思维。参考文献： [1]张述超高中数学教学中如何培养学生创新思维[J]教育科学：引文版2016.
前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化 归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（ 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋b 2 ＝(a＋b) 2 －2ab＝(a－b) 2 ＋2ab； a 2 ＋ab＋b 2 ＝(a＋b) 2 －ab＝(a－b) 2 ＋3ab＝(a＋ b 2) 2 ＋（ 3 2b） 2 ； a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋ab＋bc＋ca＝ 1 2[(a＋b) 2 ＋(b＋c) 2 ＋(c＋a) 2 ] a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝(a＋b＋c) 2 －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) 2 －2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） 2 ； x 2 ＋ 1 2 x＝(x＋ 1 x) 2 －2＝(x－ 1 x) 2 ＋2 ；……等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x 2 ＋y 2 －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 4
高中数学八种思维方法如何训练数学思维 在数学学习中,比运算更重要的是思维方式。下面介绍几种适合大家的数学学习思维 方法以及如何训练数学思维，欢迎阅读。 如何学好高中数学高中数学解题方法与技巧怎样学好高中数学高中数学怎么学成绩提 高快 一、转化方法： 转化思维，既是一种方法，也是一种思维。转化思维，是指在解决问题的过程中遇到 障碍时，通过改变问题的方向，从不同的角度，把问题由一种形式转换成另一种形式，寻 求最佳方法，使问题变得更简单、更清晰。 二、逻辑方法： 逻辑是一切思考的基础。逻辑思维，是人们在认识过程中借助于概念、判断、推理等 思维形式对事物进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理的思维过程。逻 辑思维，在解决逻辑推理问题时使用广泛。 三、逆向方法： 逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的 一种思维方式。敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，从问题的相反面深 入地进行探索，树立新思想，创立新形象。 四、对应方法： 对应思维是在数量关系之间（包括量差、量倍、量率）建立一种直接联系的思维方法。比较常见的是一般对应（如两个量或多个量的和差倍之间的对应关系）和量率对应。 五、创新方法： 创新思维是指以新颖独创的方法解决问题的思维过程，通过这种思维能突破常规思维 的界限，以超常规甚至反常规的方法、视角去思考问题，提得出与众不同的解决方案。可 分为差异性、探索式、优化式及否定性四种。 点击查看：学好数学的核心概念与思维方法 六、系统方法： 系统思维也叫整体思维，系统思维法是指在解题时对具体题目所涉及到的知识点有一 个系统的认识，即拿到题目先分析、判断属于什么知识点，然后回忆这类问题分为哪几种 类型，以及对应的解决方法。
高中数学解题八种思维模式 和十种思维策略 引言 “数学是思维的体操” “数学教学是数学(思维)活动的教学。” 学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的综合，因而可以说数学思维是动的数学，而数学知识本身是静的数学，这二者是辩证的统一。作为思维载体的数学语言简练准确和数学形式具有符号化、抽象化、结构化倾向。 高中数学思维中的重要向题 它可以包括: 高中数学思维的基本形式 高中数学思维的一般方法 高中数学中的重要思维模式 高中数学解题常用的数学思维策略 高中数学非逻辑思维(包括形象思维、直觉思维)问题研究; 高中数学思维的指向性(如定向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等)研究; 高中数学思维能力评估：广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性 高中数学思维的基本形式 从思维科学的角度分析，作为理性认识的人的个体思维题可以分成三种：逻辑思维、形象思维、直觉思维 一数学逻辑思维的基本形式1、概念是逻辑思维的最基本的思维形式，数学概念间的逻辑关系，a同一关系b从属关系c交叉关系以及d对立关系e矛盾关系12、判断是逻辑思维在概念基础上的发展，它表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定，是认识概念间联系的思维形式。3、推理是从一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式，是对判断间的逻辑关系的认识。 二数学形象思维的基本形式1图形表象是与外部几何图形的形状相一致的脑中示意图，2图式表象是与外部数学式子的结初关系相一致的模式形象。3形象识别直感是用数学表象这个类象（普遍形象）的特征去比较数学对象的个象，根据形象特征整合的相似性来判别个象是否与类象同质的思维形式。4模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式1，对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形，实施整合的思维形式。5形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础基础的复合直感。6 象质转换直感是利用数学表象的变化或差异来判别数学在对象的质变或质异的形象特征判断。7图形
高中数学最全的思维导图 小数老师2015-11-23 11:08 很多同学一轮复习已经过半，但还不知道该怎么总结，小数老师给大家提个建议，要想总结，主要还是首先梳理出脉络来，提到某个知识点， 那么关于这个知识点相关的所有知识你都要弄明白，这样你就成功了一半！下面是8张思维导图，先研究下看看吧！
夷示方法元表、隼合之闾的关系集台「 1f 映射 i I 函数 三要妄 性质 表示 定义 定义域 值域 单调性 周期性 性质 対称性 基本初等函数 分段国数 运算：交、弃、补 确定性、互异性、无序性解析达 列表法 使解析式有意义丿 对应关采［」换元法求解析式J A连意应用函数的单调在求值域 圏象法 u函薮破个区圈MlWt减I与曲谒国直是秃亍区减占鱼乂 耒冒： 2,征阴尊讶*勒査『斷人导披追；儿麗舍弼戴的鱼调性 亘塑」是乂填黄于旗点时歌氐L?社有盘文的奇證戳弋r如即）r的奇圈 埶詡⑵二呻书⑹=￡） 最值 —C环酩变拱） —f皑拦变彗）— ｛棒编变箕） 亘合函数 二次函巍、基本不等式、打崗（耐克）函〕 数、三角函数有界性、数形结台、异数. L —次、二次函数、反比例函數一 幕函数 指数函数 对数函数 三甬函埶 亘台III埶的单调性：同潸异减I 哦值法、典型的函数1 抽象函数 函数与方程 函埶的应用 图象V性质 和应用 二分注、图象迭、二次展三次方程根的分布）
空间几何体 liii 台区 梭怪 梭台 L囲台 Sfe -正枝｛王，长方体、正方体 EW.四面体、正四面体一 l点在Mh± 点与线 纬与面一 面勻面 点在面內 点在面外 竝面岂強 -直线在平窗内 厂平行 —相乂 —f平行关系的］ A 转化J i ■■-平厅 J垂直曲罕的］线线 1相互轉化J垂嵐 L相父 L平行 L三视團? r直观團 长对正 -喜平齐 卞伯隼」 一刚面积.表面理 体段 口高—个公共点 没有缺旦 漫有 有公扛耳 ------------------ 厂W T 厂直 线在平面外-^― ---------------- L相交 亠线面- " 平行「 面直 垂畳 线面甜 r -J_ - 面面■ 乎行 價耕角的畫化与糾率的变化） 位臭关养 相立 I—C且必：-今血芒：） 狂童：战距可正A 可员，也可为0. J 注at：栽距可正 可员，也可訂oj 直迭万程茹形式 直迭万程茹形式 两亶线的交点 两亶线的交点 圧意若种开式的辕化和 运用范圈 圧意若种开式的辕 化*□运用范围
高中数学解题的思想方法（经典） 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等； ④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助大家掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，咱们就先介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题。 在每一个方法，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。 一、配方法 从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
一、《高中数学解题的思维策略》
很抱歉这么晚才来给大家讲课，因为今年暑假刚去安徽写生画图，
昨天下午坐了 24 个小时的火车过来，误了 4 天的课程，最后咱们
下午物理上完之后再给大家补课，再给大家补 5 天的课程，
去年高考难，很多学生数学考得也很不错，，很多人可能会问补课
有用吗。给大家举个例子，那几年留学很流行，大家可能会说，留
学很贵，实际上很多海归回来后一年的工资就把多花的挣回来了，
补课也是，讲到的某些知识点能被大家用到高考中，增加分数，高
考中分数的重要性，，我姐是个老师，我姐经常说孩子们考好了，
家长就说，，考不好，家长就说老师和郭师哥教的不好，实际上主
体还是我们学生，次要的才是老师，家长，环境，据去年那批学生
反映最后对我们 3 个教的还不错，
我先讲一下我补课大概基本要讲的内容，把大家数学必修的知识点
基本过一遍，再做相应的习题，中间穿插还有很多我个人感觉很多
好题；很多我归纳的知识和一些数学技巧；在最后 2 天我要给大家
讲一下数学解题策略，如果最后还有时间的话，还会给大家讲一下
一些英语，语文和其他科目的技巧。
导
读
数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效
的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解：
一、数学思维的变通性(举例子过几天再给他们讲，考试的时候有些难题大家容易钻
牛角尖，这个变通不只是说思维，也可以说是大家对数学卷子的一种变通，高考 120 分
钟，12 道选择，4 道填空，基本用时不超过 50 分钟，选这题一般最后 2 个比较难，填
空题一般最后一个比较难，大家很容易被这卡主，流汗，紧张，看到你旁边的人第 2 道
高中数学解题思维策略文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
第四讲 数学思维的开拓性 一、概述 数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。 “数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。 在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。 数学思维的开拓性主要体现在： (1)一题的多种解法 例如 已知复数z 满足1||=z ，求||i z -的最大值。 我们可以考虑用下面几种方法来解决： ①运用复数的代数形式； ②运用复数的三角形式； ③运用复数的几何意义； ④运用复数模的性质（三角不等式）||||||||||||212121z z z z z z +≤-≤-； ⑤运用复数的模与共轭复数的关系z z z ?=2||； ⑥（数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆1||=z 与r i z =-||有公共点时，r 的最大值。 (2)一题的多种解释 例如，函数式22 1ax y =可以有以下几种解释： ①可以看成自由落体公式.2 12gt s = ②可以看成动能公式.2 12mv E = ③可以看成热量公式.2 12RI Q = 又如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。“1”可以变换为：x tg x a b x x x x a b a a 2222sec ),(log )(log ,cos sin ,,log -?+，等等。 1． 思维训练实例 例1 已知.1,12222=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax 分析1 用比较法。本题只要证.0)(1≥+-by ax 为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决。
如何培养高中学生数学创新思维 随着我国的教育由传统的应试教育向现代的素质教育的转变，新课程改革正逐步深入。数学 课的课堂教学也不能仅仅停留在传授知识的层面上，而应该向培养学生能力的层面上发展。 然而这在以往的课堂教学过程中并没有现成的经验和既定的模式可以借签，需要在不断的探 索和研究中慢慢渗透，逐渐形成。 现行高中数学新课标教材的改革是基础教育改革中一项艰巨的任务。其教材内容虽进行了有 效改革，如“问题提出”、“探究活动”案例、阅读材料等部分，也增加了不少应用的材料，但 由于是“四海皆准”的内容，难免出现学生将它们普通化而失去进一步探索的兴趣。从心理学 角度来说：兴趣是学生学习自觉性和积极性的核心因素、是推动学习的一种最实际的内部动因、是学习的强化剂。前苏联教育学家乌申斯基对学习兴趣的阐述更为深刻：“没有任何兴趣而逼迫进行的学习，会扼杀学生掌握知识的愿望”。如果学生对哪门学科感兴趣，他就会主动寻找、刻苦钻研，不断探究。这样就能充分发挥出学生主体性、积极性和创造性。而且这次 课程改革强调学生是学习的主体，学习活动是学生以自身已有的知识和经验为基础的主动建 构的过程，如果我们承认以学生为主体的学习，那么教学中必然需要一种激发学生主动探索 的情境。这种情境是基于学生的知识和经验的，是沟通学生已有经验和所学数学内容的桥梁。因此在推进新课程的改革过程中如何创设一个激趣的数学问题情境，引导学生主动的学习数学、培养学生学习数学的兴趣，是我们每个数学老师必须认真思考的问题。现就如何适应新 形势下数学课的课堂教学与学生创新思维能力的培养来谈谈自己的认识。 一、转变教学观点，吸引学生主动参与教学过程 教学活动是一种社会性的交往活动，教学过程是师生间的情感交流的人际交往过程。数学课 的教学过程应成为教师的主导性与学生的主体性的融合点，进而体现出教学活动的民主性， 增强其实践性；首先，要营造民主、互动、和谐的教学氛围。以即将讲授的知识为前提，通 过情境创设，可以使学生在不知不觉中情趣得到陶冶，思绪得到启迪，能力得到提高。因此，在教学过程中，建立民主平等和谐的师生关系是课堂教学的基础。 目前，新课改给教师提出了新的要求，要求教师应从过去的单纯的知识传授者转变为学生学 习的促进者、学生学习的激发者、辅导者以及各种能力和积极个性的培养者，也就是要求教 师要把教学的重心放在如何促进学生的学上，从而真正实现“教是为了不教”。教师角色与职 能的转变，也必然要求教师不断更新教学观与学生观，不断发扬学生民主，尊重学业人格。 对学生充满信任与理解，通过创设情景，营造环境，激活学生的创造性思维，吸引学生主动 参与教学过程。对学生的不同看法不要武断的否定，而要耐心地听取，积极的引导。使学生 的创造力表现成为一种自主的活动。 教师通过导入提出问题后还要注意学生的反溃。教学中要不断征求学生的意见，请学生献计 献策，不断的改进教学。要学会赞赏每—位学生，让学生看出自己的点滴成功。对学生大胆 探索、敢于质疑的表现，教师要给予积极的评价、赞赏，哪怕是极其微小的成绩。尊重学生 的差异，尊重学生的自尊心、自信心，培养学生敢想、敢说、敢干的精神。同时，在教学中 可以借鉴一些学生喜闻乐见的形式，营造多向交互的空间。如模仿电视栏目“实话实说”、“焦 点访谈”等。要给学生活动的时间和中间，让学生积极主动地参与到教学活动中。如讨论、辩论、演讲、编报、模仿游戏、主题班会，行为训练等活动都可以为学生提供较大的人格空间、思维空间，选择的空间和发展的空间。 由于每个学生的先天素质不同，环境条件出各不相同，因此每个学生都有不同的个性特点， 他们对教师所施加影响的表现也各不相同，这就要求教师尊重学生差异，进行分层次教学， 关心信任每—位学生，适应不同层次的水平需要，给不同层次学生不同学习任务，使每个学 生都有成功机会。 二、巧创激趣情境，激发学生的学习兴趣
思想方法一、函数与方程思想 方法1 构造函数关系，利用函数性质解题 根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。 例1 （10安徽）设232555322(),(),(),555 a b c ===则,,a b c 的大小关系是（ ） ....A a c b B a b c C c a b D b c a >>>>>>>> 例2 已知函数21()(1)ln , 1.2 f x x ax a x a =-+-> （1） 讨论函数()f x 的单调性； （2） 证明：若5,a <则对任意12121212 ()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有 方法2 选择主从变量，揭示函数关系 含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。 例3 对于满足04p ≤≤的实数p ，使243x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 . 方法3 变函数为方程，求解函数性质 实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 例4 函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ） 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ????????----?????????? ??????
一、 《高中数学解题的思维策略》
很抱歉这么晚才来给大家讲课，因为今年暑假刚去安徽写生画图， 昨天下午坐了 24 个小时的火车过来，误了 4 天的课程，最后咱们 下午物理上完之后再给大家补课，再给大家补 5 天的课程， 去年高考难，很多学生数学考得也很不错， ，很多人可能会问补课 有用吗。给大家举个例子，那几年留学很流行，大家可能会说，留 学很贵，实际上很多海归回来后一年的工资就把多花的挣回来了， 补课也是，讲到的某些知识点能被大家用到高考中，增加分数，高 考中分数的重要性， ，我姐是个老师，我姐经常说孩子们考好了， 家长就说， ，考不好，家长就说老师和郭师哥教的不好，实际上主 体还是我们学生，次要的才是老师，家长，环境，据去年那批学生 反映最后对我们 3 个教的还不错， 我先讲一下我补课大概基本要讲的内容， 把大家数学必修的知识点 基本过一遍，再做相应的习题，中间穿插还有很多我个人感觉很多 好题；很多我归纳的知识和一些数学技巧；在最后 2 天我要给大家 讲一下数学解题策略，如果最后还有时间的话，还会给大家讲一下 一些英语，语文和其他科目的技巧。 导 读
数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径，是进行有效 的训练，本策略结合数学教学的实际情况，从以下四个方面进行讲解： 一、数学思维的变通性(举例子过几天再给他们讲，考试的时候有些难题大家容易钻 牛角尖，这个变通不只是说思维，也可以说是大家对数学卷子的一种变通，高考 120 分 钟，12 道选择，4 道填空，基本用时不超过 50 分钟，选这题一般最后 2 个比较难，填空 题一般最后一个比较难，大家很容易被这卡主，流汗，紧张，看到你旁边的人第 2 道大 题都快做完了，这下就慌了，心想肯定完了，最后整个卷子全部慌了，后面计算正确率 也不高了，整个考试最后也可想而知。应该怎么办呀，先做会的，把整个卷子会做的做 完了，再去做会做的，即使有些题不会做也没关系，大题都是按步骤给分，步骤对了，