异面直线夹角
1. 下列说法中，正确的有__________
（1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。 （2）空间两条不相交的直线一定是异面直线。 （3）垂直于同一条直线的两条直线必平行。 （4）过一点能引且只能引一条直线和已知直线垂直。
（5）若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定与另一条直线垂直。 2，已知长方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，AB =2√3，AD =2√3，AA 1=2， （1）求BC 和A 1C 1所成的角度。 （2）求AA 1和BC 1所成角度。
3, 如图所示，A -BCD 是一个正四面体，E 、F 分别为BC 和AD 的中点. 求：(1)BD 与AE 所成的角的余弦值。
(2)AB 与CF 所成的角的余弦值。
A
F
C
D
E
B
4, 在直三棱柱ABC ?A 1B 1C 1中，若∠BAC =90°，AB =AC =AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角为________
5，如下图所示，正四棱锥P
ABCD -的底面面积为3，体积为2
2，E 为侧棱PC
的中点，求PA 与BE 所成的角.
6，如下图，正三棱锥S ABC -（侧面为全等的等腰三角形，底面为正三角形）的侧棱长与底面边长相等，E 、F 分别是SC 、AB 的中点.求异面直线EF 与SA 所成的角.
A
B
C
A 1 B
1
C
1
14.2.2 空间直线与直线的位置关系(二) 教学目标： 1. 理解异面直线的定义，会画出两条异面直线； 2．理解异面直线所成的角； 3. 初步了解反证法。 教学重点：异面直线所成的角概念 教学难点：异面直线所成的角概念 教学过程： 1. 引入: 提问：请叙述“公理4”和“等角定理”？ 我们知道：公理4可以用来证明空间两条直线平行；等角定理用来判定空间中两个角相等。那么我们就把在同一平面中的“平行直线的传递性” 和等角定理，推广到空间。那么空间中，任意的两条直线的位置关系该如何界定呢？ 2. 新课 （1）定义 由平面几何知识我们知道：在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交。那么我们就把“不能置于同一平面的两条直线叫做异面直线”。 怎么理解“不能置于同一平面”？ 不同在任何一个平面内。 请在教室内，找一找异面直线？ （2）画法 在作两条异面直线的直观图时，为了使它们有“异面”的视觉效果，有时需要借助于辅助平面来表示。见课本P10
例1：课本P10 例2 反证法证明两条直线是异面直线。 （3）异面直线所成的角 在长方体中找与同一条棱异面的两条棱，那么这两对异面直线的相对位置是不同的。我们如何进一步区分，如何寻找一个合适的几何量来刻划两条异面直线之间的相对位置（及远近距离）呢？（角）问题1、两条直线相交就构成角，而两条异面直线不相交哪来 的“角”呢？如何规定两条异面直线所成的角呢？ 问题2、能否找出两条相交直线所成的角来刻划两条异面直线所成的角呢？ 根据等角定理这些角都相等，因此，这样作出的角是合理的，唯一的。 归纳： ①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置关系决定的，与角的顶点O的位置的取法无关。 ②正因为点O的位置可以任意选取，这就给我们确定两条异面直线所成的角带来了方便，在运用时，为了简便，可以把点O取在两条异面直线中的其中一条上，甚至取在其中一条的一个已知或特殊点上。 ③要找到两条异面直线所成的角，关键是经过平移把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的锐角（或直角），因此，若两条异面直线所成的角为θ，则 。 ④当两条异面直线所成的角为直角时，则说这两条异面直线相互垂直。两条异面直线a、b相互垂直，记作a⊥b. 两条直线互相垂直，它们不一定相交。 ⑤得出两条异面直线所成角的定义： 经过空间任意一点，分别作两条异面直线的平行线，这两条直
1.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=12,BC=3,AA1=4，N在A1B1上，且 B1N=1/3A1B1，求BD1与C1N所成角的余弦值。 你可以在AB上找一点N1，使AN1=1/3AB,然后连接CN1，这样的话，C1N平行与CN1,然后再连接AD1，在AD1上找一点E，使AE=2ED1,连接EN1，这样辅助线就做完了，然后计算CN1=5,BD1=13,那么根据三角形相似的性质，EN1=26/3，接下来求EC的长度，连接BC1,在BC1上找一点F，使FC1=1/2BF,连接CF,在面BCC1B1面上求出CF的长度，然后EF垂直于CF，这样在直角三角形中，求出CE，再根据余弦定理，在三角形CEN1中，求出角CN1E就是要求的角了。 看起来很麻烦，可是只要你看懂了，在根据我说的，画出图来，这道题还是很简单的，用高中的知识很容易就解决了。要有耐心啊~~~~ 2.在空间四边形ABCD中，AB=CD=6，M，N分别是对角线AC，BD的中点，MN=5，求异面直线AB与CD所成角的大小。 做MH//CD交AD于H，连结HN 角MHN是所成角或其补角 MH=NH＝3，MN＝5 cos角MHN=(MH^2+NH^2-MN^2)/2*MH*NH=(9+9-25)/2*3*3=-7/18 所成角为arccos7/18 （）1、设P=｛两异面直线所成的角｝，M=｛直线与平面所成的角｝，N=｛二面的平面角｝，则有 A、PìMìN B、P=MìN C、PéMéN D、PìM=N （）2、正四面体A—BCD中E、F分别是棱BC和AD之中点，则EF和AB 所成的角 A、45° B、60° C、90° D、30° （）3、正方体ABCD—A￠B￠C￠D￠中，与BD成60°角的面对角线的条数为A、0B、2C、4D、8 （）4、把一个正方形的纸折成一个底面为正方形的长方体，正方形的对角线就成为在长方体四侧面的一条折线，则这条折线相对的两段所成角是 A、45° B、60° C、90° D、120° 5、a、b为异，面直线，二面角a—a—b为q，a^a，b^b，则a、b的夹角为_______ 6、正方体ABCD—A￠B￠C￠D￠中，E、F分别是BC、A￠D￠之中点，则ADE所成的角是_______
异面直线所成角的几种方法 异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考． 方法一：抓异面直线上的已知点 过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标． 例1：如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是？ 解：连B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在△B 1GF 中，由余弦定理，得 cos B 1GF ＝222222 111(2)(3)(5)2223 B G GF B F B G GF +-+-= ???＝0， 故∠B 1G F ＝90° 练习1.1：在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小． 1 A 1 B 1 C 1 D A B C D E F G
练习1.2：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2cm ，AA 1=4cm ，求异面直线BD 1与AD 所成的角的余弦值？ 方法二：抓异面直线(或空间图形)上的特殊点 考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径. 例2：设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小为多少？ A B C D E M N 图1 A B C D E M N G 图2
异面直线及其夹角 教学目标：： 知识目标：1、掌握异面直线的概念，会画空间两条异面直线的图形， 会判断两直线是否为异面直线。 2、掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能 求出一些较简单的异面直线所成的角 能力目标：在问题解决过程中，培养学生的实验观察能力、空间想能 力象、逻辑思维能力、分析问题、解决问题的能力。 教学重点、难点: 重点：异面直线所成角的概念, 能求出一些较简单的异面直线所成的角。 难点：异面直线所成角的定义, 如何作出异面直线所成的角。 教学准备：多媒体课件 教学课时：二课时 教学过程： 第一课时 一、导入新课 1．引导学生观察立交桥上的车辆为什么能畅通无阻？ 两条道路所在的直线不在同一平面内。它们既不平行也不相交，这样的两条直线有什么特点呢？ 2．请学生做一个小实验，拿两支笔在空间中你能摆出几种位置关系？ 有3种：平行、相交、不平行也不相交的两条直线（对于这样的两条直线以前我们没有学习过，那么它们之间有什么特点和关系呢？）。（板书课题） 二、新课讲解 前面我们学习过平行线，相交线，它们是同一平面内两条直线的位置关系，通过前面的实验和动画的观察，在空间还存在另一种两条直线的位置关系（不平行也不相交）。我们给它一个新的名称“异面直线”。 1 异面直线的定义：不同在任何．． 一个平面内的两条直线叫异面直线。 2．两条异面直线的性质：既不平行，也不相交。（如前面我们所说的两个例子，同学们还能找出具有这种性质的两条直线吗？）找两位学生说说他们所找的情况。 3.空间两条异面直线的画法。 如何用图形来表示两条异面直线，通常怎么样画？（老师板演，同时让学生总结其特点） 这三种表示方法有一个共同的特点，就是用平面来衬托，离开平面的衬托，不同在任何一个平面的特征难以体现。（今后我们也可以不用平面来衬托） 同学们想一想如果这样表示两条异面直线行吗？为什么？ a b a b b a
课题：异面直线及其夹角 温江中学许桃 教学目标： 1、知识与技能 (1)理解异面直线及其夹角的概念，会画空间两条异面直线的图形，能在空间几何体，中判断两直线是否为异面直线.能在具体几何体中求出一些较简单的异面直线所成的角. (2)初步培养学生由图到物，由物到图的观察想像力;把空间中的角转化为平面上的角的降维能力;根据图形特征选择恰当的平移方式求异面直线所夹角的动手实践能力. 2、过程与方法 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑的氛围，提高学学习的兴趣和课堂效率．让学生经历知识的探究过程, 体会类比的数学思想． 3、情感目标 让学生领悟数学思想观点；体会数学来源于实际又服务于实际，激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神,会用联系的观点，运动变化的思想去分析问题和解决问题 教学重点：异面直线所成角的概念, 能求出一些较简单的异面直线所成的角 教学难点：如何依托载体选择恰当的点将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角 教学过程： 一、复习引入，问题呈现，导入主题 （1）创设情境，感知异面 教师活动：创设情境，感知异面 学生活动：小实验:请用手中的两支笔当着直线,在空间能摆出两条直线有哪几种位置关系? 设计意图：通过简单的动手操作让学生发现问题，培养学生思维的主动性（2）总结概括完善认知 教师活动：从公共点个数与是否共面概括空间中两条直线的位置关系 学生活动：填写表格 （3）问题引导，剖析定义 教师活动：例举教室中的两直线是否异面，从大梁和讲台下方的两条直线位
置关系的分析中引导学生得出异面直线的定义 学生活动：分析问题 设计意图：剖析异面直线的定义 二、合作交流，探究发现，共论主题 （1）例举实例，感知异面直线 教师活动：让学生例举生活中的异面直线，展示生活中的异面直线 学生活动：例举生活中的异面直线 设计意图：从生活实例中感知异面直线 （2）异面直线的判定定理 教师活动：给出命题，引导学生用反正法证明判定定理 学生活动：在引导下根据异面直线的定义证明判定定理 设计意图：获取判定定理，掌握异面直线的判定方法。体会反证法的应用。（3）反馈练习，巩固判定方法 教师活动：给出命题，引导学生用反正法证明判定定理 学生活动：在引导下根据异面直线的定义证明判定定理 设计意图：获取判定定理，掌握异面直线的判定方法。体会反证法的应用。 练习：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中 （1）找出和直线AA1异面的棱所在的直线 （2）找出和直线AC异面的棱所在的直线 （3）（变式）E是AA1的中点，M是AB的中点，直线D1E和直线CM是异面直线吗？ （4）异面直线的画法：平面衬托法 教师活动：用平面衬托法画异面直线 学生活动：观察图象 设计意图：通过画图，进一步展示两条异面直线既不平行也不相交的特性。提高了学生的画图能力 （5）异面所成的角 ①自学定义 教师活动：类比平面几何，平行直线间有距离，相交直线有夹角和到角，立体几何中异面直线也有夹角和距离，过度到本节课的重点 学生活动：自学书上异面直线所成角的定义 设计意图：两条异面直线所成的角。是这节课的教学难点，书上所给的定义其实交给学生怎样找这个角，让学生先自学培养其自学能力 ②剖析定义 教师活动：启发学生思考，为什么直线平移，所夹的不大于90度的角不变学生活动：思考问题，体会通过平移，用相交直线刻画异面直线夹角的合理性设计意图：通过动画演示，化抽象为具体，使学生易于接受。 （6）相交垂直和异面垂直的区别 教师活动：启发学生思考，相交垂直和异面垂直的区别 学生活动：思考问题，体会这两个垂直的区别 设计意图：打破学生的思维常规，让学生的认知从平面上升为空间，并且体会其中的区别 （7）反馈练习，找异面直线所成的角 教师活动：给出例题
浅谈异面直线所成的角
异面直线所成角的求法 求异面直线夹角主要有三种主要方法，一是几何法，二是矢量法，三是公式法。 一、几何法： 几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面的相交直线，进而利用平面几何知识求解。基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 例：长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。 直接平移：常见的利用其中一个直线a和另一个直线b上的一个已知点，构成一个平面，在此平面做直线a的平行线。 解法一：如图④，过B1点作BE∥BC1交CB的延长线于E点。 则∠DB1E就是异面直线DB1与BC1所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=35， cos∠DB1E=734 ∴∠DB1E=cos arc 734 。 解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中， ∠C1B1E=135°，C1E=35，cos∠C1BE=734，∴∠C1BE=cos arc 734 。
课堂思考： 1.如图，PA 矩形ABCD，已知PA=AB=8 ，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。 2.在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=3，求D B和AC所成角的余弦值. 【例2】如图所示，长方体A1B1C1D1-ABCD中，∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°,求异面直线A1B与AD1所成的角的度数. 中位线平移法 分析：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。 解法一：如图①连结B1C交BC1于0，过0点作OE∥DB1，则∠BOE为所求 的异面直线DB1与BC1所成的角。连结EB，由已知有B1D=34，BC1=5，BE=35 2 ， ∴cos∠BOE=734 170∴∠BOE=cos arc 734 170 A B C D D C1 B1 A1 B C D 例2题图
立体几何篇（异面直线夹角专题） 异面直线夹角专题： 1、常见的六个夹角的范围 ①线线夹角：ο ≤θ 90 0≤ ②异面直线夹角：ο <θ 90 0≤ ③向量直线夹角：ο ≤θ 0≤ 180 ④线面夹角：ο ≤θ 90 0≤ ⑤面面夹角：ο ≤θ 0≤ 180 ⑥倾斜角：ο ≤θ 0< 180 2、异面直线夹角 平行移动异面直线至两条相交直线，所夹的线面角为原异面直线的夹角。 例1、已知正四面体ABCD中，E为AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为_________ 60，且BD=AC=1，例2、四面体A-BCD中，E、F分别是AB、CD的中点，若BD、AC所成的角为ο 则EF=______________
求线面角的方法： 1、定义法（垂线法） 2、公式法 3、等体积转化法 4、向量法 1、定义法（垂线法） 例1、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2。 （1）求异面直线PA与BC所成角的正切值； （2）证明：平面PDC⊥平面ABCD； （3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值
21cos cos cos θθθ= 其中1θ为线面角， 最小角公式、三余弦定理 例1、三棱柱111C B A ABC -，1,,AA AC AB 两两成ο60，则侧棱1AA 与底面111C B A 所成的线面角的余弦值为_______
3、等体积转化法： 例3、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O点． （1）求证：平面PBD⊥平面PAC； （2）求PA与平面PBD所成角的正弦值； （3）求CD与平面PBD所成角的正弦值；
空间角 1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。异面直线所成的角的范围：(0, ] 2 几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几 何知识求解。基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的 点。常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中 一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是 常用的方法之一。 例 1 在正方体ABCD A B C D 中，E是AB的中点， // （1）求 BA与 CC夹角的度数 . // （2）求 BA与 CB夹角的度数． (3)求 A/ E 与 CB/夹角的余弦值． 例 2：长方体 ABCD— A1B1C1D1中，若 AB=BC=3， AA1=4，求异面直线 B1D 与 BC1所成角的余弦值。 直接平移：常见的利用其中一个直线 a 和另一个直线 b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线 a 的 平行线。 解法一：如图④，过B1点作 BE∥ BC1交 CB的延长线于 E 点。 则∠ DBE 就是异面直线DB 与 BC 所成角，连结 DE交 AB于 M， DE=2DM=3 5， 1 1 1 1 7 34 cos ∠DBE= 170 解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过 B 点作 BE∥ DB1交 D1B1的延长线于E，则∠ C1BE就是异面直线DB1与 BC1所成的 角，连结 C1E，在△ B1C1E 中， ∠ C1B1E=135°， C1E=3 5 7 34 ， cos ∠C1BE= 170 课堂思考： 1. 如图， PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。
异面直线夹角 【考点例题解析】 一、平移法： 常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 直接平移法 1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小． 2．正?ABC 的边长为a ，S 为?ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面 直线SA 和EF 所成角． 3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝ 2 π ，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． B M A N C S
A B C D A 1 B 1 C 1 D 1E F 4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角． 5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成的角。 6．如图1—28的正方体中，E 是A ′D ′的中点 (1)图中哪些棱所在的直线与直线BA ′成异面直线? (2)求直线BA ′和CC ′所成的角的大小； (3)求直线AE 和CC ′所成的角的正切值； (4)求直线AE 和BA ′所成的角的余弦值 7. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大小。 B ' (图1－28) A ' A B C ' D ' C D F E
课题：异面直线所成的角 教材：中等职业教育课程改革国家规划新教材《数学》（基础模块）下册（修订本）（语文出版社） 一、教材分析 1?教学内容 “异面直线所成的角”是中等职业教育课程改革国家规划新教材，语文出版社《数学》（基础模块）下册（修订本）第九单元第二节第2部分， “直线与直线所成的角”，主要的内容是认识异面直线以及掌握异面直线夹角的定义和求解方法. 2.地位与作用 （1）空间想象能力的培养?异面直线及其夹角是立体儿何教学的重点 内容之一，也是难点之一.对发展学生的空间想象能力、培养学生优良数学思维品质是非常必要的； （2）“转化”思想.即将“三维”的问题降低维度来研究（三维到二维），空间问题平面化，不仅是这节课的重要思想，也是立体儿何学习的核心思想. （3）示范模式作用.立体儿何是对空间位置关系作研究，前面都主要 是定性研究，从本节课开始，要求我们对空间位置关系作出量化（量化研究）；异面直线夹角的概念、求法为以后求线面角和面面角提供了一种模式，起着承上启下的重要作用.
二、学情分析 1.知识基础：由于学生刚刚接触立体儿何不久，立体感还没有完全形成，虽然己经具备了一定的归纳、猜想能力，但在分析推理能力、空间想象能力方面比较欠缺。空间意识还不够，还没有解决空间问题的思路、方法和基本技能，作图时学生往往会把不同平面的直线看成是在同一个平面. 2.认知水平与能力：高二的学生已经具备了一定的归纳、猜想能力, 能够借助一些实物、多媒体辅助教学以及老师的良好引导来理解和掌握一些知识，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养. 3、任教班级学生特点：我所任班级是2014级计算机平面设计班，学生数学基础知识薄弱，班里个别学生思维较活跃，大部分学生需要教师引导、鼓励，在合作交流中解决一些问题。 三、目标分析 根据教材内容和学生的认知特点，本节课设置的教学目标为： 1 ?教学目标 知识目标：①记住异面直线的概念； ②理解异面直线夹角的概念，并掌握其求法. 能力目标：①培养学生作图能力； ②培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想； ③培养学生的空间想象能力和分析、解决问题的能力； 情感目标：①通过让学生积极参与探究，投入到课堂教学双边活动中, 培养学生的合作意识.
异面直线的夹角-线面角(含答案)
空间角 1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。异面直线所成的角的范围：]2 ,0(π 几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 例1在正方体ABCD A B C D ''''-中，E 是AB 的中点， （1）求BA /与CC /夹角的度数. （2）求BA /与CB / 夹角的度数． (3)求A /E 与CB / 夹角的余弦值． 例2：长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的余弦值。 直接平移：常见的利用其中一个直线a 和另一个直线b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a 的平行线。 解法一：如图④，过B 1点作BE ∥BC 1交CB 的延长线于E 点。 则∠DB 1E 就是异面直线DB 1与BC 1所成角，连结DE 交AB 于M ，DE=2DM=35，
cos∠ DB 1 E=734 解法二：如图⑤，在平面D 1DBB 1 中过B点作BE∥DB 1 交D 1 B 1 的延长线于E，则∠C 1BE就是异面直线DB 1 与BC 1 所成的角，连 结C 1E，在△B 1 C 1 E中， ∠C 1 B 1 E=135°，C 1 E=35，cos∠C 1 BE=734 170课堂思考： 1.如图，PA 矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。 D C1 B1 A1 C D
《异面直线所成角》专题 2018年（ ）月（ ）日 班级 姓名 世上最重要的事，不在于我们在何处，而在于我们朝着什么方向走。 1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11A D ，11C D 中点，求异面直线1AB 与EF 所成角的角______________. 2 如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为_____________. 3.正方体''''ABCD A B C D -中,异面直线'CD 和' BC 所成的角的度数是________. 4．如图9-1-3，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1,AB BC CC =，则异面直线1AA 与1BC 所成的角是_________，异面直线AB 与1CD 所成的角的度数是____________
5. 如图9-1-4，在空间四边形ABCD 中，AC BD ⊥ A C B D =,,E F 分别是AB 、CD 的中点，则EF 与AC 所成角的大小为_____________. 6．如图在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，则直线1CB 与平面11AA B B 所成角的正弦值为_______________. 7. 正方体1AC 中，1AB 与平面11ABC D 所成的角为 . 【2018全国2文数9】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A B C D 【2018全国2理数9】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA 线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B C D
异面直线及其夹角 教学目标：：知识目标：1、掌握异面直线的概念，会画空间两条异面直线的图形， 会判断两直线是否为异面直线。 2、掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能 求出一些较简单的异面直线所成的角 能力目标：在问题解决过程中，培养学生的实验观察能力、空间想能 力象、逻辑思维能力、分析问题、解决问题的能力。 教学重点、难点: 重点：异面直线所成角的概念, 能求出一些较简单的异面直线所成的角。 难点：异面直线所成角的定义, 如何作出异面直线所成的角。 教学准备：多媒体课件 教学课时：二课时 教学过程： 第一课时 一、导入新课 1．引导学生观察立交桥上的车辆为什么能畅通无阻？ 两条道路所在的直线不在同一平面。它们既不平行也不相交，这样的两条直线有什么特点呢？ 2．请学生做一个小实验，拿两支笔在空间中你能摆出几种位置关系？ 有3种：平行、相交、不平行也不相交的两条直线（对于这样的两条直线以前我们没有学习过，那么它们之间有什么特点和关系呢？）。（板书课题）
是异面直线。（这一过程主要老师进行分析，让学生完成证明过程，并及时进行改正，完善证明过程） 证明 ：（反证法）假设 直线AB 与l 共面， ∵,,B l B l αα∈??，∴点B 和l 确定的平面为α， ∴直线AB 与l 共面于α，∴A α∈，与A α?矛盾， 所以，AB 与l 是异面直线． 归纳异面直线的三种判定方法： 定义、 定理、 性质：(既不平行，也不相交)。 5．异面直线所成的角： 由动画引导启发学生如何寻找异面直线所成的角的大小，同学们都知道两条相交直线所成的角大小可以度量，那么两条异面直线的夹角我们如何求呢？（演示动画并让同学们思考）用化归的思想，将两条异面直线平移成相交，找到所成的角（所成的角共有4个，两对对顶角，这时根据平面的两条直线所成角的围让学生自己猜想应该是那一个角）。 已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条线上。（强调：这不是唯一的方法） (这是根据平行线的性质定理；如果一个角的两条边和另一个角的两条边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。) b ′ O b a b a
异面直线所成角的几种求法 异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。 一、向量法求异面直线所成的角 例1：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是相邻两侧面BCC 1B 1及CDD 1C 1的中心。求A 1E 和B 1F 所成的角的大小。 解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线 到某个点上。 作法：连结B 1E ，取B 1E 中点G 及A 1B 1中点H ， 连结GH ，有GH//A 1E 。过F 作CD 的平行线RS ， 分别交CC 1、DD 1于点R 、S ，连结SH ，连结GS 。 由B 1H//C 1D 1//FS ，B 1H=FS ，可得B 1F//SH 。 在△GHS 中，设正方体边长为a 。 GH=46a （作直线GQ//BC 交BB 1于点Q ， 连QH ，可知△GQH 为直角三角形）， HS=2 6a （连A 1S ，可知△HA 1S 为直角三角形）， GS= 426a （作直线GP 交BC 于点P ，连PD ，可知四边形GPDS 为直角梯形）。 ∴Cos ∠GHS=6 1。 所以直线A 1E 与直线B 1F 所成的角的余弦值为61。 解法二：（向量法） 分析：因为给出的立体图形是一个正方体， 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用 点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 向量的方法来求出两条直线间的夹角。 B A C D F E B 1 A 1 D 1 C 1 G H S R P Q 1