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《量子力学》习题答案

第一章绪论

1.1 由黑体辐射公式导出维思位移定律，能量密度极大值所对应的波长

m λ与温度T

成反比，即

b T m =λ （常数）

，并近似计算b 的数值，准确到二位有效值。

[解]：由黑体辐射公式，频率在ν与νν

d +之间的辐射能量密度为 ννπνρννd e

c h

d kT

h 1

由此可以求出波长在λ与λλ

d +之间的能量密度λλρd )(

由于 λν/c =, λ

λνd c

d 2

因而有：

λλ

πλλρλ

d e

d kT hc 1

8)(5

令

kT hc x =

所以有：

)(5

-=x

e Ax λρ （44558c h T k A π=常数）

由 0)

(=λλρd d 有

0)1(115)(254=??????---=λλλρd dx

e e x e x A d d x x x

于是，得： 1

)51(=-x e x

该方程的根为 965.4=x

因此，可以给出，

k hc

xk hc T m 2014.0==

即

b T m =λ （常数）

其中

k hc

b 2014.0=2383410380546.110997925.21062559.62014.0--?????

=-3

898

[注]

根据

可求能量密度最大值的频率：

令

（

）

]

[3=

因而可得

-x e

此方程的解

821

kTx

821

max

=-1

max max

其中

62559

380546

821

878

.5-

这里求得m ax

与前面求得的m ax

换算成的m

的表示不一致。

1.2 在

0k附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布罗意波长。

[解]德布罗意公式为

h =λ

因为价电子能量很小，故可用非相对论公式

μ2

p E=

代入德布罗意公式得

λ==

这里利用了电子能量E eV

=。将普朗克常数h，电子质量μ和电子电量电e的数值代入后

可得

λ==

取

V=，上式给出

708A

λ=

1.3 氦原子的动能

（

k为玻耳兹曼常数）, 求1

T k

=时, 氦原子的德布罗意波长。

[解] 当

=时，氦原子的动能

氦原子是由两个质子、两个中子以及两个电子组成，其质量

)

≈

)

67482

67252

.1(

6947

.6-

所以氦原子在

=时的德布罗意波长

38054

6947

62559

2μ

258

.1-

(m?

1.4. 利用玻尔——索末菲的量子化条件求：

（1）一维谐振子的能量；

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

[解] （1）方法一：量子化条件

?=nh

pdq

，一维谐振子的能量为

Eμω

可化为

(

)

222

2=???

? ??+

μωμE q E

上式表明，在相平面中，其轨迹为一椭圆。两半轴分别为

E a μ2=，

2μωE

b =

这个椭圆的面积为

nh v E

E ab pdq ==

==?ω

πμωμππ2222

故 nhv E

=，该式表明，一维谐振子的能量是量子化的。

方法二：一维谐振子的方程为

02=+q q

ω 其解为 )sin(δω+=t A q

dt t A dq )cos(δωω+=

而

)cos(δωωμμ+==t A q

p nh

A T A dt t A pdq T ==

+=∴

?22

)(cos 2

ωμωμδωωμ

而 )

(sin 212)(cos 21222222222

22δωμωμδωμωμωμ+++=+=t A t A q p E

nhv A ==

2221

μω

（2）设磁场方向垂直于电子运动方向，电子受到的洛仑兹力作为它作圆周运动的向心力，于是有

R H c e 2υμυ=

故

c R υ

μ=

这时因为没有考虑量子化，因此R 是连续的。

应用玻耳—索末菲量子化条件

?=nh pdq

把电子作圆周运动的半径转过的角度?作为广义坐标，则对应的广义动量为角动量

υμ?μ?μ???R R R H P ==??? ????=??=

22221

==∴

π?ππμυ?υμ?20

22nh R c eH R d R d P

n eH nhc

R ==

∴

π2

其中 π

2h =

，可见电子轨道的可能半径是不连续的。

讨论：①由本题的结果看出，玻尔—索末菲轨道量子化条件和普朗克能量量子化的要求是一致的。

②求解本题的（1）时，利用方法（一）在计算上比方法（二）简单，但方法（一）只在比较简单的情况，例如能直接看出相空间等能面的形状时才能应用。而方法（二）虽然比较麻烦，但更有一般性。

③本题所得的谐振子能量，与由量子力学得出的能量

n E n ??? ??

+=21相比较，我们发现由玻尔—索末菲量子化条件不能得出零点能

E 21

。但能级间的间隔则完全相同。前一事实说明

玻尔理论的不彻底性，它是经典力学加上量子化，它所得出的结果与由微观世界所遵从的规律——量子力学得出的结果有偏离就不足为奇了，这也说明旧量子论必须由量子力学来代替。

④

m eB n dt d ma E 2212

2 =

??? ??=θ动而

B M m eB

E B ?==

2 动?

根据统计物理学中的能均分定理，考虑到电子限制在平面内运动，自由度为2，所以电子在温度

?=k T 4和?=k T 100条件下的热运动能分别为：

2323110522.51038054.144--?=??===k kT E joul 2121038054.1100-?==k E joul

又将 10=B 特拉斯 24

109-?=B M joul/特拉斯代入（4）式

2410910910--?=??=?动E

joul

比较以上的计算结果可知：按经典统计理论计算较底温度下电子的能量与按旧量子理论计算的结果在数量级上非常接近，但在OK 附近或较高温度下，经典统计理论计算的结果与旧量子理论计算的结果相差甚远。

1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等。问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？

[解] 由能量守恒定律，光子的能量νh 转化为电子的静止能量2

c m e

2c m h e =ν

e m 为电子的静止质量

c m h c

e =

=νλm 8313410998.2101.91062559.6????=--

m 121043.2-?=??=-A 21043.2

第二章波函数和薛定谔方程

2.1 证明在定态中，几率流密度与时间无关。

[证]：在定态中，波函数可写成：

(,)()E i t

r t r e

ψ-ψ=

并由此有：t E

i e r t r

)(),(**

ψψ=

代入几率流密度的定义式)]

,(),(),(),([2*t r t r t r t r i j

ψψψψμ?-?= 则有：)]()()()([2**r r r r i j

ψψψψμ?-?=

即 j 仅是空间坐标),,(z y x 的函数，与时间无关。

2.2 由下列两定态波函数计算几率流密度。

（1）

ikr

e r

11=ψ （2）

ikr

e r

-=12ψ

从所得结果说明

1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内（即向原点）传播的球面波。

[解] 因

ikr e r

11=ψ，

ikr

e r

-=1*1ψ

则

111ψψr r r ik ??? ??-=? *

1*11ψψr r r ik ???

??+-=? 所以 ]

[21*1*11ψψψψμ?-?=

i j

????????? ??--??? ??+-=*11*11112ψψψψμr r r ik r r r ik i

r r k μ=

上述结果说明j 的方向沿矢经r 的方向，即几率沿r 方向向外流动，所以1ψ表示向外传播的球面波。

（2）与（1）类似，求得

r r

k j μ-=

此结果表明j 的方向沿矢经r 的负方向，即几率流流向原点，所以2ψ表示向内传播的球面波。

2.3 一粒子在一维势场

??>∞≤≤<∞

x a x x x U 00

0)(

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 [解]：由于势函数)(x U 不随时间变化体系的状态波函数满足定态Schr?dinger 方程

)()()()(222x E x x U x m ψψψ=+?-

其中m 表示粒子的质量。

a 0

)

()()(20222x E x U x dx d m ψψψ=+- )(0∞=U ),0(a x x >< )()(222

2x E x dx d m ψψ=- a x ≥≤0

令

22 mE =

(22

0>-= E U m β

（1）

0)()(222

=-x x dx d ψβψ ),0(a x x >< （2）

0)()(2

22=+x x dx d ψαψ )0(a x ≤≤

（3）

x e x βψ=)( 0

（4）

x e x βψ-=)( a x > （5） x B x A x ααψcos sin )(+= a x ≤≤0

（6）

当

∞→0U 时，∞→β，由（4）式和（5）式有

0)(=x ψ ),0(a x x ><

（7）

根据波函数的连续性，（6）式和（7）式所表示的波函数分别在0=x

和a x =处连续：

0)0(==B ψ

0cos sin )(=+=a B a A a ααψ

由此得

0≠A 0sin =a α

αn a = ,3,2,1=n

n π

α=

代入（1）式中的第一式，可得体系的能量：

222ma n E π=

,3,2,1=n

即粒子在势阱中运动的能量只能取分立值，对应的波函数：

x a n A x n πψsin

)(=

由波函数的归一化条件

?=1

)()(*

dx x x ψψ

，求得

A 2=

x a n a x n πψsin 2)(=

∴

2.4 证明（2.6—14）式中的归一化常数

A 1

[证] 已知（2.6—14）式的形式

???≥<+'=a

x a x a x a n A x n 0)(2sin )(π

由波函数的归一化条件

∞∞

-=1

dx ψ，有：

?-='=+'a

A a dx a x a n A 1)(2sin 22

所以

A 1

2.5 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置

[解] 由谐振子状态波函数

1/2

()()x

n n x e

H x αψα-=

得到振子在点x 处出现的几率密度

2()()()x n n x x H x αωψα-==

当1=n 时，

x x H αα2)(1=

223

12)(x

e x x α

αω-=

由 0)(1=dx x d ω 有

1x α=±

，

x =

即振子处在第一激发态时几率最大的位置x =

2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()

(x U x U -=，试证明粒子的定态波函数具有确定

的宇称。

[证]：由于势函数)(x U 与时间t 无关，粒子的波函数)(x ψ满足定态Schr?dinger 方程：

)()()()(22

22x E x x U x dx d ψψψμ=+-

（1）

其中μ是粒子的质量。将空间反演：x x

-→

)()()()(2222x E x x U x dx d -=--+--ψψψμ

（2）

因为 )()

(x U x U =-

所以（2）式可以写成

)()()()(22

22x E x x U x dx d -=-+--ψψψμ

（3）

因而，)(x ψ和)(x -ψ都是体系哈密顿算符本征方程属于同一本征值E 的解，描写同一个状态，它们之间只可能相差一常数λ

)()(x x λψψ=-

引入空间反演算符，写成：

)()()(?x x x I λψψψ=-=

空间再反演一次，有

)()()(2x x x ψλλψψ=-= 写成：)()(?22x x I ψλψ=

则有 12

=λ 或 1±=λ

所以 )()(x x ψψ=- （对称的，即具有偶宇称）

)()(x x ψψ-=- （反对称的，即具有奇宇称）

由此证得在一维势场中运动的粒子，当)()

(x U x U =-时，粒子的波函数具有确定宇称。

2.7 一粒子在一维势阱

????

?≤>>=a

x a x U x U 0

)(0

运动，求束缚态（

00U E <<）的能级所满足的方程

[解] 因)(x U 与时间无关，体系的波函数)(x ψ满足定态Schr?dinger 方程：

0)()]([2)(222=-+x x U E dx x d ψμ

即 0)(2)(222=+x E x dx d ψμψ a x ≤

0)()(2)(0222=--x E U x dx d ψμψ a x >

令

222 E μα=

202

)(2 E U -=

μβ

在

00U E <<的情况下，α

，β均为实数。以上方程可简写成

0)()

(222=+x dx x d ψαψ a x ≤ 0)()(222=-x dx x d ψβψ a x >

方程的解为：

???

???>=-<=≤+==-a

x ce x a x Be x a x x A x x x x

ββψψδαψψ)()()sin()()(321

由波函数)(x ψ及其一阶微商dx x d )

(ψ，在a x -=，a x =处连续，即

)()(12a a -=-ψψ：)sin(δαβ+-=-a A Be a

（1）

)()(13a a ψψ=： )sin(δαβ+=-a A ce a

（2）

)()(12

a a ψψ'=-'：)cos(δααββ+-=-a A Be a （3）

)()(13

a a ψψ'='：)cos(δααββ+=--a A ce a

（4）由（1）、（3）两式，可得β

δαα=+-)(a ctg （5）由（2）、（4）两式，可得β

δαα-=+)

(a ctg

（6）

比较（5）式和（6）式，)()(δαδα+=+--a ctg a ctg

πδαδαk a a 2+-=+ πδk = ,2,1,0±±=k

)

12(2

)12(+=++-=+k k a a π

δπδαδα ,2,1,0±±=k

将

0π

δ=分别代入（5）式（或（6）式）

βαα-=a ctg )0(=δ

（7）

αα=a tg

)

(π

δ=

（8）

将α、β值代入（7）式和（8）式，则得到能量所满足的方程

E E U E ctga

--=022 μ （9）

E U E tga

-=022 μ （10）

由此可见，体系的能量值由超越方程（7）和（8）（或（9）和（10））解出，它们可以用如下图解法求解，令

2 E

a x μα== （11）

(2 E U a

a y -==μβ

（12）

能级2

22x a E μ =，就可以由以下曲线交点（如果有的话）获得，即分别求曲线方程组：

?????=+-=220222a U y x y xctgx μ 或 ?????=+=22

0222a U y x y xtgx μ

在0>x ，0>y 区域内的交点，如下图所示：

从图可以看到，束缚态的数目随园

)2(2

02222a U R R y x μ=

=+的半径R 增加而增加，即随乘

积02U a （“势阱参量”）的增加而增加，如果

U a 是有限的，则束缚态的数目也是有限的。如果

)

,3,2,1,0(21

2 =+<≤N N R N ππ，则束缚态的数目是1+N 个

[附]

求对应的本征波函数，为此将0=δ

代入（1）、（2）式，有

C B -=

所以得到一组解

???

???>-=-<=<==-a

x Be x a x Be x a x x A x x x x

ββψψαψψ)()(sin )()(321

（13）

同理，将

πδ=

代入（1）、（2）式，有C B =，于是得到另一组解

???

???>=-<=<==-a

x Be x a x Be x a x x A x x x x

ββψψαψψ)()(cos )()(321

（14）

第一组解是奇函数，第二组解是偶函数，因而体系的波函数具有确定宇称。这正是势场

)()(x U x U =-所导致的必然结果。奇宇称解（13）对应由（7）式或（9）式确定的能量E ，偶宇称

解（14）对应由（8）式或（10）确定的能量E 。

A 、

B 为归一化常数，由归一化条件1

)(2

∞∞

-dx x ψ确定。

2.8 分子间的范德瓦尔斯力所产生的势能可以近似地表示

??????

?<≤≤-<≤<∞=x

b b x a U a x U x x U 0

00)(10

求束缚态的能级所满足的方程。

[解]：由于势函数)(x U 不显含时间，因而，体系的波函数满足Schr?dinger 方程

[]0)()(2)(22

=-+

x x U E dx x d ψμ

代入势函数)(x U 的形式，则

[]()???

??????>+<≤=++<≤=-+a

x x E dx

x d b x a x U E dx x d a x x U E dx x d )(2)

(0)(2)

(00)(2)(22

2122

0222ψμ

ψψμ

考虑

01<<-E U 的情形，令

022

2>=

E μα，()022021>+= E U μβ，()02212

2>+-= U E μβ

于是上述的微分方程组对写成

????????>=-<≤=+<≤=-b

x x dx

x d b x a x dx x d a x x dx x d 0)()

(0)()(00)()(222

122ψαψψβψψβψ

求解以上方程，并考虑到在0

的区域内粒子出现的几率密度为零以及在∞→x ，粒子出现的几

率为限值，于是粒子体系的波函数为

???????=≤≤'+=<≤'+=<==---x x

i x i x x Ce x b

x a e B Be x a x e

A Ae x x x x αββββψψψψψ)()(0)(00)()(4

3212211

利用)(x ψ及dx x d )

(ψ的连续性。

???-='-'-='-='+'+='+='+--------b b i b i a i a i a a

b b i b i a

i a i a a Ce e B i e iB e B i e iB e A e A Ce e B Be e B Be e A Ae A A αββββββαββββββαββββββ2222112222112222110

C B B A A ,,,,''不全为零的条件是：

0000000011221122112222221122=--------------a

i a

a i a i a a

b b i b i b

b i b i e i e i e e e e e e e e i e i e e e ββββββββαββαββββββαββ

1222222112222221

12212222=-----+---------------a

i a

i b b i b i b

b i b i a

i a

i b b i b i b

b i b i a

e e e e i e i e e e e e

e i e i e e i e i e e e e ββαββαββββββαββαββββαβββββαβββ????

???

?-----------a i a

i b i b i b

i a

i b i b

i b e i e i e e e

i e i e i e i e a sh 222222222222212ββββαββββαββαβββββ

????

???

?-------=------a i a

i b i b i b

i a i b i b

i b e e e e e

e e i e i e

a ch 222222222211ββββαββββααβββαβ

[][]

a sh e e i e e a sh a

b i a b i a b i a b i 1)()(2)()

(1222222βαβββββββ

------++-

[][]

a ch e e e e a ch i a

b i a b i a b i a b i 1)()(1)()(1212222βαββββββββ--------+-=

)(cos )(cos )(sin 21212122122a b a ch a b a sh a b a sh -+-+-ββββββαββββ 0)(sin 211=-+a b a ch ββαβ

a ch a

sh a b tg a b tg 11122222)()(ββββββαβαβ?

-=-+-+

or a

th a b tg a b tg 11

22222)()(βββ

ββαβαβ-=-+-+

在0>E

的情况下，体系处在非束缚状态，可以运动到无穷远处，因此体系的能量可以取大于零的任

意连续值。

第三章量子力学中的力学量

3.1. 一维谐振子处在基态

t i x e

x ωαπαψ2

/12

2)(--

???

??=，求

（1）势能的平均值

2221

x U μω=

;

（2）动能的平均值

2p T μ=

;

（3）动量的几率分布函数。

[解]：（1）

?∞

∞-=dx

x x x x )()(2

ψψ ?

∞

--=dx

e x x

22α

πα

∞

∞-∞∞---???

???-?

-=?dx e xe x x 2222221

ααπ

μωαα

ππα221223

=?=

ωμω41

2122==

∴x U

（2）

()()p x p x dx ψψ∞

-∞

=??

∞∞

???

? ??-=dx

e dx d i e

x x 2

2ααπ

?∞∞

----=dx e x x

2)(22

42α

ααπα ??????-?-

=πααπ

απα3422

2221 α= μω21

211

T p ωμ∴=

能量的平均值：

ω21=+=V T E

由

ω??? ?

+=21n E n 令

0=n （基态）

ω21

0=E

由上可知，处于基态的振子能量算符本征值等于振子动能、势能在基态中的平均值之和。

（3）为了求动量的几率分布函数，将),(t x ψ按平面波：

1/2

1()(2)i

p x e

ψπ=

展开

1/2

1(,)(,)(2)i

x t C p t e

ψπ∞-∞

1/2

(,)(,)(2)

i px

C p t x t e

ψπ∞

--∞

?∞∞---

-??? ??=dx

e e e Px i x t i

/12/12

2)2(1αωπαπ2

()i t C p e

ω-=

1/2

1/21

()(2)x i px

C p e

αππ∞-

--∞

= ???

1/2

()2x i px

dC p i

αππ∞-

--∞

=- ??

221/2

12x i x i Px px

i ip

e e e

dx ααααππ∞---

-∞-∞

-∞

??=---

? ?

???

1/2

222x i px

p e

dx ααππ∞-

--∞

=-??

22()

p C p α=-

()

()dC p p

C p α

=-??

2()p C p Ae

α-

由归一化条件

2()1C p dp ∞-∞=?可求得归一化常数2

/11?

? ??=πα A

1/2

2()p C p e

ααπ-

1/2

(,)p i t C p t e e

ωααπ-

-=?

∴ 动量的几率分布函数：

()(,)()p p C p t C p e

αωαπ

===

3.2．设氢原子处在

r a (r ,,)

ψθ?-= 的态，

0a 为玻尔半径，求

（1）r 的平均值；

（2）势能

r e 2

-的平均值；

（3）最可几的半经（4）动量的平均值（5）动量几率分布函数。 [解] 先检验ψ是否归一化。

????∞∞-==-∞

∞-=?θθπτψψπθπ?d drd r e a d a r

sin 10220230*

0??∞-=πθ

θ020230sin 20d dr r e a a r

re r e a dr r e a a r

a r

??∞--∞-+∞

==022220

202300004024

2220

221

r r r a a a re e

dr e

a a ∞∞-

∞=-

=-=?

这表明ψ是归一化的。

（1）????∞

∞-∞∞-==0200

2330*

sin 10π?

θθπτψψd d dr e r a d r r a r

2223323

220

2r r r a a a r e

dr r e

r e

a a a β∞

∞∞==-+?

003

0202220234660a a a dr e r a a r

===?∞-

（2）

22222*3

0()sin r

a e e e U r d re

dr d d r r a ππψψτθθ?

π-

∞????=-=-=- ? ???????

2222

422r r r a a a e e e re

dr re

a a a ∞-

∞∞=-=-?

r a e e e a a ∞-

==-

这个结果和旧量子论中，氢原子的电子沿波尔半径所规定的轨道运动时的库仑能一致。

（3）

r a (r ,,)(r ,,)e

a ωθ?ψθ?π-

因而几率的分布为球对称的，径向几率分布

420()(,,)w r dr r r d dr π

ωθ?=Ω?0

22304r

a r e dr

a -=

022300422r

a dw(r )r r e dr a a -??=- ???

令

()

0dw r dr =，即得最可几半径

0a r = （4）

12*?T p d ψψτμ=?0

0223

012r

a a e e d a τμπ--??=-

? ???

422

320

12r r

a a d d e

r e r drd dr dr

r πΩπμ-

-∞??=-

? ?????

022

22r

a r r e dr a a a μμ-∞??=

= ????

022a e s =

处于基态的氢原子能量的平均值

212a e V T E s -

=+=

由

2s n e E n μ=- 令1=n 则有

122a e e E s s -=-= μ

因此处于基态的氢原子能量本征值等于动能与势能在基态中的平均值之和。（5）为求动量的几率分布函数，将),,(?θψr 按平面波展开

12/i

p r

(r,,)C(p )e

d ψθ?τ

π???

= ?

???

12/i

p r

C(p )(r ,,)e

d ψθ?τ

π-???

= ?

2230

0112/r /i

p r cos a e

r sin drd d a θ

ππ

θθ?

ππ-

-∞????= ? ???

????

∞--???

? ??-????

??=0

/1302/301)2(2dr r e e e pr i a pr i

pr i a r

πππ

∞???? ??--???? ??+-????????-???? ?

?=0

112

/1300021dr e e r a p i r

p i a r p i a π

2230001112/i

ip ip p a a a π

--??

????????=

+-- ? ? ????????

???

222002

/1301/421?

??+?

???

?= p a a a π

()

220

3302

/130321

+???? ??=p a

a a π

()

322201

2a w(P )a p π=

曾量子力学题库(网用).

曾谨言量子力学题库一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？

量子力学试题

量子力学试题（一）及答案一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 ()???><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0 ,0 中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212 1 31210,???ψ+-= 状态上，其中，()x n ?为粒子能量的第n 个本征态。（1）求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；（2）求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 ()x a n a x n n ma E n n π ?πsin 2,3,2,1 ,222 2 2=== （1）首先，将()0,x ψ归一化。由 12131212222=???????????? ??+???? ??+???? ??c 可知，归一化常数为 13 12 =c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 32113 31341360,???ψ++-=

能量的取值几率为 ()()()13 3 ;13 4 ;136321=== E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。（2）因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为 ()()()()?? ? ??-+?? ? ??-+??? ??-= t E x t E x t E x t x 332211i exp 133i exp 134i exp 136, ???ψ （3）由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱 ()?? ? ??>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00 ,0 .0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2 V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。解：对于02 <- =V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 ()()()()??? ??-===x B x kx A x x αψψψexp sin 03 21 其中， E m V E m k 2 ;) (20= += α 在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 ()()()() a a a a '3 ' 2 32ψψψψ== 得到

量子力学期末考试试卷及答案

量子力学期末试题及答案红色为我认为可能考的题目一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义： t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量

子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。三、证明题。

2、证明概率流密度J不显含时间。四、计算题。 1、

第二题：如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，

量子力学导论习题答案(曾谨言)

第五章力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。

清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题解读

一、选择题 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为 R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) (B) (C) (D) ［］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［］ 4．4737：在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量 ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［］ 0λhc 0λhc m eRB 2)(2+0λhc m eRB +0λhc eRB 2+

5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光(B) 两种波长的光(C) 三种波长的光(D) 连续光谱［］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV，当氢原子从能量为－0.85 eV的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV，10.2 eV和1.9 eV (D) 12.1 eV，10.2 eV和 3.4 eV ［］ 9．4241：若粒子(电荷为2e)在磁感应

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曾谨言量子力学题库一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在 ),(?θ方向的立体角元?θθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1= ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系 18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ?、B ?均与算符C ?对易，即0]?,?[]?,?[==C B C A ，A ?、B ?、C ?是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ?和x 方向的角动量x L ?是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1 )(x x V μω= 的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ?dinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ?,?,?均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？

量子力学期末考试试卷及答案集复习过程

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学试题集量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ ψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A A. * ψ 一定也是该方程的一个解； B. * ψ 一定不是该方程的解； C. Ψ与* ψ 一定等价； D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l表示角动量算符，则对易运算] , [ y x l l 为：B A. ih ∧ z l 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+23 )h ω下，简并度为：B A. )1(21 +N N ；

清华大学《大学物理》习题库试题及答案____10_量子力学习题

一、选择题 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) 0λhc (B) 0 λhc m eRB 2)(2 + (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K 4．4737：在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和 3.4 eV 9．4241：若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh 10．4770：如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 11．4428：已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：a x a x 23cos 1)(π?= ψ ( - a ≤x ≤a )，那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) a 2/1 (D) a /1 12．4778：设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ 13．5619：波长λ =5000 ?的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量?λ =10- 3 ?，则利用不确定关系式h x p x ≥??可得光子的x 坐标的不确定量至少为： (A) 25 cm (B) 50 cm (C) 250 cm (D) 500 cm 14．8020：将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将 (A) 增大D 2倍 (B) 增大2D 倍 (C) 增大D 倍 (D) 不变 x (A) x (C) x (B) x (D)

量子力学试卷

量子力学试卷 1、考虑单粒子的薛定谔方程， ()()()()() 2 2 12,,,2i r t r t V r iV r r t t m ψψψ?=- ?++????? 1 V 与2 V 为实函数。证明粒子的概率（粒子数）不守恒。证明粒子在空间体积τ内的概率随时间的变化为 ()()3 3 22 ****2s d d r dS d rV r dt im τ τ ψψψ ψψψψψ =- ?-??+ ???????? 2、证明：量子力学的基本对易式 ,.x p i αβαβδ??=?? 其中,,,x y z αβ= 3、证明厄米算符的本征值必为实数，并属于不同本征值的本征函数彼此正交。 4、如果体系有一个守恒量F ，而体系的某条能级不简并（即对应于某能量本征值E 只有一个本征态E ψ），则E ψ必为F 的本征态。 5、在z s 本征态1210χ?? = ? ??下，求n σ? 的可能测值及相应的几率，其中 () sin cos ,sin sin ,cos n θ?θ?θ= 。 6．（共25分）在坐标表象中本征态矢量x 完备正交归一化条件为 1 =? dx x x 与 () ' ' x x x x -=δ 波函数为 ψ ψx x =)(。在动量表象中完备正交归一化条件

为 1 =? dp p p 与 ( )' ' p p p p -=δ 波函数为 ψ ?p p =)( （1）. 证明 dp e p x ipx /2 1)() 2(1)(?= ?πψ dx e x p ipx /2 1)() 2(1)(-?= ψπ? （2）. 在坐标表象中，能量本征方程为ψψE x V m p =??? ?? ?+)(22，试建立动量表象中的能量本征方程。 7．Pauli 算符为 ?? ? ??=0110 x σ ，??? ? ??-=00i i y σ，??? ? ??-=1001 z σ，给定()?θ方向单位矢量 ()()θ? θ?θcos sin sin cos sin ==z y x n n n n 求n n ?=σσ的本征值和本征函数 8.(1).证明λσλλσ sin cos n i i e n += (2).在0 =θ 时，λσ λσ λ sin c os z i i e z +=。利用该式证明 λ σλσσλσ λσ 2sin 2sin y x i x i z z e e -=- λ σλσσλσ λσ 2cos 2sin y x i y i z z e e +=-

量子力学期末考试试卷及答案集

量子力学期末考试试卷及答案集量子力学期末试题及答案(A) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论. 2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B A. Ψ 代表微观粒子的几率密度； B. Ψ归一化后， ψψ* 代表微观粒子出现的几率密度； C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续. 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片. 4．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A A. *ψ 一定也是该方程的一个解； B. *ψ一定不是该方程的解； C. Ψ 与* ψ 一定等价； D.无任何结论. 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒. 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态.

量子力学第四版卷一习题答案

第一章量子力学的诞生 1、1设质量为m 的粒子在谐振子势222 1 )(x m x V ω=中运动,用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。提示:利用 )]([2,,2,1, x V E m p n nh x d p -===?? Λ )(x V 解:能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ (1) 其中a 由下式决定:222 1 )(a m x V E a x ω===。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = , (2) a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a a a a ==?=-=-=??? ?+-+-222222222)21(22πωπ ωωω 得ω ωπm n m nh a η22 = = (3) 代入(2),解出 Λη,3,2,1, ==n n E n ω (4) 积分公式: c a u a u a u du u a ++-=-? arcsin 2222 22 2 1、2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解:除了与箱壁碰撞外,粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变,仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向,把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件,对于x 方向,有 ()?==?Λ,3,2,1, x x x n h n dx p 即 h n a p x x =?2 (a 2:一来一回为一个周期) a h n p x x 2/=∴, 同理可得, b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, Λ,3,2,1,,=z y x n n n 粒子能量

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B. ih ∧ z l C.i ∧ x l D.h ∧ x l 7．如果算符 ∧A 、∧B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则：B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着 ∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 9．与空间平移对称性相对应的是：B A. 能量守恒； B.动量守恒； C.角动量守恒； D.宇称守恒。 10．如果已知氢原子的 n=2能级的能量值为-3.4ev ，则 n=5能级能量为：D A. -1.51ev; B.-0.85ev; C.-0.378ev; D. -0.544ev 11．三维各向同性谐振子，其波函数可以写为nlm ψ ，且 l=N-2n ，则在一确定的能量 (N+2 3 )h ω下，简并度为：B A. )1(21 +N N ；

量子力学试题及答案

2002级量子力学期末考试试题和答案 B 卷一、（共25分） 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分） 3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、在一维情况下，求宇称算符P ?和坐标x 的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。（5分）二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态 )21exp(3231)0,(2 2x x x ααπαψ-??????-=，其中 ημω α=，求 1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。 2、0>t 时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵

??? ?? ? ?++λλλλλλ23303220 21的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为： [])()()()(21 12212211q q q q S ????φ+= 4、宇称算符P ?和坐标x 的对易关系是：P x x P ?2],?[-=，将其代入测不准关系知，只有当0?=P x 时的状态才可能使P ?和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P ?和x 的共同本征函数。 5、设F ?和G ?的对易关系k ?i F ?G ?G ?F ?=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ?、G ?和k 在态ψ中的平均值，令 F F ?F ?-=?，G G ?G ?-=?，则有 42 2 2 k )G ?()F ?(≥???，这个关系式称为测不准关系。时间t 和能量E 之间的测不准关系为： 2η ≥ ???E t 二、1、由于1?2=A ，所以算符A ?的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ?的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ?的矩阵是：???? ??-=1001)(?A A

量子力学试卷C

第 1 页（共 3 页）玉溪师范学院××至××学年上学期期末考试试卷课程名称：《量子力学》（试卷编号：C ）（本卷满分100分，考试时间120分钟）考试方法：考试考查闭卷开卷仅理论部分其他系（院）：物理与教育技术系专业：物理年级：××级 ×× 班学号：姓名：考试时间: 月日时分一、填空题（本大题共4题，每空4分，共24分） 1、L X ，L Y 算符的，L - ，L +分解为。 2、由于泡里原理，对氢原子的描述必须引入第个量子数，它是，也可以是。 3、光学定理是指。 4、氢原子的基态波函数为。二、名词解释（本大题共3题，每题4分，共12分） 1、表象： 2、厄米算符： 3、内禀角动量：三、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号；本大题共20题，每小题1分，共 20分） 1、有关德不罗意物质波的关系为：（） A 、λ= p h B 、λ= p C 、λ=hk D 、p=hk 2、当n=2时，氢原子波函数的简并度为：（） A 、3 B 、5 C 、9 D 、4 3、一维谐振子的真空态能量为：（） A 、（1/2 ） ω B 、（3/2 ） ω C 、 ω D 、（1/3 ） ω 4、在球坐标表象中，角动量算符L 2z 为：（） A 、i 2 2 2φd d B 、-2 2 2φd d C 、i 2 2φd d D 、-i 2 2φ d d 5、在实验室里，描写原子体系的Schrodinger 方程为：（） A 、-ih （d/dt ）φ=[- 2/2m +V （r ）]φ B 、-H φ=E φ C 、ih （d/dt ）φ=[- 2/2m +V （r ）]φ D 、H φ=- E φ 6、角动量与动量的不确定关系为：（） A 、[L y ，p x ]=0 B 、[L y ，p x ]=-i L Z C 、[L y ，p x ]=-i L Z D 、[L y ，p x ]= 7、泡里矩阵的σ z 2分量为：（） A 、-1 B 、1 C 、)10 1( - D 、3 8、所谓的转动不变性是指：（）请考生注意：答题时不要超过“装订线”，否则后果自负。

量子力学(第1-4章)考试试题

第一至四章例题一、单项选择题 1、普朗克在解决黑体辐射时提出了【】 A 、能量子假设 B 、光量子假设 C 、定态假设 D 、自旋假设 2、若n n n a A ψψ=?，则常数n a 称为算符A ?的【】 A 、本征方程 B 、本征值 C 、本征函数 D 、守恒量 3、证实电子具有波动性的实验是【】 A 、戴维孙——革末实验 B 、黑体辐射 C 、光电效应 D 、斯特恩—盖拉赫实验 4、波函数应满足的标准条件是【】 A 、单值、正交、连续 B 、归一、正交、完全性 C 、连续、有限、完全性 D 、单值、连续、有限 5、已知波函数 )exp()()exp()(1Et i r Et i r ??ψ+- =, )exp()()exp()(22112t E i r t E i r ??ψ+-=, )exp()()exp()(213Et i r Et i r -+-=??ψ, )exp()()exp()(22114t E i r t E i r -+-=??ψ 其中定态波函数是【】 A 、ψ2 B 、ψ1和ψ2 C 、ψ3 D 、3ψ和ψ4 6、在一维无限深势阱? ??≥∞<=a x a x x U ,,0)(中运动的质量为μ的粒子的能级为【】 A. πμ222 22 n a B. πμ22224 n a C. πμ22228 n a D. πμ2222 16 n a . 7、量子力学中用来表示力学量的算符是【】 A 、线性算符 B 、厄米算符 C 、幺正算符 D 、线性厄米算符 8、]? ,?[x p x = 【】 A 、0 B 、 i C 、 i - D 、 2 9、守恒量是【】 A 、处于定态中的力学量 B 、处于本征态中的力学量 C 、与体系哈密顿量对易的力学量 D 、其几率分布不随时间变化的力学量

量子力学试卷C

玉溪师范学院××至××学年上学期期末考试试卷课程名称：《量子力学》（试卷编号：C ）（本卷满分100分，考试时间120分钟）考试方法：考试考查闭卷开卷仅理论部分其他系（院）：物理与教育技术系专业：物理年级：××级 ×× 班学号：姓名：考试时间: 月日时分一、填空题（本大题共4题，每空4分，共24分） 1、L X ，L Y 算符的，L - ，L +分解为。 2、由于泡里原理，对氢原子的描述必须引入第个量子数，它是，也可以是。 3、光学定理是指。 4、氢原子的基态波函数为。二、名词解释（本大题共3题，每题4分，共12分） 1、表象： 2、厄米算符： 3、内禀角动量：三、单项选择题（选择正确答案的字母填入括号；本大题共20题，每小题1分，共20分） 1、有关德不罗意物质波的关系为：（） A 、λ= p h B 、λ=p C 、λ=hk D 、p=hk 2、当n=2时，氢原子波函数的简并度为：（） A 、3 B 、5 C 、9 D 、4 3、一维谐振子的真空态能量为：（） A 、（1/2 ） ω B 、（3/2 ） ω C 、 ω D 、（1/3 ） ω 请考生注意：答题时不要超过“装订线”，否则后果自负。

4、在球坐标表象中，角动量算符L 2z 为：（） A 、i 2 22φd d B 、-2 22φd d C 、i 22φd d D 、-i 2 2 φd d 5、在实验室里，描写原子体系的Schrodinger 方程为：（） A 、-ih （d/dt ）φ=[- 2/2m +V （r ）]φ B 、-H φ=E φ C 、ih （d/dt ）φ=[- 2/2m +V （r ）]φ D 、H φ=- E φ 6、角动量与动量的不确定关系为：（） A 、[L y ，p x ]=0 B 、[L y ，p x ]=-i L Z C 、[L y ，p x ]=-i L Z D 、[L y ，p x ]= 7、泡里矩阵的σz 2分量为：（） A 、-1 B 、1 C 、)1 00 1 ( - D 、3 8、所谓的转动不变性是指：（） A 、QND B 、SO （3） C 、QE D D 、su （2） 9、力学量算符A 随时间的变化规律为：（） A 、=)(t A dt d i -1[A ，H] B 、=)(t A dt d i 1[A ，H] C 、=)(t A dt d i 1[H ，A] D 、= )(t A dt d i -1[H ，A] 10、关于分波法，正确的描述是：（） A 、是一个近似方法，但通常要考虑多个相移 B 、是一个精确方法，但通常要考虑多个相移 C 、是一个近似方法，但通常要考虑2个相移 D 、是一个精确方法，但通常只要考虑2个相移四、判断题（本大题共10题，正确的打“√”，错误的打“×”，每题2分，共20分） 1、态叠加原理表明：任意态都可以用完备集合的本征态展开（） 2、由于波耳的对应原理，在经典物理中没有自旋，所以量子力学中的自旋没有确切的物理意义。（） 3、屏蔽的库仑场中，角动量的Z 分量是一个守衡量。（） 4、联系力学量A 在两个表象之间的变换为平移变换。（） 5、电子体系的波函数必定没有对称性。（） 6、描写的体系的量子数越多，描写就越精确。（） 7、磁通是一个经典概念，但在一定条件下仍然可以量子化。（） 8、两个光子只能分别占据两个量子态。（） 9、在量子力学中，转动不变性导致动量守衡。（） 10、分波法不可用于高能散射的研究。（）五、计算题（本大题共3题，共24分） 1、用不确定关系估计一维无限深势阱中粒子基态时的能量，并求第一激发态时X 与P X 的平均值。（8分）

量子力学第四版卷一习题答案

x a 即为粒子运动的转折点。有量子化条件 e 2 nh 得a 2 ---- m 代入(2)，解出设粒子限制在长、宽、高分别为 a,b,c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为 P x n x h/2a , n x ,n y ,n z 1,2,3, 粒子能量第一章 1 设质量为m 的粒子在谐振子势 V(x) -m 2 量子力学的诞生 2x 2 中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。提示：利用 0 P dx nh, n 1,2, j2m[E V(x)] 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为其中a 由下式决定：E V (x) 1 -m 2 由此得 a j2E/m 2 口 p dx 2 j2m(E a ' 2 2 X . x ) 2m a _ __________ J a 2 x 2 dx a 2m a 2 nh E n n 1,2,3, (4) 积分公式： J a 2 u 2du arcs in^ c 2 a X, y, z 轴方向，把粒子沿 X, y, z 轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于 X 方向，有口 P x dx n x h n x 1,2,3, P x 2a n x h (2a :—来一回为一个周期) 同理可得, P y n y h/2b . P z n z h/2c ,

mh ，因而平面转子的能量 1,2,3, 有一带电荷e 质量m 的粒子在平面内运动（解）带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动条件是： ,垂直于平面方向磁场是 B,求粒子能量允许值 ,设圆半径是r ,线速度是v ,用高斯制单位, E n x n y n 2m 2 2 2 2 、 P y P z ) 2m 2 n x ―2 a 2 n y b 2 2 n z c n x ,n y , n z 1,2,3, 设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。 2 提示：利用0 p d nh, n 1,2, ,p 是平面转子的角动量。转子的能量 P 2 /2I 。解：平面转子的转角（角位移）记为它的角动量p I （广义动量）是运动惯量。按量子化条件 p dx mh m 1,2,3, Bev 2 mv (1 ) 又利用量子化条件 P 电荷角动量转角 2 口 pdq 0 mrvd 2 mrv nh ⑵ 即 mrv nh 由（1）（2）求得电荷动能再求运动电荷 ⑶ =1 2 --mv 2 在磁场 Be n 2mc 中的势能，按电磁学通电导体在磁场中的势能磁矩*场强电流*线圈面积*场强 2 ev* r * B e r 一 , v 是电荷的旋转频率，v 六，代入前式得运动电荷的磁势能--B^^ （符号是正的 2mc 点电荷的总能量-动能+磁势能-E-Be n 2mc (n 1,2,3 ) ，未找到答案 E m P 2 /2I m 2 2 /2I ，洛伦兹与向心力平衡

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