量子力学试卷
1、考虑单粒子的薛定谔方程，
()()()()()
2
2
12,,,2i r t r t V r iV r r t t
m
ψψψ?=-
?++?????
1
V 与2
V 为实函数。
证明粒子的概率（粒子数）不守恒。
证明粒子在空间体积τ内的概率随时间的变化为
()()3
3
22
****2s
d d r dS d
rV r dt
im
τ
τ
ψψψ
ψψψψψ
=-
?-??+
????????
2、证明：量子力学的基本对易式
,.x p i αβαβδ??=?? 其中,,,x y z
αβ=
3、证明厄米算符的本征值必为实数，并属于不同本征值的本征函数彼此正交。
4、如果体系有一个守恒量F ，而体系的某条能级不简并（即对应于某能量本征值E 只有一个本征态E
ψ），则E
ψ必为F 的本征态。
5、在z
s 本征态1210χ??
= ?
??下，求n
σ?
的可能测值及相应的几率，其
中
()
sin cos ,sin sin ,cos n θ?θ?θ=
。
6．（共25分）在坐标表象中本征态矢量x
完备正交归一化条件
为
1
=?
dx x x
与
()
'
'
x
x x
x -=δ
波函数为
ψ
ψx x =)(。在动量表象中完备正交归一化条件
为
1
=?
dp p p
与
(
)'
'
p
p p
p -=δ
波函数为
ψ
?p p =)(
（1）. 证明 dp
e
p x ipx
/2
1)()
2(1)(?=
?πψ
dx
e
x p ipx
/2
1)()
2(1)(-?=
ψπ?
（2）. 在坐标表象中，能量本征方程为ψψE x V m p =???
??
?+)(22，
试建立动量表象中的能量本征方程。
7．Pauli 算符为
??
?
??=0110
x
σ
，???
? ??-=00i i y
σ，???
? ??-=1001
z
σ，
给定()?θ方向单位矢量
()()θ?
θ?θcos sin sin cos sin ==z y x n n n n
求n n
?=σσ的本征值和本征函数 8.(1).证明λσλλσ
sin cos n i i e n
+=
(2).在0
=θ
时，λσ
λσ
λ
sin c os z
i i e z
+=。利用该式证明
λ
σλσσλσ
λσ
2sin 2sin y x i x i z
z
e
e
-=-
λ
σλσσλσ
λσ
2cos 2sin y x i y i z
z
e
e
+=-