学生姓名杨其明年级初一授课时间2012-9-8 教师姓名许晶课时 2 教学目标：
1．通过具体情境的观察、思考、探索，理解有理数的概念，了解分类讨论思想；
2．借助数轴理解数形结合思想，学会用数轴比较数的大小，解决一些数学问题；
3．理解互为相反数的意义、绝对值的意义，会进行与之有关的计算；
重点：
1、负数的概念，并会应用负数概念解决一些实际问题。
2、有理数概念的理解，有理数的分类和识别，。
3、绝对值和相反数的概念，用数轴比较数的大小，解决一些实际问题。
4、有理数的加减法法则
难点：有理数的概念、分类和识别
说明：本次课主要是正对课本1.1正数和负数、1.2有理数进行复习巩固。
第一部分：正负数、有理数定义，有理数分类
【知识回顾】
（1）正数：像3，2，＋0.5这样大于0的数叫做。
（2）负数：像－3，－2，－155这样在正数前面加上负号“－”的数叫做。
（3）0既不是也不是，0是正数与负数的。0的意义已不仅是表示“没有”，如0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度。
（4）在同一问题中，分别用正数和负数表示的量具有的意义。
（5）对于正数与负数，不能简单理解为带“＋”就是正数，带“－”的就是负数，如－a，当a＝0时，－a＝，当a表示负数时－a是，只有当a是正数时－a才是。
2、有理数的定义
、、统称为整数。如：－2，101，0，－10.正分数和负分数统称为，
如：1.2，0.3，
2
5
-，
22
7
，－3.1。如：－1，0.003，0，
6
7
-，
1
3
，－7.9，32。整数和
分数统称有理数。有理数也可以分为正数、零、负数，正数又分为、。
3、有理数分类
【典型例题】
例1、判断：（边读题边判断边讲解） （1）前面带有“－”的数是负数（ ） （2）在有理数中‘0的意义仅仅表示没有（ ）
（3）3.14既不是整数也不是分数，因此它不是有理数( ) 例2
-4.5， 3.14， -2， +43， .
0.6-， 0.618，
722，0，-0.212，184
- 正数： 个；负数： 个；整数： 个；分数： 个；正分数： 个；负分数： 个；正整数： 个；负整数： 个；非正整数： 个；非负整数： 个； 例3、（1）在知识竞赛中，如果用＋10分表示加10分，那么扣20分怎样表示？
（2）某人转动转盘，如果用＋5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？
（3）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作＋0.02克，那么－0.03克表示什么？
【随堂练习1】
1、判断
（1）前面带有“－”的数是负数（）
（2）在有理数中‘0的意义仅仅表示没有（）
（3）3.14既不是整数也不是分数，因此它不是有理数（）（4）存在既不是正数，也不是负数的数（）
（5）a是正数（）
（6）－a是正数（）
（7） a和－a一定有一个表示负数（）
（8）a和－a表示一对相反数（）
2、将下列各数分别填入相应的大括号里：
-3.5， 3.14， -2， +43，
.
0.6
， 0.618，
7
22
，0，-0.202
正数集合：｛….｝负数集合：｛…….｝
整数集合：｛….｝分数集合：｛…….｝
正分数集合：｛….｝正整数集合：｛….｝
负分数数集合：｛….｝负整数集合：｛….｝
非负整数集合：｛….｝非正整数集合：｛….｝3、在4个不同时刻。对同一水池中的水位进行测量，记录如下：上升3厘米，下降6厘米，下降1厘米，不升不降。如果上升3厘米记为＋3厘米，那么其余3个记录怎样表示？
4、（1）如果节约20千瓦·时记作＋20千瓦·时，那么浪费10千瓦·时电记作什么？（2）如果－20.50元表示亏本20.50元，那么＋100.57元表示什么？
（3）如果＋20%表示增加20%，那么－6%表示什么？
第二部分：数轴
【知识回顾】
一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：
（1）在直线上取一个点表示0，这个点叫做原点，通常情况下原点的选取是任意的； （2）通常规定直线上从原点 （或向上）为正方向，从原点 （或向下）为负方向； （3）选取适当的长度为 ，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示－1，－2，－3，…
【典型例题】
例3、数轴上的点（4道题共用一条数轴，后面的在前面的基础上变化而来）
第 4 题 图
画图时将点B 的坐标改为1
（1）（2009年宜宾）在数轴上的点A 、B 位置如图所示，则线段AB 的长度为 。 （2）在数轴上，到表示-5的点的距离为6的点所表示的数是 。
【随堂练习2】
1、（2009年宜宾）在数轴上的点A 、B 位置如图所示，则线段AB 的长度为 。
第 4 题
图
2、(2010河北)如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上， CD = 6，点A 对应的数为-1，则点B 所对应的数为 ．
3、 在数轴上点P 表示的数是2，那么在同一数轴上与点P 相距5个单位的点表示的数是 。
4、点A 为数轴上表示-2的动点，当A 点沿数轴移动4个单位长度到B 点时，点B 所表示的实数为 。
5、一个点从数轴的原点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动9个单位长度所到达的终点是表示数____________的点。
第三部分：相反数，绝对值，倒数
【知识回顾】
1、相反数
几何定义：数轴上表示相反数的两个点分布在原点两旁且到原点的 ，这两个点关于 对称。
代数定义：只有 不同的两个数叫做互为相反数。
（1）在任意一个数前面加上“ ”号，新的数就是原数的相反数。如－（－3）＝3，－（＋1.6）＝－1.6，相反数是它本身的数是 。
（2）一般地，数a 的相反数是 ，0的相反数是 .如：2.5的相反数是－2.5，15与15
互为相反数。
（3）a,b 互为相反数 或
或
2、绝对值
几何定义：一般地，数轴上表示数a 的点与 叫做数a 的绝对值，记作
代数定义：∣a ∣ 或 ∣a ∣
注：非负数的绝对值等于它的 ，负数的绝对值等于它的 。
【典型例题】
1、－｛＋3〖－（＋6.6）〗｝＝ 。
2、（2009年福州）2010的相反数是 。
3、若a －2 的相反数是5，则a 的值为____．
4、求下列各数的绝对值
（1）－38；（2）－0.15；（3）m(m ＜0)；（4）3c(c ＞0)
6、判断
（1）如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身（ ） （2）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数（ ） （3）|a |一定是正数（ ）
7、m m
= 。（b ≠0)
【随堂练习3】
1、判断(边读边判断边讲解）
（1）两个有理数，绝对值小的离原点近（ ） （2）有理数的绝对值一定是正数（ ）
（3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等（ ） （4）如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身（ ） （5）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数（ ） （7）|a |一定是正数（ ） （8）|
21a |=－2
1
a ，则a 一定是非正数（ ） （9）若|a |＝|b|，则a ＝
b ； ( ) （10）
(0)b b
b b
b
=
≠ ；（ ） 2、求下列各数的绝对值（由数到字母再到式子逐个演变去绝对值符号）
（1）－38 （2）0.15 （3）a(a ＜0) （4）3b(b ＞0) （5）a －2(a ＜2) （6）a-b(a ＞b) 3、若5=a ，则a 的值是 .
5、(2010巴中)-3∕2的倒数的绝对值 2∕3 。
6、如果-2∕3的相反数恰好是有理数a 的绝对值，那么a 的值是±2∕3。
7、如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是 。
第四部分：有理数大小比较
【知识回顾】
在数轴上表示有理数，它们从左向右的顺序，就是从小到大的顺序，即小于。（1）正数大于0，0大于负数，正数大于；
（2）两个负数，绝对值大的。
特别提示：
异号两数大小比较，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们绝对值的大小。两个数的大小关系反映的是数轴上的两个点的左右关系，两个数绝对值的大小反映的是数轴上两个点，到原点距离的大小。
【典型例题】
例11、比较下列每组数的大小：
（1）-2和+6；（2）0和-1.8；（3）-3
2
和-4；
例12、指出数轴上A、B、C、D、E各点分别表示的有理数，并用“＜”将它们连接起来。
【随堂练习4】
1、比较下列每组数的大小：
（1）－10，－7；（3）－9，0；
（4）3.8，－4.1，－3.9；（5）－8
9
和－
9
10
；
2、在数轴上把下列各数的相反数表示出来，并比较它们的大小。
7，－4
5
，－3.5，0，
4
3
3、下表记录了某日我国几个城市的平均气温：
将各城市的平均气温从高到低进行排列。
4、正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定。现有一场足球比赛。选取6个足球对其质量进行检测，检测结果（用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数）如下：－25，＋10，－20，＋30，＋15，－40.清指出哪个足球更标准？为什么？
有理数的概念 知识点一、有理数的概念及分类 1、正数与负数： 正数：像1，1.1，517，2009 等大于0 的数，叫做正数； 负数：像-1，-1.1，-517，-2009 等在正数前面加上“-”负号的数，叫做负数。 正数都大于零，负数都小于零，即正数>0>负数。 “0”既不是正数，也不是负数。 在实际生活中，用正数、负数表示相反意义的量： 向东走100 米记作－100 米，则向西走五十米记作+50 米。 盈利100 元记作+100 元，则亏损100 元记作什么？ 水位升高1.2 米，下降0.7 米，如何用有理数表示？ 2、有理数：整数与分数统称为有理数 注：（1）任意有限小数和无限循环小数都是分数； （2）无限不循环小数不是有理数，如π ； （3）正数和零统称为非负数；
注意：0 既不是正数，也不是负 数，是唯一的中性数 （4）0 是正数和负数的分界点，但不是最小的有理数。 3、数集：把一些具备同一特征的数放在一起，就组成数的集合，简称数集。 例如：所有的有理数组成的数集叫有理数集；所有的整数组成的数集叫整数集。 4、有理数“0”的作用： 随堂练习 1、气温下降2度记?2°C，那么上升3度表示为°C . 2、用+20米表示前进20米，那么?15米表示. 3、如果向北走10 m记作+10 m，那么?6 m表示（）. A 、向东走6 m B、向西走6 m C、向南走6 m D、向北走6 m 4、有理数包括（）. A 、整数、分数和零 B 、正有理数、负有理数和零 C 、正数和负数D、正数和分数 5、下列说法中，正确的是（）. A 、在有理数中，零的意义表示没有 B 、一个数不是正数就是负数
第一讲有理数 【1.1正数与负数】 知识点对应训练 知识点1：正数、负数的概念 像3、2、0.5、1.8％这样比0大的数叫，根据需要， 有时在正数前面加上“+”，如+5，，，，…。正数 前面的“+”，一般省略不写：而像-3、-2、-3.5％这样在正数前面加 上“—”号的数叫。如-6，，…。“-6”读 作。 【例1】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ -10，1，-0.5，0，36，52 -，15％，-60， 53 1 -，22.8 解： 1、下列各数 -11 ，0.2，81 -， 7 4 +，1， -1， -a， -30％中， （）一定是正数， （）一定是负数。 知识点2：对“0”的理解。 0既不是数，也不是数，它是正数与负数的分水岭。它 的意义很特殊，它既可以表示“没有”，也可以表示特定的意义。 【例2】对于“0”的说法正确的有（） ①0是正数与负数的分界；②0℃是一个确定的温度； ③0是正数；④0是自然数；⑤不存在既不是正数也不是负数的数。 解： 2下列说法正确的有（）。 ①0是最小的自然数； ②0是整数也是偶数； ③0既非正数也非负数； ④一个数不是正数就是负数； ⑤负数也叫非正数。 ⑥一个数，如果不是正数，必定就是负数． 知识点3;用正数和负数表示具有相反意义的量。 相反意义的量必须具有两个要素：一是它们的意义；二是 它们都具有数量，而且一定是量。 【例3】下面问题中： （1）将水位上升3m时水位变化记作+3m；则水位下降3m时水位变 化记作-3m。 （2）在一个月内，小明的身高增加2.5cm，记作+2.5cm；体重下降 3kg，记作-3kg （3）某人存进银行1900元，记作+1900元；取出500元，记作-500 元。 （4）向东走500m记作+500m；向西走120m，记作-120m. （5）小张往前走10m,记作+10m,那么他往左走5m记作-5m. 表述有错误的是（）。 3、用正数和负数表示同一问题中具有相反 意义的量。 ①某校七年级举行足球比赛，一班胜两局， 记作+2；则三班输一局，记作。 ②如果浪费8度电，记作-8度；那么节约 15度电记作。 ③如果高于海平面100m记作+100m，那么低 于海平面36m记作。 ④我校的入学检测中，以60分为标准，若 王飞得了85分记作+25分，那么，张生得 了45分记作。
学生姓名杨其明年级初一授课时间2012-9-8 教师姓名许晶课时 2 教学目标： 1．通过具体情境的观察、思考、探索，理解有理数的概念，了解分类讨论思想； 2．借助数轴理解数形结合思想，学会用数轴比较数的大小，解决一些数学问题； 3．理解互为相反数的意义、绝对值的意义，会进行与之有关的计算； 重点： 1、负数的概念，并会应用负数概念解决一些实际问题。 2、有理数概念的理解，有理数的分类和识别，。 3、绝对值和相反数的概念，用数轴比较数的大小，解决一些实际问题。 4、有理数的加减法法则 难点：有理数的概念、分类和识别 说明：本次课主要是正对课本1.1正数和负数、1.2有理数进行复习巩固。 第一部分：正负数、有理数定义，有理数分类 【知识回顾】 （1）正数：像3，2，＋0.5这样大于0的数叫做。 （2）负数：像－3，－2，－155这样在正数前面加上负号“－”的数叫做。 （3）0既不是也不是，0是正数与负数的。0的意义已不仅是表示“没有”，如0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度。 （4）在同一问题中，分别用正数和负数表示的量具有的意义。 （5）对于正数与负数，不能简单理解为带“＋”就是正数，带“－”的就是负数，如－a，当a＝0时，－a＝，当a表示负数时－a是，只有当a是正数时－a才是。 2、有理数的定义 、、统称为整数。如：－2，101，0，－10.正分数和负分数统称为， 如：1.2，0.3， 2 5 -， 22 7 ，－3.1。如：－1，0.003，0， 6 7 -， 1 3 ，－7.9，32。整数和 分数统称有理数。有理数也可以分为正数、零、负数，正数又分为、。 3、有理数分类
有理数的概念知识梳理 有理数的概念一、目标认知学习目标： 了解正数、负数、有理数的概念，会用正数和负数表示相反意义的量。掌握一个数的相反数的求法和性质，学习使用数轴，借助数轴理解相反数的几何意义，会借助数轴比较有理数的大小。掌握一个数的绝对值的求法和性质，进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义。 重点： 有理数的概念及其分类，相反数的概念及求法，绝对值的概念及求法，数轴的概念及应用；有理数比较大小 难点：绝对值的概念及求法，尤其是用字母表示的时候的意义。运用数轴理解绝对值的几何意义。有理数比较大小的方法的掌握。 二、知识要点梳理 知识点一：负数的引入 要点诠释： 正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6℃和零下6℃等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。 用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。 知识点二：正数和负数的概念 要点诠释： （1）像3、1.5、、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。 （2）像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。负数比0小。 （3）零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。 注意： （1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号， 例如：3、1.5、也可以写作＋3、＋1.5、＋。 （2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。 例如：－a一定是负数吗？答案是不一定。因为字母a可以表示任意的数， 若a表示的是正数，则－a是负数；若a表示的是0，则－a仍是0； 当a表示负数时，－a就不是负数了（此时－a是正数）。 知识点三：有理数的有关概念 要点诠释： 1、有理数：整数和分数统称为有理数。 注：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。 但是本节中的分数不包括分母是1的分数。 （2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。 （3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。 2、整数包括正整数、零、负整数。例如：1、2、 3、0、－1、－2、－3等等。 3、分数包括正分数和负分数，例如：、、0.6、－、－、－0.6等等。 知识点四：有理数的分类 要点诠释： 1、按整数、分数的关系分类： 2、按正数、负数与0的关系分类： 注：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数，则a＞0表明a是正数；a＜0表明a是负数；a 0表明a是非负数；a 0表明a是非正数。 知识点五：数轴的概念 要点诠释： 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 数轴的定义包含三层含义：（1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；（2）数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；（3）原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。 知识点六：数轴的画法
有理数 一、学习目标： ● 理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类； ● 理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算； ● 通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算； ● 通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。 二、重点难点： ● 有理数的相关概念，如：绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等,有理数的运算； ● 有理数运算法则尤其是加法法则的理解；有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运 算。 三、学习策略： ● 先通过知识要点的小结与典型例题练习，然后进行检测，找出漏洞，再进行针对性练习，从而达 到内容系统化和应用的灵活性。 四、知识框架： 五、知识梳理 1、知识点一：有理数的概念 （一）有理数： （1）整数与分数统称__________________ 按定义分类： _______________???????????????????? _ _ _ _ _ _ _ _ _有理数 _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 按符号分类： __________??????????????? _ _ _ _ _ _ _ _有理数零 _ _ _ _ _ _ _ _
注：①正数和零统称为_______________；②负数和零统称为_______________③正整数和零统称为_______________；④负整数和零统称为_______________. （2）认识正数与负数： ①正数：像1，1.1，17 ，2008等大于_______________的数，叫做_______________. 5 ，-2008等在正数前面加上“－”（读作负）号的数，叫__________注意：_________ ②负数：像-1，-1.1，-17 5 都大于零，___________都小于零.“0”即不是_________，也不是__________. （3）用正数、负数表示相反意义的量： 如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其___________意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其___________意义的量.如：若-5米表示向东走5米，则+3米表示向____________走3米；若+6米表示上升6米，则-2米表示____________；+7C表示零上7C，-7C则表示____________ . （4）有理数“0”的作用： 作用举例 表示数的性质0是自然数、是有理数、是整数 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表 表示没有 示 表示某种状态00C表示冰点 表示正数与负数的 0非正非负，是一个中性数 界点 （二）数轴 （1）概念：规定了______________ 、______________和______________的直线 注：①______________、______________、______________称为数轴的三要素，三者缺一不可. ②单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的，后者指所取度量单位的，即是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变. （2）数轴的画法及常见错误分析 ①画一条水平的______________； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为______________： ③确定向右的方向为______________，用______________表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的要一致.
有理数的相关概念 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
第一讲有理数的相关概念 【知识要点及巩固】 一、有理数基本概念 1、正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数。在小学学过的数，除0外都是正 数。正数都大于0。 2、负数：像-1、-3.12、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做 负数。负数都小于0。 0既不是正数，也不是负数。 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。 注意：正数和负数是表示相反意义的量。 如：南为正方向，向南km 3 -。 3表示为km 1表示为km +，那么向北km 1 3、有理数：整数与分数统称为有理数。 4、无理数：无限不循环小数，如π。 5.有理数的分类： 6.几个重要概念： 注意：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。
例1：判断下列说法正确与否 ⑴ 一个有理数不是整数就是分数 （ ） ⑵ 一个有理数不是正数就是负数 （ ） ⑶ 一个整数不是正的，就是负的 （ ） ⑷ 一个分数不是正的，就是负的 （ ） 例2： 1、（2016山东德州）把下列各数填入表示相应集合的大括号中： -7.2，4 3 ，-9, 1.4，0, 3.14，π，5 412，-2.5， 121121112.0，3 6 整数集合{ } 正数集合{ } 分数集合{ } 有理数集合{ } 非正数集合{ } 负分数集合{ } 想一想：a +一定是正数吗？a -一定是负数吗？ 例3：（2014七中嘉祥）将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： （1）在A 处的数是正数还是负数？ （2）负数排在A 、B 、C 、D 中的什么位置？ （3）第2014个数是正数还是负数排在对应于A 、B 、C 、D 中的什么位置
有理数的有关概念和分类 知识要点 1、一个整数a 和一个非零整数b 的比是有理数（rational number ），例如：12，-53 ，155 ，实际上所有的整数都可以写成分数的形式． 2、有理数分类，有理数可以按形式以及正负分类： 3．数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。数轴上右边的数总比左边的数大。数轴上的点不都代表有理数 4. 相反数：只有符号不同的两个数叫相反数。0的相反数是0。 判断互为相反数的两种方法：①从式子上看，若0a b +=，则a b 与互为相反数；②从直观上看a a -与是互为相反数。 一、夯实基础 (一)选择题 1.下列表示的数轴中，正确的是( ) A ． B ． C ． D ． 2.有理数a 、b 、c 在数轴上所对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是 ( ) A ．b ＞c ＞0＞a B ．a ＞b ＞c ＞0 C ．b ＞0＞a ＞c D ．a ＞c ＞b ＞0 3.如图，A 、B 、C 、D 、E 为某未标出原点的数轴上的五个点，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ，则点D 所表示的数是( ) A ．10 B ．9 C ．6 D ．0 4. 下 列 结 论 正确 的 有 （ ） ①任何有理数都有相反数；②符号相反的两个数互为相反数； ③表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等； ④若有理数a ，b 互为相反数，则它们一定异号. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5.若a ＜－1，则a ，－a ，1a ，-1 a 的大小关系是( ) A ． B ． C ． D ． 6. 点A 在数轴上表示＋2，将点A 沿数轴向左平移3个单位到点B ，则点B 所示的有理数是( ) A ．3 B ．－1 C ．5 D ．－1或3 7. 若m ＋n ＝0，n ＋p ＝0，且m －q ＝0，则( ) A ．p 与q 相等 B ．m 与p 互为相反数 C ．m 与n 相等 D ．n 与q 相等 8. 已知两个有理数a ，b ，如果ab ＜0，且a ＋b ＜0，那么( )． A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＜0，b ＞0 C ．a ，b 异号 D ．a ，b 异号，且负数的绝对值较大 9. 一个动点M 从数轴上距离原点4个单位长度的位置向右运动2s,到达点A 后立即返回,运动7s 到达点B,若动点M 运动的速度为每秒2个单位长度,则此时点B 在数轴上所表示的数是( ) ??? ? ?????????? ???负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0???? ?? ???????? ?负分数负整数负有理数正分数正整数 正有理数有理数0
初一数学通用有理数的定义及其分类练习题 （答题时间：60分钟） 一、选择题。 1、在－1、0、1、2这四个数中，既不是正数也不是负数的是（） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 2、小明的爸爸开的小店昨日获利120元，在每日收支账本上写了“120元”，今天小店亏了20元，他应记作（） A. 20元 B. －20元 C. －20 D. 100元 3、如果＋10%表示“增加10%”，那么“减少8%”可以记作（） A. －18% B. －8% C. ＋2% D. ＋8% 4、某工厂计划每月生产800吨产品，二月份生产了750吨，那么它超额完成（） A. －50吨 B. －750吨 C. 50吨 D. 750吨 5、下列说法正确的是（） A. “黑色”和“红色”是具有相反意义的量 B. “快”和“慢”是具有相反意义的量 C. “向北4.5米”和“向南4.5米”是具有相反意义的量 D. “＋15米”表示向东走了15米 *6、下面关于“0”的叙述正确的有（） （1）是整数，也是有理数；（2）不是正数，也不是负数；（3）不是整数，是有理数；（4）是整数，不是自然数。 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 *7、下列说法正确的个数有（） （1）0是整数；（2）－113是负分数；（3）3.2不是正数；（4）自然数一定是正数；（5）负分数一定是负有理数。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 **8、某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午10时为0，10时以前为负，10时以后为正，如9∶15记为－1，10∶45记为1等。则上午7∶45应记为（） A. 3 B. －3 C. －2.5 D. －7.45 二、填空题。 9、小明的姐姐在银行工作，她把存入4万元记做＋4万元，那么支取 2.5万元应记做__________，－3万元表示：__________。 10、一种零件的长在图纸上标示为：20±0.01（单位：mm），表示这种零件的长应是20mm，加工要求最大不超过__________，最小不小于__________。 11、在有理数：－1，2.5，0，1，112，－15中，整数有__________。 **12、下列语句：①所有整数都是正数；②所有正数都是整数；③奇数都是正数；④分数是有理数；⑤在有理数中，不是负数就是正数；⑥非正整数是零和负整数。其中正确的语句是__________，不正确的语句是__________。（只写序号） 三、计算题。 13、说明下列每句话的实际意义。 （1）支出－50元；（2）向西走－100米； （3）成本增加－10%；（4）温度上升－8℃；
2013中考全国100份试卷分类汇编 有理数的概念 1、（德阳市2013年）一5的绝对值是 A. 5 B. 15 C. －1 5 D. －5 答案：A 解析：－5的绝对值是它的相反数，所以，选A 。 2、（2013达州）－2013的绝对值是（ ） A ．2013 B ．-2013 C ．±2013 D ．12013 - 答案：A 解析：负数的绝对值是它的相反数，故选A 。 3、（绵阳市2013 C ） A B C ． D ． ［解析］考查相反数，前面加个负号即可，故选 C 。 4、（2013陕西）下列四个数中最小的数是（ ） A ．2- B ．0 C ．3 1 - D ．5 考点：此题一般考查的内容简单，有相反数、倒数、绝对值、具有相反意义的量的表示及正负数的概念等简单的知识点，本题考查简单的数的比较大小。 解析：引入正负数时了解正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小：绝对值大的反而小，此题故选A ．
7、（2013山西，1，2分）计算2×（-3）的结果是（）A．6 B．-6 C．-1 D．5 【答案】B 【解析】异号相乘，得负，所以选B。 8、（2013?新疆）﹣1 5 的绝对值是（） A、－1 5 B、－5 C、5 D、 1 5 9、（2013成都市）2的相反数是（） A.2 B.－2 C.1 2 D. 1 - 2 答案：B 解析：2的相反数为－2，较简单。 10、（2013?曲靖）某地某天的最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃，则该地这一天的温差是 11、(2013年临沂)2 的绝对值是
（A ）2.（B ）2-. （C ）12. （D ）12 -. 答案：A 解析：负数的绝对值是它的相反数，故选A 。 12、(2013年江西省)－1的倒数是（ ）． A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．0 【答案】 B . 【考点解剖】 本题考查了实数的运算性质，要知道什么是倒数． 【解题思路】 根据倒数的定义，求一个数的倒数，就是用1除以这个数，所以－1的倒数为1(1)1÷-=-，选B. 【解答过程】 ∵1(1)1÷-=-，∴选B . 【方法规律】 根据定义直接计算． 【关键词】 实数 倒数 13、(2013年南京)计算12-7?(-4)+8÷(-2)的结果是 (A) -24 (B) -20 (C) 6 (D) 36 答案：D 解析：原式＝12＋28－4＝36，选D 。 14、(2013年武汉)下列各数中，最大的是（ ） A ．－3 B ．0 C ．1 D ．2 答案：D 解析：0大于负数，正数大于0，也大于负数，所以，2最大，选D 。 15、（2013四川南充，2，3分）0.49的算术平方根的相反数是 （ ） A.0.7 B. －0.7 C.7.0± D. 0 答案：B 解析.0.49的算术平方根为0.7，又0.7的相反数为－0.7，所以，选B 。 16、（2013四川南充，1，3分）计算－2+3的结果是 （ ） A.－5 B. 1 C.-1 D. 5 答案：B 解析：本题考查实数的运算，－2＋3＝1。 17、（2013凉山州）﹣2是2的（ ）
期末复习有理数易错题专项复习 一、 知识点复习 1、有理数的定义：________和________统称为有理数。 2、有理数的分类：按照符号分类，可以分为________、________和________；按照定义分类，可以分为________和________：整数分为________、________和________；分数分为________和________。 3、数轴的定义：规定了________、________和________的________叫数轴。 4、数轴的三要素：数轴的三要素是指________、________和________，缺一不可。 5、用数轴比较有理数的大小：在数轴上，________的点表示的数总比________的点表示的数大。 6、绝对值的定义：数轴上____________与________的________，叫做这个数的绝对值。 7、绝对值的表示方法如下：2-的绝对值是2，记作________；3的绝对值是3，记作________；0的绝对值是________。 8、相反数的定义：__________、__________的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的________。 9、表示一个数的相反数就是在这个数的前面添一个________号，如 2的相反数可表示为________，3 2 - 的相反数可表示为________。 10、有理数加法法则： ①同号两数相加，取________的符号，并把________相加； ②异号两数相加，________相等时，和为________；绝对值不等时，取__________符号，并用________________。 ③一个数与0相加，________。 11、有理数减法法则：减去一个数，等于____________。 12、有理数加法运算律：加法交换律：=+b a ________；加法结合律：=++c b a )(________。 13、有理数乘法法则：两数相乘，同号________，异号________，并把________相乘；任何数与0相乘都得________。 14、多个非零的有理数相乘，积的符号是由________的个数决定的：当________的个数是奇数个时，积为________；当________的个数为偶数个时，积为________。 15、有理数除法法则：除以一个数，等于________________。 16、乘方的定义：________________的运算叫做乘方。 17、对于式子n a ，________是指数，________是底数，________是幂，它表示的意义是________________。 18、乘方的符号法则：正数的________次幂都是正数；负数的________次幂是负数，负数的________次幂是正数。 19、科学记数法的定义：把一个大于10的数记成a ?n 10的形式，其中a 的范围是________，n 是______，这样的记数法叫做科学记数法。科学计数法中，10的指数等于原数的整数位数减去_______。 20、有理数混合运算的顺序：先________，再________，最后________；若有括号，先________________。同级运算应该________依次计算；对于多重括号应该遵循________依次去括号。 二、选择 1．下列说法正确的是（ ） A ．有理数就是正有理数和负有理数的统称 B ．最小的有理数是0 C ．有理数都可以在数轴上找到一个表示它的点 D ．整数不能写成分数形式 2．温度上升3-度后，又下降2度实际上就是（ ） A ．上升1度 B ．上升5 度 C ．下降1 度 D ．下降5度 3.下列说法错误的个数有（ ）个。 ①任何正整数都可以看做是由若干个“1”组成的。 ②正数、零和负数组成了全体有理数。③如果收入增加300元记作300+元，那么“500-元”表示的意义是支出减少500元。④任意一个自然数 m 加上正整数n 等于m 进行n 次加1运算。 A.4 B. 3 C.2 D.1 4．下列说法正确的是（ ） A ．没有最大的正数，却有最大的负数 B ．数轴上离原点越远，表示数越大 C ．0大于一切非负数 D ．在原点左边离原点越远，数就越小 5．下列说法正确的个数是（ ） ①一个数的绝对值的相反数一定是负数；②正数和零的绝对值都等于它本身；③只有负数的绝对值是它的相反数；④互为相反数的两个数的绝对值一定相等；⑤任何一个有理数一定不大于它的绝对值。 A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 6．下列说法中：①a -一定是负数；② a -一定是正数；③倒 数等它本身的数是±1；④绝对值等于它本身的数是1。其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．如果b a ，都代表有理数，并且0=+b a ，那么( ) A ．b a ，都是0 B ．b a ，两个数至少有一个为0 C ．b a ，互为相反数 D ．b a ，互为倒数 8．a 代表有理数，那么a 和a -的大小关系是( ) A ．a 大于a - B ．a 小于a - C ．a 大于a -或a 小于a - D ．a 不一定大于a - 9．如果b a ，互为相反数，那么下面结论中不一定正确的是（ ） A ．0=+b a B ． 1-=b a C ．2a ab -= D ．b a = 10．若a a -=-22，则数a 在数轴上的对应点在（ ） A ．表示数2的点的左侧 B ．表示数2的点的右侧 C ．表示数2的点或表示数2的点的左侧 D ．表示数2的点或表示数2的点的右侧 11．下列说法正确的是( ) A ．两数的和大于每一个加数 B ．两个数的和为负数，则这两个数都是负数 C ．两个数的和为0，则两个数都是0 D ．两个数互为相反数，则这两个数的和为0 12．算式53--不能读作（ ） A ．3-与5的差 B ．3-与5-的和 C ．3-与5-的差 D ．3-减去5 13．几个有理数相乘，若负因数的个数为奇数个，则积为（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．非负数 14．一个有理数和它的相反数相乘，积为（ ） A ．正数 B ．负数 C ．正数或0 D ．负数或0 15．一个非零的有理数与它的相反数的商是（ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．无法确定 16．两个不为零的有理数相除，如果交换被除数与除数的位置， 它们的商不变，那么这两个数（ ） A ．一定相等 B ．一定互为倒数 C ．一定互为相反数 D ．相等或互为相反数 17．一个有理数的平方是正数,则这个数的立方是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．正数或负数 D ．奇数 18．若a 是负数，则下列各式不正确的是（ ） A ．22)(a a -= B ．2 2a a = C ．33 )(a a -= D ．)(33a a --= 19．n 为正整数时，n )1(- +1 ) 1(+-n 的值是（ ） A ．2 B ．-2 C ．0 D ．不能确定
有理数的相关概念 教学目标： 掌握有理数的基本性质及相关概念并能实现灵活应用； 教学重难点分析： 重点：1、有理数中的知识与概念； 难点：1、绝对值、有理数知识的灵活应用； 知识点梳理： 1、正数与负数； 3、数轴； 4、相反数； 5、绝对值； 6、有理数比较大小； 知识点1、正数与负数 【例1】在8.5，-2.1，+4,0.6，，0中，是负数的是_________。 【例2】水位上升20m记作+20m，则-30m表示______________，水位不升不降记为__________。 【例3】某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，由此可知在____℃至_____℃范围内保存才合适。 【例4】某图纸上说明：一种零件的直径是mm，下列尺寸合格的是【】 A.30.05mm B.29.08mm C.29.97mm D.30.01mm 【例5】七年级一班第一小组五名同学某次数学测试的平均分数为85分，一名同学以平均成绩为标准，超过平均分记为正，低于平均分记为负，将五名同学的成绩分别记作-15分，-4分，0分，4分，15分，则这五名同学的实际成绩分别是多少分？
【随堂练习】 1、把下列各数分别填入相应的集合里． ()88.1,5,2006,14.3,722,0,34,4++----- 正数集合：｛ …｝； 负数集合：｛ …｝； 整数集合：｛ …｝； 分数集合：｛ …｝。 2、上升3.5米记作_________米；下降5.3米记作__________米。 3、某冷库的温度是16-℃，下降了5℃，又下降了4℃，则两次变化后的冷库的温度是__________。 4、某食品包装上标有“净含量385±5克”，这袋食品的合格率含量范围是 克至 克. 5、排球比赛所使用的排球质量是有严格规定的。现检查4个排球的质量，超过规定质量的记做正数，不足规定质量的记做负数。1—4号排球检查结果如下＋15，－10，＋30，－20，那么哪一号排球的质量好些【 】 A.1号 B.2号 C.3号 D.4号 6、某饮料公司生产的一种瓶装饮料，外包装上印有“60030（ml ）”的字样，那么30ml 表示什么含义？质检局对该产品抽查了5瓶，容量分别为603ml ，611ml ，588ml ，568ml ，628ml ，问抽查的产品是否合格？ 7、光明牛奶再一次质量检测中，测得七袋牛奶的质量分别为498克、500克、503克、496克、497克、502克、504克。这七袋牛奶质量的平均值是多少？ 以平均值为标准（超出为正、低于为负），用正、负数分别表示出他们对应的数。
华东师大版七年级数学练习卷（二） 班级＿＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿＿＿ 座号＿＿＿＿ （有理数的概念） 一、填空题：（每题 2 分，共 24 分） １、如果零上 5℃记作＋5℃,那么零下3℃记作＿＿＿＿＿。 ２、－2 的相反数是＿＿＿＿＿。 ３、化简：－（＋3）＝＿＿＿＿＿。 ４、－ 的绝对值是＿＿＿＿＿。 ５、绝对值为 2，符号是“－”的数是＿＿＿＿＿。 ６、化简：－ ＝＿＿＿＿＿。 ７、比较大小：0＿＿＿＿－3 ８、绝对值小于 3 的整数有＿＿＿＿＿个。 ９、一个数的相反数是它本身，这个数是＿＿＿＿＿。 10、－（－2）表示的意义是 －2 的＿＿＿＿＿数。 11、比 －2 大而比 3 小的整数有＿＿＿＿＿个。 12、在数轴上与原点距离为 2 个单位的点所表示的数是＿＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 3 分，共 18 分） １、下列各数中，是正数的有（ ） －3，－（－1），＋（－），０，，－ Ａ、1个 Ｂ、2个 Ｃ、3个 Ｄ、4个 ２、如果向东为正，那么－6千米就是表示（ ） A 、向东走 6 千米 B 、向北走 6 千米 C 、向南走 6 千米 D 、向西东走 6 千米 ３、下列各组数中，互为相反数的是（ ） A 、－0.75 和 Ｂ、－ 和 0.2 Ｃ、 和 Ｄ、2 和 －(－2) ４、下列各图中，所表示的数轴正确的是（ ） Ａ、 Ｃ、 Ｄ、 ５、a 为有理数，则下列结论正确的是（ ） A 、－a 的负有理数 B 、 是正数 Ｃ、 是非负数 Ｄ、＝a ６、有理数 a 、b 在数轴上对应点如图所示，下列各式正确的是（ ） Ａ、 ＞ b Ｂ、a ＜ －b Ｃ、a ＞ b Ｄ、 ＜ 三、１、画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点： 0 -1 1 2 0 -1 1 2h ttp
有理数概念整理 一、 有理数的意义 1、 正数和负数 知识点1正数和负数的概念 （1） 在正数前面加“－”的数，叫做负数。负数比0小。 （2） 零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。 （2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。例如：－a 一定是负数吗？答案是不一定。 知识点2 有理数的有关概念 有理数：整数和分数统称为有理数。 知识点3 有理数的分类 （1） 按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类： ?????????????????正整数整数0负整数有理数正分数分数负分数 ??????????????? 正整数 正有理数正分数有理数0负整数负有理数负分数 注 通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也 叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。 2、 数轴 知识点1 数轴的概:规定了原点、正方向和单位长度的直线 数轴有三要素——原点、正方向、单位长度 知识点2数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。 知识点3 利用数轴比较有理数的大小 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。 3、相反数 知识点1 相反数的概念：只有符号不同的两个数，0的相反数是0。 知识点2 相反数的关系若a 、b 互为相反数则a+b=0 4、绝对值 知识点1 绝对值的概念：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作“a ” 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即 , 0) 00, (0) 0-(0) a a a a a a a a a a a >?≥?? ===??≤??
(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编 有理数相关的概念 一、选择题 1. （2011江苏连云港，9，3分）写出一个比－1小的数是______． 考点：有理数大小比较。 专题：开放型。 分析：本题答案不唯一．根据有理数大小比较方法可得． 解答：解：根据两个负数，绝对值大的反而小可得﹣2＜﹣1，所以可以填﹣2．答案不唯一． 点评：比较有理数的大小的方法：（1）负数＜0＜正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小． 2. （2011?南通）如果60m 表示―向北走60m‖，那么―向南走40m ‖可以表示为（ ） A 、﹣20m B 、﹣40m C 、20m D 、40m 考点：正数和负数。 分析：本题需先根据已知条件得出正数表示向北走，从而得出向南走需用负数表示，最后即可得出答案． 解答：解：60m 表示―向北走60m‖，那么―向南走40m‖可以表示﹣40米．故选B ． 点评：本题主要考查了正数和负数，在解题时要能根据正数和负数分别表示什么意义是本题的关键． 3. （2011陕西，1，3分） 32-的相反数是（ ） A ．2 3- B ．2 3 C ． 3 2 D ．3 2- 考点：倒数。 专题：计算题。 分析：根据倒数的意义，两个数的积为1，则两个数互为倒数，因此求一个数的倒数即用1 除以这个数． 解答：解：3 2- 的倒数为， 1÷（3 2- ）=2 3- ， 故选：A ． 点评：此题考查的是倒数，关键是由倒数的意义，用1除以这个数即是．
4.（2011四川广安，1，3分）一3的倒数是（） A．1 3 B． 1 3 -C． 1 3 ±D．3 考点：倒数专题：有理数 分析：乘积等于1的两个数互为倒数，所以－3的倒数是1÷（－3）＝ 1 3 -． 解答：B 点评：一般地，()0 a a≠的倒数为1 a ，并且一个数与它的倒数符号相同． 5.（2011四川凉山，1，4分）0.5 -的倒数是（） A．2 -B．0.5C．2 D．0.5 - 考点：倒数． 专题：计算题． 分析：根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，－0.5×（－2）＝1即可解答．解答：解：根据倒数的定义得：－0.5×（－2）＝1，因此倒数是－2．故选A． 点评：本题主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 6.（2011台湾，10，4分）在1～45的45个正整数中，先将45的因子全部删除，再将剩下的整数由小到大排列，求第10个数为何（） A．13 B．14 C．16 D．17 考点：有理数大小比较。 分析：根据45的因子有1，3，5，9，15，全部删除后，即可得出第10个数的值． 解答：解：∵1～45的45个正整数中，先将45的因子全部删除， 而45的因子有1，3，5，9，15，所以全部删除后， 由小到大排列，第10个数为：14． 故选：B． 点评：此题主要考查了有理数中数的因子的性质，找出45的因子是解决问题的关键． 7.（2011重庆市，1，4分）5的倒数是
有理数的概念 一、目标认知 学习目标： 了解正数、负数、有理数的概念，会用正数和负数表示相反意义的量。掌握一个数的相反数的求法和性质，学习使用数轴，借助数轴理解相反数的几何意义，会借助数轴比较有理数的大小。掌握一个数的绝对值的求法和性质，进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义。 重点： 有理数的概念及其分类，相反数的概念及求法，绝对值的概念及求法，数轴的概念及应用；有理数比较大小 难点： 绝对值的概念及求法，尤其是用字母表示的时候的意义。运用数轴理解绝对值的几何意义。有理数比较大小的方法的掌握。 二、知识要点梳理 知识点一：负数的引入 要点诠释： 正数和负数是根据实际需要而产生的，随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，比如一些有相反意义的量：收入200元和支出100元、零上6℃和零下6℃等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎样表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的的量规定为负的，这样就产生了正数和负数。 用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。 知识点二：正数和负数的概念 要点诠释： （1）像3、1.5、、584等大于0的数，叫做正数，在小学学过的数，除0以外都是正数，正数比0大。 （2）像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。负数比0小。 （3）零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。 注意： （1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号， 例如：3、1.5、也可以写作＋3、＋1.5、＋。 （2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。 例如：－a一定是负数吗？答案是不一定。因为字母a可以表示任意的数， 若a表示的是正数，则－a是负数；若a表示的是0，则－a仍是0； 当a表示负数时，－a就不是负数了（此时－a是正数）。
有理数的历史定义 数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比，例如3/8，通则为a/b，故又称作分数。所有有理数的集合表示为Q，Q+,或。定义如下： 有理数的小数部分有限或为循环。不是有理数的实数遂称为无理数。 有理数在希腊文中称为λογο?，原意是“成比例的数”。英文取其意，以ratio为字根，在字尾加上-nal构成形容词，全名为rational number，直译成汉语即是“可比数”。对应地，无理数则为“不可比数”。 但并非中文翻译不恰当。有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，在中国明代，从西方传入中国，而从中国传入日本时，出现了错误。 明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》前6卷时的底本是拉丁文。他们将这个词（“λογο?”）译为“理”，这个“理”指的是“比值”。日本在明治维新以前，欧美数学典籍的译本多半采用中国文言文的译本。日本学者将中国文言文中的“理”直接翻译成了理，而不是文言文所解释的“比值”。后来，日本学者直接用错误的理解翻译出了“有理数”和“无理数”。 当有理数从日本传回中国时又延续错误。清末中国派留学生到日本，将此名词传回中国，以至现在中日两国都用“有理数”和“无理数”的说法 可见，由于当年日本学者对中国文言文的理解不到位，才出现了今天的误译。 运算[编辑] 有理数集对加、减、乘、除四则运算是封闭的。有理数的加法和乘法如下： 两个有理数和相等当且仅当 有理数中存在加法和乘法的逆： 时， 古埃及分数[编辑] 主条目：古埃及分数 古埃及分数是分子为1、分母为正整数的有理数。每个有理数都可以表达为有限个两两不等的古埃及分数的和。例如： 对于给定的正有理数，存在无穷多种表达成有限个两两不等的古埃及分数之和的方法。 形式构建[编辑] 数学上可以将有理数定义为建立在整数的有序对上的等价类，这里不为零。我们可