广东省广州六中2015届高三上学期9月月考数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选择香中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合M={x|x2=9}，N={x∈Z|﹣3≤x＜3}，则M∩N=（）
A．?B．{﹣3} C．{﹣3，3} D．{﹣3，﹣2，0，1，2} 2．（5分）已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x+y+1=0与圆相切．
其中真命题的序号是（）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
3．（5分）不等式（﹣x）（x﹣）＞0的解集为（）
A．{x|＜x＜} B．{x|x＞} C．{x|x＜} D．{x|x＜或x＞}
4．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4934 8200 3623 4869 6938 7481
A．08 B．07 C．02 D．01
5．（5分）已知向量的夹角为，且，，在△ABC中，
，D为BC边的中点，则=（）
A．1B．2C．3D．4
6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲
线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）
A．﹣=1 B．﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
7．（5分）在数列{a n}中，若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值（n∈N*），且a7=2，a9=3，a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=（）
A．132 B．299 C．68 D．99
8．（5分）将n2个正整数1、2、3、…、n2（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算某行或某列中的任意两个数a、b（a＞b）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n=2时，数表的所有可能的“特征值”的最大值为（）
A．B．C．2D．3
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．本大题分为必做题和选做题两部分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．（5分）函数单调增区间为．
10．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为．
11．（5分）现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有．
12．（5分）已知正数x，y满足x+2y=1，则的最小值为．
13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若z=kx+y的最大值为5，则实数k=．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分。【坐标系与参数方程选做题】
14．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|=．
【几何证明选讲选做题】
15．如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB 的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）若f（+）=，且α∈（﹣，），求tanα的值．
（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象（完成列表并作图）．
（1）列表
x 0 π
y ﹣1 1
（2）描点，连线
17．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x（个） 2 3 4 5
加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5
（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（2）求出y关于x的线性回归方程=x+，并在坐标系中画出回归直线；
（3）试预测加工10个零件需要多少时间？
（注：=，=﹣）
18．（14分）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面BCE，△BCE为等边三角形，M，F分别是BE，BC的中点，DN=DC．
（1）证明：EF⊥AD；
（2）证明：MN∥平面ADE；
（3）若AB=1，BC=2，求几何体ABCDE的体积．
19．（14分）设正数数列{a n}为等比数列，a2=4，a4=16，记b n=2?log2a n
（1）求a n和b n；
（2）证明：对任意的n∈N+，有?…＞成立．
20．（14分）焦点在x轴的椭圆C1：+=1（3≤a≤4），过C1右顶点A2（a，0）的直线l：y=k（x﹣a）（k＞0）与曲线C2：y=x2﹣相切，交C1于A2、E二点．
（1）若C1的离心率为，求C1的方程．
（2）求|A2E|取得最小值时C2的方程．
21．（14分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为
y=e（x﹣1）+2．
（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．
广东省广州六中2015届高三上学期9月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选择香中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合M={x|x2=9}，N={x∈Z|﹣3≤x＜3}，则M∩N=（）
A．?B．{﹣3} C．{﹣3，3} D．{﹣3，﹣2，0，1，2}
考点：交集及其运算．
专题：计算题．
分析：由集合M和集合N的公共元素构成集合M∩N，由此利用集合M={x|x2=9}={﹣3，3}，N={x∈Z|﹣3≤x＜3}={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，能求出M∩N．
解答：解：∵集合M={x|x2=9}={﹣3，3}，
N={x∈Z|﹣3≤x＜3}={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴M∩N={﹣3}．
故选B．
点评：本题考查集合的交集的概念及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
2．（5分）已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x+y+1=0与圆相切．
其中真命题的序号是（）
A．①②③B．①②C．①③D．②③
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：对于①由球的体积公式V=可知①正确；对于②通过举反例，如2，2，2
和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；对于③利用圆
的圆心到直线x+y+1=0的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可．
解答：解：①由球的体积公式V=可知，若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；故①正确；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；
③圆的圆心到直线x+y+1=0的距离d==半径r，故直线x+y+1=0与圆
相切，③正确．
故选C．
点评：本题主要考查了命题的真假判断与应用，主要考查了球的体积公式、平均数和方差、直线与圆的位置关系等，属于基础题．
3．（5分）不等式（﹣x）（x﹣）＞0的解集为（）
A．{x|＜x＜} B．{x|x＞} C．{x|x＜} D．{x|x＜或x＞}
考点：一元二次不等式的解法．
专题：不等式的解法及应用．
分析：把不等式（﹣x）（x﹣）＞0化为（x﹣）（x﹣）＜0，求出它的解集即可．
解答：解：不等式（﹣x）（x﹣）＞0可化为
（x﹣）（x﹣）＜0；
解得＜x＜；
∴原不等式的解集为{x|＜x＜}．
故选：A．
点评：本题考查了求一元二次不等式的解集问题，解题时应根据解一元二次不等式的基本步骤，进行解答即可，是容易题．
4．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4934 8200 3623 4869 6938 7481
A．08 B．07 C．02 D．01
考点：简单随机抽样．
专题：概率与统计．
分析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．
解答：解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，
第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，
第三个数为08，符合条件，
以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，
故第5个数为01．
故选D．
点评：本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．
5．（5分）已知向量的夹角为，且，，在△ABC中，
，D为BC边的中点，则=（）
A．1B．2C．3D．4
考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模；向量的加法及其几何意义．
分析：利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用三角形的平行四边形法则表示出；利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的模．
解答：解：
=
=
=
=
=
故选A
点评：本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则：平行四边形法则、向量模的平方等于向量的平方．
6．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）
A．﹣=1 B．﹣=1
C．﹣=1 D．﹣=1
考点：双曲线的标准方程．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：
y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．
解答：解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，
令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，
∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，
∴=2，
∵c2=a2+b2，
∴a2=5，b2=20，
∴双曲线的方程为﹣=1．
故选：A．
点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
7．（5分）在数列{a n}中，若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值（n∈N*），且a7=2，a9=3，a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=（）
A．132 B．299 C．68 D．99
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由题意数列各项以3为周期呈周期变化，所以a98=a2=4，a7=a1=2，a9=a3=3，进而
S100=33×（a1+a2+a3）+a1．由此能够求出S100．
解答：解：∵在数列{a n}中，若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值（n∈N*），
∴a n+3=a n．即数列各项以3为周期呈周期变化
∵98=3×32+2，
∴a98=a2=4，a7=a1=2，a9=a3=3，
a1+a2+a3=2+3+4=9，
∴S100=33×（a1+a2+a3）+a100=33×（a1+a2+a3）+a1
=33×9+2=299．
故选B
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
8．（5分）将n2个正整数1、2、3、…、n2（n≥2）任意排成n行n列的数表．对于某一个数表，计算某行或某列中的任意两个数a、b（a＞b）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n=2时，数表的所有可能的“特征值”的最大值为（）
A．B．C．2D．3
考点：归纳推理．
专题：简易逻辑．
分析：可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数的可能，可得特征值，比较后可得答案．
解答：解：当n=2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，
当1、2同行或同列时，这个数表的“特征值”为；
当1、3同行或同列时，这个数表的特征值分别为或；
当1、4同行或同列时，这个数表的“特征值”为或，
故这些可能的“特征值”的最大值为．
故选：B．
点评：题考查类比推理和归纳推理，属基础题．
（一）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．本大题分为必做题和选做题两部分．
必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．（5分）函数单调增区间为（﹣∞，﹣2）．
考点：复合函数的单调性．
专题：函数的性质及应用．
分析：先求原函数的定义域，再将原函数分解成两个简单函数y=、g（x）=x2
﹣4，因为y=单调递减，求原函数的单调递增区间，即求g（x）=x2﹣4的减区间（根据同增异减的性质），再结合定义域即可得到答案．
解答：解：∵，
∴要使得函数有意义，则x2﹣4＞0，即（x+2）（x﹣2）＞0，解得，x＜﹣2或x＞2，
∴的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
要求函数的单调递增区间，即求g（x）=x2﹣4的单调递减区间，
g（x）=x2﹣4，开口向上，对称轴为x=0，
∴g（x）=x2﹣4的单调递减区间是（﹣∞，0），
又∵的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），
∴函数，的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）．
故答案为：（﹣∞，﹣2）．
点评：本题主要考查复合函数单调性的问题、函数单调性的应用、一元二次不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，求复合函数单调性时注意同增异减的性质即可，求单调区间特别要注意先求出定义域，单调区间是定义域的子集．属于基础题．
10．（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：几何体是圆柱与球体的组合体，根据三视图判断圆柱的高及圆柱的底面圆半径，判断球的半径，把数据代入圆柱与球的体积公式计算．
解答：解：由三视图知：几何体是圆柱与球体的组合体，
圆柱的高为1，圆柱底面圆的半径与球的半径都为1，
∴几何体的体积V=π×12×1+×π×13=．
故答案为：．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．
11．（5分）现有4名教师参加说课比赛，共有4道备选题目，若每位教师从中有放回地随机选出一道题目进行说课，其中恰有一道题目没有被这4位教师选中的情况有144．
考点：计数原理的应用．
专题：排列组合．
分析：利用间接法，先确定4个老师无遗漏的选择，再去掉恰好2、3、4道题目未被选的情况，即可得出结论
解答：解：由题意，每个老师都有4种选择，所以4个老师无遗漏的选择是44=256种，
其中恰好2道题目未被选的有（+）=84、恰好3道目未被选（四人选了同一道题，
有4种）、恰好0道题目未被选的（四道题都被选，有=24种）．
故共有256﹣84﹣4﹣24=144，
点评：本题考查计数原理的应用，考查间接法，解题的关键是去掉恰好2、3、4道题目未被选的情况，属于中档题．
12．（5分）已知正数x，y满足x+2y=1，则的最小值为18．
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
解答：解：∵正数x，y满足x+2y=1，
∴=（x+2y）=10+=18，当且仅当x=4y=时取等号．
∴的最小值为18．
故答案为：18．
点评：本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．
13．（5分）已知变量x，y满足约束条件，若z=kx+y的最大值为5，则实数k=﹣1或．
考点：简单线性规划的应用．
专题：不等式的解法及应用．
分析：画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，进一步利用目标函数z=kx+y的最大值为11，判断目标函数经过的点，即可求出k的值．
解答：解：由变量x，y满足约束条件，作出可行域：
∵z=kx+y的最大值为5，即y=﹣kx+z在y轴上的截距是5，
∴目标函数z=kx+y经过的交点B（﹣2，3），
∴5=k×（﹣2）+3；解得k=﹣1．
目标函数z=kx+y经过的交点A（4，3），
∴5=4k+3；解得k=．
故答案为：﹣1或．
点评：本题考查简单的线性规划的应用，在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证，求出最优解．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分。【坐标系与参数方程选做题】
14．（5分）已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则
|CP|=．
考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．
专题：坐标系和参数方程．
分析：求出圆的直角坐标方程，求出圆的圆心坐标，化P的极坐标为直角坐标，利用两点间距离公式求出距离即可．
解答：解：圆的极坐标方程为ρ=4cosθ，圆的方程为：x2+y2=4x，圆心为C（2，0），
点P的极坐标为，所以P的直角坐标（2，2），
所以|CP|==2．
故答案为：2．
点评：本题考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，点的极坐标与直角坐标的互化，两点的距离公式的应用，考查计算能力．
【几何证明选讲选做题】
15．如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB 的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：直线与圆．
分析：利用切割线定理求出EB，证明四边形AEBC是平行四边形，通过三角形相似求出CF即可．
解答：解：如图由切角弦定理得∠EAB=∠ACB，又因为，AB=AC，所以∠EAB=∠ABC，所以直线AE∥直线BC，又因为AC∥BE，所以是平行四边形．
因为AB=AC，AE=6，BD=5，∴AC=AB=4，BC=6．
△AFC∽△DFB，
即：，
CF=，
故答案为：．
点评：本题考查圆的切割线定理，三角形相似，考查逻辑推理能力与计算能力．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（12分）设函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为π
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）若f（+）=，且α∈（﹣，），求tanα的值．
（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象（完成列表并作图）．
（1）列表
x 0 π
y ﹣1 1
（2）描点，连线
考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：（Ⅰ）利用函数的周期公式直接求ω；
（Ⅱ）通过f（+）=，且α∈（﹣，），求出sinα，利用三角函数的基本关系式
即可求tanα的值．
（Ⅲ）结合表格，通过函数的解析式，直接填补，画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象（完成列表并作图）．
解答：解：（Ⅰ）∵函数，
∴，
∴ω=2．…（2分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由得：，…（4分）
∵∴…（6分）
∴．…（8分）
（其他写法参照给分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，于是有
（1）列表
x 0 a，b
y ﹣1 0 1 0
…（11分）
（2）描点，连线函数y=f（x）在区间[0，π]上图象如下…（14分）
点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的画法，基本性质以及基本知识的考查．
17．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x（个） 2 3 4 5
加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5
（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（2）求出y关于x的线性回归方程=x+，并在坐标系中画出回归直线；
（3）试预测加工10个零件需要多少时间？
（注：=，=﹣）
考点：回归分析．
专题：计算题；概率与统计．
分析：（1）由数据表可得四个点的坐标，在坐标系中描点作图；
（2）利用最小二乘法求得回归直线方程的系数b，再求系数a，得回归直线方程；
（3）把x=10代入回归直线方程，求得预报变量y的值．
解答：解（1）散点图如图所示．
（2）由表中数据得：x i y i=52.5，=3.5，=3.5，
=54，∴b=0.7，a=1.05．
∴回归直线方程为y=0.7x+1.05．
（3）将x=10代入回归直线方程，得y=0.7×10+1.05=8.05（小时），
∴预测加工10个零件需要8.05小时．
点评：本题考查了线性回归方程的求法及应用，熟练掌握最小二乘法求回归直线方程的系数是关键．
18．（14分）如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，AB⊥BC，平面ABCD⊥平面BCE，△BCE为等边三角形，M，F分别是BE，BC的中点，DN=DC．
（1）证明：EF⊥AD；
（2）证明：MN∥平面ADE；
（3）若AB=1，BC=2，求几何体ABCDE的体积．
考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）先证明出EF⊥BC，进而根据面面垂直的性质判断出EF⊥平面ABCD，最后根据线面垂直的性质证明出EF⊥AD．
（2）取AE中点G，连接MG，DG，先证明出四边形DGMN是平行四边形，推断出DG∥MN，进而根据线面平行的判定定理证明出MN∥平面ADE．
（3）利用梯形面积公式求得底面面积，进而在三角形△BCE中求得EF，最后求得体积．
解答：（1）证明：∵△BCE为等边三角形，F是BC的中点，
∴EF⊥BC，
又∵平面ABCD⊥平面BCE，交线为BC，EF?平面BCE
∴EF⊥平面ABCD；
又∵AD?平面ABCD，
∴EF⊥AD．
（2）证明：取AE中点G，连接MG，DG，
∵AG=GE，BM=ME，
∴GM∥AB，且，
∵，，
∴DN∥AB，且，
∴四边形DGMN是平行四边形，
∴DG∥MN，
又∵DG?平面ADE，MN?平面ADE，
∴MN∥平面ADE
（3）依题，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，CD=2，BC=2
则直角梯形ABCD的面积为，
由（1）可知EF⊥平面ABCD，即EF是四棱锥E﹣ABCD的高
在等边△BCE中，由边长BC=2，得，
故几何体ABCDE的体积为．
点评：本题主要考查了线面垂直和线面平行的判定定理的应用．考查了学生分析能力和空间观察能力．
19．（14分）设正数数列{a n}为等比数列，a2=4，a4=16，记b n=2?log2a n
（1）求a n和b n；
（2）证明：对任意的n∈N+，有?…＞成立．
考点：数列与不等式的综合；等比数列的性质．
专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用．
分析：（1）先根据a2=4，a4=16求出数列{a n}的通项公式，利用b n=2?log2a n，求出b n；（2）利用数学归纳法进行证明，①当n=1时，不等式成立，②假设当n=k时不等式成立，然后证明当n=k+1时，不等式成立，从而证得结论．
解答：（1）解：正数数列{a n}为等比数列，a2=4，a4=16，可知q2=4，
又a n＞0，∴a n=2n，
∴b n=2?log2a n=2n．
（2）证明：①当n=1时，左边=，右边=，因为＞，所以不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即?…＞成立．
则当n=k+1时，左边=?…?＞?=
＞
∴当n=k+1时，不等式也成立．
由①、②可得不等式恒成立．
点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及等差数列求和和利用数学归纳法证明不等式，属于中档题．
20．（14分）焦点在x轴的椭圆C1：+=1（3≤a≤4），过C1右顶点A2（a，0）的直线l：y=k（x﹣a）（k＞0）与曲线C2：y=x2﹣相切，交C1于A2、E二点．
（1）若C1的离心率为，求C1的方程．
（2）求|A2E|取得最小值时C2的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）由C1的离心率得a2=9，即可求出C1的方程．
（2）利用韦达定理，表示出|A2E|，利用换元，导数法，即可求|A2E|取得最小值时C2的方程．解答：解：（1）由C1的离心率得a2=9…（2分）
∴…（3分）
（2）l与C2方程联立消y得
由l与C2相切知△=k2﹣3ak=0，由k＞0知k=3a…（5分）
l与C1方程联立消y得（4+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣4a2=0…①…（6分）
设点E（x E，y E），则
∵l交C1于A2、E二点，∴x E、a是①的二根，
∴，故…（8分）
∴=
…（10分）
令t=a2∈[9，16]，则
令，则
在t∈[9，16]上恒成立
故f（t）在[9，16]上单减…（12分）
故t=16即a=4，k=12时f（t）取得最小值，则|A2E|取得最小值
此时…（14分）
点评：本题考查椭圆、抛物线的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查导数知识的运用，难度大．
21．（14分）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为
y=e（x﹣1）+2．
（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，
只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；
解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=+，
由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，
故a=1，b=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，
从而f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，
∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．
故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的
最小值为g（）=﹣．
设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．
∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，
故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
广西名校高三年级2015年8月月考试题 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，试卷总分150分. 2.本试卷共8页，第1—4页为试题，第5—8页为答题卡，请将选择题、填空题的答案以及解答题的解答过程写在答题卡的相应位置上，不写、写错位置不得分．．．．．．．．．． . 第I 卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中，只有1个选项是符合题目要求的.） 1.设集合}2 1 21|{<<-=x x M ，}|{2x x x N ≤=，则=N M ( ) A.)21,1[- B.]1,21(- C.)21,0[ D.]0,2 1(- 2.复数z 满足i z i 2)1(=+(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.函数 3 1 21++ -=x y x 的定义域为 ( ) A.]0,3(- B.]1,3(- C.]0,3()3,(---∞ D.]1,3()3,(---∞ 4.正项等比数列}{n a 中，2446 =-a a ，6453=a a ，则}{n a 的前8项和为 ( ) A.63 B.127 C.128 D.255 5.已知直线? ??+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）上两点B A ,对应的参数值是21,t t ，则=||AB ( ) A.||21 t t + B.||21t t - C.||2122t t b a -+ D. 2 2 21||b a t t +- 6.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 ( ) A.若m ∥α,n ⊥β且βα⊥，则n m ⊥ B.若m ?α,n ?β 且m ∥n ，则α∥β C.若βα⊥，m ∥n 且β⊥n ，则m ∥αD.若m ⊥α,n ⊥β且n m ⊥，则βα ⊥ 7.将函数 )62sin(3π-=x y 的图像向右平移4 π 个单位长度，所得图像对应的函数( ) A.在区间]127,12[ππ上单调递减 B.在区间]12 7,12[π π上单调递增
一．选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。) 1．集合,，则（） A． B． C． D． 2.已知，那么等于（） A. B. C. D. 3．函数的单调递减区间是（） A．B． C．D． 4．以下有关命题的说法错误的是（） A．命题“若,则”的逆否命题为“若，则” B．“”是“”的充分不必要条件 C．若为假命题，则均为假命题 D．对于命题使得，则，均有 5．已知函数，则下列四个命题中错误的是（） A．该函数图象关于点（1，1）对称； B．该函数的图象关于直线y=2-x对称； C．该函数在定义域内单调递减；
D ．将该函数图象向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度后与函数 的图象重合 6．函数的图象的大致形状是（ ） 7．若函数分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ） A ． B ． C ． D ． 8．已知，不等式的解集是，则满足的关系是( ) A ． B ． C ． D ．的关系不能确定 9．已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若则 A ． B ． C ． D ．与的大小不能确定 10．若命题“，使“为真命题。则实数的取值范围（ ） A ． B ． C ． D ． B ． A C ． D ．
二.填空题(本题共5小题，每题4分，共20分) 11．当且时，函数的图象必过定点 . 12．幂函数3 222 )14(--+-=m m x m m y 的图像过原点，则实数的值等于 13、若函数，则= . 14、若函数的定义域为，则的取值范围为_______. 15．设函数的定义域为D ，如果存在正实数，使对任意，都有，且恒成立，则称函数为D 上的“型增函数”．已知是定义在R 上的奇函数，且当时，，若为R 上的“xx 型增函数”，则实数的取值范围是 ． 三.解答题（本题共5小题，每题10分，共50分） 16．已知，若且)10()(log 2≠>=a a k a f 且。 ⑴确定k 的值； ⑵求的最小值及对应的值。 17．已知函数，（为正常数），且函数与的图象在轴上的截距相等。 ⑴求的值； ⑵求函数的单调递增区间。 18、已知函数)()14(log )(4R k kx x f x ∈++=为偶函数． (1)求的值; (2)若方程有且只有一个根, 求实数的取值范围．
2021年高三数学上学期10月月考试题文 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 设集合 B A. B. C. D. 2. 若复数Z，是虚数单位）是纯虚数，则在复平面内Z对应点的坐标为 C A．（0，2） B．（0，3i ） C．（0，3） D．（0，） 3. 下列命题正确的是 D A．已知 ; B．存在实数，使成立; C．命题：对任意的，则：对任意的; D．若或为假命题,则,均为假命题 4. 把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 D A． B． C． D． 5.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A A． B． C． D． 6. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534
石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 B A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 7.已知向量m＝(λ＋1,1), n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则 B λ＝( ) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为B A．15 B．105 C．245 D．945 9. 已知，，则 B A． B． C． D． 10.设是等差数列的前项和，若，则 A A． B． C． D． 11.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），若f（﹣1）＞﹣2，f（﹣7）=，则实数a的取值范围为 D
重庆市两江中学2015高三（上）9月月考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合M={x|x2=1}，集合N={x|ax=1}，若N?M，a的值是（） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0，1或﹣1 考点：集合的包含关系判断及应用． 专题：计算题；集合． 分析：化简M，再根据N?M，分情况对参数的取值进行讨论，求出参数的取值集合． 解答：解：∵M={x|x2=1}={1，﹣1}，N={x|ax=1}，N?M， ∴当N是空集时，有a=0显然成立； 当N={1}时，有a=1，符合题意； 当N={﹣1}时，有a=﹣1，符合题意； 故满足条件的a的取值集合为{1，﹣1，0} 故选：D． 点评：本题考查集合关系中的参数取值问题，解题的关键是根据包含关系的定义对集合M 的情况进行正确分类，本题求解中有一易错点，就是忘记讨论N是空集的情况，分类讨论时一定注意不要漏掉情况． 2．下列命题错误的是（） A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0” B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题 C．对命题P：存在x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：任意x∈R，均有x2+x+1≥0 D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件 考点：特称命题；命题的否定． 专题：计算题． 分析：利用命题与逆否命题的关系判断A的正误；复合命题的真假判断B的正误；命题的否定判断C的正误；充分必要条件判断D的正误． 解答：解：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确，满足命题与逆否命题的关系； 若p∧q为假命题，则p，q均为假命题，由复合命题的真假判断可知p∧q中，p、q一假即假；对命题P：存在x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p为：任意x∈R，均有x2+x+1≥0；满足特称命题与全称命题的否定关系，正确； “x＞2”可以说明“x2﹣3x+2＞0”，反之不成立，所以是充分不必要条件正确； 故选B． 点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题，充要条件的应用，基本知识的灵活运用． 3．已知集合A={（x，y）|y=x2，x∈R}，B={（x，y）|y=x，x∈R}，则集合A∩B中的元素 个数为（） A．0个B．1个C．2个D．无穷多个
2019-2020年高三10月月考数学理试卷缺答案 一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。） 1、（） 2、已知集合，则是的（） 充要条件充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件 3、在直角坐标系中，角以轴非负半轴为始边，终边上有一点，则（ ）4、函数的定义域为（） 5、在中，,,2AB a AC b BD DC ，用表示的结果为（） 6、在下列函数中，函数的一部分图像如图所示的是（ ） A ． B ． C ． D ．7、求函数图像上一点到直线的最小距离( ) 8、函数的单调递增区间为（） Z k k k ,323 2 ,3231 Z k k k ,32,3231Z k k k ,3132,3231 9、偶函数（为自然对数的底数）在上（） 有最大值有最小值单调递增不单调
10、设向量满足，，的夹角为，则（） 大小不确定恒等于最小值为最大值为 2 11、在中，若B A b a B A b a sin sin 2222，则为（） 等腰直角三角形等腰三角形直角三角形等腰三角形或直角三角形 12、函数x x x x x x f cos 24sin 2222的最大值与最小值的和为（） 二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分） 13、已知，. 14、已知，则= . 15、函数21 log sin 42f x x x 的零点个数为个. 16、若对于任意恒有成立，则实数的取值范围是. 三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、(10分)已知为正实数，求证： 18、（10分）已知曲线的参数方程为：，曲线的极坐标方程为： （1）把化成普通方程；化成直角坐标方程； （2）、相交两点，求、两点的直角坐标. 19、（12分）向量cos ,2cos ,2cos ,sin a x x b x x ，若 （1）求函数的解析式； （2）求函数的对称轴方程； （3）若，求的最大值和最小值. 20、（12分）已知函数 （1）讨论的单调性；
2021年高三10月月考试题数学文 一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合,集合,,则的真子集共有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．6个 2 ．若()f x = ，则的定义域为 （ ） A. B. C. D. 3. 若是奇函数，则 ( ) A ．0 B ． C ． D ． 4．若 3 1log ,21log ,323 131 ===c b a 则 ( ) A. B. C. D. 5．已知条件2 :12,: 0,3 x p x q x -+><-条件则 ┓p 是┓q 的 ( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6. 若曲线在点处的切线平行于直线，则点坐标为 ( ) A ． B ． C ． D ． 7.若是上的奇函数，且当时，，则的反函数的 图象大致是 （ ）
8若，且，那么的最小值为（） A． B. C. D．（） 9. 若关于的不等式的解集为，则等于 ( ） A. B. C. D. 10.设函数是周期为的奇函数，当时，，则（） A. B. C. D. 11．如图是导函数的图象， 在标记的点中，函数有极小值的是 ( ) A． B． C．D． 12．定义在R上的偶函数，对任意，有，则 A．f(－2)＜f(1)＜f(3) B．f(3)＜f(1)＜f(－2) ( ) C．f(3)＜f(-2)＜f(1) D．f(1)＜f(-2)＜f(3) 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷的横线上.）13．函数y=log2(x2+1)（x<0）的反函数是__________.
2019-2020年高三9月月考数学试题含答案 xx.9.29 一. 填空题 1. 不等式的解为 2. 已知集合，，则 3. 已知奇函数，当时，，则时， 4. 函数，的值域为 5. 若，则的最小值为 6. 若是关于的一元二次方程的一个虚根，且，则实数 的值为 7. 设集合，，若，则最大值是 8. 若二项式展开式中含有常数项，则的最小取值是 9. 已知方程有两个虚根，则的取值范围是 10. 从集合中任取两个数，要使取到的一个数大于，另一个数小 于（其中）的概率是，则 11. 已知命题或，命题或，若是的充分非必要 条件，则实数的取值范围是 12. 已知关于的不等式组有唯一实数解，则实数的取值是 13. 不等式有多种解法，其中有一种方法如下：在同一直角坐标系 中作出和的图像，然后进行求解，请类比求解以下问题：设 ，若对任意，都有，则 14. 设是定义在上的奇函数，且对于任意的，恒成立，当 时，，若关于的方程有5个不同的解，则实数的取值范 围是 二. 选择题 15. 若，，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 16. 集合，，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 17. 对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 18. 已知函数（为常数，且），对于定义域内的任意两个实数 、，恒有成立，则正整数可以取的值有（）个 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
三. 解答题 19. 设复数，若是纯虚数，求的取值范围； 20. 已知函数； （1）若关于的方程在上有解，求实数的最大值； （2）是否存在，使得成立？若存在，求出，若不存在，说明理由； 21. 某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元，如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为（元），购买某商品得到的实际折扣率＝，设某商品标 价为元，购买该商品得到的实际折扣率为； （1）写出当时，关于的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到 的实际折扣率； （2）对于标价在的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣 率低于？ 22. 已知函数； （1）当时，若，求的取值范围； （2）若定义在上奇函数满足，且当时，， 求在上的反函数； （3）对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实 数的取值范围； 23. 设是由个有序实数构成的一个数组，记作，其中