数学分析复习提纲(全部版)

数学分析（4）复习提纲

第一部分 实数理论

§1 实数的完备性公理

一、实数的定义

在集合R 内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称R 为实数域或实数空间。 （1）域公理： （2）全序公理：

（3）连续性公理（Dedekind 分割原理）：设R 的两个子集A ，A '满足： 1°ΦA ΦA ≠'≠, 2°R A A ='?

3°x x A x A x '

则或A 中有最大元而A '中无最小元，或A 中无最大元而A '中有最小元。

评注 域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。

二、实数的连续性（完备性）公理

实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。主要有如下几个公理： 确界原理： 单调有界定理： 区间套定理：

有限覆盖定理：（Heine-Borel ）

聚点定理：(Weierstrass)

致密性定理：(Bolzano-Weierstrass) 柯西收敛准则：(Cauchy)

习题1 证明Dedekind 分割原理与确界原理的等价性。 习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。 习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。

评注 以上定理哪些能够推广到欧氏空间n R ？如何叙述？

§2 闭区间上连续函数的性质

有界性定理：上册P168；下册P102,Th16.8；下册P312,Th23.4 最值定理：上册P169；下册下册P102,Th16.8

介值定理与零点存在定理：上册P169；下册P103,Th16.10

一致连续性定理（Cantor 定理）：上册P171；下册P103,Th16.9；下册P312,Th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理 习题5 用致密性定理证明一致连续性定理

§3 数列的上(下)极限

三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）N -ε定义 评注 确界定义易于理解；聚点定义易于计算；N -ε定义易于理论证明 习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。（P173） 习题7 证明上面三种定义的等价性。

第二部分 级数理论

§1 数项级数

前言 级数理论是极限理论的直接延伸，但又有自身独特的问题、特点和研究方法。上（下）极限是研究级数的一个有力工具。对于数项级数，可看作有限个数求和的推广，自然要考虑如何定义其和，两个级数的和与积，结合律、交换律是否还成立等问题。级数的收敛性与无

穷积分有着极大的相似性，学习时要注意二者的比较。

一、Cauchy 收敛准则

Λ++=∑∞

=211

u u u

n n

几个概念 部分和？收敛？发散？绝对收敛？条件收敛？ 收敛的必要条件

∑∞

=1

n n

u

收敛?0→n u

评注 此结论由1--=n n n S S u 两边取极限即得证，也可由下面的Cauchy 收敛准则得到。要注意此性质与无穷积分有较大差别。对于收敛的无穷积分?

+∞

a

dx x f )(即使0)(>x f 也不

能推出)(0)(+∞→→x x f （参见反常积分）

Cauchy 收敛准则

∑∞

=1

n n

u

收敛?,,,,0p N n N ?>??>?ε有

ε<+++=-++++p n n n n p n u u u S S Λ21

思考 正面叙述级数发散的Cauchy 准则。

加括号 对于收敛的级数可以任意加括号，新的级数仍收敛且其和不变。也就是说收敛的级数满足结合律。

评注 只要认识到加括号后级数的部分和是原级数部分和的子列即可得到这一结论。我们常常利用这一点证明一个级数的发散性，即先证明加括号的发散，从而推出原级数（去括号的）也发散。

二、正项级数

正项级数的特点是部分和数列是单调递增的，由此得： 基本结论 正项级数收敛?其部分和有上界。 比较判别法：

比较判别法的极限形式：

评注 对于比较判别法，主要考虑n 充分大以后（0n n >）n u 与n v 的大小关系，因此极限

形式更方便。如果)0(lim

+∞<<=l l v u n

n

，要认识到，当n 充分大时，n u 与n v 是“等价”的，即大小“差不多”，确切地说当0n n >时，存在正常数1c 和2c 使n n n v c u v c 21≤≤，由

此n n n u c v u c 21

'≤≤'。如果0=l 或∞+，它们的“大小”关系如何？ 根式判别法 设l u n

n =lim ，当1

u

收敛；当1>l 时，

∑n

u

发散。

比式判别法 1lim

1

<=+q u u n

n ，则∑n u 收敛； 1lim

1

>=+q u u n

n ，则∑n u 发散。 习题1 证明上面根式判别法 习题2 证明n

n n n n n n n u u

u u u u 11lim lim lim lim

++≤≤≤（0>n u ） 推论：l u l u u n n n

n =?=+lim lim

1

评注 由习题2知，用比式判别法能判别的，用根式判别法一定能判别，但反之不然。也就是说根式判别法比比式判别法更有效。换言之，凡根式法无能为力时，比式法一定也无能为力。但是，它们在判别发散时，却没有谁比谁有优势可言，都是用一般项不趋于零来推断的。这一点要特别注意，我们在讨论幂级数的收敛半径时就要用到此结论。 习题3 考虑级数

Λ++++++33223

1

2131213121，说明根式法比比式法更有效。 评注 无论是比式判别法还是根式判别法，其实质都与等比级数∑n

cq

比较的，对于-p 级

数

∑p n 1

必然失效。

（这种级数的通项比等比级数的通项收敛于零的速度要慢）。如果与-p 级数比较还可以得到更细致的一些判别法，拉贝判别法就是其中之一。 积分判别法：

拉贝判别法的极限形式：

习题4 [P17，11（1）]用拉贝法判别级数∑

+?-1

21

!)!2(!)!12(n n n 的收敛性，并说明比式法与

根式法都无效。

三、一般项级数

评注 对一般项级数∑n

u

（有无穷多个正项，且有无穷多个负项），一般首先要考虑绝对

收敛性（即∑n

u

是否收敛），如果是绝对收敛，当然原级也收敛，如果是用根式或比式判

别法得到

∑n

u

发散，则

∑n

u

必发散（这在前面的评注中已经说过了）。

Leibniz 判别法：

Able 引理：k k v u ,，n k ,,2,1Λ=是两数组，k u 单调，k k v v ++=Λ1σ，则

)2(11

n n

k k

k u u A v

u +≤∑=，其中A k ≤σ

对于形如

∑n

n b

a 的级数，设{}n a 单调，把Able 引理用于

∑++=p

n n k k

k b

a 1

)2(21p n n a a M +++≤

其中M 满足：M S S b

M b

S b n

b p n p

n n k k

n k k

b n

2)()(1

1

)

(≤-=?

≤=

+++==∑∑ 再结合Cauchy 准则，附加适当的条件使)2(21p n n a a M +++能充分小，便可得到Able 和Dirichlet 判别法

D 判别法：（1）{}n a 单调；（2）0→n a ；（3）

∑n

b

有界，则

∑n

n b

a 收敛。 A 判别法：（1）{}n a 单调；（2）{}n a 有界；（3）

∑n

b

收敛，则

∑n

n b

a 收敛。

评注 记住A 和D 判别法的关键是记住Able 引理。这两个判别法在函数项级数以及反常积分中还有不同的表现。

习题5 用D 判别法直接证明Leibniz 判别法和Able 判别法。 习题6 讨论级数Λ+-+-+-

ααα

61

5141312

11（R ∈α）的收敛性。 提示：分0≤α，10<α<，1=α，1>α情况讨论。 答案：1=α时，收敛，其它发散。 习题7 利用级数收敛性，证明数列n n

x n ln 1

211-+++=Λ的极限存在。（注：此极限称为Euler 常数Λ577216.0=）

提示：把n x 看成某数列的部分和。即11x a =，),3,2(1Λ=-=-n x x a n n n ，等价地要证明

∑n a 收敛，)1(21)]1(211[1)11ln(12222n

o n n o n n n n n a n +-=+--+=-+=

四、绝对收敛与条件收敛级数的性质

重排定理：设∑n

u

绝对收敛，其和为S ，则任意重排后得到的新级数也绝对收敛且其和不

变。

Riemann 定理：设

∑n

u

条件收敛，又+∞≤≤≤∞-βα，则一定存在

∑n

u

的重排级数

∑'n

u ，使其部分和n

S '满足：α='n

S lim ，β='n

S lim 。

也就是说一个条件收敛的级数，适当重排后可收敛到任意指定的数，也可按任意指定的方式发散。 柯西定理：设

∑n

u

和

∑n

v

都绝对收敛，

A u

n

=∑，B v n =∑，则对所有乘积项j i v u 按

任意顺序排列得到的新级数也绝对收敛且其和等于AB 。 评注 两个级数的乘积最常用的是对角线排列，即

0110v u v u v u c n n n n +++=-Λ

∑n

c

也称

∑n

u

和

∑n

v

的柯西乘积。

§2 函数项级数

前言 函数列是数列的推广，由函数列的收敛又可定义函数项级数的收敛。数列的极限（或

数项级数的和）定义了一个数，而函数列的极限函数（或函数项级数的和函数）就定义了一个函数，这样定义的函数往往不是初等函数。我们关心的是极限函数（或和函数）的分析性质（连续性、可微性、可积性）能否保留下来，实质是运算次序是否可交换的问题。 一、函数列（函数项级数）的一致收敛

几个概念 对于函数列：逐点收敛（也称点态收敛）？收敛域？极限函数？一致收敛？

对于函数项级数如何叙述以上概念？

评注 逐点收敛是局部性质，完全就是数列的收敛问题。而一致收敛是整体性质，是我们研究的重点。

思考 正面叙述不一致收敛。 用范数定义一致收敛 记)(sup x f f D

x ∈∞

=（称为f 的一致范数或无穷大范数），

如果)0(0)()(sup →→-=-∈∞

n x f x f f

f n D

x n ，则称)}({x f n 在D 上一致收敛于)(x f 。

评注 ∞

-g

f 就是两个函数的距离。定义的等价性是显然的（见P29，Th13.2）。这个定

义往往使用起来更方便（参见P30，例3）。

二、函数项级数一致收敛的判别法

Cauchy 准则： 必要条件：

∑)(x u

n

一致收敛?0)(→x u n （一致）

M 判别法（控制收敛判别法）： Able 与Dirichlet 判别法：

习题8 设),2,1(],,[)(Λ=∈n b a C x u n ，∑)(x u

n

在),(b a 上一致收敛，证明：

（1）∑∑)(),(b u a u n n

收敛 （2）

∑)(x u

n

在],[b a 上一致收敛。

提示：用Cauchy 准则。

评注 第一结论的逆否命题是判别不一致收敛的一个常用结论。即设],[)(b a C x u n ∈，而

∑)(a u

n

发散，则∑)(x u n 在),(δ+a a 必不一致收敛。

习题9 判别下面级数的一致收敛性 （1）

∑∞

=+

22)ln 1ln(n n

n x

，a x <

（2）

∑

∞

=+1sin sin n x

n nx x ，+∞<≤x 0

（3）∑∞

=++1

2)(n n

n

n n x x ，]1,0[∈x 提示：（1）考虑用M 判别法（2）考虑用D 判别法（3）考虑用A 判别法 习题10 （参见P34，例7）若数列{}n a 单调趋于零，证明级数

∑nx a

n

cos 在)2,0(π内

闭一致收敛，举列说明在)2,0(π不一致收敛。 提示：前半部分即书上例题，后半部分例如取n a n 1=

，对∑nx n

cos 1

应用习题8的结论。 三、一致收敛函数列（函数项级数）的性质

连续性（逐项求极限）： 可积性（逐项求积）： 可微性（逐项求导）：

评注 容易举例说明没有一致收敛的保证，上述三个性质都不能保证。同时，又可举例说明，上述所附加的条件只是充分条件而非必要条件。要记清楚每个定理的条件尤其是可微性的条件。

习题11 证明∑∞

=+=

1

)1()(n n

n x x f 在)1,1(-连续。 提示：该级数在)1,1(-并不是一致收敛（为什么？），不能直接用连续性定理。但可以证明在)1,1(-上是内闭一致收敛的，这对连续性就够了。

评注 连续性与可微性都是对点而言的，在应用这两个定理时，不必要求在整个区间上一致收敛，只要内闭一致收敛就够了。 习题12 设函数项级数

),0(,1

+∞∈∑∞

=-x ne

n nx

（1）证明此级数在),0(+∞收敛但不一致收敛。 （2）求此级数的和函数

提示：（1）对于不一致可用习题8的结论，也可证明通项不一致趋于零。建议两种方法都试一试。（2）证明内闭一致收敛，再用逐项微分法。 习题13 求证 （1）

)10(d 1πsin d πsin 0

00

<≤-=?

∑?

∞

=x t t

t

t t t x

n x

n

（2）

∑?

∞

=0

d πsin n x

n t t t 在]1,0[∈x 上一致收敛

（3）

t t

t

t t t n n d πsin d πsin 1

00

1

?

∑?

=∞

=

提示：上述3条结论后者要借用前者，每上步的依据一定要说清楚。

评注 该题启示我们：如果在闭区间能直接用逐项积分当然更好，否则先缩小区间在小区间上用，然后再利用连续性把结论扩大到整个区间上。

§3 幂级数

前言 幂级数是最简单同时又有很大应用性的级数，不仅在《数学分析》而且在《复变函数论》中有重要应用。学习的重点是求收敛半径和收敛域；求和函数；幂级数展开。

一、收敛半径

考虑

∑n

n

x

a

Cauchy-Hadamard 定理 n

n

a R lim 1=

（R 可以是0和∞+）

则上面幂级数在R x <绝对收敛，在R x >发散。

几个概念 收敛半径？收敛区间？收敛域？ 习题14 证明Cauchy-Hadamard 定理。

二、幂级数的性质

内闭一致敛性 幂级数在其收敛域上内闭一致收敛。也就是说在收敛区间上内闭一致收敛，如果级数在端点的收敛，则内闭区间可扩大到端点。

与分析运算可交换性 和函数在收域内连续；在收敛区间可逐项积分与逐项求导，而且逐项积分与逐项求导后的级数其收敛半径不变。 习题15 （P51，3）证明：设∑=

n n x a x f )(在R x <内收敛，若∑

++1

1

n n R n a 也收敛，则

=

?

R

x x f 0

d )(∑++11n n R n a

评注 这是一个很有用的结论，幂级数通过逐项积分后其收敛域可能扩大到端点。注意这里

中考数学试卷分析报告

２011年中考数学试卷分析报告 一、试卷概况 (一)试卷结构 ２０１1年中考数学试卷共六大题２5小题，满分１20分,考试时间1２0分钟，考试内容为义务教育九年制七年级至九年级数学教材（人教版）各册涵盖知识。 全卷：数与代数占分值5２分,空间与图形6分值5３分,统计概率分值15分。第一大题为选择了共8小题（８×３′=24分)，第二大题为填空题共8小题（８×3′=24分）,第三大题共３小题(3×6′=1８分），第四大题共2小题（2×8′＝16分）,第五大题共２小题（2×9′=1８分）,第六大题共２小题（２×10′＝2０分） （二)试卷基本特点 ２0１１年中考数学试卷，在题目的设计提题量上与2010年大至相同，改２０１0年选择题10题,填空题6题为2011年选择题8题，填空题8题，仍为以答题卷形式答题,实施网上阅卷。试卷难度适中,整卷难度分数为0.５8左右。试题反映了考生教育教学发展的要求，坚持从学生实际出发,该学生的发展与终身学习的需求，在重视基础知识和基本技能考查的同时,注重了数学思想与数学方法的考查，加强了学生应用数学知识和思维方法，分析解决现实问题的能力的考查,在创新知识和实践能力方面也体现的更加明显，反映了数学课程标准对数学的要求,体现了课程改革的精神。 表一:试卷结构

成绩分析表 试题难度分析（选择题除外) (9—16题） 一、考查知识点 （1)有理数运算法则（2) 分解因式 (3)函数自变量的取值范围（４）解二元一次方程组 (5) 三角形内角平分线的交点（6) 平面图形中有关分解的数量关系(7）h.旋转圆形的中心点(8）几何图形中角的关系、线段的关系的解答 二、主要失分原因 （1）分解因式未完整如:x3－x=x（x2－1)=x(ｘ+1)(ｘ-1)只分解到

四年级数学下册小数的意义和性质重难点突破

四年级数学下册《小数的意义和性质》 重难点突破 本单元教学是在学生已经初步认识分数、小数的基础上进行的。教材按照小数的意义、小数的性质、小数大小的比较、小数点位置移动引起小数大小的变化、小数与复名数等知识系统进行编排。 本单元教学的重点是让学生理解小数的意义以及小数点位置移动引起小数大小变化的规律。小数的意义是系统学习小数的开始，是理解小数四则计算法则、进行小数四则计算的基础。而小数点位置移动引起小数大小的变化规律又是小数乘、除法计算的根据。正确理解小数的实际意义以及小数和复名数的相互改写是本单元的教学难点。小数和复名数的相互改写，学生往往在判别是用进率去乘还是除以进率，小数点是向右移还是向左移的问题上出现错误，因此教学中要加强计量单位之间的进率、名数的互化、小数点位置移动引起小数大小变化等知识的综合训练。 突破建议： ．加强对比，注意知识的迁移 小数是从整数扩充来的，所以整数知识对小数知识学习会有两种迁移作用。一种是正迁移，如整数的记数位值原则、十进关系等对小数学习有促进作用；二是负迁移作用，如小数大小的比较，数位名称及读法、写法都会受整数知识思维

定势的干扰，因此教学中要加强对比，要充分利用已有的整数知识来学习小数。如，小数的读法，整数部分按整数的读法来读，小数部分按各数位上的数字顺次读出来即可。在练习方面除了书上的练习题外，还可补充类似题目，从各个角度加深学生对小数意义的理解。如:（1）举出0与1之间的一些小数；（2）2中的三个各表示什么…… 2．强调直观，注意层次 教学小数的意义应充分采用直观教学的方法，并注意教学的层次性。 第一层次:让学生亲手量一量桌子、本、作业本，使他们体验不能得到整数结果的情景，激发其学习小数知识的内在动机，并带着“怎样用小数表示”的问题进入下一阶段的学习。 第二层次:应用米尺通过实际度量，以“米”作单位，用分数表示几分米、几厘米、几毫米，进而抽象为用小数表示结果，并配合有计划的板书。 如:1分米是1米的四下<br>《小数的意义和性质》重难点突破，写作:01米；3分米写作:03米。 厘米是1米的四下<br>《小数的意义和性质》重难点突破，写作:001米；8厘米写作:008米。 毫米是1米的四下<br>《小数的意义和性质》重难点突破，写作:0001米；9毫米写作:0009米。

2020年广东省中考数学试卷分析

2020年广东中考数学试卷分析 一、试卷分析 2020年广东中考数学已经圆满结束，我根据本次考试为大家整理了广东省数学中考试卷、解析、答案以及试卷点评分析，紧扣热点、重视基础、难度适中、稳中有“新”、区分度明显是今年广东省中考数学的几大特点． 1.紧扣热点： 题目的载体和背景结合时事民生，将2019-2020的一些热点元素融入其中．2.重视基础、难度适中： 同前几年广东省中考题型和考点分布基本一致，基础知识部分占全卷较大比重，选择题前10题均单独考察平行线判定、解不等式组、尺规作图、三角函数应用等基础内容；填空题前三道单独考察因式分解、概率、也属于基础知识；解答题前四题分别考察实数计算、分式化简求值、数据统计、一与二次方程的实际应用，难度适中。全卷在注重基础知识考察的同时，重点突出函数、基本图形性质、图形间的基本关系等核心内容的考察． 3.稳中有“新”： ①选择题舍弃了前两年整式的运算，以求不等式组的解集代之； ②舍弃了探索规律问题，取而代之的是考察面更广的定义新运算问题，该问 题涵盖了整式的运算，同时还体现了高中的虚数的概念，对学生综合分析能力要求较高； ③压轴填空第17题为直角三角形的构造最短路径问题，难点在于最短路和 圆的转化； ④解答题21题考察函数与一次函数综合，舍弃反比例函数求k值的考察， 更注重函数综合的应用； ⑤解答题22题主要是切线的证明，增加了计算的比重，以及增加了相似的 综合运用能力． 4.压轴题区分度明显： 今年压轴题仍然出现在第10题（选择）、第17题（填空）、第24、25题（解答），整体考点与去年一致，分别有几何综合题、圆与相似、二次函数综合题，但难度比去年略有提高，具有明显的选拔性和区分度．例如最后一题综合了二次函数、动点与面积、图形的旋转等内容，题型与解法与往年略有不同，对于学生的数形结合思想、想象能力、计算能力的要求更高． 二、考点分析

中考数学要点难点分析整理复习总结

初一上册 有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的初步认识。 （1）有理数：是初中数学的基础内容，中考试题中分值约为3-6分，多以选择题，填空题，计算题的形式出现，难易度属于简单。 考察内容：复数以及混合运算（期中、期末必考计算）数轴、相反数、绝对值和倒数（选择、填空）。 （2）整式的加减：中考试题中分值约为4分，题型以选择和填空题为主，难易度属于易。 考察内容： ①整式的概念和简单的运算，主要是同类项的概念和化简求值 ②完全平方公式，平方差公式的几何意义 ③利用提公因式发和公式法分解因式。 （3）一元一次方程：是初一学习重点内容，主要学习内容有（归纳、总结、延伸）应用题思维、步骤、文字题，根据已知条件求未知。中考分值约为1-3分，题型主要以选择和填空题为主，极少出现简答题，难易度为易。 考察内容： ①方程及方程解的概念 ②根据题意列一元一次方程 ③解一元一次方程。题型：追击、相遇、时间速度路程的关系、打折销售、利润公式。 （4）几何：角和线段，为下册学三角形打基础 初一下册

相交线和平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式和不等式组和数据库的收集整理与描述。 （1）相交线和平行线：相交线和平行线是历年中考中常见的考点。通常以填空，选择题形式出现。分值为3-4分，难易度为易。 考察内容： ①平行线的性质（公理） ②平行线的判别方法 ③构造平行线，利用平行线的性质解决问题。 （2）平面直角坐标系：中考试题中分值约为3-4分，题型以选择，填空为主，难易度属于易。 考察主要内容： ①考察平面直角坐标系内点的坐标特征 ②函数自变量的取值范围和球函数的值 ③考察结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。 （3）二元一次方程组：中考分值约为3-6分，题型主要以选择，解答为主，难易度为中。 考察内容：①方程组的解法，解方程组②根据题意列二元一次方程组解经济问题。 （4）不等式和不等式组：中考试题中分值约为3-8分，选择，填空，解答题为主。 主要考察内容： ①一元一次不等式（组）的解法，不等式（组）解集的数轴表示，不等式（组）的整数解等，题型以选择，填空为主。 ②列不等式（组）解决经济问题，调配问题等，主要以解答题为主。 ③留意不等式（组）和函数图像的结合问题。

中考数学题型及方法总结

初中数学中的固定题型及惯性思维 一、角平分线的考点 1.定义 2.性质（垂直于角的两边） 3.对称性（垂直于角 平分线，构造全等，得到中点） 二、中点的三个考点 1.斜边中线（直角与中点） 2.三线合一（等腰与中点） 3.中位线（两个中点） 附注：中点常见作辅助线方法：过其中一个端点作另一个端点所在直线的平行线交延长线与一点。如果其中一个端点所在直线有多条，要结合题目已知条件进行判断，一般以已知线段长度的为主。 三、等腰三角形的考点 1.等角对等边 2.等边对等角 3.三线合一 四、全等三角形 1.五个全等三角形的判定定理 2.对应边对应角相等 五、轴对称图形 1.角的对称性（性质） 2.线段的对称性（性质） 3.等腰三角形的对称性（三线合一） 附注：对称轴是直线，轴对称图形既可以是一个图形本身，比如等腰三角形是轴对称图形，也可以说两个图形关于某条直线呈轴对称图形。 六、勾股定理 1.勾股定理的公式 2.勾股定理的逆定理（可以用来证明直角或者一个三角形是直角三角形） 附注：利用图形证明勾股定理一般都是利用部分面积之和等于整体面积，另外记住几组常见的勾股数，3,4,5；6,8,10; 5,12,13; 7,24,25 七、平面直角坐标系 1.平面直角坐标系是用来确定点及图像的位置的 2.坐标轴及象限的划分

附注：如果题目说不经过第二象限，应该有两种情况，一是经过一三四象限，二是经过一三象限，做此类题目不要思维定势。 八、二次根式 1.二次根式的非负性 2.同类二次根式 3.最简二次根式 4.二次根式的比较大小 5.二次根式的加减乘除 附注：如果题目的计算结果包含根式，一定要习惯性地判断是否是最简二次根式，切记因为细节问题失分；另外代数式有意义也要注意开方数大于等于0,千万不要漏掉等号。 九、一元二次方程 1.定义（二次项系数不为0） 2.四种解法（优先考虑因式分解法，主要是十字相乘） 3.一元二次方程根的个数的判别式 4.一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理 附注：只要一个题目是求解有关一元二次方程的根的代数式的值的题目，只有两种方法，代入法与韦达定理，如果满足韦达定理的形式就用韦达定理，除此之外，一律使用代入法。 十、二次函数 1.定义（最高次为2，二次项系数不为0） 2.二次函数的图像（开口、与X轴的交点、对称轴、顶点坐标、与Y轴的交点位置） 3.二次函数的增减性 4.二次函数的动点问题 附注：初中阶段所有函数的知识点都比较少，更多的是知识点的迁移变化与综合应用。 十一、分式方程 1.分式方程的定义（有可能考选择题） 2.分式方程的解的情况 3.已知分式方程的解的情况，求未知实数的取值范围 附注：1.增根是分式方程无解的特殊情况 2.如果告诉分式方程的解为负数，解出X之后，一方面x<0,另外千万不要忘记x不能等于增根，这个是比较容易出错的一个点。 十二、圆 1.相关定义，比如直径、圆心、弦、切线、弧、圆周角、圆心角等等 2.切线长定理 3.垂径定理 直径：直径所对圆周角是90度

四年级上册数学重难点汇总

四年级上册数学重难点 汇总 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

四年级上册 第一单元大数的认识 1 亿以内数的认识 第1课时亿以内数的读法和写法 重点：知道相邻两个计数单位之间的关系及亿以内数的读写方法难点：数级中间或末尾有0的数的读写方法 第2课时亿以内数的大小比较、改写及求近似数 重点：掌握比较亿以内数大小的方法及多位数的改写 难点：用“四舍五入”法求非整万数的近似数 2 数的产生、十进制计数法和亿以上数的认识 重点：建立自然数的概念，会读写亿以上的数 难点：多位数的改写 3 计算工具的认识、算盘、计算器 重点：正确掌握计算器的基本操作方法 难点：借助计算器探索计算的规律 综合应用：1亿有多大 第二单元公顷和平方千米 重点：理解平方米、公顷和平方千米之间的进率，能进行单位换算难点：体会1公顷和1平方千米的实际大小 第三单元角的度量 1 线段、直线、射线和角及角的度量 重点：认识线段、直线、射线及角的度量

难点：用量角器量角的方法及线段、直线、射线的区别和联系 2 角的分类及画角 重点：角的分类 难点：用量角器画角 第四单元三位数乘两位数 第1课时三位数乘以两位数的笔算方法 重点：三位数乘以两位数的笔算方法 难点：用竖式计算时积的定位 第2课时因数中间或末尾有0的乘法 重点：因数末尾有0的乘法竖式的简便写法 难点：因数中间有0的竖式的写法 第3课时积的变化规律 重点：掌握积的变化规律 难点：运用积的变化规律解决问题 第4课时总价、路程问题 重点：理解“单价×数量=总价”和“速度×时间=路程”两个关系式的含义难点：灵活运用总价、路程的数量关系，解决实际问题 第五单元平行四边形和梯形 1 平行于垂直 重点：理解平行与垂直的概念 难点：掌握画垂线和画长方形的方法 2 平行四边形和梯形

中考数学试卷分析报告.doc

2011年中考数学试卷分析报告 一、试卷概况 （一）试卷结构 2011年中考数学试卷共六大题25小题，满分120分，考试时间120分钟，考试内容为义务教育九年制七年级至九年级数学教材（人教版）各册涵盖知识。 全卷：数与代数占分值52分，空间与图形6分值53分，统计概率分值15分。第一大题为选择了共8小题（8×3′＝24分），第二大题为填空题共8小题（8×3′＝24分），第三大题共3小题（3×6′＝18分），第四大题共2小题（2×8′＝16分），第五大题共2小题（2×9′＝18分），第六大题共2小题（2×10′＝20分） （二）试卷基本特点 2011年中考数学试卷，在题目的设计提题量上与2010年大至相同，改2010年选择题10题，填空题6题为2011年选择题8题，填空题8题，仍为以答题卷形式答题，实施网上阅卷。试卷难度适中，整卷难度分数为0.58左右。试题反映了考生教育教学发展的要求，坚持从学生实际出发，该学生的发展与终身学习的需求，在重视基础知识和基本技能考查的同时，注重了数学思想与数学方法的考查，加强了学生应用数学知识和思维方法，分析解决现实问题的能力的考查，在创新知识和实践能力方面也体现的更加明显，反映了数学课程标准对数学的要求，体现了课程改革的精神。 表一：试卷结构

成绩分析表 试题难度分析（选择题除外） （9—16题） 一、考查知识点 （1）有理数运算法则 （2） 分解因式 （3）函数自变量的取值范围 （4） 解二元一次方程组 （5） 三角形内角平分线的交点（6） 平 面图形中有关分解的数量关系 （7）h. 旋转圆形的中心点 （8） 几何图形中角的关系、线段的关系的解答 二、主要失分原因 （1） 分解因式未完整 如：x 3－x=x(x 2－1)=x(x+1)(x-1)只分解到第二步 （2） 解方程组答案缺括号 如： ?? ?-==34 y x 写成：x=4 y=-3 （3） 解析式中的量的关系 如：y=2 1x+90 写成y=2 1x+90o

人教版数学七年级下册重难点完整版

人教版数学七年级下册 重难点 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

七年级下册重难点 相交线与平行线（共6课时） 课题：相交线垂线 1 [教学目标] 1.通过动手、操作、推断、交流等活动，进一步发展空间观念，培养识图能力，推理能力和有条理表达能力 2.掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理。 [教学重点与难点] 重点:邻补角与对顶角的概念.对顶角性质与应用、垂线的定义及性质 难点:理解对顶角相等的性质的探索、垂线的画法。 课题： 5．2平行线直线平行的条件 2 [教学目标] 1．理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的位置关系； 2．理解并掌握平行公理及其推论的内容；会用直线平行的条件来判定直线平行 4．了解“三线八角”并能在具体图形中找出同位角、内错角与同旁内角； [教学重点与难点] 重点：平行线的概念与平行公理；判定两条直线平行方法的应用； 难点：对平行公理的理解．简单的逻辑推理过程. 课题：平行线的性质 2 [教学目标] 1．使学生理解平行线的性质和判定的区别． 2．使学生掌握平行线的三个性质，并能运用它们作简单的推理． [重点难点] 重点：平行线的三个性质；平行线性质和判定综合应用，两条平行线的距离，命题等概念 难点：平行线的三个性质和怎样区分性质和判定．平行线性质和判定灵活运用 课题：平移 1 [教学目标] 1.了解平移的概念，会进行点的平移，理解平移的性质，能解决简单的平移问题 2.培养学生的空间观念，学会用运动的观点分析问题. [教学重点与难点] 重点:平移的概念和作图方法. 难点:平移的作图

2018年广东省中考数学分析报告地报告材料

2018中考数学详评 2018年省中考数学试卷与前几年相比，在知识容、题型、题量等方面总体保持稳定，在稳定的基础上既考查了四基——基础知识、基本技能、基本数学思想方法和基本活动经验，又突出课本核心容，注重联系社会实际与学生生活实际，考查学生的运算能力、推理能力、应用意识和综合意识，更加重视数学思想和数学方法的积累。 试卷结构 由于2018年的考纲较之前没有大的改变，故今年省中考数学试卷与前两年相比，在知识点、题型、分值分布等方面总体保持稳定。 题型与题量 全卷共分为5大题，25小题，满分120分。

知识板块占比统计 考查数与式的题目每年相对固定，所占分值稳定在30分左右，属于基础知识，复习这一板块的时候需要重点掌握基础知识。方程与不等式这一板块，大部分是小题，但每年会有一个解答题来考查方程与不等式，出现在18-20题围，2018年的分值比重有所增加。而函数这一部分则相对稳定，一般在选择题和23题考查，复习这一部分容时，要掌握好各个函数间的关联性及其交点问题。 几何这一板块，三角形一直是考查的重点，基础题和解答题都会有涉及，分值约占全卷23.3%，今年运用三角形的知识来解题的比重相当大。这几年不再会单纯地考查特殊四边形，而是与图形的翻折、转换与函数等联系起来。图形的认识与变换在2018年的比重相对比较稳定，求角度及线段长度问题分值占比较

大。圆的知识板块经常稳定在10%左右，压轴题会出一个关于圆的解答题，要求思维清晰、方法多样，并注重几何体系的知识网络。 统计与概率部分，2018年没有考查概率，而全卷统计部分分值仍为10分。 近三年每题考查知识点的情况 1 选择题

最新四年级数学重难点分析

四年级数学重难点分析 一、知识结构 二、重难点分析 四年级上册数学各单元重点、难点分析 教学重点：大数的认识；三位数乘两位数；除数是两位数的除法；角的度量； 平行四边形和梯形是本册教材的重点. 教学难点：大数的认识；三位数乘两位数；角的度量.是本册教材的难点. 解决的方法：针对以上重难点的教学逐个进行分析解决. （一）大数的认识是本册教材的起始单元，是在学生认识和掌握万以内数的基础上学习的，生活中大数广泛存在，对大数认识既是万以内数的认识的巩固和扩展，也是学生必须掌握的最基础的数学知识之一. 1、注重基础知识，基本概念的教学，培养学生知识迁移能力. 2、加强数学与现实生活的密切联系，培养学生的数学意识，发展学生的数感.

（二）三位数乘两位数是义务教育阶段，整数乘法的最后一个知识板块，它是在学生掌握了两位数乘两位数的计算方法的基础上进行教学的.在教学中应注意放手让学生通过自主探索、亲身实践、合作交流等活动，自行总结掌握口算、笔算、估算的一般方法，鼓励算法多样化，并尽可能选择多种算法中较优化的一种，采用合理、简洁、灵活的方法进行计算，并注重学生的知识迁移能力的培养. （三）除数是两位数的除法，是小学学习整数除法的最后阶段，本单元的教学关键是引导学生掌握试商方法，这也是本单元教学难点，为了解决试商这个关键问题，可以分两个层次组织教学，（1）商是一位数，主要解决商的书写位置，除的顺序，突出基本的试商方法，帮助学生理解算理；（2）商是两位数，让学生将除的过程、试商方法迁移类推至此. （四）角的度量注意学生在动手操作中发现数学规律，建立几何表象，通过画射线、直线、测量角、操作活动角，用三角板拼角，用纸折角等多种方式加强学生对图形的认识. （五）平行四边形和梯形是在学习了角的度量的基础上教学的，它着重给出了平行四边形的特征以及它与正方形、长方形的关系，梯形在这里是首次出现，教学时除教学梯形的特征外，还应注意它与平行四边形的联系和区别. 1、注意理清知识间的联系，把握“平行与垂直”的基本内涵. 2、加强作图训练和指导，重视作图能力的培养. 四年级下册数学各单元重点、难点分析 第一单元：四则运算 ①教学重点：掌握含有两级运算的运算顺序，正确计算三步式题，学会用两、三步计算的方法解决一些实际问题.②教学难点：正确计算三步式题，学会用两、三步计算的方法解决一些实际问题. 第二单元：位置与方向 ①教学重点：根据方向和距离两个条件确定物体的位置，并描述简单的路线图.②教学难点：体会位置关系的相对性. 第三单元：运算定律与简便计算 ①教学重点：探索和理解加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，能运用运算定律进行一些简便运算②教学难点：探索和理解加法的乘法的运算定律，会应用它们进行一些简便运算 第四单元：小数的意义和性质 ①教学重点：理解小数的意义和性质，掌握小数点位置移动引起小数大小变化的规律.②教学难点：理解小数的意义和性质，掌握小数点位置移动引起小数大小变化的规律.

2020年中考数学试卷分析

眉山市2017年高中阶段教育学校招生考试 数学试卷分析报告 一、命题指导思想 坚持有利于贯彻国家的教育方针，推进初中素质教育，遵循新课标的基本理念，以数与式、方程与不等式、函数、概率与统计、空间与图形、解直角三角形及其应用为主干，重点考查学生数学基础知识、基本技能和一定的分析问题解决问题的能力，有利于促进我市初中数学课程改革的进一步深入，促进学生生动、活泼、主动地学习，为高中输送合格优质新生。 二、试题类型和结构 眉山市2017年中考数学试卷分A卷、B卷。A卷总分100分，分单项选择题、填空题、解答题三大部分共24个小题。A卷一大题是单项选择题，12个题，每题3分，共36分；二大题是填空题，6个题，每题3分，共18分；三大题解答题共6个小题，共46分。19、20题每小题6分，共12分；21、22题，每小题8分，共16分；23、24题每小题9分，共18分。B卷为解答题，共2个小题，第一小题9分，第二小题11分，总分20分。“数和代数”及“概率与统计”约占60％，“空间与图形”部分约占40%；难度系数在0．63左右.平均分75分。 试题注重基础知识、基本能力和基本思想方法，关注数学活动过程和思维空间，重视引导教学回归教材；重视对学生后继学习影响较大的知识、思维方法和新增内容的考查；在平稳过度往年中考题的基础上，适当涉及根与系数的关系，较好体现了初中数学课程标准倡导的理念，对于改善初中数学教学方式和学习方式有较好的导向作用。 1、紧扣教材、注重四基

试卷中不少题目都直接或间接的取材于教材例、习题，或是例、习题的变式，或源于教材并适度延拓，加强了数学知识的有效整合，提高了试卷的概括性和综合性。较好地考查了学生实数、解不等式、轴对称图形、因式分解、解一元二次方程、函数、圆的半径计算、全等三角形、相似三角形的性质、数据的统计等“四基”状况，有利于引导数学教学重视教材，克服“题海”。并且根据《眉山市2017年中考数学科命题规划》，对难度系数作了不同的控制和安排。 2、重视考查学生运用数学思想方法解决问题的能力 试卷在注重考查学生“四基”的同时，重视考查学生运用数学思想方法解决问题的能力： 第4题考察学生空间想象能力，由所给实物图，想象它的主视图，较好地考查了由物想图的知识内容和学生的空间想象力； 第5题考查中位数、众数、平均数的概念，有效考查了学生获取信息作出判断的能力； 第8题以数学著作《九章算术》为载体是通过对井深的计算，考查学生对相似三角形性质的掌握； 第9题将圆的内心与三角形相结合，考查学生对知识的变式应用 第11题以一次函数图象为模板，考查学生二次函数最值问题； 第12题突破学生以往的二次函数图象的思维模式，考查学生因式分解的变式训练。考查对知识的变式应用，具有较好的区分度。 第14题灵活考查学生对旋转相关知识的掌握。 第15题着重考查一元二次方程根与系数的关系，有助于学生对后继知识的关注和掌握；

初中数学中考知识重难点分析

初中数学中考知识重难点分析 适当练习大家都知道学习数学最重要的是练习，平时多做一些基础题可以锻炼解题熟练度，多做一些中档题可以熟悉考试题型，过于困难的题目不建议大家多做，接下来小编为大家整理了初三数学学习相关内容，一起来看看吧! 初中数学怎么学才能学好? 1、上课以及课前课后 同学们平时的学习时间是在课上，但是大家要树立一个意识：课前课后也很重要。利用好这些时间，在配合适当的学习方法，学好数学其实并不难。 课前：课前预习很重要，一方面可以先了解上课知识，课上能跟上老师思路，另一方面标记出自己不会的知识点，课上可以根据自己的情况侧重去听。 课上：课上45分钟，大多数同学都很难保证整节课集中精神，这就要求我们课前一定要预习，找到自己不会的知识点，课上尽量理解吸收。还是希望大家课上尽量集中精神，跟随老师的进度了解重点与难点，有利于复习。 课后：课后的时间一般用来复习，大家可以把自己没有掌握的知识点复习一下，也可以对本节所学知识进行检测与巩固。如果课后复习还存在不理解的地方，大家一定要找老师和同学去问清楚。 有了课前课上课后三个阶段，相信大家数学基础基本差不多了，

也希望大家继续保持这个习惯。 2、提高作业效率 很多同学都跟学大君反映家庭作业太多，很多家长也觉得自己孩子压力很大。孩子作业都没时间完成，复习什么的更无从谈起，导致学习成绩不佳。但是家长和同学们有没有想一想，每个人的课后时间都是一样多的，为什么其他同学都可以完成，甚至还有很多学生利用课余时间报兴趣班呢? 有可能是我们的效率不够高。我可以问大家几个问题，大家做作业的同时有没有集中精力?有没有玩手机或者吃零食?是不是中间还会休息一下，经常走神?如果有这些情况，同学们还觉得是作业多吗?是不是自己效率不够高呢? 可能是同学们没有进行上边三步，导致自己做作业效率不高，最后怪罪到作业多上来。 其实这是一种非常不好的学习习惯，导致做作业效率不高，那么我们应该怎么提高做作业的效率呢? 几个建议大家可以参考一下： 1端正态度 估计同学们都被老师说过：想要学习好，首先要摆出一个学习的态度来。这句话没有错，对待作业，首先思想上要重视起来，养成一个良好的习惯。但是坚持一个好习惯是非常困难的，过程中很多同学容易产生放弃的念头，还会产生负面情绪，但是大家要知道，一个好习惯是受益终生的，养成好习惯，问题越来越少，成绩自然提高。

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2018年中考数学试卷质量分析报告 民族九年制学校王磊 一、试题概况 1、覆盖面：试题的考点覆盖了《课标》的重要知识点，各部分比例按要求设置，数与代数为49%（74分左右），图形与几何为37%（55分左右），统计与概率为14%（21分左右）；易、中、难按5:3:2的题序定位及分配分值。 2、试题结构：1～10题为选择题，每小题3分共30分；11～18题为填空题，每小题4分共32分；19～28题为解答题，分值为88分，总题量为28道题目，总分值为150分。各种题型的题量、分数、结构合理，符合考试说明的要求。 3、试题的主要特点 （1）全面考查“四基”，突出对基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的考查，有较好的教学导向性。 （2）注重考查数学能力 ①把握知识的内在联系，考查学生综合运用数学的能力。 ②注重考查学生的获取信息、分析问题、解决问题的能力。 ③试卷设计时，选择题、填空题和解答题的最后一题的难度略有变化，考查学生在新问题情境中分析和解决问题能力，较好的培养学生的数学素养和思维能力。 （3）关注学生的创新精神、实践能力、学习能力 ①重视与实际生活的联系，加强了对学生运用知识分析和解决实际问题的考查。 ②通过设置开放性试题、探索性试题，考查学生能否独立思考、能否

从数学的角度去发现和提出问题，并加以探索研究和解决，从而考查学生的思维能力和创新意识。 4、紧扣课程内容，考查数学素养，体现学科特点 试题对学生的“四基”、“四能”与“核心概念”的考查得到较好的体现。 （1）、题目立足于课标要求，全面考查“四基” 紧扣《课标》要求及教材，立足考查基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。部分试题由教材中的题目改编而成。例如：第1、3、4、5、6、13、14、17、20、21、22等题都是由课本上的例题、练习题、习题改编而成。有些题也是学生见过的题目的合理改造而来。 （2）、注重考查数学能力 试题关注学生的“数感”、“符号意识”、“空间观念”、“几何直观”、“数据分析观念”、“运算能力”、“推理能力”、“模型思想”、“创新意识”、“应用意识”的形成。 （3）、关注学生的情感体验 试题中所设置的背景都是学生熟悉和可以理解的。另外注重图文并茂的呈现方式，借此考查学生正确地获取信息，并通过背景、数据及动手绘制图形来发现、分析与解决问题。 二、试题对数学教学的启示 1、课堂教学及复习要基于《课标》和《考试说明》。 试题以《课标》的课程内容标准要求为依据；体现了《课标》对学生在掌握数学和通过学习数学而达到的自身发展三大方面的要求：获得“四基”、发展能力、养成科学态度。阅读《考试说明》了解中考的考点。哪些是重要考点，哪些是必考考点。在复习中有意识的对这些知识点重点复习反复练习。对那些

人教版小学数学四年级下册重难点梳理word版本

金州实验小学四年级下册数学重难点梳理 胡建军 开头：1、、、、、、、 2、看教师用书，下载图片，选择其中我感受较深的地方和大家交流。 一，整学期课时安排： 重点是：小数的意义与性质、小数的加法和减法、运算定律与简便运算、三角形，整体是中间大，两头小，其中重中之重是有关小数的内容，占了两个单元，共计20课时，其一个内容就占了整学期新知识的约五分之二。 二，四则运算 （一）表：在老师用书里，每一个单元的教材说明里面，都列了一个表出来，这个表清晰地把第一个单元的主要内容都用表格 的形式，简单明了地呈现出来，比如第一单元的就在第16页，对我们从整体上把握教材内容有很好的作用。 （二）主题图：打开第一单元，迎面而来的就是一幅“冰天雪地” 的主题图，主题图从活动区域指示牌上可以看出滑雪区、滑冰 区和冰雕区，场景图中还给出了三条信息：滑冰区有72人，滑 雪区有26人，冰雕区有180人。给学生提问题提供了数据。教 材创设了热闹的滑雪场情境，由此引出相应的4个例题。连贯 性很强，能极大地激发学生的兴趣。 （三）解决问题：通过我班的孩子们考试的情况我发现，他们完成解决问题比较难，一部分平时表现优秀的学生无法在考试时 得到高分，往往是解决问题的题没能很好地完成。从刚才出示 的表上大家可以看到，第一到四课时的内容都是以解决问题的 形式表现出来的。所以我们可以充分利用教材提供的生动情境，放手让学生独立思考，自主探索，并在合作交流的基础上形成 解决问题的步骤和方法

（四）掌握解决问题的步骤和策略。本单元混合运算的顺序是结合解决问题进行的，其中解决问题的步骤和策略又是重点和难 点之一。教学时，要注意加强数量关系的分析，在叙述解题思 路时，要引导学生透过数看到量，用量的关系来描述解题思路。 如，可引导学生这样描述思路“先算出每天接待多少人，再计 算6天接待多少人”。不要停留在“先用987÷3，再乘6”的 描述方式上。可能开始时学生不习惯，但这种习惯终究会养成。（五）运算顺序：A、用笔标注：B，用尊敬长辈的良好习惯进行引导 三．位置与方向 （一）确定位置 1、向学生介绍物体所在方向的一般表述。学生在交流例1 的结果时，可能会出现两种答案：东偏北30°或北偏东60°，教师应告诉学生在生活中一般我们先说与物体所在方向离得较近（夹角较小）的方位。例如，本例题中1号检查点的方向，一般说成“东偏北30°”。 2、“做一做”中，我犯了一个错，那就是没有认真备课， 导致引导学生做错了，直到学生提醒我才改过来，我希望老师们不要犯我一样的错。（第二题填了东偏南的方向上，实际应该填东偏南30度，少填了30度） （二）绘制物体位置： 可充分利用插图进行教学：插图中，三个孩子说的两句话有画龙点睛的作用，一是先确定方向，二是，用一厘米表示多少米。

上海中考数学试卷分析

上海中考数学试卷分析 一、试卷基本结构： 48分（每题4分）；19-25题为解答题，占78分（其中，19-22每题10分，23-24每题12分，25题14分）。

（1选 择题 的考 查范 围比 较广，涵盖 了初 中数 （2）题目设置：概念题、理解运用题型。 （3) 考查侧重于对基础概念的考查。 （4）选择题的选项设置全部为单选题 （5) 通过以上分析，我们可以看出，选择题的考查以基本知识为核心内容。只要同学们对课本内容熟悉，基础知识牢固，是可以轻松解决的。 2.填空题分析 （1 填 空题 的考 查范 围同 样比 较广 泛初 中数 学的 基础 概念 知识 覆盖 较全。（2题 目设置：概念题、综合应用题等。 （3）侧重于对课本上数学基础知识的考查。 （4）基础题以外的题目难度并不大，同样的，如果对课本熟悉，基础概念牢固，大部分通过简单的推理与计算都会很容易得到解决。 3.简答题分析

解答 题重点考查了理解能力、重题干获取信息的能力和综合运用能力。 （2）第19、20题考查学生代数的基本计算。 （3）第21题考查学生对一次函数和反比例函数相关概念性质的理解及运用。 （4）第22题涉及到数学知识与生活的联系，是今年出现的新题型，有助于学生更深刻理解所学知识。 （5）第23题综合考查了初中平面几何的大部分知识点，综合度较高，需要学生对几何知识有较为 深入的理解、掌握。 （6）第24题和第25题是代数与几何相结合的题型，体现了“数形结合”的思想，综合程度高， 难度较大，是中考中区分度较大的题型。 四、总结分析： 能力；另外注重几何知识的综合应用；综合题难度较大，着重考查“数形结合”思想，尤其是函数与几何 相结合的综合性题型。 2.试卷的特点： 试题完全忠于书本，试题难度适中，以基础为主。试卷容量恰当，考查知识全面，覆盖面较大，几何 所占比例较大，整张试卷基本再现了初中数学的知识网络。 就整张数学试卷，试题主重体现了对课本的掌握和理解能力的培养。在信息的收集整理与处理、知识 的记忆和整理、作图与识图、分析计算及科学探究方面提出了要求。

2018人教版初中数学教材重难点分析

2018人教版初中数学教材 重难点分析 (名师总结教材重点，绝对精品，建议大家下载打印学习) 一、构建完整的知识框架——夯实基础 1、构建完整的知识框架是我们解决问题的基础，想要学好数学必须重视基础概念，必须加深对知识点的理解，然后会运用知识点解决问题，遇到问题自己学会反思及多维度的思考，最后形成自己的思路和方法。但有很多初中学生不重视书本的概念，对某些概念一知半

解，对知识点没有吃透，知识体系不完整，就会出现成绩飘忽不定的现象。 2、正确理解和掌握数学的一些基本概念、法则、公式、定理，把握他们之间的内在联系。由于数学是一门知识的连贯性和逻辑性都很强的学科，正确掌握学过的每一个概念、法则、公式、定理可以为以后的学习打下良好的基础，如果在学习某一内容或解某一题时碰到了困难，那么很有可能就是因为与其有关的、以前的一些基本知识没有掌握好所造成的，因此要经常查缺补漏，找到问题并及时解决之，努力做到发现一个问题及时解决一个问题。只有基础扎实，解决问题才能得心应手，成绩才会提高。 二、初中数学中考知识重难点分析 1、函数（一次函数、反比例函数、二次函数）中考占总分的15%左右。 函数对于学生来说是一个新的知识点，不同于以往的知识，它比较抽象，刚接受起来会有一定的困惑，很多学生学过之后也没理解函数到底是什么。特别是二次函数是中考的重点，也是中考的难点，在填空、选择、解答题中均会出现，且知识点多，题型多变。而且一道解答题一般会在试卷最后两题中出现，一般二次函数的应用和二次函数的图像、性质及三角形、四边形综合题难度较大。有一定难度。如果学生在这一环节掌握不好，将会直接影响代数的基础，会对中考的分数会造成很大的影响。 2、整式、分式、二次根式的化简运算 整式的运算、因式分解、二次根式、科学计数法及分式化简等都是初中学习的重点，它贯穿于整个初中数学的知识，是我们进行数学运算的基础，其中因式分解及理解因式分解和整式乘法运算的关系、分式的运算是难点。中考一般以选择、填空形式出现，但却是解答题完整解答的基础。运算能力的熟练程度和答题的正确率有直接的关系，掌握不好，答题正确率就不会很高，进而后面的的方程、不等式、函数也无法学好。

广州中考数学经典分析报告 知识点汇总

近几年来广州市中考数学科试卷特点 通过对近几年来广州市中考数学科试卷分析，我认为具有如下特点： 1、试题覆盖面广，涵盖了主要知识点，对初中必考的基础知识一般以选择题、填空题的形式进行考查，对初中知识的核心、主干内容以解答题的形式加以考查，以重点知识为主线组织全卷内容。 2、注重基础知识、基本技能的考查，难易安排有序，层次合理，有助于考生较好地发挥思维水平。 3、重视思想方法、数学能力的考查，包括对数形结合、归纳概括、转化思想、分类思想、函数与方程思想等内容的考查，很好地突出了试题的选拔功能。 4、重视从题目中获取信息能力的考查，通过阅读图表或从文字信息中识别出数学问题的背景，把各种数学语言有机地融合，恰当地转换，从而解决问题。 5、强化应用意识、创新思维的考查，体现在试题内容着力加强与社会实际和学生生活的联系，注重考查学生在具体情境中运用所学知识分析和解决问题的能力。突出对应用问题的考查，从学生熟悉的生活背景和广州市当年发生的重大事件入手，让学生深切地感受到“数学就在身边”。 根据以上分析，我们在复习备考中要做到下面几个要求： 1、重视基本知识和基本技能的训练，重视概念问题的教学，把各个概念的各种“变式题”训练到位，多收集新题型，与现在的教育改革接轨。 2、坚持教学方法的改进，课堂上多运用“启发式”、“探究式”、“讨论式”等教学方法，多设计和提出适合学生发展水平的具有一定探究性的问题，创设问题情境，进行“一题多解”、“一题多变”的训练，培养学生的发散思维和创新意识。 3、以学生为主体着眼于能力的提高，多让学生动手操作，积极引导和鼓励学生大胆思维，勇于发表自己观点，让学生拥有更多的参与思考、讨论交流的机会。教学中尽量避免包办代替式的单纯模仿式的教学，重视学生个性发展，培养学生创造能力。 4、注重数学思想方法的教学，要求学生不要用单一的思维方式去思考问题，应多方位、多角度、多层次地进行思考，形成一定的数学思维。 5、强化过程意识，避免让学生死记硬背公式、定理，重视数学概念、公式、

四年级数学下册《三角形》重难点突破英语教案.docx

.精品文档 . 四年级数学下册《三角形》重难点突破 英语教案 四年级数学下册《三角形》重难点突破 学生通过第一学段以及四年级上册对空间与图形内容的学习，对三角形已经有了直观的认识，能够从平面图形中分辨出三角形。在此基础上本单元安排了三小节内容：三角形的特性、三角形的分类和三角形的内角和。使学生认识三角形的特性；会根据三角形角的特点给三角形分类，认识直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、等腰三角形和等边三角形；知道三角形任意两边的和大于第三边；三角形的内角和是 180°；在发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程中，在边数增加变化中，感悟数学研究方法，发现多边形的内角和规律，渗透合情推理。通过教学使学生获得有关三角形的系统知识，促进空间观念的发展。 一、概括三角形的含义，认识三角形各部分名称，会画三角形的高 突破建议： 1．在画三角形、说画法、辨析交流的过程中，理解“围成”的含义，概括三角形的含义，培养学生的观察能力和语言表达能力。 2．在说一说、指一指、写一写三角形各部分名称的活

动中，认识三角形的基本特征，建立三角形表象。 3．在动作操作尝试画高、辨析交流、学生演示和再尝试 的过程中，学会画三角形的高。画三角形的高，实际上与学生 已学过的过直线外一点画已知直线的垂线段一样。因此，在学 习画高前应先使学生清楚什么是三角形的底，什么是三角形的高。这些可以由学生阅读教材自主学习。在此基础上可以安排 两次画高的活动。 第一次：学生尝试画高后，展示出他们的作品，并引导 学生辨析，在辨析交流中，与已学过的旧知建立联系，掌握 画高的方法。 第二次：画出三角形所有的高，使学生认识到任意三角 形都有 3 条高。 在尝试中，学生可以画出锐角三角形的三条高，而直角 三角形和钝角三角形部分学生可能只能画出在三角形内的那 一条高，可以通过教师的讲解和演示，使学生知道到这两 3 条高。种三角形也有三条高，进而总结出任意三角形都有 二、发现三角形稳定性，了解三角形稳定性的本质 突破建议： 1．从学生生活常见的物品引入，引到学生自己提出问 题：为什么有些地方要用三角形，而有些地方要用四边形？ 激发学生的探究欲望。培养学生“发现问题——提出问题” 的能力。

2017年中考数学试卷分析

2017年中考数学试卷分析 2017年广东省中考数学试卷与去年相比，在知识内容、题型、题量等方面总体保持稳定，不仅注重考查“四基”（基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验），而且注重考查学生的运算能力、推理能力、应用意识和综合意识。试卷分值与去年相比，总分值120分和题型结构没有变化，兼顾了初中毕业水平考试与选拔的功能，不过相比较去年的试题，基础题难度不大，压轴题难度有所提升。 一、试题特点：整体平稳 2017年中考试题考点与前两年对比，不少题目的考察方式与近几年题型相似，具体考点如下：

二、逐题分析：难度适中 （一）选择题 选择题较容易得分，基本上是送分题，基础部分第10题与往年题型不同，内容有变化，今年重点考察的对象是特殊四边形与相似的综合应用，但难度不大。 （二）填空题 第15题往年喜欢考察找规律的题型，今年重点考察的是整体代入法。往年第16题常求阴影部分面积，而今年和去年都是考察几何图形中求线段长度问题。

（三）解答题（一） 第17、18题考点与往年相同，第19题尺规作图题今年放在了解答题（二）中，而以往学生最担心的应用题今年难度有所降低，放在解答题（一）中，容易得分。 （四）解答题（二） 数据分析与几何小综合和以往考察考点相似，但难度不大，容易得分，计算量比以前略有减少。 （五）解答题（三） 解答题（三）题型与去年基本一样，内容变化不大，难度稍有提高。23题函数小综合，相比去年考察的知识点比较广，涉及到函数解析式、中点公式、三角函数；24题几何大综合与去年难度相当，不过题型有所变化，重点考查了圆的基本性质与圆的切线性质、三角形相似等综合内容，要求学生对圆中角度的关系能灵活运用，对相关几何模型熟悉，对学生能力要求比较高。特别是第（3）问求弧长，要求学生利用相似三角形证明求角度，要求学生有较强的综合能力。25题压轴题，为图形变换中的动点问题，把等腰三角形、矩形、特殊角度的三角形与二次函数最值等编合在一起，同时也体现出数形结合，分类讨论、函数等思想，并且本题较去年计算量有所加大，对学生的图形综合分析能力要求比较高，卓越、博达教育专家认为，正确地做出辅助线是解决问题的关键，要求学生具有完整的数学思维，区分度较高，具