(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1， ，－1)，且a ·b ＝2，则 的值是 ．
答案 5
解析 ∵a ·b ＝－3＋2 －5＝2，
∴ ＝5.
2.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，
点N 为BC 的中点，则MN →＝ .(用a ，b ，c 表示)
答案 －23a ＋12b ＋12
c 解析 如图，连结ON ，由向量的加法法则，可知MN →＝MO →＋ON →
＝－23OA →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12
(b ＋c ) ＝－23a ＋12b ＋12
c . 3．设i ，j ， 为单位正交基底，已知a ＝3i ＋2j － ，b ＝i －j ＋2 ，则5a ·3b ＝ . 答案 －15
解析 ∵a ＝(3,2，－1)，b ＝(1，－1,2)，∴5a ·3b ＝15a ·b ＝－15.
4．设平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6，6)，则α，β的位置关系为 ． 考点 向量法求解平面与平面的位置关系
题点 向量法解决面面平行
答案 平行或重合
解析 ∵平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6,6)，满足v ＝－3u ，∴α∥β或重合．
5．若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a 与b 的夹角为60°，则a ·a ＋a ·b ＝ .
答案 32
解析 由空间向量数量积的性质，知a ·a ＝|a |2＝1.
由空间向量数量积的定义，得
a ·
b ＝|a b |cos 〈a ，b 〉＝1×1×cos60°＝12
， 从而a ·a ＋a ·b ＝1＋12＝32
. 6．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC
中点，则△AMD 为 三角形．
答案 直角
解析 ∵M 为BC 中点，
∴AM →＝12
(AB →＋AC →)． ∴AM →·AD →＝12
(AB →＋AC →)·AD → ＝12AB →·AD →＋12
AC →·AD →＝0. ∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．
7.在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面P AB 的法向量的是 ．(填序号)
①?
???1，1，12；②(1，2，1)；③(1,1,1)；④(2，－2,1)． 答案 ①
解析 由题意知，C (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)，P (0,0,2)，则P A →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)，
设平面P AB 的一个法向量为n ＝( ，y,1)，
则????? x －2＝0，－x ＋y ＝0，解得?????
x ＝2，
y ＝2，
∴n ＝(2,2,1)． 又?
???1，1，12＝12n ，∴①正确． 8．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，D 为AB 的中点，沿中线将△ACD 折起使得AB ＝13，则二面角A －CD －B 的大小为 ．
答案 120°
解析 如图，取CD 中点E ，在平面BCD 内过点B 作BF ⊥CD ，交CD 延长线于点F .
据题意知AE ⊥CD ，
AE ＝BF ＝3，EF ＝2，AB ＝13.
且〈EA →，FB →〉为二面角的平面角，
由AB →2＝(AE →＋EF →＋FB →)2得
13＝3＋3＋4＋2×3×cos 〈AE →，FB →〉，
∴cos 〈EA →，FB →〉＝－12
， 又∵〈EA →，FB →〉∈[0°，180°]，
∴〈EA →，FB →〉＝120°.
即所求的二面角为120°.
9.如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，
BE ＝3ED ，若以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝ .
答案 －112AB →－13AC →＋34
AD → 解析 GE →＝AE →－AG →＝AD →＋DE →－23AM →＝AD →＋14DB →－13(AB →＋AC →)＝AD →＋14AB →－14AD →－13AB →－13AC →＝－112AB →－13AC →＋34
AD →.
10.如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝8，AD ＝6，AA ′＝8，∠BAD ＝∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为 ．
答案 18
解析 ∵AC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AB →＋AD →＋AA ′—→，
|AC ′—→|2＝(AB →＋AD →＋AA ′—→)2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA ′—→|2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA ′—→＋AD →·AA ′—→)
＝82＋62＋82＋2×(24＋32＋24)＝324，
∴|AC ′—→|＝324＝18.
11.如图，S 是正三角形ABC 所在平面外一点，M ，N 分别是AB 和SC 的中点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝90°，则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为 ．
答案 105
解析 不妨设SA ＝SB ＝SC ＝1，以点S 为坐标原点，SA ，SB ，SC 所在直线分别为 轴，y 轴， 轴，建立空间直角坐标系S － y ，则相关各点坐标为A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，S (0,0,0)，
M ????12，12，0，N ?
???0，0，12. 因为SM →＝????12，12，0，
BN →＝?
???0，－1，12， 所以|SM →|＝12，|BN →|＝54，
空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教
材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 ②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平 行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为???? ? n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2. (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1 ∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( ) (6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( ) 1．下列各组向量中不平行的是( )
向量公式汇总Newly compiled on November 23, 2020
向量公式汇总 平面向量 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。 当λ＞0时，λa与a同方向； 当λ＜0时，λa与a反方向； 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。 注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 4、向量的的数量积 定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab=+-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'。 向量的数量积的运算律 ab=ba（交换律）； (λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律)； （a+b)c=ac+bc（分配律）；
空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD （1）证明AB⊥平面VAD； （2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E为PD的中点. （1）求直线AC与PB所成角的余弦值； （2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.(易错点,建系后,关于N点的坐标的设法,也是自己的弱项)
3. 如图，在长方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ； （2）当E 为AB 的中点时，求点A 到面ECD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角 D 1―EC ―D 的大小为(易错点:在找平面DEC 的法向量的时候,本来法向量就己经存在了,就不必要再去找,但是我认为去找应该没有错吧,但法向量找出来了 ,和那个己经存在的法向量有很大的差别,而且,计算结果很得杂,到底问题出在哪里 ?) 4.如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝2，E 为BD 1的中点，F 为AB 的中点，∠DAB ＝60°． (1)求证：EF ∥平面ADD 1A 1； (2)若2 21BB ，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值．
N：5题到11题都是运用基底思想解题 5.空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成60度角，求AD与BC所成角的大小。 6.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB=45°, ∠A1AC=60°,求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。 7.如图，60°的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内， 且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8，求CD的长 8.如图，已知空间四边形OABC中，OB=0C, ∠AOB=∠AOC=Θ，求证OA⊥BC。 9．如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE。 （1）计算DE的长； （2）求点O到平面ABC的距离。 10．如图，线段AB在平面⊥α，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD与平面α所成的角。
向量法解立体几何 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离
点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为PQ =u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ u u u r 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法
空间向量在立体几何中的应用 教学目标: （1）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 （2）能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 （3）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题 重点与难点: 用向量方法解决线面角、二面角问题 教学过程： 1.利用空间向量求两异面直线所成的角的方法及公式为: 异面直线所成角 设分别为异面直线的方向向量，则 2.利用空间向量求直线与平面所成的角的方法及公式为: 线面角 设是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 3.利用空间向量求二面角的方法及公式为: 二面角)1800(00≤≤θθ 设 分别为平面 的法向量，则θ与 互补或相等， 注意：运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为： （1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。（4）结合公式进行论证、计算。（5）转化为几何结论。 例1：已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=1 2AB ，N 为AB 上一点， AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点. （1）证明：CM ⊥SN ； （2）求SN 与平面CMN 所成角的大小. 分析：本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 解：设PA ＝1，以A 为原点，射线AB 、AC 、AP 分别为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标
系，如图。 则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, 12)，N(12,0,0)，S(1,1 2,0) （1） 111(1,1,),(,,0), 222 11 00 22 1 (II)(,1,0), 2 (,,)CMN 022,(2,1,2) 1021 -1-22|cos |= 22 32 SN CMN CM SN CM SN CM SN NC a x y z z x y x a x y a SN =-=--=-++=⊥=-=?-+=??==-??-+=??<>=? 因为所以设为平面的一个法向量，则令得因为所与平面所成的o 45角为 例2：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥， 2AB EF =，90BFC ∠=?，BF FC =，H 为BC 的中点。 (1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。 分析：本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 解： ,,//,,,,,,,. ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥ 四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面 A E F B C D H G X Y Z
高中数学典型例题分析 第八章 平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。 记作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。 记作a -b 。 7.实数与向量的积： （1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。 另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理： 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一
实用文档 文案大全高中数学典型例题第八章平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、、疑难知识导析 1．向量的概念的理解，尤其是特殊向量“零向量” 向量是既有大小，又有方向的量．向量的模是正数或0，是可以进行大小比较的，由于方向不能比较大小，所以向量是不能比大小的．两个向量的模相等，方向相同，我们称这两个向量相等，两个零向量是相等的，零向量与任何向量平行，与任何向量都是共线向量； 2．在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点； 3．对于坐标形式给出的两个向量，在运用平行与垂直的充要条件时，一定要区分好两个公式，切不可混淆。因此，建议在记忆时对比记忆； 4．定比分点公式中则要记清哪个点是分点；还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的； 5．平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式，故在使用的过程中须将起始点的坐标给出，同时注意顺序。 二知识导学 1.模（长度）：向量AB的大小，记作|AB|。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a?长度相等，方向相反的向量叫做a?的相反向量。记作-a?。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a?，b?。在平面内任取一点，作AB=a?，BC=b，则向量AC 叫做a与b?的和。记作a?+b?。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a?，b?。在平面内任取一点O，作OA=a?，OB=b?，则向量BA 叫做a?与b?的差。记作a?-b?。 7.实数与向量的积： （1）定义：实数λ与向量a?的积是一个向量，记作λa?，并规定： ①λa?的长度|λa?|=|λ|·|a?|； ②当λ＞0时，λa?的方向与a?的方向相同； 当λ＜0时，λa?的方向与a?的方向相反； 当λ＝0时，λa?=0? （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa?)=(λμ) a?
. 1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD， 点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． 的中点；PB（1）求证：M为 的大小；A2）求二面角B﹣PD﹣（ 所成角的正弦值．BDP（3）求直线MC与平面 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，
∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， . . ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C （2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，）， ，．
空间向量与立体几何的教学反思 本部分是高三理科数学复习的一个重要部分，是数学必修4“平面向量”在空间的推广，又是数学必修2“立体几何初步”的延续，努力使学生将运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角(“立体几何初步”侧重于定性研究，本章则侧重于定量研究)。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。 进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用。向量是一个重要的代数研究对象，引入向量运算，使数学的运算对象发生了一个重大跳跃：从数、字母与代数式到向量，运算也从一元到多元。向量又是一个几何对象，本身既有方向，又有长度；是沟通代数与几何的一个桥梁，是一个重要的数学与物理模型，这些也为进一步学习向量和研究向量奠定了一定的基础。 利用向量来解决立体几何问题是学习这部分内容的重点，要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系 一、现将原大纲目标与新课程目标进行简单的比较：
《标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的
过程，目的是让学生体会数学的思想方法（类比与归纳），体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题。同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质。掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求，是后续学习的前提。 新老课程相比，该部分减少了大量的综合证明的内容，重在对于图形的把握，发展空间概念，运用向量方法解决计算问题，这样的调整，将使得学生把精力更多地放在理解数学的细想方法和本质方面，更加注意数学与现实世界的联系和应用，重在发展学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识，提高学生自觉运用数学分析问题、解决问题的能力，为学生日后的进一步学习，或工作、生活中应用数学，打下更好的基础。 二、教学要求 本章从数量表示和几何意义两方面，把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形。这是“由此及彼，由浅入深”的认识发展过程。 本章以立体几何问题为载体，体现向量的工具作用和向量方法的基本步骤和原理，再次渗透符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想。主要要思想方法是： （1）类比、猜想、归纳、推广（让学生经历由平面向空间推广的过程）； （2）能灵活选择向量法、坐标法与综合法解决立体几何问题。
立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥．
（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|．（3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议：
微专题64 利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 （一）刻画直线与平面方向的向量 1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：()()2,4,6,3,0,2A B ，则直线AB 的方向向量为()1,4,4AB =-- 2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面α垂直的直线称为平面α的法线，法线的方向向量就是平面α的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？ （1）所需条件：平面上的两条不平行的直线 （2）求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,n x y z =，若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则可列出方程组： 1112220 x y z x y x y z x y z z ++=?? ++=? 解出,,x y z 的比值即可 例如：()()1,2,0,2,1,3a b ==，求,a b 所在平面的法向量 解：设(),,n x y z =，则有20230x y x y z +=??++=? ，解得：2x y z y =-??=? ::2:1:1x y z ∴=- ()2,1,1n ∴=- （二）空间向量可解决的立体几何问题（用,a b 表示直线,a b 的方向向量，用,m n 表示平面 ,αβ的法向量） 1、判定类 （1）线面平行：a b a b ?∥∥ （2）线面垂直：a b a b ⊥?⊥ （3）面面平行：m n αβ?∥∥ （4）面面垂直：m n αβ⊥?⊥ 2、计算类： （1）两直线所成角：cos cos ,a b a b a b θ?==
3.2立体几何中的向量方法 第一课时 立体几何中的向量方法（1） 教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题． 教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学过程： 一、复习引入 1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示； ⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式； ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？ 2. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？ ⑴利用定义a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞或cos ＜a ,b ＞＝a b a b ??，可求两个向量的数量积或夹角 问题； ⑵利用性质a ⊥b ?a ·b ＝０可以解决线段或直线的垂直问题； ⑶利用性质a ·a ＝｜a ｜2，可以解决线段的长或两点间的距离问题． 二、例题讲解 1. 出示例1：已知空间四边形OABC 中，OA BC ⊥，OB AC ⊥．求证：OC AB ⊥． 证明：·OC AB ＝·()OC OB OA - ＝·OC OB －·OC OA ． ∵OA BC ⊥，OB AC ⊥， ∴·0OA BC =，·0OB AC =， ·()0OA OC OB -=，·()0OB OC OA -=． ∴··OA OC OA OB =，··OB OC OB OA =． ∴·OC OB ＝·OC OA ，·OC AB ＝0． ∴OC AB ⊥ 2. 出示例2：如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥AB ，线段'DD α⊥，'30DBD ∠=，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 间的距离． 解：由AC α⊥，可知AC AB ⊥． 由'30DBD ∠=可知，＜,CA BD ＞＝120， ∴2||CD ＝2()CA AB BD ++＝2||CA ＋2||AB ＋2||BD ＋2(·CA AB ＋·CA BD ＋·AB BD ) ＝22222cos120b a b b +++＝22a b +． ∴CD 3. 出示例3：如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的 棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角． 解：∵MN ＝1(')2CC BC +，'CD ＝'CC CD +， ∴·'MN CD ＝1(')2CC BC +·(')CC CD +＝12 (2|'|CC ＋'CC CD ＋·'BC CC ＋·BC CD )． ∵'CC CD ⊥，'CC BC ⊥，BC CD ⊥，∴'0CC CD =，·'0BC CC =，·0BC CD =， ∴·'MN CD ＝122|'|CC ＝12． …求得 cos ＜,'MN CD ＞12 =，∴＜,'MN CD ＞＝60. 4. 小结：利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明．
高二数学空间向量及其运算 课题：http:///空间向量及其运算(一) 教学目的： 1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算 2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题 教学重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律 教学难点：用向量解决立几问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节，空间向量及其运算共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积这一节是全章的重点，有了第一大节空间平行概念的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以例习题的编排也主要是立体几何问题 本小节首先把平面向量及其线性运算推广到空间向量学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在
研究的范围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，两个不平行向量确定的平面已不是一个平面，而是互相 平行的平行平面集，要让学生在空间上一步步地验证运算法 则和运算律这样做，一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念 当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间 向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量把平行向 量基本定理和平面向量基本定理推广到空间然后由这两个定 理推出空间直线和平面的向量表达式有了这两个表达式，我 们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题 在学习共线和共面向量定理后，我们学习空间最重要的基础 定理：空间向量基本定理，这个定理是空间几何研究数量化 的基础有了这个定理空间结构变得简单明了，整个空间被3 个不共面的基向量所确定空间-个点或一个向量和实数组(x，y，z)建立起一一对应关系本节的最后一个知识点是，两个 向量的数量积由平面两个向量的数量积推广到空间最重要的 是让学生建立向量在轴上的投影概念为了减轻教学难度，内 积的几个运算性质教材中没有证明学生基础好的学校可在教 师的指导下，由学生自己证明 教学过程： 一、复习引入： 1向量的概念
第一课时3.1.1空间向量及其加减与数乘运算 教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：由平面向量类比学习空间向量． 教学过程： 一、复习引入 1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ 既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a 、b 等表示； 用有向线段的起点与终点字母：AB ．长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 2. 向量的加减以及数乘向量运算： 向量的加法： 向量的减法： 实数与向量的积： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，其长度和方向规定如下：|λa |＝|λ||a | (2)当λ＞0时，λa 与a 同向； 当λ＜0时，λa 与a 反向； 当λ＝0时，λa ＝0. 3. 向量的运算运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 4. 三个力都是200N ，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N 的钢板？ 二、新课讲授 1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模. → 举例？ 表示？（用有向线段表示） 记法？ → 零向量？ 单位向量？ 相反向量？ → 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． → 讨论：空间任意两个向量是否共面？ 2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： OB OA AB =+=a +b ， AB OB OA =-（指向被减向量）， OP =λa ()R λ∈ （请学生说说数乘运算的定义？） 3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )； ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ． 4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=； ⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；⑶空间平行四边形法则． 5. 出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： AB BC +⑴； 'AB AD AA ++⑵； 1(3)'2AB AD CC ++； 1(')3 AB AD AA ++⑷． 师生共练 → 变式训练 6. 练习：课本P 92 7. 小结：概念、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量） 三、巩固练习： 作业：P106 A 组 1、2题. 第二课时3.1.2空间向量的数乘运算（二）
专题：运用向量法证明立体几何问题 一、知识点： 1、若向量m 与直线l 平行，则向量叫做直线l 的方向向量。 2、若⊥α，则叫做平面α的法向量。 （1）要证m 为平面α的法向量，只须让m 与平面α内的两条相交直线垂直。 （2）若χ轴与平面的法向量，可设为=（1，0，0） （3）若 y 轴为平面的法向量，可设为=（0，1，0） （4）若Z 轴为平面的法向量，可设为m =（0，0，1） 3、证明线面平行与线面垂直 若为平面α的法向量，n 为直线l 的方向向量，则 （1）l ⊥α?m ∥n ?m =λn （2）l ∥α ?m ⊥n ?m ·n =0 4、运用向量求角 （1）若两条异面直线l 1，l 2所成的角为 θ，为l 1 的方向向量， n 为l 2 的方向向量，则 cos (090)m n m n θθ=<≤ ， （2）若两个平面12αα，所成的二面角的平面角为 θ，为1α的法向
量，为2α的法向量，则 cos (090)m n m n θθ=<≤ ， 当二面角为锐时为θ；当二面角为钝角时为 π-θ。 （3）直线l 与平面α所成的角为θ，n 为直线l 的方向向量，m 为平面α 的法向量，则 sin (090)m n m n θθ=<≤ ， 5、点P 到平面α的距离为d,若为平面α的法向量，A 为平面α内任 一点，则PA m d m = 例1．如图在四棱锥P-ABCD 中，底面AB 、CD 是正方形且边长为1，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，点E 是PC 的中点，且F 的坐标是（31，31，3 2 ）。 （1）求证：PA ∥平面EDB （２）求证：PB ⊥平面EFD 解：如图建立空间直角坐标系D xyz -。 设底面正方形的边长为１,则PD=1 D （0，0，0），P （0，0，1），A （1，0，0）， B （1，1，0）, C （0，1，0），E （0，21，2 1 ） （1）设(x,y,z)m = 为平面EDB 的法向量 则00m DB m DE ?=??=?? ， 而(1,1,0)11(0,,)22 DB DE ?=??=?? ∴011022 x y y z +=?? ?+=?? ， 即 x y z y =-??=-? 故m =（1，-1，1）（取Y=-1）
利用空间向量解立体几何(完整版)
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向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 基本思路与方法 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系
线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+-u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 002 2 Ax By C A B +++ 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ u u u r 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤：
1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积 的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与 垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 在四棱锥 设直线，则 v
的正方体 I 2. 如图，在棱长为a (1) 试证：A1、G、C三点共线； (2) 试证：A1C⊥平面 3.【改编自高考题】如图所示，四棱柱 的正方形，侧棱A (1)证明：AC⊥A1B； (2)是否在棱A1A上存在一点P，使得C1【学后反思】 本节课我学会了 掌握了那些？ 还有哪些疑问？ 2017届高二数学导学案编写邓兴明审核邓兴明审批
1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角． 【教学重点】灵活地运用各种方法求空间角 【教学难点】灵活地运用各种方法求空间角 —l—β的两个面α，β的法向量，则向量 的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)． 【课堂合作探究】 利用向量法求异面直线所成的角 B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D 的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线