利用空间向量解立体几何问题
一、基础知识
（一）刻画直线与平面方向的向量
1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定
例如：()()2,4,6,3,0,2A B ，则直线AB 的方向向量为()1,4,4AB =--
2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面α垂直的直线称为平面α的法线，法线的方向向量就是平面α的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？
（1）所需条件：平面上的两条不平行的直线
（2）求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,n x y z =，若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则可列出方程组：
1112220
x y z x y x y z x y z z ++=??
++=? 解出,,x y z 的比值即可 例如：()()1,2,0,2,1,3a b ==，求,a b 所在平面的法向量
解：设(),,n x y z =，则有20230x y x y z +=??++=? ，解得：2x y
z y =-??=?
::2:1:1x y z ∴=- ()2,1,1n ∴=-
（二）空间向量可解决的立体几何问题（用,a b 表示直线,a b 的方向向量，用,m n 表示平面,αβ的法向量） 1、判定类
（1）线面平行：a b a b ?∥∥ （2）线面垂直：a b a b ⊥?⊥
（3）面面平行：m n αβ?∥∥ （4）面面垂直：m n αβ⊥?⊥ 2、计算类：
（1）两直线所成角：cos cos ,a b a b a b
θ?==
（2）线面角：cos ,sin a m a m a m θ?=
=
（3）二面角：cos cos ,m n m n m n
θ?==或cos cos ,m n m n m n
θ?=-=-
（视平面角与
法向量夹角关系而定）
（4）点到平面距离：设A 为平面α外一点，P 为平面α上任意一点，则A 到平面
α的距离为A AP n d n
α-?=
，即AP 在法向量n 上投影的绝对值。
（三）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧
1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标(),,x y z ，再想办法利用条件求出坐标
2、解题关键：减少变量数量——(),,x y z 可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：
（1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标 （2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标 规律：维度=所用变量个数 3、如何减少变量：
（1）直线上的点（重点）：平面向量共线定理——若,a b R λ??∈∥使得a b λ= 例：已知()()1,3,4,0,2,1A P ，那么直线AP 上的某点(),,M x y z 坐标可用一个变量表示，方法如下：()()1,3,4,1,1,3AM x y z AP =---=---——三点中取两点构成两个向量
因为M 在AP 上，所以AM AP AM AP λ?=∥ ——共线定理的应用（关键）
11334343x x y y z z λλλλλλ-=-=-????
∴-=-?=-????-=-=-??
，即()1,3,43M λλλ---——仅用一个变量λ表示 （2）平面上的点：平面向量基本定理——若,a b 不共线，则平面上任意一个向量c ，均存在,R λβ∈，使得：c a b λβ=+
例：已知()()()1,3,4,0,2,1,2,4,0A P Q ，则平面APQ 上的某点(),,M x y z 坐标可用两个变量表示，方法如下：()()()1,3,4,1,1,3,2,2,1AM x y z AP PQ =---=---=-，
故AM AP PQ λβ=+，即121232324343x x y y z z λβλβ
λβλβλβλβ-=-+=-+????
∴-=-+?=-+????-=--=--??
二、典型例题
例1：（2010 天津）在长方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是棱1,BC CC 上的点，
（3）求二面角1A ED F --正弦值
解：由长方体1111ABCD A B C D -得：1,,AA AB AD 两两垂直
∴ 以1,,AA AB AD 为轴建立空间直角坐标系
（1）()()()131,,0,1,2,1,0,0,4,0,2,02E F A D ??
???
()110,,1,0,2,42EF A D ??
∴==- ???
1113cos ,5
5
EF A D EF A D EF A D
?∴=
=
=-?
3cos 5
θ∴=
（2）()1,2,1AF =，设平面1A ED 的法向量为(),,n x y z =
()110,2,4,1,,02A D DE ?
?=-=- ??
?
240
::1:2:11
02
y z x y z x y -=??∴?=?-=?? ()1,2,1n ∴= AF n ∴∥ AF ∴⊥平面1A ED
（3）设平面EDF 的法向量(),,m x y z =
()11,,0,1,0,12DE DF ?
?=-= ??
?
()10::1:2:120
x y x y z x z ?
-=?∴?=-??+=? ()1,2,1m ∴=- ()1,2,1n
=42cos ,63
m n m n m n
?∴=
=
= sin 3
θ∴=
例2：如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =，
若MN 分别为棱,PD PC 上的点，O 为AC 中点，且22AC OM ON == （1）求证：平面ABM ⊥平面PCD
（2）求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值
（3）求点N 到平面ACM 的距离 解：PA ⊥平面ABCD
,PA AB PA AD ∴⊥⊥ 矩形ABCD AB AD ∴⊥ 故,,PA AB AD 两两垂直
以,,PA AB AD 为轴建立空间直角坐标系
()()()()()0,0,4,2,0,0,2,4,0,0,4,0,1,2,0P B C D O
22AC OM ON ==，且,OM ON 分别为,AMC ANC
,AN PC AM PD ∴⊥⊥
设点(),,M x y z ，因为,,P M D 三点共线
PM PD λ∴= 而()(),,4,0,4,4PM x y z PD =-=-
()0,4,4PD λλλ∴=- 0444x y z λ
λ=??
∴=??-=-?
()0,4,44M λλ∴- 而0AM PD AM PD ⊥??=
∴ ()11644402
λλλ--=?=
()0,2,2M ∴
同理，设点(),,N x y z ，因为,,P N C 三点共线
PN PC μ∴= 而()(),,4,2,4,4PN x y z PC =-=-
()2,4,4PD μμμμ∴=- 2444x y z μμ
μ=??
∴=??-=-?
()2,4,44N μμμ∴- 而0AN PC AN PC ⊥??=
∴ ()44+1644409
μμμμ--=?=
81620,,999N ??∴ ???
（1）设平面ABM 的法向量为()1,,n x y z = ()()2,0,0,0,2,2AB AM ==
()1200,1,1220
x n y z =?∴?=-?+=? 设平面PCD 的法向量为()2,,n x y z = ()()2,4,4,2,0,0PC DC =-=
()224400,1,120
x y z n x +-=?∴?=?=? 120n n ∴?= 12n n ∴⊥
∴ 平面ABM ⊥平面PCD
（2）设平面ACM 的法向量为(),,n x y z
()()2,4,0,0,2,2AC AM == ()2402,1,1220x y n y z +=?∴?=-?+=?
而()2,0,0CD =-
∴
设直线CD 与平
面A
C 所成角为θ，
则
sin cos ,3
2CD n CD n CD n
θ?==
==
??
（3）
829
N ACM
AN n d n
-??===平面 例3：已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2,1,AD AB PA ==⊥平面 ABCD ，,E F 分别是线段,AB BC 的中点 （1）求证：PF FD ⊥
（2）在线段PA 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ，若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由
（3）若PB 与平面ABCD 所成的角为45，求二面角A PD F --的余弦值
解：因为PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 是矩形
∴ 以,,PA AD AB 为轴建立空间直角坐标系，设PA h =
()()()()()10,0,,1,0,0,0,2,0,1,2,0,1,1,0,,0,02P h B D C F E ??
∴ ???
（1）()()1,1,,1,1,0PF h FD ∴=-=- 0P F F D ∴?=
PF FD ∴⊥
（2）设()0,0,G a 1,0,2E G a ??
∴=- ???
设平面PFD 的法向量为(),,n x y z = ()()1,1,,1,1,
0P F h F D =-=- 002
x h
x y zh y h x y z =?+-=??∴?=??-+=??=?
(),,2n h h ∴=
EG ∥平面PFD E G n
∴⊥ 1202EG n h a ∴?=-+=解得1
4
a h =
∴ 存在点G ，为AP 的四等分点（靠近A ）
（3）PA ⊥底面ABCD PB ∴在底面ABCD 的投影为BA
PBA ∴∠为PB 与平面ABCD 所成的角，即45PBA ∠= PBA ∴为等腰直角三角形 1A P A B ∴==
即1h = ∴平面PFD 的法向量为()1,1,2n =
平面APD 为yOz 平面，所以平面APD 的法向量为()0,1,0m = 设二面角A PD F --的平面角为θ，可知θ为锐角
cos cos ,6m n θ∴=== 例
4：四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面A B C ，
,90,3,AD BC ABC PA PB ∠===∥1,2,3,BC AB AD O ===是AB 中点
（1）求证：CD ⊥平面POC
（2）求二面角C PD O --的平面角的余弦值 （3）在侧棱PC 上是否存在点M ，使得BM ∥平面
POD ，若存在，求出CM
PC
的值；若不存在，请说明理由
解：过O 在平面ABCD 作AB 的垂线交CD 于Q
,PA PB O =为AB 中点
PO AB ∴⊥
平面PAB ⊥平面ABCD
PO ∴⊥平面ABCD
,PO OB PO OQ ∴⊥⊥ OQ AB ⊥
∴以,,PO OB OQ 为轴建立空间直角坐标系
PO ==
(()()()(),1,0,0,1,0,0,1,1,0,1,3,0P B A C D ∴--
（1）()2,2,0CD =- 设平面POC 的法向量为(),,n x y z =
()
()0,0,22,1,1,0
OP OC ==
0000OP n x y OC n ???==??∴???+=??=??
? ()1,1,0
n ∴=- CD n ∴∥ ∴CD ⊥平面POC
（2）设平面PCD 的法向量为()1,,n x y z =
()
()1,1,22
,2,2,0PC CD =-=-
1100
2200PC n x y x y CD n ???=+-=??∴???-+=??=???
(
)
12,,1n ∴=
设平面PDO 的法向量为()2,,n x y z =
()
()0,0,2
2,1,3,0OP OD ==-
2200300OP n x y OD n ???==??∴???-+=??=???
()23,1,0n ∴= 121212
4
cos ,5
n n n n n n ?∴=
=? 所以二面角C PD O --的平面角的余弦值为4
5
（3）设(
),,M x y z C M C P λ=
()(
1,1,,1,
CM x y z CP =--=--
()
111,1x y M z λλλ
λ?-=-?
∴-=-?--??
=? ()
,1BM λλ∴=-- 而平面PDO 的法向量为()23,1,0n =
BM ∥平面POD 203
10B M n λλ∴?=?-+-= 14λ∴=
1
4
CM PC ∴= 例5：已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD
120BAD ∠=，PA b =
（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC
（2）设AC 与BD 交于点O ，M 为OC O PM D --的正切值是，求:a b 的值
建系思路一：由PA 与底面垂直，从而以PA 作为z 轴，以AB 为x 轴，由120的菱形性质可得取CD 中点T ，连结AT 则有AT AB ⊥，从而建立空间直角坐标系
解：取CD 中点T ，连结AT ，可得AT CD ⊥
AB AT ∴⊥ PA ⊥平面ABCD
∴以,,PA AB AT 为轴建立空间直角坐标系
可得：()()11,0,0,,
,0,,,0,0,0,2222B a C a a D a P b ????- ? ?????
（1）设平面PBD 的法向量为(),,m x y z =
()3,0,,,022PB a b BD a a ??=-=- ???
3022x b ax bz y ax z a
=?-=???
∴?=??-+
=??=?? ()
,m b a ∴= 设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =
()10,0,,,,022AP b AC a ??== ???
1100
22x z y ax ay z ?==???
∴?=??+
=??=?? ()
3,1,0n ∴=-
0m n ∴?= ∴ 平面PBD ⊥平面PAC
（2
）13,0,,048O a M a ???? ? ?????
设平面O P 的法向量为
()1,,n x y z =
131,,,,04
8OP a a b OM
a ????
=--= ? ?????
1044110
08
8x ax ay bz y z ax ay ??=--+=???∴?=????=+=??? ()
13,1,
n ∴=- 设平面PMD 的法向量为()
2,,n x y z =137,,,,0
28PD a a b
MD a ??
??=--=
- ? ?????
1
022
7708
8
x ax bz y b ax z
??=-+-=???∴?=?
???-+==???
(
)
23,73n b a ∴
=
设二面角O PM D
--的平面角为θ，则tan θ=1
cos 5
θ=
121cos cos ,5
n n θ∴==
= 222101005227b b b a =?=+
224816279a b ∴== 4:3a b
∴= 建系思路二：由思路一可发现尽管建系思路简单，但是所涉及的点的坐标过于复杂，而导致后面的计算繁杂。所以考虑结合图形特
点，建立坐标简单的坐标系，从而简化运算：利用菱形对角线垂直的特点，
以O 为坐标原
点。过O 作PA 的平行线，即可垂直底面，从而所建立的坐标系使得底面上的点均在轴上；另一方面，可考虑以OC 为单位长度，可得2a =，避免了坐标中出现过多的字母
解：过O 作OT PA ∥，
PA ⊥平面ABCD AT ∴⊥平面ABCD
因为ABCD 为菱形，所以OC OD ⊥
∴以,,OT OC OD 为轴建立空间直角坐标系，以OC 为单位长度
()(
)(
)()
()1,0,0,1,0,0,0,,,1,0,A C B D P b ∴--
（1）设平面PBD 的法向量为(),,m x y z =
()()
1,3,,0,2PB b BD =-
-
=
000
1x b
x bz y z =??--=??∴?=??=???=?
(),0,1m b ∴= 设平面PAC 的法向量为(),,n x y z = 因为平面PAC 即为xOz 平面 ()0,1,0n ∴=
0m n ∴?= ∴ 平面PBD ⊥平面PAC （2）1,0,02M ?? ???
设平面OPM 的法向量为()1,,n x y z =
()11,0,,,0,02OP b OM ??
=-= ???
011002x x bz y x z =?-+=???∴?=??=??=??
()10,1,0n ∴=
设平面PMD 的法向量为()
2,,n x y z
=()
11,3,,2PD
b MD ??
=-=
- ??
?
0102x x bz y b
x z ?=?+-=??
∴?
=??-+
=???=? (2,3n b ∴=
设二面角O PM D --的平面角为θ
，则tan θ=1
cos 5
θ=
121cos cos ,5
n n θ∴==
=
2222795251327124
b b b b =?=+?== 3,22b a CD === 4:3
a
b
∴= 例6：如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60,BAD DE AB ∠=⊥于点E ，将ADE 沿DE 折起到1A DE 的位置，使得1A D DC ⊥ （1）求证：1A E ⊥平面BCDE （2）求二面角1E A B C --的余弦值
（3）判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ，若存在，求出EP
PB
的值，若不存在，请说明理由
解：（1）1,CD ED CD A D ⊥⊥
CD ∴⊥ 平面1A ED
1CD A E ∴⊥
1A E D E ⊥
1A E ∴⊥ 平面BCDE
（2）11,A E ED A E BE ∴⊥⊥
DE BE ⊥ 1,,A E ED BE ∴两两垂直
以1,,A E ED BE 为坐标轴建立坐标系
计算可得：2,AE DE ==
()(
)(
)()
10,0,2,2,0,0,A B D C ∴
（2）平面1EA B 的法向量为()0,1,0m 设平面1A BC 的法向量为(),,n x y z =
()()
1
2,23,0,4,22BC AC
==
-
{
10200
420BC n x x z AC n x z ???=+=??∴??==???=+-=????
(
3,n ∴=
-
设二面角1E A B C --的平面角为θ
cos cos ,717
m n m n m n
θ?==
=
=-??
（3）设(
),0,0P λ
设平面1A DP 的法向量为()1,,n x y z =
()
1
2A D =
- ()1,0,2A P λ=-
111120203200
x A D n z y x z A P n z λλ=?????=-=??
?∴??=???-=??=????=??
12,,3n λ
??∴=
???
平面1A DP ⊥平面1A BC
100n n ∴?=?+= 解得：3λ=- ()3,0,0P ∴-不在线段BE 上，故不存在该点
小炼有话说：（1）对待翻折问题要注意在翻折的过程中，哪些量和位置关系是不变的，要将平面图形的相关量与翻折后的几何体建立对应关系。
（2）在处理点的存在性问题时，求该点所在平面法向量的过程中会遇到所解方程含参的情况，此时可先从含参方程入手，算出满足方程的一组值，再代入另一方程计算会比较简便。
例7：如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点,M N 分别为,
B C P A 的中点，
且
1,
2A B A C D =
=
（1）证明：MN ∥平面PCD ；
（2）设直线AC 与平面PBC 所成角为α，当α在
0,6π??
???
内变化时，求二面角P BC A --的取值范围． 解：
222AB AC AD += A B A C ∴⊥
PA ⊥平面ABCD ,P A A B P A A C
∴⊥⊥ 以,,PA AB AC 为轴建立直角坐标系，设PA h =
()()()()111,0,0,0,1,0,1,1,0,0,0,,0,0,,,,0222h B C D P h N M ????- ? ?????
D
B
（1）11,,222h MN ??
=-- ???
，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =
()()1,0,0,0,1,CD PC h =-=-
000
0CD n x y zh PC n ??=-=??∴???-=?=??? ()0,,1n h ∴= 11
022
MN n h h ∴?=-+=
MN ∴∥平面PCD
（2）设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =
()()1,1,0,1,0,BC PB h =-=-
00
00
BC m x y x zh PB m ??=-+=??∴???-=?=??? (),,1m h h ∴=
()0,1,0AC =
sin cos ,AC m α==
0,6
πα??
∈ ??
?
1sin 0,2α??
∴∈
???
即102
<
<
2210,2142h h h ?∴
平面BCA 的法向量为()10,0,1n = (),,1m h h ∴=
111
cos ,2
m n m n m n h ?∴=
=
?
由2h ??∈ ? ???可得()2
211,2h +∈ 12c o s ,,12
m n ??
∴∈ ? ??
?
设二面角P BC A --的平面角为θ
则cos 2θ??∈ ? ???
0,4πθ??
∴∈ ???
例8：在如图所示的多面体中，EA ⊥平面,ABC DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且
22AC BC BD AE ====，M 是AB 中点 （1）求证：CM EM ⊥
（2）求平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值
（3）在棱DC 上是否存在一点N ，使得直线MN 与平面EMC 所成的角为60？若存在，指出点N 的位置，若不存在，请说明理由
解：过A 在平面ABC 上作BC 的平行线AN AC BC ⊥ A N A C
∴⊥ EA ⊥平面ABC ,A E A N A E A
C ∴⊥⊥ ,,AE AC AN ∴两两垂直 如图建系：
()()()()()2,2,0,0,2,0,2,2,2,1,1,0,0,0,1B C D M E （1）()()1,1,0,1,1,1CM EM ∴=-=-
0CM EM ∴?= C M E M ∴⊥
CM EM ∴⊥
（2）设平面EMC 的法向量为()1,,n x y z =
()()1,1,0,1,1,1CM EM =-=- ()101,1,20x y n x y z -=?∴?=?+-=?
设平面BCD 的法向量为()2,,n x y z =
()()0,0,2,2,0,0BD CB ==
A
E
()1200,1,020z n x =?∴?=?=?
设平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值为θ
则121212
cos cos ,6
n n n n n n θ?==
==
? （3）设(),,N x y z
N 在CD 上
CN CD λ∴= ()2,0,2CD = (),2,CN x y z =-
()2,0,2CD λλλ∴=
2220222x x y y z z λλλλ==????
∴-=?=????==??
()2,2,2N λλ∴ ()21,1,2MN λλ∴=-
111
sin cos ,6MN
n MN n MN n
θ?∴==
=
=
? =
解得：12λ=
1
2
CN CD ∴=
∴ 存在点N ，当N 为CD 中点时，直线MN 与平面EMC 所成的角为60
例9：如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面
ABCD ，AD AB ^，//AB DC ，
2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点． （1）证明：BE DC ⊥
（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值
（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值 解：PA ⊥底面ABCD
,PA AD PA AB ∴⊥⊥
,,PA AD AB ∴两两垂直，如图建系：
()()()()()0,0,2,1,0,0,0,2,0,2,2,0,1,1,1P B D C E
（1）()()0,1,1,2,0,0BE DC ==
0BE DC BE DC ∴?=?⊥
BE DC ∴⊥
（2）设平面PBD 的法向量为(),,n x y z =
()()1,0,2,1,2,0PB BD =-=- ()202,1,120
x z n x y -=?∴?=?-+=? 设直线BE 与平面PBD 所成角为θ
sin cos ,2BE n BE n BE n
θ?∴====
? （3）设(),,F x y z ()(),,2,2,2,2PF x y z PC ∴=-=-
,,P F C 三点共线 ()2,2,2P F P C λλλλ∴==-
2222x y z λλλ=??
∴=??-=-?
()2,2,22F λλλ∴- ()21,2,22BF λλλ∴=-- ()2,2,0
AC = BF AC ⊥ ()221220B F A C λλ∴?=-+?=解得：
14
λ= 113,,222F ??
∴ ???
设平面FAB 的法向量为(),,m x y z
=
()1131,0,0,,,222AB AF ??
== ???
()00,3,1113
0222x m x y z =??∴?=-?++=?? 平面ABP 的法向量为()0,1,0n =
cos ,10
m n m n m n
?∴=
=
=? ∴二面角F AB P --
例10：如图，在三棱柱111ABC A B C -，H 是正方形11AA B B
的中心，1AA =1C H ⊥平面11AA B B ，且1C H =
（1）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值 （2）求二面角111A AC B --的正弦值 （3）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面
11AA B B 内，且MN ⊥平面11A B C ，求线段BM
的长
解：连结11,A B AB ，因为H 是正方形11AA B B 的中心
11,A B AB ∴交于H ，且11HA HB ⊥ 1C
H ⊥平面11AA B B
∴如图建系：()()()()(1112,0,0,0,2,0,0,2,0,2,0,0,A B A B C --
设(),,C x y z
()112,2,0C C A A ∴==--
22
x y z ?=-?
∴=-??
-=? (2,5C ∴-- （1
）()
()112,0,5,2,2,0AC A B =-=-
用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n （３）求二面角 法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b
法二、设12,,n n 是二面角l αβ --的两个半平面的法向量， 其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l α β --的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设A O α ⊥于O,利用A O α ⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||A O ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥ ，n b ⊥ ），则 异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== （此方法移植 于点面距离的求法）．
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，
利用法向量解立体几何题 一、运用法向量求空间角 向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量 ''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不需 要用法向量。 1、运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为 sin θ= cos( 2 π -θ) = |cos
则?ˉ //AA n ，所以∠BAA ＇ =<,BA n >（或其补角） ∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ＇ = || || AB n n ? * 其中，n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b （或图中的,AE BF ），及n 的定义得 0n a n a n b n b ??⊥?=?????⊥?=??? ? ① 解方程组可得n 。 2、求点到面的距离 求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为 d = || || AB n n ?，n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设 (1,,0)n y =，下同）。 3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在直线a 上任取一点A ， 在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的距离 d = || || AB n n ? 4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =，在平面α、β内各任取一点A 、 B ，则平面α到平面β的距离 d = || || AB n n ? 三、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则 1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥
用向量方法求空间角和距离前言： 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos | |||||a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方 向向量，n 是平面α的法向量， α所成的角α=arcsin ||||||l n l n 则斜线l 与平面 （３）求二面角 方法一：在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ --的平面角α=arccos |||| a b a b 12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的方法二：设 法向量，其方向 一个指向内侧，另一个指向外侧，则二的平面角α=1212arccos |||| n n n n 面角l αβ--2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 方法一：设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到
α的距离|||||cos ||| AB n d AB n θ== 方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示， 可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 方法一：找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就 转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 方法二：在a 上取一点A, 在b 上 取一点B, 设a 、b 分别为异面直 线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离|||||cos |||AB n d AB n θ==（此方法移植于点面距离的求法）． 例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是 棱1111,A D A B 的中点． （Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成的角； （II ）求1BC 和面EFBD 所成的角； （III ）求1B 到面EFBD 的距离 解：（Ⅰ）记异面直线1DE FC 与所成的角为α， 则α等于向量1DE FC 与的夹角或其补角， 图建立空间坐标系D xyz -， （II ）如1 1||||111111cos ||()()|||||| 222||,arccos DE FC DE FC DD D E FB B C DE FC αα∴=++=-==∴=
用向量方法求空间角和距离 前言： 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角． （１）求异面直线所成的角 设a r 、b r 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos ||||||a b a b r r g r r （２）求线面角 设l r 是斜线l 的方向向量，n r 是平面α的法向量， 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n r r g r r 则斜线l （３）求二面角
方法一：在α内a r l ⊥，在β内b r l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角 α=arccos |||| a b a b r r g r r 方法二：设12,,n n u r u u r 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角 α=1212arccos |||| n n n n u r u u r g u r u u r 2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 方法一：设n r 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到 α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ==u u u r r u u u r g r 方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO uuu r ． （２）求异面直线的距离 方法一：找平面β使b β?且a βP ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． a r 、 b r 分别为异面直线a 、b 的方向 法二：在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设
第27讲 三角法与向量法解平面几何题 相关知识 在ABC ?中,R 为外接圆半径,r 为内切圆半径,2 a b c p ++=,则 1,正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===, 2,余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc A =+-,2 2 2 2cos b a c ac B =+-,2 2 2 2cos c a b ab C =+-. 3,射影定理:cos cos a b C c B =+,cos cos b a C c A =+,cos cos c a B b A =+. 4,面积:211sin 2sin sin sin 224a abc S ah ab C rp R A B C R = ==== = (sin sin sin )rR A B C ++ 2 221(cot cot cot )4 a A b B c C = ++. A 类例题 例1．在ΔABC 中，已知b =asinC ,c =asin (900 -B )，试判断ΔABC 的形状。 分析 条件中有边、角关系, 应利用正、余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从而判定三角形的形状。 解 由条件c = asin (900 - B ) = acosB = c b c a ac b c a a 222 22222-+=-+ 2 2222c b c a =-+? 是直角A b c a ?+=?2 22 1sin sin sin =?=A A C c A a 是直角?? ?C a c C c a sin sin =?=?. Q C a b sin =?=? c b ΔABC 是等腰直角三角形。 例2．（1）在△ABC 中，已知cosA =13 5，sinB =53 ，则cosC 的值为（ ） A ．6516 B ．6556 C ．65566516或 D ． 65 16- 解 ∵C = π - (A + B ),∴cosC = - cos (A + B ),又∵A ∈(0, π),∴sinA = 13 12,而sinB =53 显然sinA > sinB ,∴A > B , ∵A 为锐角, ∴B 必为锐角, ∴ cosB = 5 4 ∴cosC = - cos (A + B ) = sinAsinB - cosAcosB =65 1654135531312=?-?.选A . 说明 △ABC 中,sinA > sinB ?A > B . 根据这一充要条件可判定B 必为锐角。 （2）在Rt △ABC 中，C ＝90°，A ＝θ，外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，
向量法解立体几何 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量： 若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量： 若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作 n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系． ②设平面α的法向量为(,,)n x y z =． ③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==． ④根据法向量定义建立方程组0 n a n b ??=???=??. ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量. 2、用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行。设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈. ⑵线面平行。设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明 a u ⊥，即0a u ?=. ⑶面面平行。若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直。设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、 ，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ?=. ⑵线面垂直 ①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明
a ∥u ，即a u λ=. ②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、 ，若0 ,.0 a m l a n α??=?⊥? ?=??则 ⑶面面垂直。 若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ?=. 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角 已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BD θ?= ⑵求直线和平面所成的角 求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为?， 则θ为?的余角或?的补角 的余角.即有：cos s .in a u a u ?θ?== ⑶求二面角 二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角. 如图： 求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、 ，再设m n 、的夹角为?，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、 的夹角?或其补角.π?- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角： 如果θ是锐角，则cos cos m n m n θ??== ， 即arccos m n m n θ?=； O A B O A B l
法向量解立体几何专题训练 一、运用法向量求空间角 1、向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不 需要用法向量。 2、设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为sin θ= cos( 2π -θ) = |cos
1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥ 四、应用举例： 例1：如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值. 解：（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系， 则D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C 1(4,3,2) 于是，11(3,3,0),(1,3,2),(4,2,2)DE EC FD =-==- 设法向量(,,2)n x y =与平面C 1DE 垂直，则有 1330 1320n DE x y x y x y z n EC ⊥-=? ?==-++=⊥?? ???? ?? 11111(1,1,2), (0,0,2), cos 3 ||||1tan 2n AA CDE n AA C DE C n AA n AA θθθ∴=--=∴--?== = ?∴= 向量与平面垂直与所成的角为二面角的平面角 （II ）设EC 1与FD 1所成角为β，则 1111cos 14 |||| 1EC FD EC FD β?= = = ? 例2：（高考辽宁卷17）如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB=600，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点。 （1）证明平面PED ⊥平面PAB ； （2）求二面角P-AB-F 的平面角的余弦值 证明：（1）∵面ABCD 是菱形，∠DAB=600， ∴△ABD 是等边三角形，又E 是AB 中点，连结BD ∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，
用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α?a ⊥u ?a ·u ＝0?a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥u ?a ＝k u ?a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β?u ∥v ?u ＝k v ?a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AD ⊥平面PDC . [证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ? ????1 2，1，12， F ? ????0，1，12，EF ＝? ?? ?? －12，0，0，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)． (1)因为EF ＝－1 2AB ，所以EF ∥AB ，即EF ∥AB . 又AB ?平面P AB ，EF ?平面P AB ，所以EF ∥平面P AB . (2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，AP ?平面P AD ，AD ?平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD .因为DC ?平面PDC ， 所以平面P AD ⊥平面PDC . 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直. 例2、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上， 且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点． 求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .
立体几何（向量法）—建系难 例1 （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥P ABCD -中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3 BC CD AC ACB ACD π ===∠=∠=,F 为PC 的中 点,AF PB ⊥. (1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值. 【答案】 解：(1)如图，联结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，AP → 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，则OC ＝CD cos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CD sin π 3＝3，故A (0，－3，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)． 因P A ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 边中点，得F ????0，－1，z 2，又AF → ＝????0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z )，因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0，即6－z 2 2 ＝0，z ＝2 3(舍去－2 3)，所以|P A → |＝2 3. (2)由(1)知AD →＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF → ＝(0，2，3)．设平面F AD 的法
向量为1＝(x 1，y 1，z 1)，平面F AB 的法向量为2＝(x 2，y 2，z 2)． 由1·AD →＝0，1·AF →＝0，得 ?? ?－3x 1＋3y 1＝0， 2y 1＋3z 1＝0， 因此可取1＝(3，3，－2)． 由2·AB →＝0，2·AF →＝0，得 ?? ?3x 2＋3y 2＝0， 2y 2＋3z 2＝0， 故可取2＝(3，－3，2)． 从而向量1，2的夹角的余弦值为 cos 〈1，2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1 8 . 故二面角B －AF －D 的正弦值为3 7 8 . 例2（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））如图,四 棱锥P ABCD -中,902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==?o ，与PAD ?都是等边三角形. (I)证明:;PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小. 【答案】解：(1)取BC 的中点E ，联结DE ，则四边形ABED 为正方形． 过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O . 联结OA ，OB ，OD ，OE . 由△P AB 和△P AD 都是等边三角形知P A ＝PB ＝PD ， 所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE . 因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .
第18讲 平面向量与解析几何 在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。 一、知识整合 平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。 二、例题解析 例1、（2000年全国高考题）椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___。 解：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ） 21PF F ∠Θ为钝角 ∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ?= -?-u u u r u u u u r （ =9cos 2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0 解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（5 53,553-） 点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。 例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求22 PA PB +的最大值和最小值。 分析：因为O 为AB 的中点，所以2,PA PB PO +=u u u r u u u r u u u u r 故可利用向量把问题转化为求向量OP u u u r 的最值。 解：设已知圆的圆心为C ，由已知可得：{1,0},{1,0}OA OB =-=u u u r u u u r
利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 （一）刻画直线与平面方向的向量 1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：()()2,4,6,3,0,2A B ，则直线AB 的方向向量为()1,4,4AB =-- 2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面α垂直的直线称为平面α的法线，法线的方向向量就是平面α的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？ （1）所需条件：平面上的两条不平行的直线 （2）求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,n x y z =，若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则可列出方程组： 1112220 x y z x y x y z x y z z ++=?? ++=? 解出,,x y z 的比值即可 例如：()()1,2,0,2,1,3a b ==，求,a b 所在平面的法向量 解：设(),,n x y z =，则有20230x y x y z +=??++=? ，解得：2x y z y =-??=? ::2:1:1x y z ∴=- ()2,1,1n ∴=- （二）空间向量可解决的立体几何问题（用,a b 表示直线,a b 的方向向量，用,m n 表示平面,αβ的法向量） 1、判定类 （1）线面平行：a b a b ?∥∥ （2）线面垂直：a b a b ⊥?⊥
（3）面面平行：m n αβ?∥∥ （4）面面垂直：m n αβ⊥?⊥ 2、计算类： （1）两直线所成角：cos cos ,a b a b a b θ?== （2）线面角：cos ,sin a m a m a m θ?= = （3）二面角：cos cos ,m n m n m n θ?==或cos cos ,m n m n m n θ?=-=- （视平面角与 法向量夹角关系而定） （4）点到平面距离：设A 为平面α外一点，P 为平面α上任意一点，则A 到平面 α的距离为A AP n d n α-?= ，即AP 在法向量n 上投影的绝对值。 （三）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧 1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标(),,x y z ，再想办法利用条件求出坐标 2、解题关键：减少变量数量——(),,x y z 可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断：
用基底建模向量法解决立体几何问题 空间向量是高中数学新教材中一项基本内容，它的引入有利于处理立体几何问题，有利于学生克服空间想象力的障碍和空间作图的困难，有利于丰富学生的思维结构，利用空间向量的坐标运算解立体几何问题，可把抽 象的几何问题转化为代数计算问题，并具有很强的规律性和可操作性，而利 用空间向量的坐标运算需先建立空间直角坐标系，但建立空间直角坐标系有时要受到图形的制约，在立体几何问题中很难普遍使用，其实向量的坐标形式只是选取了特殊的基底，一般情况下，我们可以根据题意在立体几何图形中选定一个基底，然后将所需的向量用此基底表示出来，再利用向量的运算进行求解或证明，这就是基底建模法.它是利用向量的非坐标形式解立体几何问题的一种有效方法。 基向量法在解决立体几何的证明、求解问题中有着很特殊的妙用。 空间向量基本定理及应用 空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一 向量p存在惟一的有序实数组x、y、乙使p=x a+ y b+ z c. 1、已知空间四边形OAB（中, Z AOB Z BOC / AOC且OA=OB=OCM N分别是OA BC的中点，G是MN的中点. 求证：OGL BC 【解前点津】要证OGL BC只须证明OG?BC 0即可. 而要证OG?BC 0,必须把0G、BC用一组已知的空间基向量来表示 .又已知条件为Z AOB Z BOC Z AOC且OA=O母OC因此可选OA,OB,OC为已知的基向量.
【规范解答】连ON由线段中点公式得:
又 BC OC OB , 【解后归纳】 本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力 【例2】 在棱长为a 的正方体ABC —ABCD 中，求：异面直线 BA 与AC 所成的角. ■ 1 ■ 2 1 ■ 2 BB 1 ? BC 0,BA?AB =-a .所以 BA ^ ? AC =- a . OG OM ON) 彳 ] 彳 El I ： 丄 OA 丄(OB OC) 2 2 O B O C ), 所以 O G ? O B 1(O A 4 OB OC)?(OC OB) 丄(OA ?O C 4 OB?OC OC 2 OA?OB OB 2 OC?OB ) 1 = 4(O A? OC OA ?OB 2 2 OC 2 OB 2 ). 因为O A ?O C OA ? OC ? cos AOC OA?OB OA ? OB ? cos AOB 且 OC OB OA ，/ AOB Z AOC 所以 OG ? BC =0,即 OGL BC 【解前点津】 利用BA 1?AC BA 1 ? AC cos B AH , A C ,求出向量BA 1与AC 的夹角〈BA 1 , AC >, 再根据异面直线 BA , AC 所成角的范围确定异面直线所成角 【规范解答】 因为 BA 1 BA BB 1, AC AB 所以BA ] ?AC (BA BB 1)?(AB BC)= BA? AB 因为ABL BC BB L AB BB L BC 又 BA ] ? AC BA 1 ? AC ?cos BA ，AC , cos BA, AC a 2 所以〈B A],A C > =120° . 所以异面直线BA 与AC 所成的角为60°. 【解后归纳】 求异面直线所成角的关键是求异面直 积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示 线上两向量的数量积， 而要求两向量的数量 例 3:如图，在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中, / ABC=6(o,PA L 面 ABCD , PA=AC=a,PB=PD= 2a , 点E 在PD 上，且PE:PD=2:1.在棱PC 上是否存在一点 F ,使BF //平面AEC ?证明你的结论. uuu uuir uuu 解析：我们可选取AB,AD,AP 作为一组空间基底 D L C L BC , BA?BC BB 1 ?AB BB 1 ?BC 所以BA?BC 0,BB<| ?AB =0, D
用向量方法求空间角和距离 前言: 在高考的立体几何试题中，求角与距离是常考查的问题，其传统的“三步曲”解法：“作图、 证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强，是教学和学习的难点?向量进入高中教材，为立体 几何增添了活力，新思想、新方法与时俱进，本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题. 1. 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角； 直线和平面所成的角；(平面和平面所成的角)二面 角. (1)求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, r r 则两异面直线所成的角 =arccos| $啤| |a||b| =arccos 1?唏 |n i ||n 21 ，n 是平面的法向量, =arcsin | r 1 那 | 在内b l ，其方向如图，则二 agb =arccos |a||b 的两个半平面的法向量，其方向 ，则二面角 l 的平面角 平面角 a l ，
2. 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求. (1)求点面距离 (II )求BC i 和面EFBD 所成的角; (III )求B 到面EFBD 的距离 解：(I)记异面直线DE 与F?所成的角为 ， uuu uuur 则等于向量DE 与FC 1的夹角或其补角, 方法一：设n 是平面 uur 的距离d |AB||cos 的法向量，在 uuu r | 冲| |n| 内取一点B,则A 到 和点0在 内 uuu 的向量表示，可确定点 0的位置，从而求出|A0| . 方法二：设AO 于O,利用AO 方法一：找平面 使b 且a P ，则异面直线a 、b 的距离就 转化为直线a 到平面 的距离，又转化为点A 到平面 的距离. 方法二：在a 上取一点A,在b 上 uuu r d | AB || cos | ft n a 取一点B,设a 、b 分别为异面直 n b )，则异面直线a 、b 的距离 例1.如图，在棱长为2的正方体 棱AD i ,AB ,的中点. 移植于点面距离的求法). (I)求异面直线DE 与FC i 所成的角; a 线a 、b 的方向向量,求n (n a , B ABCD A 1B 1C 1D 1 中，E 、F 分别是 D . C 二 B
向量法解决立体几何问题 一．知识梳理 1、 平行问题 （1） ////l m a b ?，其中,a b 为直线,l m 的方向向量 （2） //l a n α?⊥，其中a 为直线l 的方向向量，n 为面α的法向量 //=+l a xb yc α?，其中a 为直线l 的方向向量，,b c 为面α内的两不共线向量 （3）12////n n αβ?，其中12,n n 分别为面α，β的法向量 2、垂直问题 （1）l m a b ⊥?⊥，其中,a b 为直线,l m 的方向向量 （2）//l a n α⊥?，其中a 为直线l 的方向向量，n 为面α的法向量 l a b a c α⊥?⊥⊥且，其中a 为直线l 的方向向量，,b c 为面α内的两不共线向量 （3）12n n αβ⊥?⊥，其中12,n n 分别为面α，β的法向量 3、角度问题 （1）线线角：cos cos ,a b θ=<>，其中,a b 为两直线的方向向量 （2）线面角：sin cos ,a n θ=<>，其中a 为直线方向向量，n 为面的法向量 （3）二面角：12cos cos ,n n θ=<>，其符号由图像而定 4、距离问题 （1）点点距：(AB x = （2）点线距：利用向量共线转化为点点距处理 （3）点面距：PA n d n ?=，其中P 为面外某点，A 为面内任何一点，n 为面的法向量，所求d 为面 外某点P 到面的距离 另外，平行线的距离转化为点线距，异面直线的距离转化为点面距，线面距和面面距都可化为点面距来处理 5、向量的坐标运算 （1）121212a b x x y y z z ?=++ （2）2a x = +（3）111222 //x y z a b x y z ? ==
向量法解立体几何 1、四川19．（本小题共l2分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于D ． （Ⅰ）求证：PB 1∥平面BDA 1； （Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值； 2. (全国大纲文)如图，四棱锥S ABCD -中，AB ∥CD,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形， 2,1AB BC CD SD ====． （I ）证明：SD ⊥平面SAB ； （II ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。 3、重庆文．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分） 如题（20）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ， ,2,1AB BC AC AD BC CD ⊥==== （Ⅰ）求四面体ABCD 的体积； （Ⅱ）求二面角C-AB-D 的平面角的正切值。 4、 . （湖北文）如图，已知正三棱柱A B C -111A B C 的底面边长为2，侧棱长为3， 点E 在侧棱1A A 上，点F 在侧棱 1B B 上，且A E =,BF = （I ） 求证：1C F C E ⊥；（II ） 求二面角1E C F C --的大小。 5、、（2006年高考题）如图1，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，M N 是它们的公垂线，点A 、B 在1 l 上，C 在2l 上，MN MB AM ==。证明：NB AC ⊥。 6、如图，直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，D 、E 分别是BC 、A 1B 1的中点. （1）证明：BE//平面A 1DC 1； （2）若AB=BC=AA 1=1，∠ABC=90°求二面角B 1—BC 1—E 的正切值. 7、、如图，四棱锥ABCD P -的侧面PAD 垂直于底面ABCD ,090=∠=∠BCD ADC ,22====BC AD PD PA ,3=CD , M 在棱PC 上，N 是AD 的中点，二面角C BN M --为030。 （1）求 MC PM 的值；（2）求直线PB 与平面BMN 所成角的大小。 8、如图，在四棱锥S ABCD -中，底面 ABCD 为平行四边形， SA ⊥平面ABCD ，2,1,AB AD ==SB =,120,BAD E ∠=在棱SD 上，且3SE ED =． （I ）求证：SD ⊥平面;AEC （II ）求直线AD 与平面SCD 所成角的大小 9、如图所示，三棱柱'''C B A ABC -中，四边形''B BCC 为菱形，o BCC 60'=∠，ABC ?为等边三角形，面 ⊥ABC 面''B BCC ，F E 、分别为棱'CC AB 、的中点； （Ⅰ）求证：//EF 面BC A '＇；（Ⅱ）求二面角B AA C --'的大小。