多刚体系统的碰撞理论及应用现状
一、多体系统碰撞动力学建模理论
多体系统碰撞力学从力学本质上是一种非定常、变边界的高度非线性动力学过程，其中对碰撞过程的正确处理是解决多体接触碰撞动力学问题的关键。按照对碰撞过程假设的不同，可以将其建模方法分为以下3种类型:冲量动量法，连续碰撞力模型，基于连续介质力学的有限元方法。文献[1]对它们各自在理论建模和数值方法方面的优势和局限性进行了讨论。
碰撞问题作为持续时间很短的瞬态动力学过程，对于实验装置的响应速度要求很高。常用的碰撞测量传感器主要有应变传感器、压电传感器、激光传感器和高速摄影机。
二、具有摩擦的刚体碰撞
刚体碰撞是力学上的一个经典问题,但目前大都采用给定恢复系数进行分析的方法，文献[2]则直接从两刚体碰撞时Newton第二定律出发，建立了计及摩擦的两刚体碰撞基本理论。对于具有摩擦的刚体碰撞，两刚体接触点切线方向受到摩擦力的作用，影响了碰撞结果，而两刚体切线方向的运动状态(称碰撞状态)又与刚体质量分布、摩擦系数和初始接触状态等有关，呈现出多样性。具有摩擦的刚体碰撞过程两刚体在接触点的相对运动可分为单向滑动(Sliding)，反向滑动(Reversed sliding)和粘滞(Sticking)这三种现象。
1、两个刚体不受外力自由地运动,在某一瞬间发生碰撞,如图1所示。
假定：（1）假定在接触点,法线方向作用压缩力,切线方向作用摩擦力,且接触点不传递力矩；
（2）在碰撞过程中,碰撞接触时间极短,在碰撞过程中,刚体1和2的惯性矩阵以及雅可比矩阵可视为一定；
（3）是2维平面碰撞问题,其运动只在n和t构成的平面内产生。在接触点,刚体2作用刚体1的力的切向成分,滑动时按照库仑摩擦定律(干摩擦)。
在这3点假设的基础上，可以得到接触点的相对速度、两个刚体的相对运动和碰撞接触时的力传递模型和基本关系式。
2、碰撞状态的分类判别法、冲量和恢复系数
碰撞过程中,切线方向的相对运动如图2所示，能分成三类:单向滑动碰撞，其相对滑动方向在碰撞过程中是一定的不变的；反向滑动碰撞，其切向相对滑动速度减小，在时刻成为
零,其后相对速度方向相反运动；粘滞碰撞,其切向相对速度减小至零后不变，两刚体粘滞在一起，直至碰撞结束分开为止。
这三种碰撞状态可根据相关参数进行判断，总结碰撞状态的充分必要条件,可形成相应的碰撞状态分类法如表1所示。
三、偏心碰撞的能量损耗
碰撞可分为两大类：一类为对心碰撞，用质点模型就可以分析讨论。碰撞过程中的能量损耗也可以借助恢系数等方法简单表示出来；另一类为偏心碰撞，须用刚体模型，而偏心碰撞中的能量损耗的计算则比对心碰撞繁杂一些。在沿公切向和公法向的冲量及冲量矩的作用下，系统原来公切向自由度上的动能和公法向自由度上的动能都可能出现转移和耗散，除了一部分仍为物体系的平动自由度动能外，一部分转移为物体系的转动自由度动能，同时还有能量耗散（即：向物体内部自由度转移）。文献[3]通过对几例典型的偏心碰转的能量损耗给出有关的计算结果，然后在与对心碰撞的比照中归纳出相关的结论。
对心碰撞时损失的动能
相应偏心碰撞时损失的动能
四、有摩擦且滑动反向的刚体偏心碰撞中的能量损失
Stronge及Brach认为:当有摩擦的刚体偏心碰撞存在滑动反向(即速度方向突变)及在较大的恢复系数()情况下，会产生碰撞后系统能量增加的现象。Stronge并认为，这是牛顿碰撞定律本身存在的缺陷所致。进而Stronge提出了一个能量恢复系数的新概念。它的定义是:能量恢复系数的平方()为恢复阶段系统释放的弹性能对压缩阶段系统吸收的能量之比。并声称:这一新的理论将消除与能量守恒定律不统一的矛盾。Stronge得到这一结论的重要根据之一是:滑动反向前后，接触点处的速度(法向速度()或切向速度())与法向冲量()之间的关系是同一线性关系。但Stronge没有指出:速度方向突变的转披点(即滑动反向发生的时刻)如何求得，以及它与初始运动条件、物体的几何参数及摩擦系数之间的关系。而没有速度方向变化转挟点的求得，则滑动反向后的速度分布是很难确定的。在牛顿碰撞定律的基础上以及按作者提出的计算方法，文献[4]得到的滑动反向前后的速度关系线是不同的。它不是同一线性关系。在这个基础上，文献[4]推得的能量损失表达式表明:碰撞后系统不会出现负的能量损失(即能量增加)。但是，存在一临界摩擦系数()，摩擦系数()超过此临界值，将导致错误的结果:即随着的增大，系统的能量损失反而增加。这是荒谬的。但不会出现负的能量损失。的意义亦很清楚:当>时，实际上滑动反向不再存在，而是属于单向滑动或停止。
(停止即是指碰撞结束两物分离时，接触点处相对切向速度为零的情况。)
五、三维含摩擦多刚体碰撞问题的数值计算方法
由于三维含摩擦刚体碰撞问题的碰撞动力学方程通常很难得到封闭形式的解析解，因此寻求其有效的数值算法是可以作为研究的一个目标。文献[5] 基于Lagrange方法和Keller 处理空间的两个刚体碰撞问题的思路，将多刚体系统单点碰撞问题描述为以法向冲量为独立变量的碰撞动力学方程，建立了处理空间多刚体系统碰撞问题有效的数值方法。利用搜索法给出了接触点切向速度流从黏滞点出发的方向。这种方法是建立在Bhatt和Koechling对黏滞点的奇异性研究的基础上的。然后，文献[5]利用两个算例表明了切向运动随法向冲量变化的演化过程。
六、多体系统碰撞动力学面临的新挑战[1]
(l)刚体假定条件卜计及库仑干摩擦时，多体系统发生多点碰撞引起的数值和能量不协调问题及相互铰接情况下刚体碰撞假定的适应范围问题；
(2)连续碰撞力公式的合理选用和参数确定问题；
(3)从碰撞动力学机理出发，建立能够描述碰撞过程弹塑性变形、波传播等复杂现象的柔性多体碰撞动力学理论，完善与之适应的数值算法和建模仿真技术；
(4) 分析碰撞对变拓扑多体系统控制策略的鲁棒性和稳定性的影响，探索相关的最优控制策略，为多体系统非光滑变拓扑过程设计有效的控制策略。
七、参考文献
[1]董富祥,洪嘉振. 多体系统动力学碰撞问题研究综述[J]. 力学进展,2009,39(3):352~358
[2] 郭吉丰,升谷保博,宫崎文夫. 具有摩擦的刚体碰撞[J]. 应用力学学报,2004,21(2)
[3] 孙安媛，燕安,黄培天,王祖俭. 偏心碰撞的能量损耗[J]. 南方冶金学院学报,2002,23(4)
[4] 肖麟玉. 有摩擦且滑动反向的刚体偏心碰撞中的能量损失[J]. 上海铁道大学学报(自然科学版),1997,18(2)
[5] 赵振,刘才山,陈滨. 三维含摩擦多刚体碰撞问题的数值计算方法[J]. 中国科学G 辑,2006,36(1):72~88
灰色系統理論簡介 一、什麼是灰色系統 二、什麼是灰色系統理論 三、灰色系統理論建立的歷史背景 四、灰色系統理論的主要內容 五、灰色系統理論的兩條基本原理 六、灰色系統的應用範疇 七、灰色系統的優點 八、灰色系統的應用實例
一、什麼是灰色系統（Grey System） 灰色分析全名為灰色系統理論分析（Grey System Theory），是由中國鄧聚龍教授於1982年在國際經濟學會議上 提出，該理論主要是針對系統模型之不明確性，資訊之不完整 性之下，進行關於系統的關聯分析（Relational Analysis）、模型建構（Constructing A Model）、借由預測（Prediction）及決策（Decision）之方法來探討及瞭解系統。 自然界對人類社會來講不是白色的(全部都知道)，也不是黑色的(一無所知)，而是灰色的(半知半解)。人類的思考、行 為也是灰色的，人類其實是生存在一個高度的灰色信息關係空 間之中，例如：人體系統、糧食生產系統等。部分信息已知，部分信息未知的系統，稱為灰色系統。 控制論中主要以顏色命名，常以顏色之深淺表示研究者對內部信息（information）和對系統本身的了解及認識程度之多 寡，黑色，表示信息缺乏；白色，表示信息充足；而介於白色 （W）系統與黑色（B）系統之間，其信息部份已知，信息部分 未知的這類系統便稱之為灰色（G）系統。 二、什麼是灰色系統理論 灰色系統理論是研究灰色系統分析、建模、預測、決策和控制的理論。它把一般系統論、信息論及控制論的觀點和方法 延伸到社會、經濟和生態等抽象系統，並結合數學方法，發展 出一套解決信息不完全系統（灰色系統）的理論和方法。 灰色系統理論分析具有溝通社會科學及自然科學的作用，可將抽象的系統加以實體化、量化、模型化及做最佳化。
第十章灰色模型介绍及应用（徐利艳天津农学院 2.4万字） 10.1灰色理论基本知识 10.1.1概言 10.1.2有关名词概念 10.1.3GM建模机理 10.2灰色理论模型应用 10.2.1GM（1，1）模型的应用——污染物浓度问题 10.2.2 GM（1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题 10.2.3GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题 10.2.4 GM（1，n）模型的应用——因素相关问题 本章小结 思考题 推荐阅读书目
第十章灰色模型介绍及应用 10.1灰色理论基本知识 10.1.1概言 客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。 灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。信息不完全是“灰”的基本含义。 灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。 目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。 10.1.2有关名词概念 灰数：一个信息不完全的数，称为灰数。 灰元：信息不完全或内容难以穷尽的元素，称为灰元。 灰关系：信息不完全或机制不明确的关系，称为灰关系。具有灰关系的因素是灰因素，灰因素之间的量化作用，称为灰关联。
多刚体系统的碰撞理论及应用现状 一、多体系统碰撞动力学建模理论 多体系统碰撞力学从力学本质上是一种非定常、变边界的高度非线性动力学过程，其中对碰撞过程的正确处理是解决多体接触碰撞动力学问题的关键。按照对碰撞过程假设的不同，可以将其建模方法分为以下3种类型:冲量动量法，连续碰撞力模型，基于连续介质力学的有限元方法。文献[1]对它们各自在理论建模和数值方法方面的优势和局限性进行了讨论。 碰撞问题作为持续时间很短的瞬态动力学过程，对于实验装置的响应速度要求很高。常用的碰撞测量传感器主要有应变传感器、压电传感器、激光传感器和高速摄影机。 二、具有摩擦的刚体碰撞 刚体碰撞是力学上的一个经典问题,但目前大都采用给定恢复系数进行分析的方法，文献[2]则直接从两刚体碰撞时Newton第二定律出发，建立了计及摩擦的两刚体碰撞基本理论。对于具有摩擦的刚体碰撞，两刚体接触点切线方向受到摩擦力的作用，影响了碰撞结果，而两刚体切线方向的运动状态(称碰撞状态)又与刚体质量分布、摩擦系数和初始接触状态等有关，呈现出多样性。具有摩擦的刚体碰撞过程两刚体在接触点的相对运动可分为单向滑动(Sliding)，反向滑动(Reversed sliding)和粘滞(Sticking)这三种现象。 1、两个刚体不受外力自由地运动,在某一瞬间发生碰撞,如图1所示。 假定：（1）假定在接触点,法线方向作用压缩力,切线方向作用摩擦力,且接触点不传递力矩； （2）在碰撞过程中,碰撞接触时间极短,在碰撞过程中,刚体1和2的惯性矩阵以及雅可比矩阵可视为一定； （3）是2维平面碰撞问题,其运动只在n和t构成的平面内产生。在接触点,刚体2作用刚体1的力的切向成分,滑动时按照库仑摩擦定律(干摩擦)。 在这3点假设的基础上，可以得到接触点的相对速度、两个刚体的相对运动和碰撞接触时的力传递模型和基本关系式。 2、碰撞状态的分类判别法、冲量和恢复系数 碰撞过程中,切线方向的相对运动如图2所示，能分成三类:单向滑动碰撞，其相对滑动方向在碰撞过程中是一定的不变的；反向滑动碰撞，其切向相对滑动速度减小，在时刻成为
灰色系统理论与应用习题集 编著 刘思峰、方志耕、党耀国、朱建军、陈洪转米传民、李元年、施红星、许相敏、张学伟
第一章 灰色系统的概念与基本原理 一、选择题 1、灰色系统理论着重研究的对象是（ ） A 外延明确，内涵明确 B 外延不明确，内涵明确 C 外延明确，内涵不明确 D 外延不明确，内涵不明确 2、下面那个不是常用的不确定性系统的研究方法（ ） A 概率统计 B 模糊数学 C 灰色系统 D 运筹学 3、灰色系统理论是解决（ ）的科学方法 A 确定性的复杂问题 B 半确定的复杂问题 C 不确定的复杂问题 D 不确定半复杂问题 二、问答题 1、试简要说明概率统计、模糊数学以及灰色系统理论这三种不确定性系统研究 方法的异同点。 2、请说明你对灰色系统中“灰”的理解，并举出实际生活中灰色系统的例子。 3、请简要阐述灰色系统的六个基本原理。 4、举例说明什么是连续灰数、离散灰数；本征灰数、非本征灰数；信息型灰数、概念型灰数、层次型灰数。 5、在什么情况下灰数的自差等于零？ 6、请简述灰数白化的具体含义？并说明等权均值白化、非等权均值白化的分别 在何种情况下使用。 7、什么是典型白化权函数？其特征是怎样的？ 8、对于灰度12112212122b b a b a b max ,b +b b b g ?????= +???? 。，前后两个部分分别代表什么含义？ 9、试指出灰度12 112212122b b a b a b max ,b +b b b g ?????=+????。定义中存在的问题。 10、估计某一实数真值得到灰数?，在估计的可靠程度一定时，?的测度与不 确定性之间的关系？ 11、你对灰度的测度有什么好的建议或想法？
第六章灰色系统理论 客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。 §1 灰色系统概论 客观世界在不断发展变化的同时，往往通过事物之间及因素之间相互制约、相互联系而构成一个整体，我们称之为系统。按事物内涵的不同，人们已建立了工程技术、社会系统、经济系统等。人们试图对各种系统所外露出的一些特征进行分析，从而弄清楚系统内部的运行机理。从信息的完备性与模型的构建上看，工程技术等系统具有较充足的信息量，其发展变化规律明显、定量描述较方便、结构与参数较具体、人们称之为白色系统；对另一类系统诸如社会系统、农业系统、生态系统等，人们无法建立客观的物理原型，其作用原理亦不明确，内部因素难以辨识或之间关系隐蔽，人们很难准确了解这类系统的行为特征，因此对其定量描述难度较大，带来建立模型的困难。这类系统内部特性部分已知的系统称之为灰色系统。一个系统的内部特性全部未知，则称之为黑色系统。 区别白色系统与灰色系统的重要标志是系统内各因素之间是否具有确定的关系。运动学中物体运动的速度、加速度与其所受到的外力有关，其关系可用牛顿定律以明确的定量来阐明，因此，物体的运动便是一个白色系统。 作为实际问题，灰色系统在大千世界中是大量存在的，绝对的白色或黑色系统是很少的社会、经济、农业以及生态系统一般都会有不可忽略的“噪声”（即随机干扰）。现有的研究经常被“噪声”污染。受随机干扰侵蚀的系统理论主要立足于概率统计。通过统计规律、概率分布对事物的发展进行预测，对事物的处置进行决策。现有的系统分析的量化方法，大都是数理统计法如回归分析、方差分析、主成分分析等，回归分析是应用最广泛的一种办法。但回归分析要求大样本，只有通过大量的数据才能得到量化的规律，这对很多无法得到或一时缺乏数据的实际问题的解决带来困难。回归分析还要求样本有较好的分布规律，而很多实际情形并非如此。例如，我国建国以来经济方面有几次大起大落，难以满足样
第2章多体系统动力学基本理论
本章主要介绍多体系统动力学的基本理论，包括多刚体系统动力学建模、多柔体系统动力学建模、多体系统动力学方程求解及多体系统动力学中的刚性（Stiff）问题。通过本章的学习可以对多体系统动力学的基本理论有较深入的了解，为具体软件的学习打下良好的理论基础。 2.1 多体系统动力学研究状况 多体系统动力学的核心问题是建模和求解问题，其系统研究开始于20世纪60年代。从60年代到80年代，侧重于多刚体系统的研究，主要是研究多刚体系统的自动建模和数值求解；到了80年代中期，多刚体系统动力学的研究已经取得一系列成果，尤其是建模理论趋于成熟，但更稳定、更有效的数值求解方法仍然是研究的热点；80年代之后，多体系统动力学的研究更偏重于多柔体系统动力学，这个领域也正式被称为计算多体系统动力学，它至今仍然是力学研究中最有活力的分支之一，但已经远远地超过一般力学的涵义。 本节将叙述多体系统动力学发展的历史和目前国内外研究的现状。 2.1.1 多体系统动力学研究的发展 机械系统动力学分析与仿真是随着计算机技术的发展而不断成熟的，多体系统动力学是其理论基础。计算机技术自其诞生以来，渗透到了科学计算和工程应用的几乎每一个领域。数值分析技术与传统力学的结合曾在结构力学领域取得了辉煌的成就，出现了以ANSYS、NASTRAN等为代表的应用极为广泛的结构有限元分析软件。计算机技术在机构的静力学分析、运动学分析、动力学分析以及控制系统分析上的应用，则在二十世纪八十年代形成了计算多体系统动力学，并产生了以ADAMS和DADS为代表的动力学分析软件。两者共同构成计算机辅助工程（CAE）技术的重要内容。 多体系统是指由多个物体通过运动副连接的复杂机械系统。多体系统动力学的根本目的是应用计算机技术进行复杂机械系统的动力学分析与仿真。它是在经典力学基础上产生的新学科分支，在经典刚体系统动力学上的基础上，经历了多刚体系统动力学和计算多体系统动力学两个发展阶段，目前已趋于成熟。 多刚体系统动力学是基于经典力学理论的，多体系统中最简单的情况——自由质点和一般简单的情况——少数多个刚体，是经典力学的研究内容。多刚体系统动力学就是为多个刚体组成的复杂系统的运动学和动力学分析建立适宜于计算机程序求解的数学模型，并寻求高效、稳定的数值求解方法。由经典力学逐步发展形成了多刚体系统动力学，在发展过程中形成了各具特色的多个流派。 早在1687年，牛顿就建立起牛顿方程解决了质点的运动学和动力学问题；刚体的概念最早由欧拉于1775年提出，他采用反作用力的概念隔离刚体以描述铰链等约束，并建立了
灰色系统理论及其应用 第一章灰色系统的概念与基本原理 1.1灰色系统理论的产生和发展动态 1982年，北荷兰出版公司出版的《系统与控制通讯》杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文”灰色系统的控制问题”，同年，《华中工学院学报》发表邓聚龙教授的第一篇中文论文《灰色控制系统》，这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生 1985灰色系统研究会成立，灰色系统相关研究发展迅速。 1989海洋出版社出版英文版《灰色系统论文集》，同年，英文版国际刊物《灰色系统》杂志正式创刊。目前，国际、国内300多种期刊发表灰色系统论文，许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著3000多次。灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域，成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题，取得了显著成果。 1.2几种不确定方法的比较 概率统计，模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。其研究对象都具有某种不确定性，是它们共同的特点。也正是研究对象在不确定性上的区别，才派生了这三种各具特色的不确定学科。 模糊数学着重研究“认识不确定”问题，其研究对象具有“内涵明确，外延不明确”的特点。比如“年轻人”内涵明确，但要你划定一个确定的范围，在这个范围内是年轻人，范围外不是年轻人，则很难办到了。
概率统计研究的是“随机不确定”现象，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。要求大样本，并服从某种典型分布。 灰色系统理论着重研究概率统计，模糊数学难以解决的“小样本，贫信息”不确定性问题，着重研究“外延明确，内涵不明确”的对象。如到2050年，中国要将总人口控制在15亿到16亿之间，这“15亿到16亿之间“是一个灰概念，其外延很清楚，但要知道具体数值，则不清楚。 1.3灰色系统理论的基本概念 定义1.3.1信息完全明确的系统称为白色系统。 定义1.3.2信息未知的系统称为黑色系统。 定义1.3.3部分信息明确，部分不明确的系统称为灰色系统。 1.4灰色系统理论的基本原理 公理1(差异信息原理)“差异“是信息，凡信息必有差异。 公理2（解的非唯一性原理）信息不完全，不确定的解是非唯一的。 公理3（最少信息原理）灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最少信息“。 公理4(认知根据原理)信息是认知的根据。 公理5（新信息优先原理）新信息对认知的作用大于老信息。 公理6（灰性不灭原理）：信息不完全是绝对的
系统辨识理论综述 郭金虎 【摘要】全面论述了系统辨识理论的提出背景以及理论成果，总结了系统辨识理论的基本原理、基本方法以及基本内容，并对其应用及发展做了全面的讨论。 【关键词】系统辨识；准则函数 1概述 系统辨识问题的提出是由于随着科学技术的发展，各门学科的研究方法进一步趋向定量化，人们在生产实践和科学实验中，对所研究的复杂对象通常要求通过观测和计算来定量的判明其内在规律，为此必须建立所研究对象的数学模型，从而进行分析、设计、预测、控制的决策。例如，在化工过程中，要求确定其化学动力学和有关参数，已决定工程的反应速度；在热工过程中，要求确定如热交换器这样的分布参数的系统及动态参数；在生物系统方面，通常希望获得其较精确的数学模型，一般描述在生物群体系统的动态参数；为了控制环境污染，希望得到大气污染扩散模型和水质模型；为进行人口预报，做出相应的决策，要求建立人口增长的动态模型；对产品需求量、新型工业的增长规律这类经济系统，已经建立并继续要求建立其定量的描述模型。其他如结构或机械的振动、地质分析、气象预报等等，都涉及系统辨识和系统参数估计，这类要求正在不断扩大。 2系统辨识的基本原理 2.1系统辨识的定义和基本要素 实验和观测是人类了解客观世界的最根本手段。在科学研究和工程实践中，利用通过实验和观测所得到的信息，或掌握所研究对象的特性，这种方式的含义即为“辨识”。关于系统辨识的定义，1962年，L.A.Zadeh 是这样提出的：“系统辨识就是在输入和输出数据观测的基础上，在指定的一组模型类中，确定一个与所测系统等价的模型”。1978年，L.Ljung 也给出了一个定义：“辨识既是按规定准则在一类模型中选择一个与数据拟合得最好的模型”。可用图2-1来说明辨识建模的思想。 0 G g G 等价准则系统原型 系统模型激励信号y g y e J u 图2-1 系统辨识的原理
灰色系统理论论文 专业班级：计科13级2班学号：1310101042 姓名：冯洋洋 指导老师：郭三党
基于GM（1,1）模型的江苏旅游业研究 摘要：实践表明，发展旅游业是推动服务业发展的重要方面，也是促进经济结构调整的重点领域，是统筹经济社会以及城乡区域协调发展的重要途径，也是解决民生问题，促进社会和谐的重要因素，也是满足人们生活需求、落实以人为本的内在要求，因为旅游直接就是为人服务的，本文通过运用GM(1，1）模型对其未来发展进行预测，提出了促进江苏旅游业可持续发展的对策建议。 关键词：灰色系统GM（1,1）江苏旅游 一、引言：江苏辖江临海，扼淮控湖，经济繁荣，教育发达，文化昌盛。地跨长江、淮河南北，京杭大运河从中穿过，拥有吴、金陵、淮扬、中原四大多元文化。江苏地理上跨越南北，气候、植被也同时具有南方和北方的特征。江苏东临黄海、太平洋，与上海市、浙江省、安徽省、山东省接壤，江苏拥有丰富的旅游资源，自然景观与人文景观交相辉映，有小桥流水人家的古镇水乡，有众口颂传的千年名刹，有精巧雅致的古典园林，有烟波浩渺的湖光山色，有规模宏大的帝王陵寝，有雄伟壮观的都城遗址，纤巧清秀与粗犷雄浑交汇融合，可谓是“吴韵汉风，各擅所长”。因此，通过分析江苏省旅游业发展现状，并对其未来发展进行预测，对进一步促进江苏旅游业可持续发展有着重要的现实意义。 江苏旅游业发展的现状分析 旅游业是21世纪全球发展前景最好的产业之一。据世界旅游组织预测：今后几年，世 界旅游业发展仍将保持5%左右的增长速度；到2010年，国际旅游人数将达到10亿人次：到2020年，全球国际旅游将达15.6亿人次。而中国到2020年将接待1.37亿入境旅游者居世界第一位，成为全球最大旅游目的地国家；中国出境旅游人数将达1亿人次，居世界第4位有望成为世界十大旅游客源国之一。国内旅游消费需求也将不断扩大，并日趋多样化。江苏省是我国七大重点旅游省市之一，也是我国经济、文化、科技和对外开放最发达的省份之一。作为传统旅游大省，“十五”以来，江苏积极实施政府主导的大旅游发展战略，旅游经济继续保持快速、协调的发展，成绩令人瞩目。具体表现在以下几个方面： 1、入境旅游持续增长 1）入境旅游者人数上升 “十五”以来，江苏入境旅游者人数持续上升。2005年全省接待入境旅游者378万人次比2004年增长23.4%，“十五”期间年均递增18.6%；而“十一五”开局之年的2006年全省入境旅游者达445.2万人次，同比增长17.7%。其中：外国人314.89万人次，同比增长20.1%；香港同胞47.41万人次，同比增长14.7%；澳门同胞4.30万人次，同比增长17.90%；台湾同胞78.59万人次，同比增长10.4%。 2）各地客源均有增长，亚洲仍是最主要的客源地 2006年，我省接待入境旅游者中外国人314.89万人次，其中亚洲182.89万人次，同比增长
1、系统辨识——连续系统传递函数——脉冲传递函数function h=Continuous_system_transferFcn(N,G,dt) % N——系统阶数 % G——采样数据（个数大于等于2N+1） % G为一维行向量 % dt——采样间隔 if nargin<3 errordlg('not enough input varibles','error hint'); else g_NN=zeros(N,N); for i=1:N g_NN(i,:)=G(i+1:i+1+N-1); end g_N=-G(1:N)'; a=inv(g_NN)*g_N; %% x的求解 syms x for i=1:N X(i)=x^i; end f=X*a+1; x=double(solve(f)); %%极点的求解 p=log(x)/dt; c_NN=zeros(N,N); for i=1:N c_NN(i,:)=x.^(i-1); end c_N=G(1:N)'; %%增益求解 k=inv(c_NN)*c_N; p k z=zeros(1,N); p=p'; k=k'; Continuous_TransferFcn=0; for i=1:N Continuous_TransferFcn=Continuous_TransferFcn+zpk(z(i),p(i),k(i)); end Continuous_TransferFcn end end
例题 3.1(P32) >>G=[0 0.1924 0.2122 0.1762]; >> N=2; >> dt=1; >> Continuous_system_transferFcn(N,G,dt) p = -0.4934 -0.7085 k = 1.6280 -1.6280 Continuous_TransferFcn = 0.35024 s --------------------- (s+0.4934) (s+0.7085) Continuous-time zero/pole/gain model. 习题3.2(P34) >> G=[0 0.196 0.443 0.624 0.748 0.831]; >> N=3; >> dt=0.2; >> Continuous_system_transferFcn(N,G,dt) p = -0.0633 -1.7846 -11.1860 k = 1.1249 -1.3399 0.2150 Continuous_TransferFcn = -0.08507 s (s-253.1) ------------------------------- (s+0.06329) (s+1.785) (s+11.19) Continuous-time zero/pole/gain model.
刚体的定轴转动 一、选择题 1、（本题3分）0289 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是[ C ] （A）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。 （B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。 （C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置。 （D）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关。 2、（本题3分）0165 均匀细棒OA可绕通过某一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下降，在棒摆到竖直位置的过程中，下述 说法哪一种是正确的？ （A）角速度从小到大，角加速度从大到小。 （B）角速度从小到大，角加速度从小到大。 （C）角速度从大到小，角加速度从大到小。 （D）角速度从大到小，角加速度从小到大。 3.（本题3分）5640 一个物体正在绕固定的光滑轴自由转动，则[ D ] （A）它受热或遇冷伸缩时，角速度不变. （B）它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小. （C）它受热或遇冷伸缩时，角速度均变大. （D）它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大. 4、（本题3分）0292
一轻绳绕在有水平轴的定滑轮上，滑轮质量为m ，绳下端挂一物体，物体所受重力为P ，滑轮的角加速度为β，若将物体去掉而以与P 相等的力直接向下拉绳子，滑轮的角加速度β将 [ C ] （A ）不变 （B ）变小 （C ）变大 （D ）无法判断 5、（本题3分）5028 如图所示，A 、B 为两个相同的绕着 轻绳的定滑轮，A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且F=Mg ， 设A 、B 两滑轮的角加速度分别为βA 和βB ，不计滑轮轴的摩擦， 则有 [ C ] （A ）βA =βB （B ）βA ＞βB （C ）βA ＜βB （D ）开始时βA =βB ，以后βA ＜βB 6、（本题3分）0294 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 [ B ] （ A ）刚体不受外力矩的作用。 （ B ）刚体所受合外力矩为零。 （ C ）刚体所受的合外力和合外力矩均为零。 （ D ）刚体的转动惯量和角速度均保持不变。 7、（本题3分）0247 如图示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O 旋转，初始状态为静止悬挂。现有一个小球自左方水平打击细杆，设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统 （A ）只有机械能守恒。 （B ）只有动量守恒。
第二十八章灰色系统理论及其应用 客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。 §1 灰色系统概论 客观世界在不断发展变化的同时，往往通过事物之间及因素之间相互制约、相互联系而构成一个整体，我们称之为系统。按事物内涵的不同，人们已建立了工程技术、社会系统、经济系统等。人们试图对各种系统所外露出的一些特征进行分析，从而弄清楚系统内部的运行机理。从信息的完备性与模型的构建上看，工程技术等系统具有较充足的信息量，其发展变化规律明显，定量描述较方便，结构与参数较具体，人们称之为白色系统；对另一类系统诸如社会系统、农业系统、生态系统等，人们无法建立客观的物理原型，其作用原理亦不明确，内部因素难以辨识或之间关系隐蔽，人们很难准确了解这类系统的行为特征，因此对其定量描述难度较大，带来建立模型的困难。这类系统内部特性部分已知的系统称之为灰色系统。一个系统的内部特性全部未知，则称之为黑色系统。 区别白色系统与灰色系统的重要标志是系统内各因素之间是否具有确定的关系。运动学中物体运动的速度、加速度与其所受到的外力有关，其关系可用牛顿定律以明确的定量来阐明，因此，物体的运动便是一个白色系统。 当然，白、灰、黑是相对于一定的认识层次而言的，因而具有相对性。某人有一天去他朋友家做客，发现当外面的汽车开过来时，他朋友家的狗就躲到屋角里瑟瑟发抖。他对此莫名其妙。但对他朋友来讲，狗的这种行为是可以理解的，因为他知道，狗在前不久曾被汽车撞伤过。显然，同样对于“狗的惧怕行为”，客人因不知内情而面临一个黑箱，而主人则面临一个灰箱。 作为实际问题，灰色系统在大千世界中是大量存在的，绝对的白色或黑色系统是很少的。随着人类认识的进步及对掌握现实世界的要求的升级，人们对社会、经济等问题的研究往往已不满足于定性分析。尽管当代科技日新月异，发展迅速，但人们对自然界的认识仍然是肤浅的。粮食作物的生产是一个实际的关系到人们吃饭的大问题，但同时，它又是一个抽象的灰色系统。肥料、种子、农药、气象、土壤、劳力、水利、耕作及政策等皆是影响生产的因素，但又难以确定影响生产的确定因素，更难确定这些因素与粮食产量的定量关系。人们只能在一定的假设条件（往往是一些经验及常识）下按照某种逻辑推理演绎而得到模型。这种模型并非是粮食作物生产问题在理论认识上的“翻版”，而只能看作是人们在认识上对实际问题的一种“反映”或“逼近”。 社会、经济、农业以及生态系统一般都会有不可忽略的“噪声”（即随即干扰）。现有的研究经常被“噪声”污染。受随机干扰侵蚀的系统理论主要立足于概率统计。通过统计规律、概率分布对事物的发展进行预测，对事物的处置进行决策。现有的系统分 -415-
灰色预测模型理论及其应用 灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测. 灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.本文主要围绕灰色预测GM(1,1)模型及其应用进行展开。 一、灰色系统及灰色预测的概念 1.1灰色系统 灰色系统产生于控制理论的研究中。 若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。 若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。 灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。 区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。 特点：灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。 1.2灰色预测 灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类： (1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。 (2) 畸变预测（灾变预测）。通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。 (3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。 (4) 系统预测，是对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节的变化。 上述灰预测方法的共同特点是： （1）允许少数据预测； （2）允许对灰因果律事件进行预测，比如 灰因白果律事件：在粮食生产预测中，影响粮食生产的因子很多，多到无法枚举，故为灰因，然而粮食产量却是具体的，故为白果。粮食预测即为灰因白果律事件预测。白因灰果律事件：在开发项目前景预测时，开发项目的投入是具体的，为白因，而项目的效益暂时不很清楚，为灰果。项目前景预测即为灰因白果律事件预测。
最小二乘法参数辨识 201403027 摘要:系统辨识在工程中的应用非常广泛,系统辨识的方法有很多种,最小 二乘法是一种应用极其广泛的系统辨识方法.阐述了动态系统模型的建立及其最小二乘法在系统辨识中的应用,并通过实例分析说明了最小二乘法应用于系统辨识中的重要意义. 关键词:最小二乘法;系统辨识;动态系统 Abstract: System identification in engineering is widely used, system identification methods there are many ways， least squares method is a very wide range of application of system identification method and the least squares method elaborated establish a dynamic system models in System Identification applications and examples analyzed by the least squares method is applied to illustrate the importance of system identification. Keywords: Least Squares; system identification; dynamic system
引言 随着科学技术的不断发展,人们认识自然、利用自然的能力越来越强,对于未知对象的探索也越来越深入.我们所研究的对象,可以依据对其了解的程度分为三种类型:白箱、灰箱和黑箱.如果我们对于研究对象的内部结构、内部机制了解很深入的话,这样的研究对象通常称之为“白箱”;而有的研究对象,我们对于其内部结构、机制只了解一部分,对于其内部运行规律并不十分清楚,这样的研究对象通常称之为“灰箱”;如果我们对于研究对象的内部结构、内部机制及运行规律均一无所知的话,则把这样的研究对象称之为“黑箱”.研究灰箱和黑箱时,将研究的对象看作是一个系统,通过建立该系统的模型,对模型参数进行辨识来确定该系统的运行规律.对于动态系统辨识的方法有很多,但其中应用最广泛,辨识 效果良好的就是最小二乘辨识方法,研究最小二乘法在系统辨识中的应用具有现实的、广泛的意义. 1．1 系统辨识简介 系统辨识是根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型。现代控制理论中的一个分支。通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变，以及设计控制器。对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。通常，预先给定一个模型类μ={M}（即给定一类已知结构的模型），一类输入信号u和等价准则J=L(y，yM)(一般情况下，J是误差函数，是过程输出y和模型输出yM的一个泛函)；然后选择使误差函数J达到最小的模型，作为辨识所要求的结果。系统辨识包括两个方面：结构辨识和参数估计。在实际的辨识过程中，随着使用的方法不同，结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的，而是可以交织在一起进行的。 1.2系统辨识的目的 在提出和解决一个辨识问题时，明确最终使用模型的目的是至关重要的。它对模型类（模型结构）、输入信号和等价准则的选择都有很大的影响。通过辨识建立数学模型通常有四个目的。 ①估计具有特定物理意义的参数有些表征系统行为的重要参数是难以直接测量的，例如在生理、生态、环境、经济等系统中就常有这种情况。这就需要通过能观测到的输入输出数据，用辨识的方法去估计那些参数。 ②仿真仿真的核心是要建立一个能模仿真实系统行为的模型。用于系统分析的仿真模型要求能真实反映系统的特性。用于系统设计的仿真，则强调设计参数能正确地符合它本身的物理意义。 ③预测这是辨识的一个重要应用方面，其目的是用迄今为止系统的可测量的输入和输出去预测系统输出的未来的演变。例如最常见的气象预报，洪水预报，其他如太阳黑子预报，市场价格的预测，河流污染物含量的预测等。预测模型辨识的等价准则主要是使预测误差平方和最小。只要预测误差小就是好的预测
多体系统动力学简介
多体系统动力学研究对象——机构 工程中的对象是由大量零部件构成的系统。在对它们进行设计优化与性态分析时可以分成两大类 一类为结构 ——正常工况下构件间没有相对运动（房屋建筑，桥梁等） ——关心的是这些结构在受到载荷时的强度、刚度与稳定 一类为机构 ——系统在运动过程中这些部件间存在相对运动（汽车，飞机起落架。机器人等）——力学模型为多个物体通过运动副连接的系统，称为多体系统 多体系统动力学俄研究的对象——机构（复杂机械系统）
不考虑系统运动起因的情况下研究各部件的位置与姿态及其变化速度和加速度的关系 典型案例：平面和空间机构的运动分析 系统各部件间通过运动副与驱动装置连接在一起 数学模型：各部件的位置与姿态坐标的非线性代数方程，以及速度与加速度的线性代数方程
当系统受到静载荷时，确定在运动副制约下的系统平衡位置以及运动副静反力 典型案例：机车或汽车中安装有大量的弹簧阻尼器，整车设计中必须考虑系统在静止状态下车身的位置与姿态，为平稳性与操纵稳定性的研究打下基础 数学模型：非线性微分代数方程组
讨论载荷和系统运动的关系 研究复杂机械系统在载荷作用下各部件的动力学响应是工程设计中的重要问题 动力学正问题——已知外力求系统运动的问题 动力学逆问题——已知系统运动确定运动副的动反力，是系统各部件强度分析的基础 动力学正逆混合问题——系统的某部分构件受控，当它们按照某已知规律运动时，讨论在外载荷作用下系统其他构件如何运动 数学模型：非线性微分代数方程组
机械系统的多体系统力学模型 在对复杂机械系统进行运动学与动力学分析前需要建立它的多体系统力学模型。对系统如下四要素进行定义： ?物体 ?铰链 ?外力（偶） ?力元 实际工程中的机械系统多体系统力学模型的定义取决于研究的目的 模型定义的要点是以能揭示系统运动学与动力学性态的最简模型为优 性态分析的求解规模与力学模型的物体与铰的个数有关
系统辨识研究综述 摘要：本文综述了系统辨识的发展与研究内容，对现有的系统辨识方法进行了介绍并分析其不足，进一步引出了把神经网络、遗传算法、模糊逻辑、小波网络知识应用于系统辨识得到的一些新型辨识方法。并对基于T-S模型的模糊系统辨识进行了介绍。文章最后对系统辨识未来的发展方向进行了介绍 关键词：系统辨识；建模；神经网络；遗传算法；模糊逻辑；小波网络；T-S 模型 1.系统辨识的发展和基本概念 1.1系统辨识发展 现代控制论是控制工程新的理论基础。辨识、状态估计和控制理论是现代控制论三个相互渗透的领域。辨识和状态估计离不开控制理论的支持；控制理论的应用又几乎不能没有辨识和状态估计。 而现代控制论的实际应用不能脱离被控对象的动态特性，且所用的数学模型需要选择一种使用方便的描述形式。但很多情况下建立被控对象的数学模型并非易事，尤其是实际的物理或工程对象，它们的机理复杂且含有各种噪声，使建立数学模型更加困难。系统辨识就是应此需要而形成的一门学科。 系统辨识和系统参数估计是六十年代开始迅速发展起来的。1960年，在莫斯科召开的国际自动控制联合会(IFCA)学术会议上，只有很少几篇文章涉及系统辨识和系统参数估计问题。然而，在此后，人们对这一学科给予了很大的注意，有关系统辨识的理论和应用的讨论日益增多。七十年代以来，随着计算机的开发和普及，系统辨识得到了迅速发展，成为了一门非常活跃的学科。 1.2系统辨识基本概念的概述 系统辨识是建模的一种方法。不同的学科领域,对应着不同的数学模型,从某种意义上讲,不同学科的发展过程就是建立它的数学模型的过程。建立数学模型有两种方法:即解析法和系统辨识。 L. A. Zadeh于1962年给辨识提出了这样的定义：“辨识就是在输入和输出数据的基础上，从一组给定的模型类中，确定一个与所测系统等价的模型。”当然按照Zadeh的定义，寻找一个与实际过程完全等价的模型无疑是非常困难的。根据实用性观点，对模型的要求并非如此苛刻。1974年，P. E. ykhoff给出辨识的定义“辨识问题可以归结为用一个模型来表示客观系统(或将要构造的系统) 本质为： 特征的一种演算，并用这个模型把对客观系统的理解表示成有用的形式。而1978
灰色系统理论与应用学习指南
第一章 灰色系统的概念与基本原理 一、识记 1、灰色系统理论的产生与发展动态； 2、灰色系统的基本概念； 3、灰色系统的基本原理； 4、灰数的概念与分类； 5、灰数白化及灰度的概念。 二、理解 1、几种不确定性方法的比较； 2、区间灰数的运算； 3、灰数白化的规则与算法。 4、灰数灰度的公理化定义。 三、思考与练习 1、下面那个不是常用的不确定性系统的研究方法 （ ） A 概率统计 B 模糊数学 C 灰色系统 D 运筹学 2、试简述概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性系统研究方法的异同点。 3、试分析灰色系统理论在横断学科群中的地位。 4、请概述灰色系统的概念，并举出两个实际生活中灰色系统的例子。 5、请简要回答灰色系统的六个基本原理。 6、设1?∈[3, 4]，2?∈ [1, 2]，试求下列各式的值： 12?-?，12?+?，11-?，12???，12?? 7、请简述灰数白化的具体含义？并解释等权白化、等权均值白化、典型白化权函数的定义及其特征。 8、什么是灰度？你对灰度的测度有什么好的建议或想法？
第二章序列算子与灰色序列生成 一、识记 1、冲击扰动序列、算子和缓冲算子概念； 2、缓冲算子公理； 3、均值生成算子、序列的光滑性概念； 4、序列的光滑比和准光滑序列； 5、累加生成算子和累减生成算子的概念。 二、理解 1、缓冲算子的性质； 2、实用缓冲算子的构造； 3、强化缓冲算子的设计； 4、弱化缓冲算子的设计； 5、利用均值生成构造新序列； 6、累加与累减生成算子的计算； 7、级比生成算子； 8、准指数规律。 三、应用 1、利用缓冲算子来模拟系统行为数据序列。 2、分别利用不同的算子来模拟。 四、思考与练习 1、什么是弱化算子？试举例说明。 2、什么是准光滑序列？ 3、什么是一次累加生成算子？ 4、下面哪个不是缓冲算子公理（） A 不动点公理 B 信息充分利用公理 C 唯一性公理 D 解析化，规范化公理 5、若序列) XD为（） , ( X，则二阶缓冲序列2 10155 35388 , 23480 , 12588 A （10155，12588，23480，35388）B（15323，17685，29456，34567） C （22341，34215，31625，43251）D（27260，29547，32411，35388） 6、什么是光滑连续函数? 7、什么是序列的光滑比及其意义？ 8、简要说明累加生成的灰指数律. 9、计算：
计算多刚体动力学介绍 1.多体系统动力学研究状况 工程领域对机械系统的研究主要有两大问题。第一个问题是涉及系统的结构强度分析。由于计算结构力学的理论与计算方法的研究不断深入。加之有限元（FEA）应用软件系统成功开发并应用，这方面的问题已经基本得到解决；另一个问题是要解决系统的运动学、动力学与控制的性态问题，也就是研究机械系统在载荷作用下各部件的动力学响应。作为大多数的机械系统，系统部件相互连接方式的拓扑与约束形式多种多样，受力的情况除了外力与系统各部件的相互作用外，还可能存在复杂的控制环节，故称为多体系统。与之适应的多体动力学的研究已经称为工程领域研究的热点和难点。 多体系统动力学的核心问题是建模和求解，其系统研究开始于20世纪60年代。起始于20世纪70年代的基于多体系统动力学的机械系统动力学分析与仿真技术，随着计算机技术，以及计算方法的不断进步，到了20世纪90年代，在国内外已经成熟并成功地应用于工业界，成为当代进行机械系统设计不可或缺的有力工具之一。 多体系统是指由多个物体通过运动副连接的负载机械系统。多体系统动力学的根本目的是应用计算机技术进行负载机械系统的动力学分析与仿真。它是在经典力学基础上产生的新学科分支，在经典刚体系统动力学的基础上，经历了多刚体系统动力学和计算多体系统动力学两个发展阶段，特别是在前者已经趋于成熟。 多体动力学是以多体系统动力学、计算方法，以及软件工程相互交叉为主要特点，面向工程实际问题新学科。计算多体动力学是指利用计算机数值手段来研究负载机械系统静力学分析、运动学分析、动力学分析，以及控制系统分析的理论和方法。计算多体动力学的产生极大地改变了传统机构动力学分析面貌，对于原先不能够求解或者求解困难的大型复杂问题，可以借助计算机顺利完成。 在20世纪80年代初，Haug等人提出了“计算多体动力学”的概念，认为其主要任务如下： （1）建立复杂机械系统运动学和动力学程式化的数学模型，开发实现这个数学模型的软件系统，再输入少量描述系统特征的数据、由计算机自动建立系统运动学与动力学方程。 （2）建立稳定的、有效的数值计算方法，分析弹性变形对静态偏差、稳定性、动态响应的影响，通过仿真由计算机自动产生系统的动力学响应。 （3）将仿真结果通过计算机终端以方便直观的形式表达出来。实现有效数据后处理，采用动画显示、图标或者其他方式提供数据后处理。 2.多刚体系统建模理论简介 多体系统动力学是基于经典力学理论的，多体系统中最简单的情况（自由质