数 学 立体几何 1
[2014·重庆卷] 如图所示四棱锥P -ABCD 中,底面是以O 为中心的菱形,PO ⊥底面ABCD ,
AB =2,∠BAD =π3,M 为BC 上一点,且BM =1
2
.
(1)证明:BC ⊥平面POM ; (2)若MP ⊥AP ,求四棱锥P -ABMO 的体积.
解:(1)证明:如图所示,因为四边形ABCD 为菱形,O 为菱形的中心,连接OB ,则AO ⊥OB .
因为∠BAD =π3,所以OB =AB ·sin ∠OAB =2sin π
6=1.
又因为BM =12,且∠OBM =π3,在△OBM 中,OM 2=OB 2+BM 2-2OB ·BM ·cos ∠OBM =1
2
+? ??
??122-2×1×12×cos π3=34,所以OB 2=OM 2+BM 2
,故OM ⊥BM .
又PO ⊥底面ABCD ,所以PO ⊥BC .从而BC 与平面POM 内的两条相交直线OM ,PO 都垂直,所以BC ⊥平面POM .
(2)由(1)可得,OA =AB ·cos ∠OAB =2×cos 6
= 3.
设PO =a ,由PO ⊥底面ABCD ,知△POA 为直角三角形,故PA 2=PO 2+OA 2=a 2
+3.
又△POM 也是直角三角形,故PM 2=PO 2+OM 2=a 2+34
.连接AM ,在△ABM 中,AM 2=AB 2
+
BM 2-2AB ·BM ·cos ∠ABM =22
+? ??
??122-2×2×12×cos 2π3=214.
由已知MP ⊥AP ,故△APM 为直角三角形,则
PA 2+PM 2=AM 2,即a 2+3+a 2+34=21
4,
解得a =
32或a =-32(舍去),即PO =32
. 此时S 四边形ABMO =S △AOB +S △OMB =12·AO ·OB +1
2·BM ·OM =12×3×1+12×12×32 =5 3
8.所以四棱锥P -ABMO 的体积V 四棱锥P -ABMO =13·S 四边形ABMO ·PO =13×5 38×32=5
16
.
[2014·陕西卷] 四面体ABCD 及其三视图如图所示,平行于棱AD ,BC 的平面分别交四面体的棱AB ,BD ,DC ,CA 于点E ,F ,G ,H .
(1)求四面体ABCD 的体积; (2)证明:四边形EFGH 是矩形.
解:(1)由该四面体的三视图可知,
BD ⊥DC ,BD ⊥AD ,AD ⊥DC ,BD =DC =2,AD =1,
∴AD ⊥平面BDC , ∴四面体ABCD 的体积V =13×12×2×2×1=2
3
.
(2)∵BC ∥平面EFGH ,平面EFGH ∩平面BDC =FG ,平面EFGH ∩ 平面ABC =EH ,
∴BC ∥FG ,BC ∥EH ,∴FG ∥EH .
同理EF ∥AD ,HG ∥AD , ∴EF ∥HG , ∴四边形EFGH 是平行四边形. 又∵AD ⊥平面BDC ,∴AD ⊥BC ,∴EF ⊥FG ,∴四边形EFGH 是矩形.
[2014·安徽卷] 四棱锥P - ABCD 的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为217.点G ,E ,F ,H 分别是棱PB ,AB ,CD ,PC 上共面的四点,平面GEFH ⊥平面ABCD ,BC ∥平面GEFH .
(1)证明:GH ∥EF ; (2)若EB =2,求四边形GEFH 的面积.
解: (1)证明:因为BC ∥平面GEFH ,BC ?平面PBC ,且平面PBC ∩平面GEFH =GH ,所以GH ∥BC .
同理可证EF ∥BC ,因此GH ∥EF .
(2)连接AC ,BD 交于点O ,BD 交EF 于点K ,连接OP ,GK .
因为PA =PC ,O 是AC 的中点,所以PO ⊥AC ,同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC =O ,且AC ,BD 都在平面ABCD 内,所以PO ⊥平面ABCD .
又因为平面GEFH ⊥平面ABCD , 且PO ?平面GEFH ,所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH =GK , 所以PO ∥GK ,所以GK ⊥平面ABCD . 又EF ?平面ABCD ,所以GK ⊥EF , 所以GK 是梯形GEFH 的高. 由AB =8,EB =2得EB ∶AB =KB ∶DB =1∶4,
从而KB =14DB =12OB ,即K 是OB 的中点. 再由PO ∥GK 得GK =1
2
PO ,
G 是PB 的中点,且GH =1
2
BC =4. 由已知OB =42,PO =PB 2-OB 2=68-32=6,
所以GK =3,故四边形GEFH 的面积S =
GH +EF
2·GK =4+82
×3=18.
[2014·北京卷] 如图在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱垂直于底面,AB ⊥BC , AA 1=AC =2,BC =1,E ,F 分别是A 1C 1,BC 的中点.
图1-5
(1)求证:平面ABE ⊥平面B 1BCC 1;(2)求证:C 1F ∥平面ABE ; (3)求三棱锥E - ABC 的体积.
解:(1)证明:在三棱柱ABC - A 1B 1C 1中,BB 1⊥底面ABC ,
所以BB 1⊥AB . 又因为AB ⊥BC ,
所以AB ⊥平面B 1BCC 1. 所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.
(2)证明:取AB 的中点G ,连接EG ,FG .
因为E ,F ,G 分别是A 1C 1,BC ,所以FG ∥AC ,且FG =12AC ,EC 1=1
2A 1C 1. 因为AC ∥A 1C 1,且AC =A 1C 1,
所以FG ∥EC 1,且FG =EC 1, 所以四边形FGEC 1为平行四边形,
所以C 1F ∥EG .
又因为EG ?平面ABE ,C 1F ?平面ABE , 所以C 1F ∥平面ABE .
(3)因为AA 1=AC =2,BC =1,AB ⊥BC ,
所以AB =AC 2
-BC 2
= 3. 所以三棱锥E - ABC 的体积
V =13S △ABC ·AA 1=13×12×3×1×2=
33
.
[2014·湖北卷] 如图1-5,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.
求证: (1)直线BC1∥平面EFPQ;
(2)直线AC1⊥平面PQMN.
证明:(1)连接AD1,由ABCD- A1B1C1D1是正方体,
知AD1∥BC1. 因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.
从而BC1∥FP. 而FP?平面EFPQ,且BC1?平面EFPQ,
故直线BC1∥平面EFPQ.
(2)如图,连接AC,BD,A1C1
由CC1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1A1.
而AC1?平面ACC1A1,所以BD⊥AC1.
因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.
同理可证PN⊥AC1.
又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.
[2014·江苏卷] 如图所示,在三棱锥P- ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.
求证:(1)直线PA∥平面DEF;(2)平面BDE⊥平面ABC.
证明: (1)因为D ,E 分别为棱PC ,AC 的中点,所以DE ∥PA .又因为PA ?平面DEF ,DE ?平
面DEF ,所以直线PA ∥平面DEF .
(2)因为D ,E ,F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点,PA =6,BC =8,所以DE ∥PA ,DE =1
2PA
=3,EF =12BC =4.又因为DF =5,所以DF 2=DE 2+EF 2
,所以∠DEF =90°,即DE ⊥EF .又PA
⊥AC ,DE ∥PA ,所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF =E ,AC ?平面ABC ,EF ?平面ABC ,所以DE ⊥平面ABC .
又DE ?平面BDE ,所以平面BDE ⊥平面ABC . 18.、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-3,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点.
(1)证明:PB ∥平面AEC ;
(2)设AP =1,AD =3,三棱锥P - ABD 的体积V =
3
4
,求A 到平面PBC 的距离.
18.解:(1)证明:设BD 与AC 的交点为O ,连接EO
因为ABCD 为矩形,所以O 为BD 的中点. 又E 为PD 的中点,所以EO ∥PB . EO ?平面AEC ,PB ?平面AEC , 所以PB ∥平面AEC . (2)V =13×12×PA ×AB ×AD =3
6AB ,
由V =34,可得AB =32
. 作AH ⊥PB 交PB 于点H .
由题设知BC ⊥平面PAB ,所以BC ⊥AH , 因为PB ∩BC =B ,所以AH ⊥平面PBC . 又AH =
PA ·AB PB =313
13
, 所以点A 到平面PBC 的距离为313
13
.
[2014·山东卷] 如图所示,四棱锥P -ABCD 中,AP ⊥平面PCD ,AD ∥BC ,AB =BC =1
2
AD ,E ,
F 分别为线段AD ,PC 的中点.
(1)求证:AP ∥平面BEF ; (2)求证:BE ⊥平面PAC .
18.证明:(1)设AC ∩BE =O ,连接OF ,EC .由于E 为AD 的中点,
AB =BC =12
AD ,AD ∥BC ,
所以AE ∥BC ,AE =AB =BC , 所以O 为AC 的中点.
又在△PAC 中,F 为PC 的中点,所以AP ∥OF . 又OF ?平面BEF ,AP ?平面BEF , 所以AP ∥平面BEF .
(2)由题意知,ED ∥BC ,ED =BC , 所以四边形BCDE 为平行四边形, 所以BE ∥CD .
又AP ⊥平面PCD ,
所以AP ⊥CD ,所以AP ⊥BE . 因为四边形ABCE 为菱形, 所以BE ⊥AC .
又AP ∩AC =A ,AP ,AC ?平面PAC , 所以BE ⊥平面PAC .
18.、[2014·四川卷] 在如图1-4所示的多面体中,四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形.
(1)若AC ⊥BC ,证明:直线BC ⊥平面ACC 1A 1.
(2)设D ,E 分别是线段BC ,CC 1的中点,在线段AB 上是否存在一点M ,使直线DE ∥平面A 1MC ?请证明你的结论.
18.解:(1)证明:因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形, 所以AA 1⊥AB ,AA 1⊥AC .
因为AB ,AC 为平面ABC 内的两条相交直线, 所以AA 1⊥平面ABC .
因为直线BC ?平面ABC ,所以AA 1⊥BC .
又由已知,AC ⊥BC ,AA 1,AC 为平面ACC 1A 1内的两条相交直线, 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.
(2)取线段AB 的中点M ,连接A 1M ,MC ,A 1C ,AC 1,设O 为A 1C ,AC 1的交点.
由已知,O 为AC 1的中点.
连接MD ,OE ,则MD ,OE 分别为△ABC ,△ACC 1的中位线,
所以MD 綊12AC ,OE 綊1
2
AC ,
因此MD 綊OE .
连接OM ,从而四边形MDEO 为平行四边形,所以DE ∥MO . 因为直线DE ?平面A 1MC ,MO ?平面A 1MC . 所以直线DE ∥平面A 1MC .
即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点),使直线DE ∥平面A 1MC .
[2014·福建卷] 如图1-6所示,三棱锥A - BCD 中,AB ⊥平面BCD ,CD ⊥BD .
(1)求证:CD ⊥平面ABD ;(2)若AB =BD =CD =1,M 为AD 中点,求三棱锥A - MBC 的体积.
19.解:方法一:(1)证明:∵AB ⊥平面BCD ,CD ?平面BCD , ∴AB ⊥CD .
又∵CD ⊥BD ,AB ∩BD =B , AB ?平面ABD ,BD ?平面ABD , ∴CD ⊥平面ABD .
(2)由AB ⊥平面BCD ,
得AB ⊥BD .
∵AB =BD =1,∴S △ABD =12. ∵M 是AD 的中点, ∴S △ABM =12S △ABD =1
4.
由(1)知,CD ⊥平面ABD ,
∴三棱锥C - ABM 的高h =CD =1, 因此三棱锥A - MBC 的体积
V A - MBC =V C - ABM =13S △ABM ·h =112
.
方法二:(1)同方法一.
(2)由AB ⊥平面BCD ,得平面ABD ⊥平面BCD . 且平面ABD ∩平面BCD =BD .
如图所示,过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N , 则MN ⊥平面BCD ,且MN =12AB =1
2.
又CD ⊥BD ,BD =CD =1,∴S △BCD =1
2.
∴三棱锥A - MBC 的体积 V A - MBC =V A - BCD -V M - BCD =13AB ·S △BCD -1
3MN ·S △BCD =112.
高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题) 51. 已知空间四边形ABCD 中,AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求:AM 及CN 所成的角的余弦值; 解析:(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ,则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。 设正四面体的棱长为1, 则NC=21·23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中,CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 ∴cos ∠CNE= 324 3 432167)43()43( 2222 22-=??-+=??-+NE CN CE NE CN , 又∵∠CNE ∈(0, 2 π) ∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为3 2. 注:1、本题的平移点是N ,按定义作出了异面直线中一条的平行线,然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长,再回到△CEN 中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角,也可能是它的邻补角,在直观图中无法判定,只有通过解三角形后,根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角(也就是异面直线所成的角)或钝角(异面直线所成的角的邻补角)。最后作答时,这个角的余弦值必须为正。
52. .如图所示,在空间四边形ABCD 中,点E 、F 分别是BC 、AD 上的点,已知AB=4,CD=20,EF=7, 3 1 ==EC BE FD AF 。求异面直线AB 及CD 所成的角。 解析:在BD 上取一点G ,使得3 1 =GD BG ,连结EG 、FG 在ΔBCD 中,GD BG EC BE = ,故EG//CD ,并且4 1==BC BE CD EG , 所以,EG=5;类似地,可证FG//AB ,且 4 3 ==AD DF AB FG , 故FG=3,在ΔEFG 中,利用余弦定理可得 cos ∠ FGE= 2 1 5327532222222- =??-+=??-+GF EG EF GF EG ,故∠FGE=120°。 另一方面,由前所得EG//CD ,FG//AB ,所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角,于是AB 及CD 所成的角等于60°。 53. 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=c ,AB=a ,AD=b ,且a >b .求AC 1及BD 所成的角的余弦. A B C D E F G E D 1 C 1 B 1 A 1 A B D C O
D E A F B C O O 1 M D C A S 15.如图,在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,已知AB =1,D 在棱BB 1上,且BD =1,则AD 与平面 AA 1C 1C 所成角的正弦值为 . 6.已知正三棱柱111C B A ABC -的棱长为2,底面边长为1,M 是BC 的中点. (1)在直线1CC 上求一点N ,使1AB MN ⊥; (2)当1AB MN ⊥时,求点1A 到平面AMN 的距离. (3)求出1AB 与侧面11A ACC 所成的角θ的正弦值. 7. 如图所示,AF 、DE 分别是1O O ⊙、 ⊙的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直,8=AD .BC 是O ⊙的直径,AD OE AC AB //,6==. (1)求二面角F AD B --的大小; (2)求直线BD 与EF 所成角的余弦值. 8.如图,正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直.点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动,若 a BN CM ==)20(< 18.(本小题满分12分) 已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面 互相垂直, M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点, 1=AB ,2=AD , (1)证明:直线//AM 平面NEC ; (2)求二面角D CE N --的大小. 19.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是直角梯形, 2 π = ∠=∠ABC DAB ,且22===AD BC AB , 侧面 ⊥PAB 底面ABCD ,PAB ?是等边三角形. (1)求证:PC BD ⊥; (2)求二面角D PC B --的大小. 15、(北京市东城区2008年高三综合练习一)如图,在直三 棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,AB =BB 1,直线B 1C 与平面ABC 成30°角. (I )求证:平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1; (II )求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值; (III )求二面角B —B 1C —A 的大小. 52、(河南省濮阳市2008年高三摸底考试)如图,在多面体ABCDE 中,AE ⊥面ABC ,BD ∥AE ,且AC =AB =BC =BD =2,AE =1,F 为CD 中点. (1)求证:EF ⊥面BCD ; (2)求面CDE 与面ABDE 所成的二面角的余弦值. A B C D M N 第18题图 2015-2016学年第一学期立体几何测试 高二理科数学 参考公式: 圆柱的表面积公式:rl r S ππ222 +=,圆锥的表面积公式:rl r S ππ+=2 台体的体积公式h S S S S V )(3 1'' ++= ,球的表面积公式:24r S π= 圆台的表面积公式Rl rl R r S π+π+π+π=2 2,球的体积公式:33 4r V π= 一、选择题(每小题5分,共60分) 1.下列四个几何体中,是棱台的为( ) 2.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是( ) 3.给出下列命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行; ②若直线a ,b ,c 满足a ∥b ,b ⊥c ,则a ⊥c ; ③若直线l 1,l 2是异面直线,则与l 1,l 2都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4.空间几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为( ) A .96 B .136 C .152 D .192 5.若棱长为1的正方体的各棱都与一球面相切,则该球的体积为( ) A .3π2 B .2π3 C .2π12 D .π 6 6.对于直线m ,n 和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是( ) A .m ⊥n ,m ∥α,n ∥β B .m ⊥n ,α∩β=m ,n ?α C .m ∥n ,n ⊥β,m ?α D .m ∥n ,m ⊥α,n ⊥β 7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A .10π+96 B .9π+96 C .8π+96 D .9π+80 8.m,n 是空间两条不同直线,α,β是空间两个不同平面,下面有四种说法: 其中正确说法的个数为 ( ) ①m ⊥α,n ∥β,α∥β?m ⊥n; ②m ⊥n,α∥β,m ⊥α?n ∥β; ③m ⊥n,α∥β,m ∥α?n ⊥β; ④m ⊥α,m ∥n,α∥β?n ⊥β. A.1 B.2 C.3 D.4必修二立体几何测试题资料
2020高考数学专题复习----立体几何专题