一、判定两线平行的方法
1、平行于同一直线的两条直线互相平行
2、垂直于同一平面的两条直线互相平行
3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行
4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明
二、判定线面平行的方法
1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点
2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行
3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面
5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面
三、判定面面平行的方法
1、定义：没有公共点
2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行
3 垂直于同一直线的两个平面平行
4、平行于同一平面的两个平面平行
四、面面平行的性质
1、两平行平面没有公共点
2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面
3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行
4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面
五、判定线面垂直的方法
1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直
2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直
3、 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面
4、 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面
5、 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面
6、 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法
1、 定义：成?90角
2、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直
3、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
4、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直
5、 一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法
1、 定义：两面成直二面角,则两面垂直
2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、 二面角的平面角为?90
2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面
3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面
九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：?≤
4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：?≤
内心：内切圆的圆心，角平分线的交点
2、 外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点
3、 重心：中线的交点
4、
垂心：高的交点
【例题分析】
例2 在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD ．
【分析】要证明“线面平行”，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明．
证明：方法一，取PD 中点E ，连接AE ，NE ．
∵底面ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点， ∴MA ∥CD ，.21
CD MA =
∵E 是PD 的中点， ∴NE ∥CD ，.2
1
CD NE =
∴MA ∥NE ，且MA ＝NE ， ∴AENM 是平行四边形， ∴MN ∥AE ．
又AE ?平面PAD ，MN ?平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD ．
方法二取CD 中点F ，连接MF ，NF ． ∵MF ∥AD ，NF ∥PD ，
∴平面MNF∥平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：
(1)证明线线平行：
a∥c，b∥c，a∥α，a?βα∥βa⊥α，b⊥α
∩α＝a，
α∩β＝b
∩β＝b
?a∥b?a∥b?a∥b?a∥b
(2)证明线面平行：
a∩α＝?a∥bα∥β
b?α，a?αa?β
?a∥α?a∥α?a∥α
(3)证明面面平行：
α∩β＝?a∥β，b∥βa⊥α，a⊥βα∥，β∥
a，b?α，a∩b＝A
?α∥β?α∥β?α∥β?α∥β例3在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AC，AB⊥AC，求证：A1C⊥BC1．
【分析】要证明“线线垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明A1C垂直于经过BC1的平面即可．
证明：连接AC1．
∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴AA1⊥平面ABC，
∴AB⊥AA1．
又AB⊥AC，
∴AB⊥平面A1ACC1，
∴A1C⊥A B．①
又AA1＝AC，
∴侧面A1ACC1是正方形，
∴A1C⊥AC1．②
由①，②得A1C⊥平面ABC1，
∴A1C⊥BC1．
【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的．如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“AB⊥AC”都要将其向“线面垂直”进行转化．例4在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，AP⊥PB，求证：平面PAC⊥平面PBC．
【分析】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂直”又可以通过“线线垂直”进行转化．
证明：
∵平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，且AB⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，
∴AP⊥BC．
又AP⊥PB，
∴AP⊥平面PBC，
又AP?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：
(1)证明线线垂直：
a⊥c，b∥c，a⊥α
b?α
?a⊥b?a⊥b
(1)证明线面垂直：
a⊥m，a⊥n a∥b，b⊥αα∥β，a⊥βα⊥β，α∩β＝l m，n?α，m∩n＝A a?β，a⊥l ?a⊥α?a⊥α?a⊥α?a⊥α
(1)证明面面垂直：
a⊥β，a?α
?α⊥β
例5如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，∠A1AB ＝60°，E，F分别是AB1，BC的中点．
(Ⅰ)求证：直线EF∥平面A1ACC1；
(Ⅱ)在线段AB上确定一点G，使平面EFG⊥平面ABC，并给出证明．
证明：(Ⅰ)连接A1C，A1E．
∵侧面A 1ABB 1是菱形， E 是AB 1的中点， ∴E 也是A 1B 的中点，
又F 是BC 的中点，∴EF ∥A 1C ． ∵A 1C ?平面A 1ACC 1，EF ?平面A 1ACC 1， ∴直线EF ∥平面A 1ACC 1． (2)解：当
3
1
=GA BG 时，平面EFG ⊥平面ABC ，证明如下： 连接EG ，FG ．
∵侧面A 1ABB 1是菱形，且∠A 1AB ＝60°，∴△A 1AB 是等边三角形． ∵E 是A 1B 的中点，
3
1
=GA BG ，∴EG ⊥AB ． ∵平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，且平面A 1ABB 1∩平面ABC ＝AB ， ∴EG ⊥平面ABC ．
又EG ?平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面ABC ．
例6 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是AC 的中点．
(Ⅰ)求证：平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1；(Ⅱ)求证：AB 1∥平面BEC 1．
【分析】本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考．
证明：(Ⅰ)∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴AA 1⊥平面ABC ， ∴BE ⊥AA 1．
∵△ABC 是正三角形，E 是AC 的中点，∴BE ⊥AC ，∴BE ⊥平面ACC 1A 1，又BE ?平面BEC 1， ∴平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1．
(Ⅱ)证明：连接B 1C ，设BC 1∩B 1C ＝D ．
∵BCC 1B 1是矩形，D 是B 1C 的中点， ∴DE ∥AB 1． 又DE ?平面BEC 1，AB 1?平面BEC 1， ∴AB 1∥平面BEC 1．
例7 在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△PAD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，542==DC AB ．
(Ⅰ)设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； (Ⅱ)求四棱锥P －ABCD 的体积．
【分析】本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从M 是PC 上的动点分析知，MB ，MD 随点M 的变动而运动，因此可考虑平面MBD 内“不动”的直线BD 是否垂直平面PAD ．
证明：(Ⅰ)在△ABD 中，
由于AD ＝4，BD ＝8，54=AB ， 所以AD 2
＋BD 2
＝AB 2
． 故AD ⊥BD ．
又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ?平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAD ，
又BD ?平面MBD ，故平面MBD ⊥平面PAD ． (Ⅱ)解：过P 作PO ⊥AD 交AD 于O ，
由于平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 因此PO 为四棱锥P －ABCD 的高，
又△PAD 是边长为4的等边三角形．因此.3242
3
=?=
PO
图 4
在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，
所以四边形ABCD 是梯形，在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为
55
85
484=?，即为梯形ABCD 的高，
所以四边形ABCD 的面积为.2455
82
5452=?+=
S 故
.31632243
1
=??=-ABCD P V
9.如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F
是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ?沿AF
折起,得到如图5所示的三棱锥
A BCF -,其中2
BC =
. (1)
证
明:DE BCF CF ⊥ABF 2
3
AD =
F DE
G -F DEG V -
9. 【答案】(1)在等边三角形ABC 中,AD AE =
AD AE
DB EC ∴
=
,在折叠后的三棱锥A BCF -中
也成立,//DE BC ∴ ,DE ?平面BCF ,
BC ?平面BCF ,//DE ∴平面BCF ;
(2)在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥①,
12BF CF ==
.
在三棱锥A BCF -中,
2
2BC =
,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②
BF CF F CF ABF ?=∴⊥平面;
(3)由(1)可知//GE CF ,结合(2)可得GE DFG ⊥平面.
11111131332323323324F DEG E DFG
V V DG FG GF --??∴==????=?????= ? ???
4. 如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点．
（1）证明：EF ∥面PAD ； （2）证明：面PDC ⊥面PAD ； （3）求四棱锥P —ABCD 的体积． 4. 如图，连接AC ，
∵ABCD 为矩形且F 是BD 的中点， ∴AC 必经过F
1分
又E 是PC 的中点， 所以，EF ∥AP
2分
∵EF 在面PAD 外，PA 在面内，∴EF ∥面PAD
（2）∵面PAD ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ，面PAD
面ABCD=AD ，∴CD ⊥面PAD ， 又AP ?面PAD ，∴AP ⊥CD
又∵AP ⊥PD ，PD 和CD 是相交直线，AP ⊥面PCD
又AD ?面PAD ，所以，面PDC ⊥面PAD
（3）取AD 中点为O ，连接PO ，
因为面PAD ⊥面ABCD 及△PAD 为等腰直角三角形，所以PO ⊥面ABCD ， 即PO 为四棱锥P —ABCD 的高
∵AD=2，∴PO=1，所以四棱锥P —ABCD 的体积1233
V PO AB AD =
??= 1. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1
2AA 1，D 是棱AA 1的中
点
(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
1. 【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ?=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ?面11ACC A ，∴1DC BC ⊥,
由题设知0
1145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,
即1DC DC ⊥,
又∵DC BC C ?=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵
1DC ?面1BDC ，
∴面BDC ⊥面1BDC ；
（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132
+???=1
2，
由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，
∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1.
B 1
C B
A
D
C 1
A 1
必修二立体几何知识点与复习题 一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平 行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 4、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、定义：成? 90角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为? 90 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 2、直线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ ≤ ?90 0θ[]? ?90 , 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：? ≤ < ?180 0θ(]? ?180 , 十、三角形的心 1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点 考点一,几何体的概念与性质 【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.下列说法不正确的是（） A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。 B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。 【高考链接】 1.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行； （3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题) 51. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求：AM 及CN 所成的角的余弦值； 解析：(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。 设正四面体的棱长为1， 则NC=21·23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 ∴cos ∠CNE= 324 3 432167)43()43( 2222 22-=??-+=??-+NE CN CE NE CN , 又∵∠CNE ∈(0, 2 π) ∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为3 2. 注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。
52. .如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 3 1 ==EC BE FD AF 。求异面直线AB 及CD 所成的角。 解析：在BD 上取一点G ，使得3 1 =GD BG ，连结EG 、FG 在ΔBCD 中，GD BG EC BE = ，故EG//CD ，并且4 1==BC BE CD EG ， 所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且 4 3 ==AD DF AB FG ， 故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得 cos ∠ FGE= 2 1 5327532222222- =??-+=??-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。 另一方面，由前所得EG//CD ，FG//AB ，所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角，于是AB 及CD 所成的角等于60°。 53. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=c ，AB=a ，AD=b ，且a ＞b ．求AC 1及BD 所成的角的余弦． A B C D E F G E D 1 C 1 B 1 A 1 A B D C O