青松岭中学八年级（上）数学学案 编号：
课题: 《分式和分式方程》复习1 课型：复习课
编制人：刘玉良 项 欣 编制日期： 使用日期：
学习目标：
1、进一步理解分式意义，熟练掌握分式的基本性质、分式运算法则；
2、能熟练准确地进行分式的运算；
3、通过对例题的学习，进一步提高分析问题，解决问题的能力。 本章知识结构图
一、知识链接
考点1：分式的概念
分式的概念：分式的形式⑴形如：________；
⑵分母B 中含有__________；⑶ A 、B 为整式且B ____________.
2、形如B A
：
考点2：分式的性质
分式的基本性质用字母表示为______________________ 。
约分：要找出分子、分母的 .方法：系数的 ，相同字母的 .
通分：要找出各分母的 .方法：系数的 ，所有字母的 .
分式
的最简公分母是_________.
考点3：分式的运算 1. 分式的乘除法则：
a c
b d ?=_______；a c
b d
÷=______ = . 2. 分式的乘方：(
b a )n = (n 为正整数) .计算 b a .2b
a
= ；2
2y 1-x .1y
+x = . 2．分式的加减法则：同分母：a
b c c ±
= ；异分母→同分母 a c
b d
±=________． 3、混合运算：运算顺序是
考点4：分式条件求值
先将分式进行化简，然后代入求值，这是最基本的解题方法．
先化简代数式：（
2
x x
2x x +-
-）÷2x x 4-，然后从0，1，2，-1，-2中选取一个你喜欢的x 值代入求值．
二、强化训练
1、当x=________时，分式
0)
1x )(3x (3
|x |=+--
2、下列运算中正确的是（ ）
b a 1b 1a A =++、 b
a b b b a B =?÷1、 b a a 1b 1C -=-、 01x x
1x 11x D =-----、
3、化简求值 )21
(12
--?-x
x x x 其中x = 2
4、 有意义 无意义
值为零
ab 4c ,a 3b ,b 2a 2 1 1 1 4x 2–9y 2 2x+3y 2x –3y ÷ + ( )
行程问题 1.新化到长沙的距离约为200km，小王开着小轿车，张师傅开着大货车都从新化去长 沙，小王比张师傅晚出发20分钟，最后两车同时到达长沙已知小轿车的速度是大货车速度的倍，求小轿车和大货车的速度各是多少？ 解：设大货车的速度是x千米时，则小轿车的速度是时， 由题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则．kk答：大货车的速度为，小轿车的速度为． 【解析】设大货车的速度是x千米时，则小轿车的速度是时，根据时间关系列出方程，解方程即可． 本题考查了分式方程分应用、分式方程的解法；根据时间关系列出方程是解决问题的关键． 2.徐州至北京的高铁里程约为700km，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高 铁A与“复兴号”高铁B前往北京已知A车的平均速度比B车的平均速度慢，A车的行驶时间比B车的行驶时间多，两车的行驶时间分别为多少？ 【答案】解：设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：A车行驶的时间为小时，B车行驶的时间为小时． 【解析】设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为小时，根据平均速度路程时间结合A车的平均速度比B车的平均速度慢，即可得出关于t的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 3.列方程解应用题 八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度． 【答案】解：设骑车学生的速度为， 由题意得，， 解得：． 经检验：是原方程的解． 答：骑车学生的速度为． 【解析】设骑车学生的速度为，则汽车的速度为，根据题意可得，乘坐汽车比骑自行车少用20min，据此列方程求解． 本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等
青松岭中学八年级（上）数学学案 编号： 课题: 《分式和分式方程》复习1 课型：复习课 编制人：刘玉良 项 欣 编制日期： 使用日期： 学习目标： 1、进一步理解分式意义，熟练掌握分式的基本性质、分式运算法则； 2、能熟练准确地进行分式的运算； 3、通过对例题的学习，进一步提高分析问题，解决问题的能力。 本章知识结构图 一、知识链接 考点1：分式的概念 分式的概念：分式的形式⑴形如：________； ⑵分母B 中含有__________；⑶ A 、B 为整式且B ____________. 2、形如B A ： 考点2：分式的性质 分式的基本性质用字母表示为______________________ 。 约分：要找出分子、分母的 .方法：系数的 ，相同字母的 . 通分：要找出各分母的 .方法：系数的 ，所有字母的 . 分式 的最简公分母是_________. 考点3：分式的运算 1. 分式的乘除法则： a c b d ?=_______；a c b d ÷=______ = . 2. 分式的乘方：( b a )n = (n 为正整数) .计算 b a .2b a = ；2 2y 1-x .1y +x = . 2．分式的加减法则：同分母：a b c c ± = ；异分母→同分母 a c b d ±=________． 3、混合运算：运算顺序是 考点4：分式条件求值 先将分式进行化简，然后代入求值，这是最基本的解题方法． 先化简代数式：（ 2 x x 2x x +- -）÷2x x 4-，然后从0，1，2，-1，-2中选取一个你喜欢的x 值代入求值． 二、强化训练 1、当x=________时，分式 0) 1x )(3x (3 |x |=+-- 2、下列运算中正确的是（ ） b a 1b 1a A =++、 b a b b b a B =?÷1、 b a a 1b 1C -=-、 01x x 1x 11x D =-----、 3、化简求值 )21 (12 --?-x x x x 其中x = 2 4、 有意义 无意义 值为零 ab 4c ,a 3b ,b 2a 2 1 1 1 4x 2–9y 2 2x+3y 2x –3y ÷ + ( )
归纳：15.3 分式方程 15.3.1 分式方程及其解法 学习目标： 1.知道分式方程的概念； 2.会解分式方程。 重点：分式方程及其解法. 难点：分式方程产生增根的原因. 学习过程： 一、复习回顾： 1.什么是一元一次方程？ 2.怎么解一元一次方程？ 二、新课导入： 问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 设：江水流速为v 千米/时，可得方程： 总结： 分式方程：______中含有___________的方程叫做分式方程. 练一练：下列方程哪些是分式方程？哪些是整式方程？ ⑴1=+y x ； ⑵3252z y x -=+； ⑶21-x ； ⑷053=+-x y ； ⑸11=+x x ； ⑹5 23x x +=-π 探究：怎样解上面问题中的方程呢？ 例1 解方程： ⑴ 233x x =- ⑵11 4112=---+x x x 解分式方程的基本思路： 把分式方程“转化”为___________，再利用________和解法求解。 解分式方程的方法： 在方程的两边同乘___________，就可约去___________，化成__________________。 总结： 解分式方程的基本步骤： 1._____________________________________ 2._____________________________________ 3._____________________________________
三、课堂达标检测： 解下列方程： ⑴x x 132=- ⑵x x 527=- ⑶31 2=-x x 四、课堂小结： 解分式方程的一般步骤是： 1.“化”在方程两边同乘以最简公分母，化成____________方程。 2.“解”即这个____________方程。 3.“验”即把方程的根代入____________，如果值____________，就是原方程的根；如果值____________，就是增根，应当____________。 五、课后检测： 1.下列方程是分式方程的是（ ） A. 2513x x =+- B.315226y y -+=- C.212302x x +-= D.81257x x +-= 2.若分式43+-x x 的值为0，则x 的值是（ ） A.x =3 B.x =0 C.x =﹣3 D.x =﹣4 3.把分式方程x x 142=+转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（ ） A.x B.2x C.x +4 D.x （x +4） 4.解下列方程： ⑴1 2511+=-x x ⑵112x =- ⑶x x 325=- ⑷ 3121 x x =- 15.3.2 解分式方程 教学目标： 1.了解分式方程的基本思路和解法. 2.理解分式方程可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根的方法. 重点：解分式方程的基本思路和解法. 难点：理解解分式方程可能无解的原因，及增根的含义.
3.7 分式方程学案（一） 1、经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程，了解分式方程的意义。 2、经历探索分式方程的解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程。 3、了解分式方程增根的含义和产生增根的原因，会检验一个数是不是分式方程的增根。 二、尝试练习： 1、分母中的方程叫做分式方程。 2、解分式方程的基本思路是：，。 三、自主探究： 1、分式方程的意义 （1）同学们自己阅读课本P76—77页“交流与发现”1、2，并解决所提问题。 （2）有效训练： ①下列方程中是分式方程的是（） A、 B、 C、 D、（a,b是常数，且ab≠0） ②在方程①；②；③（a,b为常数）；④；⑤ ；⑥（a是常数）中是分式方程的有（只填序号）。 2、分式方程的解法： 例1、解方程：（1）（2） 有效训练：解方程 ①②③
总结归纳：解分式方程的一般步骤是： （1）在方程的两边都乘以，约去，化为。 （2）解这个。 （3）（这是解分式方程必不可少的步骤）。 强化训练： 解方程：（1）（2）（3） （4）（5） 四、课堂总结： 我学会了 应注意问题 五、当堂检测： 1、在方程①，②，③，④，⑤中 是分式方程的有（填序号）。 2、解方程： （1）（2）（3）
3.7 分式方程学案（二） 班级：姓名：设计人：张来志 一、学习目标： 1、掌握理解分式方程的步骤，体会把分式方程转化为整式方程求解的转化思想。 2、了解分式方程增根的含义和产生增根的原因，会检验分式方程的根，体会对于某些数学活动的结果进行检验的必要性。 二、尝试练习： 1、在分式方程变形的过程中，产生的不适合叫做方程的增根，增根应当。 2、可以把求出的根代入，如果求出的根使是0，那么这个根就是方程的增根。 3、数学的美无处不在，数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐。例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do, mi, so,研究15，12，10这三个数的倒数发现： 。我们称15，12，10这三个数为一组调和数。现有一组调和数：x, 5, 3(x>5)，则x的值是。 三、自主探究： 1、分式方程的增根 解方程： 通过此方程，你了解分式方程为什么必须要检验这一步骤了吗？ 验根的方法是将求得的未知数的值代入，看最简公分母是否，若就是原方程的根，若就是原方程的增根，必须舍去。 2、有效训练 解方程：（1）（2） 四、拓展提高： 1、a为何值时，关于x的方程会产生增根。 对应训练：
分式方程应用(4) 一．学习目标：1．理解分式方程的意义．掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法；了解解分式方程解的检验方法． 2.熟练掌握解分式方程的技巧．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程， 3.渗透数学的转化思想． 二．学习重点： (1)可化为一元一次方程的分式方程的解法． (2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想． 三．学习难点：检验分式方程解的原因 四、温故知新： 1、前面我们学习了什么方程？如何求解？写出求解的一般步骤。 2、判断下列各式哪个是分式方程．____________(填序号) （1）21-=x (2)22=-x x (3)1214112-=+--x x x (4)05432=---x x 3.解分式方 22121--=--x x x 163242=--+x x 4、解方程 22 121--=--x x x 小亮同学的解法如下： 解：方程两边同乘以x-2,得 1-x=-1-2(x-2) 解这个方程，得x=2 小亮同学的解法对吗？为什么？ 五、例题讲解： 例1、一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 分析：设江水的流速为v 千米/时，
则轮船顺流航行的速度为（ ）千米/时， 逆流航行的速度为（ ）千米/时， 顺流航行100千米所用的时间为（ ）小时， 逆流航行60千米所用的时间为（ ）小时。 三、随堂练习： 1、某梨园 m 平方米产梨n 千克,则平均每平方米产梨_____千克. 2、为体验中秋时节浓浓的气息，我校小记者骑自行车前往距学校6千米的新世纪商场采访，10分钟后，小记者李琪坐公交车前往,公交车的速度是自行车的2倍，结果两人同时到达。求两车的速度各是多少？ 自学提示：1）、速度之间有什么关系？时间之间有什么关系？ 2）、怎样设未知数，根据哪个关系？ 3）、填 表 4）、怎 样列方程，根据哪个关系？ 3、某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元。 （1） 你能找出这一情境中的等量关系吗？ （2） 根据这一情境你能提出哪些问题？ 你利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少？ 四、反馈检测： 1、某工厂原计划a 天完成b 件产品，若现在要提前x 天完成，则现在每天要比原来多生产产品___件 2、甲、乙两公司各为“见义勇为基金会”捐款30000元，已知乙公司比甲公司人均多捐款20元，且甲公司的人数比乙公司的人数多20%。问甲、乙两公司各有多少人？ 路程（千米） 速度（千米／时） 时间（时） 自行车 公交车
行程问题 1、走完全长3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到达，那么速度应达到多少？ 2、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600 km的普通公路，另一条是全长480 km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45 km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。 3、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。 4、假日工人到离厂25千米的旅游区去旅游；一部分人骑自行车，出发1小时20分钟后，其余的人乘汽车出发，结果两部分人同时到达，已知汽车速度是自行车的3倍，求汽车和自行车速度
5、我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。 6、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度 7、八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区到学校120千米，一部分学生乘慢车先行，出发1小时后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达，已知快车速度是慢车的1.5倍，求慢车的速度 8、两地相距360千米，回来时车速比去时提高了50%，因而回来比去时途中时间缩短了2小时，求去时的速度
9、甲、乙两人同时从A 、B 两地相向而行，如果都走1小时，两人之间的距离等于A 、B 两地距离的81；如果甲走3 2小时，乙走半小时，这样两人之间的距离等于A 、B 间全程的一半，求甲、乙两人各需多少时间走完全程？ 10、某人骑自行车比步行每小时多走8千米，已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36千米所用时间相等，求这个人步行每小时走多少千米？
行程问题：这类问题涉及到三个数量：路程、速度和时间。它们的数量关系是：路程=速度*时间。列分式方 程解决实际问题要用到它的变形公式：速度=路程/时间，时间=路程/速度。 1、走完全长3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到达，那么速度应达到多少？ 2、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。 3、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。 4、假日工人到离厂25千米的浏览区去旅游；一部分人骑自行车，出发1小时20分钟后，其余的人乘汽车出发，结果两部分人同时到达，已知汽车速度是自行车的3倍，求汽车和自行车速度 5、我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。 水流问题 1、轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等，已知水流速度每小时3千米，求轮船在静水中的速度 2、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。 其他问题 1、为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额相等，如果设第一次捐款人数X人，那么X应满足怎样的方程？ 2、一个正多边形的每个内角都是172度，求它的边数N应满足的分式方程。 3、某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查，结果甲厂有48件合格产品，乙厂有45件合格产品，甲厂的合格率乙厂高5%，求甲厂的合格率？ 4、对甲乙两班学生进行体育达标检查，结果甲班有48人合格，乙班有45人合格，甲班的合格率比乙班高5%，求甲班的合格率？ 工程问题：这类问题也涉及三个数量：工作量、工作效率和工作时间。它们的数量关系是：工作量=工作效率*工 作时间。列分式方程解决实际问题用它的变形公式：工作效率=工作量/工作时间。特别地，有时工作总量可以看作整体“1”，这时，工作效率=1/工作时间。 1、某项紧急工程，由于乙没有到达，只好由甲先开工，6小时后完成一半，乙到来后俩人同时进行，1小时完成了后一半，如果设乙单独x小时可以完成后一半任务，那么x应满足的方程是什么？ 2、某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有到位，只好先用人工装运，6小时后完成一半，后来机械装运和人工同时进行，1小时完成了后一半，如果设单独采用机械装运X小时可以完成后一半任务，那么应满足的方程是什么？ 3、某车间加工1200个零件，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？ 4、某人现在平均每天比原计划多加工33个零件，已知现在加工3300个零件所需的时间和原计划加工2310个零件的时间相同，问现在平均每天加工多少个零件。 5、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？ 耕地问题 1、块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000Kg和15000Kg,已知第一块试验田的每公顷的产量比第二块少3000Kg,分别求这块试验田每公顷的产量。 2、某农场原有水田400公顷，旱田150公顷，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完之后，要求旱田占水田的10%，问应把多少公顷旱田改为水田。
分式方程复习学案
分式方程学案（一） 【复习目标】 1.了解分式方程的概念， 2. 能熟练的解分式方程； 【课前自习】 1.把分式方程 x x 221化为整式方程，方程两边同时乘以（）A.42x B.x C.2x D.2x x 2.方程 x x 211的解是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 3.当x 时，分式31 x x 的值为0. 4.解下列分式方程：（注意检验） ⑴121 x x ；⑵.1 1 1x x 【典型例题】解方程： ⑴121x x x ；⑵11211 x x x .（3）161312 2x x x ； 中考知识要点梳理 1.解分式方程的基本思想是 . 2.把分式方程化为整式方程的方法是：. 3.解分式方程的基本步骤是： ⑴去 （方程两边同时）；⑵化；⑶解这个；⑷. 4.分式方程产生增根的原因是：.
【课堂练习】 1、以下是方程 1211x x x 去分母后的结果，其中正确的是（）A.112x B.112x C.x x 212 D.x x 2122、当x 时，分式31 x 与x 2的值相等. 3、若关于x 的方程01 11x x x m 有增根，则m 的值是4、解下列分式方程： ⑴21213 x x x ；⑵1 1322x x x . 5、如图，点A 、B 在数轴上，它们所对应的数分别是 -4、5322x x ，且点A 、B 到原点的距离相等，求x 的值. 【课后检测】 1、解下列分式方程：（1）7 2x =5 x （2）1 x 121x x 32、若分式方程 11x m x x 无解，则m 的值为（）A.1 B.1 C.0 D.23、对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算※如下：a ※b =b a b a ，如3※2=5232 3．那么12※4= -4B 0A
课题：8.5分式方程（第3课时） 教学目标：会列出分式方程解决简单的实际问题，并能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理。 教学重点：如何结合实际分析问题，列出分式方程 教学难点：分析过程，得到等量关系 教学过程：一、预习导学： 1、 解分式方程的一般步骤：（标注每一步的注意点） 2、解方程： （1） 13-x =x 4; （2）1210-x +x 215-=2. 二、交流成果： 三、合作探究： 1、为迎接市中学生田径运动会，计划由某校八年级（1）班的3个小组制作240面彩旗，后因一个小 组另有任务，改由另外两个小组完成制作彩旗的任务。这样，这两个小组的每个同学就要比原计划多做 4面。如果这3个小组的人数相等，那么每个小组有多少名学生？ 分析：（1）本题中的等量关系是什么？ （2）你会根据等量关系列出分式方程吗？ （3） 你还能其它解法吗？ 2、甲、乙两公司各为“见义勇为基金会”捐款30000元，已知乙公司比甲公司人均多捐款20元，且 甲公司的人数比乙公司的人数多20%。问甲、乙两公司各有多少人？ 方法一： 方法二： 3、小明买软面笔记本共用去12元，小丽买硬面笔记本共用去21元，已知每本硬面笔记本比软面笔 记本贵1。2元，小明和小丽能买到相同本数的笔记本吗？
方法一： 方法二： 4、总结用分式方程解实际问题的一般步骤： 5、某市从今年1月1日起调整居民的用水价格，每立方米水费上涨3 1。小丽家去年12月份的水费是15元，而今年7月份的水费则是30元，已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多53m ， 求该市今年居民用水的价格。 四、课时小结 1、用分式方程解实际问题的一般步骤： 2、用分式方程解实际问题中的检验有哪几层含义： 五、达标测试： 1、解方程：（1） 13 x =x 4 （2）x 300－x 2480=4 2、小丽与小明同时为艺术节制作小红花，小明每小时比小丽多做2朵，那么小明做100朵小红花与小丽做90朵小红花所用时间相等吗？ 3、改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种960棵树，由于青年志愿者的支援，每日比
华师大版数学八年级下册第16 章分式方程应用题专题训练 一、行程问题 路程 解题策略：在解行程问题的分式方程应用题时，可以依据时间＝，利用分式来表示时速度间，根据时间之间的关系建立分式方程。 例：马小虎的家距离学校1800 米，一天马小虎从家去上学，出发10 分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校 200 米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的 2 倍，求马小虎的速度． 分析：设马小虎的速度是x 米 / 分，列表分析如下。 路程（米）速度（米 / 分）时间（分） 马小虎1600x 1600 x 马小虎的爸爸16002x 依据马小虎多走10 分钟建立方程。1600 2x 解：设马小虎的速度是x 米 / 分，根据题意列方程， 1600 － 1600 ＝10 x 2 x 解得： x＝80 经检验， x=80 是原方程的根． 答：马小虎的速度是80 米 / 分． 练习： 1、为了迎接北京和张家口共同申办及举办2020 年冬奥会，全长174 千米的京张高铁
于 2014 年底开工 . 按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18 分钟，最快列出时速是最慢列车时速的29 倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？20 解：设京张高铁最慢列车的速度是x 千米 / 时 . 由题意，得 17417418 ， x2960 x 20 解得x180 经检验， x180 是原方程的解，且符合题意. 答：京张高铁最慢列车的速度是180 千米 / 时 . 2、早晨，小明步行到离家900 米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即 按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10 分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3 倍． （1）求小明步行速度（单位：米 / 分）是多少； （2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的 速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的 2 倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？ 解：（ 1）设小明步行的速度是x 米 / 分，由题意得：900 90010 ，x3x 解得： x=60， 经检验： x=60 是原分式方程的解， 答：小明步行的速度是60 米 / 分； （2）设小明家与图书馆之间的路程是y 米， 根据题意可得： y900 2 60 180 解得： y≤ 600， 答：小明家与图书馆之间的路程最多是600 米．
分式方程的解法及应用（提高) 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义,会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释:（１)分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数． (2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数(不是一般的字母 系数）．分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的 方程是整式方程. （3)分式方程和整式方程的联系:分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： (１）方程两边都乘以最简公分母,去掉分母，化成整式方程（注意:当分母是多项式时,先分解因式,再找出最简公分母); (２)解这个整式方程,求出整式方程的解； (3)检验:将求得的解代入最简公分母,若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解,若最简公分母等于０,则这个解不是原分式方程的解,原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根． 产生增根的原因:去分母时,方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子,这个式子有可能为零，对于整式方程来说,求出的根成立,而对于原分式方程来说,分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理,方程的两边都乘以(或除以）同一个不为0的数,所得方程是原方程 的同解方程．如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程 不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （２）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解 方程过程中是否有错误,而是检验是否出现增根,它是在解方程的过程 中没有错误的前提下进行的． 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行: （1)审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系; (２）设未知数; （3)找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程; （4)解这个分式方程； （5)验根，检验是否是增根; （6)写出答案.
练习14 分式方程--行程问题 一、选择题 1.（2020-2021·湖南·期中试卷）货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是() A.25 x =35 x+20 B.25 x?20 =35 x C.25 x =35 x?20 D.25 x+20 =35 x 2.（2020-2021·河北·期中试卷）甲、乙两地相距600km，提速前动车的速度为vkm/?，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20min，则可列方程为（） A.600 v ?1 3 =600 1.2v B.600 v =600 1.2v ?1 3 C.600 v ?20=600 1.2v D.600 v =600 1.2v ?20 3.（2020-2021·湖南·期中试卷）“天下第十八福地”苏仙岭景区已经完成5G基站布设，5G网络峰值速率为4G的10倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是() A.500 x ?500 10x =45 B.500 10x ?500 x =45 C.5000 x ?500 x =45 D.500 x ?5000 x =45 4.（2020-2021·湖南·期中试卷）甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是() A.30 x =40 x?15 B.40 x =30 x?15 C.30 x =40 x+15 D.40 x =30 x+15 5.（2020-2021·湖南·月考试卷）甲乙两人同时从A地出发，骑自行车到B地，已知A，B两地距离为30km，甲每小时比乙多走3km，并且比乙先到40分钟，设乙每小时走xkm，则可列方程为() A.30 x ?30 x?3 =2 3 B.30 x ?30 x+3 =2 3 C.30 x ?30 x+3 =40 D.30 x?3 ?30 x =2 3
分式方程应用题 行程问题：这类问题涉及到三个数量：路程、速度和时间。它们的数量关系是：路程=速度*时间。列分式方程解决实际问题要用到它的变形公式：速度=路程/时间，时间=路程/速度。 1、走完全长3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到达，那么速度应达到多少？ 2、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km 的普通公路，另一条是全长480Km 的告诉公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km ，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。 3、从甲地到乙地的路程是15千米，A 骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B 骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B 的速度是A 的速度的3倍，求两车的速度。 4、假日工人到离厂25千米的浏览区去旅游；一部分人骑自行车，出发1小时20分钟后，其余的人乘汽车出发，结果两部分人同时到达，已知汽车速度是自行车的3倍，求汽车和自行车速度 5、我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。 6、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作。求先遣队和大队的速度各是多少？ 7、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度 8、八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区到学校120千米，一部分学生乘慢车先行，出发1小时后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达，已知快车速度是慢车的1。5倍，求慢车的速度 9、两地相距360千米，回来时车速比去时提高了50%，因而回来比去时途中时间缩短了2小时，求去时的速度 . 10、甲、乙两人同时从A 、B 两地相向而行，如果都走1小时，两人之间的距离等于A 、B 两地距离的8 1；如果甲走3 2小时，乙走半小时，这样两人之间的距离等于A 、B 间全程的一半，求甲、乙两人各需多少时间走完全程？ 11、某人骑自行车比步行每小时多走8千米，已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36千米所用时间相等，求这个人步行每小时走多少千米？ 12、某校少先队员到离市区15千米的地方去参加活动，先遣队与大队同时出发，但行进的速度是大队的2.1倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作，求先遣队和大队的速度各是多少. 13、供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度.
宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 沂源县历山中学数学导学案八年级上册( ) 16.3.分式方程的应用—行程问题 学习目标： 1、知识与技能：．分析题意找出等量关系，会列出分式方程解决实际问题. 2、过程与方法：通过解决实际问题提高学生把实际问题转化为数学问题的能力。 3、情感态度与价值观：加强学生应用数学知识于实际问题的兴趣和意识。 学习过程： 自主探究 甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度. 学习指导：题目中的等量关系是 解：设 练习：1.甲班与乙班同学到离校15千米的公园秋游，两班同时出发，甲班的速度是乙班同学速度的1.2倍，结果比乙班同学早到半小时，求两个班同学的速度各是多少？若设乙班同学的速度是x 千米／时，则根据题意列方程，得（ ） A.21152.115-=x x B. 21152.115+=x x C. 30152.115-=x x D. 3015 2.115+=x x 2．我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度是原计划速度的1.5倍，才能按要求提前2小时到达．求急行军的速度． 合作探究 为了方便广大游客到昆明参加游览“世博会”，铁道部临时增开了一列南宁——昆明的直达快车，已知南宁——昆明两地相距828km ，一列普通列车与一列直达快车都由南宁开往昆明，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达昆明，求两车的平均速度？ 学习指导：（1）题目中的等量关系是 （2）普通快车比直达快车多用了 小时 解：设普通快车的平均速度为xhm/h ，则直达快车的平均速度为 km/h ，由题意得 练习：1.一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 2. 为体验中秋时节浓浓的气息，我校小记者骑自行车前往距学校6千米的新世纪商场采访，10分钟后，小记者李琪坐公交车前往,公交车的速度是自行车的2倍，结果两人同时到达。求两车的速度各是多少？ 达标检测： 1.轮船在顺水中航行20千米与逆水中航行10千米所用时间相同，水流速度为 2.5千米/小时，求轮船的静水速度。 2.比邻而居的蜗牛神和蚂蚁王相约，第二天上午8时结伴出发，到相距16米的银杏树下参加探讨环境保护问题的微型动物首脑会议．蜗牛神想到“笨鸟先飞”的古训，于是给蚂蚁王留下一纸便条后提前2小时独自先行，蚂蚁王按既定时间出发，结果它们同时到达．已知蚂蚁王的速度是蜗牛神的4倍，求它们各自的速度． 3.某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时? 4．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于 把速度加快51 ，结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。 5.我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌军离桥头24Km ，我部队离桥头30Km ，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队急行军的速度。 教学反思：
分式方程—行程问题 例1 A、B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5∶2，求两车的速度。 分析已知两车的速度之比为5∶2，所以设大车的速度为2x千米／时，小车的速度为5x千米／时， 已知路程，求速度，寻找时间的等量关系，由题意可知，大车早出发5小时，又比小车早到30分钟，实际大车行驶的时间比小车的时间多4.5小时，由此可得等量关系。 解：设大车的速度为2x千米／时，小车的速度为5x千米／时， 解这个方程，得x=9 经检验x=9是原方程的解 当x=9时，2x=18，5x=45 答：大车的速度为18千米／时，小车的速度为45千米／时。 例2 甲、乙二同学家住离学校3.6千米的A地。他们同时出发去学校，甲同学出发行至100米时，发现书包忘在A地，便立即返回，取了书包后又立即从A地去学校。这样甲、乙二人恰好同时到校。又知甲比乙每小时多走0.5千米，求甲、乙两人的速度？ 分析：等量关系是甲走(3.6＋0.1×2)千米的时间与乙走3.6千米的时间相等。 解：设乙速为x千米／时，则甲速为(x＋0.5)千米／时，100米=0.1千米 解得x=9 经检验x=9是原方程的解。 当x=9时，x＋0.5=9.5 答：甲速为9.5千米／时，乙速为9千米／时。 例3 船航行于相距32千米的两码头之间，逆水比顺水多用12小时，若水流速度比船
在静水中的速度少2千米／时，求水流速度及船在静水中的速度。 解：设船在静水中的速度是x千米／时，则水流速度是(x－2)千米／时，船在逆水时速度是［x－(x－2)］千米／时，船在顺水时速度是［x＋(x－2)］千米／时。 解这个分式方程，得：x=5 经检验：x=5是所列方程的根 x－2=3 答：水流速度是每小时3千米，船在静水中的速度是每小时5千米。 说明：航行问题是特殊的行程问题。较一般行程问题，特殊在速度的合成上 例4 一轮船在河水中顺流航行100km，逆流航行64km，共用9h；另一次在同样的时间内顺流和逆流都航行80km，求轮船在静水中的速度和水流的速度。 分析：设轮船在静水中的速度(即船速)为xkm／h，水流速度为ykm／h，则顺水速度为(x＋y)km／h，逆水速度为(x－y)km／h。根据时间的等量关系来列方程组。 相等关系：顺流100km的时间＋逆流64km的时间=9h。 顺流80km的时间＋逆流80km的时间=9h。 解：设轮船在静水中的速度为xkm／h，水流速度为ykm／h。根据题意得
行程问题解题策略 （1）紧扣路程的基本关系：路程=速度×时间，从而找出题目中所蕴含的等量关系，列出方程求解； （2）根据等量关系列方程时要注意路程、时间单位统一； （3）列分式方程解应用题时一定要验根，还要保证其结果符合实际意义. 1、（2014襄阳）甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少 2、（2013湘西）（本题6分）吉首城区某中学组织学生到距学校20km的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑车学生的速度.
3、甲乙两火车站相距1280km，采用和谐号动车组提速后，列车行驶的速度是原来的倍， 从甲站到乙站的时间缩短了11h，求列车提速前的速度． 4、甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕 过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜 4、一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，一天，小 船从早晨6点由A港出发顺流行到B港时，发现一球生圈在途中掉落水中，立刻返回，一小时后找到救生圈．问： （1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？ （2）救生圈是何时掉入水中的
分式方程复习课教案 教学内容： 复习分式方程 教学目标： 1. 掌握分式方程的概念以及解法 ;2. 了解分式方程产生增根的原因， 教学重、难点： 分式方程的概念以及解法 4. 若关于 x 的方程 m 1 x 0 ，有增根，则 m 的值是（ ） x 1 x 1 A.3 B.2 C.1 D.-1 5. 若方程 A B 2x 1 , 那么 A 、 B 的值为（ ） 3 x 4 (x 3)( x x 4) 教学过程： 一、小组结合提示复习 ； 1、什么是分式方程？ 2、解分式方程的基本指导思想是什么？ 3、解分式方程的一般步骤是什么？ 二、基础过关（独立完成，小组订正） 1. 在下列方程中，关于 x 的分式方程的个数有（ ） ① 1 x 2 2 x 4 0 ② . x 4 ③ . a 4; ④ . x 2 9 2 3 a x x 3 ⑥ x a 1 x 1 2 . a A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 2. 方程 1 5 3 的根是（ ） 1 x 2 x 1 1 x x = 3 A. x =1 B. x =-1 C. D. x =2 8 3. 下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ） A. 1 1 x 2 1 去分母得， x 1 ( x 1)( x 2) 1； x x 1 B. x 5 1 ，去分母得， x 5 2 x 5 ； 5 5 2x 2x C. x 2 x 2 x x ，去分母得， ( x 2)2 x 2 x(x x 2 x 2 4 2 D. 2 1 , 去分母得， 2 ( x 1) x 3 ； 1; ⑤ 1 6; x 2 2) ； A.2 ， 1 B.1 ，2 C.1 ， 1 D.-1 ，-1 6. . 解下列方程 1 2 4 x (1) 3 x x 3 (2) 4 x 3 x 1 4 x 2 x 2 x 2 （ 3） x 1 1 ． 2 x 2 x 4 三、例题讲解（小组交流，教师适当点拨） 例： 已知关于 x 的方程 x 1 x x m 的有增根，求 m 的 值。 x 2 1 ( x 2)( x 1) 变式训练： 1、已知关于 x 的方程 x 1 x m 无解，求 m 的值。 x 2 x 1 ( x 2)( x 1) 2 、已知关于 x 的方程 x 1 x m 的解为正，求 m 的取值范 围。 x 2 x 1 ( x 2)( x 1) 四、小结： 通过这节课的学习你有何收获与感想 ?说出来与同伴分享。 x 3 x 1