中考数学复习几何压轴题
1．在△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△E D C ''(使E BC '∠＜180°)，连接D A '、E B '，设直线E B '与AC 交于点O . (1)如图①，当AC =BC 时，D A ':E B '的值为 ；
(2)如图②，当AC =5，BC =4时，求D A ':E B '的值； (3)在(2)的条件下，若∠ACB =60°，且E 为BC 的中点，求△OAB 面积的最小值.
图① 图②
答
案
：
1；……………………………………………………………………………………………1分
（2）解：∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ．∴AC
DC
BC EC =． 由旋转图形的性质得，C D DC C E EC '='=,,∴AC
C
D BC C
E '='． ∵
D C
E ECD '
'∠=∠,∴
,
E AC D C E E AC ECD '∠+''∠='∠+∠即
D AC
E BC '∠='∠．
∴E BC '?∽D AC '?.∴4
5
==''BC AC E B D A ．……………………………………………………4分
（3）解：作BM ⊥AC 于点M ，则BM =BC ·sin 60°=23． ∵E 为BC 中点，∴CE =
2
1
BC =2． △CDE 旋转时，点E '在以点C 为圆心、CE 长为半径的圆上运动． ∵CO 随着E CB '∠的增大而增大，
∴当E B '与⊙C 相切时，即C E B '∠=90°时E CB '∠最大，则CO 最大．
O
D E'O E'
A
D
（如图2）
N
M
A
C
E
F
B
（如图3）
C
（如图1)
C
B
∴此时E CB '∠=30°，E C '=
2
1
BC =2 =CE ． ∴点E '在AC 上，即点E '与点O 重合．∴CO =E C '=2． 又∵CO 最大时，AO 最小，且AO =AC -CO =3． ∴332
1
=?=?BM AO S OAB 最小．………………………………………………………………
8
分
2．点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作ABE ?和BCF ?，连接AF ，CE ．取AF 、
CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ．
(1)若ABE ?和FBC ?是等腰直角三角形，且0
90=∠=∠FBC ABE (如图1)，则MBN
?是
三角形．
(2)在ABE ?和BCF ?中，若BA =BE ,BC =BF ,且α=∠=∠FBC ABE ，(如图2)，则M B N
?是 三角形，且=∠MBN .
(3)若将(2)中的ABE ?绕点B 旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.
答案：（1）等腰直角 ………1分
（2）等腰 ………2分 α ………3分 （3）结论仍然成立 ………4分
证明： 在ABF EBC ??和中，BA BE
ABF EBC BF BC =??
∠=∠??=?
∴△ABF ≌△EBC.∴AF =CE . ∠AFB =∠ECB .……5分
∵M ,N 分别是AF 、CE 的中点,∴FM =CN .∴△MFB ≌△NCB. ∴BM =BN . ∠MBF =∠NBC .……6分
∴∠MBN =∠MBF +∠FBN =∠FBN +∠NBC =∠FBC =α.……7分
3．图1是边长分别为4 3 和3的两个等边三角形纸片ABC 和C D E '''叠放在一起(C 与C '重合)．
(1)固定△ABC ，将△C D E '''绕点C 顺时针旋转30?得到△CDE ，连结AD BE 、(如图2)．此时线段BE 与AD 有怎样的数量关系？并证明你的结论；
(2)设图2中CE 的延长线交AB 于F ，并将图2中的△CDE 在线段CF 上沿着CF 方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE 设为△QRP (如图3)．设△QRP 移动(点P Q 、在线段CF 上)的时间为x 秒，
若△QRP 与△AFC 重叠部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； 图1 图2 图3 图4
(3)若固定图1中的△C D E '''，将△ABC 沿C E ''方向平移，使顶点C 落在C E ''的中点处，再以点C 为中心顺时针旋转一定角度，设()3090ACC αα'∠=?<
答案：（1）BE AD =. ………………………………………………………………1分 证明：如图2，∵△ABC 与△DCE 都是等边三角形，△C D E '''绕点C 顺时针旋转30°得到△CDE ，
∴△CDE 也是等边三角形，且230∠=?，
∴60ACB DCE ∠=∠=?, ,CA CB CE CD ==. …………………………………2分
∴130∠=?,∴330∠=?,∴23∠=∠.∴△BCE ≌△ACD ， ∴ BE AD =. ……………………………………3分 （2）如图3，设PR RQ 、分别与AC 交于点O L 、.
∵△CDE 在线段CF 上沿着CF 方向以每秒1个单位的速度平移x 秒，
B
A
M F
B
P
C '
C
C
A N
(C ')D '
E '
E
B A D
C (C ')Q
A
R
E '
D '3
21 图2
(C ')
C D
A B
E
平移后的△CDE 为△PQR ，CQ x ∴=.
由（1）可知60,30PQR PRQ BCA BCF ∠=∠=∠=?∠=?，30ACF ∴∠=?，
30CLQ RLO ∴∠=∠=?.,90LQ CQ x ROL ∴==∠=?. 3QR =,3RL x ∴=-.
在
Rt ROL
△中，
11
(3)22
OR RL x =
=-，
3
cos30)OL RL x =?=
-. 213(3)28
ROL S RO OL x ?∴=
=-.…………………………………………………………4分 过点R 作RK PQ ⊥于点K .
在Rt RKQ △中， 33
sin 602RK RQ =?=，
19324
RPQ S PQ RK ?∴=
=. 233393
RPQ ROL y S S x x ??∴=-=++. ……………………………………5分 30,60BCF B ∠=?∠=?，90BFC ∴∠=?.
当点P 与点F 重合时，3FQ PQ ==，∵sin606CF BC =?=，∴3CQ =.
∴此函数自变量x 的取值范围是03x ≤≤ . …………………………………………6分 （3）C N E M ''的值不变 . ……………………………………………………7分 证明：如图4，由题意知，54180α∠+∠+∠=?，∴1204α?
∠=-∠，
在CME '?中，61204?
∠=-∠，∴6α∠=∠. 又∵60C E ''∠=∠=?，
∴△E MC '∽△C CN '，∴E M E C
C C C N
''=''． ∵点C 是C E ''的中点，3C E ''=，∴32E C CC ''==
，
α
654D 'E '
图4
N
C
C '
M
A
B
O L K
图3
R A Q
P
F
∴3
232
E M
C N '='，∴94C N E M ''=． …………………………………………………8分
4． 以ABC ?的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，
90,BAD CAE ∠=∠=?连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的
中点．探究：AM 与DE 的位置及数量关系．
(1)如图① 当ABC ?为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ，
线段AM 与DE 的数量关系是 ；
(2)将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A 沿逆时针方向旋转?
θ(0<θ<90)后，如图②所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． 答案：（1）DE AM ⊥，1
2
AM DE = （2）结论仍然成立。
证明：如图，延长CA 至F ，使FA=AC ，FA 交DE 于点P ，并连结BF ．
,BA DA ⊥AF EA ⊥，∴90BAF DAF EAD ∠=?+∠=∠．
在FAB ?与EAD ?中：??
?
??=∠=∠=DA BA EAD BAF AE
FA
??FAB EAD ?(SAS ) .∴BF=DE , AEN F ∠=∠.
∴90FPD F APE AEN ∠+∠=∠+∠=.∴DE FB ⊥ .
又CA=AF, CM=MB ，
∴AM // FB 且AM=
21FB ，∴DE AM ⊥, AM=2
1
DE ． 5． (1)如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =
1
2
∠BAD
.求证:EF ＝BE ＋FD ;
F
E
D
C
B
A
(2) 如图2在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，
且∠EAF=1
2
∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？不用证明.
(3) 如图25-3在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长
线上的点，且∠EAF=1
2
∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，
请写出它们之间的数量关系，并证明.
答案：（1）证明：延长EB到G，使BG=DF，联结AG.
∵∠ABG＝∠ABC=∠D＝90°, AB＝AD，∴△ABG≌△ADF.
∴AG＝AF, ∠1＝∠2． --------------------1分
∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF=1
2
∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF.
∴EG＝EF． -----------------2分
∵EG=BE+BG．∴EF= BE＋FD --------3分
(2) (1)中的结论EF= BE＋FD仍然成立. ---------------------------4分
（3）结论EF=BE＋FD不成立，应当是EF=BE-FD．--------------------5
分
证明：在BE 上截取BG ，使BG =DF ，连接AG ．
∵∠B +∠ADC ＝180°,∠ADF +∠ADC ＝180°，∴∠B ＝∠ADF ． ∵AB ＝AD ，∴△ABG ≌△ADF .∴∠BAG ＝∠DAF ,AG ＝AF ． ∴∠BAG +∠EAD ＝∠DAF +∠EAD =∠EAF =1
2
∠BAD ． ∴∠GAE =∠EAF ．
∵AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF .∴EG ＝EF ---------------------6分 ∵EG =BE -BG ，∴EF =BE -FD ． ---------------------7分
6． (1)如图1，四边形ABCD 中，CB AB =，?=∠60ABC ，?=∠120ADC ，请你猜想线段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，四边形ABCD 中，BC AB =，?=∠60ABC ，若点P 为四边形ABCD 内一点，且?=∠120APD ，请你猜想线段PA 、PD 、PC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论．
答案：（1）如图１，延长CD 至E ，使DA DE =．
可证明EAD ?是等边三角形． ……………………………………………1分 联结AC ，可证明BAD ?≌CAE ?． ……………………………………………2分 故BD CE CD DE CD AD ==+=+．……………………………………………3分
图2
图１
（2）如图２，在四边形ABCD 外侧作正三角形D B A '，
可证明C B A '?≌ADB ?，得DB C B ='．…………………………………………4分 ∵ 四边形DP B A '符合（1）中条件，∴ PD AP P B +='．………………………5分 联结C B '，
ⅰ）若满足题中条件的点P 在C B '上，则PC B P C B +'='．∴ PC PD AP C B ++='． ∴ PC PD PA BD ++= ． ……………………………………………6分 ⅱ）若满足题中条件的点P 不在C B '上，
∵ PC B P C B +'<'，∴ PC PD AP C B ++<'．
∴ PC PD PA BD ++<． ……………………………………………7分 综上，PC PD PA BD ++≤． ……………………………………………8分
如图10，在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC>AC ,以斜边AB 所在直线为x 轴,以斜边AB 上
的高所在直线为y 轴,建立直角坐标系,若OA 2+OB 2=17,且线段OA 、OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2-mx +2(m -3)=0的两个根. （1）求C 点的坐标；
（2）以斜边AB 为直径作圆与y 轴交于另一点E ，求过A 、B 、E 三点的抛物线的解析式，并画出此抛物线的草图；
（3）在抛物线上是否存在点P ，使△ABP 与△ABC 全等？若存在，求出符
合条件的P 点的坐标；若不存在，说明理由.
解：（1）∵线段OA 、OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2－mx +2(m －3)=0的两个根， ∴??
?-=?=+） （
2)3(2)1(m OB OA m OB OA 又 ∵OA 2+OB 2=17， ∴（OA+O B ）2－2·OA ·OB =17.（3）
∴把（1）（2）代入（3），得m 2－4(m －3)=17. ∴m 2－4m －5=0.， 解得m =-1或m =5. 又知OA+OB =m >0，∴m =－1应舍去. ∴当m =5时，得方程x 2－5x +4=0. 解之，得x =1或x =4. ∵BC>AC, ∴OB>OA .
图10
∴OA =1，OB =4.
在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CO ⊥AB ， ∴OC 2=OA ·OB =1×4=4. ∴OC =2， ∴ C （0，2）.
（2）∵OA =1，OB =4，C 、E 两点关于x 轴对称， ∴A (－1,0),B (4,0),E (0,－2).
设经过A 、B 、E 三点的抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ,则
1,
20,31640,,,22. 2.
a b c a b c b c c ??-+=??
??
++==-????
=-?=-???
a=解之得
∴所求抛物线解析式为213
2.22
y x x =
-- （3）存在.∵点E 是抛物线与圆的交点，
∴Rt △ACB ≌△AEB . ∴E （0，-2）符合条件. ∵圆心的坐标（
3
2
，0）在抛物线的对称轴上， ∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称. ∴点E 关于抛物线对称轴的对称点E ′也符合题意. ∴可求得E ′（3，-2）.
∴抛物线上存在点P 符合题意，它们的坐标是（0，-2）和（3，-2）。
如图8，PA 切⊙O 于点A ，PBC 交⊙O 于点B 、C ，若PB 、PC 的长是关于x 的方程
0)2(82=++-m x x 的两根，且BC =4，求:（1）m 的值；（2）P A 的长；
解：由题意知：（1）PB +PC =8，BC =PC －PB =2
∴PB =2，PC =6
∴PB ·PC =(m +2)=12 ∴m =10
（2）∴P A 2=PB ·PC =12
∴P A =32
已知双曲线x
y 3=和直线2+=kx y 相交于点A （1x ，1y ）和点B （2x ，2y ），且102
221=+x x ,
求k 的值.
A
B C
P
·
图
8
图8
24．（10分）一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，已知小岛C 周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C 在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？
25. （10分）如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB 为6米，最高点离地面的距离OC 为5米．以最高点O 为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求:（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB 的距离）能否通过此隧道？
O 2
A
B
O 1
P
D C
26. （10分）已知：如图，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点， 动点P 在⊙O 2上，且在⊙1 外，直线PA 、PB 分别交⊙O 1于C 、D.问：⊙O 1的弦CD 的长是否随点P 的运动而发生变化？如果发生变化，请你确定CD 最长和最短时P 的位置，如果不发生变化，请你给出证明；
23．解：由??
?
??=+=x y kx y 3
2
,得032,232=-++=x kx kx x
∴21x x +＝－
k 2，21x x ?＝－k
3 故2
22
1x x +＝（21x x +）2
－221x x ?＝
k k 6
42+＝10 ∴02352
=--k k ∴11=k 或5
22-=k ，
又△0124>+=k 即31->k ，舍去5
2
2-=k ，故所求k 值为1.
24．解法一：过点B 作BM ⊥AH 于M ，∴BM ∥AF.∴∠ABM=∠BAF=30°. 在△BAM 中，AM=
2
1
AB=5，BM=35. 过点C 作CN ⊥AH 于N ，交BD 于K. 在Rt △BCK 中，∠CBK=90°-60°=30° 设CK=x ，则BK=x 3
在Rt △ACN 中，∵∠CAN=90°-45°=45°， ∴AN=NC.∴AM+MN=CK+KN. 又NM=BK ，BM=KN.
∴x x 3535+=+.解得5=x
∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险. 答：这艘渔船没有进入养殖场危险.
解法二：过点C 作CE ⊥BD ，垂足为E ，∴CE ∥GB ∥FA. ∴∠BCE=∠GBC=60°.∠ACE=∠FAC=45°. ∴∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°. 又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°，
∴∠BCA=∠BAC.∴BC=AB=10.
在Rt △BCE 中，CE=BC·cos ∠BCE=BC·cos60°=10×2
1=5(海里).
∵5海里＞4.8海里，∴渔船没有进入养殖场的危险.
答：这艘渔船没有进入养殖场的危险.
25．解：（1）设所求函数的解析式为2ax y =．
由题意，得 函数图象经过点B （3，-5），
∴-5=9a ． ∴9
5-=a ．
∴所求的二次函数的解析式为2
9
5x y -=． x 的取值范围是33≤≤-x ．
（2）当车宽8.2米时，此时CN 为4.1米，对应45
49
98.94.1952-
=-=?-
=y ， EN 长为
4549，车高45451=米，∵45
45
4549>，
∴农用货车能够通过此隧道。
26．解：当点P 运动时，CD 的长保持不变，A 、B 是⊙O 1与⊙O 2的交点，弦AB 与点P 的位置关系无关，连结AD ，∠ADP 在⊙O 1中所对的弦为AB ，所以∠ADP 为定值，∠P 在⊙O 2中所对的弦为AB ，所以∠P 为定值. ∵∠CAD =∠ADP +∠P ， ∴∠CAD 为定值， 在⊙O 1中∠CAD 对弦CD ， ∴CD 的长与点P 的位置无关.
今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税.某乡今年人均上缴农业税25
元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同. （1）求降低的百分率；
（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？
（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税.
23、已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2-6x+k=0的两个实数根，且x 12x 22
-x 1-x 2=115，
（1）求k 的值； （2）求x 12+x 22
+8的值.
五、（24小题10分，25小题11分，共21分）
24、如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径的半圆O ，与斜边AC 交于D ，E 是BC 边上的中点，连结DE.
(1) DE 与半圆O 相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
(2) 若AD 、AB 的长是方程x 2
－10x+24=0的两个根，求直角边BC 的长。
25．已知：如图9，等腰梯形ABCD 的边BC 在x 轴上，点A 在y 轴的正方向上，A ( 0, 6 )，
D ( 4，6），且AB ＝10（1）求点B 的坐标；
（2）求经过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P ，使得S △ABC = 1
2 S 梯形ABCD ?若存在，
请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.
22、（1）设降低的百分率为x ，
依题意有 解得x 1＝0.2＝20％，x 2 ＝
1.8(舍去)
（2）小红全家少上缴税 25×20％×4＝20（元）
（3）全乡少上缴税 16000×25×20％＝80000（元） 答略 23、（1）k=-11；（2）66 24、解：（1）DE 与半圆O 相切.
证明： 连结OD 、BD ∵AB 是半圆O 的直径
∴∠BDA=∠BDC=90° ∵在Rt △BDC 中,E 是BC 边上的中点
∴DE=BE ∴∠EBD ＝∠BDE
∵OB=OD ∴∠OBD=∠ODB 又∵∠ABC ＝∠OBD+∠EBD ＝90° ∴∠ODB+∠EBD=90°∴DE 与半圆O 相切.
（2）解：∵在Rt △ABC 中，BD ⊥AC ∴ Rt △ABD ∽Rt △ABC
∴ AB AC =AD AB 即AB 2
=AD·AC∴ AC=AB 2
AD
∵ AD 、AB 的长是方程x 2
－10x+24=0的两个根
∴ 解方程x 2
－10x+24=0得： x 1=4 x 2=6 ∵ AD 在Rt △ABC 中，AB=6 AC=9 ∴ BC=AC 2 -AB 2 =81-36 =3 5 25、（1）在Rt ΔABC 中， ， 又因为点B 在x 轴的负半轴上，所以B （－2，0） （2）设过A ，B ，D 三点的抛物线的解析式为 ， 将A （0，6），B （－2，0），D （4，6）三点的坐标代入得 61646420c a b c a b c =??++=??-+=? 解得 1 2 26a b c =- == 所以 2 1262 y x x =- ++ （3）略 16、如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连结AE ，F 为AE 上 一点，且∠BFE ＝∠C ． ⑴ 求证：△ABF ∽△EAD ⑵ 若AB ＝4，∠BAE ＝30°．求AE 的长： ⑶ 在⑴、⑵的条件下，若AD ＝3，求BF 的长．（计算结果可合根号） 225(1)16x -=???? ? 图6 17、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米／时的速度沿北偏东30°方向往C 移动，且台风中心风力不变．若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响． （1）该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由． （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长? （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级? 18、为了解各年龄段观众对某电视剧的收视率，某 校初三（1）班的一个研究性学习小组，调查了部分观众的收视情况并分成A 、B 、C 、D 、E 、F 六组进行整理，其频率分布直方图如图所示，请回答： ⑴ E 组的频率为 ；若E 组的频数为12 ，则被调查的观众数为 人； ⑵ 补全频率分布直方图； ⑶ 若某村观众的人数为1200人，估计该村50岁以上的观众有 人。 19、某中学七年级有6个班，要从中选出2个班代表学校参加某项活动，七（1）班必须参加，另外再从七（2）至七（6）班选出1个班．七（4）班有学生建议用如下的方法：从装有编号为1、2、3的三个白球A 袋中摸出1个球，再从装有编号为1、2、3的三个红球B 袋中摸出1个球（两袋中球的大小、形状与质量完全一样），摸出的两个球上的数字和是几，就选几班，你人为这种方法公平吗？请说明理由． 五、解答题（本题共３小题，每小题９分，共２７分） 20、已知：△ABC 中，AB ＝10 ⑴如图①，若点D 、E 分别是AC 、BC 边的中点，求DE 的长； ⑵如图②，若点A 1、A 2把AC 边三等分，过A 1、A 2作AB 边的平行线，分别交BC 边于点B 1、B 2，求A 1B 1＋A 2B 2的值； ⑶如图③，若点A 1、A 2、…、A 10把AC 边十一等分，过各点作AB 边的平行线， 图7 图8 分别交BC 边于点B 1、B 2、…、B 10。根据你所发现的规律，直接写出A 1B 1＋A 2B 2＋…＋A 10B 10的结果。 21、AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、 B 都不重合），点 C 是BE 延长线上的一点，且C D ⊥AB ，垂足为D ，CD 与A E 交于点H ，点H 与点A 不重合。 （1）求证：△AHD ∽△CBD （2）连HB ，若CD=AB=2，求HD+HO 的值。 22、如图11，在ΔABC 中，AC ＝15，BC ＝18，sinC= 4 5 ，D 是AC 上一个动点（不运动至点A ，C),过D 作DE ∥BC ，交AB 于E ，过D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，连结 BD ，设 CD ＝x ． （1）用含x 的代数式分别表示DF 和BF ； （2）如果梯形EBFD 的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式； (3）如果△BDF 的面积为S 1，△BDE 的面积为S 2，那么x 为何值时，S 1＝2S 2 16、（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠BAF ＝∠AED ， ∠C ＋∠D ＝180°，∵∠C ＝∠BFE ，∠BFE ＋∠BFA ＝180°， ∴∠D ＝∠BFA ，∴△ABF ∽△EAD 。 （2）解：∵AB ∥CD ，BE ⊥CD ，∴∠ABE ＝∠BEC ＝90°，又∵∠BAE ＝30°，AB ＝4， ∴AE ＝ 3 3 830cos =?AB （3）由（1）有 AD BF EA AB =，又AD ＝3，∴BF ＝32 3 =?EA AD AB 17、解：（1）如图，由点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ．∵AB ＝220，∠B ＝30°∴AD ＝110（千米）．由题意，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响．故该城市会受到这次台风的影响． （2）由题意，当A 点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响．则AE ＝AF ＝160．当台风中心从E 处移到F 处时，该城市都会受到这次台风的影响．由勾股定理得：530502701101602222=?=-=-=AD AE DE ．∴EF ＝6015（千米） ．∵ 图11 A O D B H E C 图 10 （小时）． （3）当台风中心位于D 处时，A 市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－20 110＝6.5（级）． 18、（1）0.24 , 50 ；（2）（高度为F 组的2倍）；（3）432； 19、解：方法不公平。 用树状图来说明： 所以，七（2）班被选中的概率为 91，七（3）班被选中的概率为9 2 ，七（4）班被选中的概率为3193=，七（5）班被选中的概率为92，七（6）班被选中的概率为9 1 ， 所以，这种方法不公平。 五、解答题 20、解：⑴DE=5 ⑵A 1B 1＋A 2B 2=10 ⑶A 1B 1＋A 2B 2＋…＋A 10B 10=50 21、（1）（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴∠AEB ＝∠ADH ＝90°， ∴∠C ＋∠CHE ＝90°，∠A ＋∠AHD ＝90°， ∵∠AHD ＝∠CHE ，∴∠A ＝∠C ， ∵∠ADH ＝∠CDB ＝90°， ∴△AHD ∽△CBD （2）设OD=x ，则BD=1-x ，AD=1+x 证Rt △AHD ∽Rt △CBD 则HD : BD=AD : CD 即HD : (1-x)=(1+x) : 2 即HD=2 x 12 - 在Rt △HOD 中，由勾股定理得： OH=222 2 2 )2x 1(x HD OD -+=+=2 x 12 + 所以HD+HO=2x 12-+2 x 12 +=1 22、解：（1）在Rt △CDF 中，sinC ＝5 4 ，CD ＝x ， ∴DF ＝CD ? sinC ＝ 54x ，CF ＝x DF CD 5 32 2=- ∴BF ＝18－ x 5 3 。 （2）∵ED ∥BC ，∴ AC AD BC ED = ， ∴ED ＝x x AC AD BC 561815)15(18-=-?=? ∴S ＝21 ×DF ×（ED ＋BF ） ＝x x x x x 5 722518)53185618(54212+-=-+-?? （3）由S 1＝2S 2，得S 1＝3 2 S ∴21（18－x 53）?x 54＝)5 72 2518(322x x +- 解这个方程，得：x 1＝10，x 2＝0（不合题意，舍去） 所以，当x ＝10时，S 1＝2S 2 23、（本小题满分6分） 观察下面的点阵图，探究其中的规律。 摆第1个“小屋子”需要5个点， 摆第2个“小屋子”需要 个点，摆第3个“小屋子”需要 个 点？（1）、摆第10个这样的“小屋子”需要多少个点？ 图7 （2）、写出摆第n 个这样的“小屋子”需要的总点数，S 与n 的关系式。 24、（本小题满分6分） 已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）和B （3，0）两点，且与y 轴交于点C （0，3）。 （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴方程和顶点M 坐标；（3）求四边形ABMC 的面积。 23、11，17，59；S=6n-1； 24、（1）y=—x 2+2x+3；（2）x=1，M （1，4），（3）9； 在平面直角坐标系中，圆心O 的坐标为（-3，4），以半径r 在坐标平面内作圆， （1）当r 时，圆O 与坐标轴有1个交点； （2）当r 时，圆O 与坐标轴有2个交点； （3）当r 时，圆O 与坐标轴有3个交点； （4）当r 时，圆O 与坐标轴有4个交点； 26、（1）r=3；（2）3＜r ＜4；（3）r=4或5；（4）r ＞4且r ≠5； （8分）为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采取不同的收费方式，其中，所使用的“便民卡”与“如意卡”在玉溪市范围内每月（30天）的通话时间x （min ）与通话费y （元）的关系如图所示： (1)分别求出通话费1y 、2y 与通话时间x 之间的函数关系式； (2)请帮用户计算，在一个月内使用哪一种卡便宜？ 解： (1),29511+= x y ).432000(2 1 2≤≤=x x y (2)当21y y =时，; 32 96,212951==+x x x 当21y y >时，32 96,212951><+x x x 所以，当通话时间等于9632min 时，两种卡的收费一致；当通话时间小于3 2 96mim 时， “如意卡便宜”；当通话时间大于3 2 96min 时，“便民”便宜。 如图10，在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC>AC ,以斜边AB 所在直线为x 轴,以斜边AB 上的高所在直线为y 轴,建立直角坐标系,若OA 2+OB 2=17,且线段OA 、OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2-mx +2(m -3)=0的两个根. （1）求C 点的坐标； （2）以斜边AB 为直径作圆与y 轴交于另一点E ，求过A 、B 、E 三点的抛物 线的解析式，并画出此抛物线的草图； （3）在抛物线上是否存在点P ，使△ABP 与△ABC 全等？若存在，求出符合条件的P 点的坐标；若不存在，说明理由. 解：（1）∵线段OA 、OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2－mx +2(m －3)=0的两个根， ∴???-=?=+） （ 2)3(2)1(m OB OA m OB OA 又 ∵OA 2+OB 2=17， ∴（OA+O B ）2－2·OA ·OB =17.（3） ∴把（1）（2）代入（3），得m 2－4(m －3)=17. ∴m 2－4m －5=0.， 解得m =-1或m =5. 又知OA+OB =m >0，∴m =－1应舍去. ∴当m =5时，得方程x 2－5x +4=0. 解之，得x =1或x =4. ∵BC>AC, ∴OB>OA . ∴OA =1，OB =4. 在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CO ⊥AB ， ∴OC 2=OA ·OB =1×4=4. ∴OC =2， ∴ C （0，2）. （2）∵OA =1，OB =4，C 、E 两点关于x 轴对称， ∴A (－1,0),B (4,0),E (0,－2). 设经过A 、B 、E 三点的抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ,则 1, 20,31640,,,22. 2. a b c a b c b c c ??-+=?? ?? ++==-?? ?? =-?=-??? a=解之得 ∴所求抛物线解析式为213 2.22 y x x = -- （3）存在.∵点E 是抛物线与圆的交点， ∴Rt △ACB ≌△AEB . ∴E （0，-2）符合条件. ∵圆心的坐标（ 3 2 ，0）在抛物线的对称轴上， ∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称. ∴点E 关于抛物线对称轴的对称点E ′也符合题意. ∴可求得E ′（3，-2）. ∴抛物线上存在点P 符合题意，它们的坐标是（0，-2）和（3，-2）。 如图8，PA 切⊙O 于点A ，PBC 交⊙O 于点B 、C ，若PB 、PC 的长是关于x 的方程 0)2(82=++-m x x 的两根，且BC =4，求:（1）m 的值；（2）P A 的长； 解：由题意知：（1）PB +PC =8，BC =PC －PB =2 ∴PB =2，PC =6 ∴PB ·PC =(m +2)=12 ∴m =10 （2）∴P A 2=PB ·PC =12 ∴P A =32 已知双曲线x y 3=和直线2+=kx y 相交于点A （1x ，1y ）和点B （2x ，2y ），且102 221=+x x , 求k 的值. 24．（10分）一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，已知小岛C 周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C 在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？ 25. （10分）如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB 为6米，最高点离地面的距离OC 为5米．以最高点O 为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求:（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB 的距离）能否通过此隧道？ 图 8 图8 几何专题 题型一考察概念基础知识点型 例1.如图1,等腰△ ABC的周长为21,底边BC = 5, AB的垂直平分线是DE，则△ BEC 的周长为_________________ 。 例2?如图2,菱形ABCD 中,~A 60° E、F是AB、AD的中点，若EF 2，菱形边长 ____________ 图1 图2 例3 已知AB是。O的直径，PB是。O的切线，AB = 3cm, PB = 4cm，贝U BC = _______________________________________________________________ . 题型二折叠题型：折叠题要从中找到对就相等的关系，然后利用勾股定理即可求解。 例4 D, E分别为AC , BC边的中点，沿DE折叠，若CDE 48°则APD等于_______________ 。例5如图4?矩形纸片ABCD的边长AB=4, AD=2 .将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C 重合，折 叠后在其一面着色（图），则着色部分的面积为（） 积，侧面积，三角函数计算等。 例6如图3, P为。O外一点，PA切于A, AB是。O的直径，PB交。O于C, P心2cm PO 1cm,则图中阴影部分的面积S是（） 八 5.3 2 5.3 2 5.32 2 23 2 A. cm B cm C cm D cm 2 4 4 2 【题型四】证明题型： 第二轮复习之几何（一）一一三角形全等 【判定方法1: SAS 例1.AC是菱形ABCD勺对角线，点E、F分别在边AB AD上，且AE=AF求证：△ ACE^A ACF 例2正方形ABCD中, AC为对角线，E为AC上一点，连接EB ED. （1）求证：△ BEC^A DEC 中考数学复习几何压轴题 1．在△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△E D C ''(使E BC '∠＜180°)，连接D A '、E B '，设直线E B '与AC 交于点O . (1)如图①，当AC =BC 时，D A ':E B '的值为 ； (2)如图②，当AC =5，BC =4时，求D A ':E B '的值； (3)在(2)的条件下，若∠ACB =60°，且E 为BC 的中点，求△OAB 面积的最小值. 图① 图② 答 案 ： 1；……………………………………………………………………………………………1分 （2）解：∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ．∴AC DC BC EC =． 由旋转图形的性质得，C D DC C E EC '='=,,∴AC C D BC C E '='． ∵ D C E ECD ' '∠=∠,∴ , E AC D C E E AC ECD '∠+''∠='∠+∠即 D AC E BC '∠='∠． ∴E BC '?∽D AC '?.∴4 5 ==''BC AC E B D A ．……………………………………………………4分 （3）解：作BM ⊥AC 于点M ，则BM =BC ·sin 60°=23． ∵E 为BC 中点，∴CE = 2 1 BC =2． △CDE 旋转时，点E '在以点C 为圆心、CE 长为半径的圆上运动． ∵CO 随着E CB '∠的增大而增大， ∴当E B '与⊙C 相切时，即C E B '∠=90°时E CB '∠最大，则CO 最大． O D E'O E' A D 专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是 列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 2013中考数学压轴题动态几何题型精选解析（三） 例题如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（﹣2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE． （1）填空：点D的坐标为，点E的坐标为． （2）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式． （3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动． ①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围． ②运动停止时，求抛物线的顶点坐标． 思路分析： （1）构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点D、点E的坐标； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （3）本问非常复杂，须小心思考与计算： ①为求s的表达式，需要识别正方形（与抛物线）的运动过程．正方形的平移，从开始到结束，总共历时秒，期间可以划分成三个阶段：当0＜t≤时，对应图（3）a；当＜t≤1时，对应图（3）b；当1＜t≤时，对应图（3）c．每个阶段的表达式不同，请对照图形认真思考； ②当运动停止时，点E到达y轴，点E（﹣3，2）运动到点E′（0，），可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位．由此得到平移之后的抛物线解析式，进而求出其顶点坐标． 解：（1）由题意可知：OB=2，OC=1． 如图（1）所示，过D点作DH⊥y轴于H，过E点作EG⊥x轴于G． 易证△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（﹣1，3）； 同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E（﹣3，2）． ∴D（﹣1，3）、E（﹣3，2）． （2）抛物线经过（0，2）、（﹣1，3）、（﹣3，2）， 则 解得 中考数学几何专题训练含答案 1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点， 且∠BEH=∠HEG． （1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC； （2）若CD=4，BH=1，求AD的长． 2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE． （1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD； （2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点． 3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F （1）求证：BF=AD+CF； （2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长． 4、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F，使DC=CF,连接BE、BF和EF. ⑴求证：△ABE≌△CFB; ⑵如果AD=6,tan∠EBC的值. A B D E C F 5、已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF 分别交AB于G、H点（1）求证：FG=FH；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD的面积． 6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，且CD=2AD，tan∠ABC=2，过点D作DE ∥AB，交∠BCD的平分线于点E，连接BE． （1）求证：BC=CD； （2）将△BCE绕点C，顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG．求证：CD垂直平分EG； （3）延长BE交CD于点P．求证：P是CD的中点． 1．（1）操作发现· 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC ＝2DF ，求AB AD 的值； （3）类比探究 保持（1）中的条件不变，若DC ＝n ·DF ，求 AB AD 的值． 2．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB ＝75o，以CD 为一边的 等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上． （1）求∠AED 的度数； （2）求证：AB ＝BC ； （3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC ＝30o． 求 DF FC 的值． 3.如图①，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．AD ＝2cm ，BC ＝6cm ，AE ＝4cm ．点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上，顺次连接B 、P 、Q 、C ，线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M ．若点P 在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动，使图形M 的形状发生改变，但面积始终．． 为10cm 2．设EP ＝x cm ，FQ ＝y cm ，A B C D E 图1 A B C D E 图2 F 解答下列问题： （1）直接写出当x ＝3时y 的值； （2）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当x 取何值时，图形M 成为等腰梯形？图形M 成为三角形？ （4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积． 4．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC ，△A 1B 1C 1． A B C D E F （备用图） A B C D E F Q P 图① 图 ① A C A 1 B 1 C 1 中考数学压轴题十大类型 目录 第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究50 第十讲中考压轴题十大类型之圆56 第十一讲中考压轴题综合训练一62 第十二讲中考压轴题综合训练二68 第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题 一、知识提要 基本方法： ______________________________________________________; ______________________________________________________; ______________________________________________________． 二、精讲精练 1. （2011吉林）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，CE ⊥AD 于点E ， AD =8cm ，BC =4cm ，AB =5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A -B -C -E 方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，△P AQ 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题： （1） 当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =9 2 s 时，y =_______ cm 2． （2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出15 4 y S 梯形ABCD 时x 的值． （4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值． 几何图形变换压轴题中考整理 1（黑龙江省哈尔滨市）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．（1）如图l，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG＋DC＝AD； （2）如图2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是____________________________________； （3）在（2）的条件下，若AG＝2 5，DC＝3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别 3，求线段PQ的长． 与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG＝ 2 （湖北省随州市）如图①，已知△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC 的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论． （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． （3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值． 3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测 量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长 线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 3．在△ABC 中，点P 为BC 的中点． （1）如图1，求证：AP ＜ 2 1 （AB +BC ）； （2）延长AB 到D ，使得BD =AC ，延长AC 到E ，使得CE =AB ，连结DE ． ①如图2，连结BE ，若∠BAC =60°，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明； ②请在图3中证明：BC ≥ 2 1 DE ． 图13－2 E A B D G F O M N C 图13－3 A B D G E F O M N C 图13－ 1 A ( G ) B ( E ) C O D ( F ) 1 / 3 数学几何部分专题复习 一、点到直线的距离垂线段最短 精炼1、点P 是Rt △ABC 斜边AB 上的一点，PE ⊥AC 于E ， PF ⊥BC 于F ，BC=6，AC=8，则线段EF 长的最小值 为________ 二、等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的 高 精炼： 如图，已知菱形ABCD 的对角线AC=2，∠BAD=60°，BD 边上有2013个不同的点 122013,,,p p p ?，过(1,2,i p i =?,2013)作i i PE AB ⊥于i E ，i i PF AD ⊥于i F ，则 111122222013201320132013PE PF P E P F P E P F ++++?++的值为_______________. 三、利用轴对称解决最短距离问题 几何模型： 条件：如图1，A 、B 是直线l 同旁的两个定点． 问题：在直线l 上确定一点P ，使PA+PB 的值最小． 方法：作点A 关于直线l 的对称点A′，连接A′B 交l 于点P ，则PA+PB=A′B 的值最小（不必证明）． 模型应用： （2）如图3，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点．连接BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连接ED 交AC 于P ，则PB+PE 的最小值是 ； （3）如图4，在菱形ABCD 中，AB=10，∠DAB=60°，P 是对角线AC 上一动点，E 、F 分别是线段AB 和BC 上的动点，则PE+PF 的最小值是 ． （4）如图5，在菱形ABCD 中，AB=6，∠B=60°，点G 是边CD 边的中点，点E 、F 分别是AG 、AD 上的两个动点，则EF+ED 的最小值是 ． （5）如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为 ． 中考名题：1、长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一 圈到达点B ，那么所用细线最短需要______cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕圈到达点B ，那么所用细线最短需要______cm ． 2、 如图，是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为5m 的半圆，其边缘AB=CD=20cm ，小明要在AB 上选取一点E ，能够使他从点D 滑到点E 再到点C 的滑行距离最短，则他滑行的最短距离为 m ．（π取3） 3、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_________cm ． 4、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD=2，∠BCD=60°，对角线AC 平分∠BCD，E ，F 分别是底边AD ，BC 的中点，连接EF ．点P 是EF 上的任意一点，连接PA ，PB ，则PA+PB 的最小值为 ． 四、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 精炼1、如图，已知BD 、CE 是ABC V 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点，MN 与DE 有怎样的位置关系。请证明。 2、如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC，AF⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点E ．若AB=10，BC=16，则线段EF 的长为（ ） A ．3 B ．2 C ．4 D ．5 3、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为 n 图3 图5 图4 B A 6cm 3cm 1cm 第1题图 第2题图 A B C D O F （第13题） E 2020年全国各地中考数学压轴题汇编（贵州专版） 几何综合 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2020?贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（） A．24 B．18 C．12 D．9 解：∵E是AC中点， ∵EF∥BC，交AB于点F， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF=BC， ∴BC=6， ∴菱形ABCD的周长是4×6=24． 故选：A． 2．（2020?遵义）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（） A．10 B．12 C．16 D．18 解：作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PBE =S △PBN ，S △PFD =S △PDM ，S △PFC =S △PCN ， ∴S △DFP =S△PBE=×2×8=8， ∴S 阴=8+ 8=16， 故选：C． 3．（2020?贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（） A．B．1 C．D． 解：连接BC， 由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan∠BAC=1， 故选：B． 4．（2020?遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（） 第三课时 几何代数综合题1.已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=320 ,AE ⊥BD ，垂足是 E.点F 是点E 关于AB 的对称点，连接 AF 、BF. （1）求AE 和BE 的长； （2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为 m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）.当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的m 的值. （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角（0°＜＜180°），记旋转中的△ABF 为△A ′BF ′，在旋转过程 中，设A ′F ′所在的直线与直线 AD 交于点P.与直线BD 交于点Q.是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由 . 解：（1）在Rt △ABD 中，AB=5，AD = ，由勾股定理得：BD === ． ∵S △ABD =BD?AE =AB?AD ， ∴AE===4． 在Rt △ABE 中，AB=5，AE=4，由勾股定理得： BE=3．（2）设平移中的三角形为△ A ′ B ′F ′，如答图2所示：由对称点性质可知，∠ 1=∠2．由平移性质可知，AB ∥A ′B ′，∠4=∠1，BF=B ′F ′=3． ①当点F ′落在AB 上时，∵AB ∥A ′B ′， ∴∠3=∠4，∴∠3=∠2， ∴BB ′＝B ′F ′=3，即m=3； ②当点F ′落在AD 上时，∵AB ∥A ′B ′， ∴∠6=∠2，∵∠1=∠2，∠5=∠1， ∴∠5=∠6，又易知A ′B ′⊥AD ， ∴△B ′F ′D 为等腰三角形， ∴B ′D=B ′F ′=3， ∴BB ′＝B D ﹣B ′D =﹣3=，即m=． （3）存在．理由如下： 经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单” 一.名称由来 在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。 正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！ 二.模型建立 【模型一：定弦定角】 【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】 【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 ` 三．模型基本类型图形解读 【模型一：定弦定角的“前世今生”】 【模型二：动点到定点定长】 【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 四．“隐圆”破解策略 牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。 直角必有外接圆，对角互补也共圆。五．“隐圆”题型知识储备 3 六．“隐圆”典型例题 【模型一：定弦定角】 1.（2017 威海）如图 1，△ABC 为等边三角形，AB=2，若P 为△ABC 内一动点，且满足 ∠PAB=∠ACP，则线段P B 长度的最小值为_ 。 简答：因为∠PAB=∠PCA，∠PAB+∠PAC=60°，所以∠PAC+∠PCA=60°，即∠APC=120°。因为A C定长、∠APC=120°定角，故满足“定弦定角模型”，P在圆上，圆周角∠APC=120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以AC 为边向下作等边△AOC，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O，P在⊙O 上。当B、P、O三点共线时，BP最短（知识储备一：点圆距离）， 此时B P=2 -2 2.如图1所示，边长为2的等边△ABC 的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A 在射线O D 上移动，则顶点C到原点O的最大距离为。 中考数学几何选择填空压轴题精选配答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 2016中考数学几何选择填空压轴题精选(配答案)一．选择题（共13小题） 1．（2013蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC 于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HEHB． A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 2．（2013连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作 D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A ．B ． C ． D ． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论： ①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论： 一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交 于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图② 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直 中考数学压轴题(几何综合题） 1、如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4厘米，BC＝6厘米，D是BC的中点．点E从A 出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1厘米/秒的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值； （2）当a＝1 2 时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； （3）当a＝2时，是否存在某个时间，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值； 若不存在，请说明理由． 解：（1）∵t＝2，∴CF＝2厘米，AE＝2a厘米， ∴EC＝(4－2a ) 厘米． ∵△ECF∽△BCA．∴EC CF CB AC = ∴422 64 a - =．∴ 1 2 a=． （2）由题意，AE＝1 2 t厘米，CD＝3厘米，CF＝t厘米． ∵EG∥CD，∴△AEG∽△ACD．∴EG AE CD AC =， 1 2 34 t EG =．∴EG＝ 3 8 t． ∵以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，∴EG＝DF． 当0≤t＜3时，3 3 8 t t =-， 24 11 t=． 当3＜t≤6时，3 3 8 t t=-， 24 5 t=． 综上 24 11 t=或 24 5 （3）由题意，AE＝2t厘米，CF＝t厘米，可得：△AEG∽△ACD AG＝5 2 t厘米，EG＝ 3 2 t，DF＝3－t厘米，DG＝5－ 5 2 t（厘米）． G D B A C F E （第27题） D B A C 备用图 图1 中考数学几何选择填空压轴题精选 一．选择题（共13小题） 1．（2013?蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE 的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE?HB． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2013?连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A．B．C．D． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论： ①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S?DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（） A．①③B．②④C．①④D．②③ 5．（2008?荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（） A．5：3B．3：5C．4：3D．3：4 6．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（） A．B．C．D． 7．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（） A．B．6C．D．3 8．（2013?牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 9．（2012?黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论： ①（BE+CF）=BC； ②S△AEF≤S△ABC； ③S四边形AEDF=AD?EF； ④AD≥EF； ⑤AD与EF可能互相平分， 其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 近年来中考数学压轴题大集合 【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕 〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上 〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕 由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图① 专题几何专题 题型一考察概念基础知识点型 例1如图1，等腰△ABC 的周长为21，底边BC ＝ 5，AB 的垂直平分线是DE ，则△BEC 的周长为。 例2如图2，菱形ABCD 中，60A ∠=°，E 、F 是AB 、AD 的中点，若2EF =，菱形边长是______． D E B C A 图1 图2 图3 例3已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，AB ＝3cm ，PB ＝4cm ，则BC ＝． 题型二折叠题型：折叠题要从中找到对就相等的关系，然后利用勾股定理即可求解。 例4D E ，分别为AC ，BC 边的中点，沿DE 折叠，若48CDE ∠=°，则APD ∠等于。 例5如图4.矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其 一面着色（图），则着色部分的面积为（ ） A ． 8 B ． 112 C ． 4 D ．5 2 E D B C A P 图 4 图5 图6 【题型三】涉及计算题型：常见的有应用勾股定理求线段长度，求弧长，扇形面积及圆锥体积，侧面积，三角函数计算等。 例6如图3，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，AB 是⊙O 的直径，PB 交⊙O 于C ， PA ＝2cm ，PC ＝1cm,则图中阴影部分的面积S 是 （ ） A. 2235cm π- B 2435cm π- C 24235cm π- D 22 32cm π - 图3 B D G F F D C B A E F G 【题型四】证明题型： 第二轮复习之几何（一）——三角形全等 【判定方法1：SAS 】 例1如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且 AE=AF 。 求证：△ACE ≌△ACF 例2 在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ． （1）求证：△BEC ≌△DEC ； （2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数． 【判定方法2：AAS （ASA ）】 例3 如图，ABCD 是正方形，点G 是BC 上的任意一点，DE AG ⊥于 E ，BF DE ∥，交 AG 于F ，求证：AF BF EF =+． 例4如图，在□ABCD 中，分别延长BA ，DC 到点E ，使得AE=AB ， CH=CD 连接EH ，分别交AD ，BC 于点F,G 。求证：△AEF ≌△CHG. E B D A C F A F D E B C A D F E B C 中考数学几何专题知识点总结78点中考数学 几何压轴题 1 同角或等角的余角相等 2 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 3 过两点有且只有一条直线 4 两点之间线段最短 5 同角或等角的补角相等 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于 E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. ~ [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） ' 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图② 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2x y =??=-? 》 ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? （ = 1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直中考数学几何专题复习
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