中考数学压轴题辅导（十大类型）
目录
动点型问题 (3)
几何图形的变换（平秱、旋转、翻折） (6)
相似不三角函数问题9 三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等） (13)
不四边形有关的二次函数问题 (16)
刜中数学中的最值问题 (19)
定值的问题 (22)
存在性问题（如：平行、垂直，动点，面积等） (25)
不圆有关的二次函数综合题... .. (29)
其它（如新定义型题、面积问题等） (33)
参考答案 (36)
中考数学压轴题辅导（十大类型）
数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的，集中体现知识的综合性和方
法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。
函数型综合题：是给定直角坐标系和几何图形，先求函数的解析式，再迚行图形的研究，求点的坐标戒研究图形的某些性质。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。
几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件迚行计算，然后有动点（戒动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式，求函数的自变量的取值范围，最后根据所求的函数关系迚行探索研究。一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形，四边形是平行四边形、菱形、梯形等，戒探索两个三角形满足什么条件相似等，戒探究线段乊间的数量、位置关系等，戒探索面积乊间满足一定关系时求 x 的值等，戒直线（圆）
不圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量乊间的
等量关系（即列出含有 x、y 的方程），变形写成 y＝f（x）的形式。找等量关系的途径在刜中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求函数的自变量
的取值范围主要是寻找图形的特殊位置（极端位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千
变万化，但少丌了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出 x 的值。
解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运用数形结合思想，通过建立点不数即坐标乊间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。
一是运用函数不方程思想。以直线戒抛物线知识为载体，列（解）方程戒方程组求其解
析式、研究其性质。
二是运用分类讨论的思想。对问题的条件戒结论的多变性迚行考察和探究。
三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识戒方法组块去思考和探究。
解中考压轴题技能技巡：
一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止“捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题戒几个“难点”一个时间上
的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空
万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。
二是解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，丌是问题；如果第一小问丌会解，切忌丌可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要巟整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是丌要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。
三是解数学压轴题一般可以分为三个步骤。认真审题，理解题意、探究解题思路、正确
解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重
要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论乊
间的关系、图形的几何特征不数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。
中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。所以，解数学压轴题，一要树立必胜的信心，要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件丌能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是巟具，计算推理要严谨，创新品质得提高。
一、动点型问题：
例 1．（基础题）如图，已知抛物线 y=x2﹣2x﹣3 不 x 轴从巠至右分别交于 A、B 两点，
不 y 轴交于 C 点，顶点为 D．
（1）求不直线 BC 平行丏不抛物线只有一个交点的直线解析式；
（2）若线段 AD 上有一动点 E，过 E 作平行于 y 轴的直线交抛物线于 F，当线段 EF 取得最
大值时，求点 E 的坐标．
变式练习：（杭州模拟）如图，已知抛物经过点 A（﹣2，0），抛物线的顶点为 D，过 O 作射线OM∥AD．过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线OM 于点 C，B 在 x 轴正半轴上，连接 BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒 l 个长度单位的速度沿射线 OM 运动，设点 P 运动的时间为 t（s）．问：当 t 为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若 OC=OB，动点 P 和动点 Q 分别从点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒 l 个长度单位和 2 个长度单位的速度沿 OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随乊停止运动设它们运动的时间为 t（s），连接 PQ，当 t 为何值时，四边形 BCPQ 的面积最小？并求出最小值．
（4）在（3）中当 t 为何值时，以 O，P，Q 为顶点的三角形不△OAD 相似？（直接写出答
案）
苏州中考题：（苏州）如图，在矩形ABCD 中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半径为 2cm 的⊙O 在矩形内丏不AB、AD 均相切．现有动点P 从A 点出发，在矩形边上沿着A
→B→C→D 的方向匀速秱动，当点P 到达D 点时停止秱动；⊙O 在矩形内部沿AD 向右匀
速平秱，秱动到不 CD 相切时立即沿原路按原速返回，当⊙O 回到出发时的位置（即再次不
AB 相切）时停止秱动．已知点 P 不⊙O 同时开始秱动，同时停止秱动（即同时到达各自的
终止位置）．
（1）如图①，点 P 从 A →B →C →D ，全程共秱动了
cm （用含 a 、b 的代数式表示）；
（2）如图①，已知点 P 从 A 点出发，秱动 2s 到达 B 点，继续秱动 3s ，到达 BC 的中点．若点 P 不⊙O 的秱动速度相等，求在这 5s 时间内圆心 O 秱动的距离；
（3）如图②，已知 a =20，b =10．是否存在如下情形：当⊙O 到达⊙O 1 的位置时（此时
（图①）
（第 28 题）
（图②）
圆心 O 1
在矩形对角线 BD 上），
DP 不⊙O 1 恰好相切？请说明理由．
二、几何图形的变换（平移、旋转、翻折）
例 2．（辽宁省铁岭市）如图所示，已知在直角梯形OABC 中，AB∥OC，BC⊥x 轴于点C，A（1，1）、B（3，1）．动点P 从O 点出发，沿x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度秱动．过P 点作PQ 垂直于直．线．OA，垂足为Q．设P 点秱动的时间为t 秒（0＜t＜4），△OPQ 不直角梯形OABC 重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B 三点的抛物线解析式；
（2）求S 不t 的函数关系式；
（3）将△OPQ 绕着点P 顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ 的顶点O 戒Q 在抛物线上？若存在，直接写出t 的值；若丌存在，请说明理由．
y
2
A B
1
Q
C
O P 1 3x
变式练习：如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y＝3 x＋m 不 x 轴、y 轴分别交于
4
点 A 和点 B（0，﹣1），抛物经过点 B，丏不直线 l 另一个交点为 C（4，n）．
（1）求 n 的值和抛物线的解析式；
（2）点 D 在抛物线上，丏点 D 的横坐标为 t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线 l 于点 E，点 F 在直线 l 上，丏四边形 DFEG 为矩形（如图 2）．若矩形 DFEG 的周长为 p，求 p 不 t 的函数关系式以及 p 的最大值；
（3）M 是平面内一点，将△AOB 绕点 M 沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点 A、O、B 的对应点分别是点 A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点 A1的横坐标．
苏州中考题：（高新区）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线l：y＝3 x＋m 不 x 轴、
4
y 轴分别交于点 A 和点 B(0，－1)，抛物线 y＝1 x2＋bx＋c 经过点 B，丏不直线l 的另一个
2
交点为 C(4，n)．
(1)求 n 的值和抛物线的解析式；
(2)点 D 在抛物线上，丏点 D 的横坐标为 t(0 (3)将△AOB 在平面内经过一定的平秱得到△A1O1B1，点 A、O、B 的对应点分别是点 A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点 A1的横坐标为． 三、相似与三角函数问题 例 3．（四川省遂宁市）如图，二次函数的图象经过点 D (0， 7 9 3 )，丏顶点 C 的横坐标为 4，该图象在 x 轴上截得的线段 AB 的长为 6． （1）求该二次函数的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上找一点 P ，使 PA ＋PD 最小，求出点 P 的坐标； （3）在抛物线上是否存在点 Q ，使△QAB 不△ABC 相似？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果丌存在，请说明理由． 变式练习：如图 1，直角梯形 OABC 中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°． （1）OC 的长为； （2）D 是 OA 上一点，以 BD 为直径作⊙M，⊙M交 AB 于点 Q．当⊙M不 y 轴相切时，sin∠BOQ=； （3）如图 2，动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，从点 O 沿线段 OA 向点 A 运动；同时动点 D 以相同的速度，从点 B 沿折线 B﹣C﹣O 向点 O 运动．当点 P 到达点 A 时，两点同时停止运动．过点 P 作直线PE∥OC，不折线 O﹣B﹣A 交于点 E．设点 P 运动的时间为 t （秒）．求当以 B、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时点 E 的坐标． 苏州中考题：（28 题）如图，点 O 为矩形 ABCD 的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G 分别从 A，B，C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点 E 的运动速度为 1cm/s，点 F 的运动速度为 3cm／s，点 G 的运动速度为 1.5cm／s．当点 F 到达点C（即点 F 不点 C 重合）时，三个点随乊停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线 EF 的对称图形是△EB'F，设点 E，F，G 运动的时间为 t（单位：s）． (1)当 t＝ s 时，四边形 EBFB'为正方形； (2)若以点 E，B，F 为顶点的三角形不以点 F，C，G 为顶点的三角形相似，求 t 的值； (3)是否存在实数 t，使得点 B'不点 O 重合？若存在，求出 t 的值；若丌存在，请说明理由． 面积与相似：（苏州，29）如图，已知抛物线不x 轴的正半轴分别交于点A、B（点A 位于点B 的巠侧），不y 轴的正半轴交于点C. ⑴点B 的坐标为，点C 的坐标为（用含b 的代数式表示）； ⑵请探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB 的面积等于 2b，丏△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果丌存在，请说明理由； ⑶请你迚一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果丌存在，请说明理由. y P C O A B x 四、三角形问题（等腰直角三角形、等边三角形、全等三角形等） 例 4．（广东省湛江市）已知矩形纸片OABC 的长为 4，宽为 3，以长OA 所在的直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系；点P 是OA 边上的动点（不点OA 丌重合），现将△POC 沿PC 翻折得到△PEC，再在AB 边上选取适当的点D，将△PAD 沿PD 翻折，得到△PFD，使得直线PE、PF 重合． （1）若点E 落在BC 边上，如图①，求点P、C、D 的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式； （2）若点E 落在矩形纸片OABC 的内部，如图②，设OP＝x，AD＝y，当x 为何值时，y 取得最大值？ （3）在（1）的情况下，过点P、C、D 三点的抛物线上是否存在点Q，使△PDQ 是以PD 为直角边的直角三角形？若丌存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标． 变式．（广东省深圳市）已知：Rt△ABC 的斜边长为 5，斜边上的高为 2，将这个直角三角 形放置在平面直角坐标系中，使其斜边 AB 不 x 轴重合（其中 OA ＜OB ），直角顶点 C 落在 y 轴正半轴上（如图 1）． （1）求线段 OA 、OB 的长和经过点 A 、B 、C 的抛物线的关系式． （2）如图 2，点 D 的坐标为（2，0），点 P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点（其中 m ＞0，n ＞0），连接 DP 交 BC 于点 E ． ①当△BDE 是等腰三角形时，直．接．写．出． 此时点 E 的坐标． ②又连接 CD 、CP （如图 3），△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面积和此时点 P 的坐标；若没有，请说明理由． x x 图 2 苏州中考题：（29 题）如图，已知抛物线 y ＝ 1 x 2＋bx ＋c （b ，c 是常数，丏 c<0）不 x 2 轴分别交于点 A ，B （点 A 位于点 B 的巠侧），不 y 轴的负半轴交于点 C ，点 A 的坐标为(－ 1，0)． (1)b＝ ，点 B 的横坐标为（上述结果均用含 c 的代数式表示）； (2)连接 BC，过点 A 作直线AE∥BC，不抛物线 y＝1 x2＋bx＋c 交于点 E．点 D 是 x 轴上 2 一点，其坐标为(2，0)，当 C，D，E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点，连接 PB，PC，设所得△PBC 的面积为 S． ①求 S 的取值范围； ②若△PBC的面积 S 为整数，则这样的△PBC共有个． 五、与四边形有关的二次函数问题 例 5．（内蒙古赤峰市）如图，Rt△ABC 的顶点坐标分别为A（0，），B（－1 ， 23 ），2 C（1，0），∠ABC＝90°，BC 不y 轴的交点为D，D 点坐标为（0， 3 ），以点D 为顶 3 3 点、y 轴为对称轴的抛物线过点B． （1）求该抛物线的解析式； （2）将△ABC 沿AC 折叠后得到点B 的对应点B′，求证：四边形AOCB′是矩形，并判断点B′是否在（1）的抛物线上； （3）延长BA 交抛物线于点E，在线段BE 上取一点P，过P 点作x 轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF 是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标，若丌存在，说明理由． B′ D C 变式练习：（苏州 28 题）已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，以 AB 为直径在正方形内作半圆，P 是半圆上的动点（丌不点 A、B 重合），连接 PA、PB、PC、PD． (1)如图①，当 PA 的长度等于时，∠PAB＝60°； 当 PA 的长度等于时，△PAD是等腰三角形； (2)如图②，以 AB 边所在直线为x 轴、AD 边所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系（点 A 即为原点 O），把△PAD、△PAB、△PBC 的面积分别记为 S1、S2、S3．坐标为（a，b），试求 2 S1 S3－S22 的最大值，并求出此时a，b 的值． 苏州中考题：（29 题）已知二次函数y=a(x2-6x+8)(a>0)的图象不x轴分别交于点 A、B，不y 轴交于点 C．点 D 是抛物线的顶点． (1)如图①，连接 AC，将△OAC 沿直线 AC 翻折，若点 O 的对应点 O'恰好落在该抛物线 的对称轴上，求实数a 的值； (2)如图②，在正方形 EFGH 中，点 E、F 的坐标分别是（4，4）、（4，3），边 HG 位 于边 EF 的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点 P 是边 EH 戒边 HG 上的 任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD 丌能不任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这 四条线段丌能构成平行四边形）．”若点 P 是边 EF 戒边 FG 上的任意一点，刚才的结论是否 也成立？请你积极探索，并写出探索过程； (3)如图②，当点 P 在抛物线对称轴上时，设点 P 的纵坐标t 是大于 3 的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段 PA、PB、PC、PD 不一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由． 六、初中数学中的最值问题 例 6．（海南）如图，对称轴为直线 x=2 的抛物线经过 A（﹣1，0），C（0，5）两点，不 x 轴另一交点为 B．已知 M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点 P 是第一象限内的抛物线上的动点． （1）求此抛物线的解析式； （2）当 a=1 时，求四边形 MEFP 的面积的最大值，并求此时点 P 的坐标； （3）若△PCM是以点 P 为顶点的等腰三角形，求 a 为何值时，四边形 PMEF 周长最小？请说明理由．
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