第四章电磁学基础
静电学部分
4.2解：平衡状态下受力分析
+q受到的力为：
处于平衡状态：
（1）
同理，4q 受到的力为：
（2）
通过（1）和（2）联立，可得：，
4.3解：根据点电荷的电场公式：
点电荷到场点的距离为：
两个正电荷在P点产生的电场强度关于中垂线对称：
所以：
当与点电荷电场分布相似，在很远处，两个正电荷q组成的电荷系的电场分布，与带电量为2q的点电荷的电场分布一样。
4.4解：取一线元，在圆心处
产生场强：
分解，垂直x方向的分量抵消，沿x方向
的分量叠加：
方向：沿x正方向
4.5解：（1
（2）两电荷异号，电场强度为零的点在外侧。
4.7解：线密度为λ，分析半圆部分：
点电荷电场公式：
+
+
在本题中：
电场分布关于x 轴对称：，
进行积分处理，上限为，下限为：
方向沿x轴向右，正方向
分析两个半无限长：
，，，
两个半无限长，关于x轴对称，在y方向的分量为0，在x方向的分量：
在本题中，r为场点O到半无限长线的垂直距离。电场强度的方向沿x轴负方向，向左。那么大O点的电场强度为：
4.8解：E的方向与半球面的轴平行，那么
通过以R为半径圆周边线的任意曲面的
电通量相等。所以
通过S1和S2的电通量等效于通过以R为半
径圆面的电通量，即：
4.9解：均匀带电球面的场强分布：
球面
R 1
、R2的场强分布为：
根据叠加原理，整个空间分为三部分：
根据高斯定理，取高斯面求场强：
图4-94 习题4.8用图
S1
S2
R
O
场强分布：
方向：沿径向向外
4.10解：（1）、这是个球对称的问题
当时，高斯面对包围电荷为Q
当，高斯面内包围电荷为q
方向沿径向
（2）、证明：设电荷体密度为
这是一个电荷非足够对称分布的带电体，不能直接用高斯定理求解。但可以把这一带电体看成半径为R、电荷体密度为ρ的均匀带电球体和半径为R`、电荷体密度为-ρ的均匀带电体球相叠加，相当于在原空腔同时补上电荷体密度为ρ和-ρ的球体。由电场
叠加原理，空腔内任一点P的电场强度为：
在电荷体密度为ρ球体内部某点电场为：
在电荷体密度为-ρ球体内部某点电场为：
所以
4.11解：利用高斯定理，把空间分成三部分
场强分布：
方向：沿径向向外
4.12 解：取闭合圆柱面为高斯面，高斯定理
场强分布：
方向沿径矢方向
4.14 解：无限大带电平面的电场分布为：，场强叠加
（1）电荷面密度均为σ
在一区：
在二区：
在三区：
（2）电荷面密度分别为σ和-σ
在一区：
在二区：
在三区：
方向为垂直于平面方向
4.16解：把总的电场力做功看做是正电荷+q
电场力做功和负电荷-q电场力做功的叠加，
得用公式(4—14)：
（1）把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力做功。设试验电荷电量为q0。
正电荷+q的电场力做功：
负电荷-q的电场力做功：
总的电场力做功：
对单位正电荷做功为：
（2）把单位负电荷从AB的延长线移到无穷远处，电场力对它对做功。设试验电荷电量为-q0。正电荷+q的电场力做功：
负电荷-q的电场力做功：
总的电场力做功：
对单位负电荷做功为：
4.19解：均匀带电球面内外的电势分布为：
结合本题，先写出各个球面的电势分布，再利用电势叠加原理。
对于球面1：对于球面2：
整个空间内，电势分三部分：
对应于红色部分
对应于蓝色部分
那么两个球面上的电势：
两个球面之间的电势差为：
此题也可得用积分来求
4.22解：做一闭合圆柱面为高斯面，求两个无限
长同轴圆筒间的电场强度
4.23解：取无穷远处为电势零点
设导体球带电量为q’
由于点电荷q的存在，我们并不清楚导体
球面上电荷的具体分布，但是球面上任何电荷元
dq到球心的距离都是R。导体球是等势体，只
需求出球心的电势就可以了。电势叠加原理
式中两项分别是导体球面上所有电荷和点电荷q在球心处的电势，积分得
此为点电荷q电场影响下的，导体球的电势，根据题设，导体球电势为0
可得：
4.28解：基本的电容题，写出各个量
，，，
利用有介质时的平行板电容器的电容公式：
每个极板上的电荷量为：
4.30解：充电后把电源断开，平行板电容器两个极板上的带电量不变，为Q0。
两极板距离为d时，，，，
两极板距离为2d时，，，
，或者：
4.33解：在真空中导体球外的电场分布为，
有介质存在时的电场分布为，介电常数，
导体球外整个空间介电常数为ε
电场能量密度
取一均匀半径为r，厚度为dr的球壳，
球壳上E大小相等
球壳厚度为
电场能量为
4.36解：球形电容器的电容公式
电容器的能量
得到球形电容器所储存的能量为
静磁学部分
4.39解：（a）根据毕萨定律：
对于导线2部分，P点在其延长线上，，
所以导线2在P点的磁感应强度为0。
根据例4.19的结论：
对于导线1：，，，方向垂直纸面向外。
（b）对于导线1、3，可视为半无限长载流导线，在P点
的磁感应强度分别为：，方向均垂直纸面向里。
对于导线2，根据例4.20的结果：载流圆弧在圆心处的
磁感应强度为，。导线2在圆心处的磁感
应强度为
，方向均垂直纸面向里。
磁场叠加：，方向垂直纸面向里。
（c）根据毕萨定律：
对于导线1、3部分，P点在其延长线上，，
所以导线1、3在P点的磁感应强度为0。
对于导线2，根据例4.20的结果：载流圆弧在圆心处的
磁感应强度为，。导线2在圆心处的磁
感应强度为，，方向垂直纸面向里。
4.41解：据毕萨定律：
对于导线A、B部分，P点在其延长线上，，
所以导线A、B在P点的磁感应强度为0。
两段圆弧可以看做一个并联电路。设导线1对应弧度θ1，
导线2对应弧度θ2，θ1+θ2=2π。电阻之比为：，
电流之比：。
导线1在圆心处的磁感应强度为：，方向垂直纸面向里。导线2在圆心处的磁感应强度为：，方向垂直纸面向外。
所以在圆心处的全磁感应强度为0。
4.42解：根据无限长载流导线的磁场分布公式
导线1在两导线中点处的磁感应强度为
，方向垂直纸面向外
导线2在两导线中点处的磁感应强度为
，方向垂直纸面向外
合磁感应强度为：，方向垂直纸面向外
在矩形中取一个小的面积元，，在这个小面积上导线1产生的B是相等的。
，求磁通量：
同理可得导线2对这一矩形的磁通量：
因为，并且磁场方向一致，
4.43 解：利用安培环路定理：，本题为一圆柱体。
当时，
当时，
无限长载流圆柱的磁场分布为：
求一段圆柱内环绕中心的磁通量，就是求圆柱内
通过阴影部分的磁通量
根据上一问的结果，在圆柱内：
在小面积元上磁感应强度相同，磁通量为：
4.47解：粒子运动受到的洛仑兹力等于向心力
，可得粒子动量为：
代入数据：
4.48解：这是一个细导线闭合回路，设电流方向为顺时针
圆弧在圆心处：
方向垂直纸面向里
电流元在圆心处受力：
，即：
单位长度导线所受的力：
4.49解：设磁场垂直纸面向里
取直径把导线圆环分成任意两个半圆弧
分析右边圆弧的受力情况
电流元受力：
各个电流元受力的方向不同，需要进行力的分解
对称性质分析，在y方向上合力为0。
沿x轴正方向。
同理可分析左边半圆弧的受力，大小相等，方向相反，导线圆环所受合力为0。
所受张力为导线圆环上各点受力
4.52解：分析过没介质时螺绕环的磁场分布。
现在是有介质的情况，用H的环路定理
本题中，取磁场线为闭合路径，磁场强度为：
代入数据：
磁感应强度为：，代入数据：
求传导电流产生的磁感应强度，利用稳恒磁场的安培环路定理
，可得：
由，磁化电流产生的磁场为：
电磁感应部分
4.54解：ab运动到与Oc相距x时，磁感应强度
切割磁感线，动生电动势为：
方向由b向a。
磁场变化，法拉第感应定律，感生电动势为：
假设与磁场方向满足右手螺旋为正方向，由a向b。
现在结果和假设方向相反，为由b向a。
动生电动势和感生电动势方向相同，叠加：，方向由b向a
4.55解：利用动生电动势的公式
对于ab段，和的夹角是90度，
的方向与由a到b的方向夹角
为90度，可得，所以ab段上的动生电动势为0。
对于bc段，和的夹角是90度，的方向与由b到c的方向夹角为60度，可得
代入数据：，c端的电势高。
4.56解：可以把圆盘分为无限多个长为
R的金属杆，圆盘绕中心轴转动，可看
做无限多个金属杆绕中心轴O转动。
根据例4.26，一长为R的金属杆，在垂
直于均匀磁场B的的平面内以角速度ω
绕其一端均匀转动，杆中的电动势为：
A端的电势高
（1）可以利用动生电动势的公式
（2）可以利用法拉第电磁感应定律求OA金属杆上的电动势
4.58解：
根据例题4.21：无限长载流薄圆筒内外的磁场为
(4-89)磁场能量密度为
在本题中磁场能量密度:
磁场能量为:
(4-88)一个自感为L、载流为I的线圈中所储存的磁能为：
自感系数为：
另外的一封答案
问题
4.1电场强度的物理意义是单位正电荷量所受的力。如果说某点的电场强度等于在该点放一个电量为一库仑
的电荷所受的力，对么？为什么？
答：这是不对的。电场强度是一个只与电场有关，而与电荷无关的量。
4.2如何判断负电荷在外电场中的受力方向？在地球表面上通常有一竖直方向的电场，如果电子在此电场中
受到一个向上的力，那么电场强度的方向是朝上还是朝下？
答：先判断出正电荷的受力方向，然后转即得负电荷的受力方向。如果电子在此电场中受到一个向上的力，那么电场强度的方向是朝下的。
4.3点电荷的电场公式为。从形式上看，当场点与点电荷无限接近时，场强，对么？为
什么？
答：所谓点电荷是物理上的理想模型，实际并不存在。只有离带电物体足够远时才能忽略带电物体的形状、大小，将其视为点电荷。当场点与点电荷无限接近时，任意电荷都不能视为点电荷，上述公式不成
立。所以说当场点与点电荷无限接近时，场强，是不对的。
4.4电场线代表点电荷在电场中的运动轨迹吗？为什么？在两个相同的点电荷的连线中点，电场线是否相
交？
答：电场线是为了形象地描述电场而引进的一系列的曲线，不代表点电荷在电场中的运动轨迹。在两个相同的点电荷的连线中点，其电场强度为零，所以电场线不能相交。
4.5三个相等的点电荷放在等边三角形的三个顶点上，问是否可以以三角形中心为球心作一个球面，利用高
斯定理求出它们所产生的场强？对此球面高斯定理是否成立？
答：由于此三个点电荷产生的电场不具有球对称性，在以三角形中心为球心所作的高斯面上，各点的场强无论其大小还是与球面面元的夹角都不是常数，因此对上述球面，不能利用高斯定理求出它们所产生的场强。但高斯定理适用于一切静电场，故对此球面高斯定理仍然成立。
4.6如果高斯面为空间任意闭合曲面，下列说法是否正确？请举一例加以论述。
（1）如果高斯面上电场强度处处为零，则该面内一定没有电荷；
（2）如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度处处为零；
（3）如果高斯面上电场强度处处不为零，则该面内必有净电荷；
（4）如果高斯面内有净电荷，则高斯面上电场强度处处不为零。
答：（1）如果高斯面上电场强度处处为零，则该面内一定没有电荷。这句话不正确。因为高斯面上电场强度处处为零，能说明面内整个空间的电荷代数和为零。即高斯面一定没有包围净电荷。则面内可以有电荷，只不过电荷的代数和为零。
（2）如果高斯面内无电荷，则高斯面上电场强度处处为零。这句话不正确。高斯面内无电荷，只能说明通过高斯面的电通量为零。即穿出和穿入的电场线的数目一样多。而只要有穿出和穿入的电场线，面上该处的电场强度就不为零。
（3）如果高斯面上电场强度处处不为零，则该面内必有净电荷。这句话不正确。若高斯面外有一点电荷Q，高斯面内无电荷。此时高斯面上电场强度处处不为零，而面内没有静电荷。
（4）如果高斯面内有净电荷，则高斯面上电场强度处处不为零。这句话不正确。若在空间有一电偶极子。以正电荷为中心，以正负电荷的距离的一半为半径做一圆形高斯面。则此高斯面内有净电荷，但正负电荷的连线与高斯面相交的一点电场强度为零。
4.7关于高斯定理以下说法对么？为什么？1）高斯面上各点的电场强度仅由高斯面内的电荷决定；2）通过
高斯面的电通量仅由高斯面内的电荷决定。
答：（1）高斯面上各点的电场强度仅由高斯面内的电荷决定的说法不正确。空间任一点的电场强度应该是由空间所有的电荷在该点产生的电场强度的矢量和。而高斯面是人为选取的，不能改变上述的叠加原理。所以高斯面上各点的电场强度应该是由高斯面内外所有的电荷所决定的。（2）通过高斯面的电通量仅由高斯面内的电荷决定的。这句话是正确的。高斯面外的电荷对电通量的贡献为零，所以通过高斯面的电通量仅由高斯面内的电荷决定。
4.8以点电荷为中心作一球形高斯面，讨论在下列几种情况下，穿过高斯面的电通量是否改变？（1）将
移离高斯面的球心，但仍在高斯面内；（2）在高斯面外附近放置第二个点电荷；（3）在高斯面内放置第二个点电荷。
答：在（1），（2）两种情况下穿过高斯面的电通量不发生改变，均为。在（3）种情况下穿过高斯面的电通量发生改变，应为两个电荷的代数和除。
4.9在真空中有两个相对放置的平行板，相距为d，板面积均为S，分别带电量+q和-q。则两板之间的作用
力大小为（C ）
（A）；（B）；（C）；（D）。
4.10有一个球形的橡皮气球，电荷均匀分布在表面上。在此气球被吹大的过程中，下列说法正确的是（B ）
(A) 始终在气球内部的点的场强变小；
(B) 始终在气球外部的点的场强不变；
(C) 被气球表面掠过的点的场强变大。
4.11带电粒子在均匀外电场中运动时，它的轨迹一般是抛物线，试问在何种情况下其轨迹是直线？
4.12下列说法是否正确？请举一例加以论述。
（1）场强相等的区域，电势也处处相等；
（2）场强为零处，电势一定为零；
（3）电势为零处，场强一定为零；
（4）场强大处，电势一定高。
答：（1）不一定。场强相等的区域为均匀电场区，电场线为平行线，则沿着电场线的方向，是电势降低的方向，而垂直电场线的方向，电势相等。例如无限大均匀带电平板两侧为垂直板的均匀场，但离带电板不同距离的点的电势不相等。
（2）不正确。，，电势U是常数，但不一定是零。例如均匀带电球面内的场强为零，若取无穷远为电势零点，其球内电势不为零。
（3）不一定。，，但U的变化率不一定为零，即场强E不一定是零。例如势函数，在处电势为零，但此处的场强不为零。
（4）不一定。场强大处，电势不一定高。例如负点电荷产生的电场，离电荷越近的点场强的值越大，但电势越低（取无穷远处电势为零）
4.13是否存在这样的静电场：其电场强度方向处处相同，而其大小在与电场强度垂直的方向上逐渐增加？
答：平行板电容器的电场强度方向处处相同，而其大小在与电场强度垂直的方向上逐渐增加。
4.14在技术工作中常把整机机壳作为电势零点。若机壳未接地，能不能说机壳电势为零，人站在地上就可以
任意接触机壳？若机壳接地则如何？
答：若机壳未接地可以说机壳电势为零。但人站在地上不能任意接触机壳。因为机壳与大地之间有电势差。若机壳接地可以把机壳作为电势零点，人站在地上可以任意接触机壳。因为两者之间的电势差为零。
4.15两个不同电势的等势面是否可以相交？为什么？
答：两个不同的等势面不能相交。因为相交点的场强就会有两个方向，这与任一点的场强只有一个方向相矛盾。故两个不同电势的等势面不可以相交。
4.16在空间的匀强电场区域内，下列说法正确的是（ C ）
(A)电势差相等的各等势面距离不等；
(B)电势差相等的各等势面距离不一定相等；
(C)电势差相等的各等势面距离一定相等；
(D)电势差相等的各等势面一定相交。
4.17面电荷密度为σ的无限大均匀带电平面两侧场强为，而处于静电平衡的导体表面（该处表面面电
荷密度为σ）附近场强为，为什么两者相差一倍？
答：设导体表面某处面元电荷面密度为σ，对于导体内外紧靠面元的场点，面元可被看作无
限大均匀带电平面，在它两侧紧靠面元的场点上的电荷产生沿着其法线、大小为的场强和。设除面元上电荷外的导体表面的其他电荷在上述场点产生的场强为和，那它们与面元上电荷的场强迭加结果应是使面元内侧（导体内）场强为零。有
，即有。而导体表面的其他电荷在面元处附近的场强应具有连续性，有。所以紧靠面元的导体外场点的场强为和的迭加。有
，比大了一倍。其原因是导体表面的其他电荷贡献的结果。
4.18若一带电导体表面上某点附近电荷面密度为，这时该点外侧附近场强为。如果将另一带电体移
近，该点场强是否改变？公式是否仍成立？
答：该处场强改变。但场强与该处导体表面的面电荷密度的关系仍具有的形式。只不过将发生变化，因为另一带电体的移近会引起导体表面的电荷分布的变化。
4.19把一个带电体移近一个导体壳，带电体单独在导体空腔内产生的电场是否为零？静电屏蔽效应是怎样体
现的？
答：把一个带电物体移近一个导体壳，带电体单独在导体空腔内产生的电场并不为零。在把带电物体移近导体壳的过程中，导体空腔的外表面将出现感应电荷，感应电荷产生的电场与带电体在导体空腔内产生的电场大小相等、方向相反、相互抵消。不管导体壳外带电体的位置发生何种变化，因导体空腔的外表面感应电荷分布都会跟着变化，其结果是在导体壳空腔内两者的场强迭加始终保持为零。导体壳起到屏蔽外部电荷在腔内的电场作用。同样，导体壳也会起到屏蔽腔内电荷在导体壳外面的电场作用。
4.20把一个带正电的导体A移近另一个接地导体B，导体B是否维持零电势？B上是否带电？导体A的电势
会如何变化？如果A带正电情况又如何？
答：把一个带正电的导体A移近另一个接地导体B，导体B维持零电势。B上带有感应的电荷。导体A 的电势会越来越大。
4.21内外半径分别为R1和R2的同心金属薄球壳。如果外球壳带电量为Q，内球壳接地，则内球壳上带电量
为（ C ）
(A) 0；(B) ；(C) ；(D) 。
4.22电动势与电势差有何区别与联系？
答：电动势表示将单位正电荷经电源内部从负极移到正极过程中非静电力对其做的功，表征的是电源中非静电力做功的本领，是表征电源本身特征的量。
电势差为恒定电场中两点之间的电势之差，表征的是单位正电荷在这两点间移动是恒定电场力对其所做的功，反映的是恒定电场力对其做功的本领。
4.23两块平行的金属板相距为，用一电源充电，两极板间的电势差为。将电源断开，在两板间平行地
插入一块厚度为的金属板，且与极板不接触，忽略边缘效应，两金属板间的电势差改变多少？
插入的金属板的位置对结果有无影响？
答：查入金属板后两金属板间的电势差为没有查入金属板的电势差的倍。查入的金属板的位置对结果没有影响。
4.24一带电为Q的导体球壳中心放一点电荷q，若此球壳电势为，有人说：“根据电势叠加，任一距中心
为r 的P点的电势为”，这说法对吗？如果不对，那么各区域的电势是多少？
答：这种说法不对。取无限远处为电势零点，则球壳外任一点的电势为，球壳内距中心为r 的P点的电势为。
4.25电介质的极化和导体的静电感应微观过程有什么不同？
答：处于外电场中的电介质表面出现束缚电荷的现象，叫电介质的极化。电介质的极化是由于分子的电偶极子在外电场的作用下转向或相对位移而形成的。导体的静电感应微观过程是在外电场与导体的共同作用下导体所带的电荷分布不随时间改变且导体内的电场处处为零。而电介质极化时，内部始终存在两种电场，即外电场与极化束缚电荷产生的电场。电介质内部任一点的电场都是这两种电场迭加而成。
4.26给平行板电容器充电后，在不拆除电源的条件下，给电容器充满介电常数为ε的各向同性均匀电介质，
则极板上的电量变为原来未充电介质时的几倍？电场强度为原来的几倍？若充电后拆除电源，然后充入电介质，情况如何？
答：给平行板电容器充电后，在不拆除电源的条件下，给电容器充满介电常数为ε的各向同性均匀电介质，则充入电介质前后，电容器的两个极板上的电势差保持不变。所以极板上的电量变为原来未充电介质时的倍，电场强度不变。
若充电后拆除电源，然后充入电介质，则极板上的电量不变，电场强度变为原来的倍。
4.27真空中两个静电场单独存在时，它们的电场能量密度相等，现将它们叠加在一起，若使它们的电场强度
相互垂直或方向相反，则合电场的电场能量密度分别为多少？
答：
4.28宇宙射线是高速带电粒子流（基本上是质子），它们交叉来往于星际空间并从各个方向撞击着地球。为
什么宇宙射线穿入地球磁场时，接近两磁极比其它任何地方都容易？
答：因为地球磁场不均匀，除两极外的其他地方磁感应强度沿平行于地面的分量较强，而在两磁极附近磁感应强度近似与地面垂直，当宇宙射线从两极接近地球时，粒子流的速度方向与磁场方向接近平行，所受的洛伦兹力很小，速度方向几乎不变，因此粒子可从两极直射地球表面。
4.29考虑一个闭合的面，它包围磁铁棒的一个磁极。通过该闭合面的磁通量是多少？
答：因为磁感应线总是闭合线，通过该闭合面的磁通量为零。
4.30磁场是不是保守场？为什么？
答：磁场不是保守场。因根据磁场的安培环路定理，磁感应强度沿任一闭合曲线的环流等于闭合曲线所围面积的电流的代数和的倍。所以磁感应强度沿任一闭合曲线的环流一般不为零。所以磁场力为非保守力。磁场为非保守场。
4.31在无电流的空间区域内，如果磁力线是平行直线，那么磁场一定是均匀场。为什么？若存在电流，上述
结论是否还对？
答：在无电流的空间区域内，如果磁力线是平行直线，那么磁场一定是均匀场。作如图所示的矩形环路abcd，因为磁力线是平行直线，磁场沿直线一定具有平移对称性，ab段上各点的磁感应强度应相等，同样cd段上各点的磁感应强度也应相等。由于该区间无电流，由安培环路定理有，
，既有。由于ab和cd的长度是任意选取的，所以垂直平行直线方向各处磁感应强度大小相等，由以上结论可以得出空间各处磁感应强度大小都相等的结论。
若空间存在电流，上述结论不对。
4.32库仑电场公式与毕奥-萨伐尔定律表达式有何类似与不同之处？
答：
4.33电流元在磁场中某处沿直角坐标系的轴方向放置时不受力，把这电流元转到轴正方向时受到的
力沿轴负方向，此处的磁感应强度方向如何？
答：磁感应强度方向沿轴正方向。
4.34试用毕奥-萨伐尔定律说明：一对镜像对称的电流元在其对称面上产生的合磁场方向如何？
答：由毕奥-萨伐尔定律可知，一对镜像对称的电流元在其对称面上产生的合磁场方向是相反的。
4.35截面是任意形状的长直密绕螺线管，管内磁场是否是均匀场？其磁感应强度是否仍可按照计
算？
答：管内磁场是均匀场，其磁感应强度仍按计算。虽然截面是任意形状，但对于长直密绕螺线管，它的电流分布对称性确定管内磁场一定是沿着管长方向且同一磁力线上的磁感应强度相同。类似于截面为圆形的长直螺线管，可作一矩形回路，使其一边在管内且沿管内磁力线，利用安培环路定理可以证得管内是均匀场，且大小为。
4.36无限长螺线管外部磁场处处为零。这个结论成立的近似条件是什么？仅仅说“密绕螺线管”条件够不够？
4.37能否利用磁场对带电粒子的作用力来增大粒子的动能？
答：静磁场不能。因为静磁场对带电粒子的洛仑兹力不做功，一直是和速度垂直，它只改变速度的方向，不改变速度的大小。而变化的磁场可以，变化的磁场产生电场，电场可对带电粒子做功以增大粒子动能。
4.38赤道处的地磁场沿水平面并指向北。假设大气电场指向地面，因而电场和磁场互相垂直。我们必须沿什
么方向发射电子，使它的运动不发生偏斜？
答：欲使电子的运动不偏斜，要求它所受的落仑兹力与电场力大小相等方向相反。由于大气电场指向地面，电子所受的电场力背离地面，因此要求洛仑兹力指向地面，即向东发射电子。
4.39相互垂直的电场和磁场可做成一个带电粒子的速度选择器，它能使选定速度的带电粒子垂直于电场
和磁场射入后无偏转地前进。试叙述其中的基本原理。
答：要想垂直于电场和磁场射入后的带电粒子无偏转地前进，电场力和磁场力必须大小相等方向相反。
所以，这带电粒子的速度一定满足。带电粒子的速度方向一定是在垂直于的平面内，其大小由确定，，为与的夹角。（）
4.40在电子仪器中，为了减弱与电源相连的两条导线的磁场，通常总是把他们扭在一起。为什么？
答：两条导线中流有相反方向的电流，离开电源处的场是它们各自场的迭加。扭在一起之后，它们靠得很近，在稍远处它们所产生的磁场就接近相等，并且方向相反，可以互相抵消，从而使它们的合场减小
到最小，可以避免对其他元件造成的影响。
4.41 一个弯曲的载流导线在匀强磁场中应如何放置才不受磁场力的作用？
答：由安培力的公式，
。可知，要使一个弯曲的载流导线在匀强磁场中不受磁场力只须使
电流的方向与磁场的方向平行即可。
4.42 两种磁介质的磁化与两种电介质的极化有何类似与不同之处？
答：在外磁场的作用下，顺磁质的分子磁矩要转向外磁场方向，产生了磁化。而抗磁质的分子没有固有磁矩，在外场的作用下产生一附加磁矩，产生了磁化。不管是顺磁质还是抗磁质，磁化后都将在磁介质的表面上出现束缚电流。这一点与电介质的极化是类似的。不管是有机分子电介质的取向极化还是无机分子电介质的位移极化都是在电介质的表面出现了束缚电荷。
顺磁质与抗磁质磁化后磁性较弱，且外磁场撤消后磁性会随之消失。虽然两种电介质撤消外电场后极化电荷也将随之消失。但对于两种电介质来说，外电场越强，极化电荷就越多，介质被极化的程度就越高。 4.43 将磁介质样品装入试管中，用弹簧吊起来挂到一竖直螺线管的上端开口处，如图4-88所示。当螺线管
通电流后，则可发现随样品的不同，它可能受到该处不均匀磁场向上或向下的磁力。这是一种区分样品是顺磁质还是抗磁质的精细的实验。试述其基本原理。 答：如果是顺磁质，在外磁场中会产生与外磁场方向一致的磁化场，如果是抗磁质，在外磁场中会产生与外磁场相反方向的磁化场。根据题意，图示样品受
到向上的磁力，可以判断出该样品为抗磁质。
4.44 一导体圆线圈在均匀磁场中运动，在下列各种情况下哪些
会产生感应电
流？为什么？
(1) 线圈沿磁场方向平移； (2) 线圈沿垂直磁场方向平移；
(3) 线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向平行； (4) 线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向垂直。
答：一导体圆线圈在均匀磁场中运动，若圆线圈中有磁通量的 变化，线圈
中就有感应电动势，就有感应电流。
（1） 当线圈沿磁场方向平移时，线圈中的磁通量不变，故线圈中无感应电流。 （2） 当线圈沿垂直磁场方向平移时，线圈中的磁通量不变，故线圈中无感应电流。
（3） 当线圈以自身的直径为轴转动时，轴与磁场方向平行，线圈中的磁通量为零，故无感应电流。 （4） 当线圈以自身的直径为轴转动时，轴与磁场方向垂直，此时线圈平面与磁场之间有一定的夹角，
随着夹角的变化线圈中的磁通量也随之变化。故在线圈中会产生感生交变电流。
4.45 感应电动势的大小由什么因素决定？如图4-89所示，一个矩形线圈在均匀磁场中以匀角速
旋转，试
比较当它转到图示两个位置时感应电动势的大小，并判断感应电动势的方向？
答：感应电动势的大小是由线圈中的磁通量随时间的变化率所决定的。线圈中的磁通量为
，感应电
动
势为，
是线圈平面和
磁场之间的夹角。在左
图4-88 问题4.43用
～
图4-90 问题4.46用图
图4-89 问题4.45用图
图中，，故电动势有最大值；右图中，，故。
左图中感应电动势的方向是沿线圈逆时针方向。
4.46 熔化金属的一种方法是用“高频炉”。它的主要部件是一个铜制线圈，线圈中有一坩埚，埚中放待熔的
金属块。如图4-90所示。当线圈中通以高频交流电时，埚中金属就可以被熔化。这是什么缘故？ 答：当坩埚外缘绕有的线圈中通以高频交流电时，使锅中待熔的金属块处于高频交变磁场中，在金属块内部形成自闭合的很强的感应涡电流，这种涡电流在金属块内部的热效应使金属块自身熔化。 4.47 将尺寸完全相同的铜环和铝环适当放置，使通过两环内的磁通量的变化率相等。这两个环中的感应电流
及感生电场是否相等？为什么？
答：通过尺寸完全相同的铜环和铝环的磁通量的变化率相等，即两环的感应电动势相同。但由于两环的电阻不同，则感应电流不相同。在同样环路中激发的感生电场相同。因为，
同样的环路，同样的磁场变化率，环路中的感生电场相同。
4.48 一块金属在均匀磁场中平移，金属中是否会有涡流？若在均匀磁场中旋转，情况如何？
答：一块金属在均匀磁场中平移，只会使金属两端之间出现一电势差，不会出现涡流。一块金属在均匀磁场中旋转，将使金属表面与转动的
轴线之间出现一电势差，也不会出现涡流。 4.49 如图4-91所示，均匀磁场被限制在半径为
的无限长圆柱内，磁场随时间作线性变化，现有两个闭合曲线（为一
圆周）与（为一扇形）。问：(1) 与上每一点的
是否为零？感生电场是否为零？
与
是否为零？ (2）若与
为均匀导体回路，则回路中有无感应电流？
答：
4.50 动生电动势和感生电动势有何类似与不同之处？
答：当导体回路整体或局部运动，而外磁场不变时，导体中的自由电子受磁场的洛仑兹力作用，
，它可以被看作是一种等效“非静电场”的作用，在导体上产生的电动势称为动生电动势。
当导体回路静止，外磁场变化时，穿过它的磁通量发生变化，回路内产生的电动势称为感生电动势。 一般情况下，导体回路中既有动生电动势也有感生电动势。
不管动生电动势还是感生电动势都会引起回路所围面积的磁通量的变化。动生电动势的根源是切割磁力线，感生电动势的根源是磁场的变化。
4.51 一个线圈自感系数的大小由哪些因素决定？怎样绕制一个自感为零的线圈？
答：一个线圈的自感系数的大小为
，由线圈的匝数，体积以及相对磁导率来决定。将一条导
线折成平行的两条绕在较薄的绝缘板上。这时各段导线上电流产生的磁场相互抵消，自感为零。
4.52 一段直导线在均匀
磁场中作如图4-92所示的四种运动。在哪种情况下导线中有感应电动势？为
× × × × × × × × × × × ×
× × ×× × × × × × × × × × × ×
× × × × × × × × × × × × × × × ×
× × × × × × × × × × × × × × × ×
× × × × 图4-92 问题4.52用图 (a ) (b) (c)
(d)
R 图4-91 问题4.49用图 × ×
× × × × × × ×
× ×
O
什么？感应电动势的方向是怎样的？
答：（a）、（c）中有感应电动势，电动势的方向均由下指向上。（b）（d）中没有感应电动势。由动生电动势的公式可以判断出（a）、（c）中有电动势。同理，可判断出（b）中的方向与的方向垂直，故（b）中无电动势。（d）中与方向在一条直线上，故（d）中无电动势。
4.53什么叫位移电流？什么叫传导电流？试比较两者的不同之处？
答：位移电流是电位移通量的变化率，即。传导电流是电荷运动形成的电流。位移电流实质上是变化的电场，并不是电荷的运动。（在电介质内部，位移电流中确有一部分是束缚电荷的定向运动）。除了在产生磁场方面与传导电流等效外，与传导电流无其他共同之处。
4.54下面的说法中正确的是（Ｃ）
(A) 仅与传导电流有关；
(B) 不论抗磁质或顺磁质，总与同向；
(C) 通过以闭合曲线为边线的任意曲面的通量均相等；
(D) 通过以闭合曲线为边线的任意曲面的通量均相等。
4.55什么是玻印亭矢量？它与电场和磁场有什么关系？
答：电磁波的能流密度矢量叫玻印亭矢量，它和电场与磁场的关系是。
4.56给平行板电容器充电时，玻印亭矢量指向电容器内部，为什么？如果给电容器放电，情况又如何？
答：电磁场的能流密度矢量――玻印亭矢量，的方向代表能量的传播方向，大小等于单位时间内流过与能量传播方向垂直的单位横截面的能量。所以给平行板电容器充电时，玻印亭矢量指向电容器内部，放电时指向电容器外边。
4.57电磁波的能量中电能和磁能各占多少？
答：
4.58麦克斯韦方程组中各方程的物理意义是什么？
答：是电场的高斯定理。说明总的电场和电荷的关系。
是磁场的高斯定理。磁场是无源场，说明目前自然界中没有单一的“磁荷”存在。
是法拉第电磁感应定律。说明总的电场和磁场的关系，包含变化的磁场激发电场的规律。
是一般形式下的安培环路定理。说明磁场和电流以及变化电场的联系，包含变化的电场激发磁场的规律。
4.59真空中静电场的高斯定理和电磁场的高斯定理具有完全相同的形式，试问在理解上两者有何区别？
答：静电场的高斯定理，说明了静电场是有源场，指出了电荷与电场的关系。一般电磁场中包括静电场与感生电场，感生电场是无源场，，所以对于电磁场的高斯定理就和静电场的高斯定理具有相同的形式。
4.60 对于真空中稳恒电流的磁场和一般电磁场都满足
，在理解上有何不同？
答：对于真空中稳恒电流的磁场的高斯定理为
。说明稳恒电流的磁场是无源场。一般电磁
场包括稳恒电流的磁场和变化电场空间中的磁场。变化电场的磁场也是无源场。所以一般电磁场也满足
。
习 题
4.1 两个相距
的静止点电荷，带电量均为1库仑，求它们之间相互作用力的大小。
解：由库伦定律可得，两电荷之间相互作用力的大小为
4.2 两个固定的点电荷，相距为，带电量分别为和
。试问在何处放一个何种电荷可以使这三个电荷达
到平衡？
解：三个电荷平衡时，每个电荷都受到两个大小相等方向相反的力。由已知条件得，应该在两固定点电荷连线之间放一个带负电的电荷，设其电量为-q ′，与q 的距离为r （0 - q ′受力平衡，由库伦定律有 结合 可得 。 q 受力平衡，由库伦定律有 可得 。 故要使这三个电荷达到平衡应该在两固定电荷连线之间距带电量为q 的电荷处放一带电量为 的 电荷。 4.3 两个相距为 的点电荷带电量均为，试求在它们连线的中垂面上离连线的中点距离为处的电场强度。如果 ，结果如何？ 解：P 点到两个带电量均为q 的点电荷的距离都是， 所以两个点电荷在 P 点产生的场强大小相等，即 但方向不同。场点P 的场强 ，其两个分量 和分别等于和 在x ，y 方向投影的代数和，根据对称性可以看出： 。故P 点场强大小为 方向沿y 轴正方向。 如果，可忽略的高次项，有 4.4 半径为 的半圆环均匀带电，线电荷密度 为，求 其环心处的电场强度？ 解：建立如图所示的坐标系，在半圆环上取一小段圆弧，其长度 为Rd θ，则其带电量为 此段圆弧在环心O 点产生的电场强度为 l l x y r E 1 E 2 θ θ θ P x dq y dE y dE x dE O θ 由半圆环的对称性可知O 点的电场强度 沿y 轴负方向，所以有 故环心处的电场强度大小 4.5 两个点电荷相距为 ，带电量分别为 和 。求在下列两种情况下两点电荷连线上电场强度为零的一 点的位置：1)两电荷同号；2）两电荷异号。 解：（1）两电荷同号时，在其连线外侧电场强度方向相同，内侧电场强度方向相反。故电场强度为零的点在两电荷连线内侧，设该点与距离为，由场强叠加原理有 可得 （2）两电荷异号时，在其连线内侧电场强度方向相同，外侧电场强度方向相反。故电场强度为零的点在两电荷连线外侧，如果该点在外侧，设与距离为，由场强叠加原理有 可得 如果该点在外侧，同上可得电场强度为零的点与的距离 讨论：若，则 和 的分母均为零，不存在电场强度为零的点； 若 ，则， ，故电场强度为零的点在 外侧 处； 若，则，，故电场强度为零的点在外侧处。 4.6 电荷 均匀地分布在长为的一段直线上。试求在直线的延长线上距线的中点 处的电场强度。 解：建立如图所示的坐标系。在带电直线 上取电荷元 ，它在O 点产生的电场 强度大小为 因为任一电荷元在O 点产生的电场强度的方向相同，所以整个带电直线在O 点产生的电强度大小为 故 4.7 一无穷长均匀带电线弯成如图4-93所示的形状。求圆心处的电场强度。 为 （R 为半 解：参考习题4.4可得，半圆环在圆心O 处的电场强度大小 圆环的半径），方向水平向右。下面我们来计算剩下部分在O 点产生的场强，建立 如图所示的坐标系，在带电直线上取电荷元，它在O 点产生的 电场轻度大小为 ?O 图4-93 习题4.7用图 O O ′ x dx R θ dE dE x O d r -l 第12章 量子物理学 12-1 氦氖激光器发射波长632.8nm 的激光。若激光器的功率为1.0mW ，试求每秒钟所发射的光子数。 解 一个光子的能量λ νhc h E ==，激光器功率P 数值上等于每秒钟发射光子的总能量， 故每秒钟所发射的光子数 1/s 1018.315?=== hc P E P N λ 12-2 某种材料的逸出功为3.00eV ，试计算能使这种材料发射光电子的入射光的最大波长。 解 光子的能量λ hc E =，要使这种材料发射光电子，入射光子的能量不能小于逸出功W ， 即有 W hc E == min λ 解得入射光的最大波长为 nm 4141014.470=?== -W hc λ 12-3 从铝中移去一个电子需要能量4.20eV 。用波长为200nm 的光投射到铝表面上，求： （1）由此发射出来的最快光电子和最慢光电子的动能； （2）遏止电势差； （3）铝的红限波长。 解 （1）根据爱因斯坦光电效应方程 W E h km +=ν 最快光电子的动能 W hc W h m E -=-== λ ν2m max k 21v eV 2.02J 1023.319=?=- 最慢光电子逸出铝表面后不再有多余的动能，故0min k =E （2）因最快光电子反抗遏止电场力所做的功应等于光电子最大初动能，即max k E eU a =， 故遏止电势差 V 02.2max k == e E U a （3）波长为红限波长λ0的光子，具有恰好能激发光电子的能量，由λ0与逸出功的关系W hc =0 λ 得铝的红限波长 nm 296m 1096.270=?== -W hc λ 12-4 在一个光电效应实验中测得，能够使钾发射电子的红限波长为562.0nm 。 （1）求钾的逸出功； （2）若用波长为250.0nm 的紫外光照射钾金属表面，求发射出的电子的最大初动能。 解 （1）波长为红限波长λ0的光子具有恰能激发光电子的能量，即光子能量等于逸出功 由W hc =0λ，得钾的逸出功 eV 2.21J 1054.3190 =?==-λhc W 第九章 简谐振动 填空题（每空3分） 质点作简谐振动，当位移等于振幅一半时，动能与势能的比值为 ，位移等于 时，动能与势能相等。（3:1,2A ） 9-2两个谐振动方程为()120.03cos (),0.04cos 2()x t m x t m ωωπ==+则它们的合振幅为 。（0.05m ） 9-3两个同方向同频率的简谐振动的表达式分别为X 1=×10-2cos(T π2t+4 π ) (SI) , X 2=×10-2cos(T π2t -43π) (SI) ,则其合振动的表达式为______(SI).( X=×10-2cos(T π2t+4 π ) (SI)) 9-4一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由平衡位置运动到2 A 处所需要的最短时间为_________。（ 12 T ） 9-5 有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )4 cos(1π ω+ =t A x m 、 )4 3 cos(32πω+=t A x m ，则合振动的振幅为 。(2 A) 9-6 已知一质点作周期为T 、振幅为A 的简谐振动，质点由正向最大位移处运动到2 A 处所需要的最短时间为_________。 ( 6 T ) 9-7有两个同方向同频率的简谐振动，其表达式分别为 )75.010cos(03.01π+=t x m 、)25.010cos(04.02π-=t x m ，则合振动的振幅为 。 （0.01m ） 质量0.10m kg =的物体，以振幅21.010m -?作简谐振动，其最大加速度为2 4.0m s -?，通过平衡 位置时的动能为 ；振动周期是 。(-3 2.010,10s J π?) 9-9一物体作简谐振动，当它处于正向位移一半处，且向平衡位置运动，则在该位置时的相位为 ；在该位置，势能和动能的比值为 。（3π） 9-10质量为0.1kg 的物体，以振幅21.010m -?作谐振动，其最大加速度为14.0m s -?，则通过最大位移处的势能为 。（3210J -?） 9-11一质点做谐振动，其振动方程为6cos(4)x t ππ=+（SI ），则其周期为 。 第四章电磁学基础 静电学部分 4.2解：平衡状态下受力分析 +q受到的力为： 处于平衡状态： （1） 同理，4q 受到的力为： （2） 通过（1）和（2）联立，可得：， 4.3解：根据点电荷的电场公式： 点电荷到场点的距离为： 两个正电荷在P点产生的电场强度关于中垂线对称： 所以： 当与点电荷电场分布相似，在很远处，两个正电荷q组成的电荷系的电场分布，与带电量为2q的点电荷的电场分布一样。 4.4解：取一线元，在圆心处 产生场强： 分解，垂直x方向的分量抵消，沿x方向 的分量叠加： 方向：沿x正方向 4.5解：（1 （2）两电荷异号，电场强度为零的点在外侧。 4.7解：线密度为λ，分析半圆部分： 点电荷电场公式： + + 在本题中： 电场分布关于x 轴对称：， 进行积分处理，上限为，下限为： 方向沿x轴向右，正方向 分析两个半无限长： ，，， 两个半无限长，关于x轴对称，在y方向的分量为0，在x方向的分量： 在本题中，r为场点O到半无限长线的垂直距离。电场强度的方向沿x轴负方向，向左。那么大O点的电场强度为： 4.8解：E的方向与半球面的轴平行，那么 通过以R为半径圆周边线的任意曲面的 电通量相等。所以 通过S1和S2的电通量等效于通过以R为半 径圆面的电通量，即： 4.9解：均匀带电球面的场强分布： 球面 R 1 、R2的场强分布为： 根据叠加原理，整个空间分为三部分： 根据高斯定理，取高斯面求场强： 图4-94 习题4.8用图 S1 S2 R O 场强分布： 方向：沿径向向外 4.10解：（1）、这是个球对称的问题 当时，高斯面对包围电荷为Q 当，高斯面内包围电荷为q 方向沿径向 （2）、证明：设电荷体密度为 这是一个电荷非足够对称分布的带电体，不能直接用高斯定理求解。但可以把这一带电体看成半径为R、电荷体密度为ρ的均匀带电球体和半径为R`、电荷体密度为-ρ的均匀带电体球相叠加，相当于在原空腔同时补上电荷体密度为ρ和-ρ的球体。由电场 叠加原理，空腔内任一点P的电场强度为： 在电荷体密度为ρ球体内部某点电场为： 在电荷体密度为-ρ球体内部某点电场为： 所以 4.11解：利用高斯定理，把空间分成三部分 第一章习题 1．1 一人自愿点出发，25s 内向东走了30m ，又10s 内向南走了10m ，再15s 内向正西北 走了18m 。求： ⑴ 位移和平均速度 ⑵ 路程和平均速率 解： 由图所示，人的移动曲线是从O 点出发，到A 点，再到B 点，C 点。 ⑴ 位移：OC 30OA m = ，10AB m = ，18BC m = 由于是正西北方向，所以45ABD ADB ∠=∠=? BD = (( )(( )2222 2 2cos 4518301021830102 OC CD OD OD CD =+-? =-+--?-?-? 1324305.92=-≈ 17.5OC m ≈ 平均速度的大小为：()17.50.35m 50 r v t ?===? ⑵ 路程应为： 58m s OA AB BC =++= 平均速率为1.16m s 1．2 有一质点沿着x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为2 3 4.52x t t =-，试求： ⑴ 第2秒内的平均速度 ⑵ 第2秒末的瞬时速度 ⑶ 第2秒内的路程。 解：⑴ 当1t s =时，1 2.5x m = 当2t s =时，218162x m =-= 平均速度为 ()212 2.50.5m s v x x =-=-=- ⑵ 第2秒末的瞬时速度为 ()22966m t dx v t t dt == =-=- ⑶ 第2秒内的路程：（在此问题中必须注意有往回走的现象） 当 1.5t s =时，速度0v =，2 3.375x m = 当1t s =时，1 2.5x m = 当2t s =时，32x m = 所以路程为：3.375 2.5 3.3752 2.25m -+-= 1．3 质点作直线运动，其运动方程为2 126x t t =-，采用国际单位制，求： ⑴ 4t s =时，质点的位置，速度和加速度 ⑵ 质点通过原点时的速度 ⑶ 质点速度为零时的位置 ⑷ 作位移，速度以及加速度随着时间变化的曲线图。 解：⑴ 由运动方程2 126x t t =-，可得速度，加速度的表达式分别为 1212dx v t dt = =- 12dv a dt ==- 所以当4t s =时，质点的位置，速度和加速度分别为 48m x =-；36m s v =-；2 12m a =- ⑵ 质点经过原点的时刻12s t =，20s t =此时的速度分别为 ()112m v =- ()212m s v = ⑶ 质点速度为零对应的1s t =，位置为6m x = 1．4 质点沿直线运动，速度()32 22m v t t =++，如果当2s t =时，4m x =，求3s t =时质点的位置，速度和加速度。 解： 速度()3 2 22m v t t =++，位置，加速度的表达式分别为 ()43 3 2 222243 t t x t t dx t C =++=+ ++? 当2s t =时，4m x =，即164443x C =+ ++=，可得28 3 C =- 43228 2433 t t x t =+ +-，234a t t =+ 大学物理第2章质点动力学习题解答 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第2章 质点动力学习题解答 2-17 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/22+== , j i a m F ?12?24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。 F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/?===arctg F arctgF x y α 2-18 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为： j t b i t a r ?sin ?cos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a 2222)?sin ?cos (/ωωωω-=+-== r m a m F 2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。 2-19在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。 解：以地为参考系，隔离m 1,m 2，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ， f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律： ②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ ①+②可求得：g m m g m F a μμ-+-= 2 112 将a 代入①中，可求得：2 111) 2(m m g m F m T +-= μ f 1 N 1 m 1T a F N 2 m 2 T a N 1 f 1 f 2 大学物理简明教程（上册）习题选解 第1章 质点运动学 1-1 一质点在平面上运动，其坐标由下式给出)m 0.40.3(2 t t x -=，m )0.6(3 2 t t y +-=。求：（1）在s 0.3=t 时质点的位置矢量； （2）从0=t 到s 0.3=t 时质点的位移；（3）前3s 内质点的平均速度；（4）在s 0.3=t 时质点的瞬时速度； （5）前3s 内质点的平均加速度；（6）在s 0.3=t 时质点的瞬时加速度。 解：（1）m )0.6()0.40.3(322j i r t t t t +-+-= 将s 0.3=t 代入，即可得到 )m (273j i r +-= （2）03r r r -=?，代入数据即可。 （3）注意：0 30 3--=r r v =)m/s 99(j i +- （4）dt d r =v =)m/s 921(j i +-。 （5）注意：0 30 3--=v v a =2)m/s 38(j i +- （6）dt d v a ==2)m/s 68(j -i -，代入数据而得。 1-2 某物体的速度为)25125(0j i +=v m/s ，3.0s 以后它的速度为)5100(j 7-i =v m/s 。 在这段时间内它的平均加速度是多少？ 解：0 30 3--= v v a =2)m/s 3.3333.8(j i +- 1-3 质点的运动方程为) 4(2k j i r t t ++=m 。（1）写出其速度作为时间的函数；（2）加速度作为时间的函数； （3）质点的轨道参数方程。 解：（1）dt d r =v =)m/s 8(k j +t （2）dt d v a = =2m/s 8j ； （3）1=x ；2 4z y =。 1-4 质点的运动方程为t x 2=，22t y -=（所有物理量均采用国际单位制）。求：（1）质点的运动轨迹；（2）从0=t 到2=t s 时间间隔内质点的位移r ?及位矢的径向增量。 解：（1）由t x 2=，得2 x t = ，代入22t y -=，得质点的运动轨道方程为 225.00.2x y -=； （2）位移 02r r r -=?=)m (4j i - 位矢的径向增量 02r r r -=?=2.47m 。 （3）删除。 1-6 一质点做平面运动，已知其运动学方程为t πcos 3=x ，t πsin =y 。试求： （1）运动方程的矢量表示式；（2）运动轨道方程；（3）质点的速度与加速度。 解：（1）j i r t t πsin πcos 3+=； （2）19 2 =+y x （3）j i t t πcos πsin 3π+-=v ； )πsin πcos 3(π2j i t t a +-= *1-6 质点A 以恒 定的速率m/s 0.3=v 沿 直线m 0.30=y 朝x +方 向运动。在质点A 通过y 轴的瞬间，质点B 以恒 定的加速度从坐标原点 出发，已知加速度2m/s 400.a =，其初速度为零。试求：欲使这两个质点相遇，a 与y 轴的夹角θ应为多大？ 解：提示：两质点相遇时有，B A x x =，B A y y =。因此只要求出质点A 、B 的运动学方程即可。或根据 222)2 1 (at y =+2(vt)可解得： 60=θ。 1-77 质点做半径为R 的圆周运动，运动方程为 2021 bt t s -=v ，其中，s 为弧长，0v 为初速度，b 为正 的常数。求：（1）任意时刻质点的法向加速度、切向加速度和总加速度；（2）当t 为何值时，质点的总加速度在数值上等于b ？这时质点已沿圆周运行了多少圈？ 题1-6图 大学物理简明教程习题答案解析 习题一 1-1 ｜r ?｜与r ? 有无不同t d d r 和t d d r 有无不同 t d d v 和t d d v 有无不同其不同在哪里试举例 说明． 解：（1）r ?是位移的模，?r 是位矢的模的增量，即 r ?12r r -=，12r r r ??-=?； （2）t d d r 是速度的模，即t d d r ==v t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则 t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中t r d d 就是速度径向上的分量， ∴t r t d d d d 与 r 不同如题1-1图所示. 题1-1图 (3)t d d v 表示加速度的模，即 t v a d d ? ?= ，t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ??(v =v 表轨道节线方向单位矢），所以 t v t v t v d d d d d d ττ???+= 式中dt dv 就是加速度的切向分量. (t t r d ?d d ?d τ??Θ与 的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出 r ＝22y x +，然后根据v =t r d d ，及a ＝22d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的 分量，再合成求得结果，即 v =2 2 d d d d ??? ??+??? ??t y t x 及a = 2 22222d d d d ? ??? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确为什么两者差别何在 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r ? ??+=， 第二章 牛顿运动定律 一、选择题 1.下列说法中哪一个是正确的？（ ） （A ）合力一定大于分力 （B ）物体速率不变，所受合外力为零 （C ）速率很大的物体，运动状态不易改变 （D ）质量越大的物体，运动状态越不易改变 2.用细绳系一小球，使之在竖直平面内作圆周运动，当小球运动到最高点时（ ） （A ）将受到重力，绳的拉力和向心力的作用 （B ）将受到重力，绳的拉力和离心力的作用 （C ）绳子的拉力可能为零 （D ）小球可能处于受力平衡状态 3.水平的公路转弯处的轨道半径为R ，汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ，要使汽车不致于发生侧向打滑，汽车在该处的行驶速率（ ） （A ）不得小于gR μ （B ）不得大于gR μ （C ）必须等于 gR μ2 （D ）必须大于 gR μ3 4.一个沿x 轴正方向运动的质点，速率为51 s m -?，在0=x 到m 10=x 间受到一个如图所示的y 方向的力的作用，设物体的质量为1. 0kg ，则它到达m 10=x 处的速率为（ ） （A ）551s m -? （B ）1751 s m -? （C ）251s m -? （D ）751 s m -? 5.质量为m 的物体放在升降机底板上，物体与底板的摩擦因数为μ，当升降机以加速度a 上升时，欲拉动m 的水平力至少为多大（ ） （A ）mg （B ）mg μ（C ）)(a g m +μ （D ）)(a g m -μ 6 物体质量为m ，水平面的滑动摩擦因数为μ，今在力F 作用下物体向右方运动，如下图所示，欲使物体具有最大的加速度值，则力F 与水平方向的夹角θ应满足（ ） （A ）1cos =θ （B ）1sin =θ 第四章 电磁学基础 静电学部分 4.2 解：平衡状态下受力分析 +q 受到的力为： 20''41 r q q F qq πε= ()()2 4441l q q F q q πε= 处于平衡状态：()04'=+q q qq F F ()0441'41 2 020=+l q q r q q πεπε （1） 同理，4q 受到的力为：()()()20'44'41 r l q q F q q -= πε ()()204441 l q q F q q πε= ()()04'4=+q q q q F F ()()()04414'41 2020=+-l q q r l q q πεπε （2） 通过（1）和（2）联立，可得： 3 l r =，q q 94'-= 4.3 解：根据点电荷的电场公式： r e r q E 2041 πε= 点电荷到场点的距离为：22l r + 2 2041 l r q E += +πε 两个正电荷在P 点产生的电场强度关于中垂线对称： θcos 2//+=E E 0=⊥E 2 2 cos l r r += θ 所以： ( ) 2 32 202 2 2 2021 412 cos 2l r qr l r r l r q E E += ++==+π επεθ q l q + 当l r >> 2 02024121 r q r q E πεπε== 与点电荷电场分布相似，在很远处，两 个正电荷q 组成的电荷系的电场分布，与带电量为2q 的点电荷的电场分布一样。 4.4 解：取一线元θλRd dq =，在圆心处 产生场强：2 0204141 R Rd R dq dE θλπεπε== 分解，垂直x 方向的分量抵消，沿x 方向 的分量叠加： R R Rd dE x 00 202sin 41πελ θθλπεπ ==? ? 方向：沿x 正方向 4.5 解：（1）两电荷同号，电场强度为零的点在内侧； （2）两电荷异号，电场强度为零的点在外侧。 4.7 解：线密度为λ，分析半圆部分： θλλrd dl dq == 点电荷电场公式： r e r q E 2 041 πε= 在本题中： 2 41r rd E θ λπε= 电场分布关于x 轴对称：θθ λπεθsin 41sin 2 r rd E E x ==，0=y E 进行积分处理，上限为2π ，下限为2π-： r d r r rd E E 0000 2 2sin 4sin 41sin πελ θθπελθθ λπεθππ == ==?? ? 方向沿x 轴向右，正方向 分析两个半无限长： )cos (cos 4d sin 4210021 θθπελ θθπελθθ-===? ?x x dE E x x )sin (sin 4d cos 412002 1 θθπελθθπελθθ-===? ?x x dE E y y x 习 题 二 2-1 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。 [解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv (1) 由牛顿第二定律 t v m ma f d d == 即 t v m kv d d ==- 所以 t m k v v d d - = 对等式两边积分 ??- =t v v t m k v v 0d d 0 得 t m k v v - =0 ln 因此 t m k e v v - =0 (2) 由牛顿第二定律 x v mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即 x v mv kv d d =- 所以 v x m k d d =- 对上式两边积分 ??= -0 d d v s v x m k 得到 0v s m k -=- 即 k mv s 0= 2-2 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为 ??? ? ? ?--= -m kt e k F mg v 1 [证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 t v m ma f F mg d d ==-- 即 t v m ma kv F mg d d ==-- 整理得 m t kv F mg v d d = -- 对上式两边积分 ??= --t v m t kv F mg v 00 d d 得 m kt F mg kv F mg - =---ln 即 ??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。 [解] 设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。 此时 2 T kv mg = 即 k mg v = T 有牛顿第二定律 t v m kv mg d d 2=- 整理得 m t kv mg v d d 2 = - 对上式两边积分 m g k m t kv mg v t v 21 d d 0 2 ??= - 得 m t v k mg v k mg =+ -ln 整理得 T 22221 11 1v e e k mg e e v kg m t kg m t kg m t kg m t +-= +-= 第1章质点的运动与牛顿定律 一、选择题 易１、对于匀速圆周运动下面说法不正确的是（） （A）速率不变；（B）速度不变；（C）角速度不变；（D）周期不变。易：２、对一质点施以恒力，则；（） （A）质点沿着力的方向运动；（ B）质点的速率变得越来越大； （C）质点一定做匀变速直线运动；（D）质点速度变化的方向与力的方向相同。易：３、对于一个运动的质点，下面哪种情形是不可能的（） (A)具有恒定速率，但有变化的速度；(B)加速度为零，而速度不为零；(C)加速度不为零，而速度为零。(D) 加速度恒定(不为零)而速度不变。中：４、试指出当曲率半径≠0时，下列说法中哪一种是正确的（） (A) 在圆周运动中，加速度的方向一定指向圆心； (B) 匀速率圆周运动的速度和加速度都恒定不变； (C)物体作曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法线分速度 恒等于零，因此法问加速度也一定等于零； (D) 物体作曲线运动时，一定有加速度，加速度的法向分量一定不等于零。 难：５、质点沿x方向运动，其加速度随位置的变化关系为:．如在x = 0处，速度，那么x=3m处的速度大小为 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 易：６、一作直线运动的物体的运动规律是，从时刻到间的平 均速度是 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 中7、一质量为m 的物体沿X 轴运动，其运动方程为t x x ωsin 0=，式中0x 、ω均 为正的常量，t 为时间变量，则该物体所受到的合力为：（ ） （A ）、x f 2ω=； （B ）、mx f 2ω=； （C ）、mx f ω-=； （D ）、mx f 2ω-=。 中：８、质点由静止开始以匀角加速度 沿半径为R 的圆周运动．如果在某一时 刻此质点的总加速度与切向加速度成角，则此时刻质点已转过的角度为 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 难９、一质量为本10kg 的物体在力f=（120t+40）i （SI ）作用下沿一直线运动， 在t=0时，其速度v 0=6i 1-?s m ，则t=3s 时，它的速度为： （A ）10i 1-?s m ； （B ）66i 1-?s m ； （C ）72i 1-?s m ； （D ）4i 1-?s m 。 难：1０、一个在XY 平面内运动的质点的速度为 ，已知t = 0时，它通过(3，-7) 位置处，这质点任意时刻的位矢为 (A) ； (B) ； 17级临床医学《大学物理》复习题 班级：____________ 姓名：_________ 学号：___________________ 习题1 1.1选择题 (1) 一运动质点在某瞬时位于矢径),(y x r 的端点处，其速度大小为 （ ） (A)dt dr (B)dt r d (C)dt r d || (D)22)()(dt dy dt dx + 答案：(D)。 (2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度s m v /2=，瞬时加速度2 /2s m a -=，则 一秒钟后质点的速度 （ ） (A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。 答案：(D)。 (3) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为 （ ） (A) t R t R ππ2,2 (B)t R π2,0 (C)0,0 (D)0,2t R π 答案：(B)。 1.2填空题 (1) 一质点，以1 -?s m π的匀速率作半径为5m 的圆周运动，则该质点在5s 内，位移的大小是 ；经过的路程是 。 答案： 10m ； 5πm 。 (2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的速度v 0为5m·s -1，则当t 为3s 时，质点的速度v= 。 答案： 23m·s -1 . (3) 一质点从静止出发沿半径R=1 m 的圆周运动，其角加速度随时间t 的变化规律是α=12t 2-6t (SI)，则质点的角速度ω =__________________；切向加速度τa =_________________． 答案：4t 3 -3t 2 (rad/s)， 12t 2 -6t (m/s 2 ) 1.5 一质点沿x 轴作直线运动，t 时刻的坐标为x = 4.5 t 2 – 2 t 3 (SI) ．试求： (1) 第2秒内的平均速度；(2)第2秒末的瞬时速度； (3) 第2秒内的路程． 大学物理第二章习题及 答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第二章 牛顿运动定律 一、选择题 1.下列说法中哪一个是正确的（ ） （A ）合力一定大于分力 （B ）物体速率不变，所受合外力为零 （C ）速率很大的物体，运动状态不易改变 （D ）质量越大的物体，运动状态越不易改变 2.用细绳系一小球，使之在竖直平面内作圆周运动，当小球运动到最高点时（ ） （A ）将受到重力，绳的拉力和向心力的作用 （B ）将受到重力，绳的拉力和离心力的作用 （C ）绳子的拉力可能为零 （D ）小球可能处于受力平衡状态 3.水平的公路转弯处的轨道半径为R ，汽车轮胎与路面间的摩擦因数为μ，要使汽车不致于发生侧向打滑，汽车在该处的行驶速率（ ） （A ）不得小于gR μ （B ）不得大于gR μ （C ）必须等于 gR μ2 （D ）必须大于 gR μ3 4.一个沿x 轴正方向运动的质点，速率为51 s m -?，在0=x 到m 10=x 间受到一个如图所示的y 方向的力的作用，设物体的质量为1. 0kg ，则它到达m 10=x 处的速率为（ ） （A ）551s m -? （B ）1751 s m -? （C ）251s m -? （D ）751 s m -? 5.质量为m 的物体放在升降机底板上，物体与底板的摩擦因数为μ，当升降机以加速度a 上升时，欲拉动m 的水平力至少为多大（ ） （A ）mg （B ）mg μ（C ）)(a g m +μ （D ）)(a g m -μ 6 物体质量为m ，水平面的滑动摩擦因数为μ，今在力F 作用下物体向右方运动，如下图所示，欲使物体具有最大的加速度值，则力F 与水平方向的夹角θ应满足（ ） （A ）1cos =θ （B ）1sin =θ （C ）μθ=tg （D ）μθ=ctg 二、简答题 1.什么是惯性系什么是非惯性系 2.写出任一力学量Q 的量纲式，并分别表示出速度、加速度、力和动量的量纲式。 三、计算题 2.1质量为10kg 的物体，放在水平桌面上，原为静止。先以力F 推该物体，该力的大小为20N ，方向与水平成?37角，如图所示，已知物体与桌面之前的滑动摩擦因数为 0.1，求物体的加速度。 2.2质量M=2kg 的物体，放在斜面上，斜面与物体之间的滑动摩擦因数 2.0=μ，斜面仰角?=30α，如图所示，今以大小为19.6N 的水平力F 作用于m ， 求物体的加速度。 题2.2 大学物理简明教程习题解答 习题一 1-1 ｜r ?｜与r ?有无不同?t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t d d v 有无不同?其不同在哪里?试 举例说明． 解：（1）r ?是位移的模，?r 是位矢的模的增量，即 r ?12r r -=，12r r r -=?； （2）t d d r 是速度的模，即t d d r ==v t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则 t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中t r d d 就是速度径向上的分量， ∴t r t d d d d 与 r 不同如题1-1图所示. 题1-1图 (3)t d d v 表示加速度的模，即 t v a d d = ，t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢），所以 t v t v t v d d d d d d ττ += 式中dt dv 就是加速度的切向分量. (t t r d ?d d ?d τ 与 的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求 出r ＝22y x +，然后根据v =t r d d ，及a ＝22d d t r 而求得结果；又有人先计算速度和加速度 的分量，再合成求得结果，即 v =2 2 d d d d ??? ??+??? ??t y t x 及a = 2 22222d d d d ? ??? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有j y i x r +=， 精品 振动波动 一、例题 （一）振动 1.证明单摆是简谐振动，给出振动周期及圆频率。 2. 一质点沿x 轴作简谐运动，振幅为12cm ，周期为2s 。当t = 0时, 位移为6cm ，且向x 轴正方向运动。 求: (1) 振动表达式； (2) t = 0.5s 时，质点的位置、速度和加速度； (3)如果在某时刻质点位于x =-0.6cm ，且向x 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 3. 已知两同方向，同频率的简谐振动的方程分别为： x 1= 0.05cos (10 t + 0.75π) 20.06cos(100.25)(SI)x t π=+ 求：(1)合振动的初相及振幅. (2)若有另一同方向、同频率的简谐振动x 3 = 0.07cos (10 t +? 3 ), 则当? 3为多少时 x 1 + x 3 的振幅最大?又? 3为多少时 x 2 + x 3的振幅最小? （二）波动 1. 平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s 。在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动， 求：(1)波动方程 (2)x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度。 2. 一平面简谐波以速度m/s 8.0=u 沿x 轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。求：（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式； （3）同一时刻相距m 1的两点之间的位相差。 3. 两相干波源S 1和S 2的振动方程分别是1cos y A t ω=和2cos(/2)y A t ωπ=+。 S 1距P 点3个波长，S 2距P 点21/4个波长。求：两波在P 点引起的合振动振幅。 习题7 7-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点.试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)？(2)这种平衡与三角形的边长有无关系？ 解: 如题7-1图示 (1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷 解得 q q 3 3-=' (2)与三角形边长无关． 题7-1图 题7-2图 题7-2图 7-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ，如题7--2图所示.设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量. 解: 如题7-2图示 解得 θπεθtan 4sin 20mg l q = 7-3 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为＋q 和－q .则这 两板之间有相互作用力f ，有人说2 204q f d πε=，又有人说，因为f ＝qE ，0q E S ε=，所以2 0q f S ε= 试问这两种说法对吗？为什么？f 到底应等于多少？ 解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强S q E 0ε= 看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为S q E 02ε=，另一板受它的作用力S q S q q f 02 022εε= =，这是两板间相互作用的电场力． 7-4 长l ＝15.0 cm 的直导线AB 上均匀地分布着线密度9 5.010C m λ-=?的正电荷.试求：(1) 在导线的延长线上与导线B 端相距1 5.0a cm =处P 点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线 中点相距2 5.0d cm =处Q 点的场强. 解： 如题7-4图所示 题7-4图 (1)在带电直线上取线元x d ，其上电量q d 在P 点产生场强为 用15=l cm ，9100.5-?=λ1m C -?, 5.12=a cm 代入得 21074.6?=P E 1C N -? 方向水平向右 (2)同理 22 20d d π41d += x x E Q λε 方向如题7-4图所示 质点动力学习题答案 2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向 与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v 方向为X 轴，平行 斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1. 图2-1 X 方向： 0=x F t v x 0= ① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v 2sin 2 1 t g y α= 由①、②式消去t ，得 22 sin 21 x g v y ?= α 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为 常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律： 合力：f P F += a m f P =+ y 分量：dt dV m KV mg =-- dt KV mg mdV -=+? 即 dt m KV mg dV 1 -=+ ??-=+t v v dt m KV mg dV 01 dt m KV mg KV mg K 1ln 10-=++ )(0KV mg e KV mg t m K +?=+- mg K e KV mg K V t m K 1 )(10-+=?- ① 0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为 )1ln(ln 000mg KV K m mg KV mg K m t +=+= ② ∵ dt dy V = ∴ Vdt dy = dt mg K e KV mg K Vdt dy t t m K t y ??? ?? ????-+==-0000 1)(1 mgt K e KV mg K m y t m K 11)(02-??????-+-=- 021 ()1K t m m mg KV e mgt K K -+--??=???? ③ 0t t = 时，max y y =， )1ln(11)(0)1ln(02max 0mg KV K m mg K e KV mg K m y mg KV K m m K + ?-????????-+=+?- )1ln(1 1)(0 22 02mg KV g K m mg KV mg KV mg K m +-?? ??? ? ?????? +-+= )1ln()(022 0002mg KV g K m KV mg KV KV mg K m +-++= )1ln(0 220mg KV g K m K mV +-= 2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的一 段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度. 一、选择题： 1．3001：把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) π (B) π/2 (C) 0 (D) θ ［ ］ 2．3002：两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为： (A) )π21cos(2++=αωt A x (B) ) π2 1cos(2- +=αωt A x (C) ) π23cos(2- +=αωt A x (D) )cos(2π++=αωt A x ［ ］ 3．3007：一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，振动角频率为ω。若把此弹簧分割成二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是 (A) 2 ω (B) ω2 (C) 2/ω (D) ω /2 ［ ］ 4．3396：一质点作简谐振动。其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律 用余弦函数描述，则其初相应为 (A) π/6 (B) 5π/6 (C) -5π/6 (D) -π/6 (E) -2π/3 ［ ］ 5．3552：一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T '。则有 (A) 11T T >'且22T T >' (B) 11T T <'且22T T <' (C) 11T T ='且22T T =' (D) 11T T ='且22T T >' ［ ］ 6．5178：一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 ) 31 2cos(10 42 π+ π?=-t x (SI)。 从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 (A) s 8 1 (B) s 6 1 (C) s 4 1 (D) s 3 1 (E) s 2 1 ［ ］ 7．5179：一弹簧振子，重物的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动。当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时。则其振动方程为： (A) )21/(cos π+=t m k A x (B) )21 /cos(π-=t m k A x (C) )π21/(cos + =t k m A x (D) )21/cos(π- =t k m A x (E) t m /k A x cos = ［ ］ 8．5312：一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm ，周期T = 2 s ，其平衡位置取作坐标原点。若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm 处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2 cm 处的时刻为 v v 2 1大学物理简明教程习题解答9
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