平方根
【第一课时】
【教学目标】
1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。
2．会求一个正数的算术平方根。
3．了解算术平方根的性质。
【教学重难点】
1．算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根。
2．算术平方根的概念、性质。
【教学过程】
一、问题引入
1．教师活动：回顾上节课的拼图活动及探索无理数的过程，提出问题：面积为13的正方形的边长究竟是多少？
学生活动：
（1）完成填空：
a2=_____；b2=_____；
c2=_____；d2=_____；
e2=_____；f2=_____。
（2）a，b，c，d，e，f中哪些是有理数，哪些是无理数？你能表示它们吗？
2．师生互动：
集体交流后，说明无理数也需要一种表示方法。
二、讲授新课
算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于___，那么，这个正数就叫做___的算术平方根。记为：“”读做根号。特别地，0的算术平方根是0。
例1：分别写出下列各数的算术平方根。
（要求一个数的算术平方根，一般的方法是先按平方的概念来找哪个数的平方等于这个数。）
例2：自由下落物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为h=4．9t2．有一铁球从19．6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
学生活动：一个同学在黑板上板演，其他同学在练习本上做，然后交流。
三、小结
1．内容总结：
算术平方根的定义、表示；
2．方法归纳：
转化的数学方法：即将陌生的问题转化为熟悉的问题解决。
【第二课时】
【教学目标】
1．了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根。
2．会求一个正数的平方根。
3．了解平方根和算术平方根的性质。
4．了解乘方和开方是互逆运算，会利用这个互逆运算求某些非负数的算术平方根和平方根。
【教学重难点】
1．了解平方根和开平方的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根和平方根。
2．平方根和算术平方根的区别。负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算。
【教学过程】
一、复习提问
1．算术平方根的概念，任何一个有理数都有算术平方根吗？算术平方根有什么性质。
2．9的算术平方根是__________，3的平方是___________，还有其他的数的平方是9吗？
二、讲授新课
1．想一想：
平方等于的数有几个？平方等于0.64的数呢？
学生活动：学生思考，然后交流，得出平方根的定义。
2．教师活动：
一般地，如果一个数的平方等于____，那么，这个数就叫做___的平方根，也叫做二次方根。
3和-3的平方都是9，即9的平方根有两个3和-3；9的算术平方根只有—个，是3。
3．学生活动：
求出下列各数的平方根。
16，0，-25。
三、议一议：
（1）一个正数的有几个平方根？
（2）0有几个平方根？
（3）负数呢？
教师活动：
一个正数有两个平方根，0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
学生活动：
正数的两个平方根有什么关系吗？
开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。其中叫做被开方数。（已知指数和幂，求底数的运算是开方运算）。
教师活动：
开平方和平方互为逆运算，我们可以利用平方运算来求平方根。
四、例题精析：
例1：求下列各数的平方根：
（1）64；
（2）81；
（3）0.0004；
（4）(-25)2；
（5）11。
注意书写格式。
五、随堂练习：
1．下列说法正确的是（）。
A．1的平方根是1；
B．1的算术平方根是1；
C．-1是1的算术平方根；
D．-1的平方根是-1。
答案：B。
2．平方等于121的数是______；121的平方根是______，算术平方根是________。
答案：11；11；11。
七、小结：
1．平方根的定义、表示方法、求法、性质。平方根和算术平方根的区别和联系。
2．使学生学到由特殊到一般的归纳法。
第六章实数 上信中学陈道锋 6.1平方根 第1课时算术平方根 【知识与技能】 1.了解算术平方根的概念,会用根号表示正数的算术平方根,并了解算术平方根的非负性. 2.了解开方与乘方互为逆运算,会用平方运算或计算器求某些非负数的算术平方根. 【过程与方法】 通过学习算术平方根,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维. 【情感态度】 通过对实际生活中问题的解决,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的,通过探究活动培养动手能力和学习兴趣. 【教学重点】 理解算术平方根的概念. 【教学难点】 根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根. 一、情境导入，初步认识 教师出示下列问题1,并引导学生分析.问题1由学生直接给出结果. 问题1 求出下列各数的平方. 1,0,(-1),-1/3，3，1/2. 问题2下列各数分别是某实数的平方,请求出某实数. 25,0,4,4/25,1/144,-1/4,1.69. 对学生进行提问,针对学生可能会得出的一个值,由学生互相交流指正,再由教师指明正确的考虑方式.
由于52=25,(-5)2=25，故平方为25的数为5或-5. 02=0,故平方为0的数为0. 22=4,(-2) =4，故平方为4的数为2或-2. 问题3 学校要举行美术比赛,小壮想裁一块面积为25dm2的正方形画布画一幅画,这块画布的边长应取多少? 分析：本题实质是要求一个平方后得25的数,由上面的讨论可知这个数为±5,但考虑正方形的边长不能为负数,所以正方形边长应取5dm. 二、思考探究，获取新知 教师归纳出新定义: 一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,记作a,读作“根号a”，a叫作被开方数. 规定:0的算术平方根是0. 例1求下列各数的算术平方根. 分析：正数的算术平方根是正数,零的算术平方根是零,负数没有算术平方根.
课题： 4.1 平方根（第1课时） 教材分析： “平方根”是苏科版数学八年级上册第4章“实数”的第1节的内容，隶属于“数与代数”领域，是本章教学的重点和难点．本节共2课时，本节课是第1课时．由于实际计算中需要引入无理数，使数的范围从有理数扩充到了实数，从而完成了初中阶段数的扩展．运算方面，在乘方运算的基础上以引入了开方运算，使代数运算得以完善．因此，本节课有助于了解n次方根的概念，为今后学习二次根式、方程、函数等知识作出了铺垫，提供了数学知识的积累． 教学目标： 1.了解平方根的概念，学会平方根的符号表示； 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方根运算求一个非负数的平方根； 3.理解平方根的性质，懂得一个正数有两个平方根（它们互为相反数），0的平方根是0，负数没有平方根． 教学重点： 了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地用平方根运算求一个非负数的平方根． 教学难点： 用平方根运算求一个非负数的平方根． 教学过程： 一、创设情景，复习旧知 师：想一想，什么是乘方运算？能举个例子吗？ 生： 32，（-3）2，52，54，… 师：在“54”中，5、4分别叫什么？ 生（众）：5是底数，4是指数． 师：54的结果是多少？它又叫什么？ 生（众）：625，幂． 师：乘方运算是已知底数、指数，求幂的运算． 二、提出问题，引发探究 师：如果知道了指数、幂，问底数是多少呢？也就是说“已知x4=625，求x．”我们把这种运算称之为开方运算，就是已知幂、指数，求底数的运算．
师：我们研究数的运算往往是从简单的开始，你觉得我们可以先从“开几次方”开始研究呢？ 生：1． 师：对于一个数的开1次方，是多少？有没有必要？ 生：没有，开1次方还是它本身． 师：对的！那从“开几次方”开始？ 生：开2次方． 师：到底“开几次方”？ 生（众）：开2次方． 师：二次方又称平方．那我们就从平方运算和对应的开平方运算开始． 师：我们知道22=4．若x2=4，x是多少？ 生：±2． 师：x2=100呢？x2=169呢？ 生：±10，±13． 师：能再举些列子吗？ 生：…… 师：你有什么发现？ 生：平方等于同一个数的数有两个，它们互为相反数． 师：x2=2呢？ （学生讨论） 师：在这里我们没有找到任何一个整数或分数的平方等于2，即无法找到一个有理数，使它的平方等于2．这怎么办呢？ 师：为了确定一个数，使它的平方等于2，我们在平方数2的上面放上符号“”来表示，记作2，即()2 22=．这里的“”读作“根号”，2读作“根号2”． 师：此时，x会是多少？ ±． 生：2 师：可以看出，使x2＝a（a＞0）成立的数有几个？ 生（众）：两个．
《算术平方根》教学设计 都匀市杨柳街中学张启航 教材：人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》七年级下 目标：1、知识与技能 （1）了解算术平方根的概念，懂得使用根号表示正数的算术平方根。 （2）会求正数的算术平方根并会用符号表示。 2、过程与方法 （1）经历算术平方根概念的形成过程，理解平方与开方之间是互为 逆，会求正数的算术平方根并会用符号表示。 （2）通过引导、启发学生探索、合作交流等数学活动，使学生掌握 研究问题的方法。 3、情感态度与价值观 让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，激发学生的学习兴趣。重点：算术平方根的概念。 难点：算术平方根的概念。 学情、教法分析： 《算术平方根》是人教版教材七年级数学第6章第一节的内容。 在此之前，学生们已经掌握了数的平方，这为过渡到本节内容的学习起到了铺垫的作用。本课是《实数》的开篇第一课，掌握好算术平方根的概念和计算，为今后学习根式运算、方程、函数等知识作出了铺垫，提供了知识积累。本节课中重难点不多，利于学生对知识的掌握，利于学生能力的发展。因此，本节课通过引导、启发学生探索、交流、
合作等数学活动，初步培养学生分析问题、解决问题的能力，使学生掌握研究问题的方法，从而学会学习。 教具：课件、计算机、投影仪。 过程： 一、创设情境，复习引入 1、我们知道，要求正方形的面积，只要知道边长，利用面积公式即可救出；知道面积，怎样求边长呢？如：“学校要举行美术作品比赛，小欧想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少分米？” （1）谁来说这块正方形画布的边长应取多少分米？你是怎么算出来的？ （2）大家说了很多方法，我们知道52＝25，所以这个正方形画布的边长应取5分米；现在请同学们根据这一方法填写下表： 2、想一想：如果正方形的面积是10 dm2，它的边长是多少？ 表中的数，我们很容易知道是什么数的平方，但10是什么数的平方呢？这就是我们今天要学习的“算术平方根”，学习后大家说知道了。 二、感知新知识 1、算术平方根的概念 （1）从填表知道正数3的平方等于9，我们把正数3叫做9的算术平方根；正数4的平方等于16，我们把正数4叫做16的算术平方根。
平方根与算术平方根概念辨析 教学目标：通过此教学片段使学生掌握平方根与算术平方根的区别与联系。 教学重点：详尽辨析平方根与算术平方根的区别与联系。 教学难点：准确区分平方根与算术平方根的区别。 教学过程： 平方根与算术平方根是初中数学中的两个重要概念，因为它们定义相近，联系紧密，所以初学的同学很容易混淆。为帮助同学们正确理解和区分这两个概念，现将它们的区别与联系总结如下： 一、区别： 1.定义不同。 平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即 ，那么这个数x 叫做a 的平方根。例如， ，2是4的平方根，，－2是4的平方根，即2和－2都是4的平方根。 算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即，那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根（特别规定：0的算术平方根是0）。例如， ，正数2是4的算术平方根。虽然，但－2不是正数，所以－2不是4的算术平方根。 2.表示方法不同。 平方根：一个非负数a 的平方根记做。例如，5的平方根记做。 算术平方根：一个非负数a 的算术平方根记作。例如，5的算术平方根记作 。 3.个数不同。 平方根：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。例如，16的平方根有两个，一个是4，另一个是－4。 算术平方根：一个正数的算术平方根只有一个，且这个数是正数。例如，16的算术平方根只有一个，是4。 二、联系 1.二者之间存在着从属关系。 一个正数的平方根包含了这个正数的算术平方根，算术平方根是平方根中的一个。 例如，9的两个平方根是 ，其中3是9的算术平方根。 2.二者被开方数的取值范围相同。 3
只有非负数才有平方根，负数没有平方根。 只有非负数才有算术平方根，负数没有算术平方根。 一个数没有平方根，它一定也没有算术平方根。 课堂小结： 区别平方根算术平方根 定义不同如果一个数的平方等于a，这 个数就叫做a的平方根 非负数a的非负平方根叫a 的算术平方根 个数不同正数有两个平方根正数的算术平方根只有一个表示方法不同 联系： (1)具有包含关系。 (2)存在条件相同：被开方数为非负数。 (3)0的平方根和算术平方根都是0。 练习： 1.判断下列说法是否正确 （1）6是36的算术平方根。 （2）7是49的一个平方根。 （3）2)4 ( 的平方根是-4。 （4）0的平方根与算术平方根都是0。 2. 求下列各数的算术平方根。 （1）225．（2）（3）0.49 （4） 教学反思：
4.1 平方根 课型：新授 教学目标 1、了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根. 2、了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根. 3、能运用算术平方根解决一些简单的实际问题. 教学重点 理解算术平方根的意义，能运用算术平方根解决一些简单的实际问题 教学难点 能运用算术平方根解决一些简单的实际问题 教学过程： 一．合作探究： 1、 正数有2个平方根,其中正数a 的正的平方根,叫a 的算术平方根. 例如:4的平方根是2±， 叫做4的算术平方根，记作4=2； 2的平方根是2±， 叫做2的算术平方根，记作22=. 0只有一个平方根， 也叫做0的算术平方根，记作00= 2．填空 (1)2)01.0(= ，=2)5( (2)24= ，2)4(-= ，2)5(-= ，2 0= 【结论】2)(a = ?? ???<-≥=)0()0(2a a a a a 二．例题解析： 【例1】求下列各数的算术平方根: （1）625；（2）0.0081；（3）6；（4）0. 【例2】“欲穷千里目，更上一层楼”说的是登得高看得远. 如图2—8，若观测点的高度为h ，观测者能达到的最远距离为d ，则，其中R 是地球半径（通常取6400Km ）.小丽站在海边一块岩石上，眼睛离地面的高度为20，她观测到远处一艘船刚露出海平面，此时该船离小丽约有多远？
三．随堂练习： 1．下列语句正确的是（ ） A.一个数的平方根一定是两个数; B.一个非负数的非负平方根一定是它的算术平方根; C.一个正数的平方根一定是它的算术平方根; D.一个非零的正的平方根是它的算术平方根 2．若41a +有意义，则a 能取的最小整数为（ ）. A.0 B.1 C.－1 D.－4 3．若21()0x x y ++-=，则x +y 的值是（ ）. A.-2 B.-3 C.-4 D.无法确定 4．一个数的算术平方根只要存在，那么这个算术平方根（ ）. A.只有一个，并且是正数; B.不可能等于零; C.一定小于这个数; D.必定是非负数 5．若a 是有理数，下列说法正确的是（ ）. A. a 2的算术平方根是a ; B. a 2的平方根是a ; C. a 2的算术平方根是∣a ∣; D. a 2的平方根∣a ∣ 6．一个数如果有两个平方根，那么这两个平方根的和是（ ）. A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.大于或等于0 7．若a ≥0,则4a 2的算术平方根是（ ）. A.2a B.2a C.2a D.∣2a ∣ 四．课后作业： 1．一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方根等于它本身，这个数是 2．若3a +1没有算术平方根，则a 的取值范围是 . 若3x -6总有平方根，则x 的取值范围是 . 若式子x －3的平方根只有一个，则x 的值是 . 3．若4a +1的平方根是±5，则a = . 4．若==a a ，则2.1 ；若==m m ，则22 ； 5．若的算术平方根是，则x x -=5162 . 81的算术平方根是_________ 6．已知直角三角形的2条直角边的长分别是3和5，则斜边的长是 ，已知直角三角形的2条边长分别是3和5，则第三边的长是 . 7．下列说法正确的是（ ） A 、-8是64的平方根，即864-= B 、8是()28-的算术平方根，即()882=- C 、±5是25的平方根，即±525= D 、±5是25的平方根，即525±= 8．下列计算正确的是（ ） A 、451691= B 、212214= C 、05.025.0= D 、525=-- 9．下列说法错误的是（ ） A 、3是3的平方根之一 B 、3是3的算术平方根 C 、3的平方根就是3的算术平方根 D 、3-的平方是3
平方根 【第一课时】 【教学目标】 1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。 2．会求一个正数的算术平方根。 3．了解算术平方根的性质。 【教学重难点】 1．算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根。 2．算术平方根的概念、性质。 【教学过程】 一、问题引入 1．教师活动：回顾上节课的拼图活动及探索无理数的过程，提出问题：面积为13的正方形的边长究竟是多少？ 学生活动： （1）完成填空： a2=_____；b2=_____； c2=_____；d2=_____； e2=_____；f2=_____。 （2）a，b，c，d，e，f中哪些是有理数，哪些是无理数？你能表示它们吗？ 2．师生互动： 集体交流后，说明无理数也需要一种表示方法。 二、讲授新课 算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于___，那么，这个正数就叫做___的算术平方根。记为：“”读做根号。特别地，0的算术平方根是0。 例1：分别写出下列各数的算术平方根。 （要求一个数的算术平方根，一般的方法是先按平方的概念来找哪个数的平方等于这个数。）
例2：自由下落物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为h=4．9t2．有一铁球从19．6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ 学生活动：一个同学在黑板上板演，其他同学在练习本上做，然后交流。 三、小结 1．内容总结： 算术平方根的定义、表示； 2．方法归纳： 转化的数学方法：即将陌生的问题转化为熟悉的问题解决。 【第二课时】 【教学目标】 1．了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根。 2．会求一个正数的平方根。 3．了解平方根和算术平方根的性质。 4．了解乘方和开方是互逆运算，会利用这个互逆运算求某些非负数的算术平方根和平方根。 【教学重难点】 1．了解平方根和开平方的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根和平方根。 2．平方根和算术平方根的区别。负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算。 【教学过程】 一、复习提问 1．算术平方根的概念，任何一个有理数都有算术平方根吗？算术平方根有什么性质。 2．9的算术平方根是__________，3的平方是___________，还有其他的数的平方是9吗？ 二、讲授新课 1．想一想： 平方等于的数有几个？平方等于0.64的数呢？ 学生活动：学生思考，然后交流，得出平方根的定义。 2．教师活动： 一般地，如果一个数的平方等于____，那么，这个数就叫做___的平方根，也叫做二次方根。
《平方根》教学反思 本节课的主要内容是让学生理解平方根的含义，并能熟练地用语言和公式这两种不同的方法表示出来，掌握平方根的符号表示，能正确区分平方根与算术平方根，知道两种符号的含义。并熟练求一个数的平方根。 回顾自己的课堂，觉得又优点又有缺点。做的比较好的是备课比较充分，设计严谨，注意了细节的处理。教案的设计贴近学生，所以课堂气氛活跃，学生的积极性被充分调动起来。练习题的设计比较恰当。还有一点就是评价学生时注意使用亲切的语言，让学生勤学、乐学。 当然这堂课我觉得有以下几点做得不够好： 1.忽视平方根表示的规范化由于我忽视了在课堂上的平方根表示的示范，使得有不少学生能够知道一个数的平方根，但是符号表示不规范。 2.没有对概念进行总结在实际操作时，由于临近下课，时间较仓促，所以无论是学生的总结还是教师的总结都显得比较贫乏，没有抓住实质。在今后的总结中，应注意引导学生从知识方面，数学思想方法等不同方面进行有效的小结，而不要流于形式。 3.学生的练习不够学生对概念的理解只停留在死记硬背，机械模仿的阶段，后果就像一座没有合格框架结构的摩天大厦一样，早晚会因为经不住考验而倒塌。所以，今后在课堂上要多给学生练习巩固
的时间，多提供一些类型不同的题目，使学生在练习中慢慢强化对概念的理解。 所以在教学过程中学生常见的几种错误主要有： 1.在求数a的平方根时，学生往往会用连等的式子来表示 2.错在符号乱用，添加或缺少正负号，导致等式无法成立在以后的教学过程中要通过练习发现学生存在的问题，并对一些典型的错题进行分析讲解，通过练习规范学生的解题格式，提高学生解决实际问题的能力。本节课的内容不是很多，但这是学好平方根的关键，为后面学习立方根及运用平方根进行基本运算和解决实际问题打下基础，也是一个关键。在本节课的教学过程中还存在一些小的问题，如个别题目对学生而言难度稍大了一点，不利于学生思考、解决问题，在以后的教学过程中会注意这些问题，确保每节课每个学生都能听懂。
平方根（1）教学设计 1、课题：八年级数学平方根 2、教材简解 “平方根”是苏科版八年级数学第四章第一节内容。由于勾股定理计算中需要引入无理数，使数的范围从有理数扩充到实数。因此，本课是今后学习二次根式、方程、函数等知识的重要基础。 3、目标预设 （一）知识目标 （1）了解平方根的概念和性质，理解一个数平方根的意义。 （2）学会平方根的表示法，能正确的求出一非负数的平方根，并运用以上知识解决实际问题。 （3）通过学习平方和开平方运算是互为逆运算，体验各事物间的对立统一的辩证关系，激发学生探索数学奥秘的兴趣。 （二）能力目标 （1）加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平。 （2）训练学生动脑、动口、动手能力。 （3）提倡学生进行自主学习，并能与同学交流与合作，变被动学习为主动探索。 （三）情感目标 （1）让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲。（2）鼓励学生进行探索和交流，通过学生在学习中互相帮助、相互合
作，培养他们的合作意识和探索精神。 4、重点 （1）了解平方根的概念、性质和求法。 （2）运用所学的平方根知识解决实际问题。 难点 （1）平方根的概念和平方根的表示方法。 （2）运用所学的平方根知识解决实际问题。 5、设计理念 本着以人为本的教育理念，本节课应主要采用探究式和启发式的教学方法。以求发展学生的个性特长，让学生学会学习，培养学生可持续发展的学习能力。 6、设计思路 数学是人们对客观世界的定性把握和刻画，是一个由具体到抽象、概括，最后形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。义务教育阶段的数学课程，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学概念并进行解释与应用，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进一步的发展。 7、教学过程 教师活动学生活动活动思路 创设情境 情境一：设图中的小方格的边长为1，你能分别说出图中2个长方形的积极思考，大胆 发言。 激发学生的学 习兴趣，促进学 生对问题进行
6 .1算术平方根 袁新启 教材分析： 本课教材所处位置是本章的第一节，学生对数的认识要由有理数范围扩大到实数范围，而本课是学习无理数的前提，是学习实数的衔接与过渡，并且是以后学习实数运算的基础，对以后学习物理、化学等知识及实际问题的解决起着举足轻重的作用． 学情分析： 学生已掌握一些完全平方数，能说出一些完全平方数是哪些有理数的平方，同时对乘方运算也有一定的认识． 学习目标： 知识与技能：1．了解算术平方根的意义，会用根号表示一个非负数的算术平方根，会用平方运算求某些非负数的算术平方根； 2．经历从平方运算到求算术平方根的演变过程，体会两者的互逆关系，发展思维能力． 过程与方法：经历探索算术平方根的过程，能用算术平方根求某非负数的算术平方根． 情感态度和价值观：让学生体验数学与生活实际是紧密相连，激发学生的学习兴趣． 学习重难点：
重点：1.算术平方根的概念； 2.算术平方根与被开方数之间的大小变化规律. 难点：算术平方根的双重非负性. 教学过程： ●情景导入 （1）一个正方形桌面的边长是 1.5m，求这个桌面的面积是多少平方米？ （2）已知一个正方形画布的面积是25dm2，求它的边长. （3）如果一个正方形展厅的地面面积为55m2，求它的边长. ●探究归纳 我们知道52＝25，所以这个正方形画布的边长应取5分米； 现在请同学们根据这一方法填写下表： 正方形的面积 1 9 16 36 55 …边长 1 3 4 6 0.4 ？… 2 点●概念引入 定义：如果一个正数x的平方等于a,即 ，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记为“
”，读作“根号a”。a叫做被开方数。 规定：0的算术平方根是0。 【试一试】略 ●讨论性质 a可以取任何数吗？ 表示的是什么数？ 负数没有算术平方根。 算术平方根的双重非负性 例2、下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？
《平方根》教学反思 平方根和算术平方根是初中数学的两个重要概念，初学时由于对定义、符号表示把握不准，易犯这样或那样的错误。下面举例加以说明，供以后教学参考。 一、概念理解不清，造成错误。 例题1、计算 错解： 剖析：误将求解的算术平方根，当成了求的平方根，得出了两个值，造成错误。 正解： 评注：解这类问题时，应先判断是求一个数的平方根还是算术平方根，然后再求解。 二、误将用算术平方根表示的数值当成原数，造成错误。 例题2、求的平方根。 错解：的平方根是。 剖析：该错解有两个错误，（1）所求的平方根应为两个值，一正一负，而不只是一个正值；（2）误将用算术平方根表示的数当成了原数81进行了求解。 正解：因为，所以求的平方根，即是求9的平方根，由于，因此的平方根为。 评注：求解时应审清题意，特别是问题用怎样的符号表示的数，然后再求解，以避免出错。 三、化简含有的式子时，没有考虑的取值范围，造成错误。
例题3、当时，化简。 错解：原式= 。 剖析：没有考虑这一条件，只将化简为成一负值，造成错误。 正解：原式= 。 例题4、化简：2a＋＋，（其中） 错解：原式=２a+4-5a+1-3a=5-6a。 剖析：没有考虑这一条件，只将+ 化为4-5a, +1-3a，造成错误，事实上由a的取值范围，可得4-5a≥ ０，1-3a≤０，所以＝4-5a，＝3a-1。 正解：原式=２a+4－5a+3a －1=３。 评注：该题中把握住算术平方根的定义，以及的非负性是正确求解的关键。 总之，正确理解平方根和算术平方根的概念，还有两者的区别和联系，这是正确解题的第一步；其次，要强化训练，并在练习中及时总结，从而不断提高自己的解题能力。而不应凭想当然，造成错误。
怀文中学2013—2014学年度第一学期教学设计 初二数学 4.1 平方根（1） 主备：：江旭海审校陈秀珍日期：2013年10月27日 教学目标：1．了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方根运算求某些非负数的平方根． 教学重点：了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地用平方根求某些非负数的平方根． 教学难点：用平方根运算求某些非负数的平方根． 教学内容： 一、自主探究 情境一：设图中的小方格的边长为1，你能分别说出图中2个长方形的对角线AB，A′B′的长吗？ 二、自主合作 情境二：类似地，我们曾研究a2＝2，那么a＝？ 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也称为二次方根． 如果x2＝a，(a≥0)那么x就叫做a的平方根，也称为二次方根． 例如： 22＝4，（－2）2＝4，±2叫做4的平方根． 102＝100，（－10）2＝100，±10叫做100的平方根． 32＝169，（－13）2＝169，±13叫做169的平方根． 一个正数的平方根有2个，它们互为相反数． 一个正数a的正的平方根，记作“a”， 正数a的负的平方根记作“－a”． 这两个平方根合起来记作“±a”，读作“正、负根号a”． 三、自主展示 情境三：在下列各括号中能填写适当的数使等式成立吗？如果能，请填写；如果不能，请说明理由，并与同学交流． （）2＝9，（）2＝5，（）2＝9 25 ；
（ ）2＝0，（ ）2＝－49 ，（ ）2＝－4． 探索交流后总结出以下结论： 一个正数的平方根有2个，它们互为相反数； 0只有1个平方根，它是0本身； 负数没有平方根． 求一个数的平方根的运算叫开平方 四、自主拓展 例1 求下列各数的平方根． （1）25；（2）1681 ；（3）15；（4）0.09． 下列各数有平方根吗？如果有，写出它的平方根；如果没有，请说明理由． （1）14 ；（2）25 ． 练习：课本95页练习． 例2求下列各式中的x 的值 (1)x 2＝9 (2)x 2＝49 五、自主评价 课堂小结： 布置作业：：习题4.1第1题． 教学反思：
算术平方根教学反思 周练 算术平方根在教材中所处的位置是七年级下册第六章实数的第一节，学生对数的认识要从有理数扩大到实数的范围，而本课是无理数的前提，是学生实数的衔接与过渡，并且是以后学习实数运算的基础，对后面学习平方根起着至关重要的作用。 本节课的内容不多，但这是学生平方根的关键，为后面学习立方根及运用平方根进行基本运算和解决实际问题打下基础，也是一个关键。从选择课题，到设计教案，板书设计，每一个环节都经历了反复的推敲和修改，只为达到课堂设计的最佳效果，令学生有收获。从教学环节的设计，例题练习题的选取，甚至是对学生设置的每一个问题每一个用词都是细心修改。最终这节课得以顺利完成。上完这节课后，我谈谈自己的几点看法： 1、通过生活中的实例引入，体现数学来源于生活，用于生活；并且设置悬念，激发了学生后续学习的兴趣。 2、最后小结的环节设置比较好，能够让学生自己主说出本节课学到的知识以及感受，这样不仅能够了解学生对本节课知识的掌握程度，还能锻炼学生的语言表述能力。 3、学生第一次接触到与乘方互为逆运算的“开方”，只要能突破这个难点，学生在意义上理解了解算术平方根，后面的计算也就容易多了。这也是这节公开课做得不足的地方，新课的容量有限，所以将绝大部分时间用在了帮助学生理解算术平方根的意义和求某一个非负数的算术平方根的计算上。在后面的课时，应该帮助学生理解乘方与开放互为逆运算。当然这节课还存在很多细节问题，以后有待改进。 最后，要感谢涂老师、龚老师课前耐心的帮我听课，帮我提出宝贵的意见；感谢前来听课的各位领导，各位老师! 感谢课后童校长的精彩点评和细心指导! 通过这次公开课，我觉得自己学到了很多，比如课前应该做足功课，了解前后章节之间的联系，做大量的练习来领会要点等。每一次公开课的经历，都将成为我工作历程中重要的一笔，现在我也信心百倍，全力以赴迎接未来的挑战！
题目：《算术平方根的教学设计》 王英华
一、教材依据 北京出版社北京教育出版社初中数学第15册，第12章第2节，算术平方根。 二、设计思想 （一）、教学指导思想及对本章本节课的地位的分析： 从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域．本章的重要性可想而知。本章的学习是学生对熟悉的发展有了认识。本节课是后面学习二次根式的基础和关键，所以教学设计以落实算术平方根为本。本节中用到的思想方法及应用有：1．转化、化归思想：2．非 负数的应用．在前面的学习中，我们认识了两种非负数： | |≥ a和0 2≥ a，本章中又学习了一种新的非负数是 )0 (0≥ ≥a a．非负数的性质有：（1）最小的非负数是0；（2）有限个非负数之和仍然是非负数；（3）n个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0． （二）、教学内容设计分析： 1和 a 的含义，弄清它们之间的区别与联系根据各自的定义进行计算．为后面的二次根式的学习作准备。2、新课课程标准提出：义务教育阶段面向全体学生，体现基础性、普及性和发展性。所以我立足于基础，深入浅出的引入目的在于面向全体学生；强化平方根和算术平方根的概念目的在于体现基础性、普及性，利用表格帮助学生理解；闯一闯及选作题的设计目的在于发展性。做到不同的人在数学上得到不同的发展的目的。． （三）、学生情况分析： 本节是学生在学习了平方根的概念的基础上，借助于学生的先前知识来学习算术平方根，学生还是容易掌握的，但是开方运算新的运算，学生对新的事物不容易接受，又加上初二的学生正处于青春期，上课的注意力时间有限，所以在设计时要注意到这一点。这结段的学生比适合“做中学”。 三、教学目标： 知识与技能：了解算术平方根的概念．理解平方根与算术平方根的区别和联系，会求一个数的平方根和算术过程与方法 过程与方法：经历运用数学符号描述开方运算的过程，初步建立数学符号感，发展抽象思维能力，采用列表的形式来反映在学习中运用对比的方法去理解相关概念．这样有助于加深对概念的理解．在转化中培养 学生的化归思想。 情感态度价值观：在学习中，要让学生学习勇于探索，积极创新的精神。 四、教学重点：平方根与算术平方根的概念．算术平方根与平方根的联系与区别． 五、教学难点：对平方根、算术平方根性质的理解及“a”的含义； 六、教学准备：制作课件、印练习卷发检测条 七、教学过程： （一）、引入新课：（2分钟）出示投影 [学生]：;填空：1、∵（）2=4∴4 的平方根是 ∵（+ 2）2=4∴4 的平方根是2和-2 2、∵（）2=9∴9 的平方根是 ∵（+ 3）2=9∴9 的平方根是3和-3 3、∵（）2=16∴16 的平方根是 ∵（+ 4）2=16∴16 的平方根是4和-4 4、∵（）2=25∴25 的平方根是 ∵（+ 5）2=25 ∴25 的平方根是5和-5 想一想：教师：我们称2是4的算术平方根，
平方根（第２课时）的教学设计 一．学生学情分析 学生在七年级上册学习“棋盘上的故事”就认识了一种运算“乘方”,并能熟练计算任何 一个数的平方.知道正数的平方是正数,负数的平方是正数,0的平方是0. 在八年级上册第 二章《实数》的学习中又认识了算术平方根的概念和表示方法,已能求非负数的算术平方根. 那么这一课时进一步学习平方根本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及其运用.并对 “平方根”和“算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导---探 索---类比----发现”中发展学习数学的能力. 二．学习任务分析 第二章《实数》的第二节.本节安排了两个课时完成.第一课时是了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.在具体的例子中抽象出概念，发展学生的 抽象概括能力.本节课是第二课时，继续学习平方根的概念及其运用.并对“平方根”和 “算术平方根”，“平方”和“开平方”的概念做辨析，使学生在“引导---探索---类比 ----发现”中发展学习数学的能力. 三．学习目标 知识目标 1.了解平方根、开平方的概念. 2.明确算术平方根与平方根的区别和联系. 3.进一步明确平方与开平方是互逆的运算关系. 能力目标 1.经历平方根概念的形成过程,让学生不仅掌握概念,而且提高和巩固所学知识的应用能力. 2.培养学生求同与求异的思维,通过比较提高思考问题、辨析问题的能力. 情感目标 1.在学习中互相帮助、交流、合作、培养团队的精神. 2.在学习的过程中,培养学生严谨的科学态度. 四.重点、难点 重点： 1.了解平方根开、平方根的概念. 2.了解开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方 根和平方根. 3.了解平方根与算术平方根的区别与联系. 难点： 1.平方根与算术平方根的区别和联系. 2.负数没有平方根,即负数不能进行平方根的运算. 五．学习方法 自主合作探究
平方根第一课时（数学初二年级） [教材简解] 平方根是苏教版数学八年级上册第四章第一节内容，隶属于“数与代数”领域，重点结合实际问题情景认识算术平方根、平方根的意义，能够对算术平方根进行符号表示，能够利用概念的本质探获求算术平方根、平方根的方法，理解算术平方根、平方根的性质。本节共二课时，本课为第一课时，从学生熟悉的正方形面积与边长之间的关系入手提出已知面积探求边长的问题，通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的。通过对这一节课的学习，既可以让学生了解平方根的概念，会用符号表示非负数的平方根，又可以渗透化归思想（将求算术平方根的运算转化为求幂底数的运算）将为学生以后学习立方根奠定基础；同时这一节也是联系数学与生活的桥梁。 [目标预设] 1. 学生能理解平方根概念的生成过程，会用符号表示一个非负数的平方根; 2. 在教师的指导下，经历观察、交流、猜想等活动得出平方根概念，培养学生的合情推理与逆向思维的能力。 3.会求一个非负数的平方根,通过理解为什么要学习平方根培养学生的理性精神。 [重点]了解开方与乘方互为逆运算，能熟练地求某些非负数的平方根。 [难点]利用平方根定义解决问题。 [设计理念] 本节课采取教师启发引导与学生探究相结合的方式，使学生亲身体验得到平方根概念的生成过程,注重学生数学活动经验的积累。促使学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习,为学生的终身发展奠基。根据“以学定教”的原则，及时调整教学方案，使学生始终能主动地参与学习，成为学习的主人。 [设计思路]启发学生对问题的兴趣，促进其对问题进行思考。让学生自己总结、交流，培养学生的概括能力和口头表达能力，培养自我反馈、自主发展的意识。 [教学过程]
初中数学平方根教学反思 本节内容主要介绍平方根与算术平方根的概念，先讲平方根，再讲算术平方根。平方根和算术平方根的概念属本章的重点内容。它是后面学习实数的准备知识，是学习二次根式，一元二次方程的基础。本节课是第一课时内容,主要介绍平方根和算术平方根的概念。下一节立方根的学习可以类比平方根进行，因而平方根的学习必须要打牢基础。另外，从运算角度来看，加与减，乘与除，平方与开方互为逆运算，所以平方根的概念在某种程度上也起到了承上的作用。在教材处理上，本节课我除了利用课本上的引例，提出问题外，还增加了一些与教学内容紧密相关的活动，通过实际例子的引入，让学生自己动手，使学生能够在活动的过程中，主动发现，主动探索知识，和主动建构所学知识的意义。本课时的重点是：使学生经历观察、探索、思考的过程，理解平方根的概念。本课时的难点是：经历探索平方根性质的过程，并能在与他人交流的过程中，合理清晰地表达自己的思维过程。 二、教学过程设计
1．设置情景引入 平方根概念的引入，由实际问题引入（一个正方形的面积为16，它的边长为多少？面积为9时？4时？边长分别为多少呢？），到提出问题（面积为a的正方形，边长是多少呢？），再到解决问题（若设正方形的边长为x，则符合题意的方程为），最后归纳出问题的实质（要找一个正数，使这个数的平方等于a）。本环节通过学生动脑，动口，充分调动了学生学习的积极性，同时也激发了学生的求知欲望。 2．通过复习过渡 首先由学生回答3道计算平方的算式，然后由学生通过观察，并结合互逆运算的知识，启发学生找出等式两边存在的联系，最后我在学生总结的基础上，进行点播：等号右边的数叫做等号左边各数的平方数；反过来，等号左边各数就叫做等号右边各数的平方根。这样做，有利于使学生意识到本章的学习将是前面所学知识的一个再发展的过程，并激发学生饱满的学习热情，引导他们以积极的态度和旺盛的精力主动探索，并且在思考中感受思维的美，在探索解决问题中体验快乐，从而获得最佳效
学习目标1．了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。 重点算术平方根的概念。 难点根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。 教学过程 教学环节教学活动设计意图 创设情境 导入新课 复习平方根的定义和性质及平方根的计算 （1）下列说法正确的是（） A 16的平方根是2 ±， B 1=1 ±， C -9的平方根是3 ±， D -5是5的平方根的相反数。 （2）求下列各数的平方根 169， 7 2 9 ，2.56，()24-，16 （2）若240 x x y -++-=，求x.y的值。 让学生复习平方 根的定义和性质。 通过计算非负数 的平方根，进而引入算 术平方根的概念。 自主探究 合作交流出示自学提纲： 阅读教材96~97页，并回答下列问题： 1．算术平方根的概念。 2．为什么规定：0算术的平方根为0？ 3．总结一个数的算术平方根的性质？ 4．自学例2、例3、例4先试做后对照。 5．144的算术平方根是多少？怎样用符号表示？ 学生活动：独立思考1、2答案，提出疑难问题。 给学生充足的时 间和空间，理解和感知 算术平方根概念，通过 讨论、交流，提出共同 的问题，使学生的自主 性和合作性得到很好 的发展。
师生互动 归纳新知1.问题1：你能叙术算术平方根的概念吗？ 一般地：正数a有两个平方根a ±，我们把正数 a的正的平方根“a，”叫做a的算术平方根。 强调：书写时根号一定要把被开方数盖住。 问题2：a表示什么意思？它的值是怎样的数？ 这里的被开方数a应该是怎样的数？ 问题3：0的算术平方根是多少？怎么表示？ 2、试一试：你能根据等式：2 12=144说出144的算 术平方根是多少吗？并用等式表示出来． 3、想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们 的值吗？162 5-） （225 建议：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该 满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应 的值．例如25表示25的算术平方根。 三个问题的设置 加深对算术平方根的 非负性的理解，进一步 提高语言表达的准确 性和书写的规范性。 学以致用 例2：求下列各数的算术平方根。 625； 121； 15； 81 16 ；0.09 学生活动：模仿教材例1的模式，注意语言的准 确性和书写的规范性。 例3：()23()22-()25-有意义吗？如果 有，求它的值。 例：4 课本第96页例4 。 能展示学生对算 术平方根的思考过程， 全班纠错，小组互相监 督，培养学生良好的学 习习惯。 巩固提高()=201.0___ ()=25___=216____()=216-__ 课本第97页练习第1、2、3题 课堂小结 整体感知1．本节课你有哪些收获？ 2．你还有什么问题或想法需要和大家交流？ 引导学生从内容上、方法上、情感上小结。 作业布置：习题4.1第4题、第5题。 让学生按这一模式进 行小结，培养学生学习— —总结——学习——反 思的良好习惯。
课题：6.1平方根 第一课时算术平方根 〖学习目标〗： （1）了解算术平方根的概念，懂得使用根号表示正数的算式平方根。（2）会求正数的算数平方根并会用符号表示。（3）让学生体验数学与生活实际紧密联系着的，激发学生的学习兴趣。 〖学习重、难点〗： （1）重点：算术平方根的概念（2）难点：算术平方根的概念〖导学过程〗: 一．身边趣事（1）: 为了趣味接力比赛,要在运动场上圈出一个面积为100平方米的正方形场地,这个正方形场地的边长为 多少? 小鸥想装饰自己的房间，他想裁出一块面积 为25dm2的正方形相框，镶上自己喜欢的明星 tfboys，这块正方形画布的边长应取多少？
小鸥还要准备一些面积如下的正方形画布， 请你帮他把这些正方形的边长都算出来： 正方形 1 9 16 36 的面积 边长 二．算术平方根的概念： 一般地，如果一个的平方等于a,即 ,那么这个叫做a 的。 a的算术平方根记为：读作： 三．练一练 （一）我会填 1. a的算术平方根(a≥0)表示为_______. 2. 32 = 9，则9的____________是3,表示为________ 。 3. 0的算术平方根是_____,表示为________. （二）我会判 （1）5是25的算术平方根； （2）36的算术平方根是 -6 ； （3）0的算术平方根是0； （4）0.01是0.1的算术平方根；
四．讲练结合 例1.求下列各数的算术平方根： （3）0.0001 （1）100 （2）49 64 练一练： 1.求下列各数的算术平方根： （3）32 （1）0.0025 （2）115 49 2.求下列各式的值： （3）?√9（4）√22（1）√1 （2）√9 25 五．探究： 探究1 1.被开方数a可以取任何数吗？ 2．√a是什么数？ 练一练：
《3.1平方根》教学设计 一、教学目标 1.知识目标: 理解平方根和算术平方根的概念，了解平方与开平方的关系。 2.能力目标: 学会平方根、算术平方根的表示法和平方根、算术平方根，并运用以上知识解决实际问题。 3.情感目标: 学习从特殊到一般的数学思想方法，培养学生从实践到理论，从具体到抽象的辨证唯物主义观点。 二、教学重点和难点 1.重点：平方根的概念。 2.难点：平方根的概念和平方根的表示方法较为抽象，是本节课的难点。 三、教学方法 1 .本着以人为本的教育理念，主动地发展学生的个性特长，让学生学会学习，培养学生可持续发展学习的能力，本节课主要采用探究式和启发式的教学方法。 2.使用现代教育技术和引导学生动手实践，使学生能充实地学习数学，把注意力集中在决策、反思、归纳、推理和问题解决上。 四、教学过程 1.创设情境，设疑引新 （媒体展示）小明家的新房刚刚装修好，星期天小明的爸爸带着小明去挑选餐桌。他们看中了一款非常漂亮的餐桌，可是不知道边长是多少，正当小明的爸爸犯愁的时候，小明看了看桌子上的标签，得意的说：“我知道了”。 几秒之后提问：同学们你们知道吗？ （设疑之后，引导学生解决这个问题的本质，即求平方等于100的数是什么？） 随后，再说几个数让同学们找哪个数的平方等于它。有了以上的铺垫，解决这一问题对于学生来说已是轻而易举，即轻松地引入课题） 2 师生互动，探究新知 2.1 概念引入 由具体问题开始讲解：∵（±1.2）2=1.44 ∴平方得1.44的数有两个是+1.2， 又边长不为负，因此为1.2m 于是说：∵（±1.2）2=1.44 ∴±1.2叫做1.44的平方根