周期信号的傅里叶级数分析 连续时间 LTI 系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号
系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析 以正弦函数或复指数函数作为基本信号
系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信 号响应的加权和或积分;
规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为
f (t )=f ( t +m T )
其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。
f (t )
1
T /2
-1
T
t
周期信号的特点： (1)
它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的，
时间范围为
(
-
,
)
(2) 如果将周期信号第一个周期内的函数写成 ，则周期信 号 f (t )
可以
写成
周期信号: 定义在区间 (-
, )
，每隔一定时间 T ，按相同
f (t ) =
f 0(t -nT )
n =-
(3)
周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有 a +T
b
+T
T
f (t )dt = f (t )dt = f (t )dt
ab 0
1. 三角形式的傅立叶级数
该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。
f (t ) = a + a cos(t ) + b sin(t ) + a cos(2t ) + b
sin(2
t ) + ... + a cos(n t ) + b sin(n t ) + ... = a +
a cos(n t ) +
b sin(n t )
n =1
式中各正、余弦函数的系数 a n ,b n 称为傅立叶系数,函数通过它 可以完全表示。
傅立叶系数公式如下
周期信号 f (t )
= 2
f
，周期为T
1 ，角频率 2
T 1
1f(t)d t
T t0
式中积分可以取任意一个周期，一般情况下，取
TT
0, T)或(-2,2)
三角形式的傅立叶级数还可以写成下面形式
f(t) = c0 +
c n
n=1 cos(n t + )
或
a n
t0 +T
f(t)cos n t d t
b n
t0 +T
f(t)sin
n t d t
n = 1,2,
n = 1,2,
f(t) = d0+ d n sin(n t + )
n=1
两种形式之间系数有如下关系:
c0 = a0 = d0
c n = d
n
= a
n
+ b
n
ba n = -arctg n ,n = arctg n n a n n b n
a n = c n cos n= d n sin n n = 1, 2,
b n = -
c n sin n =
d n cos n
2．指数函数形式的傅里叶级数
利用欧拉公式:
jn
1
t -jn
1
t
- jn
1
t jn
1
t
cos(n t ) =
+
sin(n t ) = j
-
e jn
1t
= cos(n t ) + sin(n t )e -jn
1t
= cos(n t ) - j sin(n t )
f (t ) = a 0 +
a n cos(n t ) +
b sin(n t )
n = 1
jn
1
t
-
jn
1
t
e + e a
0 +
[a
n
n =1
2
F (n
1
) = (a n - j b n ) 令： 2
= f (t )cos (n
t ) d t - j f (t )sin (n t ) d t
=
1
T
f (t )e -
j n
1
t
d t 由欧拉公式 T
F (-n
1
) = (a n + j b n )
= f (t )cos (n
t )d t + j f (t )sin (n t ) d t
= 1
T
f (t )e j n
1
t
d t T
令：
F (0) = a 0
f (t ) =
F (n
) e
j n
1
t
前面的级数可展成指数形
式系数
n =-
F n = F (n ) = 1
T 1
f (t )e -j n
1t
d t
n 1
T 0
注意 : 这里n 的区间为(-
,),与三角形式不同。
-jn
1
t
jn 1
t
+ jb n e
2
-e
]
a 0 +
[ (a n
- jb n
)e
n =1
2
+ 1
(a n + jb n )e
-jn
1
t
]
周期信号可分解成数信号 e j n1t的线性组合。
如给出F(n1)，则f(t)惟一确定。注意：F(n1)是一个复数,有模和辐角由于F(n1) = (a n jb n),其模等于+
b
辐角等于arctg n
a n
在傅立叶三角表示式中 :c n = a n2+ b n2;n = -arctg n
a n
可知系数F n的模F(n1) = c n ;辐角等于三角表示的初相角n
2
F(n1)是一个随着频率(n1)变化而变化的复数,他唯一地表示了f(t) 在傅立叶级数中，无论三角函数表示还是指数函数表
示，都是通过三个量完整地表示一个函数：
(1)频率n1
(2)在n1下基底的幅度值F(n1)或c n
(3)在n1下基底的相位值n 指数表示的基底为e jn1t 三角表示的基底为 cos(n1t)
傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T 上满足狄里克莱条件：1o
)(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T - 上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ， ),2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1 Λ,3,2,1,)(1 ]sin )[cos (1 sin )(1cos )(1222 2222 22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω Λ,3,2,1,)(1 22 ==?--n dt e t f T c T T t jn n ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子 Λ,2,1,0,)(1 22 ±±==?--n dt e t f T c T T t jn n ω， （5）
习题11-8 1. 将下列各周期函数展开成傅里叶级数(下面给出函数在一个周期内的表达式): (1))2 12 1(1)(2<≤--=x x x f ; 解 因为f (x )=1-x 2为偶函数, 所以b n =0(n =1, 2, ? ? ?), 而 611)1(4)1(2/1221 0221 020=-=-=??dx x dx x a , ?-=21022/1c o s )1(2/12dx x n x a n π 2 2 121 2 )1(2c o s )1(4π πn x d x n x n +-= -=? (n =1, 2, ? ? ?), 由于f (x )在(-∞, +∞)内连续, 所以 ∑ ∞ =+-+=1 2 1 2 2c o s )1(1 1211)(n n x n n x f ππ , x ∈(-∞, +∞). (2)?? ? ???? <≤-<≤<≤-=1 21 12 1 0 101 )(x x x x x f ; 解 2 1)(1 2 121 1 11 -=-+==????--dx dx xdx dx x f a n , ?? ??-+==--1 2 121 1 11 c o s c o s c o s c o s )(x d x n x d x n x d x n x x d x n x f a n ππππ 2 s i n 2])1(1[122πππ n n n n +--= (n =1, 2, ? ? ?), dx x n xdx n xdx n x xdx n x f b n ?? ??-+==--1 2 1210 1 1 1 sin sin sin sin )(ππππ π ππ n n n 12 c o s 2+-= (n =1, 2, ? ? ?).
周期信号的傅里叶级数分析 连续时间 LTI 系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号 系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析 以正弦函数或复指数函数作为基本信号 系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信 号响应的加权和或积分; 规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为 f (t )=f ( t +m T ) 其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。 f (t ) 1 T /2 -1 T t 周期信号的特点： (1) 它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的， 时间范围为 ( - , ) (2) 如果将周期信号第一个周期内的函数写成 ，则周期信 号 f (t ) 可以 写成 周期信号: 定义在区间 (- , ) ，每隔一定时间 T ，按相同
f (t ) = f 0(t -nT ) n =- (3) 周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有 a +T b +T T f (t )dt = f (t )dt = f (t )dt ab 0 1. 三角形式的傅立叶级数 该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。 f (t ) = a + a cos(t ) + b sin(t ) + a cos(2t ) + b sin(2 t ) + ... + a cos(n t ) + b sin(n t ) + ... = a + a cos(n t ) + b sin(n t ) n =1 式中各正、余弦函数的系数 a n ,b n 称为傅立叶系数,函数通过它 可以完全表示。 傅立叶系数公式如下 周期信号 f (t ) = 2 f ，周期为T 1 ，角频率 2 T 1
周期信号的傅里叶级数分析 连续时间LTI 系统的时域分析: 以冲激函数为基本信号 系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析 以正弦函数或复指数函数作为基本信号 系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信号响应的加权和或积分; 周期信号: 定义在区间 ，每隔一定时间 T ，按相同 规律重复变化的信号，如图所示 。它可表示为 f (t )=f ( t +m T ) 其中 m 为正整数， T 称为信号的周期，周期的倒数称为频率。 周期信号的特点： （1） 它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的， 时间范围为 （2） 如果将周期信号第一个周期内的函数写成 ，则周期信 号 可以写成 (,)-∞∞(,)-∞∞()f t
（3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有 1. 三角形式的傅立叶级数 周期信号 ，周期为1T ，角频率 11122T f π πω= = 该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。 []∑∞ =++ =++++++++=1 1 1 011121211110)sin()cos(...)sin()cos(... )2sin()2cos()sin()cos()(n n n n n t n b t n a a t n b t n a t b t a t b t a a t f ωωωωωωωω 式中各正、余弦函数的系数n n b a , 称为傅立叶系数,函数通过它 可以完全表示。 傅立叶系数公式如下 0()() n f t f t nT ∞ =-∞ = -∑ ()()()a T b T T a b f t dt f t dt f t dt ++= =? ? ?f t ()
三角级数、傅里叶级数 对于所有在以2pi为周期的函数f(x)，可以用一组如下的三角函数系将其展开： 1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，……，coxnx，sinnx，…… 显然，这组基在[-pi,pi]上是正交的，因此可以在周期区间求积分获得函数f(x)在以三角函数系为基的展开系数，或者说以三角函数系为坐标的投影值a0,an,bn…… 一个一般的函数f(x)可以表示为奇函数和偶函数的叠加，因此它的展开既含有正弦项又含有余弦项，但偶函数的展开仅含有常数项a0和正弦项，相似的，奇函数展开仅含有余弦项。 傅里叶级数的复数形式 根据欧拉公式e^jx=cosx+jsinx，任意正弦、余弦项可以用复指表示，即cosx=(e^jx+e^-jx)/2，sinx=(e^jx-e^-jx)/2j。所以，任何一个周期函数f(x)既可以在三角函数系上表出也可以在复指数系1， e^jx，……，e^jnx上表出，在不同的坐标系之间，存在映射关系。但重要的是，由于积分变换的核函数形式发生改变，其物理意义也将有所变化。由于复数的引入，每一个复指数e^jnx相对于三角函数系都变为一个二维量，其物理含义是一条三维螺旋线。其道理非常简单，一个实参a表示数轴上的一点，而一个复数a+bj表示二维坐标上的一点，所以cosx，sinx分别表示
一条二维曲线，而e^jx=cosx+jsinx是一条空间三维曲线。 傅里叶变换 周期信号用傅里叶级数表示,非周期信号可以借助傅里叶变换进行.对实信号做傅立叶变换时，如果按指数e^jωt为核来求，我们将得到双边频谱。以角频率为Ω的余弦信号为例，它有具有位于±Ω两处的，幅度各为0.5，相角为零的频率特性。实际上，COSΩt就是e^jΩt与e^j-Ωt两条螺旋线的叠加，他们虚部刚好对消，只剩下实部。 Ω1与Ω2两个角速度的螺旋线坐标值的叠加并不等于角速度 Ω1+Ω2，因为从角速度到螺旋线的映射不是线性关系。这一现象正体现了频率的正交特性,也是频率分析理论存在的基础. 经过傅立叶变换得到的负频率表示一条反向旋转的螺旋线,而复频率表示一条整体改变90度相位的螺旋线，它们分别与正频率,实频相对应,都表示一个特定的螺旋线，并没有玄妙的含义。 连续频谱 周期信号用傅里叶级数展开所获得频率线状谱的物理意义十分明确,即整个信号由所有谱线存在处频率分量叠加而成.比如信号COSΩt对应Ω与-Ω处两根谱线.
傅立叶级数的指数形式（图） 上一回说到，利用傅立叶级数（Fourier Series，简称FS）这个数学法宝，可以将一般的周期信号分解为直流成分、基波和无穷多个高次谐波成分的叠加，从而方便地确定其频谱。但上述的傅立叶级数表达式只是傅立叶级数的三角形式，在实用中还有傅立叶级数的指数形式，本文介绍。 一、傅立叶级数的三角形式 对于一个周期为T的周期函数f T（t），在一定条件下可以在连续点t处展开为傅立叶级数的三角形式，即： （1）其中ω1=2π/T为周期函数的圆频率，也就是信号的基频；傅立叶系数分别为 （2） （3） （4）在信号分析理论中a0叫做直流分量，a n叫做余弦分量系数，b n叫做正弦分 量系数。
二、傅立叶级数的指数形式 根据欧拉公式有 （5）其中j为虚数单位，即 （6）不难从傅立叶级数的三角形式导出傅立叶级数的指数形式： （7）其中傅立叶系数一般为复数 （8） 三、傅立叶级数的指数形式与三角形式的关系 根据欧拉公式由式（7）有 （9）不难看出傅立叶级数的指数形式与三角形式可以描述同一个周期信号，只是数学形式不同而已。其中两种形式的傅立叶系数关系如下：
（10）或 （11）可以看出傅立叶级数的指数形式中的傅立叶系数不再是实数，而是复数。 四、周期信号的频谱分析 从傅立叶级数的指数形式也可以进行频谱分析。由式（9）得 （12）可知，周期函数f T（t）包含的直流分量为 （13）基波分量的振幅为 （14）基波初相位为
各高次谐波分量的振幅为 （16）各高次谐波分量的初相位为 （17）这样，周期信号f T（t）的振幅频谱函数可表示为 （18） 五、为什么需要傅立叶级数的指数形式？ 实际上，如果考虑信号的双边频谱，用傅立叶级数的指数形式更方便。在双边频域（∞，－∞）内，周期信号的频谱函数就是傅立叶系数，即 （19）傅立叶系数一般为复数，可写成 （20）其模就是双边的振幅频谱
(4) 2 T 2 T f (t)dt 傅里叶（Fourier ）级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅 里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种 信号与系统进行分析。 通过对描述实际对象数学模型的数学分析、 求解，对所得结果给以物 理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号 的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换 域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的 z 变换。 而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。 傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数 的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里 叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。 我们 承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展 式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数f （t ），在［-T ,T ］上满足狄里克莱条件：1o f （t ）连续或只有 2 2 数。在连续点处 有限个第一类间断点; 2。 只有有限个极值点。 那么f （t ）在nT,T ］上就可以展成傅里叶级 f(t) a 0 ,. (a n cosn ?t b n sin n ?t) (1) 其中 a n T 2 f (t) cosn tdt, (n 二 0,1,2,)， _2 根据欧拉（Euler ）公式: b n ；认）州艸（n=1,2,3,）， (3) e" - cos ： j si ， （1）式化为 f(t)二色二 a 2 J e jn e" n jn ? ￡ j jn ? t +b e —e M n 2j 若令 a n - j b n 一 2 jn ;.-：t . a n jb n ?弓曲 2 」，
周期信号的傅里叶级数展开： 1． 三角形式： 周期信号()f t ，周期T ，基波频率12w T π=， 所构成的完备正交函数集：三角函数集{}11cos ,sin nwt nwt ； ()0111()cos sin n n n f t a a nw t b nw t ∞ ==++∑ 其中：202 1()T T a f t dt T -=? 2122()cos T T n a f t nw tdt T -=? 212 2()sin T T n b f t nw tdt T -=? 注意: (1) 展开条件：狄利赫利条件 （2） 另外一种形式： 011 ()cos()n n n f t c c nw t ?∞ ==++∑ 其中：00c a = n c = n n n b tg a φ=- （3）物理意义： （4）幅度谱和相位谱 2. 指数形式： 完备正交函数集 ：复指数函数集{}1 jnw t e 1()jnw t n n f t F e ∞ =-∞ = ∑ 其中122 1()T jnw t T n F f t e dt T --=?
注意：（1）幅度谱和相位谱n j n n F F e φ= ：偶谱和奇谱 与三角形式间的关系 （2）两种级数间的关系 3. 函数()f t 满足对称性的级数展开： （1） 偶函数：011()cos n n f t a a nw t ∞ ==+∑ 0n b = 或011 ()cos()n n n f t c c nw t ?∞ ==++∑，00c a = ||n n c a = 0, 0,0n n n a a ?π>?=? ??=??
周期性函数分解的傅里叶级数 周期电压、电流等都可以用一个周期函数表示，即 210),()(、、 =+=k kt t f t f 式中T 是周期函数的周期，且 210、、 =k 如果给定的周期函数在有限的区间内，只有有限个第一类间断点和有限个极大值和极小值，那么就可以展开成一个收敛的级数（三角级数） 设给定的周期函数)(t f ，则)(t f 可展开成 ） （）（1)sin cos (sin cos )2sin 2cos ()sin cos ()(1022110 ∑∞ =++=+++++++=k k k k k t k b t k a a t k b t k a t b t a t b t a a t f ωωωωωωωω 上式中的系数，可按下列公式计算： ????? ?? ? - - -= ====== = π ππ π ππωωπ ωωπωωωπ ωωπω) (sin )(1 ) (sin )(1sin )(2)(cos )(1 ) (cos )(1cos )(2)(1 )(1 20 020 00 22 0t td k t f t td k t f tdt k t f T b t td k t f t td k t f tdt k t f T a dt t f T dt t f T a T k T k T T T ）（2 这些公式的对导，主要的依据是利用三角函数的定积分的特点。 设m.n 是任意整数，则下列定积分成立： ?=π 200 sin mxdx ? =π 20 cos mxdx ?=π 200cos sin nxdx mx ， n m ≠ ?=π 200 sin sin nxdx mx , n m ≠ ? =π 200cos cos nxdx mx , n m ≠ ? =π π 20 2)(sin dx mx ,
傅里叶(F o u r i e r)级数的指数形式与傅里 叶变换
傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T -上满足狄里克莱条件：1o )(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T -上就 可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ，
《信号、系统与信号处理实验I》 实验报告 实验名称：周期信号的傅里叶级数 姓名：韩文草 学号：15081614 专业：通信工程 实验时间：2016.11.7 杭州电子科技大学 通信工程学院
一、实验目的 二、实验内容
三、实验过程及实验结果 1.1 t = 0:0.02:2*pi; %0-2π时间间隔为0.01 y = zeros(10, max(size(t))); %10*629（t的长度）的矩阵 x = zeros(10, max(size(t))); for k = 1:2:9 %奇次谐波1,3,5,7,9 x1 = 3*sin(k * t)/k; %各次谐波正弦分量 x(k,:) = x(k,:) + x1; %x第k（1,3,5,7,9）行存放k次谐波的629个值y((k+1)/2,:) = x(k,:); %矩阵非零行向量移至1-5行 subplot(7,1,(k+1) /2); plot(t,x(k,:)); end subplot(2,1,1); plot(t, y(1:5,:)); %绘制y矩阵中1-5行随时间波形 grid; halft = ceil(length(t)/2); %行向量长度减半（由对称前后段一致）subplot(2,1,2); %绘制三维图形：矩阵y中全部行向量的一半 mesh(t(1:halft), [1:10], y(:,1:halft));
1.2 t = -4.5 : 0.001 : 5.5; t1 = -4.499 : 0.001 : 5.5; x = [ones(1,1000) , zeros(1,1000)]; x = [x , x , x , x , x]; subplot(1 , 2 , 1); plot(t1 , x , 'b','linewidth', 1.5); axis([-4.5 , 5.5 , -0.5 , 1.5]); N = 10; c0 = 0.5; f1 = c0 * ones(1 , length(t)) for n = 1:N f1 = f1 + cos(pi * n * t)*sinc(n/2); end subplot(1,2,2); plot(t , f1 , 'r' , 'linewidth', 1.5); axis([-4.5, 5.5, -0.5, 1.5]);
傅里叶级数 本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数 代表的 物理含义。 1. 完备正交函数集 要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果 n 个函数卿（1），化（1）1， b Kl ） 构成一个函数集，若这些函数在区间（th 12）上满足 j ￡卩心)仞MM = {监° 如果是复数集，那么正交条件是 j tpi(l)(p j ⑴山— {K ]" 甲；⑴为函数舸（I ）的共轭复函数。 有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。比如三角函数 集和复 指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。 先证明三角函数集： 设恤（I ）COS mM ，5i （L ）- cos m （ol ，把忸⑴，畅⑴代入⑴得 ft +H I COS ticoleos iiiwl dt J L, 当n 工討时 =J ：綁卜恥(口 十 十 COS tn - m)wt| di ]ITsL (n+ ni}
=J ： * *cos2no>t dt _T 最后证明两个是不同名的三角函数的情况 设加⑴=eos 1131,加(0 u sin msl ,扌旳八⑴，加0)代入⑴得 Sr 『S + T q>i(t](pj(Odt = I COS nct)lsiii uicot 41 L tip =^丿；："1甫115 + m)fot - sin(n - ni)o>tl dt 1 r co?-(II + niKot cos5 "zl " (n + + (n - III )(D . =0 (n,m 为任意整数) 因为两个三角函数相乘只有以上三种情况： 两个皆为余弦函数相乘；两个皆 为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正 交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。至于三角函数集的完备性可以 从n, m 的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。证毕。 由于三角函数集是完备正交函数集， 而根据欧拉公式，我们容易联想到复指 数函数集是否也是完备正交函数集呢。 接着是复指数函数集的证明 设讹恥⑴?^,则0；⑴-恤伽◎ 0； W 代入⑵得 加；⑴山=叫伽恤 当时，根据欧拉公式 / / S+T tc 当n 盖血时 =丿："|凶￡ (n 十 in)?t -心(11 - tti) 曲 I 山 * to ]|sui (n+ ni)cot siii tn - tc =0 (n,m=1,2,3，…；n 士 n 』) 当n=m 时 (n ■+ m)co
计算机与信息工程学院实验报告 一、 实验目的 1、 分析典型的矩形脉冲信号，了解矩形脉冲信号谐波分量的构成。 2、 观察矩形脉冲信号通过多个数字滤波器后，分解出各谐波分量的情况。 3、 掌握用傅里叶级数进行谐波分析的方法。 4、 观察矩形脉冲信号分解出的各谐波分量可以通过叠加合成出原矩形脉 冲信号。 专业：通信工程 2013— 2014学年第二学期 年级/班级：2012级通信工程
实验仪器或设备 一台装有MATLAB勺计算机一台 三、设计原理 1.信号的时间特性与频率特性 信号可以表示为随时间变化的物理量，比如电压u(t )和电流i (t )等, 其特性主要表现为随时间的变化，波形幅值的大小、持续时间的长短、变化速率的快慢、波动的速度及重复周期的大小等变化，信号的这些特性称为时间特性。 信号还可以分解为一个直流分量和许多不同频率的正弦分量之和。主要表现在各频率正弦分量所占比重的大小不同；主要频率分量所占的频率范围也不同，信号的这些特性称为信号的频率特性。无论是信号的时间特性还是频率特性都包含了信号的全部信息量。2?信号的频谱 信号的时间特性和频率特性是对信号的两种不同的描述方式。根据傅里叶级数原理，任意一个时域的周期信号f(t)，只要满足狄利克莱 (Dirichlet) 条件，就可以将其展幵成三角形式或指数形式的傅里叶级数。例如，对于一个周期为T的时域周期信号f(t)，可以用三角形式的傅里叶级数求出它的各次分量，在区间(t1,t1+T )内表示为
3?信号的时间特性与频率特性关系 信号的时域特性与频域特性之间有着密切的内在联系，这种联系可以用图 4-1来形象地表示。其中图4-1(a)是信号在幅度--时间--频率三维坐标系统中的图形；图4-1(b)是信号在幅度--时间坐标系统中的图形即波形图；把周期信号分解得到的各次谐波分量按频率的高低排列，就可以得到频谱图。反映各频率分量幅度的频谱称为振幅频谱。图4-1(c)是信号在 幅度--频率坐标系统中的图形即振幅频谱图。反映各分量相位的频谱称为
周期方形信号的傅里叶级数展开 提出问题： 用有限项傅里叶级数展开逼近周期方波信号。 设周期为1的方波信号由以下函数给出 ?? ???<=>=-<>=<->=+=)2且1(1)1且0()0且1(1)x (x x x x x x x x x f 。 利用Matlab 软件符号运算及绘图功能，观察方形信号由有限项傅里叶级数展开式的合成情况。 问题背景： 在信号分析与处理，特别是工程中，对于周期信号的处理通常采用傅里叶级数展开来进行分析，即频率分析法。在实际信号处理过程中，可以借助Matlab 软件来模拟傅里叶级数对于信号的逼近情况。 知识基础： 周期函数的傅里叶级数展开，Matlab 软件 实验过程： 对于周期为2π函数()f t , 满足Dirichlet 条件，则可展为傅里叶级数 经过傅里叶变换得到： ?????????--- +- =∑∑∑∞∞∞111)) 1(2sin(21)2sin(2 1))1(2sin(2 1)(x k x k x k x f πππ 将级数展开式截断到有限项可用来逼近周期函数。利用Matlab 软件，编写程序如下： clear;clc;x=linspace(-1,2,3000); y=(x+1).*(x<0)+x.*(x>=0&x<1)+(x-1).*(x>=1&x<=2); y1=0; 01()(cos sin ).2n n n a f t a nt b nt ∞==++∑1()cos n a f t ntdt πππ -=?1()sin n b f t ntdt πππ-=? 0,1,2n =L 1,2,3n =L
for k=1:10; y1=y1+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*(x+1)).*(x<0); end y1=1/2-y1; y2=0; for k=1:50; y2=y2+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*x).*(x>=0 & x<1); end y2=1/2-y2;y3=0; for k=1:100; y3=y3+1/(k*pi)*sin(2*k*pi*(x-1)).*(x>=1&x<=2); end y3=1/2-y3;plot(x,y1)hold on plot(x,y2) plot(x,y3)plot(x,y,'r') axis equal 此图当x 属于(-1,0)时，傅里叶级数取了前10项 此图当x 属于(0,1)时，傅里叶级数取了前50项 此图当x 属于(1,2)时，傅里叶级数取了前100项 红线代表实际函数，蓝线代表傅里叶级数展开函数 拓展练习： 1. 可将周期2π扩展为任意周期T ,则此时方波信号的角频率2/T ωπ=，当方波信号 ()f t 满足Dirichlet 条件时，则可展为傅里叶级数： 01()(cos sin ).2n n n a f t a n t b n t ωω∞==++∑ 0 02()d T a f t t T =?
4) 傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉(Euler )公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅 里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种 信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物 理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号 的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换 域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的 z 变换。 而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数 的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里 叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们 承认满足狄里克莱(Dirichlet )条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展 式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数 f (t )，在［-T , T ］上满足狄里克莱条件：1o f (t )连续或只有 数。在连续点处 a n - jb n jn t a n + j b n - jn t 2e +2e 若令 T c 0 = 1 2 T f (t )dt 有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。 那么 f (t )在［-T , T ］上就可以展成傅里叶级 其中 2 = ， T 根据欧拉 Euler )公式： f (t )=a 0 + (a n cos n t +b sin n t )， 2 n =1 T a = 2 2 f (t ) cos n tdt , (n = 0,1,2, )， n T - T 2 T b n = 2 2 T f (t )sin n tdt , (n = 1,2,3, ) ， n T - T 2 1) 2) 3) e j = cos + j sin ，(1)式化为 f (t )=a 0 + 2 n =1 e jn t + e - jn t a an 2 jn t - jn t +b n e 2- j e = a 0 + 2 n =1
周期信号的傅里叶级数分析 连续时间LTI系统的时域分析： 以冲激函数为基本信号 系统零状态响应为输入信号与系统冲激响应之卷积 傅立叶分析 以正弦函数或复指数函数作为基本信号 系统零状态响应可表示为一组不同频率的正弦函数或复指数函数信 号响应的加权和或积分； (—8 8) 周期信号：定义在区间* ' 7 ,每隔一定时间T ,按相同 规律重复变化的信号，如图所示。它可表示为 f (t)=r (顽) 其中川为正整数，T称为信号的周期，周期的倒数称为频率。 A/W 周期信号的特点: (1)它是一个无穷无尽变化的信号，从理论上也是无始无终的, 时间范 围为(一8,8) (2)如果将周期信号第一个周期内的函数写成人"则周期信号/(')可以
写成
周期信号的）,周期为4,角频率1 1 2兀V 8 fQ)= E W - nT) 〃二一8 （3）周期信号在任意一个周期内的积分保持不变，即有 Q+T b+T T j = j a b 0 1.三角形式的傅立叶级数 该信号可以展开为下式三角形式的傅立叶级数。 Af) = q + q cos 饥1)+ b、sin+ 可cos 2佃分 + b2 sin 2绍广)+ ?.. + a n cos 06]t) + b n sin+ ... =% + ￡辰cos+ b n sin n=l a A 式中各正、余弦函数的系数〃'〃称为傅立叶系数，函数通过它 可以完全表ZK。 傅立叶系数公式如下
n - 1,2,… 力= 1, 2,… ］，o+7 a 。=歹 j fWt 2 %+， a n = — J fQ) COS 2269/d t 2 *o+， b n — — j f? sin no)}td t 7 4 （0, 7）或（一亦 三角形式的傅立叶级数还可以写成下面形式 8 f? = + Z G COS (77田土 + (p) n=\ 8 f(t) = d()+ Z "〃 sin(7769/ +。〃) 〃=i 两种形式之间系数有如下关系： / = % = d° Cn = dn = Ja ； + 玖 b a (p n = -arctg — , 0n = arctg — % K a n 二 CnCQSCPn =妇明 4 =Fsin” = dn cosQ, 式中积分可以取任意一个周期, 一般情况下，取
傅里叶变换：（频域分析）连续系统 频谱分析：就是将时域的信号（可以是周期信号与非周期信号）变成频域形式并加以分析的方法。其目的是把复杂的时域波形，经过某种变换分解为若干单一的谐波分量来研究，以获得信号的频率结构以及各谐波和相位信息。这某种变换可以是傅里叶级数，也可以是傅里叶变换。它们的作用都是把时域信号变成频域信号以便于信号分析。 傅里叶级数有三角级数形式和指数级数形式两种表示形式。例如，假设有个周期信号,周期为，角频率，频率为。要作频谱分析时，按傅里叶级数展开： 三角形式的傅里叶级数 ******(a) 直流分量： ****** (a1) 余弦分量幅度： ****** (a2) 正弦分量幅度： ****** (a3) 由上可见，公式a左边是一个周期信号，而右边是一个三角函数的线性组合，或也可以称为三角级数表示方式，这种三角级数的表示方式就称为傅里叶级数。 但公式(a)有个问题，就是说在每个频率点上可能会有两个三角函数，这不利于信号能量的计算或图形表示，为了便于画图我们做了一些变换，用三角公式中的合角公式对公式(a)进行了转换，把同频率的项加以合并，于是得到了余弦形式的傅里叶级数或正弦形式的傅里叶级数，如式(b),(c)。 余弦形式： ****** (b) 正弦形式： ****** (c)
由上总结： 1、一个周期信号可以分解成直流分量、基波（）和各次谐波（基波角频率整数倍）的线性组合。 2、周期信号频谱具有离散型，谐波性，收敛性。 为幅度频谱关系 由此可画出频谱图为相位频谱关系 欧拉公式： ****** (d1) ****** (d2) 将公式（d1）、（d2）带入公式（a）可得： ****** (d3) **** (d4) **** (d5) 将公式(d4)、(d5)带入(d3)可得： ****** (d6) 令: ****** (d7) 从而得到f(t)得到指数形式的傅里叶级数: ****** (e) 将(a2)、(a3)带入(d4)，其中可以简写成。由此可得可得到指数形式傅里叶级数的系数：
傅里叶级数与傅里叶积分变换整理 1 基本概念 首先理清下面的概念： 三角函数形式傅里叶级数（系数含1/T ） 三角函数形式傅里叶级数改写为复指数形式傅里叶级数（系数含1/T ） 复指数形式傅里叶积分，系数1/T 变为1/(2π) 三角函数形式傅里叶积分(将复指数核函数改写为三角函数形式，利用奇偶性变为余弦核函数). 复指数形式傅里叶积分与更一般的积分变换：象函数，象原函数和核 2 基本公式和变换过程 欧拉公式，是连接复指数和三角函数，频域和时域的桥梁 cos()sin()i e t i t ωωω=+ 三角函数改写为复指数形式： cos 2 i i e e θθ θ-+=，sin 2i i e e i θθθ--= 2.1 三角函数形式的傅里叶级数 “级数”就是对数列求和。
01 ()(cos sin )2T n n n a f x a n x b n x ωω∞ ==++∑ 其中 /20/2 /2 /2 /2 /222()2()cos 2()sin T T T T n T T T n T T T a f x dx T a f x n xdx T b f x n xdx T πωωω---= ===??? 注意这里的系数含1/T 2.2 复指数形式的傅里叶级数 我们可以把三角函数形式的傅里叶级数改写为复指数形式，最后甚至合并成一个简单的式子： 0101011 /2 000/2 /2/2 ()() 222()2221()21()cos ()sin 2n n in x in x in x in x T n n n in x in x n n n n n i x i x n n n n T i x T T T n n n T T T T a e e e e f x a b i a a ib a ib e e c c e c e a c f x e dx T a ib c f x n dx i f x n dx T ωωωωωωωωωω--∞=∞-=∞ ∞ -==-??---+-=++-+=++=++==-==-∑∑∑∑??，其中 /2 /2/2/2 /2 /21()1()2()n T T i n x T T T i n x n n n T T i x T n f x e dx T a ib c f x e dx T f x c e ωωω-??-??--∞ -∞? ?=????+===???∑最后 其中/2 /2 1()n T i x n T T c f x e dx T ω--=?，n n ωω= 即/2/21()()n n T i x i x T T T f x f x e dx e T ωω∞ --∞-??=???? ∑?