数学建模常用的十大算法
1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。
2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MATLAB 作为工具。
3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。
4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。
6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分
代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。
以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。
十类算法的详细说明
2.1 蒙特卡罗算法
大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。
举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同
样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。
2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法
数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。此类问题在MATLAB中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
2.3 规划类问题算法
竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B 题，用很多不等式完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用Lindo、Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还需要熟悉这两个软件。
2.4 图论问题
98 年B 题、00 年B 题、95 年锁具装箱等问题体现了图论问题的重要性，这类问题算法有很多，包括：Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford，最大流，二分匹配等问题。每一个算法都应该实现一遍，否则到比赛时再写就晚了。
2.5 计算机算法设计中的问题
计算机算法设计包括很多内容：动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界。比如92 年B 题用分枝定界法，97 年B 题是典型的动态
规划问题，此外98 年B 题体现了分治算法。这方面问题和ACM 程序设计竞赛中的问题类似，推荐看一下《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
2.6 最优化理论的三大非经典算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。近几年的赛题越来越复杂，很多问题没有什么很好的模型可以借鉴，于是这三类算法很多时候可以派上用场，比如：97 年A 题的模拟退火算法，00 年B 题的神经网络分类算法，象01 年B 题这种难题也可以使用神经网络，还有美国竞赛89 年A 题也和BP 算法有关系，当时是86 年刚提出BP 算法，89 年就考了，说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。03 年B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
2.7 网格算法和穷举算法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。比如要求在N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，比如在[a; b] 区间内取M +1 个点，就是a; a+(b-a)/M; a+2 (b-a)/M; …… ; b 那么这样循环就需要进行(M + 1)N 次运算，所以计算量很大。比如97 年A 题、99 年B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较快
的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用MATLAB 做网格，否则会算很久的。穷举法大家都熟悉，就不说了。
2.8 一些连续数据离散化的方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
2.9 数值分析算法
这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是MATLAB、Mathematica，大可不必准备，因为象数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
2.10 图象处理算法
01 年A 题中需要你会读BMP 图象、美国赛98 年A 题需要你知道三维插值计算，03 年B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
1 湖南省2017年高考文科数学试题及答案（Word 版） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A={}|2x x <，B={}|320x x ->，则 A ．A B=3|2x x ??
模块 知识点考查内容了解理解集合的含义、元素与集合的属于关系√列举法、描述法√包含于相等的含义√识别给定集合子集√全集于空集√并集于交集的含义与运算√补集的含义与运算√韦恩图表达集合的关系与运算√简单函数定义域和值域，了解映射√图像法、列表法、解析法表示函数√分段函数√函数单调性、最值及几何意义√函数奇偶性√函数图像研究函数性质指数函数模型背景√有理、实数指数幂、幂的运算指数函数概念、单调性√指数函数图像√对数的概念与运算√换底公式、自然对数、常用对数√对数函数的概念、单调性√对数函数的图像指数函数与对数函数互为反函数√幂函数的概念√幂函数的图像√二次函数、零点与方程的根√一元二次方程根的存在性及跟的个数√集合图像，用二分法求近似解指、对、幂函数的增长特征√函数模型的应用√柱、锥、台的结构特征√三视图√斜二测画法和直观图√平行、中心投影√三视图和直观图√球、柱、锥、台的表面积和体积公式√线面的位置关系定义√线面平行的判定 √面面平行的判定 √线面垂直的判定 √面面垂直的判定 √线面平行的性质 √面面平行的性质 √线面垂直的性质 √面面垂直的性质 √ 用已获结论证明空间几何体中的位置关系点、线、面位置关系集合的含义与表示集合间的基本关系集合的基本运算函数指数函数对数函数知识要求集合 函数概念 与基本初 等函数1 立体几何初步幂函数函数与方程函数模型及应用空间几何体
结合图形，确定直线位置关系的几何要素√直线倾斜角和斜率的概念√过两点的直线斜率计算公式√判定直线平行或垂直√点斜式、两点式、一般式√斜截式与一次函数的关系√两条相交直线的交点坐标√两点间的距离公式√ 点到直线的距离公式两条平行线间的距离公式√圆的几何要素，标准方程和一般方程判断直线与圆的位置关系应用直线与圆的方程√代数方法处理几何问题的思想√空间直角坐标表示点的位置√空间两点间的距离公式√算法的含义与思想√顺序、条件分支、循环逻辑结构√基本算法语句输入、输出、赋值、条件、循环语句√简单随机抽样√分层抽样和系统抽样√样本频率分布表、频率分布直方图、折线图√茎叶图√标准差的意义和作用√平均数和标准差√用样本估计总体的思想√会画散点图，认识变量间的相关关系√最小二乘法，线性回归方程√频率和概率的意义√互斥事件的概率加法公式√古典概型古典概型及其计算公式√随机事件所含的基本事件数及发生的概率√随机数的意义，运用模拟方法估计概率√几何概型的意义√任意角的概念√弧度制的概念、弧度与角度的互化√正弦、余弦、正切的定义√单位圆的三角函数线√诱导公式√三角函数的图像√ 三角函数的周期性√ 正余弦函数的单调性、最值、对称 中心 √正切函数性质 √同角三角函数的基本关系式 √正弦型函数的参数对图像变化的影响√向量的实际背景√ 平面向量的概念√ 向量的实际背景用样本估计总体变量的相关性事件与概率几何概型任意角的概念、弧度制三角函数直线与方程 圆的方程空间直角坐标系算法的含义、程序框图随机抽样统计 基本初等函数2平面解析几何初步算法初步
小学数学计算教学新思考 目前小学数学计算教学出现了令人担忧的问题，学生的计算能力比以前下降了，主要表现在计算正确率下降，口算速度减慢等。学生对计算的兴趣并没有提高，数学思维能力也没有得到应有的培养。必须重新审视计算教学，纠正一些矫枉过正的做法，继承我国传统计算教学的精髓，在培养学生的计算兴趣的同时，提高计算技能，发展数学思维能力。 [关键词]计算教学；兴趣；技能；思维 一、问题的提出 《基础教育课程改革纲要（试行）》在“课程改革的具体目标”中明确指出，要“关注学生的学习兴趣和经验，精选终身学习必备的基础知识和技能。”小学数学中计算具有基础性和工具性。对于每个人来说，仅在小学阶段学习整数、小数和分数四则计算及其混合运算。任何学科的规律归结为公式后基本上都要运用四则混合运算来计算的。例如，物理、化学的有关公式的计算，微积分的数值计算等等。因此，在小学阶段学好四则混合运算计算，并形成一定的计算能力，这是终身有益的。 但是，我们在调研中发现了计算教学值得深思的现象，以往对学生计算能力的要求，如计算方法、技巧与速度等，现在很少提了。学生的计算能力比以前下降了，主要表现在计算正确率下降，口算速度减慢等等。而学生对计算的兴趣并没有因此而提高，学生数学思维能力也没有得到应有的培养。到底是什么原因导致了这样的结果？我们经过深入的调查研究，发现了计算教学的几个误区，并研究了相关的对策。二、计算教学的误区 1．计算教学依赖于情境。主要表现在，有的教师偏面认为，计算教学离不开情境，缺少了情境，似乎激发不起学生的学习兴趣。因此，有的课堂上情境设置是牵强附会的，有的纯粹是为了引出算式，经过一番不着边际的“看图说话”，等到从情境引出算式，已经花去了10多分钟时间，影响了教学的进程。 2．算法多样化变成“形式化”。主要表现在，有的教师对算法只求量上的“多”，学生展示同一思维层面的算法，教师一概叫好，而不管思维层面即质上的提升。一旦少了某种方法，教师就要千方百计牵引。有的学生为了迎合教师的意图，想一些低价值、原始的方法来充数。这样一来，往往讨论一道题目就要花费10——15分钟。而且算法“多”了以后，也不适时优化。在计算时，只要求学生用自己喜欢的方法计算，有的甚至于不掌握基本的计算方法。 3．课堂练习时间无保证。主要表现在，有的教师很少安排学生的课堂练习，偏面认为现在计算教学的要求降低了，学生做习题就有机械、重复训练之嫌，反来复去说“算理”，挤占了练习时间，影响了学生基本计算技能的形成。 4．口算不讲速度。主要表现在，忽视口算的正确率以及口算的速度，教师和学生口算意识淡薄，课堂上很少安排时间进行口算训练，有的一年级学生连20以内的加减法也不熟练，有的二年级学生连乘法口诀也没有做到脱口而出，这样势必影响计算速度。 三、计算教学的对策 鉴于上述分析，笔者认为，必须重新审视小学数学计算教学，纠正一些矫枉过正的想法和做法，继承我国传统计算教学的精髓，在培养学生的计算兴趣的同时，提高计算技能，发展数学思维能力。具体有以下三方面的对策。 （一）引入形式多样 数学知识的来源是多方面的，一是来自数学外部现实社会的发展需要；二是来自数学内部的矛盾，即数学本身发展的需要。建构主义认为，学习总是与一定的社会背景即“情境”相联系，在实际情境中学习，有利于意义建构。如果创设一定的情境，通过情境开展学习，学生能把计算当作一种工具，通过计算解决一些问题，体会计算的价值，能激发学生的学习兴趣。因此，计算教学从情境引入，并就此展开有效的教学，这是可取的。但是，创设情境不能只图表面上的热闹，也不能拘泥于过多的非数学信息，不能干扰和弱化数学知识和技能的学习以及数学思维的发展。任何方法都有一个度的问题，计算教学中创设情境也不例外。创设情境是手段，而不是目的，除了解决情境中的计算问题，还要通过计算，形成计算技能。
2019年湖南省高考文科数学试题与答案 （Word 版） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A I B =3|2x x ? ?< ???? B ．A I B =? C ．A U B 3|2x x ? ?=< ??? ? D ．A U B=R 2．为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田.这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数 B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差 C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值 D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数 3．下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．i(1+i)2 B ．i 2(1-i) C ．(1+i)2 D ．i(1+i) 4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分概率是 A ． 1 4 B ． π8 C ． 12 D ．π 4 5．已知F 是双曲线C ：x 2 -2 3 y =1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3).则△APF 的面积为 A ．13 B ．1 2 C ．2 3 D ．3 2 6．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是
小学数学算法多样化认识与思考 新《数学课程标准》明确提出“应重视口算，加强估算，提倡鼓励算法多样化”，这无疑给小学数学教学改革注入了兴奋剂。所谓小学数学算法多样化，就是在小学数学教学中先让不同层次学生经历剖析过程，去发现算法，然后在课堂教学平台上由一些学生展示各自算法，必要时教师补充算法，再通过班级集体与老师力量对呈现算法进行剖析、比较与优化，使学生感悟算理，形成适合自己个性算法，最后把获得算法用于自己学习与生活中，从中体验学习数学快乐。小学数学算法多样化更加关注不同学生学习数学认知特点与学生已有数学学习基础，并利用不同算法对学生进行数学思想方法灌输，改变了以往小学算术教学过于强调计算技能培养套路，突出过程性教学，使不同层次学生都能参与到教学过程中来，更好地体现学生主体性，使学生个性得到张扬，学生之间相互学习得到倡导。 一、小学数学算法多样化价值取向 曾记得在十几年前，有一项小学生珠心算实验引起了人们注意。实验要求口算学生心中有个算盘，不需要实际拨珠动作，反复训练形成一种快速计算技能。实验在当时有其价值，它把珠算与心算结合在了一起，继承了我国数学文化，但由于口算方面过高要求而不能被推广。实验组学生掌握是“算术”，他只要按照一定程序机械地运算就会得到结果，但他们在数学其它能力方面没有优势。随着社会发展，总来说对个体计算技能要求有所降低。可是，“会不会算”与“怎样算才快”始终是计算面临两个基本问题，算法相对于计算技能变得越来越重要。在小学数学教学中实施算法多样化，就是要发挥算法教学功能，把各种算法作为小学数学教学资源。 1. 算法多样化突出对学生数学思想方法培养。数学是一门横断学科，其它学科或多或少会用到数学。所以我们总是把数学工具性提到了一个很高位置。但数学教育目不仅仅是要让学生掌握数学知识（包括计算技能），更重要要让学生学会数学地思维。例如要比较分数与大小，有一种方法是从“反面”入手，把分数分解成与相同整数与另一分数之差，接下来只要比较另一个分数大小。若从数学工具性出发，则学生只要能得到计算结果就行，分数大小比较，无论采用通分、十字相乘还是化为小数，都比较方便，惟独从“反面”入手这种方法许多学生不太会想到。但它教学价值在于用到了化归数学思想方法，是一种间接比较办法。现在小学计算教学，就是要让学生感受计算方法提炼过程，体会其中数学思想方法，更在于让学生思维碰撞，并形成切合学生个人实际计算方法，从中培养学生数学意识，使学生能自觉地运用数学思想方法来剖析事物，解决问题。小学数学算法多样化，还可使一些学生不限于一种计算方法，把所学知识融合起来，最终学生思维会更灵活，对计算方法理解会更深刻。 2. 算法多样化强调不同层次学生参与。“算法多样化”是实现“不同人在数学上得到不同发展”有效途径，也是尊重学生个性化学习、促进学生个性化发展有效途径。小学数学算法多样化，改变了以往教师直接把计算方法展示给学生教学方法，吸引了不同层次学生参与到教学过程中来。小学数学算法多样化中不同计算方法，主要是由学生提出来，是群体多样，并不要求所有方法每个学生都要掌握，但每个学生都可以提出自己想法与大家共享。新《数学课程标准》在“教学建议”中也明确提出：由于学生生活背景与思考角度不同，所使用方法必然是多种多样。例如，为了剖析9+5计算方法，新世纪版小学数学教材借助现实问题情境，出示了两只可装10瓶牛奶盒子，它们各装了9瓶与5瓶牛奶，问牛奶总瓶数。在相应某一教学片断中，有学生在9瓶基础上又数5瓶得14瓶，也有学生移动1瓶到9瓶盒子中共得14瓶……特别是有学生提出借1瓶装满9瓶这一盒共得15瓶，再还1瓶获结果14瓶。这位学生思维深度显然要比用数数方法计算学生来得深。数数比较直接，借牛奶比较巧妙，不同学生会用不同方法，我们不能苛求学生用同一算法。教师始终要尊重学生，要营造民主氛围，要为学生相互交流、相互学习提供平台，使不同层次学生敢于表达自己见解。 二、小学数学算法多样化误区
算法的概念 【教学目标】 1．了解算法的含义，体会算法的思想。 2．能够用自然语言叙述算法。 3．掌握正确的算法应满足的要求。 【教学重点】 算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。 【教学难点】 把自然语言转化为算法语言。 【教学过程】 一、情境导入： 算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。因此，算法其实是重要的数学对象。 二、探索研究 算法(algorithm)一词源于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。 广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。 三、例题分析 例1．任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。 解析：根据质数的定义判断 解：算法如下： 第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。 第二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n
高考数学高频考点梳理 一、高考数学高频考点 考点一：集合与常用逻辑用语 集合与简易逻辑是高考的必考内容，主要是选择题、填空题，以集合为载体的新定义试题是近几年高考的热点；而简易逻辑一般会与三角函数、数列、不等式等知识结合在一起考察考点1：集合的概念与运算 考点2：常用逻辑用语 考点二：函数与导数 高考数学函数的影子几乎出现在每到题中。考生要牢记基本函数的图像与性质，重视函数与不等式、方程、数形结合、转化与划归、分类讨论等数学思想与方法在解题中的应用。导数属于新增内容，是高中数学的一个重要的交汇点，命题范围非常广泛。 考点1：函数的概念及性质 考点2：导数及其应用 考点三：数列 数列是高中数学的重要内容，高考对等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏，命题主要有以下三个方面：（1）等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式；（2）数列与其他知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合；（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题。试题的难度有下降趋势。 考点1：等差、等比数列的定义、通项公式和前n项和公式 考点2：数列的递推关系与综合应用 考点四：三角函数 三角函数是高考必考内容，一般情况下会有1—2道小题和一道解答题，解答题可能会与平面向量、解三角形综合考查，三角函数在高考中主要考查三角函数公式、三角函数的图像与性质、解三角形等，一般为容易题或中档题，尤其是三角函数的解答题，今年或回到高考试卷的第一道大题，解答是否顺利对考生的心理影响很大，是复习的重中之重。建议在考查三角函数图像与性质时第一步解析式化简完毕后利用两角和与差的三角函数公式展开检验，确保万无一失。 考点1:三角函数的图像与性质 考点2：解三角形 考点五：平面向量 由于平面向量集数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介，平面向量的引入也拓宽了解题的思路与方法。从近几年高考对向量知识的考查来看，一般有1—2道小题和一道解答题，小题考查向量的概念和运算，一般难度不大，大题主要考查解三角形或与三角函数结合的综合题，很多解析几何高考试题也会以向量的形式出现，预计今年高考仍会以“工具”的形式，起到“点缀”的作用。 考点1：平面向量的概念及运算 考点2：平面向量的综合应用 考点六：不等式 不等式是及其重要的数学工具，在高考中以考查不等式的解法和最值方面的应用为重点，多数情况是在集合、函数、数列、几何、实际应用题等试题中考查。 考点1：不等式的解法 考点2：基本不等式及其应用 考点七：立体几何 立体几何在每年的高考中，都会有一道小题和一道解答题，难度中档，小题主要考查三视图
适合的,才是最好的!——对小学数学算法多样化的思考 摘要：数学作为小学教育中的重要课程之一，其对学生未来的学习以及发展都 具有十分重要的作用，因此，小学数学教师要不断提高数学教学水平。在新课程 改变背景下，“提倡算法多样化”已经成为当前小学阶段数学课程标准的理念之一，该理念的主要内容就是尊重学生的个性化学习与发展，教师在教学的过程中要积 极引导学生用自己的思维方式去解决生活中的问题。因此，从某种程度上来说， 算法多样化也是一种态度的体现。本文主要对小学数学算法多样化的思考进行简 要的分析。 关键词：小学数学；算法多样化；思考 随着新课程改革的不断推进，教育工作者越来越重视发挥学生在学习以及课 堂上的主体地位，这一观点与当前新课标下的小学数学课程标准的“提倡算法多样化”理念不谋而合。之所以在小学数学教学中提倡算法的多样化，其主要目的在于倡导学生的个性化学习，使得学生被动的跟着教师学转化为按照自己的思维方式 进行思考，这样不仅有利于激发学生数学学习的积极性和自主性，而且有助于增 强学生间的合作交流，促进学生创新思维的发展。 一、理性看待学生间的差异性 在提倡算法多样化的理念下，有一个问题是值得教师给予重视的：小学阶段 的学生认知水平能力参差不齐，因此会存在部分学生对多样化算法的理解并不是 很懂，而这就需要他们根据自己的经验与领悟去感知了。对于多样化算法，领悟 性比较高的学生他可能很快就理解了，并且他能够通过思考，从多种算法中选出 最合适的解题方法；然而，对于一些理解能力一般的学生来说，即便他能掌握几 种多样化算法，但数量也不会太多；而对于一些接受能力以及理解能力比较弱的 学生而言，面对多样化算法，他不仅会感到困惑与茫然，有的甚至最后连一种算 法也掌握不了。针对以上情况可以得出，教师在进行多样化的算法教学时，应当 结合学生的实际学习情况，尽量选择一些深受学生喜欢同时又便于学生理解与掌 握的算法，这样可以有效提高学生学习的兴趣，进而使其掌握相对较多的算法。 此外，需要注意的是，在实际的解题中，学生运用那种算法进行解题，教师不应 过度干涉，因为学生选择解题的算法往往是适合他自己的，换句话说，就是适合的，才是更好的。 二、重视算法多样化对学生创新能力的促进作用 新课标下的”提倡多样化算法“并不是说掌握的算法形式越多越好，其根本的 目的在于促进学生的个性发展，因此，教师在进行算法的讲解时，应当重视对学 生创新意识和能力的培养，以促进学生的个性化发展。另外，需要注意的是，教 师在进行算法教学时也要注意对学生进行优化算法的引导，这是因为学生在学习 水平以及理解能力上存在差异，因此他们对于算法的优化的领悟也是不同的。有 的学生借助日常的交流沟通就能快速的领悟到优化的算法，同时他们还能有余力 地根据自己的实际情况对算法进行有效的整合与修改。但是也存在部分学生长时 间都领悟不到算法的优化，对于这种学生，教师不能将自己的观点与理解直接强 加给他们，而应当借助一些教学情境有意识的引导学生对其算法进行整理，进而 让其逐渐获得领悟[1]。 例如，在进行“100以内的加法和减法”的教学时，教师可以为学生设计一个问题情境，如某超市仓库内本来有10箱水，后来卖出了3箱，不久之后又进货5
2020年高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一古典概型 例1 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）. A. 1 5B. 2 5 C. 8 25 D. 9 25 【答案】B 【解析】可设这5名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊，从中随机选出2人的方法有： （甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共有10种选法，其中只有前4种是甲被选中，所以所求概率为42 105 =.故选B. 例2 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________. 【答案】2 3 【解析】根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语; 数1，语，数2;数2，数1，语; 数2，语，数1;语，数2，数1; 语，数1，数2共有6 种，其中2本数学书相邻的有4种，则其概率为：42 63 p==． 【易错点】列举不全面或重复,就是不准确
【思维点拨】直接列举,找出符合要求的事件个数. 题型二 几何概型 例 1 如图所示，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极 图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）. A. 14 B. π8 C. 12 D. π 4 【答案】B 【解析】不妨设正方形边长为a ，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为 8 22122 ππ=??? ????a a .故选B. 例2 在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程22320x px p ++-=有两个负根的概率为________. 【答案】3 2 【解析】方程22320x px p ++-=有两个负根的充要条件是2121244(32)0 20320 p p x x p x x p ??=--≥? +=-? 即 2 1,3 p <≤或2p ≥，又因为[0,5]p ∈，所以使方程22320x px p ++-=有两个负根的p 的取值范围为2(,1][2,5]3U ，故所求的概率2(1)(52)23503 -+-=-，故填：32 . D
浅谈小学数学计算方法多样化 【摘要】数的运算历来是我国小学数学教学的重要内容之一，同样，它也是贯穿于我们小学数学教育中的基本数学技能教学，因此培养和发展学生对数的运算能力也一直是我们小学数学教学的主要目标之一. 然而在《课标解读》中强调“应淡化对运算的熟练程度的要求，选择正确的计算方法，准确地得到运算的结果，比运算的熟练程度更为重要. 当下我们应当重视学生是否理解运算的道理，是否能准确得到运算的结果，而不是单纯地看运算的速度”. 随着这一目标的提出，这就要求我们学生在数的运算学习中不仅仅要掌握运算的技能，更应理解运算的算理，掌握算法，做到算理和算法的有机统一. 所以在数的运算学习中一定要处理好算法多样化和算理优化的关系. 本文主要针对新课标背景下计算方法多样化教学出现的部分问题，着重从算法多样化、基本算理以及计算技能三方面进行了教学思考. 【关键词】算法多样化；基本算法；计算技能；算法优化 《义务教育数学课程标准》中明确指出，在数学课程中应注重发展学生的计算能力. 因此，计算教学一直贯穿于小学数学的技能教学，是我们小学数学教学的根本. 然而在数学计算教学中，教师会经常提到算法多样化，因为算法多样
化可以实现不同的学生在数学学习上得到不同程度发展的有效途径，同样也是尊重学生个性化的学习，促进学生个性化发展的有效途径. “鼓励学生算法多样化”同样也是数学新课程的一个重要理念. 但在实际的教学中，鼓励学生探索不同的方法，并不是让学生掌握多种计算方法，因为可能一味地追求计算方法多样化，而没有一个算法优化的过程，会使学生的计算能力发展放缓，对后续的学习也有着一定的影响. 因此，小学数学计算教学要在鼓励学生算法多样化的基础上优选算法，运用算法，从而提高计算技能和教学效果. 一、鼓励学生算法多样化，同时要加强算法优化思想的引导 小学数学教学中，创设问题情境是直接或间接指向某个特定的数学教学知识，如：四年级数学简便计算教学中，关于将数化整进行简便计算时，教师首先创设情境，提出算式98 ×103，这时学生可能会想出很多种算法，可算法多样化并非多多益善啊. 新课程标准指出：“教学中，教师不要急于评价各种算法，而是应该引导学生通过比较各种算法的特点，选择适合自己的方法. ”毕竟每名学生自身的知识背景和对问题的理解程度各不相同，对算法优化的感悟也存在着差异性. 教师如果不加以有效合理的引导，可能会出现大部分学生对如何进行比较复杂的进位乘法的简便计算感到迷茫. 这样，计算能力也难以提高. 所以，我们要有意识地引
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年湖南，文1，5分】设命题2:,10p x R x ?∈+>，则p ?为（ ） （A ）200,10x R x ?∈+> （B ）200,10x R x ?∈+≤ （C ）200,10x R x ?∈+< （D ）2 00,10x R x ?∈+≤ 【答案】B 【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题p 的否定为2 00,10x R x ?∈+≤，故选B ． （2）【2014年湖南，文2，5分】已知集合{|2},{|13}A x x B x x =>=<<，则A B = （ ） （A ）{|2}x x > （B ）{|1}x x > （C ）{|23}x x << （D ）{|13}x x << 【答案】C 【解析】由题可得{|23}A B x x =<< ，故选C ． （3）【2014年湖南，文3，5分】对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样 和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ） （A ）123p p p =< （B ）231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p == 【答案】D 【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等， 即123p p p ==，故选D ． （4）【2014年湖南，文4，5分】下列函数中，既是偶函数又在区间(),0-∞上单调递增的是（ ） （A ）2 1()f x x = （B ）2()1f x x =+ （C ）3()f x x = （D ）()2x f x -= 【答案】A 【解析】根据函数奇偶性的判断可得选项A 、B 为偶函数，C 为奇函数，D 为非奇非偶函数，所以排除C 、D 选 项．由二次函数的图像可得选项B 在(),0-∞是单调递减的，根据排除法选A ．因为函数2y x =在() ,0-∞是单调递减的且1 y x = 在()0,+∞是单调递增的，所以根据复合函数单调性的判断同增异减可得选项A 在(),0-∞是单调递减的，故选A ． （5）【2014年湖南，文5，5分】在区间[]2,3-上随机选取一个数X ，则1X ≤的概率为（ ） （A ） 45 （B ）35 （C ）25 （D ）1 5 【答案】B 【解析】在[]2,3-上符合1X ≤的区间为[]2,1-，因为[]2,3-的区间长度为5且区间[]2,1-的区间长度为3，所以 根据几何概型的概率计算公式可得3 5 p = ，故选B ． （6）【2014年湖南，文6，5分】若圆221:1C x y +=21 x =与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ） （A ）21 （B ）19 （C ）9 （D ）11- 【答案】C 【解析】因为()()22 226803425x y x y m x y m +--+=?-+-=-，所以25025m m ->?<且圆 2C 的圆心为()3,4，根据圆和圆外切的判定可得 19m ==，故选C ． （7）【2014年湖南，文7，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属 于（ ） （A ）[]6,2-- （B ）[]5,1-- （C ）[]4,5- （D ）[]3,6- 【答案】D
文科数学 2017年高三2017年全国1卷文科数学 文科数学 考试时间：____分钟 单选题（本大题共12小题，每小题____分， 共____分。） 1．已知集合A=，B=，则( ) A. AB= B. AB C. AB D. AB=R 2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( ) A. x1，x2，…，x n的平均数 B. x1，x2，…，x n的标准差 C. x1，x2，…，x n的最大值 D. x1，x2，…，x n的中位数 3．下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) A. i(1+i)2 B. i2(1?i) C. (1+i)2 D. i(1+i) 4．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ) A. B. C. D. 5．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为( ) A. B. C. D. 6．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是( ) A B C D
7．设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8．函数的部分图像大致为( ) A. B. C. D. 9．已知函数，则( ) A. 在（0，2）单调递增 B. 在（0，2）单调递减 C. y=的图像关于直线x=1对称 D. y=的图像关于点（1，0）对称 10．下面程序框图是为了求出满足的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( ) A. A>1000和n=n+1 B. A>1000和n=n+2 C. A≤1000和n=n+1 D. A≤1000和n=n+2 11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，a=2，c=，则C=( ) A. B. C. D. 12．设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是( ) A. B. C. D.
优化小学数学算法多样化的方法 发表时间：2013-05-16T15:31:21.890Z 来源：《教师教育研究（教学版）》2013年5月供稿作者：王文英[导读] 总之，算法多样化是培养学生创新精神和创造能力的一个崭新平台 王文英河北工程大学附属小学小学数学 摘要：《数学课程标准》指出：“由于学生的生活背景和思考角度不同所使用的方法必然是多样的，教师应尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。”随着新课程改革的不断深入，“算法多样化”已成为小学数学教学中关注的一个热点。新课程理念提倡个性化学习，张扬学生的个性，提倡“算法多样化”，固然是鼓励个性化学习，但是数学的教育目的除了发展学生的思维能力，培养学生的创新意识，提高学生的数学素养外，还要让学生掌握一定的、高效统一的运算方法和熟练的技能。关键词：小学数学、算法多样化、方法技巧、优化小学数学算法的多样化更加关注不同学生学习数学的认知特点和学生已有的数学学习基础，并利用不同的算法对学生进行数学思想方法的灌输，改变了以往小学算术教学过于强调计算技能培养的套路，突出过程性教学，使不同层次的学生都能参与到教学过程中来，更好地体现学生的主体性，使学生个性得到张扬，学生之间的相互学习得到倡导。 一、算法多样化的实质 算法多样化的实质不同于一题多解，不需要同一个学生有许多种解法，它是针对“计算过程中，不同的学生从各自的生活经验和思考角度出发，产生不同的思考方法”而提出的一种教学策略。算法多样化的思想强调的是尊重学生的独立思考，鼓励学生探索不同的方法，并不是让学生掌握多种方法，而是教师应该在课堂中鼓励、尊重学生的思维结果，引导学生进行讨论、交流，适时地点拨，推动每一个学生努力思考、探索、创造,享受成功的喜悦,逐步形成积极进取的良好学习心态,促进心理的健康发展。算法的多样化作为一种具体的教学策略,集中体现了数学新课程标准的理念,需要我们在实际教学中不断探索、思考,认清其实质内涵,不断提高我们实践新课程的水平。“算法多样化”是实现“不同的人在数学上得到不同的发展”的有效途径，也是尊重学生个性化学习、促进学生个性化发展的有效途径。新教材在计算教学中，挖掘了许多有利于突出算法多样化的素材，凸显了同一个问题的多样化算法，为学生的多角度思维拓展了空间，也为教师提供了很好的教学指导。因此笔者认为，算法多样只是一种手段，绝不是目的。算法多样化对思维灵活性、敏捷性的训练十分重要，它是培养创新型人才的重要途径，因为任何独创的思维能力都将有力地促进学生今后的发展 二、正确把握算法优化的时机 提倡算法多样化是一种好的课程理念，让学生经历从“多样化”到“优化”的过程，是对思维能力的一种提升，更是落实好“三维”教学目标的要求。那么在算法多样化中，如何进行优化？由谁进行优化？什么时间优化？算法多样化的本质是尊重学生的独立思考，让他们经历一个再创造的过程。数学本身具有简捷、合理的特征，在允许有些学生保留自己算法的同时，适时地进行优化是完全必要的。在优化过程中，需注意以下几点：①认真倾听，善于取舍。学生在探索算法时，教师首先要预设到学生可能出现的算法。例如，学生计算13+25，可能会采用下面几种方法：分解凑十法，分解其中一个加数成整十数，再连加计算；通过摆小棒，把成捆相加，单根相加，再合并；先把个位上的数相加，再把十位上的数相加，或者先把十位上的数相加，再把个位上的数相加。教师对这几种方法可写在黑板上，其他方法与这些思考方法一样时，教师可一语带过。算法多样化并不等于算法全面化，否则就会停留于热闹浮华的表面，浪费宝贵的教学时间，使得后面的“双基”教学得不到很好的落实。②及时比较，多中选优。经历了前一个环节算法多样化的构建后，教师可引导学生对上面每种算法的优点、特点进行比较，提取大家取得共识的、具有普遍意义的一种算法。③注意引领，择优为用。对师生共同提炼出来的方法，教师要有意识地进行强化。在练习时，教师尽量避免再让学生选用“自己喜欢的方法”去计算，这样既不利于这个学生的后续学习，易养成学生课堂上不注意倾听，不愿与其他学生交流的习惯，从而失去了优化算法的意义。在组织学生练习时，可让学生体验一下优选出来的方法的优越性。 三、教师与算法多样化 小学数学课堂教学中实施算法多样化，一般包括“提出问题（或创设情境）—独立计算—交流算法—优化算法—巩固算法”五个环节。教师在这些教学环节中要适度发挥作用：①教师要鼓励不同层次学生参与到教学的过程中，但不要把学生的各种算法统一到最简或通用的方法上来，而是要让学生主动构建数学知识。②教师可以展示自己的算法，但要防止课堂教学变成教师算法多样化的展示，更多的时候应该是学生算法的展示。教师对学生的算法不能一律称好，需要比较，从而使学生认清不同算法的价值，分清基本算法和特殊算法，明确算法的适用范围。③教师要引导学生建立起一些算法之间的联系。像前面提到的牛奶瓶数的计算，一种是通过操作（移动或借）来计算，另一种是式子计算，建立这两类方法之间的联系对小学低段的学生来说非常重要。④教师要帮助学生提炼方法背后的数学思想，使学生掌握凑整、拆分、化归等计算策略，还要鼓励学生在算法多样化中不断创新。如在计算三个数的最大公约数和最小公倍数时学生常会出错。错误的主要原因是学生没有分清两个数的公约数和三个数的公约数的界限。教师可鼓励学生对教材上的短除法进行改进。事实上只要在三个数的公约数短除和两个数的公约数短除之间建立分界线，虽然只是一点点变化，但同样是算法上的创新，这样做会减少学生错误的发生。 ⑤教师不应把算法多样化的教学模式限于计算方面的教学，还可把其中所体现的教学理念落实到应用题等其它数学知识的教学中去。 总之，算法多样化是培养学生创新精神和创造能力的一个崭新平台；同时也是实现“不同的人在数学上得到不同的发展”的一个新举措。它要求教师必须尽快调整、改变教学行为和策略，转变角色，不再是知识的占有者、传递者，而应成为学生发展的指导者和促进者，并在新课程的实施中，与学生共同发展、共同成长！
1．1．1算法的概念 一、教学目标： 1、知识与技能：（1）了解算法的含义，体会算法的思想。（2）能够用自然语言叙述算法。（3）掌握正确的算法应满足的要求。（4）会写出解线性方程（组）的算法。（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。（6）会应用Sc ilab求解方程组。 2、过程与方法：通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。 3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。 二、重点与难点： 重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。 难点：把自然语言转化为算法语言。 三、学法与教学用具： 学法：1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……)，并且能够重复使用。 2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。 3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。 教学用具：电脑，计算器，图形计算器 四、教学设想： 1、创设情境： 算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。因此，算法其实是重要的数学对象。 2、探索研究 算法(algorithm)一词源于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。 广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。 3、例题分析：
小学数学的乘法的算理和算法 西街学校段姗 在座的可能好多都是我的前辈，今天让我在这里发言真的觉得有“关公面前耍大刀”的感觉，以下发言纯属个人看法，版权私有，有说的不正确的地方，还请大家毫不客气地批评指正。 我发言的内容是乘法的算理和算法。算法解决的是怎么算，而算理解决的是为什么这样算的问题。在小学课本上算理都是通过情景教学的。 小学阶段的乘法分为整数乘法、小数乘法和分数乘法。 首先学生接触整数乘法是在二年级上学期。九九乘法表，即是学生最早接触的乘法。比如2乘3=6的算理是它表示2个3相加或3个2相加的和，学生初步感知乘法和加法的关系，乘法是求几个相同加数的和的简便运算。学生要做到横背竖背挑着背到脱口而出的程度，它是进一步学习乘法的基础的基础，同时也是学习除法的基础。 三年级上册先学习了口算乘法：一位数乘整十数或整百数，如：10乘2，算理是因数和积的变化规律，一个因数不变，另一个因数扩大10倍，积也扩大十倍。算法是先用0前面的数和2相乘，再在积的末尾添一个零或两个零。有了这个基础紧接着就学习了一位数乘多位数的笔算乘法，有不进位的和进位的之分。不进位的比如一盒彩笔12枝，求3盒的价钱，用12乘3，算理是乘法分配律，分别用10乘3和2乘3，再把两次的积相加。算法是：在进行乘法的竖式计算时，把数位较多的因数写在上面，数位较少的写在下面，与第一个因数的个位对齐，然后先用第二个因数的个位与第一个因数的个位相乘写在个位上，再与十位上的数相乘写在十位上。进位乘法算理同样是乘法分配律，如每箱有24瓶矿泉水，9箱有多少瓶矿泉水，24乘9，分别算20和4乘9的积，再相加。算法是用一位数依次去乘多位数的每一位上的数，哪一位上的数满几十，就向前一位进几，在进位中出现叠加的情况。 三年级下册先学习了一个数乘整十数的口算乘法，如80乘10、12乘200，算理是积的变化规律，算法是先把两个因数零前面的数相乘，再看两个因数的末