2008届全国百套高考数学模拟试题分类汇编
07立体几何
三、解答题(第二部分)
31、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)如图，三棱锥P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝AC ＝2，AB ＝BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB 。 （1）求证：AB ⊥平面PCB ；
（2）求二面角C —PA —B 的大小的余弦值。 （1）解：∵PC ⊥平面ABC ，AB ?平面ABC ，
∴PC ⊥AB 。
∵CD ⊥平面PAB ，AB ?平面PAB ， ∴CD ⊥AB 。 又PC ∩CD ＝C ， ∴AB ⊥平面PCB 。 （2）解法一：
取AB 的中点E ，连结CE 、DE 。
∵PC ＝AC ＝2，∴CE ⊥PA ，CE ＝.2 ∵CD ⊥平面PAB ，
由三垂线定理的逆定理，得DE ⊥PA 。 ∴∠CED 为二面角C —PA —B 的平面角。 由（1）AB ⊥平面PCB ，∴AB ⊥BC ， 又∵AB ＝BC ，AC ＝2，求得BC ＝.2
（2）解法二：
∵AB ⊥BC ，AB ⊥平面PBC ，过点B 作直线l ∥PA ， 则l ⊥AB ，l ⊥BC ，以BC 、BA 、l 所在直线为x 、y 、 z 轴建立空间直角坐标系（如图）。…………6分
设平面PAB 的法向量为).,,(z y x m =
),0,0,2(),2,0,2(),0,2,0(C P A ,
1.20,02220
2.0,0),2,2,2(),0,2,0(-=???-==?????=+-=-?????=?=?-==∴z z
x y z y x y m AP AP BA 令解得即则 得).1,0,2(-= …………8分 设平面PAC 的法向量为),,(111z y x n =，
,0
2202.0,0),0,2,2(),2,0,0(111???=-=?????=?=?-==y x z n AC n CP 即则 解得).0,1,1(,1.0
11
11==??
?==n x y x z 得令
…………10分
.3
32
32|
|||,cos =?=
?>
<∴n m …………11分
.3
3cos
ar B PA C 大小为二面角--∴ …………12分
（2）解法三：
∵CD ⊥平面PAB ，∴CD 是平面PAB 的一个法向量。 取AC 中点F ，∵AB ＝BC ＝2，∴BF ⊥AC ， 又PC ⊥平面ABC ，有平面PAC ⊥平面ABC ，
∴BF ⊥平面PAC ，∴BF 是平面PAC 的一个法向量。
)(2
1
+=
…………7分
2
||,2||,0||)1(||,0,0)1(,0)())1((0
,)1(22===--∴=?=?=-?-+=?⊥-+=BP CD BP CD CB CP CD 而知由得即设λλλλλλ .32
31,31CB CP CD +=∴=∴λ
…………9分 ,1)22(4
1
||,34294491||22=+?==?+?=BF CD
…………10分
.3
3
|
|||,cos -
=?>=
<∴BF CD 32、(福建省仙游一中2008届高三第二次高考模拟测试)在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，EC ⊥AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，EF ＝EC ＝1，
⑴求证：平面BEF ⊥平面DEF ； ⑵求二面角A －BF －E 的大小。
解法1：⑴ ①证明: ∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，EC ⊥AC ， ∴EC ⊥平面ABCD ；连接BD 交AC 于点O ，连接FO ， ∵正方形ABCD
AC ＝BD ＝2； 在直角梯形ACEF 中，∵EF ＝EC ＝1，O 为AC 中点， ∴FO ∥EC ，且FO ＝1；易求得DF ＝BF
DE ＝BE
DF ⊥EF ，BF ⊥EF ， ∴∠BFD 是二面角B －EF －D 的平面角，
在Rt△APN中，可求得222
11
4
AN AP NP
=+=，
∴在△AMN中，由余弦定理求得cos
3
AMN
∠=-，
∴AMNπ
∠=-……………………………（12分）
解法2：⑴∵平面ACEF⊥平面ABCD，EC⊥AC，∴EC⊥平面ABCD；
建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，则)0,2
,2
(
A
)0,2
,(0
B,)0,0,2
(
D,)1,0,(0
E,)1,
2
2
,
2
2
(F,
∴)0,
2
2
,
2
2
(
=，)1,2
,(0-
=，)1,0,2
(-
=…(2
设平面BEF、平面DEF的法向量分别为
)1,
,
(
)1,
,
(
2
2
1
1
y
x
y
x=
=，则
2
2
2
2
1
1
=
+
=
?y
x①
1
2
1
=
+
-
=
?y
BE
m②，0
2
2
2
2
2
2
=
+
=
?y
x
EF
n③, 0
1
2
2
=
+
-
=
?x
DE
n④.
由①③③④解得
2
2
.
2
2
;
2
2
,
2
2
2
2
1
1
-
=
=
=
-
=y
x
y
x,∴)1,
2
2
,
2
2
(
)1,
2
2
,
2
2
(-
=
-
=n
m,…（4分）
∴0
1
2
1
2
1
=
+
-
-
=
?n
m，∴n
m⊥，故平面BEF⊥平面DEF…………（6分）
⑵设平面ABF的法向量为)1,
,
(
3
3
y
x
=，∵)1,
2
2
,
2
2
(-
=
BF，)0,0,2
(
=
∴0
1
2
2
2
2
3
3
=
+
-
=
?y
x
BF
p，0
2
3
=
=
?x
BA
p，解得
33
0,
x y
==
∴p=
，………（8分）∴cos,
m p
m p
m p
?
<>===
?
ㄧㄧㄧㄧ
……（10分）
由图知，二面角A－BF－E的平面角是钝角，故所求二面角的大小为
3
6
arccos
-
π
33、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)如图所示，四棱锥P A B C D
-的底面为直角梯形，90
ADC DCB
∠=∠= ，1
AD=，3
BC=，2
PC CD
==，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点. （Ⅰ）求证：平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成的角；
（Ⅲ）求点B到平面PDE的距离.
解法一：（Ⅰ）设AC与DE交点为G，延长DE交CB的延长线于点F，
则DAE FBE
???，∴1
BF AD
==，∴4
CF=，∴
1
tan
2
DC
F
CF
∠==，
P
C
P E
A
B
D C
H
F
y
又∵1
tan 2
AD ACD DC ∠=
=，∴F ACD ∠=∠， 又∵90ACD ACF ∠+∠=
，∴90F ACF ∠+∠=
，
∴90CGF ∠=
，∴AC DE ⊥
又∵PC ⊥底面ABCD ，∴PC DE ⊥，∴DE ⊥平面PAC ，
∵DE ?平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面PAC …………………………………（4分） （Ⅱ）连结PG ，过点C 作CH PG ⊥于H 点， 则由（Ⅰ）知平面PDE ⊥平面PAC ， 且PG 是交线，根据面面垂直的性质， 得CH ⊥平面PDE ，从而CPH ∠即 CPG ∠为直线PC 与平面PDE 所成的角.
在Rt DCA ?中，2
CD CG AC
=2=
， 在Rt PCG ?中，tan CPG
∠CG PC
=
525
==所以有CPG ∠=，
即直线
PC 与平面PDE 所成的角为arctan …………………………………（8分） （Ⅲ）由于14BF CF =
，所以可知点B 到平面PDE 的距离等于点C 到平面PDE 的距离的14，即1
4
CH . 在
Rt PCG ?
中，243CH =
==， 从而点B 到平面PDE 的距离等于
1
3
………………………………………………（12分） 解法二：如图所示，以点C 为坐标原点， 直线,,CD CB CP 分别为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系C xyz -， 则相关点的坐标为(0,0,0),(2,1,0)C A
(0,3,0)B ，(0,0,2)P ，(2,0,0)D ，(1,2,0)E .
（Ⅰ）由于(1,2,0)DE =- ，(2,1,0)CA =
， (0,0,2)CP =
，
所以(1,2,0)(2,1,0)0DE CA ?=-?=， (1,2,0)(0,0,2)0DE CP ?=-?=
，
所以,DE CA DE CP ⊥⊥，
而CP CA C = ，所以DE ⊥平面PAC ，∵DE ?平面PDE ，
∴平面PDE ⊥平面PAC ……………………………………………………………（4分）
（Ⅱ）设(,,)n x y z =
是平面PDE 的一个法向量，则0n DE n PE ?=?= ，
由于(1,2,0)DE =- ，(1,2,2)PE =-
，所以有
(,,)(1,2,0)20
(,,)(1,2,2)220
n DE x y z x y n PE x y z x y z ??=?-=-+=???=?-=+-=??
， 令2x =，则1,2y z ==，即(2,1,2)n =
，
再设直线PC 与平面PDE 所成的角为α，而(0,0,2)PC =-
， 所以|(2,1,2)(0,0,2)|2
sin |cos ,||(2,1,2)||(0,0,2)|3
||||n PC n PC n PC α??-=<>===?-?
， ∴2arcsin
3α=，因此直线PC 与平面PDE 所成的角为2
arcsin 3………………（8分） （Ⅲ）由（Ⅱ）知(2,1,2)n = 是平面PDE 的一个法向量，而(1,1,0)BE =-
，
所以点B 到平面PDE 的距离为|||(2,1,2)(1,1,0)|1
|(2,1,2)|3n BE d n
??-===
34、(甘肃省河西五市2008年高三第一次联考)如图，已知四棱锥
P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD ==，点M 、N 分别在侧棱PD 、PC 上，且PM MD = （Ⅰ）求证：AM ⊥平面PCD ；
（Ⅱ）若1
2
P N N C = ，求平面AMN 与平面PAB 的所成锐二面角的
大小
解：（Ⅰ）因为四棱锥P —ABCD 的底面是正方形，PA⊥底面ABCD ，
则CD⊥侧面PAD
.AM CD ⊥∴ 又.,2PD AM AD PA ⊥∴==
又.,PCD AM D CD PD 平面⊥∴= ……………5分
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系,xyz A -又PA=AD=2，
则有P （0，0，2），D （0，2，0） ).0,2,2(),1,1,0(C M
(2,2,2).PC ∴=-
设1(,,),,2
N x y z PN NC =
则有
.3
2),2(210=∴-=
-x x x 同理可得.34
,32==z y
即得).34
,32,32(N …………………………8分
由448
0,.333
PC AN PC AN ?=+-=∴⊥
(2,2,2).AMN PC ∴=-
平面的法向量为 而平面PAB 的法向量可为),0,2,0(=
cos ,PC AD PC AD PC AD
?∴<>==
=?
故所求平面AMN 与PAB 所成锐二面角的大小为.3
3arccos
35、(甘肃省兰州一中2008届高三上期期末考试)在棱长AB=AD=2，AA 1=3的长方体AC 1中，点E 是平面BCC 1B 1上
动点，点F 是CD 的中点.
（Ⅰ）试确定E 的位置，使D 1E ⊥平面AB 1F ； （Ⅱ）求二面角B 1—AF —B 的大小.
解：（Ⅰ）以A 为原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， A （0，0，0），F （1，2，0），B 1（2，0，3），D 1（0，2，3）， 设E （2，y ，z ），则 )3,2,2(1--=z y D )3,0,2(),0,2,1(1==AB AF …………4分
由??
?
??==????=-+=-+?????=?=??⊥3510)3(340)2(22,001111z y z y AB D F AB E D 即平面
∴)3
5
,1,2(E 为所求 …………6分
（Ⅱ）当D 1E ⊥平面AB 1F 时，D 1=（2，－1，)3,0,0(),3
41-=-BB ……8分 又E D B B 11 与分别是平面BEF 与平面B 1EF 的法向量， …………9分 则二面角B 1—AF —B 的平面角等于.,11> ∵.61 61 4)3 4 (123) 34(3,cos 2 211= -++-->= 61 4arccos 36、(广东省2008届六校第二次联考)如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直 角梯形, ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, PA ＝AD ＝AB ＝1. （1）证明: //EB PAD 平面; （2）证明: BE PDC ⊥平面; （3）求三棱锥B -PDC 的体积V . 证明:（1）取PD 中点Q , 连EQ , AQ , 则1 2 QE CD AB = = …1分 //////QE CD CD AB QE AB QE AB ? ? ???=? …………………………………………2分 //ABEQ BE AQ ??四边形是平行四边形 ………………3分 ////BE AQ AQ PAD BE PAD BE PAD ? ? ?????? 平面平面平面 ………………………5分 (2) PA ABCD CD ABCD ⊥? ????平面平面 //AQ PCD BE PCD BE AQ ?⊥? ?⊥?? 平面平面 . ………………………………………10分 解:（3）11 12122BDC S AD DC ??? ＝＝＝ …………………………………11分 11 33 B PD C P BDC BDC V V PA S --? ＝＝＝. 37、（广东省佛山市2008年高三教学质量检测一）如图，在组合体中， 1111D C B A ABCD -是一个长方体，ABCD P -是一个四棱锥．2=AB ，3=BC ， 点D D CC P 11平面∈且2==PC PD ． （Ⅰ）证明：PBC PD 平面⊥； （Ⅱ）求PA 与平面ABCD 所成的角的正切值； （Ⅲ）若a AA =1，当a 为何值时，D AB PC 1//平面． (Ⅰ)证明：因为2==PC PD ，2==AB CD ，所以P C D ?为等腰直角三角形，所以 C D P A C D A D A D P A A ⊥??⊥?????＝C D P A D A Q C D A Q P A D P A A D A Q P D Q P D C D P D D ?⊥??⊥?????????⊥?? ?? ??? ??平面平面＝为的中点 ＝D 1 C 1 B 1 A 1 P D C B A PC PD ⊥． ……1分 因为1111D C B A ABCD -是一个长方体，所以D D CC BC 11面⊥，而D D CC P 11平面∈，所以D D CC PD 11面?，所以PD BC ⊥． ……3分 因为PD 垂直于平面PBC 内的两条相交直线PC 和BC ，由线面垂直的判定定理，可得PBC PD 平面⊥．…4分 (Ⅱ)解：过P 点在平面D D CC 11作CD PE ⊥于E ，连接AE ．……5分 因为PCD ABCD 面面⊥，所以ABCD PE 面⊥，所以PAE ∠就是PA 与平面ABCD 所成的角．……6分 因为1=PE ，10=AE ，所以 1010 10 1tan === ∠AE PE PAE ． ……7分 所以 PA 与平面ABCD 所成的角的正切值为 10 10 ． ……8分 (Ⅲ)解：当2=a 时，D AB PC 1//平面． ……9分 当2=a 时，四边形D D CC 11是一个正方形，所以0145=∠DC C ，而045=∠PDC ，所以0190=∠PDC ，所以PD D C ⊥1． ……10分 而PD PC ⊥，D C 1与PC 在同一个平面内，所以D C PC 1//． ……11分 而 D C AB D C 111面?，所以 D C AB PC 11//面，所以 D AB PC 1//平面． ……12分 方法二：(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系，设棱长a AA =1，则有),0,0(a D ， )1,1,0(+a P ，),2,3(a B ，),2,0(a C ． (2) 分 于是(0,1,1)PD =-- ，(3,1,1)PB =- ，(0,1,1)PC =- ，所以0PD PB ?= ，0PD PC ?= ．……3分 所以PD 垂直于平面PBC 内的两条相交直线PC 和BC ，由线面垂直的判定定理，可得 PBC PD 平面⊥． ……4分 (Ⅱ)),0,3(a A ，所以(3,1,1)PA =-- ，而平面ABCD 的一个法向量为1(0,0,1)n = ．…5分 所以 1 cos, 11 PD n <>==- ．……6分 所以PA与平面ABCD所成的角的正弦值为 11 11 ．……7分 所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为 10 10 ．……8分 (Ⅲ))0,2,3( 1 = B，所以)0,0,3( = DA，) ,2,0( 1 a AB- =．设平面D AB 1 的法向量为) , , ( 2 z y x n=，则有?? ? ? ? = - = ? = = ? 2 3 2 1 2 az y n AB x n ，令2 = z，可得平面D AB 1 的一个法向量为)2, ,0( 2 a n=．……10分 若要使得D AB PC 1 //平面，则要 2 n PC⊥，即0 2 2 = - = ?a n PC，解得2 = a．…11分 所以当2 = a时，D AB PC 1 //平面． 38、(广东省惠州市2008届高三第三次调研考试)如图，P—ABCD是正四棱锥， 1111 ABCD A BC D -是正方体， 其中2, AB PA == （1）求证： 11 PA B D ⊥； （2）求平面PAD与平面 11 BDD B所成的锐二面角θ的余弦值； （3）求 1 B到平面PAD的距离 解法一：以 1 1 B A为x轴， 1 1 D A为y轴，A A 1 为z轴建立空间直角坐标系…………1分 （1）设E是BD的中点， P—ABCD是正四棱锥，∴ABCD PE⊥…………2分 又2, AB PA ==，∴2 = PE∴)4,1,1(P……………………………3分 ∴ 11 (2,2,0),(1,1,2) B D AP =-= ………………………………………………4分 ∴ 11 B D AP ?= 即 11 PA B D ⊥………………………………………5分 （2）设平面PAD的法向量是(,,) m x y z = ，…………………………………………6分 (0,2,0),(1,1,2) AD AP == ……………………………………………………7分 ∴0 2 ,0= + =z x y取1 = z得(2,0,1) m=- ，………………………………8分 又平面 11 BDD B的法向量是(1,1,0) n= …………………………………………9分 ∴ cos, m n m n m n ? <>== ∴cosθ=…………………10分 C B A S C B A S （3）1(2,0,2)B A =- …………………………………………………………………11分 ∴1B 到平面PAD 的距离1B A m d m ?== 14分 解法二： （1）设AC 与BD 交点为O ，连PO ；∵P —ABCD 是正四棱锥，∴PO ⊥面ABCD ，……1分 ∴AO 为PA 在平面ABCD 上的射影， 又ABCD 为正方形，∴AO ⊥BD ，…………3分 由三垂线定理知PA ⊥BD ，而BD ∥B 1D 1；∴11PA B D ⊥…………………………5分 （2）由题意知平面PAD 与平面11BDD B 所成的锐二面角为二面角A-PD-B ；……6分 ∵AO ⊥面PBD ，过O 作OE 垂直PD 于E ，连AE ， 则由三垂线定理知∠AEO 为二面角A-PD-B 的平面角； ……………………8分 可以计算得，cos 5 θ= …………………………………………………………10分 （3）设B 1C 1与BC 的中点分别为M 、N ；则1B 到平面PAD 的距离为M 到平面PAD 的距离； 由V M-PAD =V P-ADM 求得55 6 = d 。 39、(广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试)在三棱锥S ABC -中， 90SAB SAC ACB ∠=∠=∠= ,1,AC BC SB ===(1) 求三棱锥S ABC -的体积； (2) 证明:BC SC ⊥; (3) 求异面直线SB 和AC 所成角的余弦值。 (1)解：∵90SAB SAC ACB ∠=∠=∠= ∴,,SA AB SA AC ⊥⊥且AB AC A = , ∴SA ⊥平面ABC ------------ ----------------2分 在Rt ACB ?中， 2AB =, Rt SAB ? 中，2SA = ∵11122ABC S AC BC ?= ?=?=, ∴11233S ABC ABC V S SA -?= ?==分 F E D C B A S (-3,1,0)x (2)证法1：由（1）知SA=2, 在Rt SAC ? 中，SC =分 ∵222 358BC SC SB +=+==,∴BC SC ⊥-------------------8分 证法2：由（1）知SA ⊥平面ABC ，∵BC ?面ABC ， ∴BC SA ⊥,∵BC AC ⊥,AC AS A = ,∴BC ⊥面SAC 又∵SC ?面SAC ，∴BC SC ⊥ (3) 解法1：分别取AB 、SA 、 BC 的中点D 、E 、F ， 连结ED 、DF 、EF 、AF ，则//,//DE BS DF AC , ∴EDF ∠（或其邻补角）就是异面直线SB 和AC 所成的角----------10分 ∵111,222 DE SB DF AC = === 在Rt ACF ? 中，12FC BC = = ∴AF ===, 在Rt EAF ? 中，2 EF = == 在△DEF 中，由余弦定理得2 2 2 111 244cos 1222 DE DF EF EDF DE DF +- +-∠== ? 4=- ∴异面直线SB 和AC 分 解法2：以点A 为坐标原点，AC 所在的直线为y 轴建立空间直角坐标系如图 则可得点 A(0,0,0),C(0,1,0),B (,0) ∴1,2),(0,1,0)BS AC =-= 设异面直线SB 和AC 所成的角为θ 则cos |||||BS AC BS AC θ?===? ∴异面直线SB 和AC 所成的角的余弦值为 4 。 40、(广东省汕头市潮阳一中2008年高三模拟)如图，棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC =60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，∠A 1AC =60°。 （Ⅰ）证明：BD ⊥AA 1； （Ⅱ）求二面角D —A 1A —C 的平面角的余弦值； （Ⅲ）在直线CC 1上是否存在点P ，使BP //平面DA 1C 1？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由。 解：连接BD 交AC 于O ，则BD ⊥AC ， 连接A 1O 在△AA 1O 中，AA 1=2，AO=1， ∠A 1AO=60° ∴A 1O 2=AA 12+AO 2 －2AA 1·Aocos60°=3 ∴AO 2+A 1O 2=A 1 2 ∴A 1O ⊥AO ，由于平面AA 1C 1C ⊥ 平面ABCD ， 所以A 1O ⊥底面ABCD ∴以OB 、OC 、OA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A （0，－1，0），B （3，0，0），C （0，1，0），D （－3，0，0），A 1（0，0，3） ……………………2分 （Ⅰ）由于)0,0,32(-=BD )3,1 ,0(1=AA 则00301)32(01=?+?+-?=? ∴BD ⊥AA 1……………………4分 （Ⅱ）由于OB ⊥平面AA 1C 1C ∴平面AA 1C 1C 的法向量)0,0,1(1=n 设2n ⊥平面AA 1D 则),,(221 2z y x n n AA n =???? ?⊥⊥设 得到)1,3,1(030 32-=???? ?=+-=+n y x z y 取……………………6分 5 5 | |||,cos 212121=?>= <∴n n n n 所以二面角D —A 1A —C 的平面角的余弦值是 5 5 ……………………8分 （Ⅲ）假设在直线CC 1上存在点P ，使BP//平面DA 1C 1 设),,(,1z y x P CC CP λ= 则)3,1,0(),1,(λ=-z y x 得)3,1,3()3,1,0(κλλλ+-=+P ……………………9分 设113C DA n 平面⊥ 则?????⊥⊥1 3113DA n C A n 设),,(3333z y x n = 得到)1,0,1(0 33023333-=?????=+=n z x y 不妨取……………………10分 又因为//BP 平面DA 1C 1 则3n ·10330-==--=λλ得即 即点P 在C 1C 的延长线上且使C 1C=CP ……………………12分 法二：在A 1作A 1O ⊥AC 于点O ，由于平面AA 1C 1C ⊥平面 ABCD ，由面面垂直的性质定理知，A 1O ⊥平面ABCD ， 又底面为菱形，所以AC ⊥BD BD AA O AA AA O AA BD AC O A O A BD AC BD ⊥?? ?? ?⊥?????? =⊥⊥1111110平面平面由于 ……………………4分 （Ⅱ）在△AA 1O 中，A 1A=2，∠A 1AO=60° ∴AO=AA 1·cos60°=1 所以O 是AC 的中点，由于底面ABCD 为菱形，所以 O 也是BD 中点 由（Ⅰ）可知DO ⊥平面AA 1C 过O 作OE ⊥AA 1于E 点，连接OE ，则AA 1⊥DE 则∠DEO 为二面角D —AA 1—C 的平面角 ……………………6分 在菱形ABCD 中，AB=2，∠ABC=60° ∴AC=AB=BC=2 ∴AO=1，DO= 32 2=-AO AB 在Rt △AEO 中，OE=OA ·sin ∠EAO= 2 3 DE=2 153432 2=+= +OD OE ∴cos ∠DEO= 5 5= DE OE ∴二面角D —A 1A —C 的平面角的余弦值是 5 5 ……………………8分 （Ⅲ）存在这样的点P 连接B 1C ，因为A 1B 1//AB //DC ∴四边形A 1B 1CD 为平行四边形。 ∴A 1D//B 1C 在C 1C 的延长线上取点P ，使C 1C=CP ，连接BP ……………………10分 因B 1B //CC 1，……………………12分 ∴BB 1//CP ∴四边形BB 1CP 为平行四边形 则BP//B 1C ∴BP//A 1D ∴BP//平面DA 1C 1 41、(广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长AB ＝2， 侧棱BB 1的长为4，过点B 作B 1C 的垂线交侧棱CC 1于点E ，交B 1C 于点F ， （1）求证：A 1C ⊥平面BDE ； （2）求A 1B 与平面BDE 所成角的正弦值。 （3）设F 是CC 1上的动点(不包括端点C)，求证：△DBF 是锐角三角形。 （1）证明：由正四棱柱性质知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，A 1A ⊥平面ABCD ， 所以B 1C 、AC 分别是A 1C 在平面CC 1B 1B 、平面ABCD 上的射影 ∵ B 1C ⊥BE, AC ⊥BD, ∴A 1C ⊥BE , A 1C ⊥BD ， （2分） ∴ A 1C ⊥平面BDE (4分)。 （直接指出根据三垂线定理得“A 1C ⊥BE , A 1C ⊥BD ”而推出结论的不扣分) （2）解：以DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立坐标系，则1(2,0,4)A ，(0,2,0)C ，(2,2,0)B ，∴1 (2,2,4)AC =-- ，1(0,2,4)A B =- (6分) ∴1 111 1 1cos ,AC A B AC A B AC A B ?<>==? (7分) 设A 1C 平面BDE ＝K ， 由(1)可知，∠A 1BK 为A 1B 与平面BDE 所成角，(8分) ∴111sin cos ,A BK A C A B ∠=<>= 分) (3)证明：设点F 的坐标为（0, 2, z ）(0 则||||BF DF == 又 |DB|=，故△DBF 是等腰三角形，要证明它为锐角三角形，只需证明其顶角∠DFB 为锐角则可。 (11分) E 1 B 1 A 1 C A 由余弦定理得cos ∠DFB=2222 22>022(4)DF BF DB z DF BF z +-==?+ ∴∠DFB 为锐角, (13分) 即不论点F 为CC 1上C 点除外的任意一点, △DFB 总是锐角三角形.(14分) 说明: 若没有说明三角形为等腰三角形而只证明一个角是锐角,或只证明底角是锐角的“以偏概全”情况应扣2 分） 42、(广东省韶关市2008届高三第一次调研考试)如图，在三棱拄111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知 11,3 BC BCC π =∠= （Ⅰ）求证：1C B ABC ⊥平面； （Ⅱ）试在棱1CC (不包含端点1,)C C 上确定一点E 的位置, 使 得 1E A E B ⊥； (Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下,求二面角11A EB A --的平面角的正切值. 证（Ⅰ）因为AB ⊥侧面11BB C C ，故1AB BC ⊥ 在1BC C 中， 1111,2,3 BC CC BB BCC π = ==∠= 由余弦定理有 1BC = 故有 222111BC BC CC C B BC += ∴⊥ 而 BC AB B = 且,AB BC ?平面ABC ∴1C B ABC ⊥平面 （Ⅱ）由 11,,,,EA EB AB EB AB AE A AB AE ABE ⊥⊥=? 平面 从而1B E ABE ⊥平面 且BE ABE ?平面 故1BE B E ⊥ 不妨设 CE x =，则12C E x =-，则2 2 1BE x x =+- 又112 3 B C C π∠= 则2211B E x x =++ 在1Rt BEB 中有 2 2 114x x x x +++-+= 从而1x =±（舍负） E C 1 B 1 A 1 C B A 111 故E 为1CC 的中点时，1EA EB ⊥ 法二：以B 为原点 1,,BC BC BA 为,,x y z 轴，设CE x =，则11 (0,0,0),(1),(0),2)2 B E x B A - - 由1EA EB ⊥得 10EA EB ?= 即 11(1,2)(,0)2222 11(1)(2)022x x x x x x x x ---=?--=??? 化简整理得 2 320x x -+= 1x = 或 x = 当2x =时E 与1C 重合不满足题意 当1x =时E 为1CC 的中点 故E 为1CC 的中点使1EA EB ⊥ （Ⅲ）取1EB 的中点D ，1A E 的中点 F ，1BB 的中点N ，1AB 的中点M 连DF 则11//DF A B ，连DN 则//DN BE ，连MN 则11//MN A B 连MF 则//MF BE ，且MNDF 为矩形，//MD AE 又 1111,A B EB BE EB ⊥⊥ 故 MDF ∠为所求二面角的平面角 在Rt DFM 中，111(22DF A B BCE ==? 为正三角形） 111222 MF BE CE = == 1 tan MDF ∴∠== 法二：由已知1111,EA EB B A EB ⊥⊥ ， 所以二面角11A EB A --的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角 因为11 B A BA == 1 ( 2 EA =- 故 1111 cos tan 2EA B A EA B A θθ?== ?=? 43、(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB ∥ DA ，2EA DA AB CB ===， EA AB ⊥，M 是EC 的中点． （Ⅰ）31,1,2DM ??=- ?? ? ，(2,2,0)EB =- ， 所以0DM EB ?= ，从而得 DM EB ⊥； （Ⅱ）设1(,,)n x y z = 是平面BD M 的 法向量，则由1n DM ⊥ ，1n DB ⊥ 及 31,1,2DM ??=- ?? ? ，(0,2,2)DB =- 得1 1 302220n DM x y z n DB y z ??=+-=??? ??=-=? 可以取1(1,2,2)n = ． 显然，2(1,0,0)n = 为平面ABD 的法向量． 设二面角M BD A --的平面角为θ，则此二面角的余弦值 121212||1 cos |cos ,|3 ||||n n n n n n θ?=<>==? ． 44、(广东省四校联合体第一次联考)如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为AC 的中点. （1）求证：AB 1//面BDC 1； （2）求二面角C 1—BD —C 的余弦值； （3）在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得 CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论. （1）连接B 1C ，交BC 1于点O ，则O 为B 1C 的中点， ∵D 为AC 中点 ∴OD ∥B 1A 又B 1A ?平面BDC 1，OD ?平面BDC 1 ∴B 1A ∥平面BDC 1 （2）∵AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，AA 1∥CC 1 ∴CC 1⊥面ABC 则BC ⊥平面AC 1，CC 1⊥AC 如图建系 则C 1(3,0,0) B(0,0,2) D(0,1,0) C(0,0,0) ∴)2,0,3(C ) 0,1,3(C 11-=-= 设平面C 1DB 的法向量为)z ,y ,x (= E A B F E D C B A G F D E C B A 则)3,6,2(-= 又平面BDC 的法向量为)0,0,3(CC 1= ∴二面角C 1—BD —C 的余弦值：cos 7 2| n ||C C |,C 111= = ?? （Ⅲ）设P(h,2,0) 则)0,2,h (CP = 若CP ⊥面BDC 1 则// 即（h,2,0）=λ(2,-6,3) 此时λ不存在 ∴在侧棱AA 1上不存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1 45、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠BAD =2 π ，AB=BC=2AD=4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，AE = x ，G 是BC 的中点。沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图) . (1) 当x=2时，求证：BD ⊥EG ； (2) 若以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值； (3) 当 f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C 的余弦值. 解:（1）（法一）∵平面AEFD ⊥平面EBCF ,AE ⊥EF,∴AE ⊥面平面 E B ,AE ⊥EF,AE ⊥BE,又BE ⊥EF,故可如图建立空间坐标系 E-xy z 。…………………………………………… 1分 则A （0，0，2），B （2，0，0），G （2，2，0），D （0，2，2），E （0，0， 0）…………2分 BD = （－2，2，2），EG = （2，2，0）…………………………………………………3分 BD EG ?= （－2，2，2） （2，2，0）＝0，∴BD EG ⊥ ……………………………4分 （法二）作DH ⊥EF 于H ，连BH ，GH ，……………1分 由平面AEFD ⊥平面EBCF 知：DH ⊥平面EBCF ， 而EG ?平面EBCF ，故EG ⊥DH 。 又四边形BGHE 为正方形，∴EG ⊥BH ， BH ?DH ＝H ，故EG ⊥平面DBH ，………………… 3分 而BD ?平面DBH ，∴ EG ⊥BD 。………………… 4分 （或者直接利用三垂线定理得出结果） F E D C B A y G F D E C B A H （2）∵AD ∥面BFC ， 所以 ()f x =V A-BFC ＝13 BFC s AE ＝13 1 2 4 (4-x) x 2288 (2)333 x =--+≤………………………………………………………………………7分 即2x =时()f x 有最大值为8 3 。…………………………………………………………8分 （3）（法一）设平面DBF 的法向量为1(,,)n x y z = ，∵AE=2, B （2，0，0），D （0，2，2）， F （0，3，0）,∴(2,3,0),BF =- BD = （－2，2， 2）, ………………………………9分 则 1100 n BD n BF ?=??=?? ， 即(,,)(2,2,2)0(,,)(2,3,0)0x y z x y z -=??-=? ，2220230 x y z x y -++=??-+=? 取x ＝3，则y ＝2，z ＝1，∴1(3,2,1)n = 面BCF 的一个法向量为2(0,0,1)n = ……………………………12分 则cos<12,n n >=121214|||| n n n n = …………………………………………13分 由于所求二面角D-BF-C 的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－ 14 ……………14分 （法二）作DH ⊥EF 于H ，作HM ⊥BF ，连DM 。 由三垂线定理知 BF ⊥DM ，∴∠DMH 是二面角D-BF-C 的平面角的补角。…………………………9分 由△HMF ∽△EBF ，知 HM HF ＝BE BF ，而HF=1，BE=2 ，BF ，∴HM 2 又DH ＝2， ∴在Rt △HMD 中，tan ∠ DMH=- DH HM 因∠DMH 为锐角，∴cos ∠DMH ………………………………13分 而∠DMH 是二面角D-BF-C 的平面角的补角， 故二面角D-BF-C ………………………………14分 46、(贵州省贵阳六中、遵义四中2008年高三联考)如图，在Rt AOB △中， π 6 OAB ∠=，斜边4AB =． Rt AOC △H _E M F D B A G 可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 在斜边AB 上。 （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ； （II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所 成角的大小； （III ）（理）求CD 与平面AOB 所成角的最大值。 （文）当D 为AB 的中点时，求CD 与平面AOB 所成的角。 解：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， 又 二面角B AO C --是直二面角，CO BO ∴⊥，又AO BO O = ， CO ∴⊥平面AOB ，又CO ?平面COD ，∴平面COD ⊥平面AOB ．……4分 （II ）解法一：作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥， CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角． 在Rt COE △中，2CO BO ==，1 12 OE BO = =，CE ∴= 又1 2DE AO = =∴在Rt CDE △中，tan 3CE CDE DE ===． ∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为arctan 3 ．……8分 解法二：建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(00A ，，(200)C ，，，D ， (00OA ∴= ，，(CD =- ，cos OA CD OACD OA CD ∴<>= ， 4= ．∴异面直线AO 与CD 所成角的大小为8分
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