高考复习专题 三角函数的值域与最值
一、基础知识
1、形如()sin y A x ω?=+解析式的求解：详见“函数()sin y A x ω?=+解析式的求解”一节，本节只列出所需用到的三角公式 （1）降幂公式：2
21cos21cos2cos
,sin 22
αα
αα+-=
=
（2）2sin cos sin2ααα=
（3）两角和差的正余弦公式
()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+
（4）合角公式：()sin cos a b ααα?+=+，其中tan b a
?=
2、常见三角函数的值域类型：
（1）形如()sin y A x ω?=+的值域：使用换元法，设t x ω?=+，根据x 的范围确定t 的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出x ω?+的三角函数值，进而得到值域 例：求()2sin 2,,444f x x x πππ??
??=-
∈- ????
???
的值域 解：设24
t x π
=-
当,44x ππ??
∈-
????
时，32,444t x πππ??=-∈-????
sin 22t ?∴∈-???
()
f x ?∴∈?
（2）形如()sin y f x =的形式，即()y f t =与sin t x =的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的
函数，再求出值域即可
例：求()2
2sin cos 2,,63f x x x x ππ??
=-+∈-
????
的值域 解：()()
2
2
sin 1sin 2sin sin 1f x x x x x =--+=++
设sin t x = 2,63x ππ??∈-
????Q 1,12t ??
∴∈-????
2
213
124
y t t t ??=++=++ ???
3,34y ??∴∈????
，即()f x 的值域为3,34??????
（3）含三角函数的分式，要根据分子分母的特点选择不同的方法，通常采用换元法或数形结
合法进行处理（详见例5，例6） 二、典型例题
例1：已知向量()()
()cos ,sin ,cos ,sin ,a x x x b x x x f x a b ==-=?r r r r
（1）求函数()f x 的单调递增区间
（2）当,64x ππ??
∈-
???
?时，求()f x 的取值范围
解：（1）()()()
()cos cos sin sin f x a b x x x x x x =?=++?-r r
22
cos sin cos x x x x =--
cos 222cos 23x x x π?
?
==+
??
?
()522223
3
6
k x k k x k k Z π
π
π
ππππππ+≤+
≤+?
+≤≤
+∈ ∴单调递增区间为：()5,36k k k Z ππππ??
++∈????
（2）思路：由（1）可得：()2cos 23f x x π?
?
=+ ??
?
，从,64x ππ??
∈-
????
得到角23x π+的范围，
进而求出()f x 的范围
解：由（1）得：()2cos 23f x x π?
?
=+
??
?
,64x ππ??∈-????Q 52,20,3236x x ππππ??
??∴∈-?+∈??????
??
cos 2,132x π???
?∴+∈-?? ??
??? ()2cos 223f x x π????∴=+∈ ????? 小炼有话说：对于形如()()sin f x A x ω?=+的形式，通常可先计算出x ω?+的范围，再确定其三角函数值的范围
例2：已知函数()cos 22sin sin 344f x x x x πππ?
?
?
???=-
+-+ ? ? ??
??
??? （1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程 （2）求函数()f x 在区间,122ππ??
-
???
?的值域 解：（1）()cos 22sin sin 344f x x x x πππ??
?
???=-
+-+ ? ? ??
??
???
1cos 2222x x x x x x ?=+++??????
221cos 22sin cos 22
x x x x =
++-
11cos 22cos 22cos 22222x x x x x =
+-=- sin 26x π??
=-
??
?
T π∴= 对称轴方程：()26
2
3
2
k x k x k Z π
π
π
π
π-
=
+?=
+
∈ （2）思路：将26
x π-视为一个整体，先根据x 的范围求出26
x π-
的范围，再判断其正弦值
的范围
解：()sin 26f x x π??
=-
??
?
,122x ππ??
∈-????
Q 52,636x πππ??∴-∈-????
()sin 262f x x π???
?∴=-∈-?? ??
???
例3：函数2
7
cos sin cos24
y x x x =--+
的最大值为___________ 思路：解析式中的项种类过多，不利于化简与分析，所以考虑尽量转化为同一个角的某一个三角函数。观察可得cos x 次数较低，所以不利于转化，而2
sin ,cos2x x 均可以用cos x 进行表示，确定核心项为cos x ，解析式变形为(
)(
)
2
2
7
cos 1cos 2cos 14
y x x x =----+
，化简后为2
271cos cos cos 242y x x x ?
?=-++=--+ ??
?，当1cos 2x =时，max 2y =
答案：2
小炼有话说：当解析式无法化成()sin y A x ω?=+的形式时，要考虑是否是三角函数与其他函数的复合函数，进而要将某个三角函数作为核心变量，并将其余的三角函数用核心变量进
行表示，再将核心变量进行换元求出值域即可 例4：设函数()sin cos2f x x x =+，若,62x ππ??
∈-
????
，则函数()f x 的最小值是______ 思路：同例4考虑将解析式中的项统一，2
2
cos212sin 12sin x x x =-=-，进而可将sin x 作为一个整体，通过换元来求值域。
解：()2
sin cos2sin 12sin f x x x x x =+=+- 设sin t x =，由,62x ππ??∈-
????可得：1sin ,12x ??
∈-????
，从而[]0,1t ∈ 2
2
19
21248
y t t t ??∴=-++=--+ ???，所以90,8y ??∈????
所以最小值为0y = 答案：0
例5：函数()3sin 2sin x
f x x
-=
+的值域为___________
思路：可将sin x 视为研究对象，令[]sin ,1,1t x t =∈-，进而只需求32t
y t
-=+的值域即可。 解：令sin t x =，可得[]1,1t ∈-
35
122
t y t t -∴=
=-+++ []1,1t ∈-Q []21,3t ∴+∈ 55,523t ??∴
=??+?? 521,423y t ??∴=-+∈??+??
答案：2,43
?????
?
小炼有话说：要注意在x R ∈时sin x 自身带范围，即[]sin 1,1x ∈-
例6：函数()2sin cos x
f x x
-=
的值域为____________
思路：可变形为()2sin 0cos x f x x -=--，且2sin 0cos x
x
--可视为()0,2与()cos ,sin x x 连线的斜率k
的取值范围，()cos ,sin x x 为单位圆上的一点，所以问题转化为直线:2l y kx =+与圆
221x y +=有公共点的k 的范围。所以
1O l d -=
≤，解得：k ≥k ≤
以()(
)
,f x ∈-∞+∞U
答案：(
)
,-∞+∞U
小炼有话说：（1）对比例5和例6，尽管都是同一个角的分式值域，但是例5的三角函数名相
同，所以可视为同一个量，利用换元求解，而例6的三角函数名不同，所以不能视为同一个量。要采取数形结合的方式。
（2）本题还可利用方程与函数的关系求得值域，解法如下：
2sin cos sin 2cos x
y y x x x
-=
?+=
()()
2sin x x ??+=?+=
所以y 的取值范围（即值域）要能保证存在x 使得等式成立
1≤
2∴≤
()
,y ∈-∞+∞U
例7：设函数()sin 2,,66f x x x a ππ?
?
??=+∈- ????
???的值域是1,12??-????
，则实数a 的取值范围是_____________
思路：本题是已知值域求参数，所以考虑先带着a 计算角26
x π
+
的范围为,26
6a π
π??-
+????，
可知162f π??-
=- ???，值域中最大值为1，所以说明,26
6a π
π??-+????经过2π，同时范围不能超
过76π（否则最小值就要小于12-），从而可得72266a πππ≤+≤，解得：62
a ππ≤≤ 答案：
6
2
a π
π
≤≤
例8：已知函数()2
cos sin cos 2a f x a x b x x =--
的最大值为12
，且34
f π??
= ???，则3f π??
-= ???
（ ） A.
12 B.
4- C. 12-
或4 D. 1
2
-
或4
思路：观察到()f x 的项具备齐二次的特点，所以想到将解析式化为()sin A x ω?+的形式，通过变形可得：(
)()2f x x ?=
+，所以最大值
为12
=，即221a b +=①，再利
用34
f π??
= ???可得
：1444a --=②，通过①②可解得
：
02,112
a a
b b ?=?=???
?=-??
=-??，进而求出3f π??
- ???
的值为12-
或4
解：()2
1cos21cos sin cos sin22222
a x a
f x a x b x x a b x +=--=?-- (
)()1cos2sin222a x b x x ?=-=+
所以可得：(
)max 1
2
f x ==
另一方面：21cos sin cos 33332444a f a b a ππππ??=--=--=
?
??
整理可得：221a b a ?+=??+=??
，解得：02,112
a a
b b ?=-?=????
=-??=-?? 当0
1a b =??=-?
时，
sin cos 3334f πππ??????
-=--=-
? ? ???????
当212
a b ?=-????=-
??时，
21sin cos 033233f ππππ????????-=-+--+= ? ? ? ?
???????? ∴ 3f π??
- ???
的值为12-
或4
例9：当02
x π
<<时，函数()21cos28sin sin 2x x
f x x ++=的最小值为__________
思路一：考虑将所有项转变为关于2x 的三角函数，即
()()5
cos21cos241cos253cos23
3sin2sin20sin2x x x x
f x x x x -++--===-?-，从而想到分式与斜率的关系，5
cos23sin 2x
x -可视为()50,,sin 2,cos23x x ??
???
，结合02x π<<可得()sin2,cos2x x 为单
位圆半圆上的点，通过数形结合可得：最小值为4
思路二：考虑将所有项转变为关于
x 的三角函数，则
()222221cos28sin 2cos 8sin cos 4sin sin 22cos sin cos sin x x x x x x f x x x x x x ++++===，观察到分子分母为齐
二次式，从而上下同时除以2
cos x ，可得：()214tan 1
4tan tan tan x f x x x x
+==+，因为
0,2x π??
∈ ???
，所以()tan 0,x ∈+∞，所以利用均值不等式可得：()14tan 4tan f x x x =+≥
答案：4
例10：求函数()sin cos sin cos 1f x x x x x =+-+的值域
思路：本题很难转化为同名三角函数解析式，解题的关键在于了解sin cos x x +与sin cos x x 之间的联系：()2
1sin cos sin cos 12x x x x ??=
+-?
?，从而将解析式的核心变量转化为sin cos x x +，通过换元求出值域即可
解：()()()2222
11sin cos sin cos sin cos sin cos 122x x x x x x x x ????=+-+=+-?
???Q
()()2
1sin cos sin cos 112f x x x x x ??∴=+-+-+?
?
()()2
1sin cos 2sin cos 122x x x x ??=-+-+++?
?
()21
sin cos 122x x =-
+-+???
?
因为sin cos 4x x x π?
??+=
+∈ ???
?
sin cos 1x x ∴+=时，()max 2f x =
当sin cos x x +=时，()min 1
2
f x =-
所以可得：()f x 的值域为12??-?
???
求三角函数的值域(或最值)的方法 三角函数y＝sinx及y＝cosx是有界函数，即当自变量x在R内取一定的值时，因变量y有最大值y max＝1和最小值y min＝－1，这是三角函数y＝sinx及y＝cosx的基本性质之一，利用三角函数的这一基本性质，我们可以使一些比较复杂的三角函数求最值的问题得以简化．虽然这部分内容在教材中出现不多，但是，在我们的日常练习和历年高考试题中却频频出现，学生也往往对这样的问题颇感棘手．笔者根据日常的教学积累，对三角函数求值域或最值的方法，加以归纳总结如下． 1 配方分析法 如果所给的函数是同名不同次或可化为同名不同次及其他能够进行配方的形式，可采用此方法． 例1求函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域． 解原函数可化为 当sinx＝1时，y max＝1； 当sinx＝－1时，y min＝－9， ∴原函数的值域是y∈[－9，1]． 注：此种方法在求三角函数的值域或最值问题中较为常见．但在最后讨论值域时，往往容易忽略自变量(例1中以sinx为自变量)的取值范围而出现错误应该引起注意． “cosx”，再求已知函数的最值 例2求下列函数的最值，并求出相应的x值．
y＝asinx＋bcosx或可转化为此种形式的函数，其最大值和最小值分别为y max＝ 3 求反函数法 如果函数的表达式中仅含有某一个三角函数名，我们可考虑此种方法，用因变量y表示出该函数，再利用该函数的值域求对应的原函数的值域．
∴原函数的值域是 4 应用函数的有界性 上面的求反函数法实际上就是在应用函数的有界性求最值，在此只不过是为了更加突出一下． 解由原式可得 (3y－1)sinx＋(2y－2)cosx＝3－y， 则上式即为 利用函数的有界性有 ∴原函数的值域是
三 角 函 数 考点1：三角函数的有关概念； 考点2：三角恒等变换；（两角和、差公式，倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式） 考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；（定义域、值域、最值；单调区间、最小正周 期、对称轴对称中心） 考点4：函数y =Asin()0,0)(>>+???A x 的图象与性质；（定义域、值域、最值；单调区间、最小 正周期、对称轴对称中心、图像的变换） 一、三角函数求值问题 1. 三角函数的有关概念 例1. 若角θ的终边经过点(4,3)(0)P a a a -≠，则sin θ= ． 练习1．已知角α的终边上一点的坐标为（3 2cos ,32sin π π），则角α的最小正值为（ ） A 、65π B 、32π C 、35π D 、6 11π 2、公式法： 例2.设(0,)2πα∈，若3 sin 5α=)4 πα+=（ ） A. 75 B. 15 C. 75- D. 15 - 练习1．若πtan 34α??-= ??? ，则cot α等于（ ） Ａ．2- Ｂ．12 - Ｃ．12 Ｄ．2 2．α是第四象限角，5 tan 12 α=-，则sin α=（ ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513 - 3． cos 43cos77sin 43cos167o o o o +的值为 。 4．已知1sin cos 5θθ+=，且324 θππ ≤≤，则cos2θ的值是 ． 3．化简求值 例3.已知α为第二象限角，且sin α，求sin(/4)sin 2cos21 απαα+++的值 练习：1。已知sin α=，则44sin cos αα-的值为（ ） A ．15 - B ．35 - C ．15 D ．35
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